Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης (2η εκδοχή, Ιανουάριος 2016)
|
|
- Παλλάς Αναγνώστου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης (η εκδοχή, Ιανουάριος 016)
2 Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Προλεγόμενα Σ τις παρούσες σημειώσεις που εκπονήθηκαν για τις ανάγκες εργαστηρίου Διδακτικής των Μαθηματικών συμπεριλάβαμε ερωτήματα μαθηματικών και προβληματισμούς διδακτικών προεκτάσεων, ενδεικτικούς των θεμάτων που θα μας απασχολήσουν αλλά και της λογικής με την οποία θα τα προσεγγίσουμε. Έχουμε τη γνώμη ότι ανάλογα ερωτήματα και προβληματισμοί μαθηματικών, όπου η διαπραγμάτευσή τους βασίζεται σε διαδικασίες επαγωγικής συλλογιστικής, προσφέρονται για αυθεντική και δημιουργική δουλειά των μαθητών σε σχολικές τάξεις. Και εν δυνάμει, υποστηρίζουν την καλλιέργεια της γόνιμης παρατηρητικότητας ένα από τα πλέον ουσιαστικά ζητούμενα της Μαθηματικής Εκπαίδευσης. Ο προγραμματισμός του εργαστηρίου προβλέπει συναντήσεις εργασίας -ωρης διάρκειας, κάθε φορά με μια ομάδα 1 καθηγητών μαθηματικών, με στόχο την επικαιροποίηση γνώσεων αλλά και διδακτικών πρακτικών στην κατεύθυνση της επίλυσης προβλημάτων με διαδικασίες επαγωγικής συλλογιστικής. Τέλος, να σημειώσουμε ότι το εν λόγω εργαστήριο θα αναπτυχθεί στα Τρίκαλα και την Καρδίτσα, κατά το δίμηνο Δεκεμβρίου 015 Ιανουαρίου 016, υπό την έγκριση του Τμήματος Επιστημονικής και Παιδαγωγικής Καθοδήγησης Δ/θμιας Εκπ/σης της Περιφερειακής Δ/νσης Εκπ/σης Θεσσαλίας. Δ.Ν. Δεκέμβριος 015
3 Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών 3 ΠΡΟΣΠΑΘΩΝΤΑΣ ΝΑ ΛΥΣΕΙ ΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ [Δ.ΝΤΡ (1)] Μια μέρα μετά το μάθημα των μαθηματικών, ένας μαθητής τρίτης γυμνασίου ζήτησε από τον καθηγητή του να δουν μαζί κάποιες ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις που έκανε, καθώς προσπαθούσε να βρει έναν τύπο που να συνδέει το πλήθος σημείων του επιπέδου με το πλήθος των ευθυγράμμων τμημάτων που ορίζονται από τα σημεία αυτά. Ο μαθητής στην προσπάθειά του αυτή, και καθώς σχεδίαζε πολύγωνα και καταμετρούσε προσεκτικά το πλήθος των πλευρών και των διαγωνίων τους, κάποια στιγμή εστίασε αυθόρμητα την προσοχή του σε μια ιδιότητα που εμφανίζονταν σε όλες τις ειδικές περιπτώσεων που εξέτασε. Συγκεκριμένα παρατήρησε τα εξής: Από 3 σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, ορίζονται 1+=3 ευθ. τμήματα. Από 4 σημεία, που ανά τρία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, ορίζονται 1++3=6 ευθ. τμήματα. Από 5 σημεία, που ανά τρία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, ορίζονται =10 ευθ. τμήματα. Από 6 σημεία, που ανά τρία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, ορίζονται =15 ευθ. τμήματα. Από 7 σημεία, που ανά τρία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, ορίζονται =1 ευθ. τμήματα.. Μετά από τις παραπάνω παρατηρήσεις στο μυαλό του μαθητή ήρθε διαμιάς και η ιδέα της γενίκευσης, που την διατύπωσε ως εξής:
4 4 Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Έστω ν διαφορετικά σημεία στο επίπεδο, με ν 3, που ανά τρία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία γραμμή. Το πλήθος όλων των ευθυγράμμων τμημάτων που ορίζονται από τα σημεία ν 1. αυτά είναι: ( ) Ο μαθητής αφού πρώτα παρουσίασε προσεκτικά όλα τα παραπάνω στον καθηγητή του, του ζήτησε τη βοήθειά του: Ήθελε πρώτα-πρώτα να μάθει αν η γενίκευση που έκανε ήταν σίγουρα σωστή και, επιπλέον, ήθελε και μια μαθηματική εξήγηση, με βάση τα μαθηματικά που ως εκείνη τη στιγμή γνώριζε. Ο καθηγητής του, αφού πρώτα τον συγχάρηκε για τη αξιέπαινη δουλειά του, του έδωσε σε γενικές γραμμές την παρακάτω απόδειξη, χρησιμοποιώντας υποβοηθητικά και ανάλογη γεωμετρική εποπτεία: Αν πάρουμε ένα από τα ν σημεία, τότε μπορούμε να ενώσουμε το σημείο αυτό με όλα τα υπόλοιπα ν 1 σημεία, με ν 1ευθύγραμμα τμήματα. Και αν αυτή τη διαδικασία την επα- ν ν 1 ευθύγραμμα τμήματα, ναλάβουμε για καθένα από τα ν σημεία, τότε παίρνουμε ( ) που το καθένα όμως από τα τμήματα αυτά θα έχει καταμετρηθεί δύο φορές. ν ν 1 Επομένως το ζητούμενο πλήθος των ευθυγράμμων τμημάτων ισούται με ( ) Στη συνέχεια, ο μαθητής διαπίστωσε ότι και με τον τύπο του καθηγητή του έβρισκε τα ίδια ακριβώς αριθμητικά αποτελέσματα με εκείνα που βρήκε νωρίτερα με τον δικό του τρόπο. Στον μαθητή όμως κάτι τελικά δεν άρεσε. Κι αυτό ήταν που ο καθηγητής του δεν ξεκίνησε από τα ευρήματα της δικής του δουλειάς, ούτε τον απασχόλησε η γενίκευση που έκανε ο ίδιος. Ο καθηγητής έδωσε απλά τη δική του απάντηση στο πρόβλημα, χωρίς όμως να μπει στον κόπο να ερμηνεύσει τον τρόπο της δικής του σκέψης, των παρατηρήσεών του και της γενίκευσής του. Έπειτα, συνδυάζοντας τη γενίκευση που έκανε ο ίδιος με τον τύπο του καθηγητή του, του γεννήθηκε εντελώς φυσικά μια νέα απορία. Ήθελε τώρα να εξηγήσει γιατί είναι ίσες οι παραστάσεις: ( ν 1) και ν ( ν 1) ΣΧΟΛΙΑ Από την παραπάνω περιγραφή προκύπτει ότι ο μαθητής για να λύσει το πρόβλημα ακολούθησε διαδικασίες που, ως ένα βαθμό, προσομοιάζουν με τις διαδικασίες ενός ερευνητή: εξέτασε πρώτα ειδικές περιπτώσεις, κατέγραψε τα αποτελέσματά του, εντόπισε μια κανονικότητα που επαναλαμβάνονταν σε όλες τις ειδικές περιπτώσεις, διατύπωσε μια γενίκευση και, ακολούθως, ανακοίνωσε τα αποτελέσματα της δουλειάς του στον καθηγητή του για περαιτέρω συζήτηση.
5 Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ 1. Ποιες απαντήσεις θα δίνατε εσείς στα συγκεκριμένα ερωτήματα του μαθητή; Με ποιον τρόπο αλγεβρικό σε πρώτη φάση θα του εξηγούσατε, για παράδειγμα, ότι οι ν ( ν 1) παραστάσεις: ( ν 1) και είναι ίσες, παίρνοντας υπόψη ότι ο μαθητής αυτός δεν γνώριζε τύπους υπολογισμού ειδικών αθροισμάτων;. Μήπως έχετε να προτείνετε κάποια βελτίωση στη γενίκευση που έκανε ο μαθητής; 3. Με αφετηρία τη μαθηματική ιδέα που αποτέλεσε τη βάση της ερευνητικής δουλειάς του μαθητή παίρνοντας υπόψη και τις δικές σας βελτιωτικές παρεμβάσεις να σχεδιάσετε μια δραστηριότητα με επιμέρους στοχευμένα βήματα, και να την αξιοποιήσετε διδακτικά στις τάξεις σας. Παρατήρηση: Στο πλαίσιο της γεωμετρικής εποπτείας, να αναπτύξετε κατάλληλα σχήματα διαμέσου ν ( ν 1) των οποίων να φαίνεται διαμιάς ότι οι παραστάσεις ( ν 1) και είναι ίσες.
