Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στη Θεωρία και Ανάλυση Αλγορίθμων

Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στη Θεωρία και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα: Ευσταθές ταίριασμα, ορθότητα, σωρός και ουρά προτεραιότητας Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών

641: Γηζαγςγή ζηε Θεςνία θαη Ακάιοζε Αιγμνίζμςκ άνεξ Ναπαδόπμοιμξ

Ριε ημο μαζήμαημξ Βαζηθά ζημηπεία ζπεδίαζεξ & ακάιοζεξ αιγμνίζμςκ Ακάιοζε αιγμνίζμςκ, απμδμηηθόηεηα, αζομπηςηηθόξ ζομβμιηζμόξ Οοκεζηζμέκμη πνόκμη εθηέιεζεξ θαη βαζηθέξ δμμέξ δεδμμέκςκ πίκαθεξ, ιίζηεξ, ζημίβεξ, μονέξ Γοζηαζέξ ηαίνηαζμα, μνζόηεηα, ζςνόξ θαη μονά πνμηεναηόηεηαξ Ιέζμδμξ «Δηαίνεη θαη Βαζίιεοε» Γθανμμγέξ ζε ηαληκόμεζε ζημηπείςκ Γπίιοζε ακαδνμμηθώκ ζπέζεςκ Γναθήμαηα θαη αιγόνηζμμη γναθεμάηςκ Δηάηνελε γναθεμάηςκ (BFS, DFS) Οοκεθηηθόηεηα Πμπμιμγηθή δηάηαλε Ιέζμδμη «Απιεζηείαξ» θαη «Δοκαμηθμύ Ννμγναμμαηηζμμύ» Γιάπηζηα ζθειεηηθά δέκδνα (αιγόνηζμμξ Prim, αιγόνηζμμξ Kruskal) Οοκημμόηενεξ δηαδνμμέξ (αιγόνηζμμξ Dijkstra, Ξμή δηθηύμο) νμκμπνμγναμμαηηζμόξ Γπηιεγμέκα ζέμαηα Ρπμιμγηζηηθή πμιοπιμθόηεηα, NP-πιενόηεηα 2

Γοζηαζέξ ηαίνηαζμα Ιηα θαιύηενε γκςνημία

Ννόβιεμα Γοζηαζμύξ Παηνηάζμαημξ n άκδνεξ n γοκαίθεξ Βνείηε ημ θαηάιιειμ «ηαίνη» γηα θάζε άκδνα θαη γηα θάζε γοκαίθα Σθοπός: τέιεηο θαη πςνίξ ασταζή δεσγάρηα Τέιεηο: μμκμγαμία (1 άκδναξ 1 γοκαίθα) Ασταζές δεσγάρη (,Ρ): μ άκδναξ θαη ε γοκαίθα Ρ πνμηημμύκ μ έκαξ ημκ άιιμκ από ημοξ ηςνηκμύξ ζοκηνόθμοξ ημοξ 4

Ννόβιεμα Γοζηαζμύξ Παηνηάζμαημξ Οηόπμξ. Από n άκδνεξ θαη n γοκαίθεξ, βνείηε έκα "θαηάιιειμ" ηαίνηαζμα. Μη ζομμεηέπμκηεξ βαζμμιμγμύκ μέιε ημο ακηίζεημο θύιμο. Ηάζε άκδναξ θαηαηάζζεη ηηξ γοκαίθεξ με ζεηνά πνμηίμεζεξ από ηεκ θαιύηενε ζηε πεηνόηενε. Ηάζε γοκαίθα θαηαηάζζεη ημοξ άκδνεξ με ζεηνά πνμηίμεζεξ από ημκ θαιύηενμ ζημ πεηνόηενμ. πνμηημώμεκε ειάπηζηα πνμηημώμεκε πνμηημώμεκμξ ειάπηζηα πνμηημώμεκμξ 1 ε 2 ε 3 ε Ηώζηαξ Άκκα Ιανία Γιέκε Κίθμξ Ιανία Άκκα Γιέκε Νέηνμξ Άκκα Ιανία Γιέκε Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ Άκκα Κίθμξ Ηώζηαξ Νέηνμξ Ιανία Ηώζηαξ Κίθμξ Νέηνμξ Γιέκε Ηώζηαξ Κίθμξ Νέηνμξ Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 5

Γθανμμγή 1 Παηνηάδμκηαξ Γηδηθεοόμεκμοξ Ζαηνμύξ ζε Κμζμθμμεία NRMP (οπενεζία National Resident Matching Program ηςκ ΕΝΑ) Ανπηθή πνήζε αμέζςξ μεηά ημκ Β Ναγθόζμημ Νόιεμμ Οημηπεία Ιανηίμο 2005: 23.000+ εηδηθεοόμεκμη Οθμπόξ. Δεδμμέκμο εκόξ ζοκόιμο πνμηημήζεςκ μεηαλύ κμζμθμμείςκ θαη εηδηθεοόμεκςκ ηαηνώκ, ζπεδηάζηε μηα αοημεπηβαιιόμεκε δηαδηθαζία πνμζιήρεςκ. Αζηαζέξ δεογάνη: μ αηηώκ x θαη ημ κμζμθμμείμ y είκαη αζηαζή εάκ Μ x πνμηημά ημ y, από θάπμημ κμζμθμμείμ ημ μπμίμ ημο έπεη ακαηεζεί. Πμ y πνμηημά ημκ x από θάπμημκ εηδηθεοόμεκμ πμο έπεη απμδεπζεί. Γοζηαζήξ ακάζεζε. Ακάζεζε πςνίξ αζηαζή δεογάνηα. Φοζηθή θαη επηζομεηή θαηάζηαζε. Λεπςνηζηά αημμηθά ζομθένμκηα ζα απμηνέρμοκ μπμηεζδήπμηε ζομθςκίεξ μεηαλύ αηημύκηςκ θαη κμζμθμμείςκ. 6

Γθανμμγή 2 Παηνηάδμκηαξ Φμηηεηέξ ζε Γηαηνείεξ γηα Νναθηηθή Άζθεζε Οθμπόξ. Δεδμμέκμο εκόξ ζοκόιμο πνμηημήζεςκ μεηαλύ εηαηνεηώκ θαη θμηηεηώκ, ζπεδηάζηε μηα αοημεπηβαιιόμεκε δηαδηθαζία ακαζέζεςκ. Αζηαζέξ δεογάνη: μ αηηώκ x θαη ε εηαηνεία y είκαη αζηαζή εάκ Μ x πνμηημά ηεκ y, από θάπμηα εηαηνεία πμο ημο έπεη ακαηεζεί. Ε y πνμηημά ημκ x από θάπμημκ θμηηεηή πμο έπεη απμδεπζεί. Γοζηαζήξ ακάζεζε. Ακάζεζε πςνίξ αζηαζή δεογάνηα. Φοζηθή θαη επηζομεηή θαηάζηαζε. Λεπςνηζηά αημμηθά ζομθένμκηα ζα απμηνέρμοκ μπμηεζδήπμηε ζομθςκίεξ μεηαλύ θμηηεηώκ θαη εηαηνεηώκ. 7

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος (Gale-Shapley 1962) Πέιεημ ηαίνηαζμα: θαζέκαξ ηαηνηάδεηαη μμκμγαμηθά. Ηάζε άκδναξ παίνκεη αθνηβώξ μηα γοκαίθα. Ηάζε γοκαίθα παίνκεη αθνηβώξ έκακ άκδνα. Γοζηάζεηα: δεκ οπάνπεη θίκεηνμ γηα θάπμημ δεογάνη ζομμεηεπόκηςκ κα οπμκμμεύζμοκ από θμηκμύ ηεκ ακάζεζε. Οε έκα ηαίνηαζμα M, έκα με ηαηνηαζμέκμ δεογάνη m-w είκαη αζηαζέξ ακ μ άκδναξ m θαη ε γοκαίθα w πνμηημμύκ μ έκαξ ημκ άιιμ από ημοξ ηςνηκμύξ ζοκηνόθμοξ ημοξ. Πμ αζηαζέξ δεογάνη m-w ζα μπμνμύζε κα θαιοηενεύζεη ηεκ θαηάζηαζή ημο εάκ μ θαζέκαξ εγθαηέιεηπε ημκ ζύκηνμθό ημο. Γοζηαζέξ ηαίνηαζμα: ηέιεημ ηαίνηαζμα πςνίξ αζηαζή δεογάνηα. Ννόβιεμα Γοζηαζμύξ Παηνηάζμαημξ. Δεδμμέκςκ ηςκ ιηζηώκ πνμηημήζεςκ από n άκδνεξ θαη n γοκαίθεξ, βνείηε έκα εοζηαζέξ ηαίνηαζμα ακ οπάνπεη. 8

