P( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2!

Transcript

1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Φροντιστήριο στη Συνδυαστική (#8) Άσκηση 1 Με πόσους τρόπους µπορούµε να δηµιουργήσουµε συµβολοσειρές που αποτελούνται από τρεις παύλες και δύο τελείες; Άσκηση 1, 1 η προσέγγιση Με πόσους τρόπους µπορούµε να δηµιουργήσουµε συµβολοσειρές που αποτελούνται από τρεις παύλες και δύο τελείες; Αρκεί να βρω µε πόσους τρόπους µπορώ να επιλέξω 5 αντικείµενα από ένα σύνολο 5 αντικειµένων όπου 3 από αυτά είναι ίδια (παύλες) και τα άλλα 2 είναι επίσης ίδια (τελείες). Εποµένως: P( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2! = 1 2 Άσκηση 1, 2 η προσέγγιση t Με πόσους τρόπους µπορούµε να δηµιουργήσουµε συµβολοσειρές που αποτελούνται από τρεις παύλες και δύο τελείες; Αρκεί να βρω πόσα διαφορετικά υποσύνολα πληθικού αριθµού 3 έχει ένα σύνολο 5 θέσεων (σε αυτές θα βάλω τις παύλες). Εποµένως, 5! C (5,3) = = 10 3! 2! Προσέξτε ότι δεν κάνει διαφορά το να βρω πόσα διαφορετικά υποσύνολα πληθικού αριθµού 2 έχει ένα σύνολο 5 θέσεων (για να βάλω σε αυτές τις τελείες), επειδή, όπως έχουµε δει: 5! 5! C(5,3) = = 10 = = C(5, 2) 3! 2! 2! 3! Αφού γενικά, C( n, k) = C( n, n k) Άσκηση 2 Έστω µία τάξη 100 φοιτητών. (α) Με πόσους τρόπους µπορεί να σχηµατιστεί µία επιτροπή µε 10 µέλη;

2 Άσκηση 2, λύση Έστω µία τάξη 100 φοιτητών. (α) Με πόσους τρόπους µπορεί να σχηµατιστεί µία επιτροπή µε 10 µέλη; Αυτό είναι ένα πρόβληµα επιλογής 10 από 100 αντικείµενα. Συνεπώς η λύση είναι C(100,10)=100!/(10!90!)= β) Έστω ότι η τάξη έχει 40 αγόρια και 60 κορίτσια. Επαναλάβετε το (α) αν πρέπει να υπάρχουν ίσοι αριθµοί αγοριών και κοριτσιών στην 10-µελή επιτροπή. Άσκηση 2, λύση β) Έστω ότι η τάξη έχει 40 αγόρια και 60 κορίτσια. Επαναλάβετε το (α) αν πρέπει να υπάρχουν ίσοι αριθµοί αγοριών και κοριτσιών στην 10-µελή επιτροπή. Πρέπει να επιλέξουµε 5 αγόρια από τα 40 και 5 κορίτσια από τα 60. Υπάρχουν C(40,5) τρόποι να επιλέξουµε τα αγόρια και C(60,5) τρόποι να επιλέξουµε τα κορίτσια. Εφόσον θα πραγµατοποιήσουµε και τα δύο πειράµατα, εφαρµόζουµε τον κανόνα του γινοµένου. Άρα ο συνολικός αριθµός των τρόπων για να σχηµατίσουµε την επιτροπή είναι: C(40,5)xC(60,5)=40!/(5!35!)x60!/(5!55!)= x = Άσκηση 2, συνέχεια γ) Επαναλάβατε το (α) αν η επιτροπή πρέπει να αποτελείται είτε από 6 αγόρια και 4 κορίτσια, είτε από 4 αγόρια και 6 κορίτσια. Άσκηση 2, λύση γ) Επαναλάβατε το (α) αν η επιτροπή πρέπει να αποτελείται είτε από 6 αγόρια και 4 κορίτσια, είτε από 4 αγόρια και 6 κορίτσια. Ας ονοµάσουµε ως πρώτο πείραµα το σχηµατισµό της επιτροπής από 6 αγόρια και 4 κορίτσια. Πρέπει να επιλέξουµε 6 αγόρια από τα 40 και 4 κορίτσια από τα 60. Άρα ο συνολικός αριθµός των τρόπων για να σχηµατίσουµε την επιτροπή είναι: C(40,6)xC(60,4)=40!/(6!34!)x60!/(4!56!)= x = Ας ονοµάσουµε ως δεύτερο πείραµα το σχηµατισµό της επιτροπής από 4 αγόρια και 6 κορίτσια. Πρέπει να επιλέξουµε 4 αγόρια από τα 40 και 6 κορίτσια από τα 60. Άρα ο συνολικός αριθµός των τρόπων για να σχηµατίσουµε την επιτροπή είναι: C(40,4)xC(60,6)=40!/(4!36!)x60!/(6!54!)= x = Το συνολικό πλήθος ενδεχοµένων προκύπτει από τον κανόνα του αθροίσµατος και είναι =

3 Άσκηση 3 Πόσοι τριψήφιοι δεκαδικοί αριθµοί - εν περιέχουν το ίδιο ψηφίο τρεις φορές; - Είναι περιττοί αριθµοί; - Περιέχουν τουλάχιστον δύο φορές το 9; Άσκηση 3, λύση Το συνολικό πλήθος τριψήφιων δεκαδικών είναι Από αυτούς, 10 περιέχουν το ίδιο ψηφίο τρεις φορές οι 000, 111, 222,..., 999. Εποµένως, η απάντηση είναι = 990. Υπάρχουν 5 περιττοί µονοψήφιοι στα 10 δυνατά ψηφία. Εποµένως, οι µισοί τριψήφιοι είναι περιττοί αριθµοί: 10 3 / 2 = πειράµατα: 1ο ψηφίο διάφορο του 9 και τα άλλα δύο 9 ή 2ο ψηφίο διάφορο του 9 και τα άλλα δύο 9 ή 3ο ψηφίο διάφορο του 9 και τα άλλα δύο 9 ή και τα τρία ψηφία 9: Εποµένως = 28. Άσκηση 4 Πόσες αµφιµονοσήµαντες συναρτήσεις υπάρχουν από ένα σύνολο 5 στοιχείων σε ένα σύνολο 1. 4 στοιχείων; 2. 5 στοιχείων; 3. 6 στοιχείων; 4. 7 στοιχείων; Άσκηση 4, λύση 1, 3, 4: καµία, για να υπάρχει αµφιµονοσήµαντη συνάρτηση πρέπει το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών να έχουν τον ίδιο πληθικό αριθµό. 2: 5! = 120, το πλήθος των µεταθέσεων 5 διαφορετικών στοιχείων. Άσκηση 5 Πόσες µεταθέσεις των γραµµάτων A,B,C,D,E,F,G περιέχουν 1. το string BCD; 2. το string CFGA; 3. τα strings BA και GF;

