Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 4: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

ý ýþ ¹ º º½ º½º½ º½º½ ¹ ½ µ ô R 2 R 3 Ì R º Ì Ì ) ) = Û Ì º½º½ ¹ ½µ Þ) Þ) = Û Ì ½

¾ º ýº Þ ÖÙÑÒØ µ Û º ø º Þ º ) Þ) º º ô Û = ) Û = Þ) º { ) Û) Ì Þ) Û) Ì} º½º½ ¹ ½ 1 ) = + 2 ) = + 3 ) = ln 4 2 4 2) º 1 1 1 = { ) R 2 : + 0} 1 + = 0 º º½º½ ¹ ½µº ½ ø 2 2 2 = { ) R 2 : 0 0} ½ + + Γ 0 : + + Γ = 0 ) R 2 º

1.0 0.5 1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1.0 µ 1.0 µ º½º½ ¹ ½ º½º½ ¹ ½ µ 1 = { ) R 2 : + 0} 1 ) = +º + = 0º µ 2 = { ) R 2 : 0 0} 2 ) = + 1 º º½º½ ¹ ½º 3 3 4 2 4 2 0 1 2 4 + 2 3 = { ) R 2 : 2 4 + 2 1} 2 4 +2 = 1 º º½º½ ¹ ¾µº º º½º½ ¹ ¾ 3 º º½º½ ¹ ¾ ) = sin 1 + º ¾ sin 1 [ 11]º 1 1º ¾ ø sin [ 2 2] sin 1 arcsin [ 11] sin º ø tan 2 2) tan 1 arctan R tan º þ ýº ¾ º º

º ýº y 1.0 0.5 2 1 1 2 x 0.5 1.0 µ µ º½º½ ¹ ¾ º½º½ ¹ ½ µ 3 = { ) R 2 : 2 4 + 2 1} 3 ) = ln 4 2 4 2) º 2 4 +2 = 1º µ 3 )º Ç 0 º = 1 2 1 = { ) R 2 : 1 0 0} 2 = { ) R 2 : 0 1 0} º½º½ ¹ Þ) = ln +4Þ) Þ) = 1 2 + 2 + Þ 2 9 º = { Þ) R 3 : +4Þ 0}

: +4Þ = 0º ø = { Þ) R 3 : 2 + 2 + Þ 2 9} 000) Ê = 3º ý º½º½ ¹ ¹ ¹ ¹ º Ì Ì = { Þ) Þ) } º + + Þ = º½º½ ¹ ¾µ 411 2) Þ Þ = ) = + + º½º½ ¹ µ º º 3 + 4 + Þ = 12 411 2) 411 3) Þ = 12 3 4 ) = 12 3 4 º½º½ ¹ µ 411 4) = = 0 Þ¹ 0012)º ø ¹ 400) ¹ 030)º ++ Þ 0 : + + Þ = 0 Þ) R 3 º

º ýº ) 4 2 2) 12 Ú) 1ln+ + Þ) ) ln ) ) 9 2 ) 12 + 4 2 ) 12 ) Ú) sin 1 Ú) tan 1 + Ú) lnþ) Ú) ln 2 + 2 Þ 2) º º½º¾ º½º¾ ¹ ½ µº ô ) R 2 º lim ) = Ð º½º¾ ¹ ½µ ) 00) 0 Æ = Æ) 0 ) Ð ) 0 ) 2 + 0 ) 2 ƺ º½º¾ ¹ ¾ µº ô Þ) R 3 º lim Þ) = Ð º½º¾ ¹ ¾µ Þ) 00Þ0) 0 Æ = Æ) 0 Þ) Ð Þ) 0 ) 2 + 0 ) 2 Þ Þ 0 ) 2 ƺ º½º¾ ¹ ½ º ý º½º¾ ¹ ¾ µº

º½º¾ ¹ ½º ô ) ) R 2 0 0 ) º ý lim ) 00) ) = Ð R lim ) lim 0 0 ) [ ] lim ) = lim lim ) ) 00) 0 0 [ = lim 0 lim 0 ] ) = Ð º½º¾ ¹ µ º º½º¾ ¹ ½ ô ) = + = { ) R2 ) 00)} lim ) = lim = 0 0 + lim ) = lim = 0 0 + 0 0+ = 1 0 0 lim 0 +0 = lim 0 = 1 = 0 0 +0 = 1 0 0 lim = lim 0 0+ 0 = 1 = 0 [ ] [ ] lim lim 0 0 ) = 1 lim lim 0 0 ) = 1 º½º¾ ¹ ½ lim ) 00) ) º

