ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

Transcript

1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014)

2

3 Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει τις AB,AΓ στα Δ,E αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι AΔ = AB 3 και AE =. (Μονάδες 15) EΓ β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων AΔ, ΓE. (Μονάδες 10) α) Το είναι το βαρύκεντρο άρα θα έχουμε A A (1), (). AM 3 M Αφού τα τρίγωνα έχουν E / /B, από το Θεώρημα του Θαλή θα ισχύουν : (1) () A A AE A και. AB AM 3 E M β) Έχουμε A A A 6 AB και AE AE E 1 A E 5. E 1 E 1 E 1 E 1 GI_V_GEO Θεωρούμε δύο τρίγωνα ABΓκαι. α) Να εξετάσετε σε ποιές από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ABΓκαι είναι όμοια και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. i. AB=8, AΓ=1, 0 35, 0, 30, ii , 38, 47, 95 iii. AB=ΑΓ,,. (Μονάδες 15) β) Στις περιπτώσεις που το τρίγωνο ABΓείναι όμοιο με το, να γράψετε τους ίσους λόγους των ομόλογων πλευρών τους. (Μονάδες 10)

4 α) i. Τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν δύο πλευρές ανάλογες AB A και τις περιεχόμενες E Z 5 γωνίες ίσες. 0 0 ii. Από τις γωνίες που δίνονται προκύπτει ότι 95, 38, επομένως τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία. iii. Τα τρίγωνα είναι ισοσκελή και έχουν ίση τη γωνία της κορυφής, οπότε είναι όμοια. β) i. AB A B. E Z EZ ii. AB A B EZ E Z. iii. AB A B. E Z EZ GI_V_GEO Στο παρακάτω σχήμα τα τμήματα AΕκαι BΔ τέμνονται στο Γ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ABΓκαι ΕΔΓείναι όμοια σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) AB//ΔΕ. β) BΓ= ΔΓ και (Μονάδες 1) 1 ΕΓ=. (Μονάδες 13) α) Αφού AB//ΔΕ τότε οι γωνίες ABΓ είναι ίσες ως εντός εναλλάξ καθώς και οι γωνίες και είναι ίσες και αυτές ως εντός εναλλάξ. Επίσης η γωνία A είναι ίση με την Γ και γωνία γιατί είναι κατακορυφήν και αφού τα δυο τρίγωνα έχουν και τις τρεις γωνίες ίσες θα είναι όμοια.

5 β) Έχουμε ότι BΓ= ΔΓ δηλαδή ΔΓ 1 και αφού ΕΓ 1, προκύπτει ότι ΔΓ. Τα δύο τρίγωνα έχουν δυο πλευρές ανάλογες και την περιεχόμενη γωνία ίση, αφού A ισούται με την, άρα είναι όμοια. GI_V_GEO α) Να εξετάσετε αν δύο τρίγωνα ABΓ και είναι όμοια σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) AΓ=4, BΓ=16, BΑ=18, 10, 40, ii) 63, 83, 63, 34. (Μονάδες 15) β) Έστω τρίγωνο ABΓμε πλευρές AΒ=6, AΓ=7 και BΓ=8. Ποιο θα είναι το μήκος των πλευρών ενός τριγώνου το οποίο είναι όμοιο με το τρίγωνο ABΓ, με λόγο ομοιότητας 3; (Μονάδες 10) α) i) Έστω ότι τα τρίγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 0. Είναι, οπότε οι ομόλογες πλευρές των,, είναι αντίστοιχα οι,, Όμως,,, άτοπο, άρα δεν είναι όμοια. 3 ii) Είναι , οπότε τα δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, άρα είναι όμοια. β) Έστω x,y,zτα μήκη των πλευρών του με x y z. Αφού το είναι όμοιο με το με λόγο 3, θα είναι x 3AB 18, y 3 1, z 3 4. ΣΧΟΛΙΟ: Θα έπρεπε το ερώτημα (β) να συμπληρωθεί με τη διάταξη των πλευρών του, για να έχουμε μοναδική απάντηση. GI_V_GEO Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί προς τα πάνω στη ράμπα του παρακάτω σχήματος. α) Να αποδείξετε ότι για το ύψος y, που απέχει το κουτί από το έδαφος κάθε χρονική στιγμή,

