Πάνω στον πίνακα έχουµε γραµµένο το γινόµενο 1 2 3 4 595. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο ένας µετά τον άλλο, διαγράφουν από έναν παράγοντα του γινοµένου αρχίζοντας από τον παίκτη Α. Νικητής αναδεικνύεται ένας από τους δύο παίκτες όταν µετά τη διαγραφή ενός παράγοντα το γινόµενο των αριθµών που αποµένουν δεν είναι αριθµός διαιρετός από το 17. Αλλιώς έχουµε ισοπαλία. Να βρείτε αν ο παίκτης Β µπορεί να καταστρώσει στρατηγική νίκης. Στο τραπέζι υπάρχουν 99 κέρµατα του 1. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο Α παίζει πρώτος και παίρνει ένα ή δύο κέρµατα. Ο Β, που παίζει µετά από τον Α, έχει δικαίωµα να πάρει ένα ή δύο κέρµατα επίσης. Εκείνος που παίρνει τα τελευταία είναι ο νικητής. Να εξετάσετε αν ο παίκτης Β έχει δυνατότητα να καταστρώσει στρατηγική νίκης. 186

Έχουµε τρία διαφορετικά πιάτα. Στο πρώτο υπάρχουν ορισµένα διαφορετικά κέρµατα τοποθετηµένα το ένα πάνω στο άλλο από το µεγαλύτερο προς το µικρότερο. Στόχος του παιχνιδιού είναι να µεταφέρουµε τα κέρµατα στο τρίτο πιάτο τοποθετηµένα όπως ήταν αρχικά χρησιµοποιώντας το µεσαίο πιάτο προσωρινά. Ο παίκτης Α έχει το πλεονέκτηµα να παίξει πρώτος και ο Β να διαλέξει πόσα κέρµατα θα τοποθετηθούν στο πρώτο πιάτο. Βρείτε αν ο παίκτης Β έχει στρατηγική νίκης. Προσοχή: Ούτε προσωρινά επιτρέπεται να βρεθεί µικρότερο κέρµα κάτω από µεγαλύτερο. Σχόλιο: Εµπνευσµένο από τους πύργους του Ανόι. του Lucas 1861. 187

Στον πίνακα είναι γραµµένοι όλοι οι ακέραιοι αριθµοί από το 1 έως το 500. ύο µαθητές Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Με τη σειρά ο ένας µετά τον άλλο διαγράφουν από έναν αριθµό. Το παιχνίδι τελειώνει όταν στον πίνακα αποµείνουν δύο αριθµοί. Νικητής είναι ο Β αν το άθροισµα των αριθµών που αποµένουν διαιρείται µε το 3, διαφορετικά είναι νικητής ο Α. Αν ο Α παίζει πρώτος, ο Β έχει στρατηγική νίκης; Ελληνική Μαθηµατική Ολυµπιάδα Αρχιµήδης 2001 Μεγάλοι 188

ιαγωνισµός Ευκλείδης της ΕΜΕ Β, Γ Λυκείου 2001 ύο µαθητές παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Πάνω σε ένα κύκλο δίνονται 100 διαφορετικά σηµεία και οι δύο µαθητές διαδοχικά ο ένας µετά τον άλλο γράφουν µια χορδή, διαφορετική κάθε φορά, µε άκρα δύο οποιαδήποτε από τα 100 δεδοµένα σηµεία. Το παιχνίδι τελειώνει όταν καθένα από τα 100 σηµεία χρησιµοποιηθεί ως άκρο χορδής µία τουλάχιστον φορά. Νικητής είναι ο µαθητής ο οποίος θα γράψει τη χορδή µε την οποία τελειώνει το παιχνίδι. Αν ο µαθητής Α αρχίσει πρώτος, ποιος από τους δύο µαθητές έχει στρατηγική νίκης; 189

