8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 3-8-205) Σ.Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανάλογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια. Θεωρούμε τα τραπέζια ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και ΕΖΗΘ (ΕΖ//ΗΘ) με ΑΒ Γ ΕΖ ΘΗ και ΑΕ ˆ ˆ () ΒΖ ˆ ˆ (2) Για να δείξουμε ότι είναι όμοια πρέπει σύμφωνα με τον ορισμό να δείξουμε ότι έχουν α. Τις πλευρές τους ανάλογες β. Τις γωνίες τους (που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές) ίσες μία προς μία. Αρχίζουμε από την ισότητα των γωνιών που είναι πιο εύκολη: Αφού ΑΕ ˆ ˆ θα είναι ˆ 80 Α ˆ 80 ΕΘ ˆ ˆ Αφού ΒΖ ˆ ˆ θα είναι Γ ˆ 80 Β ˆ 80 ΖΗ ˆ ˆ ΑΒ Εστω ΑΒ>ΓΔ.Τότε > Γ οπότε από επειδή ΑΒ Γ ΑΒ ΕΖ ΕΖ ΘΗ Γ ΘΗ ΕΖ θα ισχύει και > ΕΖ > ΘΗ. ΘΗ Φέρουμε ΓΓ // Α και ΗΗ // ΘΕ.Eπειδή ΑΒ>ΓΔ το Γ είναι εσωτερικό σημείο του ΑΒ και επειδή ΕΖ>ΘΗ το Η είναι εσωτερικό σημείο του ΕΖ. Σημειώσεις: Ισως η πιο πάνω παρατήρηση μοιάζει αχρείαστη και παραξενεύει.σκοπός της νομίζω είναι να εξασφαλίσει ότι η γωνία ΓΓˆ Β που για συντομία το σχολικό την ονομάζει Γˆ είναι εντός εκτός και επι τα αυτά με την ˆΑ και επομένως ίση με αυτή (δες παρακάτω) και όχι εντός και επί τα αυτά όπως στο διπλανό σχήμα οπότε θα ήταν παραπληρωματικές. Πάντως πιστεύω θα μπορούσε να παραλειφθεί ώστε οι μαθητές να απολαμβάνουν την χαρά της απόδειξης βασιζόμενοι στο σχήμα χωρίς να νοιάζονται για εξεζετημένες λεπτομέρεις που φυσικά δεν τις παραθεωρούμε αλλά μάλλον ανήκουν σε ένα προχωρημένο μάθημα Γεωμετρίας.
Τότε Γ ˆ Α ˆ (3) ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΓΓ, Α που τέμνονται από την ΑΓ. Τότε Η ˆ Ε ˆ (4) ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων Από τις (), (3) και (4) προκύπτει ότι Γ ˆ Η ˆ (5) ΗΗ και ΘΕ που τέμνονται από την Τα τρίγωνα ΒΓ Γ και ΖΗ Η έχουν δύο γωνίες του ενός ίσες με δύο γωνίες του άλλου (ισότητες (2) και (5)) άρα από το ο κριτήριο ομοιότητας τριγώνων είναι όμοια. Επομένως θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες: ΓΒ ΒΓ ΓΓ Α ΗΖ ΖΗ ΗΗ ΘΕ (I) (Η τελευταία ισότητα της αναλογίας προκύπτει από το γεγονός ότι, αφού ΓΓ Α είναι παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες οπότε ΓΓ Α και αφού ΗΗ ΘΕ είναι παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες οπότε ΗΗ ΘΕ ) Eπίσης από τα δεδομένα και εφαρμόζοντας χρήση ιδιότητας των αναλογιών έχουμε: ΑΒ Γ ΑΒ Γ ΑΒ ΑΓ ΓΒ ΕΖ ΘΗ ΕΖ ΘΗ ΕΖ ΕΗ ΗΖ (II) ΕΗ. ΑΒ Γ ΒΓ Α Από (I) και (ΙI) προκύπτει ότι ΕΖ ΘΗ ΖΗ ΘΕ προς τις πλευρές του τραπεζίου ΕΖΗΘ. δηλαδή οι πλευρές του τραπεζίου ΑΒΓΔ είναι ανάλογες