6 s ισχύει ότι y, όπου sτο μήκος που έχει διανύσει το κουτί πάνω στη ράμπα. 4 (Μονάδες 15) β) Όταν το κουτί απέχει από το έδαφος m, να βρείτε: i. Το μήκος s που έχει διανύσει το κουτί στη ράμπα. (Μονάδες 3) ii. Την απόσταση του σημείου Δ από την άκρη της ράμπας Α. (Μονάδες 7) α) y s y 5s y s. 5 A 0 4 y β) i. s 4ys 8m. ii. Από Πυθαγόρειο θεώρημα: A s y 8 60 A 15m. GI_V_GEO Τα μήκη των πλευρών τριγώνου ABΓείναι 8, 6και 5. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. (Μονάδες 11) β) Να υπολογίσετε τις προβολές της πλευράς AB στις πλευρές AΓ και BΓ. (Μονάδες 14) α) Παρατηρούμε ότι Έχουμε: 8 64 και Ισχύει: ˆ 90, οπότε το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. β) Αρχικά θέλουμε να υπολογίσουμε την προβολή της πλευράς πάνω στην. Γι αυτό θα εφαρμόσουμε το γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα για την πλευρά, η οποία βρίσκεται απέναντι από την αμβλεία γωνία. Αν είναι ύψος του τριγώνου, τότε η ζητούμενη προβολή είναι η. Έχουμε: Αντίστοιχα, για την προβολή της πλευράς πάνω στην θα εφαρμόσουμε το γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα για την πλευρά, η οποία βρίσκεται απέναντι από την οξεία γωνία. Αν ύψος του τριγώνου, τότε η ζητούμενη προβολή είναι η.

7 Έχουμε: B GI_V_GEO Σε τρίγωνο ABΓη διχοτόμος της γωνίας τέμνει την πλευρά BΓσε σημείο Δ, τέτοιο ώστε α) Να αποδείξετε ότι. (Μονάδες 1) 4 5 β) Αν επιπλέον ισχύει ότι, να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. 4 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13) α) Στο τρίγωνο AB η Aείναι εσωτερική διχοτόμος. Άρα ισχύει η αναλογία AB B A. Επομένως, AB 3 AB 3 A. A β) Από τη σχέση AB A προκύπτει ότι AB A. 4 5 Από τη σχέση B A προκύπτει ότι B A. 4 Άρα AB A B, δηλ. η B είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου AB. Υπολογίζουμε λοιπόν 5 5 B A A 4 16 και AB A A A A A A A A Άρα B AB A, οπότε σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος το τρίγωνο AB είναι ορθογώνιο με GI_V_GEO α) Ποιες από τις παρακάτω τριάδες θετικών αριθμών μπορούν να θεωρηθούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

8 i. 3,4,5. ii. 3λ, 4λ, 5λ ( λ > 0). iii. 4, 5, 6. β) Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο να αποδείξετε ότι, το μήκος x είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 4. (Μονάδες18) (Μονάδες 7) α) i. Αρχικά ελέγχουμε αν υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών 3, 4 και 5 αντίστοιχα. Για το λόγο αυτό αρκεί να εξετάσουμε αν ικανοποιείται η τριγωνική ανισότητα για την πλευρά με το μεγαλύτερο μήκος, δηλαδή για την πλευρά με μήκος 5. Παρατηρούμε ότι: που ισχύει. Επομένως υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών 3,4 και 5. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Έχουμε: , οπότε σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα μήκους 5. ii. Αντίστοιχα: , 0 που ισχύει. Άρα υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών 3,4 και , επομένως το τρίγωνο είναι Επιπλέον: ορθογώνιο με υποτείνουσα μήκους 5. iii) Όμοια: που ισχύει. Εξετάζουμε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Παρατηρούμε ότι: είναι ορθογώνιο. 6 36, ενώ , άρα: 6 4 5, οπότε το τρίγωνο δεν β) Με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: x x GI_V_GEO Από ένα σημείο Σ που βρίσκεται έξω από έναν δοσμένο κύκλο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΣΑ και ΣΒ και μία τέμνουσα ΣΓΔ. Να αποδείξετε ότι: α) i. Τα τρίγωνα ΣΒΓ και ΣΔΒ είναι όμοια. ii. Τα τρίγωνα ΣΑΓ και ΣΔΑ είναι όμοια. (Μονάδες 16) β) ΑΓ ΒΔ=ΑΔ ΒΓ (Μονάδες 9)