Για να φτιάξω πορτοκαλί χρώµα χρησιµοποιώ 3 µέρη κόκκινο και 2 µέρη κίτρινο χρώµα, ενώ για να φτιάξω πράσινο χρησιµοποιώ 2 µέρη κίτρινο και 1 µέρος µπλε χρώµα. Τρεις παίκτες, οι Α, Β, Γ, διαλέγουν από ένα χρώµα. Νικητής είναι αυτός που θα διαλέξει το µπλε χρώµα όταν στις ποσότητες που φτιάχνουµε από τα δύο χρώµατα χρησιµοποιούµε ίση ποσότητα από το κόκκινο και το κίτρινο χρώµα, ενώ νικητής για τα άλλα δύο χρώµατα είναι αυτού το χρώµα που χρησιµοποιείται σε µεγαλύτερη ποσότητα. Να βρείτε: Τις περιπτώσεις που νικητής είναι αυτός που επέλεξε (α) το κίτρινο, (β) το µπλε, (γ) το κόκκινο χρώµα. Ποιος είναι ο νικητής όταν παρασκευάζεται τριπλάσια ποσότητα πορτοκαλί χρώµα από το βυσσιν και αντιστρόφως; Ποιος είναι ο νικητής όταν φτιάξουµε πράσινο χρώµα ίσο µε το 30% του πορτοκαλί; 190

Στο παρακάτω σχήµα βάλτε σε καθένα από τους 9 χώρους που δηµιουργούνται αριθµούς από το 1 µέχρι το 9, από µια φορά τον καθένα, ώστε οι κύκλοι να περιέχουν αριθµούς µε το ίδιο άθροισµα. Νικητής είναι αυτός που πετυχαίνει το µεγαλύτερο άθροισµα. Κάντε στρατηγική και βρείτε τον συνδυασµό της νίκης. Γράφουµε τους µονοψήφιους θετικούς ακέραιους στη σειρά ως εξής 1_2_3_4_5_6_7_8_9. Κατόπιν στα κενά συνεχίζουµε να γράφουµε τους αριθµούς 10, 11, 12 και στην πάνω σειρά και στην κάτω. Αυτό συνεχίζεται µέχρι να φτάσουµε και πάνω και κάτω σε έναν αριθµό. Έτσι σχηµατίζεται ένας ρόµβος µε αριθµούς. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι: ιαγράφουν πρώτα ο Α και µετά ο Β από έναν αριθµό. 191

Νικητής αναδεικνύεται όταν αποµείνουν δύο αριθµοί και νικάει ο Α αν το άθροισµα τους διαιρείται µε το 3, ενώ στην άλλη περίπτωση ο Β. Ο νικητής παίρνει τόσα ευρώ όσα είναι το άθροισµα που παραµένει. Να βρείτε αν ο Β έχει στρατηγική νίκης και το κέρδος του νικητή. Κάποιος παίκτης παίζει στο καζίνο µε τον γκρουπιέρη το εξής παιχνίδι για 21 φορές. Ο παίκτης δίνει 1 και παίρνει από τον γκρουπιέρη 50000 συν το ποσό σε χιλιάδες από τα 2 ζάρια που ρίχνει ο παίκτης. Την επόµενη φορά ο παίκτης διπλασιάζει το ποσό συµµετοχής δηλαδή δίνει 2 και ο γκρουπιέρης 50000 συν το ποσό σε χιλιάδες από τα 2 ζάρια που ρίχνει ο παίκτης. Αυτό θα συνεχιστεί µέχρι και την 21 η φορά που τελειώνει το παιχνίδι. Βρείτε ποιος είναι ο χαµένος του παιχνιδιού και ποιο είναι το ελάχιστο ή µέγιστο χάσιµο. 192