º ýº º½º¾ ¹ ½ ý º ø º 00) 2 2 ) + 2 Ú) + ) Ú) 3 2 2 + 2 ) 2 + 2 Ú) 1+) sin2 º º½º ý º½º¾ º º½º ¹ ½ µº ) Þ) R 2 R 3 0 0 ) 0 0 Þ 0 ) lim ) 00) ) = 0 0 ) lim Þ) 00Þ0) Þ) = 0 0 Þ 0 )

º½º¾ ¹ ½ º½º¾ ¹ ¾º º½º ¹ ½ ) = 2 2 + 2 ) 00) 0 ) = 00) 00) º½º¾ ¹ ½ [ ] [ ] lim lim 0 0 ) = 0 lim lim 0 0 ) = 0 º½º¾ ¹ ½ lim ) 00) ) = 0 º º½º ¹ ¾ ) = 2 2 + 2 ) 00) 0 ) = 00) 00)º º½º¾ ¹ ½ º½º ¹ ½ º º ý º þ ýº ¾ º º

½¼ º ýº º½º ¹ ½º ý 0 0 ) ± 0 0 ) º º½º ¹ ¾º ý 0 0 ) 0 0 ) 0 0 0 ) 0 0 ) 0 0 0 ) 1 0 0 ) 0 0 ) º º½º ¹ ½ º ø º ) sin+) Ú) ) ln 2 + 2 + Þ 2) Ú) ) + Ú) 2 + 2 + 1 cos 1 + º¾ º¾º½ º¾º½ ¹ ½ µº ô R 0 º { 0} ) 0) 0

½½ ¹ º º¾º½ ¹ ¾ µº ô Ë Ë R 2 R 3 0 0 ) Ë 0 0 Þ 0 ) ˺ 1 ÔÖØÐ ÖÚØÚµ 0 0 ) ¹ 0 0 Þ 0 ) 0 0 ) = 0 0 ) = 0 0 ) º¾º½ ¹ ½µ 0 + 0 ) 0 0 ) = lim 0 0 0 Þ 0 ) = 0 0 Þ 0 ) = 0 0 Þ 0 ) º¾º½ ¹ ¾µ 0 + 0 Þ 0 ) 0 0 Þ 0 ) = lim 0 º 421 1) 421 2) º µ = = 1 ÔÖØе = 1 = 0º 0 0) 0) = lim 0 ) 0) 0 ½µ º 1) 0 + ) 0) 0 + ) 0) 0) = lim = lim 0 0

½¾ º ýº º ø º ý 1 0 Ë 2 = 2 = 2 2 = ) º¾º½ ¹ µ 2 2 = = 2 = 2 º ø 3 4 ¹ = 3 = 3 3 = 2 2 = 4 = 4 4 = 3 3 = = 1 1 ) ) ) º¾º½ ¹ µ 421 5) 421 4) 421 1) 421 2) º = = = 2 = 3 2 = 2 3 2 = ) ) 2 ) 2 ºº º¾º½ ¹ µ º º º

½ º º¾º½ ¹ º¾º½ ¹ ½ µº ô R ) = Rº ) = 0 R º¾º½ ¹ ¾ µº ô º )+)) = )+ ) º º¾º½ ¹ µº ô º ))) = ))+ ) ) ø º )) = ) R º¾º½ ¹ ½ ¹ º¾º½ ¹ Rº º¾º½ ¹ º 0 0) 0 )+)) = )+ ) ý ) 1 = 0) ) 2 ) = 0 º¾º½ ¹ µº ô ) 0 º [ ] ) = )) ) ) ) 2 ) º¾º½ ¹ ½º ô = Û) 1 Û = ) 2 2) 1 1 2 ) = )) = )) 2º ô 0 2