6 6 Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΠΕΡΙΤΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ [Δ.ΝΤΡ ()] Βήμα 1 ο : Να συμπληρώσετε τον (τελευταίο) γενικό προσθετέο όρο του αθροίσματος: Βήμα ο : Ποια ακριβώς διδακτική πορεία θα ακολουθούσατε αν ήταν ανάγκη να διδάξετε σε μαθητές σας τον υπολογισμό του παραπάνω αθροίσματος, μια στιγμή που εκείνοι δεν θα γνώριζαν ακόμη τύπους υπολογισμού ειδικών αθροισμάτων; Υποβοηθητικά, προτείνουμε να ακολουθήσετε την επαγωγική συλλογιστική, ώστε να τους φέρετε σταδιακά στο σημείο εκείνο που να μπορούν πλέον να εικάσουν το αποτέλεσμα του παραπάνω αθροίσματος. Βήμα 3 ο : Να προτείνετε τρόπο απόδειξης της παραπάνω εικασίας. (η απόδειξη να μην γίνει με μαθηματική επαγωγή) ΜΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ (ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΡΤΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ) Να γίνει ανάλογη συζήτηση για τον υπολογισμό του αθροίσματος:
7 Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών 7 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΕΣ ΤΡΙΑΔΕΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ [Δ.ΝΤΡ (3)] Ορισμός 1. Μια τριάδα θετικών ακεραίων αριθμών ( x, y, z ) λέγεται Πυθαγόρεια Τριάδα Ακεραίων (ΠΤΑ) αν ικανοποιεί την εξίσωση x + y = z Ορισμός. Μια ΠΤΑ ( x, y, z ) τη λέμε πρωτογενή αν ισχύει ΜΚΔ( x, y, z ) = 1 Παρατήρηση: Αν ( x, y, z ) είναι μια ΠΤΑ και k θετικός ακέραιος, τότε η ( k x, k y, k z) είναι και αυτή μια ΠΤΑ. Από την ιστορία των μαθηματικών μαθαίνουμε ότι το πρόβλημα επινόησης τύπων που να δίνουν Πυθαγόρειες Τριάδες ήταν γνωστό από την αρχαιότητα, και μάλιστα απασχόλησε τους μεγαλύτερους φιλοσόφους της εποχής, οι οποίοι, τότε, ασχολούνταν συστηματικά και με τα μαθηματικά. Οι εν λόγω φιλόσοφοι μας έδωσαν τύπους προσδιορισμού Πυθαγορείων Τριάδων για ειδικές όμως περιπτώσεις που σήμερα τους συναντάμε σε άρθρα μαθηματικών αλλά και σε σχολικά βιβλία (: ενδεικτικά αναφέρουμε το βιβλίο Μαθηματικών Γ Γυμνασίου, σελ. 5, Έκδοση ΟΕΔΒ, 014). ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ Θεωρούμε καταρχήν γνωστό ότι όλες οι ΠΤΑ που παράγονται από τα ορθογώνια τρίγωνα με υποτείνουσα μικρότερη του 30 είναι οι: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 1, 13), (9, 1, 15), (8, 15, 17), (1,16,0), (7, 4, 5), (15,0,5), (10,4,6), (0,1,9). Βήμα 1 ο : Να χωρίσετε τις παραπάνω ΠΤΑ σε δύο ομάδες, στις πρωτογενείς και τις μη πρωτογενείς. Βήμα ο : Εστιάζοντας τώρα την προσοχή σας μόνο στην ομάδα των πρωτογενών ΠΤΑ, να αναζητήσετε τη χαρακτηριστική ιδιότητα (pattern) που διέπει τους όρους της ακολουθίας που δημιουργούν οι υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων που αντιστοιχούν στις παραπάνω πρωτογενείς ΠΤΑ. Και εφόσον αυτός ο ερευνητικός στόχος επιτευχθεί, τότε να διατυπώσετε και την ανάλογη εικασία. Βήμα 3 ο : Να εξετάσετε αν η εικασία σας λειτουργεί στο σύνολο όλων των ΠΤΑ, και όχι μόνο στις ΠΤΑ που αντιστοιχούν σε ορθογώνια τρίγωνα με υποτείνουσα μικρότερη του 30.