9 α) i. Τα τρίγωνα B και B είναι όμοια γιατί έχουν τη γωνία 1 κοινή και (σχέση γωνίας χορδής κι εφαπτομένης με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο ίδιο τόξο). ii. Για τον ίδιο λόγο τα τρίγωνα και είναι όμοια ( κοινή και ). β) Είναι A B(εφαπτόμενα τμήματα). Από τις παραπάνω ομοιότητες των τριγώνων, έχουμε: B B B A και A A A. Άρα: B A A B A B. B A GI_V_GEO Τα παρακάτω τρίγωνα και έχουν, και 5, 1, 18 και 15. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια. (Μονάδες 8) β) Να συμπληρώσετε την ισότητα των λόγων με τις κατάλληλες πλευρές του τριγώνου ΔΕΖ: (Μονάδες 9) γ) Να υπολογίσετε τα x και y. (Μονάδες 8)

10 α) Τα τρίγωνα και είναι όμοια γιατί έχουν δύο γωνίες τους ( και ) μία προς μία ίσες. β) Επομένως θα έχουν τις αντίστοιχες (ομόλογες) πλευρές τους ανάλογες: BA A = B ZE Z E (1). y x 5 γ) Από την σχέση (1) αντικαθιστώντας = y 5 y 5 60 = = 3y 60 y x 5 x 5 3x 90 x GI_V_GEO Στο σχήμα που ακολουθεί, το τμήμα είναι παράλληλο στην πλευρά του τριγώνου και επιπλέον ισχύουν 4, 5 και 6. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια. (Μονάδες 9) β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να συμπληρώσετε τα κενά στην ισότητα: (Μονάδες 9) γ) Ένας μαθητής χρησιμοποιεί την αναλογία 4 5 για να υπολογίσει το x. 6 x Να εξηγήσετε γιατί αυτή η αναλογία είναι λάθος, να γράψετε τη σωστή και να υπολογίσετε την τιμή του x. (Μονάδες 7) α) Ισχύει ότι E / /B. Συνεπώς και ως εντός εκτός και επί τα αυτά. Έτσι τα τρίγωνα AE και είναι όμοια αφού έχουν τις γωνίες μία προς μία ίσες. β) Αφού τα τρίγωνα είναι όμοια θα έχουν τις ομόλογες πλευρές της ανάλογες: Δηλαδή AB B A. A E AE γ) Είναι λάθος, γιατί το τμήμα με μήκος 5 δεν είναι πλευρά κανενός τριγώνου.

11 Η σωστή αναλογία θα ήταν A AB 4 9 4x 36 x 9. E B 6 x GI_V_GEO Τα παρακάτω τρίγωνα και είναι ορθογώνια με ορθές τις γωνίες και αντίστοιχα. Επιπλέον, για τις πλευρές των τριγώνων και αντίστοιχα ισχύουν 8, 4 και 1, 18. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια. (Μονάδες 10) β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να συμπληρώσετε κατάλληλα τα κενά: (Μονάδες 9) γ) Από τις παρακάτω ισότητες να επιλέξετε τη σωστή i. ii. iii. iv.. (Μονάδες 6) AB 8 4 α) Είναι και A 1 4. Άρα οι πλευρές και του τριγώνου είναι ανάλογες με τις πλευρές και, αντίστοιχα του τριγώνου. Επίσης έχουν 90. Οπότε τα και έχουν δυο αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες και τις περιεχόμενες (στις πλευρές αυτές) γωνίες ίσες. Άρα είναι όμοια. β) Αφού (από α ερώτημα) τα τρίγωνα είναι όμοια οι αντίστοιχες (ομόλογες) πλευρές τους είναι 4 ανάλογες. Άρα. 3 γ) Τα τρίγωνα και είναι όμοια με λόγο ομοιότητας Άρα έχουμε Δηλαδή σωστό είναι το (iii)

12 GI_V_GEO Στο σχήμα που ακολουθεί ισχύουν //, 6, 8, 15και 10. Α 8 Β 6 Ε Δ Γ α) Να βρείτε δυο ζεύγη ίσων γωνιών των τριγώνων και. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια και να γράψετε την ισότητα των λόγων των ομόλογων πλευρών τους. (Μονάδες 9) γ) Να υπολογίσετε τα τμήματα και. (Μονάδες 8) α) Είναι ΕΑΒ ΕΓΔ και ΕΒΑ ΕΔΓ και στις δύο περιπτώσεις ως εντός εναλλάξ των παράλληλων ευθειών,. β) Αφού τα τρίγωνα και έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, είναι όμοια, οπότε ΑΒ ΒΕ ΑΕ ισχύει:. ΔΓ ΔΕ ΓΕ γ) ΒΕ ΑΕ ΒΕ 6 15ΒΕ 610 ΒΕ 4. ΔΕ ΓΕ και ΑΒ ΑΕ 8 6 6ΔΓ 815 ΔΓ 0. ΔΓ ΓΕ ΔΓ 15 GI_V_GEO 1901 Να χρησιμοποιήσετε τις πληροφορίες που σας δίνονται για το κάθε ζεύγος τριγώνων των παρακάτω σχημάτων, προκειμένου να απαντήσετε στα ακόλουθα: α) Ποιο από τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι όμοια και ποιο δεν είναι; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 14) β) Για το ζεύγος των όμοιων τριγώνων του προηγούμενου ερωτήματος, i. να γράψετε την ισότητα των λόγων των ομόλογων πλευρών. (Μονάδες 6) ii. να βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους. (Μονάδες 5)

13 1ο ζεύγος: τρίγωνα και Λ ο ζεύγος: τρίγωνα και Α Κ Κ 10 6 Μ Ε 15 Β 40 0 Γ Η 65 0 Λ Ζ 9 Δ α) Στο 1 ο ζευγάρι ορθογωνίων τριγώνων ισχύει: Επομένως από το ο κριτήριο ομοιότητας, τα ορθογώνια τρίγωνα, είναι όμοια.

14 Στο ο ζευγάρι ισοσκελών τριγώνων έχουμε: 70 και 0 65, οπότε Συνεπώς, τα τρίγωνα δεν έχουν γωνίες ίσες, οπότε δεν είναι όμοια. β) i. Για τα όμοια τρίγωνα (1 ο ζευγάρι) έχουμε: ii. Προφανώς, ο λόγος ομοιότητας των, είναι:. 3 GI_V_GEO 1903 Στο παρακάτω σχήμα, τα πολύγωνα και είναι όμοια και έχουν και. α) Να προσδιορίσετε το λόγο ομοιότητάς τους. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) β) Να υπολογίσετε το μήκος x της πλευράς. (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε την περίμετρο του πολυγώνου. (Μονάδες 9) α) Οι πλευρές, είναι ομόλογες αφού 90 και.

15 Άρα ο λόγος ομοιότητας του πολυγώνου προς το πολύγωνο είναι AB 10. K 15 3 β) Οι πλευρές, είναι ομόλογες (έχουν προσκείμενες τις ορθές γωνίες), AE x οπότε 3x 36 x 1. KP 3 18 γ) Είναι K MNP KM MN NP PK Ο λόγος των περιμέτρων των δύο πολυγώνων είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους. AB E AB E Άρα AB E KMNP GI_V_GEO 1904 Στο τρίγωνο του παρακάτω σχήματος, το τμήμα είναι παράλληλο στην πλευρά του τριγώνου. Από το σημείο φέρουμε την παράλληλη προς τη η οποία τέμνει την στο σημείο. Να αποδείξετε ότι: Α α) β) γ) Δ Β Ζ Ε Γ (Μονάδες 10) (Μονάδες 10) (Μονάδες 5) α) Είναι ΔΕ//ΒΓ. Από πόρισμα Θ. Θαλή στο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε: E (1). β) Είναι ΔΖ//ΒΕ. Από πόρισμα Θ. Θαλή στο τρίγωνο ΑΒΕ παίρνουμε: (). γ) Από τις σχέσεις (1), () και τους τονισμένους λόγους παίρνουμε: GI_V_GEO Δίνεται τρίγωνο και τυχαίο σημείο στην πλευρά. Φέρνουμε από το σημείο παράλληλες στις πλευρές και που τέμνουν αντίστοιχα τις πλευρές και στα σημεία και. Να αποδείξετε ότι:

16 E B α) A B β) γ) 1 (Μονάδες 10) (Μονάδες 10) (Μονάδες 5) α) E A, άρα τα τρίγωνα BE,B είναι όμοια: E B A B. β) Z//AB, άρα τα τρίγωνα Z, BA είναι όμοια: Z. AB B γ) Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο παραπάνω σχέσεις: E Z B B 1. A AB B B B GI_V_GEO 1908 Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ( // ) και BE το ύψος του. Αν είναι AB=3, ΓΔ=7 και BΓ=4, τότε, α) να αποδείξετε ότι 3. (Μονάδες 13) β) να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. (Μονάδες 1) α) Φέρνω και το άλλο ύψος του τραπεζίου. Είναι ZE AB 3, άρα Z E. Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο EB έχουμε: BE B E BE 3. β) Το τρίγωνο, έχει βάση 3και ύψος 1 H 3, οπότε (AB ) AB H 3 3 Β τρόπος Στο ορθογώνιο τρίγωνο EB, είναι B 0 0 E EB 30 AB 10 Άρα: (AB ) AB B

17 GI_V_GEO Στη διχοτόμο της γωνίας xoy θεωρούμε τα σημεία, τέτοια ώστε. Η κάθετος στην στο σημείο τέμνει την πλευρά x στο σημείο και έστω η προβολή του στην y. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα και είναι όμοια. (Μονάδες 10) x β). (Μονάδες 15) Ο 1 Ε Α Β δ Δ y α) Τα τρίγωνα και είναι ορθογώνια και έχουν τις γωνίες 1 (Η διχοτόμος). Άρα είναι όμοια. β) Αφού είναι όμοια έχουν τις πλευρές ανάλογες, άρα OE OA. OB O GI_V_GEO Στο κυρτό τετράπλευρο του παρακάτω σχήματος, η διχοτόμος της γωνίας είναι παράλληλη στην πλευρά και τέμνει τη στο και τη στο. Αν 1, 8, 9 και 6, να αποδείξετε ότι: α) 6 (Μονάδες 13) β) 9 (Μονάδες 1) α) Στο τρίγωνο AB η AE είναι εσωτερική διχοτόμος.

18 AB EB 8 EB Άρα ισχύει η αναλογία A E 1. 9 Απλοποιώντας το πρώτο κλάσμα η αναλογία γράφεται EB. 3 9 Πολλαπλασιάζουμε χιαστί και έχουμε 3EB 18 EB 6. β) Στο τρίγωνο B έχουμε ZE / /B οπότε από το Θεώρημα E Z 9 Z Θαλή έχουμε. EB Z 6 6 Άρα απλοποιώντας τους παρονομαστές έχουμε Z 9. Δ Ε 1 Α Β Ζ Γ GI_V_GEO Δίνεται κυρτό τετράπλευρο και τα σημεία,, και των πλευρών του,,, αντίστοιχα 1 τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) 1 β) (Μονάδες 10) 3 γ) το παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 5) α) AE AZ EZ B και A AB H H B B β) Τα τρίγωνα AEZ,A B είναι όμοια, καθώς επίσης και τα H, B. Άρα έχουμε: EZ 1 B 3 και H 1, οπότε B 3 1 EZ H B. 3 γ) EZ// H, άρα το EZH είναι παραλληλόγραμμο.

19 ΣΧΟΛΙΟ: Το (γ) ερώτημα, κατά τη γνώμη μου, δεν χρειαζόταν. GI_V_GEO Δίνεται τρίγωνο και τα σημεία και των πλευρών 1 A και αντίστοιχα ώστε. Από το 3 σημείο φέρνουμε παράλληλη προς την, η οποία τέμνει την στο σημείο. Να αποδείξετε ότι : Δ Ε α) Τα τρίγωνα και είναι όμοια. (Μονάδες 10) β) 3. (Μονάδες 15) Β Ζ Γ α) Είναι (1) και κοινή των τριγώνων και (). Άρα τα τρίγωνα και είναι όμοια ( ο κριτήριο ομοιότητας). β) Από την ομοιότητα των τριγώνων και έχουμε τους ίσους λόγους: GI_V_GEO Οι διαγώνιοι του τραπεζίου ( // ) με τέμνονται στο. Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο. Αν 1, 9 και 36, να αποδείξετε ότι: α) 7 Α Β (Μονάδες 1) β) 4 (Μονάδες 13) Ο Μ Δ Γ α) OA O AB O O 7. OB O 9 O 1

20 OA OM 1 OM 9 1 β) BM A OM OM 4. O OB GI_V_GEO Σε ημικύκλιο διαμέτρου κέντρου θεωρούμε σημείο του. Η χορδή τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου στο. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα και είναι όμοια. (Μονάδες 1) β) ( ) 4 ( ) (Μονάδες 13) α) Τα τρίγωνα AB και OB έχουν: 1. AB OB 90 (ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε ημικύκλιο). O κοινή γωνία Άρα τα τρίγωνα AB και OB είναι όμοια. β) Τα τρίγωνα AB και OB είναι όμοια, με λόγο AB ομοιότητας. OB Όμως η AB είναι διάμετρος, ενώ η OB ακτίνα του ίδιου κύκλου. AB OB Άρα, AB OB, οπότε OB OB. Αλλά, ο λόγος των εμβαδών των δύο όμοιων τριγώνων θα ισούται με το τετράγωνο του λόγου (AB) ομοιότητάς τους, δηλ. 4. (OB) Επομένως, (AB) 4(O B).

21 GI_V_GEO Δίνεται τρίγωνο ( ) και, η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος του αντίστοιχα. Αν είναι 6, 3, 5και 15, να αποδείξετε ότι: α) 4 (Μονάδες 1) β) 1 Α (Μονάδες 13) Β Δ Γ Ε α) Ισχύει B B 53. (1). Στο τρίγωνο AB η Aείναι εσωτερική διχοτόμος. Άρα ισχύει η αναλογία AB B 6 3. A A Πολλαπλασιάζουμε χιαστί και έχουμε 3A 1 A 4. β) Ισχύει E BE B (). Από τις σχέσεις (1) και () έχουμε E E GI_V_GEO Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 ) με ύψος και 8, τα μήκη των παρακάτω τμημάτων: α). β). γ) Να υπολογίσετε (Μονάδες 9) (Μονάδες 8) (Μονάδες 8) α) Ισχύει ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο μιας καθέτου πλευράς ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πάνω σε αυτή. Έτσι προκύπτει ότι 3 επομένως 8, επομένως 564 3, άρα β) από εφαρμογή του ΠΘ έχουμε ότι , άρα 36 6.

22 γ) Καταρχήν αφού 10 και το,το Τέλος σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει ότι το τετράγωνο του ύψους ισούται με το γινόμενο των προβολών των καθέτων πάνω στη υποτείνουσα. Έτσι έχουμε επομένως , άρα GI_V_GEO 1904 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές 7, 4και μβ 33. α) Να αποδείξετε ότι 5. (Μονάδες 13) β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. (Μονάδες 1) α) β) Άρα το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο στη γωνία. GI_V_GEO Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 ) με 4 και ύψος. 5 α) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος. (Μονάδες 10) 9 β) Να αποδείξετε ότι. 5 (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου. (Μονάδες 5) α) Εφαρμόζουμε το ΠΘ στο ορθογώνιο τρίγωνο και έχουμε ότι , επομένως. 5 5 β) Ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ότι το τετράγωνο του ύψους ισούται με το γινόμενο των προβολών των καθέτων πάνω στην υποτείνουσα δηλαδή

23 1 16 και με αντικατάσταση έχουμε ή Επομένως γ) η 5 και επομένως GI_V_GEO Δίνεται τρίγωνο με πλευρές 6, 9 και 60. α) Να αποδείξετε ότι 3 7. (Μονάδες 8) β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. (Μονάδες 8) γ) Να υπολογίσετε την προβολή της πάνω στη. (Μονάδες 9) α) Φέρνουμε το ύψος. Στο ορθογώνιο τρίγωνο αφού η γωνία Επομένως η απέναντι κάθετη πλευρά της ισούται με το μισό της υποτείνουσας δηλαδή 6 3. Εφαρμόζοντας το ΠΘ στο έχουμε , έτσι προκύπτει ότι 7. Ακόμη είναι 93 6 και έτσι πάμε στο τρίγωνο ορθογώνιο και εφαρμόζουμε το ΠΘ που δίνει Επομένως έχουμε ότι η γωνία β) Οι πλευρές του τριγώνου είναι λοιπόν 6, 9 και 3 7 με μεγαλύτερη πλευρά την (αφού γιατί ) τότε 81 και 6 (3 7) και επειδή, το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. γ) Από την επέκταση του Πυθαγορείου θεωρήματος στο οξυγώνιο τρίγωνο έχουμε: Β τρόπος 1 Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: