Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Ισότητα Τριγώνων Κυριακή 8 Νοεμβρίου 2015 Τα θέματα και οι απαντήσεις τους ΘΕΜΑ Α Α 1. Α 2. Α 3. Πως ορίζεται η μεσοκάθετος ευθύγραμμου σχήματος; Να αναφέρετε την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου. (Λόγια Σχήμα) Να αποδείξετε ότι σε ίσες χορδές αντιστοιχούν ίσα αποστήματα και αντιστρόφως. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη) i. Δύο τρίγωνα που έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία είναι πάντα ίσα. ii. Δύο τρίγωνα με μία πλευρά ίση και 2 γωνίες ίσες είναι σίγουρα ίσα. iii. Σε δύο τρίγωνα απέναντι από τις ίσες πλευρές αντιστοιχούν οι ίσες γωνίες. iv. Η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου είναι διχοτόμος και ύψος. v. Δύο ορθογώνια τρίγωνα με ίσες υποτείνουσες είναι ίσα. Απάντηση: ( Μονάδες 5+10+10) Α1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι η κάθετη ευθεία που διέρχεται από το μέσο του.
Α2. Απόδειξη από σχολικό βιβλίο σελίδα 45 Θεώρημα 3. Α3. Σ, Λ, Λ, Λ, Λ ΘΕΜΑ Β Δίνονται δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ. Έστω Μ, Μ τα μέσα των ΒΓ, Β Γ αντίστοιχα. Αν ΒΓ=Β Γ, ΑΓ=Α Γ και ΑΜ=Α Μ, να αποδείξετε ότι : Β 1. Β 2. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. Προεκτείνουμε τις διαμέσους ΑΜ και Α Μ κατά ίσα τμήματα ΜΔ και Μ Δ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : Β 3. ΒΔ=Β Δ (Μονάδες 9+8+8) Απάντηση B1. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΜΓ, Α Μ Γ. ΑΜ=Α Μ ΑΓ=Α Γ ΜΓ=Μ Γ ως μισά των ίσων πλευρών ΒΓ, Β Γ αντίστοιχα
Από Π-Π-Π είναι ίσα, άρα Β2. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν: ΑΓ=Α Γ από Β1 ερώτημα ΒΓ=Β Γ Από Π-Γ-Π είναι ίσα. Β3. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΔ, Α Β Δ ΑΔ=Α Δ ως άθροισμα των ίσων πλευρών ΑΜ, Α Μ με τις ΜΔ, Μ Δ αντίστοιχα ως διαφορά των ίσων γωνιών από τις αντίστοιχα ΑΒ=Α Β λόγω της ισότητας των τριγώνων ΑΒΓ, Α Β Γ Από Π-Γ-Π είναι ίσα, άρα ΒΔ=Β Δ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τις ίσες πλευρές του ΑΒ, ΒΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ, ΓΕ αντίστοιχα. Γ 1. Γ 2. Γ 3. Να αποδείξετε ότι ΔΓ=ΒΕ Αν Κ, Λ οι προβολές των Δ, Ε στην ΒΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΚΔ=ΛΕ Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΚΛ είναι ισοσκελές Απάντηση (Μονάδες 10+7+8)
Γ1. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΒΓΕ. ΒΓ κοινή πλευρά ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών ω ΔΒ=ΓΕ Από Π-Γ-Π είναι ίσα, άρα ΒΕ=ΔΓ Γ2. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΚΔ και ΓΛΕ ΒΔ=ΓΕ ως κατακορυφήν των ίσων γωνιών ω Άρα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, οπότε είναι ίσα Γ3. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΚΑΒ και ΑΛΓ ΑΒ=ΑΓ ΚΒ=ΛΓ λόγω της ισότητας των τριγώνων ΚΒΔ, ΛΓΕ ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών ω Από Π-Γ-Π είναι ίσα, άρα ΑΚ=ΑΛ, άρα το ΑΚΛ είναι ισοσκελές.
ΘΕΜΑ Δ Δίνονται 3 ίσες διαδοχικές γωνίες,με άθροισμα μικρότερο της ευθείας, A σημείο της Οx, ΟΑ κάθετη στην Οx. Έστω Β σημείο της Οt με ΟΒ=ΟΓ. Να αποδείξετε ότι Δ 1. Η ΟΜ είναι κάθετη στην ΒΓ Δ 2. Τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΒΜ είναι ίσα Δ 3. Η ΟΓ είναι μεσοκάθετος του ΜΑ Δ 4. Αν Δ είναι το σημείο τομής των ΜΑ, ΟΓ και ΜΚ κάθετη στην ΟΒ, τότε Απάντηση (Μονάδες 7+8+5+5) Δ1. Το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ισοσκελές με ΟΒ=ΟΓ ( ). Άρα η διχοτόμος που αντιστοιχεί στη βάση του, είναι διάμεσος ( άρα ΒΜ=ΜΓ) και ύψος. Επομένως, η ΟΜ είναι κάθετη στην ΒΓ. Δ2. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΒΜ και ΟΑΓ έχουν: ΟΒ=ΟΓ Άρα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, οπότε είναι ίσα Δ3. Από την ισότητα των τριγώνων ΟΑΓ και ΟΒΜ προκύπτουν τα εξής: 1. ΒΜ=ΑΓ και επειδή ΒΜ=ΜΓ, έχουμε ότι ΜΓ=ΑΓ. Άρα, το σημείο Γ ισαπέχει από τα σημεία Μ και Α, επομένως είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΜΑ. 2. ΟΜ=ΟΑ. Άρα, το σημείο Ο ισαπέχει από τα σημεία Μ και Α, επομένως είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΜΑ. Άρα, η ΟΓ είναι μεσοκάθετος του ΜΑ. Δ4. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΚΟ και ΜΟΔ ΟΜ κοινή πλευρά
Άρα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, οπότε είναι ίσα. Άρα,