8 8 Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών ΜΙΑ ΑΣΚΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Να προσδιορίσετε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με μήκη πλευρών ακεραίους διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Σημείωση Εναλλακτικά, αντί της παραπάνω άσκησης, θα μπορούσατε να θέσετε στους μαθητές σας τον επόμενο προβληματισμό: Τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην ΠΤΑ (3, 4, 5) αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με διαφορά 1. Υπάρχουν άλλες ΠΤΑ με αυτήν την ιδιότητα; ΘΕΜΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ [Δ.ΝΤΡ (4)] Για τις διαστάσεις α και β ενός ορθογωνίου παραλληλογράμου είναι: α= 5 6 και β= 5+ 6 Δ.1 Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν αυτού του ορθογωνίου παραλληλογράμου ισούται με 1 (Μονάδες 6) Δ. Να βρείτε τα αναπτύγματα των ( 3) και ( + 3) Δ.3 Να αποδείξετε ότι: α+ β= 3 και β α= (Μονάδες 5) (Μονάδες 9) Δ.4 Να αποδείξετε ότι: 5+ 6 = 3+ (Μονάδες 5) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ 1. Δίνοντας άλλες αριθμητικές τιμές στα α και β να δημιουργήσετε ανάλογα θέματα, διατηρώντας όμως επακριβώς την ιδέα που διατρέχει το θέμα [Δ.ΝΤΡ (4)].. Δώστε στα α και β κατάλληλες αριθμητικές τιμές, ώστε στο ερώτημα Δ.1 να προκύπτει, για παράδειγμα, ο αριθμός 3 αντί του Με προσεκτικές παρατηρήσεις, προσπαθήστε να βρείτε τη γεννήτρια άσκηση από την οποία παράγεται το θέμα [Δ.ΝΤΡ (4)].
9 Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών 9 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤΟ ΘΕΜΑ [Δ.ΝΤΡ (3)] Οι πρωτογενείς πυθαγόρειες τριάδες ακεραίων με υποτείνουσα μήκους μικρότερου του 100 είναι οι: (3, 4, 5), (5, 1, 13), (8, 15, 17), (7, 4, 5), (0,1,9), (1, 13, 37), (9, 40, 41), (8, 45, 53), (11, 60, 61), (33, 56, 65), (16, 63, 65), (48, 55, 73), (13, 84, 85), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (65, 7, 97) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ 1. Polya G., (001), Η Μαθηματική Ανακάλυψη, Τόμος 1, μτφ. Στεργιάκης Σπύρος, Α- θήνα: Εκδόσεις Κάτοπτρο.. Polya G., Επαγωγή στη Θεωρία Αριθμών, άρθρο στον Ευκλείδη Γ, Τόμος 3 - τχ. 7 (Μάρτιος-Απρίλιος-Μάϊος 1985), σσ. 9-46, μτφ. Ζώης Κ., Αθήνα: Έκδοση ΕΜΕ. 3. Μάκρας Στράτος, Πρώτοι αριθμοί, αθροίσματα τετραγώνων και άλλων δυνάμεων, άρθρο στον Ευκλείδη Β, τχ. 3 (Ιανουάριος-Φεβρουάριος-Μάρτιος 1997), σσ. -9, Αθήνα: Έκδοση ΕΜΕ. 4. Μάκρας Στράτος, Πυθαγόρειες Τριάδες Ακεραίων, άρθρο στο διαδικτυακό περιοδικό Εκθέτης 5. Ντρίζος Δ., Διδακτική Αξιοποίηση Προβλημάτων Επαγωγικής Συλλογιστικής στο Πλαίσιο Ανάπτυξης Ιδεών του G. Polya, άρθρο στον Ευκλείδη Γ, τχ. 73 (Ιούλιος- Δεκέμβριος 010), σσ. 9-48, Αθήνα: Έκδοση ΕΜΕ.
Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης
Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικά Προβλήματα Μαθηματικών Γυμνασίου. στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης
στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Δημήτρης Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Tα προβλήματα που συμπεριλάβαμε στο παρόν σημείωμα έχουν
Διαβάστε περισσότεραΠυθαγόρειες Τριάδες: από την ανακάλυψη μιας κανονικότητας στη διατύπωση και την απόδειξη μιας πρότασης
Πυθαγόρειες Τριάδες: από την ανακάλυψη μιας κανονικότητας στη διατύπωση και την απόδειξη μιας πρότασης Δημήτριος Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Σεραφείμ
Διαβάστε περισσότεραΑν ο θετικός ακέραιος a ικανοποιεί τις συνθήκες:
ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Του Δημητρίου Α. Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τα θέματα που παρουσιάζονται εδώ είναι εντελώς ενδεικτικά και δεν συνιστούν μια συλλογή αντιπροσωπευτικών θεμάτων. Απλά,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικές Συναντήσεις
Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1 / ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 16 Ενδεικτικά θέματα μαθηματικών για τις Α, Β και Γ τάξεις του Γενικού Λυκείου Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Τα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικές Συναντήσεις 1
Μαθηματικές Συναντήσεις 1 ΣΗΜΕΙΩΜΑ 8 / ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών drizosdim@yahoo.gr
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΠΟΥ ΔΙΔΑΣΚΟΥΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΚΑΙ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ Θέμα: Αναζητώντας τη γνώση με διαδικασίες διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης.
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.
Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη
Διαβάστε περισσότεραΤο σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.
9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).
τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ
ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ σχολικού συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Εισαγωγή Σύντομη ιστορική αναδρομή Το
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικές Συναντήσεις
Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ ο / ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7 Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός / εκδοχή η) Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότερα5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα
5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι
Διαβάστε περισσότεραII ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων
ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικές Συναντήσεις
Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 7ο / ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 4-ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 5 ΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (4α θέματα) Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,
Διαβάστε περισσότεραMAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος
B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Μάρκος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις σε όλα
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση των ομάδων μέσω των εκπροσώπων τους. Εισαγωγή στην εκθετική συνάρτηση Γινόμαστε χαρτογράφοι Υπολογίζουμε εμβαδόν ακανόνιστου σχήματος
Αναστοχασμός ΑΝΑΣΤΟΧΑΣΜΟΣ 2 ης, 3 ης, 4 ης ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ(A) Παναγιώτα Κοταρίνου ΤΙΤΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ: 2 η Γινόμαστε τοπογράφοι, στο μάθημα Γεωμετρίας. Σε ένα τμήμα Β Λυκείου 3 η
Διαβάστε περισσότεραΒ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β Ημερήσιου και Γ Εσπερινού Γενικού Λυκείου II. Διαχείριση διδακτέας ύλης Κεφάλαιο 7 ο (Προτείνεται να διατεθούν 6 διδακτικές ώρες). 7.1-7.6 Στις παραγράφους αυτές γίνεται πρώτη
Διαβάστε περισσότεραΑ. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127
Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,
Διαβάστε περισσότεραΟ πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).
Μάθημα 5ο Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Ο δεύτερος ηλικιακός κύκλος περιλαμβάνει την ηλικιακή περίοδο
Διαβάστε περισσότερασ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΑΡΙΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 9. Να βρείτε α) τη διαφορά και β) τον 0 ο όρο της προόδου.. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 3 και 7.
Διαβάστε περισσότεραΑ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.
Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι
Διαβάστε περισσότεραΗ γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής
Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.
Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια και Παράγωγος Συνάρτησης στο πλαίσιο Συναρτησιακών Εξισώσεων Μια εισαγωγική προσέγγιση
Συνέχεια και Παράγωγος Συνάρτησης στο πλαίσιο Συναρτησιακών Εξισώσεων Μια εισαγωγική προσέγγιση Δημήτρης Ντρίζος Προλεγόμενα Με το σημείωμα αυτό επιχειρούμε μια εισαγωγική προσέγγιση σε ένα τμήμα της ευρείας
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί
wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ (ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ)
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ (ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ) Σπύρος Φερεντίνος, Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ03 ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο Εξισώσεις και Προβλήματα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Εξίσωση με έναν άγνωστο λέγεται... 2. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης λέγεται...... 3. Επίλυση εξίσωσης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2
Διαβάστε περισσότεραΔιερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000)
Διερευνητική μάθηση We are researchers, let us do research! (Elbers and Streefland, 2000) Πρόκειται για την έρευνα που διεξάγουν οι επιστήμονες. Είναι μια πολύπλοκη δραστηριότητα που απαιτεί ειδικό ακριβό
Διαβάστε περισσότεραCabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας
Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή
Διαβάστε περισσότεραΕξισώσεις α βαθμού. Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ
Εξισώσεις α βαθμού. Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Σημείωση Το παρόν έγγραφο
Διαβάστε περισσότεραΑ Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί
Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο 1 Α. 1.2. Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... 98, 99, 100... 1999, 2000, 2001,... ονομάζονται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε
Διαβάστε περισσότερατων σχολικών μαθηματικών
Μια σύγχρονη διδακτική θεώρηση των σχολικών μαθηματικών «Οι περισσότερες σημαντικές έννοιες και διαδικασίες των μαθηματικών διδάσκονται καλύτερα μέσω της επίλυσης προβλημάτων (ΕΠ)» Παραδοσιακή προσέγγιση:
Διαβάστε περισσότεραΙ ΑΚΤΙΚΗ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ι ΕΩΝ ΤΟΥ G. POLYA
Ι ΑΚΤΙΚΗ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ι ΕΩΝ ΤΟΥ G POLYA ΜΙΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ηµήτριος Ντρίζος Σχολικός Σύµβουλος Μέλος της ΣΕ του ΕΥΚΛΕΙ Η Γ drizosdim@yahoogr ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Διαβάστε περισσότεραA. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη
Διαβάστε περισσότεραΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β Λυκείου Αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, Οµοιότητα τριγώνων, Εµβαδόν Τετραγώνου. Εµβαδόν Τριγώνου Βασικές γνώσεις Ευκλείδειας Γεωµετρίας Α
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. I. Εισαγωγή
I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε
Διαβάστε περισσότερα1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c
Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 0 Σημειώσεις 7-0- Μ. Ζαζάνης Arq thc Majhati c Epagwg c Θα συμβολίζουμε το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, {,,,...} με το σύμβολο N. Το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου
Διαβάστε περισσότερα4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ
174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία
Διαβάστε περισσότεραΤρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος
Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν
Διαβάστε περισσότεραΑφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά
1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική Απειροστικού Λογισμού
Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 6: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία των ολοκληρωμάτων. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Ένας μαθητής κατά την μελέτη της ολοκλήρωσης
Διαβάστε περισσότεραMAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικές Δραστηριότητες: Ο ρόλος τους σε μια διερευνητική τάξη μαθηματικών στο Γενικό Λύκειο
ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΛΑΡΙΣΑΣ ΤΗΣ ΕΜΕ 14 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2017 Μαθηματικές Δραστηριότητες: Ο ρόλος τους σε μια διερευνητική τάξη μαθηματικών στο Γενικό Λύκειο Δημήτρης Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΚΑΠΟΙΕΣ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ & ΘΡΗΣ/ΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΡΙΚΑΛΩΝ Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών ηµήτριος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων
Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία
Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα
Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους
Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραµιας µαθηµατικής πρότασης. ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( )
Ο ρόλος των πολλαπλών προσεγγίσεων της µαθηµατικής γνώσης Ενδεικτικά θέµατα από τα Μαθηµατικά του Λυκείου ηµήτρης Ντρίζος, Τρίκαλα Στο παρόν άρθρο αξιοποιώντας τα θέµατα που ακολουθούν επιχειρούµε να αναδείξουµε,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ
ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών
Διαβάστε περισσότεραΗ λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της
ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Η λογαριθµική συνάρτηση και οι ιδιότητές της Η διδασκαλία της λογαριθµικής συνάρτησης, στο σχολικό εγχειρίδιο της Β Λυκείου, έχει σαν βάση την εκθετική συνάρτηση και την ιδιότητα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +
Διαβάστε περισσότεραΒοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.
Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ
ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Π.Δ 409 του 1994 Για τις προαγωγικές εξετάσεις Μαΐου Ιουνίου ισχύει το Π.Δ. 508/77 και η Εγκύκλιος ΥΠΕΠΘ Γ2/2764/6-5-96) (ΕΙΔΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)
Διαβάστε περισσότεραΣε ποιους απευθύνεται: Χρόνος υλοποίησης: Χώρος υλοποίησης: Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Στόχοι:... 4
Περιεχόμενα Νικόλαος Μανάρας... 2 Σενάριο για διδασκαλία/ εκμάθηση σε μια σύνθεση μεικτής μάθησης (Blended Learning) με τη χρήση του δυναμικού μαθηματικού λογισμικού Geogebra σε διαδραστικό πίνακα και
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότερα5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο
Διαβάστε περισσότεραΣενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.
Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες & Ενδεικτικά θέματα προαγωγικών & απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίου Σελίδα 1
ΟΔΗΓIEΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΘΕΩΡΙΑ Οι μαθητές υποχρεούνται σε διαπραγμάτευση ενός απλού από δύο τιθέμενα θέματα θεωρίας της διδαγμένης ύλης. Ένα θέμα από την Άλγεβρα και
Διαβάστε περισσότεραΦεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2008 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Tel. 10 361653-103617784 - Fax: 10 364105 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3 Α= 4 5 + 008: 4 + (3 5 ) 49 10 4. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία A y είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ του
Διαβάστε περισσότεραA) στην 2 Β) στην 3 Γ) στην 4 Δ) στην 8 E) στην 16
1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο 1) Για να πάρουμε τον αριθμό 8 8, σε ποια δύναμη πρέπει να υψώσουμε τον 4 4 ; A) στην Β) στην Γ) στην 4 Δ) στην 8 E) στην 16 (Μονάδες 8) ) Nα βρείτε έναν αριθμό μεταξύ 1,705080756
Διαβάστε περισσότεραΤο ανοργάνωτο Parking
Δημοτικό Υπαίθριο Parking Περίληψη: Σε κάθε πόλη είναι σημαντικό η δημιουργία όσο το δυνατόν περισσότερων θέσεων parking, ειδικά στο κέντρο της, ώστε να διευκολύνονται οι πολίτες και η εμπορική αγορά.
Διαβάστε περισσότεραΠροσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.
Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν
Διαβάστε περισσότεραΑ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη
Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και
Διαβάστε περισσότεραΠρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού
Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότερα2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν
1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός
Διαβάστε περισσότεραΣτ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1
Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Διαγωνισμός Μαθηματικών ικανοτήτων ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α και Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ο Από τους αριθμούς 12, 13, 14, 15, 17 αυτός που έχει τους περισσότερους
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΦίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή
Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,
Διαβάστε περισσότεραΜεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος
Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Σημείωση
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 08/12/2018 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠαιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων
Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Βασίλης Κόμης, Επίκουρος Καθηγητής Ερευνητική Ομάδα «ΤΠΕ στην Εκπαίδευση» Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου Εισαγωγή στα Πρότυπα Τεστ. Πειραματικά Λύκεια ΕΠΕΣ Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Συντάκτης Λυγάτσικας Ζήνων ΠΕ 03 Χρόνος
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Εισαγωγή στα Πρότυπα Τεστ Πειραματικά Λύκεια ΕΠΕΣ Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Συντάκτης Λυγάτσικας Ζήνων ΠΕ 03 Χρόνος 0 λεπτά Βαθμολογία Το διαγώνισμα είναι βαθμολογημένο με άριστα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων Γενικά Λύκεια (μέσω των Δ/νσεων Δ.Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:
Διαβάστε περισσότεραΑ Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ
Proslipsis.gr ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό αντικείμενο)
Διαβάστε περισσότεραΓ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη
Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση
Διαβάστε περισσότερα