ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

Transcript

1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

2

3 3

4 4

5 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι 30. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω ενδεχόμενα: Α: Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΑΣΠΡΗ Κ: Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΚΟΚΚΙΝH Π: Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ α) i) Να βρείτε την πιθανότητα του κάθε ενός από τα ενδεχόμενα Α, Κ. ii) Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου Π είναι ίση με 0,1. β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου A : Η μπάλα που επιλέγουμε ΔΕΝ είναι ΑΣΠΡΗ Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 10, οι κόκκινες είναι 1, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι 30. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω ενδεχόμενα: Α: Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΑΣΠΡΗ Κ: Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΚΟΚΚΙΝH Π: Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ α) i) Πόσες είναι οι πράσινες μπάλες; ii) Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου Κ είναι ( ) 0,4 και να 5 βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου A. β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου A : Η μπάλα που επιλέγουμε ΔΕΝ είναι ΑΣΠΡΗ Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και μαύρες μπάλες. Οι άσπρες είναι 9, οι κόκκινες είναι 1, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι 30. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω ενδεχόμενα: Α: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΑΣΠΡΗ K: η μπάλα που επιλέγουμε είναι KOKKINH 9 α) Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου Α είναι ( ) 0,3 και να 30 βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Κ. (Μονάδες 1) β) i) Να γράψετε στην γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο Η μπάλα που επιλέγουμε ΔΕΝ είναι ΑΣΠΡΗ. (Μονάδες 6) ii) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Η μπάλα που επιλέγουμε ΔΕΝ είναι ΑΣΠΡΗ. (Μονάδες 7) 5

6 .539 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 15, οι μαύρες είναι 10, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι 30. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω ενδεχόμενα: Α: Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΑΣΠΡΗ Κ: Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΜΑΥΡΗ Π: Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ α) Να βρείτε την πιθανότητα του καθενός από τα ενδεχόμενα Α, Μ και Π. (Μονάδες 1) β) Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου Α : Η μπάλα που επιλέγουμε ΔΕΝ είναι ΑΣΠΡΗ είναι P(Α ) = 0,5. (Μονάδες 13).5714 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και μαύρες μπάλες. Οι άσπρες είναι 15, οι κόκκινες είναι 6 και οι μαύρες μπάλες είναι 9. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω ενδεχόμενα: Α: Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΑΣΠΡΗ Κ: Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΚΟΚΚΙΝH Μ: Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΜΑΥΡΗ α) Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου M είναι P (M ) = 0,3 και να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου K. (Μονάδες 1) β) i) Να γράψετε στην γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΜΑΥΡΗ ή ΚΟΚΚΙΝΗ. (Μονάδες 7) ii) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΜΑΥΡΗ ή ΚΟΚΚΙΝΗ. (Μονάδες 6).5760 Σε μια σχολική εκδρομή δόθηκαν στους μαθητές να έχουν μαζί τους για το πρόγευμά τους ένα φαγώσιμο προϊόν και ένας χυμός. Οι μαθητές είχαν να διαλέξουν μεταξύ των παρακάτω. Από φαγώσιμα: τυρόπιτα (Τ) ή σπανακόπιτα (Σ) ή κρουασάν (Κ). Από χυμούς: πορτοκαλάδα (Π) ή λεμονάδα (Λ). Κάθε μαθητής διάλεξε ένα φαγώσιμο και έναν χυμό. Για παράδειγμα ένας μαθητής μπορεί να διαλέξει ΣΛ, δηλαδή σπανακόπιτα και λεμονάδα. α) i) Πόσα είναι τα δυνατά προγεύματα που μπορεί να διαλέξει κανείς; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii) Πόσα είναι τα προγεύματα στα οποία ένας μαθητής τρώει κρουασάν; β) Ένας μαθητής επιλέγει ένα πρόγευμα. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: Ο μαθητής επιλέγει κρουασάν. 6

7 .5764 Ο καθηγητής των μαθηματικών μιας τάξης, στο πρώτο μάθημα ζήτησε από τους μαθητές να πάρουν ένα τετράδιο και ένα στυλό. Το βιβλιοπωλείο της γειτονιάς έχει κόκκινα (Κ) και πράσινα (Π) τετράδια. Επίσης έχει μπλε (μ) και κόκκινα (κ) στυλό. Αν ένας μαθητής πάρει ένα κόκκινο τετράδιο και ένα μπλε στυλό τότε αυτό το ενδεχόμενο το συμβολίζουμε ως Κμ. α) i) Πόσα είναι τα δυνατά ζευγάρια τετραδίου και στυλό (με κριτήριο το χρώμα) που μπορεί να διαλέξει ένας μαθητής από το βιβλιοπωλείο αυτό; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii) Πόσα είναι τα ενδεχόμενα που ο μαθητής έχει τετράδιο και στυλό ίδιου χρώματος; β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: Ο μαθητής πήρε τετράδιο και στυλό ίδιου χρώματος Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι. Το ζάρι αυτό είναι συνηθισμένο, δηλαδή έχει όλους τους αριθμούς 1,,3,4,5,6. α) i) Πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσματα της ρίψης του ζαριού; (Μονάδες 3) ii) Πόσα είναι τα αποτελέσματα της ρίψης του ζαριού ώστε ο αριθμός να είναι μικρότερος του 4; (Μονάδες 7) β) i) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: ο αριθμός της ρίψης του ζαριού είναι μικρότερος του 4. (Μονάδες 9) ii) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Β: ο αριθμός της ρίψης του ζαριού είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 4. (Μονάδες 6).5770 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο κέρμα δύο φορές. Το κέρμα έχει δύο όψεις. Την Κ που απεικονίζει μια κουκουβάγια και την Γ που έχει γραμμένο έναν αριθμό. Αν στην πρώτη ρίψη φέρουμε Κ, ενώ στη δεύτερη ρίψη φέρουμε Γ, τότε το αποτέλεσμα γράφεται ΚΓ. α) i) Πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσματα των δύο ρίψεων του κέρματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii) Πόσα είναι τα αποτελέσματα των δύο ρίψεων του κέρματος που και στις δύο ρίψεις φέρνουμε την ίδια όψη του κέρματος; β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: και στις δύο ρίψεις φέρνουμε την ίδια όψη του κέρματος. 7

8

9 ο θέμα Για τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει ότι 3 6 α) Να αποδείξετε ότι 3β=6α. (Μονάδες 1) β) Αν α=1 να βρείτε το β (Μονάδες 13) x 1 Για τους πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύει ότι y α) Να αποδείξετε ότι y=x. (Μονάδες 1) β) Αν x=9 να βρείτε το y (Μονάδες 13).631. x y Για τους πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύει ότι 8 α) Να αποδείξετε ότι y=8x. (Μονάδες 1) β) Αν x=1 να βρείτε το y (Μονάδες 13) x 3 Για τους πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύει ότι y 4 α) Να αποδείξετε ότι 3y=4x. (Μονάδες 1) β) Αν x=6 να βρείτε το y (Μονάδες 13) 4ο θέμα x y Για τους πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύει ότι 4 8 α) Να αποδείξετε ότι y=x. (Μονάδες 1) β) Δίνεται η παράσταση 4x y,όπου x,y είναι οι προηγούμενοι πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι Α=0. (Μονάδες 13) 9

10 ο θέμα Θεωρούμε τον πραγματικό αριθμό x για τον οποίο ισχύει η ανισότητα 1<x<3. α) Να αποδείξετε ότι 4<4x<1 (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή κάθε μίας από τις επόμενες παραστάσεις : i) 4x 1 (Μονάδες 8) ii) 4x Θεωρούμε τον πραγματικό αριθμό x για τον οποίο ισχύει η ανισότητα 0<x<4. α) Να αποδείξετε ότι 0<3x<1 (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή κάθε μίας από τις επόμενες παραστάσεις : i) 3x (Μονάδες 8) ii) 3x Θεωρούμε τον πραγματικό αριθμό y για τον οποίο ισχύει η ανισότητα <y<3. α) Να αποδείξετε ότι 4<y<6 (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή κάθε μίας από τις επόμενες παραστάσεις : i) y 3 (Μονάδες 8) ii) y Θεωρούμε τον πραγματικό αριθμό x για τον οποίο ισχύει η ανισότητα 1<x<. α) Να αποδείξετε ότι 4<4x<8 (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή κάθε μίας από τις επόμενες παραστάσεις : i) 4x 1 (Μονάδες 8) ii) 4x 6 10

11 4ο θέμα Θεωρούμε τον πραγματικό αριθμό y για τον οποίο ισχύει η ανισότητα y [1, 4]. α) Να αποδείξετε ότι 3 3y 1 β) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή κάθε μίας από τις επόμενες παραστάσεις : i) 3y 1 (Μονάδες 8) ii) 3y (Μονάδες 7) iii) 1 3y Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς x και y για τους οποίους ισχύουν οι ανισότητες 0 x και 0 y 3. α) Να αποδείξετε ότι 0 x y 5 (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή κάθε μίας από τις επόμενες παραστάσεις : i) x (Μονάδες 4) ii) 3y (Μονάδες 7) iii) x 3y (Μονάδες 8) Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς x και y για τους οποίους ισχύουν οι ανισότητες 0 x 4 και 1 y. α) Να αποδείξετε ότι 1 x y 6 (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή κάθε μίας από τις επόμενες παραστάσεις : i) 3x (Μονάδες 4) ii) y (Μονάδες 7) iii) 3x y (Μονάδες 8) 11

12 ο θέμα Δίνεται η παράσταση x 4,όπου x πραγματικός αριθμός α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α για x=-8,x=-4 και x=0 β) Αν x<-4 να γράψετε την παράσταση Α χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής Δίνεται η παράσταση x 3,όπου x πραγματικός αριθμός α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Β για x=4,x=3 και x=0 β) Αν x<3 να γράψετε την παράσταση Β χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής Δίνεται η παράσταση 1 x,όπου x πραγματικός αριθμός α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Γ για x=-,x=-1 και x=0 β) Αν x<-1 να γράψετε την παράσταση Γ χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής Δίνεται η παράσταση x 4,όπου x πραγματικός αριθμός α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α στις τρείς επόμενες περιπτώσεις i) x=5 (Μονάδες 4) ii) x=4 (Μονάδες 4) iii) x=3 (Μονάδες 4) β) Αν x<4 να γράψετε την παράσταση A χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής (Μονάδες 13) Δίνεται η παράσταση x 3,όπου x πραγματικός αριθμός α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α στις τρείς επόμενες περιπτώσεις i) x=4 (Μονάδες 4) ii) x=3 (Μονάδες 4) iii) x= (Μονάδες 4) β) Αν x<3 να γράψετε την παράσταση A χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής (Μονάδες 13) 1

13 4ο θέμα Για τον πραγματικό αριθμό α δίνεται ότι α<-. α) Να αποδείξετε ότι α+4<0 (Μονάδες 1) β) Να γράψετε την παράσταση α+4 +8 χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής (Μονάδες 13) Για τον πραγματικό αριθμό β δίνεται ότι β<3. α) Να αποδείξετε ότι 4α-1<0 (Μονάδες 1) β) Να γράψετε την παράσταση 4β-1-10 χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής (Μονάδες 13) α) Αν x < 8 να γράψετε την παράσταση x-8 χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής. β) Αν x 4 να γράψετε την παράσταση x-4 χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής. (Μονάδες 8) γ) Δίνεται η παράσταση A = x 4 + x 8, όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός. Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει ότι 4 x < 8 να αποδείξετε ότι για την παράσταση Α ισχύει A = 4. (Μονάδες 7) 13

14 α) i) Να υπολογίσετε τη δύναμη 4ο θέμα 6 3. ii) Να αιτιολογήσετε την ισότητα 6 8. (Μονάδες 3) iii) Να υπολογίσετε τη δύναμη 6 3. (Μονάδες 7) β) Χρησιμοποιώντας ιδιότητες των δυνάμεων και τα αποτελέσματα του ερωτήματος 3 (α) να βρείτε την τιμή της παράστασης α) i) Ποιος είναι ο εκθέτης της δύναμης ;Να υπολογίσετε τη δύναμη αυτή. ii) Να αιτιολογήσετε την ισότητα (Μονάδες 3) iii) Να υπολογίσετε τη δύναμη 6 6. (Μονάδες 7) β) Χρησιμοποιώντας ιδιότητες των δυνάμεων και τα αποτελέσματα του ερωτήματος 3 6 (α) να βρείτε την τιμή της παράστασης 6. 14

15 ο θέμα α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης x 1 για x=-,x=1 και x=0 β) Να λύσετε την εξίσωση x α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης B x για x=0,x=4 και x=5 β) Να λύσετε την εξίσωση x α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης K x 11 για x=10,x=11 και x=13 β) Να λύσετε την εξίσωση x α) Να εξετάσετε αν η εξίσωση x 7 επαληθεύεται για x=1,x= και x=0 β) Να λύσετε την εξίσωση x α) Να εξετάσετε αν η εξίσωση x 4 4 επαληθεύεται για x=-1,x=0 και x=3 β) Να λύσετε την εξίσωση x α) Να εξετάσετε αν η εξίσωση x 8 10 επαληθεύεται για x=,x=0 και x=-10 β) Να λύσετε την εξίσωση x α) Να λύσετε την εξίσωση x 4 0. β) Να λύσετε την εξίσωση x (x 4) 0 15

16 α) Να λύσετε την εξίσωση x 6 0. β) Να λύσετε την εξίσωση x (x 6) α) Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 3x 3 0 (Μονάδες 6) ii) x 0 (Μονάδες 6) β) Να λύσετε την εξίσωση ( x ) (3x 3) 0 (Μονάδες 13).591. α) Να λύσετε την εξίσωση x β) Να λύσετε την εξίσωση x α) Να λύσετε την εξίσωση 3x 6. β) Να λύσετε την εξίσωση 3x α) Να λύσετε την εξίσωση x 9. (Μονάδες 13) β) Να λύσετε την εξίσωση x 11 (Μονάδες 1) α) Να λύσετε την εξίσωση x 3. (Μονάδες 13) β) Να λύσετε την εξίσωση x 3 6 (Μονάδες 1) α) Να λύσετε την εξίσωση x 1. (Μονάδες 1) β) Να λύσετε την εξίσωση 6 x 6 (Μονάδες 13) α) Να λύσετε την εξίσωση x 6. (Μονάδες 1) β) Να λύσετε την εξίσωση x 1 (Μονάδες 13) 16

17 α) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 1 και -3 επαληθεύουν (δηλαδή είναι λύσεις της εξίσωσης) x 1. β) Να λύσετε την εξίσωση x α) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 1 και -5 επαληθεύουν (δηλαδή είναι λύσεις της εξίσωσης) x 3. (Μονάδες 1) β) Να λύσετε την εξίσωση x 3 0 (Μονάδες 13).679. α) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 4 και επαληθεύουν (δηλαδή είναι λύσεις της εξίσωσης) x 3 1. (Μονάδες 1) β) Να λύσετε την εξίσωση 4 x 3 4 (Μονάδες 13).68. α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 7 είναι λύση της εξίσωσης x 4 3. β) Να βρείτε την άλλη λύση της εξίσωσης x α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 18 είναι λύση της εξίσωσης x β) Να βρείτε την άλλη λύση της εξίσωσης x α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 4 είναι λύση της εξίσωσης x 6. β) Να βρείτε την άλλη λύση της εξίσωσης x α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός -1 είναι λύση της εξίσωσης x 4 3. β) Να βρείτε την άλλη λύση της εξίσωσης x