½ º ýº º¾º½ ¹ ½º º¾º½ ¹ ½ µ ý ¹ º ø º µ µ ºº º¾º½ ¹ ½ 1 ) = 4 +4 5 ) Ø) = Ø 2 ln 2 +1 + 9 Ø 3 3 4 Þ) = 2 2 Þ 3 +sin) 0) = Û 0 0 = Û 0)º ) 2 0 2 ) = Û) ) = 0 Û 0 Û = 0 = 0 Û = Û 0 Ò ÖÙеº º¾º½ ¹ ½ 2 ) ) = Û 1 Û) = )) )) 2 ) = )) = )) ) ) = º¾º½ ¹ µ

½ º¾º½ ¹ ½ º» ½ ) ) 1 ) ¾ ) ) ) ln ) ) ) sin ) )cos ) cos ) )sin ) ) tan ) cos 2 ) cot ) ) sin 2 ) tan 1 ) ) 1+ 2 ) sin 1 ) ) 1 2 ) ½¼ cos 1 ) ) 1 2 ) ½½ sinh ) )cosh ) ½¾ cosh ) )sinh ) ½ ) [ ] tanh ) cosh 2 ) = ) 1 tanh 2 ) ½ coth ) ) [ ] sinh 2 ) = ) 1 coth 2 )

½ º ýº º = = ) 4 +4 12 5 = 4) + 1 1 2 2 1 ) {}}{ 4 +4 12 5 = 4 12) + 0 { }} ){ 4 12 5 = 4 3 0 { }} ){ 4 5 = 2 12 = [ ] 2 2 Þ 3 +sin) = 2 ) { }}){ 2 0 {}}{ 2 Þ 3) +[sin)] = 2 +) cos) = 2 + cos) = 2 ) [ ] { }}){ 2 2 Þ 3 +sin) = 2 Þ 3 2 ) { }}{ 2 Þ 3) +[sin)] = 2 2 Þ 3 +) cos) = 2 2 Þ 3 + cos) Þ = 0 2 Þ 3 ) Þ [ ] {}}){{}}{ 0 2 2 Þ 3 +sin) = 2 2 Þ 3) {}}{ [sin)] Þ + Þ = = 3 2 Þ 2 [ ) Ø 2 ln 2 +1 +9 Ø 3 43] = [ )] Ø 2 ln 2 +1 0 {}}{ +9 Ø 3) 43) º¾º½ ¹ ½ {[ }} )]{ = Ø 2 ln 2 +1 4 3 4 3 1 2 { = Ø 2 1 }} ){ 2 2 +1 4 +1 3 13 = 2 Ø2 2 +1 4 3 13 [ ) Ø = Ø 2 ln 2 +1 +9 Ø 3 43] Ø

½ = ln 2 +1)Ø 2 ) Ø 3 Ø [{}}{ 4 0 )] {}}{{ Ø 2 ln 2 +1 +9 Ø 3) }}{ 43) ) = 2 Ø ln 2 +1 27 Ø 4 Ø º¾º½ ¹ ¾ 1 2 º ø Þ) = + Þ 2 ) ) = + Þ 2 = + = 1 1 ) = {}}{{ }}{ ) + ) = 2 Þ) 2 = 1 = [ 1 ) ] = 1 0 {}}{ Þ 2) = 1 ) 1 ) = ) [ ] Þ) 1 ) = 1 {}}{{ }}{ 1 ) +1 ) ) = = 2) ) + Þ 2 = 2 = ) + 0 { }}{ Þ 2) = ) 2 {}}{ 1) = Þ = 2) ) + Þ 2 Þ = 2 {}} 3 { 2) = 2 3 0 { }} ){ = + Þ 2) = 2Þ Þ Þ

½ º ýº ÞÞ = 2Þ) Þ = 2 = 2 Þ) = ) Þ) = 2) = 1 ) 2 = 1 [ 2 ) + ) ] 1) = = 2 Þ) = [ ] 1 ) = = = ) Þ) Þ = Þ = 0 Þ = Þ = 0 1) 2 2 ý = 2 º º º¾º½ ¹ ¾ ËÛÖÞµº ô ) R 2 Ë 2 ˺ = ) Ë º¾º½ ¹ µ º¾º½ ¹ ô 10) º º ý = 3 Þ) 2 ) = + = ) Þ) 2 = ) ½µ ËÛÖÞ¹ÐÖÙØ µº

½ = = + ) [ ] +) 2 1 0+1 {}}{{}}{ ) +) = +) +) 2 = +) 2 1 [ = +) 2] {}}{ = 2 +) +) 2 1 = 2 +) 3 ½µ [ = 2 ] [ ] +) 3 = 2 +) 3 = 2 3+) 1 +) 3 1 {}}{{[ }}{ ) +) 3 +) 3] +) 6 10) = 22 ) +) 4 10) = 22 ) +) 4 = 22 1 0) 1+0) 4 = 4 º¾º½ ¹ ô Þ) = 2 + 2 + Þ 2) 12 º ½¼ º ô = [ 2 + 2 + Þ 2) 12 ] + + ÞÞ = 0 º¾º½ ¹ µ = 1 2 2 + 2 + Þ 2) 1 2 1 2 {}}{ 2 + 2 + Þ 2) ½¼ 421 8) ÄÔÐ ÄÔÐ ÕÙ¹ ØÓÒµ ýº ½ º ¹ ÅÛÐеº 421 8) º

¾¼ º ýº = 2 + 2 + Þ 2) 32 1 {}}{ = ) 2 + 2 + Þ 2) [ 32 2 + 2 + Þ 2) 32 ] = 2 + 2 + Þ 2) 32 3 2 2 {}}{ 2 + 2 + Þ 2) 3 2 1 2 + 2 + Þ 2) = 2 + 2 + Þ 2) 32 3 + 2 2 2 + 2 + Þ 2) 52 ½µ = 2 + 2 + Þ 2) 32 3 + 2 2 2 + 2 + Þ 2) 52 ¾µ = 2 + 2 + Þ 2) 32 3 + 2 Þ2 2 + 2 + Þ 2) 52 µ ½µ ¾µ µ 421 8)º ý ½º 1 2 ) ) 2 + cos ) sin Þ +cos ) + Ú) sin2 Þ +ln 2 + 2) ¾º ) = sin º º¾º¾ ½½ 0 ½½ þ ýº ¾ º º

¾½ 0 ) 0 0 ))º 0 ) = 0 ) 0 ) ) 0 0 ) 0 0 ) 0 0 )º ) º ³ 0 0 ) 0 0 ) º 0 0 )º ý ½¾ Þ = 0 0 )+ 0 0 ) 0 )+ 0 0 ) 0 ) º¾º¾ ¹ ½µ º¾º¾ ¹ ½ ) = 3+ 2 16 + 2 9 º ) = 3+ 2 16 + 2 9 0 0 ) = 43) 4 3) = 5 ) = 8 ) = 2 9 4 3) = 1 2 4 3) = 2 3 ½¾ º½º½ ¹ + + Þ = Þ Þ = ) = + + º

¾¾ º ýº º¾º¾ ¹ ½ º¾º¾ ¹ ½ 422 1) º º¾º¾ ¹ ½µ Þ = 5 1 2 +4)+ 2 3) 3 º¾º ) ) ) = ) ½ º¾º ¹ ½ ô ) Ë R 2 Þ) Ë R 3 Ë Ë ½ º

¾ Þ º ) = + º¾º ¹ ½µ Þ) = + + Þ Þ º¾º ¹ ¾µ ý ý º Ë 2 3 2 ) = 2 +2 + 2 º¾º ¹ µ 3 ) = 3 +3 2 +3 2 + 3 ºº º¾º ¹ µ ý 2 Þ) = 2 + 2 + ÞÞ Þ 2 º¾º ¹ µ +2 + Þ + Þ Þ) ºº º¾º ¹ ½ ô ) = 2 3 º = 2 3 = 3 2 2 423 1) ) = 2 3 +3 2 2 = 2 3) = 2 3 = 3 2 2) = 6 2 = ) = 3 2 2) = 6 2 423 2) 2 = 2 3 2 +6 2 +6 2 2