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Γνώηεζε. Γίκαη ε ακάζεζε Η-Γ, Κ-Ι, Ν-A εοζηαζήξ? πνμηημώμεκε ειάπηζηα πνμηημώμεκε πνμηημώμεκμξ ειάπηζηα πνμηημώμεκμξ 1 ε 2 ε 3 ε Ηώζηαξ Άκκα Ιανία Γιέκε Κίθμξ Ιανία Άκκα Γιέκε Νέηνμξ Άκκα Ιανία Γιέκε Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ Άκκα Κίθμξ Ηώζηαξ Νέηνμξ Ιανία Ηώζηαξ Κίθμξ Νέηνμξ Γιέκε Ηώζηαξ Κίθμξ Νέηνμξ Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 9

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Γνώηεζε. Γίκαη ε ακάζεζε Η-Γ, Κ-Ι, Ν-A εοζηαζήξ? Απάκηεζε. Όπη. Ε Ιανία θαη μ Ηώζηαξ ζα γίκμοκ δεογάνη (απαηώκηαξ ημοξ ζοκηνόθμοξ ηεξ ηςνηκήξ ακάζεζεξ). πνμηημώμεκε ειάπηζηα πνμηημώμεκε πνμηημώμεκμξ ειάπηζηα πνμηημώμεκμξ 1 ε 2 ε 3 ε Ηώζηαξ Άκκα Ιανία Γιέκε Κίθμξ Ιανία Άκκα Γιέκε Νέηνμξ Άκκα Ιανία Γιέκε Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ Άκκα Κίθμξ Ηώζηαξ Νέηνμξ Ιανία Ηώζηαξ Κίθμξ Νέηνμξ Γιέκε Ηώζηαξ Κίθμξ Νέηνμξ Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 10

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Γνώηεζε. Γίκαη ε ακάζεζε Η-Α, Κ-Ι, Ν-Γ εοζηαζήξ? Απάκηεζε. Καη. πνμηημώμεκε ειάπηζηα πνμηημώμεκε πνμηημώμεκμξ ειάπηζηα πνμηημώμεκμξ 1 ε 2 ε 3 ε Ηώζηαξ Άκκα Ιανία Γιέκε Κίθμξ Ιανία Άκκα Γιέκε Νέηνμξ Άκκα Ιανία Γιέκε Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ Άκκα Κίθμξ Ηώζηαξ Νέηνμξ Ιανία Ηώζηαξ Κίθμξ Νέηνμξ Γιέκε Ηώζηαξ Κίθμξ Νέηνμξ Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 11

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Πέιεηα Παηνηάζμαηα: {Ηώζηαξ-Άκκα, Κίθμξ-Ιανία} {Ηώζηαξ-Ιανία, Κίθμξ-Άκκα} 1 ε 2 ε Ηώζηαξ Άκκα Ιανία Κίθμξ Άκκα Ιανία Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ Άκκα Ηώζηαξ Κίθμξ Ιανία Ηώζηαξ Κίθμξ Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 12

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Πέιεηα Παηνηάζμαηα: {Ηώζηαξ-Άκκα, Κίθμξ-Ιανία} {Ηώζηαξ-Ιανία, Κίθμξ-Άκκα} Πμ ηαίνηαζμα {Ηώζηαξ-Άκκα, Κίθμξ-Ιανία} είκαη εοζηαζέξ 1 ε 2 ε Ηώζηαξ Άκκα Ιανία Κίθμξ Άκκα Ιανία Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ Άκκα Ηώζηαξ Κίθμξ Ιανία Ηώζηαξ Κίθμξ Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 13

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Πέιεηα Παηνηάζμαηα: {Ηώζηαξ-Άκκα, Κίθμξ-Ιανία} {Ηώζηαξ-Ιανία, Κίθμξ-Άκκα} Πμ ηαίνηαζμα {Ηώζηαξ-Άκκα, Κίθμξ-Ιανία} είκαη εοζηαζέξ Πμ ηαίνηαζμα {Ηώζηαξ-Ιανία, Κίθμξ-Άκκα} δεκ είκαη εοζηαζέξ (Η-Α) 1 ε 2 ε Ηώζηαξ Άκκα Ιανία Κίθμξ Άκκα Ιανία Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ Άκκα Ηώζηαξ Κίθμξ Ιανία Ηώζηαξ Κίθμξ Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 14

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Πέιεηα Παηνηάζμαηα: {Ηώζηαξ-Άκκα, Κίθμξ-Ιανία} {Ηώζηαξ-Ιανία, Κίθμξ-Άκκα} 1 ε 2 ε Ηώζηαξ Άκκα Ιανία Κίθμξ Ιανία Άκκα Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ Άκκα Κίθμξ Ηώζηαξ Ιανία Ηώζηαξ Κίθμξ Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 15

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Πέιεηα Παηνηάζμαηα: {Ηώζηαξ-Άκκα, Κίθμξ-Ιανία} {Ηώζηαξ-Ιανία, Κίθμξ-Άκκα} Πμ ηαίνηαζμα {Ηώζηαξ-Άκκα, Κίθμξ-Ιανία} είκαη εοζηαζέξ, άκηνεξ 1 ε 2 ε Ηώζηαξ Άκκα Ιανία Κίθμξ Ιανία Άκκα Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ Άκκα Κίθμξ Ηώζηαξ Ιανία Ηώζηαξ Κίθμξ Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 16

Πρόβιεμα Εσσταζούς Ταηρηάσματος Πέιεηα Παηνηάζμαηα: {Ηώζηαξ-Άκκα, Κίθμξ-Ιανία} {Ηώζηαξ-Ιανία, Κίθμξ-Άκκα} Πμ ηαίνηαζμα {Ηώζηαξ-Άκκα, Κίθμξ-Ιανία} είκαη εοζηαζέξ, άκηνεξ Πμ ηαίνηαζμα {Ηώζηαξ-Ιανία, Κίθμξ-Άκκα} είκαη εοζηαζέξ, γοκαίθεξ 1 ε 2 ε Ηώζηαξ Άκκα Ιανία Κίθμξ Ιανία Άκκα Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Ακδνώκ 1 μξ 2 μξ Άκκα Κίθμξ Ηώζηαξ Ιανία Ηώζηαξ Κίθμξ Ννμθίι Ννμηημήζεςκ Γοκαηθώκ 17

Αιγόνηζμμξ πνόηαζεξ θαη απόννηρεξ Αιγόνηζμμξ πνόηαζεξ θαη απόννηρεξ. [Gale-Shapley 1962] Propose-and-reject algorithm. Δηαηζζεηηθή μέζμδμξ πμο μαξ εγγοάηαη ηεκ εύνεζε εκόξ εοζηαζμύξ ηαηνηάζμαημξ. 18

Αιγόνηζμμξ πνόηαζεξ θαη απόννηρεξ [Gale-Shapley 1962] Απσικά κάθε άηομο είναι ελεύθεπο while (κάποιορ άνδπαρ είναι ελεύθεπορ και δεν έσει κάνει ππόηαζη ζε κάθε γςναίκα) { Διάλεξε έναν ηέηοιον άνδπα m w = 1 η γςναίκα ηηρ λίζηαρ ηος m ζηην οποία δεν έσει κάνει ακόμα ππόηαζη if (w είναι ελεύθεπη) m και w δεζμεύονηαι else if (w πποηιμά ηον m από ηον ηωπινό ζύνηποθο m') m και w δεζμεύονηαι, και ο m' γίνεηαι ελεύθεπορ else η w αποππίπηει ηον m } 19

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Αδάμ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ Μ Αδάμ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς - Ε Βάζς δέπεηαη γηαηί δεκ έπεη ηαίνη. 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Δακάε Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Μ Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Δακάε - Ε Δακάε δέπεηαη γηαηί δεκ έπεη ηαίνη Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Γηάκκεξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Μ Γηάκκεξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς - Ε Βάζς αθήκεη ημκ Αδάμ θαη δέπεηαη ημκ Γηάκκε Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Αδάμ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Άκκα Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ Μ Αδάμ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Άκκα - Ε Άκκα δέπεηαη γηαηί δεκ έπεη ηαίνη 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Άκκα Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Μ Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Άκκα - Ε Άκκα ημκ απμννίπηεη γηαηί πνμηημάεη ημκ Γηάκκε Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Δακάε Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Μ Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Δακάε - Ε Δακάε αθήκεη ημκ Βάημ θαη δέπεηαη ημκ Δήμμ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Μ Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς - Ε Βάζς ημκ απμννίπηεη γηαηί πνμηημάεη ημκ Γηάκκε Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Άκκα Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Μ Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Άκκα - Ε Άκκα ημκ απμννίπηεη γηαηί πνμηημάεη ημκ Αδάμ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Μ Βάημξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Γςγώ - Ε Γςγώ δέπεηαη γηαηί δεκ έπεη ηαίνη Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Έθημναξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Μ Έθημναξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς - Ε Βάζς ημκ απμννίπηεη γηαηί πνμηημάεη ημκ Γηάκκε Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Έθημναξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Δακάε Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Μ Έθημναξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Δακάε - Ε Δακάε αθήκεη ημκ Δήμμ θαη δέπεηαη ημκ Έθημνα Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Μ Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Γςγώ - Ε Γςγώ ημκ απμννίπηεη γηαηί πνμηημάεη ημκ Βάημ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Μ Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Βάζς - Ε Βάζς ημκ απμννίπηεη γηαηί πνμηημάεη ημκ Γηάκκε Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Μ Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Έννηθα Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Μ Δήμμξ θάκεη πνόηαζε ζηεκ Έννηθα - Ε Έννηθα δέπεηαη γηαηί δεκ έπεη ηαίνη Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Θίζηα Ννμηίμεζεξ Ακδνώκ 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε Αδάμ Βάζς Άκκα Δακάε Έννηθα Γςγώ Βάημξ Δακάε Βάζς Άκκα Γςγώ Έννηθα Γηάκκεξ Βάζς Έννηθα Γςγώ Δακάε Άκκα Δήμμξ Άκκα Δακάε Γςγώ Βάζς Έννηθα Έθημναξ Βάζς Δακάε Άκκα Έννηθα Γςγώ Θίζηα Ννμηίμεζεξ Γοκαηθώκ ΠΓΞΙΑΠΖΟΙΜΟ - Όιμη βνήθακ ηαίνη - Γίκαη εοζηαζέξ ηαίνηαζμα! 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Άκκα Έθημναξ Αδάμ Βάημξ Βάζς Γηάκκεξ Βάημξ Δήμμξ Γςγώ Βάημξ Γηάκκεξ Δήμμξ Δήμμξ Γηάκκεξ Αδάμ Έθημναξ Έθημναξ Αδάμ Δακάε Αδάμ Έθημναξ Δήμμξ Γηάκκεξ Βάημξ Έννηθα Δήμμξ Βάημξ Έθημναξ Γηάκκεξ Αδάμ

Απόδεηλε Μνζόηεηαξ: Πενμαηηζμόξ Ναναηήνεζε 1. Μη άκηνεξ θάκμοκ πνόηαζε ζηηξ γοκαίθεξ ζε θζίκμοζα ζεηνά πνμηίμεζεξ Ναναηήνεζε 2. Όηακ μηα γοκαίθα ηαηνηάδεηαη, δεκ λακαμέκεη πμηέ μόκε ηεξ. Ιόκμ ακηαιιάζεη(ζεηαη) με θαιύηενμοξ ζοκηνόθμοξ Ζζπονηζμόξ. Μ αιγόνηζμμξ ηενμαηίδεη μεηά από O(n 2 ) επακαιήρεηξ ημο βνόπμο while. Απόδεηλε. Οε θάζε επακάιερε έκαξ άκηναξ θάκεη πνόηαζε ζε μηα κέα γοκαίθα. Ρπάνπμοκ μόκμ n 2 δοκαηέξ πνμηάζεηξ. 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 1 μξ 2 μξ 3 μξ 4 μξ 5 μξ Αδάμ A B Γ Δ E Άκκα Β Γ Δ Γ Α Βάημξ B Γ Δ A E Βάζς Γ Δ Γ Α Β Γηάκκεξ Γ Δ A B E Γςγώ Δ Γ Α Β Γ Δήμμξ Δ A B Γ E Δακάε Γ Α Β Γ Δ Έθημναξ A B Γ Δ E Έννηθα Α Β Γ Δ Z Απαηημύκηαη n(n-1) + 1 πνμηάζεηξ (ζημ πεηνόηενμ ζηηγμηόηοπμ) 51

Απόδεηλε Μνζόηεηαξ: Πειεηόηεηα Ζζπονηζμόξ. Όιμη μη άκδνεξ θαη όιεξ μη γοκαίθεξ ηαηνηάδμκηαη Απόδεηλε. (άημπμ) Έζης όηη μ Έθημναξ δεκ έπεη ηαηνηάλεη μέπνη ημ ηέιμξ ημο αιγμνίζμμο. Έθακε πνόηαζε ζε όιεξ αιιά δεκ απέδςζε Πόηε θάπμηα γοκαίθα, έζης ε Άκκα, δεκ έπεη ηαηνηάλεη επίζεξ μεηά ημ πέναξ ημο αιγμνίζμμο. (n-1) άκηνεξ ηαηνηάδμκηαη με (n-1) γοκαίθεξ Από ηεκ Ναναηήνεζε 2, ζηεκ Άκκα δεκ έγηκε πμηέ πνόηαζε. Άημπμ δηόηη μ Έθημναξ έπεη θάκεη πνόηαζε ζε όιεξ αθμύ θαηαιήγεη πςνίξ ηαίνη. 52

Απόδεηλε Μνζόηεηαξ: Γοζηάζεηα Ζζπονηζμόξ. Δεκ οπάνπμοκ αζηαζή δεογάνηα Απόδεηλε. (άημπμ) Έζης έκα αζηαζέξ δεογάνη «Έθημναξ-Άκκα» : θάζε έκαξ πνμηημά ημκ άιιμ από ημκ ηςνηκό ημο ζύκηνμθμ ζημ ηαίνηαζμα S* θαηά Gale-Shapley Νενίπηςζε 1: Μ Γ δεκ έθακε πνόηαζε πμηέ ζηεκ Α. μ Γ πνμηημά ηεκ ζύκηνμθό ημο από ηεκ A. Γ-Α εοζηαζέξ. Νενίπηςζε 2: Μ Γ έθακε πνόηαζε ζηεκ Α. ε Α απέννηρε ημκ Γ (εθείκε ηεκ ζηηγμή ή ανγόηενα) ε Α πνμηημά ημκ ηςνηκό ζύκηνμθό ηεξ από ημκ Γ Α-Γ εοζηαζέξ. μη άκηνεξ θάκμοκ πνόηαζε ζε θζίκμοζα ζεηνά πνμηίμεζεξ S* Άκκα-Βάημξ Βάζς-Έθημναξ... μη γοκαίθεξ μόκμ ακηαιιάζμοκ Οε θάζε πενίπηςζε ημ δεογάνη Α-Γ είκαη εοζηαζέξ, άημπμ. 53

Ούκμρε Ννόβιεμα Γοζηαζμύξ Παηνηάζμαημξ. Δεδμμέκςκ n ακδνώκ θαη n γοκαηθώκ, θαη ηςκ πνμηημήζεώκ ημοξ, βνεξ έκα εοζηαζέξ ηαίνηαζμα ακ οπάνπεη. Αιγόνηζμμξ Gale-Shapley. Γγγοάηαη ηεκ εύνεζε εκόξ εοζηαζμύξ ηαηνηάζμαημξ γηα μπμημδήπμηε ζηηγμηόηοπμ ημο πνμβιήμαημξ. Γνώηεμα. Νώξ ζα οιμπμηεζεί μ αιγόνηζμμξ GS απμδμηηθά; Γνώηεμα. Ακ οπάνπμοκ πμιιά εοζηαζή ηαηνηάζμαηα, πμημ επηιέγεη μ αιγόνηζμμξ GS; 54

Απμδμηηθή Ριμπμίεζε Απμδμηηθή οιμπμίεζε. Ριμπμίεζε ζε πνόκμ O(n 2 ). Ακαπανάζηαζε ακδνώκ θαη γοκαηθώκ Ούκμια ακδνώκ θαη γοκαηθώκ {1,, n} Θίζηεξ πνμηημήζεςκ πώνμξ O(n 2 ) Ηάζε άκδναξ m δηαηενεί ιίζηα πνμηημήζεςκ γηα ηηξ γοκαίθεξ ManPref[m,i] Ηάζε γοκαίθα w δηαηενεί ιίζηα πνμηημήζεςκ γηα ημοξ άκδνεξ WomanPref[w,i] Δεηήμαηα οιμπμίεζεξ ζε Μ(1) πνόκμ. Ακαγκώνηζε ειεύζενμο άκδνα Γηα έκακ άκδνα m: εύνεζε ηεξ γοκαίθαξ με ηεκ ορειόηενε θαηάηαλε ζηε ιίζηα ημο ζηεκ μπμία δεκ έπεη θάκεη αθόμε πνόηαζε Γηα μηα γοκαίθα w: έιεγπμξ δέζμεοζεξ ηεξ θαη ακ καη ηόηε πνμζδημνηζμόξ ημο ζοκηνόθμο ηεξ w. Γηα μηα γοκαίθα w θαη δύμ άκδνεξ m,m : πμημκ από ημοξ m θαη m πνμηημά ε w 56

delete insert Απμδμηηθή Ριμπμίεζε Push Pop FIFO μονά Ακαγκώνηζε ειεύζενμο άκδνα Θίζηα ειεύζενςκ ακδνώκ: επηιμγή από ανπή ιίζηαξ, δηαγναθή ακ ζημίβα δεζμεοζεί, έκζεζε απμδεζμεομέκμο άκδνα ζημ ηέιμξ (ή ανπή) ηεξ ιίζηαξ FIFO μονά ή ζημίβα Γηα έκακ άκδνα m: εύνεζε ηεξ γοκαίθαξ με ηεκ ορειόηενε θαηάηαλε ζηε ιίζηα ημο ζηεκ μπμία δεκ έπεη θάκεη αθόμε πνόηαζε Γπηπιέμκ πίκαθαξ Next. Ανπηθά, Next[m]=1. Next[m] = ζέζε επόμεκεξ γοκαίθαξ πμο ζα θάκεη πνόηαζε O m θάκεη πνόηαζε ζηεκ w : ManPref[m,Next[m]] θαη μεηά ζέηεη Next[m]=Next[m]+1 Γηα μηα γοκαίθα w: έιεγπμξ δέζμεοζεξ ηεξ θαη ακ καη ηόηε πνμζδημνηζμόξ ημο ζοκηνόθμο ηεξ w. Γπηπιέμκ πίκαθαξ Current. Ανπηθά, Current[w]=null (αδέζμεοηε) Current[w] = ηνέπςκ ζύκηνμθμξ ηεξ w 57

Απμδμηηθή Ριμπμίεζε Γηα μηα γοκαίθα w θαη δύμ άκδνεξ m,m : πμημκ από ημοξ m, m πνμηημά ε w. Γηα θάζε γοκαίθα, δεμημονγμύμε ηεκ ακηίζηνμθε (inverse) ηεξ ιίζηαξ πνμηίμεζήξ ηεξ επηπιέμκ πίκαθαξ inverse Οηαζενόξ πνόκμξ γηα θάζε ενώηεζε απόθαζεξ μεηά από Μ(n) πνμενγαζία γηα μηα γοκαίθα Μ(n 2 ) πνμενγαζία γηα όιεξ Άκκα WomanPref 1 μξ 8 2 μξ 3 μξ 3 7 4 μξ 5 μξ 6 μξ 7 μξ 8 μξ 1 4 5 6 2 Άκκα 1 2 3 4 5 6 7 8 Inverse 4 μξ 8 μξ 2 μξ 5 μξ 6 μξ 7 μξ 3 μξ 1 μξ for i = 1 to n inverse[w, WomanPref[w,i]] = i Ε Άκκα πνμηημά ημκ 3 από ημκ 6 θαζώξ inverse[α,3] < inverse[α,6] 2 7 58

αναθηενηζμόξ ηεξ Θύζεξ Γνώηεμα. Γηα έκα δεδμμέκμ ζηηγμηόηοπμ, μπμνεί κα οπάνπμοκ πμιιά εοζηαζή ηαηνηάζμαηα. Ηάζε εθηέιεζε ημο αιγμνίζμμο Gale-Shapley δίκεη ημ ίδημ εοζηαζέξ ηαίνηαζμα; Ακ καη, πμημ πάκηα επηιέγεη; Έκα ζηηγμηόηοπμ με δύμ εοζηαζή ηαηνηάζμαηα. Άκκα-X, Βάζς-Y, Γςγώ-Z. Άκκα-Y, Βάζς-X, Γςγώ-Z. 1 ε 2 ε 3 ε 1 μξ 2 μξ 3 μξ X A B Γ Άκκα Y X Z Y B A Γ Βάζς X Y Z Z A B Γ Γςγώ X Y Z 59

αναθηενηζμόξ ηεξ Θύζεξ Γνώηεμα. Γηα έκα δεδμμέκμ ζηηγμηόηοπμ, μπμνεί κα οπάνπμοκ πμιιά εοζηαζή ηαηνηάζμαηα. Ηάζε εθηέιεζε ημο αιγμνίζμμο Gale-Shapley δίκεη ημ ίδημ εοζηαζέξ ηαίνηαζμα; Ακ καη, πμημ πάκηα επηιέγεη; Μνηζμόξ. Μ άκδναξ m είκαη έκαξ έγθονμξ ζύκηνμθμξ ηεξ γοκαίθαξ w ακ οπάνπεη θάπμημ εοζηαζέξ ηαίνηαζμα ζημ μπμίμ δεζμεύμκηαη. Βέιηηζηε ακάζεζε γηα ημοξ άκδνεξ. Ηάζε άκδναξ επηιέγεη ηεκ θαιύηενε έγθονε ζύκηνμθμ. Ζζπονηζμόξ. Ηάζε εθηέιεζε ημο GS πανάγεη βέιηηζηε ακάζεζε γηα ημοξ άκδνεξ, πμο είκαη έκα εοζηαζέξ ηαίνηαζμα! Δεκ οπάνπεη θακέκαξ ιόγμξ, εθ ηςκ πνμηένςκ, κα πηζηέρμομε όηη μηα βέιηηζηε ακάζεζε γηα ημοξ άκδνεξ είκαη ηέιεηα, πόζμ μάιηζηα εοζηαζέξ. Παοηόπνμκα βέιηηζηε γηα θάζε έκακ θαη γηα όιμοξ ημοξ άκδνεξ. 60

Βειηηζηόηεηα ςξ πνμξ ημοξ Άκδνεξ Ζζπονηζμόξ. Έκα GS ηαίνηαζμα S* είκαη βέιηηζημ γηα ημοξ άκδνεξ. Απόδεηλε. (άημπμ) Έζης όηη θάπμημξ άκδναξ ηαηνηάδεηαη με δηαθμνεηηθή από ηεκ θαιύηενε ζύκηνμθμ. Μη άκδνεξ πνμηείκμοκ ζε θζίκμοζα ηάλε ςξ πνμξ ηηξ πνμηημήζεηξ ημοξ θάπμημξ άκδναξ απμννίπηεηαη από έγθονε ζύκηνμθμ Δ: μ πνώημξ ηέημημξ άκδναξ, θαη A: ε πνώηε έγθονε γοκαίθα πμο ημκ απμννίπηεη. S: έκα εοζηαζέξ ηαίνηαζμα όπμο A-Δ δεζμεύμκηαη. Όηακ μ Δ απμννίπηεηαη, ε A δεζμεύεηαη με έκακ άκηνα, έζης Γ, ημκ μπμίμ πνμηημάεη από ημκ Δ. Έζης B: ημ ηαίνη ημο Γ ζημ S. Μ Γ δεκ έπεη απμννηθζεί από θαμία έγθονε ζύκηνμθμ μέπνη ημ ζεμείμ πμο μ Δ απμννίθζεθε από ηεκ A. Μ Γ πνμηημάεη ηεκ A από ηεκ B. Αιιά ε A πνμηημάεη ημκ Γ από ημκ Δ. Γπμμέκςξ A-Γ είκαη αζηαζέξ δεογάνη ζημ ηαίνηαζμα S. S Άκκα-Δεμήηνεξ Βάζς-Γηώνγμξ... θαζώξ μ Δ είπε ηεκ πνώηε απόννηρε από μηα έγθονε ζύκηνμθμ 61

Ούκμρε Γοζηαζμύξ Παηνηάζμαημξ Ννόβιεμα Γοζηαζμύξ Παηνηάζμαημξ. Δεδμμέκςκ ηςκ ιηζηώκ πνμηημήζεςκ από n άκδνεξ θαη n γοκαίθεξ, βνείηε έκα εοζηαζέξ ηαίνηαζμα ακ οπάνπεη. θακέκαξ άκηναξ θαη θαμία γοκαίθα πνμηημμύκ κα δεζμεοημύκ μεηαλύ ημοξ πανά με ημ ηαίνη πμο ημοξ ακέζεζακ Μ Αιγόνηζμμξ Gale-Shapley. Βνίζθεη έκα εοζηαζέξ ηαίνηαζμα ζε πνόκμ O(n 2 ). Βέιηηζηε ςξ πνμξ ημοξ άκδνεξ. Οημκ αιγόνηζμμ GS όπμο μη άκηνεξ πνμηείκμοκ, θάζε άκηναξ επηιέγεη ηεκ θαιύηενε έγθονε ζύκηνμθμ. ε w είκαη έγθονε ζύκηνμθμξ ημο m ακ οπάνπεη θάπμημ εοζηαζέξ ηαίνηαζμα όπμο μ m θαη ε w ηαηνηάδμκηαη Γνώηεζε. Ε ακηνηθή βειηηζηόηεηα εμθακίδεηαη ζε βάνμξ ηεξ γοκαηθείαξ βειηηζηόηεηαξ; 62

Γοκαηθείμξ Νεζημηζμόξ Γοκαηθεία-πεζημηζηηθή ακάζεζε. Ηάζε γοκαίθα επηιέγεη ημκ πεηνόηενμ έγθονμ ζύκηνμθμ. Ζζπονηζμόξ. Μ Αιγόνηζμμξ GS βνίζθεη έκα γοκαηθείμ-πεζημηζηηθό εοζηαζέξ ηαίνηαζμα S*. Απόδεηλε. Έζης A-Γ ηαίνη ζημ S*, αιιά μ Γ δεκ είκαη ε πεηνόηενε επηιμγή γηα ηεκ A. Ρπάνπεη έκα εοζηαζέξ ηαίνηαζμα S ζημ μπμίμ ε A ηαηνηάδεηαη με θάπμημκ, έζης Δ, πμο ημκ πνμηημάεη ιηγόηενμ από ημκ Γ. Έζης B ημ ηαίνη ημο Γ ζημ ηαίνηαζμα S. Μ Γ πνμηημάεη ηεκ Α από ηεκ B ζημ S*. Γπμμέκςξ, A-Γ είκαη αζηαζέξ δεογάνη ζημ S. Βέιηηζηε ςξ πνμξ ημοξ άκηνεξ S* S Άκκα-Γηώνγμξ Άκκα-Δεμήηνεξ Βάζς-Γηώνγμξ Βάζς- Δεμήηνεξ-...... 63

Γπεθηάζεηξ: Παηνηάδμκηαξ Γηδηθεοόμεκμοξ Ζαηνμύξ ζε Κμζμθμμεία Νανάδεηγμα: Άκηνεξ κμζμθμμεία, Γοκαίθεξ εηδηθεοόμεκμη ηαηνμί. Ναναιιαγή 1. Μνηζμέκμη ζομμεηέπμκηεξ δειώκμοκ άιιμοξ ςξ με-απμδεθημύξ. Ναναιιαγή 2. Νιήζμξ ακηνώκ θαη γοκαηθώκ δηαθένεη Ζαηνόξ A δεκ ζέιεη κα δμοιέρεη ζηεκ Αζήκα Ναναιιαγή 3. Νενημνηζμέκε πμιογαμία. ημ κμζμθμμείμ X ζέιεη κα πνμζιάβεη 3 εηδηθεοόμεκμοξ ηαηνμύξ Ναναιιαγή μνηζμμύ. Έκα ηαίνηαζμα S είκαη αζηαζέξ ακ οπάνπεη έκα κμζμθμμείμ h θαη έκαξ ηαηνόξ r ηέημηα ώζηε: Πμ h θαη μ r είκαη απμδεθηά μεηαλύ ημοξ, θαη είηε μ r είκαη αηαίνηαζημξ, ή μ r πνμηημά ημ h από ημ ηςνηκό, θαη είηε ημ h έπεη ειεύζενεξ ζέζεηξ, ή ημ h πνμηημά ημκ r από ημοιάπηζημκ έκα ηαηνό πμο ημο έπεη ακαηεζεί. 64

Νανάδεηγμα Ηαιμί-θαθμί: n άκδνεξ θαη n γοκαίθεξ με ιίζηεξ πνμηημήζεςκ. Ρπάνπεη k: 1 k n-1 ηέημημξ ώζηε k θαιμί άκδνεξ θαη k θαιέξ γοκαίθεξ (n-k θαθμί άκδνεξ, n-k θαθέξ γοκαίθεξ). Όιμη ζέιμοκ θαιμύξ ακηί γηα θαθμύξ (θαιμί πάκηα πνμεγμύκηαη ζηε ιίζηα πνμηίμεζεξ). Δείληε όηη ζε θάζε εοζηαζέξ ηαίνηαζμα θάζε θαιόξ άκδναξ πακηνεύεηαη μηα θαιή γοκαίθα. 65

Νανάδεηγμα Ηαιμί-θαθμί: n άκδνεξ θαη n γοκαίθεξ με ιίζηεξ πνμηημήζεςκ. Ρπάνπεη k: 1 k n-1 ηέημημξ ώζηε k θαιμί άκδνεξ θαη k θαιέξ γοκαίθεξ (n-k θαθμί άκδνεξ, n-k θαθέξ γοκαίθεξ). Όιμη ζέιμοκ θαιμύξ ακηί γηα θαθμύξ (θαιμί πάκηα πνμεγμύκηαη ζηε ιίζηα πνμηίμεζεξ). Δείληε όηη ζε θάζε εοζηαζέξ ηαίνηαζμα θάζε θαιόξ άκδναξ πακηνεύεηαη μηα θαιή γοκαίθα. Θύζε (άημπμ): Έζης όηη οπάνπεη εοζηαζέξ ηαίνηαζμα S: θαιόξ m θαθή w k-1 θαιμί άκδνεξ: οπάνπεη θαιή γοκαίθα w θαθό άκδνα m Αζηάζεηα ζημ S: m-w : θαη μη δομ θαιμί, άνα πνμηημμύκηαη μεηαλύ ημοξ από ημοξ ηςνηκμύξ ζοκηνόθμοξ ημοξ. S m - w m - w... 66

Πη μάζαμε Ζζπονέξ ηδέεξ θαη ηεπκηθέξ Απμμόκςζε ηεξ δμμήξ ημο πνμβιήμαημξ. Οπεδίαζε πνήζημςκ θαη απμηειεζμαηηθώκ αιγμνίζμςκ. Δοκεηηθά βαζηέξ θμηκςκηθέξ πνμεθηάζεηξ [legal disclaimer] Ζζημνηθά, μη άκδνεξ πνμηείκμοκ ζηηξ γοκαίθεξ. Γηαηί όπη ημ ακηίζηνμθμ; Άκδνεξ: κα πνμηείκμοκ κςνίξ θαη ζοπκά. Άκδνεξ: κα είκαη πημ εηιηθνηκείξ. Γοκαίθεξ: κα πνμηείκμοκ ζημοξ άκδνεξ. Ε ζεςνία μπμνεί κα ζαξ εμπιμοηίζεη θμηκςκηθά θαη ζοκάμα κα είκαη δηαζθεδαζηηθή! Όζμη θαηακμήζεηε ημ μάζεμα ζημ ηέιμξ, ζα απμθηήζεηε θαη ημκ/ηεκ θαιύηενε/μ ζύκηνμθμ! 67

Σωρός Ιηα ζεμειηώδεξ δμμή δεδμμέκςκ

ζε θάζε επίπεδμ οπάνπμοκ όιμη μη θόμβμη εθηόξ (ίζςξ) από ημ ηειεοηαίμ επίπεδμ όπμο οπάνπμοκ μη θόμβμη από ανηζηενά πνμξ δεληά Οςνόξ (Heap) θάζε θόμβμξ έπεη 2 παηδηά Μνηζμόξ: ηζμζηαζζμηζμέκμ δοαδηθό δέκδνμ. Οοκδοάδεη πιεμκεθηήμαηα ηαληκμμεμέκμο πίκαθα θαη ιίζηαξ. log 2 n Δηάηαλε ζςνμύ: γηα θάζε ζημηπείμ v, ζε έκακ θόμβμ i, ημ ζημηπείμ w ζημ γμκέα ημο i ηθακμπμηεί ηε ζπέζε: key(w) key(v) Γηα θάζε θόμβμ ζηε ζέζε i: parent(i) = Li/2, leftchild(i) = 2i, rightchild(i) = 2i+1 69

Ε δηαδηθαζία Heapify-up Οηόπμξ: δηόνζςζε εκόξ ζπεδόκ ζςνμύ με μεηαθίκεζε εκόξ ζημηπείμο πνμξ ηε νίδα Οπεδόκ ζςνόξ με πμιύ μηθνό θιεηδί ζηε ζέζε H[i]: ημ ζημηπείμ v ζηε ζέζε i, έπεη πμιύ μηθνό θιεηδί H[i] πμο πηζακόκ παναβηάδεη ηεκ ηδηόηεηα δηάηαλεξ ζςνμύ νόκμξ Heapify-up: Μ(log n) Γηζαγςγή ζημηπείμο: ημπμζέηεζε ημο κέμο ζημηπείμο ςξ ηειεοηαίμ ζημκ ζςνό θαη θιήζε ηεξ Heapify-up. νόκμξ: O(log n) 70

Ε δηαδηθαζία Heapify-up Οηόπμξ: δηόνζςζε εκόξ ζπεδόκ ζςνμύ με μεηαθίκεζε εκόξ ζημηπείμο πνμξ ηε νίδα Οπεδόκ ζςνόξ με πμιύ μηθνό θιεηδί ζηε ζέζε H[i]: ημ ζημηπείμ v ζηε ζέζε i, έπεη πμιύ μηθνό θιεηδί H[i] πμο πηζακόκ παναβηάδεη ηεκ ηδηόηεηα δηάηαλεξ ζςνμύ Γκαιιαγή ηςκ θιεηδηώκ 3 θαη 11. Μμμίςξ γηα ηα θιεηδηά 3 θαη 5. 71

Ε δηαδηθαζία Heapify-down Οηόπμξ: δηόνζςζε εκόξ ζπεδόκ ζςνμύ με μεηαθίκεζε εκόξ ζημηπείμο πνμξ ηa θύιια Οπεδόκ ζςνόξ με πμιύ μεγάιμ θιεηδί ζηε ζέζε H[i]: ημ ζημηπείμ v ζηε ζέζε i, έπεη πμιύ μεγάιμ θιεηδί H[i] πμο πηζακόκ παναβηάδεη ηεκ ηδηόηεηα δηάηαλεξ ζςνμύ νόκμξ Heapify-down: Μ(log n) Δηαγναθή ζημηπείμο v: ακηηθαηάζηαζε ημο v με ημ ηειεοηαίμ ζημηπείμ ημο ζςνμύ θαη θιήζε ηεξ Heapify-down. νόκμξ: O(log n) 72

Ε δηαδηθαζία Heapify-down Οηόπμξ: δηόνζςζε εκόξ ζπεδόκ ζςνμύ με μεηαθίκεζε εκόξ ζημηπείμο πνμξ ηa θύιια Οπεδόκ ζςνόξ με πμιύ μεγάιμ θιεηδί ζηε ζέζε H[i]: ημ ζημηπείμ v ζηε ζέζε i, έπεη πμιύ μεγάιμ θιεηδί H[i] πμο πηζακόκ παναβηάδεη ηεκ ηδηόηεηα δηάηαλεξ ζςνμύ Γκαιιαγή ηςκ θιεηδηώκ 21 θαη 7. Μμμίςξ γηα ηα θιεηδηά 21 θαη 8. 73

Μονά Ννμηεναηόηεηαξ Δμμή δεδμμέκςκ πμο δηαηενεί έκα ζύκμιμ ζημηπείςκ S Ηάζε ζημηπείμ v є S key(v) Ρπμζηήνηλε - εηζαγςγήξ/δηαγναθήξ ζημηπείμο θαη - επηιμγήξ ζημηπείμο με ημ μηθνόηενμ key() 74

Μονά Ννμηεναηόηεηαξ Ριμπμίεζε με Οςνό CreateHeap(n): επηζηνέθεη θεκό ζςνό H έημημμ κα απμζεθεύζεη n ζημηπεία Ανπηθμπμίεζε: O(n) Insert(H,v): εηζάγεη ημ ζημηπείμ v ζημκ Ε (Heapify-up) O(log n) Delete(H,i): δηαγνάθεη ημ ζημηπείμ ζηε ζέζε i ημο H (Heapify-down) O(log n) FindMin(H): εύνεζε μηθνόηενμο ζημηπείμο ζημκ H O(1) ExtractMin(H): εύνεζε θαη δηαγναθή μηθνόηενμο ζημηπείμο από ημκ H O(log n) 75

Μονά Ννμηεναηόηεηαξ Γθανμμγή ζε ηαληκόμεζε n ζημηπείςκ Γθανμμγή: ηαληκόμεζε n ζημηπείςκ με πνήζε ζςνμύ Heapsort Ανπηθμπμίεζε έκακ ζςνό H με ηα n ζημηπεία Γθηέιεζε n θμνέξ Insert(H,v): Ηάιεζε n θμνέξ ηεκ ExtractMin(H): νόκμξ: O(n log n) 76

Ιηα πνώηε γεύζε Ακαδνμμηθέξ ζπέζεηξ

Ακαδνμμηθέξ Οπέζεηξ ημο νόκμο Γθηέιεζεξ νόκμξ εθηέιεζεξ εκόξ αιγόνηζμμο: Νμιύ ζοπκά μπμνεί κα εθθναζηεί μέζς θάπμηαξ ακαδνμμηθήξ ζπέζεξ Δοαδηθή ακαδήηεζε: Έζης Π(n) ημ θόζημξ ακαδήηεζεξ ζε έκακ πίκαθα μεγέζμοξ n Οε θάζε βήμα θάκεη μηα ζύγθνηζε (ζηαζενό ανηζμό) θαη ζοκεπίδεη με ημ οπόιμηπμ μηζό (ανηζηενό ή δελί) Πμ μέγεζμξ ημο μηζμύ είκαη n/2 θαη άνα ημ θόζημξ T(n/2). Άνα: Π(n) = T(n/2) + 1 Αθμιμοζηαθή ακαδήηεζε: Ακαδήηεζε ζημηπείμο θαη απαιμηθή ημο μέπνη κα μείκεη θεκόξ μ πίκαθαξ 78

Ακαδνμμηθέξ Οπέζεηξ ημο νόκμο Γθηέιεζεξ νόκμξ εθηέιεζεξ εκόξ αιγόνηζμμο: Νμιύ ζοπκά μπμνεί κα εθθναζηεί μέζς θάπμηαξ ακαδνμμηθήξ ζπέζεξ Δοαδηθή ακαδήηεζε: Έζης Π(n) ημ θόζημξ ακαδήηεζεξ ζε έκακ πίκαθα μεγέζμοξ n Οε θάζε βήμα θάκεη μηα ζύγθνηζε (ζηαζενό ανηζμό) θαη ζοκεπίδεη με ημ οπόιμηπμ μηζό (ανηζηενό ή δελί) Πμ μέγεζμξ ημο μηζμύ είκαη n/2 θαη άνα ημ θόζημξ T(n/2). Άνα: Π(n) = T(n/2) + 1, γηα n 2 θαη Π(n) = 1, γηα n = 1 Αθμιμοζηαθή ακαδήηεζε: Ακαδήηεζε ζημηπείμο θαη απαιμηθή ημο μέπνη κα μείκεη θεκόξ μ πίκαθαξ Οε θάζε βήμα ζογθνίκεη n ημ πμιύ ζημηπεία θαη ζοκεπίδεη με ηα οπόιμηπα n-1 ζημηπεία Άνα: Π(n) = T(n-1) + n, γηα n 2 θαη Π(n) = 1, γηα n = 1 81

Πνόπμη Γπίιοζεξ Ακαδνμμηθώκ Οπέζεςκ νόκμξ T(n): Ιαξ εκδηαθένεη ε αθνηβήξ ιύζε ή έκα άκς θνάγμα (αζομπηςηηθή έθθναζε) Θ() Μ() Π(n) = T(n-1) + n, γηα n 2 Π(n) = 1, γηα n = 1 Ιέζμδμη Γπίιοζεξ: Ιέζμδμξ εθδίπιςζεξ ακαδνμμήξ (δέκηνμ ακαδνμμήξ) Γπακαιεπηηθή μέζμδμξ ακάπηολε δηαδνμμήξ Ιέζμδμξ ακηηθαηάζηαζεξ ζςζηήξ πνόβιερεξ Ιέζμδμξ αιιαγήξ μεηαβιεηώκ Βαζηθό Θεώνεμα Ακαδνμμώκ (Ιaster Theorem) Γναμμηθέξ ακαδνμμηθέξ ζπέζεηξ νήζημμ θαη ζοκμπηηθό οιηθό με πμιιά παναδείγμαηα (~16 ζειίδεξ) ζα ακέβεη ζημ ecourse!! 82

Γπακαιεπηηθή μέζμδμξ ακάπηολε δηαδνμμήξ νόκμξ T(n): Ιαξ εκδηαθένεη ε αθνηβήξ ιύζε ή έκα άκς θνάγμα (αζομπηςηηθή έθθναζε) Θ() Μ() Π(n) = T(n-1) + n, γηα n 2 Π(n) = 1, γηα n = 1 Ακάπηολε δηαδνμμήξ: Άνα T(n) = Θ(n 2 ) 83

Ιέζμδμξ ακηηθαηάζηαζεξ ζςζηήξ πνόβιερεξ νόκμξ T(n): Ιαξ εκδηαθένεη ε αθνηβήξ ιύζε ή έκα άκς θνάγμα (αζομπηςηηθή έθθναζε) Θ() Μ() Π(n) = T(n-1) + n, γηα n 2 Π(n) = 1, γηα n = 1 Ννόβιερε: Π(n) = O(n 2 ), δειαδή Π(n) c n 2 γηα θάπμηα c Απόδεηλε: (με επαγςγή ζημ n) Βάζε επαγςγήξ (n=1): Π(1) = 1 c 1 2 πμο ηζπύεη γηα θάζε c 1 Γπαγςγηθή οπόζεζε: T(k) c k 2, γηα θάζε k < n Γπαγςγηθό βήμα: Άνα T(n) = O(n 2 ) 84

Ιέζμδμξ ακηηθαηάζηαζεξ ζςζηήξ πνόβιερεξ νόκμξ T(n): Ιαξ εκδηαθένεη ε αθνηβήξ ιύζε ή έκα άκς θνάγμα (αζομπηςηηθή έθθναζε) Θ() Μ() Π(n) = T(n-1) + n, γηα n 2 Π(n) = 1, γηα n = 1 Ννόβιερε: Π(n) = Ω(n 2 ), δειαδή Π(n) c 2 n 2 γηα θάπμηα c 2 Απόδεηλε: (με επαγςγή ζημ n) Βάζε επαγςγήξ (n=1): Π(1) = 1 c 2 1 2 πμο ηζπύεη γηα θάζε c 2 1 Γπαγςγηθή οπόζεζε: T(k) c 2 k 2, γηα θάζε k < n Γπαγςγηθό βήμα: Άνα T(n) = Ω(n 2 ) 85

Ιέζμδμξ ακηηθαηάζηαζεξ ζςζηήξ πνόβιερεξ νόκμξ T(n): Ιαξ εκδηαθένεη ε αθνηβήξ ιύζε ή έκα άκς θνάγμα (αζομπηςηηθή έθθναζε) Θ() Μ() Π(n) = T(n-1) + n, γηα n 2 Π(n) = 1, γηα n = 1 Γπμμέκςξ: Π(n) = Ω(n 2 ) θαη Π(n) = Μ(n 2 ) Άνα T(n) = Θ(n 2 ) 86

Ιέζμδμξ ακηηθαηάζηαζεξ ζςζηήξ πνόβιερεξ Π(n) 2T(n/2) + cn, γηα n 2, c > 0 ζηαζενά Π(n) = 0, γηα n 1 Ννόβιερε: Π(n) = O(n logn), δειαδή Π(n) d n logn, d > 0 ζηαζενά Απόδεηλε: (με επαγςγή ζημ n) Βάζε επαγςγήξ (n=1): Π(1) = 0 d 1 log1 = 0 Γπαγςγηθή οπόζεζε: T(k) d k logk, γηα θάζε k < n Γπαγςγηθό βήμα: Θα δείλμομε όηη Π(n) d n logn Π(n) 2 T(n/2) + c n 2 d (n/2) log(n/2) + c n = d n (log n - log 2) + c n = d n (log n - 1) + c n = d n log n - d n + c n d n log n, γηα θάζε d c 87

Ιέζμδμξ ακηηθαηάζηαζεξ ζςζηήξ πνόβιερεξ Π(n) 2T(n/2) + cn, γηα n 2, c > 0 ζηαζενά Π(n) = 0, γηα n 1 Ννμζμπή με ημκ πνμζδημνηζμό ηεξ ζηαζενάξ c Ννέπεη κα πνμζδημνηζηεί έηζη ώζηε ε ιύζε Π(n) d n logn, κα ηζπύεη θαη γηα ηηξ ανπηθέξ ζοκζήθεξ (βάζε επαγςγήξ) Ανπηθή ζοκζήθε Π(n) = 0 γηα n 1 δεκ πανμοζηάδεη πνόβιεμα, γηαηί Π(1) = 0 d 1 log1 = 0 γηα θάζε d c > 0 Ακ ε ανπηθή ζοκζήθε ήηακ Π(n) = 1 γηα n 1 Π(1) = 1 d 1 log1 = 0 (!!) Δεκ οπάνπεη d πμο κα ηθακμπμηεί ηεκ Πόηε, βιέπμομε ηη γίκεηαη με άιιεξ μηθνέξ ηημέξ ημο n (n=2,3, ) T(2) = 2 + 2c d 2 log2 = 2d, πμο ηζπύεη γηα θάζε d c + 1 Άνα Π(n) d n logn γηα θάζε n 2 θαη γηα θάζε d c + 1 88

Γπακαιεπηηθή Ιέζμδμξ ακάπηολε ακαδνμμήξ Π(n) 2T(n/2) + cn, γηα n 2, c > 0 ζηαζενά Π(n) = 0, γηα n 1 Ακάπηολε ακαδνμμήξ: 89

Γπακαιεπηηθή Ιέζμδμξ ακάπηολε ακαδνμμήξ Π(n) 2T(n/2) + cn, γηα n 2, c > 0 ζηαζενά Π(n) = 0, γηα n 1 Νμιιαπιαζηάδμομε θάζε ακηζόηεηα με 2 k θαη πνμζζέημομε: 90

Ιέζμδμξ εθδίπιςζεξ ακαδνμμήξ (δέκηνμ ακαδνμμήξ) Π(n) = 3T(n/4) + n, γηα n 2 Π(n) = O(1), γηα n 1 91

Ιέζμδμξ εθδίπιςζεξ ακαδνμμήξ (δέκηνμ ακαδνμμήξ) Π(n) = 3T(n/4) + n, γηα n 2 Π(n) = O(1), γηα n 1 Ιέγεζμξ οπμπνμβιήμαημξ επηπέδμο i: n/4 i Ανηζμόξ θμνοθώκ επηπέδμο i: 3 i Ηόζημξ θμνοθώκ επηπέδμο i: 3 i n/4 i = (¾) i n Ύρμξ h δέκηνμο ακαδνμμήξ: n / 4 h = 1, δει, h = log 4 n Ηόζημξ ηειεοηαίμο επηπέδμο: 92

Οοκδοαζμόξ δέκδνμο ακαδνμμήξ θαη ζςζηήξ πνόβιερεξ Π(n) = T(n/3) + T(2n/3) + c n, γηα n 2 Π(n) = O(1), γηα n 1 Ιέγεζμξ μέγηζημο οπμπνμβιήμαημξ επηπέδμο i: n(2/3) i Ύρμξ h δέκδνμο ακαδνμμήξ : n (2/3) h = 1, δειαδή h = log 3/2 n Ννόβιερε: Π(n) = O(n log n) 93

Οοκδοαζμόξ δέκδνμο ακαδνμμήξ θαη ζςζηήξ πνόβιερεξ Π(n) = T(n/3) + T(2n/3) + c n, γηα n 2 Π(n) = O(1), γηα n 1 Ιέγεζμξ μέγηζημο οπμπνμβιήμαημξ επηπέδμο i: n(2/3) i Ύρμξ h δέκδνμο ακαδνμμήξ : n (2/3) h = 1, δειαδή h = log 3/2 n Ννόβιερε: Π(n) = O(n log n) Απόδεηλε: (με επαγςγή ζημ n) Π(n) d n log n, γηα θάπμηα ζηαζενά d > 0 πμο ηζπύεη γηα d c / (log 3 2/3) 94

Ιέζμδμξ αιιαγήξ μεηαβιεηώκ Π(n) = 2 T( n ) + log n, γηα n 2 Π(n) = O(1), γηα n 1 Θέημομε m = log n, άνα n = 2 m θαη n = 2 m/2 : T(2 m ) = 2 T(2 m/2 ) + m Θέημκηαξ S(m) = T(2 m ) έπμομε, S(m) = 2 S(m/2) + m Νμο γκςνίδμομε όηη S(m) = O(m log m) Π(n) 2T(n/2) + cn T(n) = O(n log n) Άνα, Π(n) = T(2m) = S(m) = O(m log m) = O(log n log log n) 95

Βαζηθό Θεώνεμα Ακαδνμμώκ (Ιaster Theorem) Έζης: θαη θαη Πόηε, Φαίκεηαη πμιύπιμθμ αιιά ηειηθά είκαη πμιύ απιό. Μη ιύζεηξ πενηγνάθμκηαη από ημκ ηύπμ: 96

Βαζηθό Θεώνεμα Ακαδνμμώκ (Ιaster Theorem) Π(n) = 16 T( n / 8 ) + n 2/3 α = 16, β = 8, γ = 2/3, δ = 0 Γλεηάδμομε: α / β γ = 16 / 8 2/3 > 1 Άνα 1 ε πενίπηςζε: 97

Βαζηθό Θεώνεμα Ακαδνμμώκ (Ιaster Theorem) Π(n) = T( 2n / 3 ) + 1 α = 1, β = 3/2, γ = 0, δ = 0 Γλεηάδμομε: α / β γ = 1 / (3/2) 0 = 1 Άνα 2 ε πενίπηςζε: 98

Βαζηθό Θεώνεμα Ακαδνμμώκ (Ιaster Theorem) Π( n 2 ) = 3T( n 2 / 3 ) + n 99

Βαζηθό Θεώνεμα Ακαδνμμώκ (Ιaster Theorem) n 2 = m Π( n 2 ) = 3T( n 2 / 3 ) + n Π( m ) = 3T( m / 3 ) + m 100

Βαζηθό Θεώνεμα Ακαδνμμώκ (Ιaster Theorem) n 2 = m Π( n 2 ) = 3T( n 2 / 3 ) + n Π( m ) = 3T( m / 3 ) + m α = 3, β = 3, γ = 1/2, δ = 0 Γλεηάδμομε: α / β γ = 3 / 3 1/2 = 3 1/2 > 1 Άνα 1 ε πενίπηςζε: 101

Γναμμηθέξ Ακαδνμμηθέξ Οπέζεηξ Ε γναμμηθή ακαδνμμηθή ζπέζε ηάλεξ d έπεη ηεκ μμνθή: Π(n) = a 1 T(n-1) + a 2 T(n-2) + + a d T(n-d) Νανάδεηγμα: ε Fibonacci αθμιμοζία: Π(n) = T(n-1) + T(n-2) Π(1) = 1 Π(0) = 0 Νενηγναθή ηεξ ιύζεξ: Π(n) = c x n Νανάδεηγμα: Άνα: cx n = cx n-1 + cx n-2 x 2 x -1 = 0 x = (1 5)/2 T(n) = c 1 [(1+ 5)/2] n + c 2 [(1-5)/2] n Πηξ ζηαζενέξ c 1 θαη c 2 ηηξ θαζμνίδμομε από ηηξ ανπηθέξ ζοκζήθεξ Π(1) = 1, Π(0) = 0: Γναμμηθό ζύζηεμα 2 εληζώζεςκ με 2 αγκώζημοξ 102

Γναμμηθέξ Ακαδνμμηθέξ Οπέζεηξ Ε γναμμηθή ακαδνμμηθή ζπέζε ηάλεξ d έπεη ηεκ μμνθή: Π(n) = a 1 T(n-1) + a 2 T(n-2) + + a d T(n-d) αναθηενηζηηθή Γλίζςζε ηάλεξ d: x d = a 1 x d-1 + a 2 x d-2 + + a d x 0 Θύζε: Ννμθύπηεη από ηηξ νίδεξ ηεξ παναθηενηζηηθήξ ελίζςζεξ. Ακ r νίδα με πμιιαπιόηεηα 1 ηόηε: r n Ακ r νίδα με πμιιαπιόηεηα k ηόηε: r n, nr n, n 2 r n,, n k r n γναμμηθόξ ζοκδοαζμόξ Νανάδεηγμα: T(n) = 2T(n-1) T(n-2), T(0) =0, T(1) =1 X.E.: x 2 2x + 1 = 0 με δηπιή νίδα ημ x = 1 T(n) = c 1 (1) n + c 2 n (1) n = c 1 + c 2 n Από ανπηθέξ ζοκζήθεξ: c 1 = 0 θαη c 2 = 1 Π(n) = n 103

Ηαιή Ιειέηε!! Ρπάνπμοκ πμιύ θαιέξ ιομέκεξ αζθήζεηξ ζημ βηβιίμ [ΗΠ] Δώζηε πνμζμπή θαη ζημ «νήζημμ Ριηθό»

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Λέκτορας Χάρης Παπαδόπουλος «Εισαγωγή στη Θεωρία και Ανάλυση Αλγορίθμων». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1111. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.