Σ2. Εστω δοσμένη γωνία ˆ xoy και σημείο Μ.Ο τυχαίος κύκλος που διέρχεται από το Ο και το Μ τέμνει τις ΜΒ d πλευρές Οx, Οy στα Β και Γ αντίστοιχα.να αποδειχθεί ότι όπου d και d είναι οι αποστάσεις του Μ ΜΓ d από τις αντίστοιχα. Tο τετράπλευρο ΟΒΜΓ είναι εγγεγραμμένο στην κύκλο επομένως ΜΓΕ ˆ Β ˆ ( 6.5 Πόρισμα Kάθε εξωτερική γωνία ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ισούται με την απέναντι γωνία του) Τα ορθογώνια τρίγωνα ΕΜΓ και ΔΜΒ έχουν: Μ Β ˆ Μ Γ ˆ 90 Αρα από το ο κριτήριο ομοιότητας είναι ΜΓΕ ˆ Βˆ όμοια, επομένως θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες: ΜΒ Μ Β ΜΒ d ΜΓ ΜΕ ΓΕ ΜΓ d
Σ3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆΑ ορθή) και το ύψος του ΑΔ. Η διχοτόμος της γωνίας ˆΓ τέμνει το ΑΔ στο Ζ και η διχοτόμος της Υπόδειξη: Να χρησιμοποιήσετε α) Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου β) Ομοιότητα τριγώνων γ) Αντίστροφο του Θεωρήματος του Θαλή ˆ ΑΒ τέμνει τη ΒΓ στο Ε. Να αποδείξετε ότι ΖΕ//ΑΒ. Στο τρίγωνο ΑΓΔ, επειδή η ΓΖ είναι διχοτόμος έχουμε: ( 7.8) ΑΖ ΑΓ Ζ Γ () Στο τρίγωνο ΑΒΔ, επειδή η ΑΕ είναι διχοτόμος έχουμε: ( 7.8) ΕΒ ΑΒ Ε Α (2) Τα τρίγωνα ΔΓΑ και ΔΑΒ έχουν: Α Γ ˆ Α Β ˆ 90 Γ ˆ 90 ΓΑ ˆ ΑΒ ˆ Αρα είναι όμοια επομένως θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες: ΑΓ Γ Α ΑΓ ΑΒ ΑΒ Α Β Γ Α (3) Από τις (), (2) και (3) προκύπτει ότι: ΑΖ ΕΒ Ζ Ε οπότε από το αντίστροφο του Θαλή στο τρίγωνο ΑΔΒ έχουμε ότι ΖΕ//ΑΒ.
Σ4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ ˆ Β Γ και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ 2 ΔΒ ΔΓ. Από την υπόθεση έχουμε ότι Β Γ ˆ ˆ 90 Β ˆ 90 +Γ ˆ () Αλλά στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑΒ, η ˆΒ είναι εξωτερική γωνία, επομένως Β ˆ 90 +Α ˆ (2) Από τις (), (2) προκύπτει ότι ˆΓΑ. ˆ Tα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΓ και ΑΔΒ έχουν: ˆ 90 κοινή Αρα είναι όμοια (o κριτήριο ομοιότητας), οπότε θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες: ΓΑ ˆ ˆ Α ΑΒ Γ Α 2 Α Β Γ
Σ5. Η διχοτόμος ΑΔ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε.Να αποδείξετε ότι i) ΑΒ ΑΓ Α ΑΕ ii) 2 ΕΒ ΕΑ Ε i) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΕΓ έχουν: Α ˆ Αˆ αφού ΑΔ διχοτόμος 2 ˆ ˆ ΒΕ ως ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο (το ΑΓ ) Επομένως θα είναι όμοια (o κριτήριο ομοιότητας) και συνεπώς θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες: ΑΒ ΑΕ ΒΕ Α ΑΓ Γ Από ΑΒ ΑΕ ΑΒ ΑΓ Α ΑΕ Α ΑΓ ii) Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΒΔΕ είναι όμοια γιατί έχουν: ˆΕ κοινή ˆΒ ˆ Α (γιατί ˆΒ ˆ Α2ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο (το ΕΓ ) και Α ˆ ˆ Α 2). Επομένως θα είναι όμοια (o κριτήριο ομοιότητας) και συνεπώς θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες: ΕΒ ΑΕ ΑΒ Ε ΕΒ Β 2 ΕΒ ΕΑ Ε