¾ º ýº 1 2 ) 3 + 3 ) ln 2 + 2 + Þ 2) ) ) tan 1 Þ Ú) Þ 2 º º¾º ý 421 6) º¾º½ ¹ ½ = ) = Ø) = Ø Ø ½ º º¾º ¹ ½ ô ) Ë R 2 Þ) Ë R 3 = Ø) = Ø) = Ø) = Ø) Þ = ÞØ) Ø R Ë Ø Ø) Ø)) Ø) Ø) ÞØ)) Ø º = Ø) Ø Ø) Ø Ø) Ø = + = Ø Ø + Ø = + + Þ Ø Ø Þ Ø Ø º¾º ¹ ½µ = + Ø + Ø Þ Þ Ø º¾º ¹ ¾µ Ò ÖÙе º ½ ¹ ýº ¾ º º

¾ º¾º ¹ ½ ô ) Ë R 2 = ) R ) º ) = + º¾º ¹ µ 424 1) º º¾º ¹ ½ Ø º ) = 2 2 = Ø 2 = 2Ø = = 2 2) = 2 2) = 2 { }}){ 2 2 0 {}}{ 2 { }}){{ }}{ 2 2) = 2) = 2 = 4 Ø 3 Ø 2) 2 2Ø = Ø 4 2Ø Ø = 2Ø Ø = 2 424 1) = 4 Ø Ø3 2 Ø+ ) ) Ø 4 4 Ø 2 = 2 Ø 5 Ø 3 4 º¾º ¹ ¾ ø Þ) = ln+ + Þ) = cos 2 Ø = sin 2 Ø Þ = Ø 2

¾ º ýº º ø = = Þ = Ø = 1 + + Þ 1 {}}{ + + Þ) = 1 + + = 1 Þ 1+Ø 2 ) cos 2 Ø = 2cos Øsin Ø Ø 424 2) 1 + + = 1 Þ cos Ø +sin 2 Ø+Ø 2 = 1 1+Ø 2 ) = sin 2 Ø = 2cos Øsin Ø Ø Ø = 1 2Ø 2cos Øsin Ø+2cos Øsin Ø+2Ø) = Ø 1+Ø2 1+Ø 2 Þ Ø = 2Ø º¾º ¹ ø ) ) = ln)+ 3 = cos 2 +1 º 424 5) = ln)+ 3) = ln)) + 0 {}}{ 3) = ln)+ = ln)+1 = ln)+ 3) = [ln)] + 3 2 {}}{ 3) = +3 2 ) = 2 sin 2 +1

¾ [ )] ) = ln cos 2 +1 +1 2 2 tan 2 +1 ) 6 sin 2 +1 cos 2 ) 2 +1 º¾º ¹ ½ ½ º¾º ¹ ¾ ô ) Ë R 2 = Ø) = Ø) Ø) R 2 Ë Ø) Ø) Ø)) Ø) º = Ø) Ø) = + º¾º ¹ µ Ø = + Ø Ø º¾º ¹ µ º¾º ¹ ô ) = 2 sin3 = 2 + Ø 2 = Ø Ø 2 Ø º º 424 4) 424 5) = 3 2 cos3 {}} ){ 2 sin3 1 2 2 +Ø 2 ) 1 2 1 2 {}}{ [ 2 + Ø 2) 12 ] 2 2 sin3 { }} ){ + 2 sin3 Ø {}}{ Ø Ø 2) = 3 2 cos3 2 + Ø 2 +2 Ø 2 sin3 ½ þ º

¾ º ýº = 2 Ø Ø2 ) 3 cos3 2 + Ø 2 +2 2 + Ø 2 Ø sin3 ) 2 + Ø 2 Ø = ) 2 sin3 1 2 2 +Ø 2 ) 1 2 1 2Ø {}}{ [ 2 + Ø 2) 12 ] Ø ) + 2 sin3 2Ø {}}{ Ø Ø 2) Ø = 3 Ø 2 cos3 2 + Ø 2 +2 2Ø) 2 sin3 = 2 Ø Ø2 ) 3 Ø cos3 2 + Ø 2 +2 2Ø) sin3 ) 2 + Ø 2 2 + Ø 2 º ½ º¾º ¹ ½ ÄÔе ô ) Ë R 2 Þ) Ë R 3 2 ) Ë Þ) ˺ ÄÔÐ 2 3 2 = 2 2 + 2 º¾º ¹ µ 2 2 = 2 2 + 2 2 + 2 º¾º ¹ µ Þ2 º¾º ¹ ½ Ö )µ ½ 2 = 2 2 + 2 2 = + º¾º ¹ µ ½ º ½ º