18 4ο θέμα Δίνεται η παράσταση x 4 για x R. α) Να λύσετε την εξίσωση x β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α για x. γ) Να βρείτε την τιμή του x ώστε να ισχύει Α= Δίνονται οι παραστάσεις x και 3x για x R. α) Να λύσετε την εξίσωση x 1. (Μονάδες 8) β) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει ότι Β= 1. (Μονάδες 9) γ) Να λύσετε την εξίσωση x 3x. (Μονάδες 8) α) Να λύσετε την εξίσωση x 3 x 5. (Μονάδες 1) β) Να παραστήσετε (σχεδιάζοντας) στον άξονα των πραγματικών αριθμών τη λύση της εξίσωσης του ερωτήματος (α). γ) Ποιος αριθμός στον άξονα των πραγματικών αριθμών απέχει την ίδια απόσταση από τους αριθμούς 3 και 5; (Μονάδες 8) α) Να λύσετε την εξίσωση x 8 x 1 β) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό που έχει την ίδια απόσταση στον άξονα των πραγματικών αριθμών από τους αριθμούς 1 και α) Να λύσετε την εξίσωση 5y 9 y (1) β) Να λύσετε την εξίσωση 5 x 1 9 x 1 () α) Να λύσετε την εξίσωση (y 1) 1 11 (1) β) Να λύσετε την εξίσωση x () α) Να λύσετε την εξίσωση x 3 1. (1) β) Να λύσετε την εξίσωση () (Μονάδες 8) γ) Να λύσετε την εξίσωση 6 x 3 7 x (3) (Μονάδες 7) 18

19 ο θέμα α) Να εξετάσετε ποιος από τους αριθμούς,-3 και 0 είναι ρίζες της εξίσωσης β) Να λύσετε την εξίσωση x α) Να λύσετε την εξίσωση β) Να λύσετε την εξίσωση 4ο θέμα x 9 0. x x α) Να λύσετε τις εξισώσεις : i) x 4 0 (Μονάδες 6) ii) x 5 0. (x 4) x 5 0. (Μονάδες 9) β) Να λύσετε την εξίσωση Δίνονται οι εξισώσεις : x 4 0 (1) και x 8 0 (). α) Να λύσετε την εξίσωση (1) β) Να λύσετε την εξίσωση () γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας μόνο αριθμός που είναι λύση και των δύο εξισώσεων (1) και () Δίνονται οι εξισώσεις : x 16 (1) και x 64 (). α) Να λύσετε την εξίσωση (1) β) Να λύσετε την εξίσωση () γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας μόνο αριθμός που είναι λύση και των δύο εξισώσεων (1) και () 19

20 ο θέμα.57. Δίνεται η εξίσωση x 4x 3 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της (1) είναι Δ=4. β) Να αιτιολογήσετε γιατί η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες άνισες. γ) Να λύσετε την εξίσωση (1).575. Δίνεται η εξίσωση x 5x 6 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της (1) είναι Δ=1. β) Να αιτιολογήσετε γιατί η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες άνισες. γ) Να λύσετε την εξίσωση (1).578. Δίνεται η εξίσωση x x 3 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της (1) είναι Δ=16. β) Να αιτιολογήσετε γιατί η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες άνισες. γ) Να λύσετε την εξίσωση (1) Δίνεται η εξίσωση x 4x 4 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της (1) είναι Δ=0. β) Να αιτιολογήσετε γιατί η εξίσωση (1) έχει μία ρίζα διπλή. γ) Να λύσετε την εξίσωση (1) Δίνεται η εξίσωση x 6x 9 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της (1) είναι Δ=0. β) Να αιτιολογήσετε γιατί η εξίσωση (1) έχει μία ρίζα διπλή. γ) Να λύσετε την εξίσωση (1) Δίνεται η εξίσωση x x 3 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της (1) είναι Δ=-8. β) Έχει ρίζες πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση (1) ;Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. 0

21 Δίνεται η εξίσωση x 6x 10 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της (1) είναι Δ=-4. β) Έχει ρίζες πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση (1) ;Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας Δίνεται η εξίσωση ου βαθμού x 11x 0(1) η οποία έχει δύο ρίζες άνισες x1 και x. α) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα S x1 x των ριζών της εξίσωσης (1) είναι ίσο με 11. β) Να βρείτε το γινόμενο x1 x των ριζών της εξίσωσης (1) Δίνεται η εξίσωση ου βαθμού x 8x 1 0(1) η οποία έχει δύο ρίζες άνισες x1 και x. α) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα S x1 x των ριζών της εξίσωσης (1) είναι ίσο με 8. β) Να βρείτε το γινόμενο x1 x των ριζών της εξίσωσης (1) Δίνεται η εξίσωση ου βαθμού x 8x 4 0(1) η οποία έχει δύο ρίζες άνισες x1 και x. S των ριζών της εξίσωσης (1) είναι ίσο με α) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα x1 x 4. β) Να βρείτε το γινόμενο x1 x των ριζών της εξίσωσης (1) Μία εξίσωση ου βαθμού έχει δύο ρίζες άνισες x1=4 και x=3. α) i)να αποδείξετε ότι το άθροισμα S x1 x των ριζών της εξίσωσης (1) είναι ίσο με 4. ii) Να βρείτε το γινόμενο x1 x των ριζών της εξίσωσης β) Να γράψετε αυτή την εξίσωση που έχει ρίζες x1=4 και x= Μία εξίσωση ου βαθμού έχει δύο ρίζες άνισες x1= και x=1. α) i)να αποδείξετε ότι το άθροισμα S x1 x των ριζών της εξίσωσης (1) είναι ίσο με 3. ii) Να βρείτε το γινόμενο x1 x των ριζών της εξίσωσης β) Να γράψετε αυτή την εξίσωση που έχει ρίζες x1= και x=1. 1

22 Μία εξίσωση ου βαθμού έχει δύο ρίζες άνισες x1=4 και x=-. α) i)να αποδείξετε ότι το άθροισμα S x1 x των ριζών της εξίσωσης (1) είναι ίσο με. ii) Να βρείτε το γινόμενο x1 x των ριζών της εξίσωσης β) Να γράψετε αυτή την εξίσωση που έχει ρίζες x1=4 και x= Μία εξίσωση ου βαθμού έχει δύο ρίζες άνισες x1=-3 και x=-. α) i)να αποδείξετε ότι το άθροισμα S x1 x των ριζών της εξίσωσης (1) είναι ίσο με -5. ii) Να βρείτε το γινόμενο x1 x των ριζών της εξίσωσης β) Να γράψετε αυτή την εξίσωση που έχει ρίζες x1=-3 και x= Μία εξίσωση ου βαθμού έχει δύο ρίζες άνισες x1=3 και x=-. α) i)να αποδείξετε ότι το γινόμενο x1 x των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με -6. ii) Να βρείτε το άθροισμα S x1 x των ριζών της εξίσωσης (1) β) Να γράψετε αυτή την εξίσωση που έχει ρίζες x1=3 και x= Μία εξίσωση ου βαθμού έχει δύο ρίζες άνισες x1=-1 και x=-. α) i)να αποδείξετε ότι το γινόμενο x1 x των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με. ii) Να βρείτε το άθροισμα S x1 x των ριζών της εξίσωσης (1) β) Να γράψετε αυτή την εξίσωση που έχει ρίζες x1=-1 και x= Δίνεται η εξίσωση x 4x 3 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι o αριθμός 3 επαληθεύει την εξίσωση (1). β) Να λύσετε την εξίσωση (1). (Μονάδες 0).631. Δίνεται η εξίσωση x 7x 6 0(1) α) Να αποδείξετε ότι o αριθμός 1 επαληθεύει την εξίσωση (1). β) Να λύσετε την εξίσωση (1). (Μονάδες 0)

23 .659. Δίνεται η εξίσωση x 4x 4 0(1) α) Να αποδείξετε ότι o αριθμός επαληθεύει την εξίσωση (1). β) Να λύσετε την εξίσωση (1). (Μονάδες 0).659. Δίνεται η εξίσωση x 6x 9 0 (1) α) Να αποδείξετε ότι o αριθμός 3 επαληθεύει την εξίσωση (1). β) Να λύσετε την εξίσωση (1). (Μονάδες 0) 4ο θέμα Δίνεται η εξίσωση x 5x 6 0 (1) α) Να λύσετε την εξίσωση (1). β) Να αποδείξετε ότι x 5x 6 (x )(x 3) γ) Να λύσετε την εξίσωση x 5x 6 0. x Δίνονται οι εξισώσεις x 9 (1) και x 4x 3 0 () α) Να λύσετε την εξίσωση (1). (Μονάδες 1) β) Να βρείτε αν υπάρχει λύση της εξίσωσης (1) που να είναι και λύση της εξίσωσης () (Μονάδες Δίνονται οι εξισώσεις x 16 (1) και x 6x 8 0 () α) Να λύσετε την εξίσωση (1). (Μονάδες 1) β) Να βρείτε αν υπάρχει λύση της εξίσωσης (1) που να είναι και λύση της εξίσωσης () (Μονάδες Δίνονται οι εξισώσεις x 4 (1) και x x 6 0 () α) Να λύσετε την εξίσωση (1). (Μονάδες 1) β) Να βρείτε αν υπάρχει λύση της εξίσωσης (1) που να είναι και λύση της εξίσωσης () (Μονάδες 13 3

24 x 4 α) Δίνεται η παράσταση, με x πραγματικό αριθμό. x i) Μπορεί ο παραπάνω πραγματικός αριθμός x να είναι ίσος με ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii) Να αποδείξετε ότι A = x +. (Μονάδες 7) iii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α για x = 3. β) Χρησιμοποιώντας τα συμπεράσματά σας από το ερώτημα (α) να λύσετε την x εξίσωση 4 8. (Μονάδες 8) x α) Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου x 4x 3 με x (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο x 4x 3γράφεται x 4x 3 ( x 1)( x 3) (Μονάδες 7) x 4x 3 γ) Δίνεται η παράσταση, με x 1. x 1 i) Χρησιμοποιώντας το συμπέρασμα του ερωτήματος (β) να αποδείξετε ότι x 3 x ii) Nα λύσετε την εξίσωση 4x 3 8. x Δίνεται το τριώνυμο x 10x 8,με x. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου β) Να εξηγήσετε γιατί το παραπάνω τριώνυμο έχει άνισες ρίζες. (Μονάδες 7) γ) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών του τριωνύμου είναι S =10 δ) Nα υπολογίσετε το γινόμενο Ρ των ριζών του τριωνύμου (Μονάδες 8) Δίνεται το τριώνυμο x 7x 5με x. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου β) Να εξηγήσετε γιατί το παραπάνω τριώνυμο έχει άνισες ρίζες. (Μονάδες 7) γ) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών του τριωνύμου είναι S =7 δ) Nα υπολογίσετε το γινόμενο Ρ των ριζών του τριωνύμου (Μονάδες 8) Δίνεται το τριώνυμο x 7x 3,με x. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου β) Να εξηγήσετε γιατί το παραπάνω τριώνυμο έχει άνισες ρίζες. (Μονάδες 7) γ) Να αποδείξετε ότι γινόμενο Ρ των ριζών του τριωνύμου είναι Ρ =3 4

25 δ) Nα υπολογίσετε το άθροισμα S των ριζών του τριωνύμου (Μονάδες 8) Δίνεται το τριώνυμο x 8x,με x. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου β) Να εξηγήσετε γιατί το παραπάνω τριώνυμο έχει άνισες ρίζες. (Μονάδες 7) γ) Να αποδείξετε ότι γινόμενο Ρ των ριζών του τριωνύμου είναι Ρ =- δ) Nα υπολογίσετε το άθροισμα S των ριζών του τριωνύμου (Μονάδες 8) Δίνεται το τριώνυμο x 8x 1με x. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου β) Να εξηγήσετε γιατί το παραπάνω τριώνυμο έχει άνισες ρίζες. (Μονάδες 7) γ) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών του τριωνύμου είναι S =8 δ) Nα υπολογίσετε το γινόμενο Ρ των ριζών του τριωνύμου (Μονάδες 8) 5

26 ο θέμα.598 Δίνεται η ανίσωση 3x 6 1 α) Να λύσετε την ανίσωση (1) β) Να γράψετε σε μορφή διαστήματος τις λύσεις (το σύνολο των λύσεων) της ανίσωσης (1).593 Δίνεται η ανίσωση 4x 10 α) Να λύσετε την ανίσωση (1) β) Να γράψετε σε μορφή διαστήματος τις λύσεις (το σύνολο των λύσεων) της ανίσωσης (1).5947 Δίνεται η ανίσωση x 1 7 α) Να λύσετε την ανίσωση (1) β) Να γράψετε σε μορφή διαστήματος τις λύσεις (το σύνολο των λύσεων) της ανίσωσης (1).595 Δίνεται η ανίσωση 8x 4 0 α) Να λύσετε την ανίσωση (1) β) Να γράψετε σε μορφή διαστήματος τις λύσεις (το σύνολο των λύσεων) της ανίσωσης (1).5956 Δίνεται η ανίσωση 4x x 10 α) Να λύσετε την ανίσωση (1) (Μονάδες 16) β) Να γράψετε τις λύσεις (το σύνολο των λύσεων) της ανίσωσης (1) σε μορφή διαστήματος (Μονάδες 9).5959 Δίνεται η ανίσωση 3x 7 x 11 α) Να λύσετε την ανίσωση (1) (Μονάδες 16) β) Να γράψετε τις λύσεις (το σύνολο των λύσεων) της ανίσωσης (1) σε μορφή διαστήματος (Μονάδες 9).5963 Δίνεται η ανίσωση x 4 1 3x α) Να λύσετε την ανίσωση (1) (Μονάδες 16) 6

27 β) Να γράψετε τις λύσεις (το σύνολο των λύσεων) της ανίσωσης (1) σε μορφή διαστήματος (Μονάδες 9) 4ο θέμα Δίνεται η παράσταση x 8 1,όπου x πραγματικός αριθμός α) Να λύσετε την ανίσωση x 8 0 β) Αν x 4 να αποδείξετε ότι η παράσταση Α γράφεται x 7 γ) Αν x < -4 να γράψετε την παράσταση A χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής α) Να λύσετε την ανίσωση x 1 β) Να παραστήσετε τις λύσεις (το σύνολο των λύσεων )της ανίσωσης x 1 i) σε μορφή διαστήματος ii) στον άξονα των πραγματικών αριθμών (σχεδιάζοντας) γ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ισχύει x α) Να λύσετε την ανίσωση x 4 β) Να παραστήσετε τις λύσεις (το σύνολο των λύσεων )της ανίσωσης x 4 i) σε μορφή διαστήματος ii) στον άξονα των πραγματικών αριθμών (σχεδιάζοντας) γ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ισχύει x α) Δίνεται η ανίσωση x 3,όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός.να αποδείξετε της ανίσωσης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί x για τους οποίους ισχύει x 1 ή x 5 β) Να παραστήσετε τις λύσεις (το σύνολο των λύσεων )της ανίσωσης x 3 i) σε μορφή διαστήματος ii) στον άξονα των πραγματικών αριθμών (σχεδιάζοντας) 1 γ) Ποιος από τους αριθμούς -5,-7 και είναι λύσεις της ανίσωσης x Δίνονται οι ανισώσεις x x 3 (1) και x 7 () α) Να λύσετε την ανίσωση (1) (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση () 7

28 γ)να παραστήσετε τις λύσεις των ανισώσεων (1) και () στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τις κοινές τους λύσεις (Μονάδες 7) Δίνονται οι ανισώσεις 3( x 1) x 3 (1) και x 4 () α) Να λύσετε την ανίσωση (1) β) Να λύσετε την ανίσωση () γ)να παραστήσετε τις λύσεις των ανισώσεων (1) και () στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τις κοινές τους λύσεις Δίνονται οι ανισώσεις x 8 (1) και 8x 1 6( x 1) 1 () α) Να λύσετε την ανίσωση (1) β) Να λύσετε την ανίσωση () γ)να παραστήσετε τις λύσεις των ανισώσεων (1) και () στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τις κοινές τους λύσεις Δίνονται οι ανισώσεις x 8 (1) και 8x 3 5( x 3) () α) Να λύσετε την ανίσωση (1) β) Να λύσετε την ανίσωση () γ)να παραστήσετε τις λύσεις των ανισώσεων (1) και () στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τις κοινές τους λύσεις Δίνονται οι ανισώσεις x 4 (1) και 4( x 1) 6x 8 () α) Να λύσετε την ανίσωση (1) β) Να λύσετε την ανίσωση () γ)να παραστήσετε τις λύσεις των ανισώσεων (1) και () στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τις κοινές τους λύσεις Δίνονται οι ανισώσεις 3(x 1) 4x 11 (1) και 3x 7 () α) Να λύσετε την ανίσωση (1) β) Να λύσετε την ανίσωση () (Μονάδες 8) γ) Έχουν κοινές λύσεις οι ανισώσεις (1) και ().Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 7) 8

29 Δίνονται οι ανισώσεις 6x 9 1 (1) και ( x ) 4x 10 () α) Να λύσετε την ανίσωση (1) β) Να λύσετε την ανίσωση () γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων (1) και () και να τις γράψετε σε μορφή διαστήματος α) Να λύσετε την ανίσωση 3( x ) ( x 1) (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση 3( x ) 5( x 4) (Μονάδες 1) γ) Να παραστήσετε (σχεδιάζοντας) τις λύσεις των ανισώσεων του (α) και (β) στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τις κοινές τους λύσεις α) Να λύσετε την ανίσωση 8( x ) 4( x 1) (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση 3 x x 1 και να γράψετε τις λύσεις της σε μορφή διαστήματος (Μονάδες 1) γ) Να παραστήσετε (σχεδιάζοντας) τις λύσεις των δύο ανισώσεων στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τις κοινές τους λύσεις α) Να λύσετε την ανίσωση 3( x 1) ( x 1) (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση 3( x 3) 4( x 4) και να γράψετε τις λύσεις της σε μορφή διαστήματος (Μονάδες 1) γ) Να παραστήσετε (σχεδιάζοντας) τις λύσεις των δύο ανισώσεων στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τις κοινές τους λύσεις α) Να λύσετε την ανίσωση 4( x 5) 3( x 7) (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση 5( x ) 3(x 3) και να γράψετε τις λύσεις της σε μορφή διαστήματος (Μονάδες 1) γ) Να παραστήσετε (σχεδιάζοντας) τις λύσεις των δύο ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τις κοινές τους λύσεις 9

30 α) Να λύσετε την ανίσωση 3x 6 15 (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση x 6 1 και να γράψετε τις λύσεις της σε μορφή διαστήματος (Μονάδες 1) γ) Να παραστήσετε (σχεδιάζοντας) τις λύσεις των δύο ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τις κοινές τους λύσεις α) Να λύσετε την ανίσωση x 1 και να γράψετε τις λύσεις της σε μορφή διαστήματος β) Να λύσετε την ανίσωση x 1 9 γ) Να παραστήσετε (σχεδιάζοντας) τις λύσεις των δύο ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τις κοινές τους λύσεις α) Να λύσετε την ανίσωση x 1 1 (Μονάδες 1) β) Να λύσετε την ανίσωση 3 x (Μονάδες 13) α) Να λύσετε την ανίσωση x 1 (Μονάδες 1) β) Να λύσετε την ανίσωση 6 x (Μονάδες 13) α) Να λύσετε την ανίσωση 6 x (Μονάδες 1) 6 x 1 10 (Μονάδες 13) β) Να λύσετε την ανίσωση α) Να λύσετε την ανίσωση x 4 (Μονάδες 1) β) Να λύσετε την ανίσωση 3 x 1 19 (Μονάδες 13) α) Να λύσετε την ανίσωση x (Μονάδες 1) β) Να λύσετε την ανίσωση x 11 x 9 (Μονάδες 13) 30

31 α) Να λύσετε την ανίσωση x 7 (Μονάδες 1) β) Να λύσετε την ανίσωση 3 x 18 x 4 (Μονάδες 13) Για τον πραγματικό αριθμό x γνωρίζουμε ότι x 6. α) i) Να λύσετε την ανίσωση x 6 (Μονάδες 8) ii) Να αποδείξετε ότι οι λύσεις της ανίσωσης είναι το διάστημα (-6,6) και να παραστήσετε το διάστημα αυτό στον άξονα των πραγματικών αριθμών. (Μονάδες 6) iii) Ο αριθμός -6 ανήκει στο διάστημα (-6,6); Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 3) β) Να γράψετε όλους τους ακεραίους αριθμούς για τους οποίους ισχύει ότι x 6 (Μονάδες 8) Δίνεται η ανίσωση x 5 (1). α) i) Να λύσετε την ανίσωση (1) (Μονάδες 8) ii) Να γράψετε τις λύσεις (το σύνολο των λύσεων) της ανίσωσης (1) σε μορφή διαστήματος (Μονάδες 6) iii) Ο αριθμός 5 ανήκει στις λύσεις της ανίσωσης (1) ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 3) β) Να γράψετε όλους τους ακεραίους αριθμούς για τους οποίους ισχύει ότι x 5 (Μονάδες 8) 31

32 4ο θέμα α) Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου x 4x 3. β) Να λύσετε την ανίσωση x 4x 3 0. γ) Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς που είναι λύσεις της ανίσωσης του ερωτήματος β α) Να λύσετε την εξίσωση x 7x 6 0. (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση x 7x 6 0 και να γράψετε τις λύσεις της (το σύνολο των λύσεων ) σε μορφή διαστήματος. (Μονάδες 1) γ) Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς που είναι λύσεις της ανίσωσης που λύσατε στο ερώτημα β α) Να λύσετε την εξίσωση x 10x 8 0. (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση x 10x 8 0. (Μονάδες 1) γ) Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς που είναι λύσεις της ανίσωσης που λύσατε στο ερώτημα β α) Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου x x 1. (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση x x 1 0. (Μονάδες 1) γ) Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς που είναι λύσεις της ανίσωσης που λύσατε στο ερώτημα β Δίνεται η ανίσωση x 4x 3 0 α) Να λύσετε την ανίσωση (1). (Μονάδες 1) β) Να γράψετε τις λύσεις της ανίσωσης (1) σε μορφή διαστήματος και να τις παραστήσετε (σχεδιάζοντας)στον άξονα των πραγματικών αριθμών. (Μονάδες 8) γ) Είναι ο αριθμός 0 λύση της ανίσωσης (1) ;Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας Δίνεται η ανίσωση x 8x 1 0 α) Να λύσετε την ανίσωση (1). (Μονάδες 1) β) Να γράψετε τις λύσεις της ανίσωσης (1) σε μορφή διαστήματος και να τις παραστήσετε (σχεδιάζοντας)στον άξονα των πραγματικών αριθμών. (Μονάδες 8) γ) Είναι ο αριθμός 4 λύση της ανίσωσης (1) ;Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. 3

33 Δίνεται η ανίσωση x x 3 0 α) Να λύσετε την ανίσωση (1). (Μονάδες 1) β) Να γράψετε τις λύσεις της ανίσωσης (1) σε μορφή διαστήματος και να τις παραστήσετε (σχεδιάζοντας)στον άξονα των πραγματικών αριθμών. (Μονάδες 8) γ) Είναι ο αριθμός 0 λύση της ανίσωσης (1) ;Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας Δίνεται η ανίσωση x 6x 8 0 α) Να λύσετε την ανίσωση (1). (Μονάδες 1) β) Να γράψετε τις λύσεις της ανίσωσης (1) σε μορφή διαστήματος και να τις παραστήσετε (σχεδιάζοντας)στον άξονα των πραγματικών αριθμών. (Μονάδες 8) γ) Είναι ο αριθμός λύση της ανίσωσης (1) ;Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας α) Να λύσετε την εξίσωση x 4x β) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου x 4x 10. γ) Να αποδείξετε ότι κάθε πραγματικός αριθμός x είναι λύση της ανίσωσης x 4x α) Να λύσετε την εξίσωση x x 3 0. β) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου x x 3. γ) Να αποδείξετε ότι κάθε πραγματικός αριθμός x είναι λύση της ανίσωσης x x α) Να λύσετε την εξίσωση x x 7 0. β) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου x x 7. γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός x που να είναι λύση της ανίσωσης x x α) Να λύσετε την εξίσωση x 10x 9 0. β) Να λύσετε την ανίσωση x 10x α) Να λύσετε την εξίσωση x 4x 5 0. β) Να λύσετε την ανίσωση x 4x

34 α) Να λύσετε την εξίσωση x 4x 3 0. β) Να λύσετε την ανίσωση x 4x

35 ο θέμα Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με όρους 1, 4. α) Να βρείτε τον ο όρο α της προόδου β) Να αποδείξετε ότι ο 6 ος όρος της προόδου είναι Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με όρους 1 1, 3. α) Να βρείτε τον ο όρο α της προόδου β) Να αποδείξετε ότι ο 9 ος όρος της προόδου είναι Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με όρους 1 6, -. α) Να αποδείξετε ότι ο ος όρος της προόδου είναι 4 β) Να υπολογίσετε τον 7 ο όρο α7 της προόδου Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με όρους 1, 3. α) Να αποδείξετε ότι ο ος όρος της προόδου είναι 1 β) Να υπολογίσετε τον 5 ο όρο α5 της προόδου Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με όρους 1 4, 7. α) Να αποδείξετε ότι ο ος όρος της προόδου είναι 3 β) Να υπολογίσετε τον 3 ο όρο α3 της προόδου.711. Θεωρούμε τους αριθμούς,4,6, που συνεχίζονται προσθέτοντας κάθε φορά το. α)i) Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός; ii) Να εξηγήσετε γιατί αυτοί οι αριθμοί με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά ω της προόδου αυτής; β) Aν o είναι o 1 oς όρος της προόδου του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε τον 8 ο όρο της προόδου αυτής. 35

36 .714. Θεωρούμε τους αριθμούς -4,0,4, που συνεχίζονται προσθέτοντας κάθε φορά το 4. α)i) Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός; ii) Να εξηγήσετε γιατί αυτοί οι αριθμοί με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά ω της προόδου αυτής; β) Aν o -4 είναι o 1 oς όρος της προόδου του προηγούμενου ερωτήματος να αποδείξετε ότι ο 7 ος όρος της προόδου είναι ίσος με Θεωρούμε τους αριθμούς -,0,, που συνεχίζονται προσθέτοντας κάθε φορά το. α)i) Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός; ii) Να εξηγήσετε γιατί αυτοί οι αριθμοί με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά ω της προόδου αυτής; β) Aν o - είναι o 1 oς όρος της προόδου του προηγούμενου ερωτήματος να αποδείξετε ότι ο 8 ος όρος της προόδου είναι ίσος με α)να αποδείξετε ότι οι αριθμοί,5 και 8 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου (Μονάδες 9) β) Αν οι αριθμοί,5 και 8 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να βρείτε τον επόμενο όρο της προόδου αυτής. (Μονάδες 16).75. α)να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 3,7 και 11 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου (Μονάδες 9) β) Αν οι αριθμοί 3,7 και 11 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να βρείτε τον επόμενο όρο της προόδου αυτής. (Μονάδες 16).79. α)να αποδείξετε ότι οι αριθμοί -4,-1 και είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου β) Αν οι αριθμοί -4,-1 και με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου,να βρείτε τον επόμενο όρο της προόδου αυτής. 36

37 .733. Θεωρούμε τους αριθμούς 7,10,13, που συνεχίζονται προσθέτοντας κάθε φορά το 3. α)i) Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός; ii) Να εξηγήσετε γιατί αυτοί οι αριθμοί με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά ω της προόδου αυτής; β) Aν o 7 είναι o 1 oς όρος της προόδου του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε το το άθροισμα των πρώτων 6 όρων της προόδου αυτής Θεωρούμε τους αριθμούς -1,-6,0, που συνεχίζονται προσθέτοντας κάθε φορά το 6. α)i) Να εξηγήσετε γιατί αυτοί οι αριθμοί με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. ii) Να βρείτε τους δύο επόμενους αριθμούς της προόδου αυτής. β) Aν o -1 είναι o 1 oς όρος της προόδου του προηγούμενου ερωτήματος,.να αποδείξετε ότι το άθροισμα των πρώτων 5 όρων της προόδου αυτής είναι ίσο με Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με όρους 1 1 και 3. α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι β) Να υπολογίσετε τον 6 ο όρο α6 της προόδου.767. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με όρους 1 και 5. α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι 3 β) Να υπολογίσετε τον 6 ο όρο α6 της προόδου.776. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με όρους 1 1 και 1. α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι β) Να υπολογίσετε τον 4 ο όρο α4 της προόδου.779. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με όρους 1 10 και 14. α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι 4 β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τριών πρώτων όρων 1 3 είναι ίσο με 4. 37

38 .78. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με όρους 1 1 και 4. α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι 3 β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των πέντε πρώτων όρων είναι ίσο με Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί,x,10 που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. α) Να βρείτε το x (Μονάδες 1) β) Για x=6: i) Να βρείτε την τιμή του αριθμού x+1 (Μονάδες 8) ii) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 1,7 και x+1 είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.7407 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί,x,10 που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. α) Να βρείτε το x (Μονάδες 1) β) Για x=6 να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 0,3 και x είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου (Μονάδες 13) Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με όρους 1 και 10. α) Να βρείτε τον τρίτο όρο α3 της προόδου(αν ) β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των πέντε πρώτων όρων της (αν ) είναι Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με όρους 1 3 και 7. α) Να βρείτε τον τρίτο όρο α3 της προόδου(αν ) β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των 4 πρώτων όρων της (αν ) είναι Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με πρώτους όρους τους 1,4,7,10,... α) Να βρείτε τον πέμπτο όρο α5 της προόδου (αν ) β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των έξι πρώτων όρων της (αν ) είναι

39 4ο θέμα Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) της οποίας ο ος όρος είναι ο α = 7 και ο 3 ος όρος είναι α3 = 4. α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου (αν ) είναι ω = 3 και να βρείτε τον 1 ο όρο α1. (Μονάδες 16) β) Να βρείτε τον 10 ο όρο της προόδου (αν ). (Μονάδες 9) α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος των αριθμών 3 και 9 είναι ο 6. β) Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (αν ) για την οποία ισχύει ότι α =3 και α4 = 9. i) Να βρείτε τον τρίτο όρο α3 και τη διαφορά ω της προόδου αυτής. ii) Να βρείτε τον πρώτο όρο α1 της προόδου αυτής α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος των αριθμών 8 και 16 είναι ο 1. β) Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (αν ) για την οποία ισχύει ότι α3 =8 και α5 = 16. i) Να βρείτε τον τέταρτο α4 και τη διαφορά ω της προόδου αυτής. ii) Να βρείτε τον πρώτο όρο α1 της προόδου αυτής Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με α1 = και α6 =. α) Να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου (αν ). β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος με 4( 1) και να υπολογίσετε τον 10 ο όρο α10 της προόδου Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με α4 =7 και α5 = 9. α) Να αποδείξετε ότι διαφορά ω της προόδου (αν ) είναι ίσος με ω=. β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των έξι πρώτων όρων της προόδου είναι ίσο με είναι ίσο με Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με α3 =10 και α5 = 18. α) Να αποδείξετε ότι διαφορά ω της προόδου (αν ) είναι ίσος με ω=4 και ότι ο πρώτος όρος της προόδου είναι 1. β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της προόδου είναι ίσο με 3. υπάρχει λάθος 39

40 Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με α1 = και α4 = 8. α) Να αποδείξετε ότι και ω=,όπου ω η διαφορά της προόδου (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος με,για και να βρείτε τον έβδομο όρο α7 της προόδου. (Μονάδες 1) γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει όρος της (αν) που να είναι ίσος με 9. (Μονάδες 7) Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν ) με α1 =1 και α3 = 7. α) Να αποδείξετε ότι και ω=3,όπου ω η διαφορά της προόδου (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος με 3,για και να βρείτε τον 6ο όρο α6 της προόδου. (Μονάδες 1) γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει όρος της (αν) που να είναι ίσος με 18. (Μονάδες 7) ο θέμα Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με 1 0,5 και λόγο. α) Να βρείτε τον ο όρος α της προόδου 1 β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος με 0,5 και να υπολογίσετε τον 7 ο όρο α7 της προόδου Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με 1 1 και λόγο. α) Να βρείτε τον ο όρος α της προόδου β) Να αποδείξετε ότι ο 4 ος όρος α4 της προόδου είναι ο α)να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 1,3 και 9 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. (Μονάδες 1) β) Αν οι αριθμοί 1,3 και 9 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου,να βρείτε τον επόμενο όρο της προόδου αυτής. (Μονάδες 13) 40

41 .705. α)να αποδείξετε ότι οι αριθμοί -1,4 και -16 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. (Μονάδες 1) β) Αν οι αριθμοί -1,4 και 16 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου,να βρείτε τον επόμενο όρο της προόδου αυτής. (Μονάδες 13).708. α)να αποδείξετε ότι οι αριθμοί,4 και 8 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. (Μονάδες 1) β) Αν οι αριθμοί,4 και 8 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου,να βρείτε τον επόμενο όρο της προόδου αυτής. (Μονάδες 13).741. Θεωρούμε τους αριθμούς,4,8, που συνεχίζονται πολλαπλασιάζοντας κάθε φορά με το. α) i) Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός; ii) Να εξηγήσετε γιατί αυτοί οι αριθμοί με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Ποιος είναι ο λόγος λ της προόδου αυτής; β) Aν o είναι o 1 oς όρος της προόδου του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε τον 5 ο όρο της προόδου αυτής Θεωρούμε τους αριθμούς -1,-3,-9, που συνεχίζονται πολλαπλασιάζοντας κάθε φορά με το 3. α)i) Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός; ii) Να εξηγήσετε γιατί αυτοί οι αριθμοί με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Ποιος είναι ο λόγος λ της προόδου αυτής; β)aν o -1 είναι o 1 oς όρος της προόδου του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε τον 5 ο όρο της προόδου αυτής Θεωρούμε τους αριθμούς,8,3, που συνεχίζονται πολλαπλασιάζοντας κάθε φορά με το 4. α) Να εξηγήσετε γιατί αυτοί οι αριθμοί με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου και να βρείτε το λόγος λ αυτής; β)aν o είναι o 1 oς όρος της προόδου του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε τον 4 ο όρο της προόδου αυτής και το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της. 41

42 .751. Θεωρούμε τους αριθμούς -1,4,-16, που συνεχίζονται πολλαπλασιάζοντας κάθε φορά με το -4. α) i) Να εξηγήσετε γιατί αυτοί οι αριθμοί με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου ii) Ποιος είναι ο λόγος λ της προόδου αυτής β)aν o -1είναι o 1 oς όρος της προόδου του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε τον 4 ο όρο της προόδου αυτής και να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της είναι ίσο με Θεωρούμε τους αριθμούς 3,-6,1, που συνεχίζονται πολλαπλασιάζοντας κάθε φορά με το -. α) i) Να εξηγήσετε γιατί αυτοί οι αριθμοί με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου ii) Ποιος είναι ο λόγος λ της προόδου αυτής β)aν o 3 είναι o 1 oς όρος της προόδου του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε τον 4 ο όρο της προόδου αυτής και να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της είναι ίσο με Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με όρους 1 και 6. α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος λ της προόδου είναι 3 β) Να υπολογίσετε τον 4 ο όρο α4 της προόδου.797. Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με όρους 1 3 και 6. α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος λ της προόδου είναι β) Να αποδείξετε ότι ο 3 ος όρος α3 της προόδου είναι ο Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με όρους 1 και 6. α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος λ της προόδου είναι 3 β) Να βρείτε το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της προόδου

43 Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με όρους 1 1 και 3. α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος λ της προόδου είναι 3 β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τριών πρώτων όρων της προόδου είναι ίσο με Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί 1,x,4 που είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. α) Να βρείτε το x (Μονάδες 1) β) Για x= να αποδείξετε ότι οι αριθμοί x,6,18 είναι επίσης διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου (Μονάδες 13).7413 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x,4,-8 που είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. α) Να αποδείξετε ότι x=-. (Μονάδες 1) β) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 1,x,4 είναι επίσης διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου (Μονάδες 13).744. Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με πρώτους όρους τους 1,,4,... α) Να βρείτε τον τέταρτο όρο α4 της προόδου (αν ) β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των πρώτων πέντε όρων της (αν ) είναι Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με πρώτους όρους τους 1,3,9,... α) Να βρείτε τον τέταρτο όρο α4 της προόδου (αν ) β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της (αν ) είναι Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με πρώτους όρους τους 1,3,9,... α) Να βρείτε τον τέταρτο όρο α4 της προόδου (αν ) β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των πέντε πρώτων όρων της (αν ) είναι

44 4ο θέμα Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) της οποίας ο 4 ος όρος είναι ο α4 = 8 και ο 5 ος όρος είναι α5 =16. α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος της προόδου (αν ) είναι λ = και να βρείτε τον 1 ο όρο α1. (Μονάδες 16) β) Να βρείτε τον 7 ο όρο της προόδου (αν ). (Μονάδες 9) Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) της οποίας ο ος όρος είναι ο α = 3 και ο 3 ος όρος είναι α3 =9. α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος της προόδου (αν ) είναι λ = 3 και να βρείτε τον 1 ο όρο α1. (Μονάδες 16) β) Να βρείτε τον 5 ο όρο της προόδου (αν ). (Μονάδες 9) Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με α1 = και α = 6. α) Να βρείτε το λόγο λ της προόδου (αν ). 1 β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος με 3 και να υπολογίσετε τον 5 ο όρο α5 της προόδου Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με α1 = 0,5 και α = 1. α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος λ της προόδου (αν ) είναι λ=. 1 β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος με 0,5 και να υπολογίσετε τον 7 ο όρο α7 της προόδου Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με α1 = -1 και α = -. α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος λ της προόδου (αν ) είναι λ=. 1 β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος με και να αποδείξετε ότι ο 7 ος όρος α7 της προόδου είναι ίσος με α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός μέσος των αριθμών 1 και 9 είναι ο 3. (1 μονάδες) β) Αν οι αριθμοί 1, 3 και 9 με τη σειρά που δίνονται είναι οι τρεις πρώτοι όροι της γεωμετρικής προόδου (αν ) να βρείτε το λόγο λ της προόδου (αν ) και τον ν-οστό όρο της προόδου (αν ). (13 μονάδες) 44

45 α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός μέσος των αριθμών -1 και -16 είναι ο 4. (1 μονάδες) β) Αν οι αριθμοί -1, -4 και -16 με τη σειρά που δίνονται είναι οι τρεις πρώτοι όροι της γεωμετρικής προόδου (αν ) να βρείτε το λόγο λ της προόδου (αν ) και τον 5 ο όρο α5 της προόδου (αν ). (13 μονάδες) Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με α3 =18 και α4 = 54. α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος λ της προόδου (αν ) είναι ίσος με λ=3. β) Να βρείτε το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της προόδου Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με α6 =3 και α7 = 64. α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος λ της προόδου (αν ) είναι ίσος με λ=. β) Να βρείτε το άθροισμα των επτά πρώτων όρων της προόδου Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν ) με α4 =-16 και α5 = -3. α) Να αποδείξετε ότι ο λόγος λ της προόδου (αν ) είναι ίσος με λ=. β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των πέντε πρώτων όρων της προόδου είναι ίσο με

46 o θέμα Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) x και g( x) x 4, x. α) i) Να αποδείξετε ότι f(1)=3. ii) Να βρείτε την τιμή g(7) β) Να αποδείξετε ότι f(1)=g(7) Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) x 8 και g( x) x 7, x. α) i) Να αποδείξετε ότι f(1)=9. ii) Να βρείτε την τιμή g() β) Να αποδείξετε ότι f(1)=g() Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) x 1 και g( x) x 1, x. α) i) Να αποδείξετε ότι f(1)=0. ii) Να βρείτε την τιμή g(1) β) Να αποδείξετε ότι f(1)=g(1) Δίνονται οι συναρτήσεις f( x) με πεδίο ορισμού το x {0} και g( x) x με πεδίο ορισμού το. α) i) Να αποδείξετε ότι f()=4. ii) Να υπολογίσετε την τιμή g() β) Να αποδείξετε ότι f()=g() 46

47 4ο θέμα α) Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου x 3x,με x (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο x 3x γράφεται x 3x ( x 1)( x ) (Μονάδες 7) x 3x γ) Δίνεται η παράσταση f( x), με x x 1 {1}. i) Χρησιμοποιώντας το συμπέρασμα του ερωτήματος (β) να αποδείξετε ότι f ( x) x ii) Nα βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού x για την οποία ισχύει f( x) 10. ο θέμα Δίνεται η συνάρτηση f, με f ( x) x 3, x α) i) Να βρείτε την τιμή f(). ii) Να αιτιολογήσετε γιατί η γραφική παράσταση Cf της f διέρχεται από το σημείο (,1) (Μονάδες 6) β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση Cf της f διέρχεται από το σημείο (4,5) (Μονάδες 9) Δίνεται η συνάρτηση f, με f ( x) x 4, x α) Να βρείτε τις τιμές f() και f(-). (Μονάδες 16) β) Η γραφική παράσταση Cf της f διέρχεται από τα σημεία (,8),(-,0); Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας (Μονάδες 9) Δίνεται η συνάρτηση f ( x), x {0} x α) Να βρείτε τις τιμές f() και f(1). β) Να αιτιολογήσετε γιατί η γραφική παράσταση Cf της f διέρχεται από τα σημεία (,3),(1,6). 47

48 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x 1, x. α) Να βρείτε τις τιμές f() και f(0). (Μονάδες 16) β) Να αιτιολογήσετε γιατί η γραφική παράσταση Cf της f διέρχεται από τα σημεία (,7),(0,-1). (Μονάδες 9) Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x 3, x. α) Να βρείτε τις τιμές f(1) και f(). (Μονάδες 16) β) Να αιτιολογήσετε γιατί η γραφική παράσταση Cf της f διέρχεται από τα σημεία (1,4),(,7). (Μονάδες 9) 4ο θέμα α) Να λύσετε την εξίσωση x β) Δίνεται η συνάρτηση f( x) x 4 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Χρησιμοποιώντας τον τύπο της συνάρτησης, να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο (3, ). iii) Να βρείτε για ποια τιμή του x ισχύει f(x) = α) Να λύσετε την εξίσωση 3x β) Δίνεται η συνάρτηση f ( x) 3x 9 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Χρησιμοποιώντας τον τύπο της συνάρτησης, να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο (5, ). iii) Να βρείτε για ποια τιμή του x ισχύει f(x) = Δίνεται η συνάρτηση f(x) 3x 1 με x. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο (1, 4 ). β) i) Να λύσετε την εξίσωση 3x (Μονάδες 7) ii) Να βρείτε για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού x ισχύει η σχέση f(x)=10. (Μονάδες 8) 48

49 Δίνεται η συνάρτηση f(x) 5x 15 με x. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο (3,30 ). β) i) Να λύσετε την εξίσωση 5x (Μονάδες 7) ii) Να βρείτε για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού x ισχύει η σχέση f(x)=10. (Μονάδες 8) Δίνεται η συνάρτηση f(x) 4x 3 με x. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο (1,1 ). β) i) Να λύσετε την εξίσωση 4x 3 1. (Μονάδες 7) ii) Να βρείτε για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού x ισχύει η σχέση f(x)=1. (Μονάδες 8) Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x 10 με x. α) i) Να βρείτε την τιμή f(0). ii) Ποιο είναι το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα y y ; (Μονάδες 7) β) i) Να λύσετε την εξίσωση x 10 = 0. ii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x. (Μονάδες 8) α) Να λύσετε την εξίσωση 4x β) Δίνεται η συνάρτηση f( x) 4x 1 i) Μπορεί να πάρει το x την τιμή 3; Αιτιολογήστε την απάντηση σας.(μονάδες 6) ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο (4,1). (Μονάδες 9) α) Να λύσετε την εξίσωση x 8 0. β) Δίνεται η συνάρτηση f( x) x 8 i) Μπορεί να πάρει το x την τιμή -4; Αιτιολογήστε την απάντηση σας.(μονάδες 6) ii) Να βρείτε την τιμή του x ώστε να ισχύει f( x) 1. (Μονάδες 9) 49