Τέσσερα παιδιά παίζουν ένα παιχνίδι και συµφωνούν ότι όποιος χάνει διπλασιάζει τα χρήµατα των υπολοίπων. Έπαιξαν 4 παιχνίδια, έχασε ο καθένας από µία φορά και στο τέλος βρέθηκε όλοι να έχουν από 32. α) Πόσα χρήµατα είχε αρχικά ο καθένας; β) Ποιος είναι ο πιο κερδισµένος; γ) Πόσα χρήµατα πρέπει να έχει τουλάχιστον αυτός που χάνει πρώτος; Ένα τραπέζι χωράει από την µία άκρη στην άλλη ακριβώς 25 ντόµινο. Ο Κώστας, ο ηµήτρης, η Άννα και η Ειρήνη ετοιµάζονται να παίξουν το εξής παιχνίδι. Τοποθετούν ανάποδα 13 ντόµινο όπου στο 1 ο το άθροισµα των τελειών είναι 12, στο 2 ο 11, στο 3 ο 10,..., στο 12 ο 1 και στο 13 ο 0. Στο τραπέζι υπάρχουν και άλλα 12 ντόµινο σκεπασµένα και τοποθετηµένα δεξιά από τα προηγούµενα 13. Όταν παίζει ο Κώστας αποµακρύνεται από το τραπέζι και οι υπόλοιποι 3 µετακινούν ορισµένα (έως 12) από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή. 193

Κατόπιν φωνάζουν τον Κώστα να βρει πόσα µετακίνησαν. Αν το έβρισκε κατέγραφε στο όνοµά του τους πόντους αυτούς. Νικητής ήταν αυτός που συγκέντρωνε πρώτος 100 πόντους. Νικητής µε διαφορά αναδείχτηκε ο Κώστας. Οι υπόλοιποι είχαν την εξής απορία: Πως ο Κώστας έβρισκε κάθε φορά πόσα πιόνια µετακινούσαν οι υπόλοιποι. Ποια ήταν άραγε η στρατηγική νίκης του Κώστα που φυσικά του πρόσφεραν τα Μαθηµατικά; Η Άννα και η Κική παίζουν το εξής παιχνίδι. Αδειάζουν στο τραπέζι ένα κουτί σπίρτα και παίρνουν διαδοχικά 1 ή 2 ή 3 σπίρτα. Χάνει το παιχνίδι αυτή που παίρνει το τελευταίο σπίρτο. Έπαιξαν δύο παιχνίδια. Στο πρώτο παίζει πρώτη η Κική και στο δεύτερο παίζει πρώτη η Άννα. Να βρείτε τη στρατηγική νίκης που πρέπει να κάνει µία από τις δύο παίκτριες είτε παίζει πρώτη είτε δεύτερη. 194

Μετά το 1 ο παιχνίδι η Άννα ζητάει να κερδίζει αυτός που σηκώνει το τελευταίο σπίρτο µε την ελπίδα να κερδίσει. Όµως η Κική µετατρέπει την στρατηγική της και καταφέρνει πάλι να κερδίσει. ΣΧΟΛΙΟ: Μετά από αυτά τα 4 παιχνίδια η Άννα κατάλαβε τη στρατηγική της Κικής και ζήτησε να ξαναπαίξουν. Η Κική ακούγοντας την Άννα να αναφωνεί «Α! τώρα κατάλαβα», τι λέτε, δέχτηκε να παίξει; Ποια είναι η εξέλιξη του παιχνιδιού όταν και οι δύο παίκτες εφαρµόζουν την ίδια στρατηγική; ύο παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι. Όταν παίζει ο παίκτης Α του λέει έναν αριθµό ο παίκτης Β και τότε ο Α αν είναι άρτιος παίρνει το µισό του στη συνέχεια αν είναι περιττός παίρνει το τριπλάσιό του αυξηµένο κατά 1 έως ότου καταλήξει σε µονοψήφιο αποτέλεσµα. Αν ο αριθµός είναι περιττός ακολουθείται η ίδια διαδικασία. Το ίδιο συµβαίνει όταν παίζει ο παίκτης Β. Ο παίκτης Β προτείνει στον Α να παίξουν διαλέγοντας αυτός έναν µονοψήφιο και για όλους τους άλλους να κερδίζει ο Α. Ο Α χωρίς καν να το σκεφτεί είδε ότι είχε πολλές περισσότερες πιθανότητες να κερδίσει. Παίξτε το παιχνίδι και διαπιστώστε αν ο Β είχε κάποια στρατηγική. 195