4 4. τα strings ABC και DE; 5. τα strings ABC και CDE; 6. τα strings CBA και BED; Άσκηση 5, λύση Θεωρείστε ένα σύνολο από strings M = {A, E, F, G, BCD}. Σηµειώστε ότι το σύνολο των µεταθέσεων των γραµµάτων ABCDEFG τα οποία περιλαµβάνουν το string BCD είναι ίσο µε το σύνολο των µεταθέσεων των στοιχείων του M. εδοµένου ότι το M περιλαµβάνει 5 στοιχεία, η απάντηση είναι 5! = 120. Θεωρείστε το σύνολο M = {B, D, E, CFGA}. Κατ αναλογία µε το προηγούµενο ερώτηµα, η απάντηση είναι 4! = 24. Θεωρείστε M = {C, D, E, BA, GF}. Η απάντηση είναι 5! = 120. Θεωρείστε M = {ABC, DE, F, G}. Η απάντηση είναι 4! = 24. Τα strings ABC και CDE µπορούν να είναι ταυτόχρονα µέρος της µετάθεσης µόνο αν αυτή περιλαµβάνει ολόκληρο το string ABCDE (το γράµµα C µπορεί να εµφανίζεται µόνο µία φορά!). Θεωρείστε M = {ABCDE, F, G}. Η απάντηση είναι 3! = 6. εν υπάρχει τέτοια µετάθεση! Το Β µπορεί να εµφανίζεται µόνο µία φορά. Η απάντηση είναι 0. Άσκηση 6 Με πόσους τρόπους µπορεί κανείς να ταξιδέψει στον τρισδιάστατο χώρο από το σηµείο (0,0,0) στο σηµείο (4,3,5) κάνοντας πάντοτε βήµα µιας µονάδας είτε στον θετικό άξονα των X, είτε στον θετικό άξονα των Y, είτε στον θετικό άξονα των Z; (κίνηση προς τα πίσω δεν επιτρέπεται!) Άσκηση 6, λύση Πρέπει να κάνουµε - 4 βήµατα στην Χ κατεύθυνση, - 3 βήµατα στην Υ κατεύθυνση και - 5 βήµατα στην Ζ κατεύθυνση, δηλαδή ένα σύνολο 12 βηµάτων. Υπάρχουν C(12,4) τρόποι να επιλεχθούν ποια από τα 12 βήµατα θα είναι στην Χ κατεύθυνση. Όταν αυτά επιλεχθούν, υπάρχουν C(8,3) τρόποι να επιλεγούν ποια από τα εναποµείναντα 8 βήµατα θα είναι στην Υ κατεύθυνση. Τα 5 βήµατα που αποµένουν θα πρέπει να γίνουν στην Ζ κατεύθυνση. Εποµένως, η απάντηση είναι C(12,4) * C(8,3) = 27,720.

5 Άσκηση 7 Σε ένα γάµο ο φωτογράφος θέλει να βγάλει τις καθιερωµένες φωτογραφίες. Το σύνολο των ανθρώπων που θα συµµετάσχουν σε αυτές είναι 10 (συµπεριλαµβανοµένων της νύφης και του γαµπρού). Από αυτούς, σε κάθε φωτογραφία αποφάσισε να συµµετέχουν ακριβώς 6 οι οποίοι µπαίνουν στη σειρά. Πόσες διαφορετικές φωτογραφίες µπορούν να βγουν εάν 1. η νύφη πρέπει να είναι στη φωτογραφία 2. και η νύφη και ο γαµπρός πρέπει να είναι στη φωτογραφία 3. είτε η νύφη είτε ο γαµπρός πρέπει να είναι στη φωτογραφία αλλά όχι και οι δύο. Άσκηση 7, λύση 1. η νύφη πρέπει να είναι στη φωτογραφία Ξέρουµε ότι η νύφη πρέπει να είναι στη φωτογραφία. Εποµένως, πρέπει να επιλεγούν οι υπόλοιποι 5 της φωτογραφίας από τους εναποµείναντες 9 του συνόλου. Υπάρχουν P(9,5) = 9*8*7*6*5 = 9! / (9-5)! = διατάξεις αυτών των ανθρώπων. Επιπρόσθετα, η νύφη µπορεί να είναι σε οποιαδήποτε θέση στη φωτογραφία, δηλαδή Ν X X X X X X Ν X X X X X X Ν X X X X X X Ν X X X X X X Ν X X X X X X Ν εποµένως έχουµε 6 * = τρόπους. 2. και η νύφη και ο γαµπρός πρέπει να είναι στη φωτογραφία Θεωρώ τα εξής πειράµατα: 1. Επιλέγω τις 4 από τις 6 θέσεις. 2. Επιλέγω τους 4 από τους 8 ανθρώπους που θα µπουν σε αυτές τις θέσεις. 3. Στις υπόλοιπες δύο θέσεις βάζω την νύφη και τον γαµπρό. Το (1) µπορεί να γίνει µε C(6, 4)=5*6/2= 30 τρόπους Το (2) µπορεί να γίνει µε P(8, 4)=5*6*7*8= 1680 τρόπους Το (3) µπορεί να γίνει µε 2 τρόπους. Άρα έχουµε 15*1680*2=50400 τρόπους. 3. είτε η νύφη είτε ο γαµπρός πρέπει να είναι στη φωτογραφία αλλά όχι και οι δύο

6 Από το (1) έχουµε φωτογραφίες µε την νύφη και οποιαδήποτε άλλα 5 άτοµα. Σε αυτά περιλαµβάνεται και ο γαµπρός. Αντίστοιχα έχουµε φωτογραφίες µε το γαµπρό, και οποιαδήποτε άλλα 5 άτοµα. Σε αυτά περιλαµβάνεται και η νύφη. Από το (2), έχουµε φωτογραφίες και µε τη νύφη και µε το γαµπρό. Αυτές πρέπει να τις αποκλείσουµε και µάλιστα να τις αφαιρέσουµε 2 φορές, γιατί έχουν προστεθεί 2 φορές! Άρα, = ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ: Αν επιλεγεί η νύφη, στις υπόλοιπες 5 θέσεις µπορούν να µπουν 8 άτοµα (εξαιρούµε τον γαµπρό). Άρα, υπάρχουν P(8, 5) = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 = 6720 επιλογές. Επειδή η νύφη µπορεί να τοποθετηθεί οπουδήποτε, το πλήθος των δυνατών φωτογραφιών είναι 6 * 6720 = Ανάλογα, υπάρχουν διαφορετικές φωτογραφίες µε τον γαµπρό, χωρίς τη νύφη. Άρα συνολικά έχουµε =80640 δυνατές φωτογραφίες. Άσκηση 8 Έστω ότι έχουµε έξι αριθµηµένα κουτιά, τα 1, 2, 3, 4, 5 και 6. Σε κάθε κουτί βάζουµε είτε µια πράσινη είτε µια κόκκινη µπάλα µε την προϋπόθεση ότι τουλάχιστον σε ένα κουτί τοποθετούµε πράσινη µπάλα και ότι τα κουτιά στα οποία βάζουµε πράσινες µπάλες πρέπει να έχουν διαδοχική αρίθµηση. Με πόσους τρόπους µπορούµε να το κάνουµε αυτό; Άσκηση 8, λύση Εάν µόνο ένα κουτί έχει πράσινη µπάλα, αυτό µπορεί να είναι οποιοδήποτε και άρα µπορούµε να κάνουµε την τοποθέτηση µε 6 τρόπους. Εάν δύο από τα κουτιά έχουν πράσινη µπάλα τότε υπάρχουν 5 συνεχόµενα ζευγάρια κουτιών. 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6. Όµοια, αν 3 κουτιά έχουν πράσινες µπάλες, υπάρχουν 4 επιλογές. Όµοια, αν 4 κουτιά έχουν πράσινες µπάλες, υπάρχουν 3 επιλογές. Όµοια, αν 5 κουτιά έχουν πράσινες µπάλες, υπάρχουν 2 επιλογές. Όµοια, αν 6 κουτιά έχουν πράσινες µπάλες, υπάρχει 1 επιλογή. Εποµένως, το σύνολο των διαφορετικών επιλογών είναι = 21. Άσκηση 9 Σε ένα παιχνίδι µε χαρτιά, το bridge, τέσσερις παίκτες µοιράζονται τα 52 χαρτιά µιας τράπουλας. Όπως ξέρουµε, η τράπουλα αποτελείται από τέσσερα χρώµατα (σπαθιά, καρό, µπαστούνια και κούπες) καθένα από τα οποία έχει 13 φιγούρες (1, 2, 3,..., 10, βαλές, ντάµα, ρήγας).

7 1. Πόσες 13άδες µπορούν να οριστούν; 2. Πόσες 13άδες αποτελούνται από 5 κούπες, τέσσερα καρό και τέσσερα σπαθιά; 3. Πόσες 13άδες αποτελούνται αποκλειστικά από σπαθιά και µπαστούνια; Άσκηση 9, λύση 1. (από τα 52 χαρτιά, διάλεξε 13) 2. (από τις 13 κούπες διάλεξε 5, από τα 13 καρό διάλεξε 4 και από τα 13 σπαθιά διάλεξε τέσσερα) 3. (διάλεξε 13 χαρτιά από το σύνολο των 26 χαρτιών που είναι σπαθιά ή µπαστούνια) Άσκηση 10 Πόσες διαφορετικές λέξεις µπορούµε να δηµιουργήσουµε µε αναγραµµατισµούς της λέξης «ΚΑΤΑΚΑΘΙ»; Άσκηση 10, λύση Το πλήθος δίνεται από τη σχέση P(n, k)/(q1!q2! qt!) όπου n = 8, k=8, t=5, q1=3, q2=2, q3=1, q4=1, q5=1. Αυτό γιατί θέλουµε να φτιάξουµε λέξεις µήκους n=8 γραµµάτων (όσο και το πλήθος των γραµµάτων της λέξης ΚΑΤΑΚΑΘΙ) και στη διάθεσή µας έχουµε k=5 διαφορετικά γράµµατα (Α, Κ, Τ, Θ, Ι), καθένα από τα οποία επαναλαµβάνεται q1=3, q2=2, q3=1, q4=1 και q5=1 φορές, αντίστοιχα. Άρα το πλήθος είναι 8!/(3!*2!*1!*1!*1!) = 3!*4*5*6*7*8/(3!*2) = 2*5*6*7*8=3,360 Άσκηση 11 Οι κάτοικοι έξι σπιτιών που είναι διαδοχικά σε ένα δρόµο αποφάσισαν να τα βάψουν σε αποχρώσεις του κόκκινου, πράσινου, µπλε και κίτρινου. Πόσες διαφορετικές επιλογές έχουν 1. εάν θέλουν να αποφύγουν να βάψουν δύο διαδοχικά σπίτια µε το ίδιο χρώµα 2. εάν θέλουν ακριβώς τρία σπίτια να είναι κίτρινα αλλά κανένα άλλο χρώµα να µην επαναληφθεί. Άσκηση 11, λύση 1. 4*3*3*3*3*3 = 972

8 2. Άσκηση 12 Μία γυναίκα έχει 11 καλούς φίλους από τους οποίους οι έξι είναι επίσης γυναίκες. (α) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορεί να καλέσει τρεις ή περισσότερους σε ένα πάρτυ; (β) Με πόσους τρόπους µπορεί να καλέσει τρεις ή περισσότερους στο πάρτυ, αν απαιτεί να παρευρίσκονται ίσα πλήθη ανδρών και γυναικών; (συµπεριλαµβανοµένου και του εαυτού της). Άσκηση 12, λύση (α) 1 ος τρόπος Ο αριθµός των τρόπων µε τους οποίους µπορούν να επιλεγούν m αντικείµενα από ένα πλήθος n διαφορετικών αντικειµένων είναι C(n, m). Εποµένως, το πλήθος των τρόπων µε τους οποίους µπορούν να επιλεγούν τρεις ή περισσότεροι προσκεκληµένοι από ένα σύνολο 11 διαφορετικών ανθρώπων είναι (α) 2 ος τρόπος Ο αριθµός των τρόπων µε τους οποίους µπορούν να προσκληθούν τρεις ή περισσότεροι είναι ίσος µε όλους τους τρόπους που µπορούν να γίνουν οι προσκλήσεις µείον τους τρόπους µε τους οποίους µπορούν να γίνουν προσκλήσεις κανενός, ενός και δύο ατόµων, δηλαδή, (β) Κατ αρχάς, δεν µπορεί να κληθεί άρτιος αριθµός ατόµων γιατί τότε, αν συµπεριληφθεί και η οικοδέσποινα, θα έχουµε περιττό πλήθος παρευρισκοµένων και εποµένως δεν µπορεί να έχουµε ίσο πλήθος ανδρών και γυναικών. Εποµένως, µπορούν να προσκληθούν 5 άνδρες και 4 γυναίκες, ή 4 άνδρες και 3 γυναίκες, ή 3 άνδρες και 2 γυναίκες, ή 2 άντρες και 1 γυναίκα. Ένας άντρας και καµία γυναίκα δεν µπορούν να προσκληθούν γιατί τότε το συνολικό πλήθος προσκεκληµένων θα είναι µικρότερο από 3 άτοµα. Με βάση τα παραπάνω, το ζητούµενο πλήθος τρόπων είναι: