SIERPINSKI CARPET- ΛΟΓΟΣ, ΓΕΝΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ, ΑΘΡΟΙΣΜΑ ν ΠΡΩΤΩΝ ΟΡΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΟΔΟΥ

SIERPINSKI CARPET- ΛΟΓΟΣ, ΓΕΝΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ, ΑΘΡΟΙΣΜΑ ν ΠΡΩΤΩΝ ΟΡΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΡΟΟΔΟΥ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ζώης Βλάχος, Μαθηματικός ΣΧΟΛΕΙΟ Γενικό Λύκειο Κορώνης Μεσσηνίας ΚΟΡΩΝΗ, 22-05-2018

1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής Στο σενάριο αυτό διαπραγματευτήκαμε την έννοια της γεωμετρικής προόδου μέσα από ένα αυτοόμοιο σχήμα (fractal), το χαλί του Sierpinski. Το χαλί του Sierpinski χρησιμοποιήθηκε για την εύρεση του σταθερού λόγου και του γενικού τύπου μιας ακολουθίας γεωμετρικής προόδου, καθώς και για το άθροισμα των ν πρώτων όρων της. Η σύνδεση της γεωμετρικής προόδου με τη Fractal Γεωμετρία γίνεται εντυπωσιακή και επιπλέον με τη χρήση των Νέων Τεχνολογιών χαρίζουν ομορφιά και αναδεικνύουν τα Μαθηματικά εκτός από εργαλείο κατανόησης του κόσμου και σε ένα είδος τέχνης. Η συνεύρεση αυτή βοηθάει τα παιδιά να ξεπεράσουν οποιεσδήποτε δυσκολίες προκύψουν και συγχρόνως τους δίνει το ερέθισμα για την περαιτέρω ενασχόλησή τους με την κατηγορία αυτή των Μαθηματικών. Η χρήση των εργαλείων, όπως αυτή του λογισμικού Geogebra οδηγεί τους μαθητές στον πειραματισμό, στην ανακάλυψη και στην διατύπωση εικασιών. Ο δυναμικός χειρισμός των μαθηματικών αντικειμένων στις δραστηριότητες εμφανίζει από τη μια τις εγγενείς αδυναμίες που παρουσιάζουν οι μαθητές όταν έχουν να αντιμετωπίσουν κάτι νέο, από την άλλη όμως αναδεικνύει τις δυνατότητες των εφαρμογών, στην προσπάθεια που κάνουν οι μαθητές προκειμένου να νοηματοδοτήσουν τις νέες έννοιες ως ενσωματωμένο στοιχείο του Sierpinski Carpet. Μερικές από τις δυσκολίες που εμφάνισαν οι μαθητές έχουν να κάνουν με επιστημολογικά εμπόδια για την έννοια του απείρως μεγάλου και του απείρως μικρού, καθώς και εμπόδια που έχουν να κάνουν με την αποτυχία σύνδεσης γεωμετρίας και αριθμών. Είναι γεγονός ότι οι μαθητές με κάποια σχετική δυσκολία στην αρχή, αλλά με χαρακτηριστική ευχέρεια στη συνέχεια, παρουσίασαν ιδιαίτερη αφοσίωση στη μελέτη των μαθηματικών εννοιών. Η αρχική επιφύλαξη δικαιολογείται από την άγνοια που είχαν οι περισσότεροι από αυτούς τόσο με τα συγκεκριμένα εργαλεία όσο και με το μέσο που αποφασίστηκε να χρησιμοποιηθεί, το χαλί του Sierpinski, για να αποκτηθούν οι συγκεκριμένες γνώσεις. v2.0 Σελίδα2από15

2. Σχεδιασμός της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής 2.1 Στοιχεία σχεδιασμού Για την εργασία αυτή, αλλά και ως γενικότερη αντίληψη, ο ρόλος των εικασιών στην ανάπτυξη της µαθηµατικής σκέψης είναι πολύ σημαντικός. Για να αποδείξουμε µία μαθηματική πρόταση πρέπει πρώτα να προκύψει αυτή ως εικασία. Δηλαδή, μετά από κατάλληλες διεργασίες να οδηγηθούμε στο συμπέρασμα ότι είναι πολύ πιθανόν να ισχύει η συγκεκριμένη πρόταση. Στα φύλλα εργασίας που δίνονται στους μαθητές, και με τη βοήθεια των Νέων Τεχνολογιών ζητείται από τους διδασκόμενους να εικάσουν έναν γενικό τύπο που προκύπτει από μία επαναλαμβανόμενη διαδικασία. Αντιθέτως, η δημιουργία εικασιών απουσιάζει πλήρως από τη διδασκαλία των Μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Στο σύνολο σχεδόν της διδακτέας ύλης δεν φαίνεται η διαδικασία μέσα από την οποία προέκυψε η διατύπωση των προτάσεων και των θεωρημάτων. Οι αναπαραστάσεις μπορεί να συμβάλουν ώστε να αναπτυχθεί μέσα στη τάξη ένας προβληματισμός, που θα οδηγήσει στη διατύπωση της εικασίας. Ιδιαίτερα σήμερα, µε τη χρήση των Νέων Τεχνολογιών, η διατύπωση μιας εικασίας μπορεί να γίνει µε πολύ καλύτερους όρους και να προσεγγισθεί από το μεγαλύτερο μέρος των μαθητών. Το εκπαιδευτικό σενάριο διαφοροποιείται από το παραδοσιακό πλαίσιο της διδασκαλίας των Μαθηματικών, καθώς με την εξαγωγή συμπερασμάτων μέσα από ένα Fractal σχήμα από τους ίδιους τους μαθητές με τη χρήση των τεχνολογικών εργαλείων αναμένεται να βοηθήσει να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά αποτελούν αντικείμενο διερεύνησης (δυνατότητες διερευνητικής μάθησης) και να καταλήξουν στα δικά τους συμπεράσματα, τα οποία πρέπει να έχουν κοινωνική αποδοχή (στο πλαίσιο της τάξης) και επιστημονική τεκμηρίωση. 2.2 Διδακτικοί στόχοι Στόχοι σχετικοί με το γνωστικό αντικείμενο: Μετά το τέλος του μαθήματος, αναμένουμε οι μαθητές να διερευνούν ακολουθίες με σταθερό λόγο διαδοχικών όρων και ορίζουν τη γεωμετρική πρόοδο τους εξετάζουν αν μια ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος τεκμηριώνοντας το συλλογισμό v2.0 Σελίδα3από15

υπολογίζουν το ν-οστό όρο και το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου μοντελοποιούν και επιλύουν προβλήματα με χρήση του ν-οστού όρου και του αθροίσματος ν-πρώτων όρων. Στόχοι σχετικοί με δεξιότητες που αφορούν στο γνωστικό αντικείμενο: Εικασίες που βοηθούν ώστε οι μαθητές να μπορούν να «εφεύρουν» το εμβαδό των μπλε τετραγώνων, το πλήθος των μπλε και λευκών τετραγώνων, καθώς και την περίμετρο της μπλε επιφάνειας και να προσεγγίσουν τα μεγέθη τους σε άπειρα βήματα. Στόχοι σχετικοί με τη χρήση της τεχνολογίας: Τα Μαθηματικά εμπλουτίζονται με πολλαπλές αναπαραστάσεις μέσω των Η/Υ. Οι αναπαραστάσεις ενισχύονται από ένα δυναμικό, φιλικό και ευέλικτο γεωμετρικό περιβάλλον που ελκύει τους μαθητές (Geogebra). Αυτό παρέχει τη δυνατότητα για διερεύνηση, ερμηνεία και σχηματισμό ιδεών, έτσι ώστε οι μαθητές να οδηγούνται μέσα από τον προβληματισμό και το πείραμα, στην ανακάλυψη των υποκείµενων γεγονότων και συσχετισµών. Δίνει έµφαση στην ανάπτυξη συλλογισµών υψηλότερου επιπέδου και δεξιοτήτων για την λύση προβλημάτων παρά στην πρόσληψη μεγάλου όγκου µεµονωµένων δεδομένων προσφέροντας την ευκαιρία στους μαθητές να μαθαίνουν φτιάχνοντας και δοµώντας χειροπιαστές κατασκευές. Θέτει τον μαθητή στο κέντρο της διδασκαλίας και τον ενεργοποιεί. Παρέχει τη δυνατότητα πολλαπλών αναπαραστάσεων της ίδιας έννοιας ή φαινομένου και της ταυτόχρονης ή κατά βούληση χρήσης τους. Ενθαρρύνει τους μαθητές στη γραπτή διατύπωση και τη συµβολική έκφραση των διαισθητικών τους αντιλήψεων. Εµπνέει την πρόκληση προσφέροντας πρωτότυπες εµπειρίες και εμπλέκοντας τους μαθητές σε καταστάσεις για τις οποίες έχουν προσωπικό συµφέρον και κίνητρο για επένδυση. Υποστηρίζει τη συνεργατική μάθηση μεταξύ οµάδων μαθητών. Παρέχει γνωστικά εργαλεία για τη μάθηση και υποστηρίζει τη διαθεµατική προσέγγιση των γνωστικών αντικειμένων. Οι επαναληπτικές διαδικασίες µας παρέχουν την δυνατότητα να συνοψίσουµε µία πολύπλοκη γεωµετρική κατασκευή σε ένα μικρό τµήµα συµβολικής έκφρασής του, δηλαδή σε ένα μικρό τµήµα ενός προγράµµατος. Δραστηριότητες αυτής της μορφής δεν είναι δυνατόν να υλοποιηθούν μέσα σε µία συµβατική αίθουσα διδασκαλίας. Εδώ θα πρέπει να σηµειωθεί ότι το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας στην Α Λυκείου περιέχει µία άσκηση, στο κεφάλαιο των προόδων, η οποία αναφέρεται ακριβώς σε µία αυτοεπεναλαµβανόµενη µορφή και χρησιµοποιείται ως αφετηρία για την υλοποίηση της παρούσας εργασίας. v2.0 Σελίδα4από15

Στόχοι σχετικοί με τις κοινωνικές δεξιότητες (π.χ. διαπραγμάτευση, συνεργασία, διάλογος, ενσυναίσθηση, συμμετοχή σε ομάδα, ανάληψη ρόλων, κ.λπ.) : Η συνεργατική μάθηση (collaborative learning) υποστηριζόμενη από υπολογιστές σημαίνει μάθηση η οποία περιλαμβάνει τόσο τη θεωρητική πλευρά όσο και τις αντίστοιχες τεχνολογίες και πως αυτές επηρεάζουν τη μάθηση. Η συνεργατική μάθηση με την υποστήριξη υπολογιστή (Computer Supported Collaborative Learning - CSCL) είναι ένα από τα πιο σημαντικά ερευνητικά παραδείγματα, αφοσιωμένο στη βελτίωση της διδασκαλίας και της μάθησης με τη βοήθεια σύγχρονων τεχνολογιών πληροφορίας και επικοινωνίας. Ειδικότερα, η Συνεργατική Μάθηση Με Υποστήριξη Υπολογιστή φαίνεται να ενισχύει την ανάπτυξη μεταγνωστικών δεξιοτήτων, να προάγει την οικοδόμηση συνεργατικής γνώσης και την ανάπτυξη δεξιοτήτων επιστημονικής διερεύνησης, να ευνοεί την ανάπτυξη σύγχρονης σκέψης. Στην ιδανική της μορφή περιλαμβάνει την αμοιβαία εμπλοκή των εκπαιδευομένων σε μια συντονισμένη προσπάθεια επίλυσης προβλημάτων και απόκτησης γνώσεων. Οι μαθητές συμμετέχοντας σε ομάδες έχουν τη δυνατότητα να διαπραγματευτούν τις καινούργιες έννοιες που εμφανίζονται, να συζητήσουν, να εγκρίνουν και να απορρίψουν αποφάσεις και ιδέες. Αναλαμβάνουν πρωτοβουλίες να εικάσουν τρόπους εύρεσης των νέων μαθηματικών τύπων και να φτάσουν στην επιστημονική τους τεκμηρίωση. 3. Πραγματοποίηση της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής 3.1 Περιβάλλον πλαίσιο Στο σενάριο αξιοποιήθηκαν οι 3 από τις 4 διδακτικές ώρες που προβλέπεται από το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών στο κεφάλαιο των Προόδων, στην παράγραφο Γεωμετρική Πρόοδος. Τα φύλλα εργασίας δόθηκαν στο εργαστήριο της Πληροφορικής. 3.2 Ηλικιακή ομάδα Το σενάριο απευθύνθηκε σε 18 μαθητές της Α Λυκείου, 12 αγόρια και 6 κορίτσια, όλοι μαθητές ελληνικής υπηκοότητας. Το σχολείο βρίσκεται σε αγροτική περιοχή με αρκετά μεγάλη όμως τουριστική ανάπτυξη για κάποιους μήνες το καλοκαίρι. v2.0 Σελίδα5από15

3.3 Πρότερες γνώσεις και διάρκεια εφαρμογής Όσον αφορά στη σχέση που είχαν οι μαθητές με τα Fractals, αυτή έγινε αρχικά δια μέσου μιας άσκησης που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο, αλλά η μεγαλύτερη ενασχόλησή τους με αυτά δια μέσου των Νέων Τεχνολογιών ήταν πρωτόγνωρη, καθώς ήρθαν σε τέτοιου είδους επαφή εκείνη τη στιγμή, οπότε παρουσίασαν μια έκπληξη και ένα ενδιαφέρον για αυτά και τη συμπεριφορά τους. Η σχέση που είχαν με το αντικείμενο της πληροφορικής και τους Η/Υ μπορεί να χαρακτηριστεί αρκετά ικανοποιητικό. Μια μικρή δυσκολία εντοπίστηκε στο συγκεκριμένο λογισμικό, το Geogebra, το οποίο όμως είχαν μια επαφή τα παλαιότερα χρόνια, που ύστερα όμως από την καθοδήγηση του εκπαιδευτικού ξεπεράστηκε γρήγορα, αφού το λογισμικό αυτό θεωρείται σχετικά απλό προς τη χρήση του. Η διάρκεια της εφαρμογής της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 1 εβδομάδα με 3 διδακτικές ώρες/εβδομάδα. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: [Εμβαδόν Μπλε Τετραγώνων] Διάρκεια: 1 διδακτική ώρα 3.4 Αναλυτική περιγραφή της πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής Είδος δραστηριότητας: Προσομοίωση Οργάνωση τάξης: Εργασία σε ομάδες 3 ατόμων. Οι ομάδες συγκροτήθηκαν με βάση τις επιλογές των μαθητών προσέχοντας όμως να μην καθίσουν μαζί μόνο μαθητές με χαμηλές επιδόσεις στα Μαθηματικά ή μόνο υψηλές επιδόσεις στα Μαθηματικά. Ρόλος του διδάσκοντα: Διδακτικός, ενθαρρυντικός, υποστηρικτικός, συμβουλευτικός. Σύνδεση με τον διδακτικό στόχο: Διερεύνηση ακολουθίας με σταθερό λόγο διαδοχικών όρων και εύρεση γενικού τύπου γεωμετρικής προόδου. Ψηφιακό εκπαιδευτικό περιεχόμενο: http://tube.geogebra.org/m/1699095 v2.0 Σελίδα6από15

Περιγραφή: 1.Ανοίξτε το συνοδευτικό αρχείο.ggb του Geogebra με όνομα Sierpinski Carpet. 2.Θεωρείστε ότι το αρχικό μπλε τετράγωνο έχει εμβαδόν 1 τετραγωνική μονάδα (E 1=1) και κατόπιν μετακινείστε τον δρομέα για ν=2.το εμβαδόν των μπλε τετραγώνων γίνεται E 2=8/9. 3.Μετακινείστε τον δρομέα για ν=3. Το εμβαδόν των μπλε τετραγώνων τώρα είναι E 3=64/81=(8/9) 2. 4.Αν μετακινήσετε τον δρομέα για ν=4, μπορείτε να βρείτε το E 4; 5.Μήπως θα μπορούσατε να γράψετε το E 4 σαν δύναμη του 8/9; 6.Ποιος είναι ο λόγος λ=e 4/E 3; Ποιος ο λόγος λ=e 3/E 2; Ποιος ο λόγος λ=e 2/E 1; Τι παρατηρείτε; Σχόλιο: Τον αριθμό λ=8/9 τον ονομάζουμε λόγο της προόδου και για την ακολουθία αυτή ισχύει E ν+1=e ν 8/9 ή E ν+1/e ν=8/9. 7.Μήπως θα μπορούσατε να εικάσετε ποιος είναι ο γενικός τύπος με τον οποίο μπορεί να βρεθεί το εμβαδόν για οποιαδήποτε τιμή του ν; 8.Ποιο νομίζετε ότι θα είναι το εμβαδόν του «διάτρητου» τετραγώνου μετά από άπειρες επαναλήψεις; (Η απάντηση είναι προαιρετική). 9.Να συμπληρώσετε στον πίνακα που ακολουθεί το εμβαδόν των μπλε τετραγώνων. Βήματα Εμβαδόν μπλε τετραγώνων ν=1 Ε 1 = 1 ν=2 E 2 =8/9 v2.0 Σελίδα7από15

ν=3 ν=4... Γενικός τύπος Αποτελέσματα της δραστηριότητας: Τα αποτελέσματα της δραστηριότητας θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν ενθαρρυντικά. Οι μαθητές στα 2 πρώτα βήματα μετρούσαν τα νέα τετράγωνα που προέκυπταν, στη συνέχεια όμως κατανόησαν τη λογική που διέπει το εν λόγω σχήμα και απαντούσαν στην πλειοψηφία τους αυτόματα στα τελευταία ερωτήματα. Οι πιο «καλοί» μαθητές έδωσαν απευθείας την απάντηση για το γενικό τύπο. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2: [Πλήθος τετραγώνων και Περίμετρος] Διάρκεια: 2 διδακτικές ώρες Είδος δραστηριότητας: προσομοίωση Οργάνωση τάξης: (π.χ. εργασία σε ομάδες) Ρόλος του διδάσκοντα: ενθαρρυντικός, υποστηρικτικός, συμβουλευτικός, διευκολυντικός. Σύνδεση με τον διδακτικό στόχο: υπολογισμός το ν-οστού όρου και το αθροίσματος των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου. Μοντελοποίηση και επίλυση προβλημάτων με χρήση του ν-οστού όρου και του αθροίσματος ν-πρώτων όρων Ψηφιακό εκπαιδευτικό περιεχόμενο: http://tube.geogebra.org/m/1699095 Περιγραφή: 1. Ανοίξτε το συνοδευτικό αρχείο.ggb του Geogebra με όνομα Sierpinski Carpet. Να θεωρήσετε ότι η πλευρά του τετραγώνου έχει μήκος 1 μονάδα και να συμπληρώσετε στον πίνακα που ακολουθεί την περίμετρο του μπλε τετραγώνου. Πόσα μπλε τετράγωνα έχουμε και πόσα άσπρα; 2.Μπορείτε να γράψετε σαν δύναμη του 8 το πλήθος των μπλε τετραγώνων; Να υπολογίσετε το άθροισμα των μπλε και άσπρων τετραγώνων και να συμπληρώσετε τον πίνακα. v2.0 Σελίδα8από15

3.Να μετακινήστε τον δρομέα για ν=2. Πόσα μπλε τετράγωνα έχουμε τώρα και πόσα άσπρα; Να γράψετε σαν δύναμη του 8 τα μπλε τετράγωνα και τα άσπρα τετράγωνα και να συμπληρώσετε τον πίνακα. 4.Ποια είναι η νέα περίμετρος της μπλε επιφάνειας; (δείτε ότι η περίμετρος υπολογίζεται από τα νέα άσπρα τετράγωνα που δημιουργούνται). 5.Να μετακινήστε τον δρομέα για ν=3. Πόσα νέα μπλε και πόσα νέα άσπρα τετράγωνα εμφανίστηκαν; Να γράψτε σαν δύναμη του 8 τα νέα μπλε τετράγωνα και τα νέα άσπρα τετράγωνα και να συμπληρώσετε τον πίνακα. Ποια είναι τώρα η νέα περίμετρος της μπλε επιφάνειας; 6.Μπορείτε να βρείτε έναν γενικότερο κανόνα για το πλήθος των μπλε και το πλήθος των άσπρων τετραγώνων; Να γράψτε τους τύπους στην τελευταία γραμμή του πίνακα. 7.Να μετακινήστε τον δρομέα για ν=4 και να επαναλάβετε τα προηγούμενα βήματα. 8.Να παραγοντοποιήστε κατάλληλα το άθροισμα που βρίσκετε για την περίμετρο. Αρχικά να θεωρήσετε κοινό παράγοντα το 4 και κατόπιν, μέσα στην αγκύλη το 1/3, όπως στο παράδειγμα, ώστε για ν=4 να γίνει 2 3 0 1 1 1 2 1 4 + 48 + 48 + 48 = 3 3 3 2 3 0 1 1 1 2 1 4 1 + 8 + 8 + 8 = 3 3 3 0 1 2 1 8 8 8 41 + + + 3 3 3 3 9. Να επαναλάβετε τη διαδικασία μετακινώντας το δρομέα για ν=5. Βήματα Πλήθος μπλε τετραγώνων Πλήθος άσπρων τετραγώνων Περίμετρος μπλε επιφάνειας ν=1 8 0 = 1 0 4 ν=2 4+4 1/3 v2.0 Σελίδα9από15

ν=3 4+4 1/3+8 4 (1/3) 2 ν=4 ν=5... Γενικός τύπος 10. Χρησιμοποιώντας τους γενικούς τύπους που γράψατε στον πίνακα μπορείτε να βρείτε πόσα τετράγωνα υπάρχουν στη 6η, 7η, 10η επανάληψη; 11. Μπορείτε να φανταστείτε πόσο μεγάλο γίνεται το πλήθος των τετραγώνων, όταν η διαδικασία επαναληφθεί άπειρες φορές και πόση είναι η περίμετρος του αρχικού τετραγώνου μετά την άπειρη "διάτρηση" του από τα τετράγωνα που θα έχουν αφαιρεθεί από μέσα του; Σχόλιο: Η απάντηση στην τελευταία ερώτηση είναι προαιρετική. Αποτελέσματα της δραστηριότητας: Εξίσου ενθαρρυντικά. Οι μαθητές έχοντας την πρότερη εμπειρία με την επαναληπτική διαδικασία των fractals στην πρώτη δραστηριότητα κατάφεραν να προσεγγίσουν αρκετά πιο εύκολα το γενικό τύπο που τους ζητήθηκε. Μια μικρή δυσκολία που παρουσιάστηκε είχε να κάνει με την παραγοντοποίηση που έπρεπε να γίνει ώστε να προσεγγιστεί η περίμετρος του τετραγώνου και να εμφανιστεί το άθροισμα των ν πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου. Η παρέμβαση όμως που γίνονταν μέσα στο φύλλο εργασίας και με τη βοήθειά μου ήταν καταλυτική η αποσαφήνιση της μεθόδου που ακολουθήθηκε. v2.0 Σελίδα10από15

Το χαλί του Sierpinski κατά το 6ο βήμα 4. Στοιχεία τεκμηρίωσης και επέκτασης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής 4.1 Αποτελέσματα - Αντίκτυπος Στο πρώτο φύλλο εργασίας οι μαθητές στο 1ο βήμα έπρεπε να συνδεθούν με το αποθετήριο έργων του Geogebra Tube. Η πρώτη εικόνα που αντίκρισαν είναι ένα τετράγωνο μπλε χρώματος και έναν δρομέα ο οποίος μετακινείται ως το νούμερο 6 (βήμα 6). Στο 1ο βήμα θεωρούμε ότι το αρχικό μπλε τετράγωνο έχει εμβαδόν 1 τετραγωνική μονάδα E 1=1 και κατόπιν οι μαθητές μετακινούν το δρομέα για ν=2. Η πρώτη διαπίστωση που έκαναν ήταν η διαίρεση του τετραγώνου σε 9 μέρη εκ των οποίων το μεσαίο έχει λευκό χρώμα, οπότε εύκολα εξακρίβωσαν ότι το κλασματικό εμβαδόν των μπλε τετραγώνων v2.0 Σελίδα11από15

γίνεται E 2=8/9. Στην προτροπή να μετακινήσουν το δρομέα στην επόμενη θέση και να διαπιστώσουν ότι το μπλε μέρος έχει ξαναδιαιρεθεί, όπως πριν, σε 9 μέρη το καθένα με το μεσαίο να γίνεται λευκό και να διαπιστώσουν ότι ο κλασματικό εμβαδόν των μπλε τετραγώνων τώρα είναι E 3=64/81=(8/9) 2, κάποιοι από τους μαθητές άρχισαν να μετρούν είτε ένα-ένα είτε με πολλαπλασιασμό τα νέα μπλε τετράγωνα που δημιουργήθηκαν και συμφώνησαν όλοι οι μαθητές με τα δεδομένα που τους δίνονταν στο φύλλο εργασίας για το Ε 3. Η μετατροπή του κλάσματος 64/81 σε (8/9) 2 μέσα στο φύλλο εργασίας βοήθησε στο γεγονός να εξάγουν το αποτέλεσμα εύκολα των επόμενων ερωτήσεων (βήματα 4 και 5) από όλες τις ομάδες των μαθητών ότι το κλασματικό εμβαδόν θα γίνει (8/9) 3. Κάποιοι βέβαια μαθητές προσπάθησαν να μετρήσουν ένα-ένα τα νέα τετράγωνα που δημιουργήθηκαν αλλά αμέσως απογοητεύθηκαν από το μεγάλο πλήθος τους και με την προτροπή των συμμαθητών της ομάδας τους υπολόγισαν με τη μέθοδο του πολλαπλασιασμού τον αριθμητή και τον παρανομαστή του κλάσματος. Στο σημείο αυτό δόθηκε από εμένα η ελευθερία να χρησιμοποιήσουν την αριθμομηχανή του Η/Υ για τον ευκολότερο υπολογισμό των δυνάμεων. Κατόπιν, για την εύρεση του γενικού τύπου του κλασματικού εμβαδού των μπλε τετραγώνων, αφού αφέθηκε λίγος χρόνος ώστε οι μαθητές να παρατηρήσουν από τα προηγούμενα βήματα τη σχέση που έχουν τα βήματα της πρώτης στήλης με τις δυνάμεις, κάποιος μαθητής προέτρεξε δίνοντας λάθος απάντηση. Χαρακτηριστικά είπε: «ο γενικός τύπος που ψάχνουμε είναι (8/9) ν» φτάνοντας πολύ κοντά στην αναμενόμενη απάντηση. Μετά την συμβουλή μου, όμως, να προσέξουν λίγο περισσότερο στη σχέση που έχουν το ν (βήμα) με το δείκτη του εμβαδού (Ε ν) σε κάθε βήμα, αρκετοί μαθητές σήκωσαν το χέρι τους να πουν τη γνώμη τους και ο πρώτος που απάντησε έδωσε και τη σωστή απάντηση. Οι υπόλοιποι μαθητές συμφώνησαν μαζί του. Στο τέλος του πρώτου φύλλου εργασίας γράψαμε στον πίνακα και οι μαθητές στο τετράδιό τους τα παρακάτω συμπεράσματα: 8 64 512 8 1,,,,...,,... Η γεωμετρική πρόοδος έχει όρους: 9 81 729 9 Ο λόγος της γεωμετρικής αυτής προόδου είναι αυτής είναι: 1 8 * = 1, ν Ν 9. 8 = 9 1, με και ο γενικός όρος της ακολουθίας Το 2ο φύλλο εργασίας ζητούσε την εύρεση της ακολουθίας, του λόγου και του γενικού τύπου της γεωμετρικής προόδου του πλήθους λευκών και μπλε τετραγώνων και της περιμέτρου της μπλε επιφάνειας. Για το πλήθος των μπλε τετραγώνων γράψαμε: Η γεωμετρική πρόοδος έχει όρους: 1, 8, 64, 512,..., 8,... v2.0 Σελίδα12από15

Ο λόγος της γεωμετρικής αυτής προόδου είναι αυτής είναι: 1 * = 18, ν Ν. = 8, με 1 και ο γενικός όρος της ακολουθίας Για το πλήθος των λευκών τετραγώνων γράψαμε: Η γεωμετρική πρόοδος έχει όρους: 1, 8, 64, 512,..., 8,... Ο λόγος της γεωμετρικής αυτής προόδου είναι αυτής είναι: 2 * = 18, ν Ν, 1. = 8, με 1 και ο γενικός όρος της ακολουθίας Χάρη στη διαίρεση που πραγματοποιεί εύκολα στο υπάρχον τετράγωνο το μαθηματικό λογισμικό μετακινώντας το δρομέα σε κάθε βήμα και με τη βοήθεια που παρείχε το φύλλο εργασίας μέχρι και το 4ο βήμα, το σύνολο των μαθητών κατάφεραν να βρουν το πλήθος των συνολικών τετραγώνων σε κάθε βήμα. Ένας μαθητής από κάθε τμήμα ανέλαβε να αναφέρει την ακολουθία που δημιουργείται, το λόγο της και το γενικό της τύπο. Όσον αφορά στην περίμετρο, οι μαθητές με τη βοήθειά μου στην παραγοντοποίηση κατάφεραν να εικάσουν το γενικό της τύπο, οπότε και να βρουν το λόγο της γεωμετρικής προόδου που κρύβεται μέσα σε αυτόν. Έτσι, γράψαμε στον πίνακα και στα τετράδια για την περίμετρο, τα παρακάτω συμπεράσματα: 8 64 8 1,,,...,,... Η γεωμετρική πρόοδος έχει όρους: 3 9 3 8 = Ο λόγος της γεωμετρικής αυτής προόδου είναι 3 1, με αυτής είναι: 1 8 * = 1, ν Ν 3. και ο γενικός όρος της ακολουθίας Ο γενικός τύπος του αθροίσματος είναι = + 2 1 8 41 3 3 = 0. v2.0 Σελίδα13από15

4.2 Απρόσμενα γεγονότα Η κατασκευή του συγκεκριμένου σχήματος προβλημάτισε τους μαθητές από τα πρώτα του βήματα. Η συνεχής διάτρησή του και η επαναληπτική διαδικασία που το διέπει, το κάνει να φαντάζει κάτι το ιδιαίτερο και μοναδικό. Έτσι, η διαπίστωση ότι το εμβαδόν του σε άπειρα βήματα μηδενίζεται και ταυτόχρονα η περίμετρός του απειρίζεται, αυτό το οξύμωρο σχήμα που παρουσιάζεται, εντυπωσίασε και προσέφερε τροφή για περαιτέρω συζήτηση. 4.3 Εκπαιδευτική τεχνική σε σημαντικά στιγμιότυπα Η στάση μου περισσότερο θα μπορούσε να χαρακτηριστεί συμβουλευτική-βοηθητική. Στα κυριότερα σημεία που έγινε αισθητή η παρέμβασή μου ήταν στην προτροπή μου να μετακινήσουν το δρομέα στην επόμενη θέση και να διαπιστώσουν ότι το μπλε μέρος έχει ξαναδιαιρεθεί, όπως πριν, σε 9 μέρη το καθένα με το μεσαίο να γίνεται λευκό και να διαπιστώσουν ότι το εμβαδόν των μπλε τετραγώνων στο 2ο βήμα είναι E 2=64/81=(8/9) 2. Όταν κάποιοι από τους μαθητές άρχισαν να μετρούν ένα-ένα τα νέα μπλε τετράγωνα που δημιουργήθηκαν, τότε με τη δική μου παρέμβαση, οι μαθητές άρχισαν να «ανακαλύπτουν» τη λογική της επανάληψης. Το ίδιο επαναλήφθηκε σε όλες τις περιπτώσεις όπου εμφανίζονταν η γεωμετρική πρόοδος, ενώ κατά την εύρεση του γενικού τύπου της περιμέτρου, η παρέμβασή μου ήταν καταλυτική, καθώς οι μαθητές ήταν αρκετά δύσκολο να φτάσουν μέχρι την τελική μορφή του γενικού της τύπου. Εκεί έπρεπε να επιστρατεύσω το καθαρά μαθηματικό κομμάτι, ώστε οι μαθητές να οδηγηθούν στο αναμενόμενο αποτέλεσμα. 4.4 Σχέση με άλλες ανοιχτές εκπαιδευτικές πρακτικές Η συγκεκριμένη πρακτική συγκεντρώνει καινοτόμες μεθόδους τόσο στο μαθηματικό της μέρος όσο και στον τρόπο εμπλοκής των μαθητών με ΤΠΕ. Παρουσιάζει ένα ενδιαφέρον τομέα των Μαθηματικών, τα fractal σχήματα, με ένα αναπτυσσόμενο λογισμικό, το Geogebra. Η εκπαιδευτική αυτή πρακτική συμπληρώνει την αντίστοιχη που υπάρχει στην πλατφόρμα Αίσωπος, η οποία ασχολείται με το τρίγωνο Sierpinski. Αυτή μπορούμε να τη βρούμε στην πλατφόρμα Αίσωπος με τον τίτλο Γεωμετρική Πρόοδος. v2.0 Σελίδα14από15

4.5 Αξιοποίηση, γενίκευση, επεκτασιμότητα Ασφαλώς και η Fractal Γεωμετρία έχει πάμπολλες εφαρμογές οι οποίες σχετίζονται με πολλούς τομείς των Μαθηματικών και οι οποίοι μπορούν να αναδειχθούν με τη βοήθεια των ΤΠΕ. Συμπεράσματα πολλά μπορεί να βγάλει κανείς για Εκθετικές Συναρτήσεις, Όρια Συναρτήσεων κλπ και να επεκτείνει τις δραστηριότητες στα αντίστοιχα κεφάλαια και μάλιστα να απευθυνθεί και σε τάξεις του Γυμνασίου. 5. Πρόσθετο υλικό που αξιοποιήθηκε Αναφέρετε εδώ τυχόν πρόσθετο υλικό που αξιοποιήθηκε. Βιβλία: Σχολικό βιβλίο Άλγεβρας Α Λυκείου Σημειώσεις Χάρτες Websites: http://aesop.iep.edu.gr/senaria?search_api_views_fulltext=%ce%93%ce%b5%cf%89%ce%bc%ce %B5%CF%84%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE&sort_by=field_ekp_vathm&sort_order=ASC http://tube.geogebra.org/m/1699095 Λογισμικό: Geogebra Δώστε περισσότερες πληροφορίες για το υλικό (τίτλους, ηλεκτρονικές διευθύνσεις κ.λπ.) Βιβλίο: Η αφορμή δόθηκε από την άσκηση 11 της Β ομάδας της παραγράφου 5.3 του κεφαλαίου 5, από το σχολικό βιβλίο Άλγεβρας Α Λυκείου Websites: Το πρώτο site αναφέρεται στην ανοιχτή εκπαιδευτική πρακτική της πλατφόρμας «Αίσωπος», μέσα από την οποία οι μαθητές μετά το πέρας της πρακτικής που παρουσιάζουμε καλούνται να υλοποιήσουν προαιρετικά. Το δεύτερο site είναι το κανάλι του Geogebra που αποθηκεύονται οι εργασίες και οι μαθητές καλούνται να ανοίξουν ώστε να πραγματοποιήσουν τα φύλλα εργασίας. v2.0 Σελίδα15από15