¾ º¾º ¹ ½ Ö ) º º¾º ¹ ½µº ½ º 424 4) 424 5) = Ö cos {}}{ Ö + sin {}}{ Ö = cos +sin Ö ½µ 2 Ö 2 = cos ) +sin Ö = cos ) +sin ) = cos 2 +sin Ö Ö Ö 2 Ö = cos ) +sin ) 421 2) Ö Ö 1) {}}{ = cos cos ) +sin +sin cos ½ Ö ) ½µ ) +sin = Öcos = Ösin Ö 0 [02) ]

¼ º ýº 2 = cos 2 2 +cos sin 2 2 +sin cos +sin2 2 2 = cos 2 2 +2 sin cos 2 +sin2 2 2 Ö 2 = cos2 2 2 +2 sin cos 2 +sin2 2 2 2 2 ¾µ ø ½µ = Ösin {}}{ + Öcos {}}{ = Ösin + Öcos µ µ 2 2 = Ö sin ) +cos ) { = Ö cos }} ){ sin + Ö sin +cos ) { }} ){ = Ö Ö = Ö [ cos sin Ö sin [ sin +cos Ö sin Ö {}}{ cos ) +sin +Ö 2 sin 2 2 2 Ö2 sin cos 2 2 Ö 2 sin cos 2 + Ö2 cos 2 2 )] + Ö cos )] + Ö cos

½ 2 = Ö 2 + Ö Ö2 sin 2 2 2 2sin cos 2 +cos2 2 2 ý ¾µ µ 2 Ö 2 + 1 2 Ö 2 2 = ) cos 2 +sin 2 2 2 ) + cos 2 +sin 2 2 2 1 Ö Ö ) µ = 2 2 + 2 2 1 Ö Ö ý µ 424 8) µ 2 = 2 Ö 2 + 1 + 1 Ö Ö Ö 2 2 º¾º ¹ µ 2 = 1 Ö ) Ö Ö Ö 2 + 1 Ö 2 2 2 º¾º ¹ ½¼µ ÄÔÐ º º¾º ¹ ¾µ ½ 2 2 2 = 2 Ö 2 + 1 + 1 Ö Ö Ö 2 2 + Þ 2 º º¾º ¹ ¾µ ¾¼ 2 = 1 Ö 2 Ö 2 ) 1 + Ö Ö Ö 2 sin ) sin ½ Ö Þ) = Öcos = Ösin Þ = Þ Ö 0 [02) ] Þ R ¾¼ Ö ) = Öcos sin = Ösin sin Þ = Öcos Ö 0 [0 ] [02) ]

¾ º ýº 1 + Ö 2 sin 2 2 2 z M M O y x M µ O µ º¾º ¹ ¾ µ Ö Þ) µ Ö ) º Ø µ ) = + 2 sin = Ø = Ø 2 µ ) = 2 = cosh Ø = sinh Ø + 2 µ Þ) = ln 2 + 2 + Þ 2) = Ø cos Ø = Ø sin Ø Þ = Ø Úµ Þ) = 2 + 2 + Þ 2) 12 = cos Ø = sin Ø Þ = غ ¾½ ¾½ ý º ýº º ¹ÑÐ ÖØ Ó ØØºÖ ÍÊÄ ØØÔ»»Ù Ö ºØغֻÖØ Ó»

þ ½ ýº ¾¼½½µ ýº ý ÁËÆ ß¼ß ½ßߺ ¾ ýº ¾¼¼¾µ ý ýº ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ߺ ÒÒ Êº ĺ ÓÖÒÓ º ʺ ¾¼¼µ ý ÁËÆ ß¼ß¾ß½ß½ º ÓÒ º ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÅØÑØ ¾¼¼µ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¼¼ßº ËÔРź ÏÖ Êº ¾¼¼µ ý ÁËÆ ¼ß½ß¼ßº ØØÔ»»ÒºÛÔºÓÖ»Û»ÅÒ È ØØÔ»»ÕÛÓÖкÔÑÒغÖÙ»ÒºØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖкÛÓÐÖѺÓÑ» ØØÔ»»ÓѺ ÔÖÒÖº»

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 2014. Αθανάσιος Μπράτσος. «Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ. Ενότητα 4: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος Ι». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2