Παραδείγματα Ασκήσεις για το μάθημα Ηλεκτρικές Μηχανές

Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ / Σ.Τ.ΕΦ. Τμήμα: ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ Εκπαιδευτικός: Γιώργος Δημητρακάκης Παραδείγματα Ασκήσεις για το μάθημα Ηλεκτρικές Μηχανές Διδάσκοντες, διδασκόμενοι, θέματα εξετάσεων και άλλα Θα μιλήσω λίγο σκληρά, αλλά πρέπει Δεν έχω σκοπό να σας κάνω να νιώσετε άσχημα, αλλά να σας ταρακουνήσω λίγο, μήπως και σας συνεφέρω Θα ήθελα λοιπόν να θυμάστε ότι σπουδάζετε σε ένα ανώτερο εκπαιδευτικό ίδρυμα (που φαίνεται μάλιστα να έχει ως διαρκή στόχο του να γίνει «ανώτατο» κάποια μέρα), το οποίο σας δίνει ένα χαρτί, που σας κάνει μηχανικούς, με δικαίωμα από την επόμενη μέρα κιόλας να συντάσσετε και να υπογράφετε μελέτες, με την υπογραφή αυτή να σας αναθέτει το πλήρες βάρος της ευθύνης αν κάτι πάει στραβά. Με λίγη αυτογνωσία βέβαια κανείς δε θα υπογράψει μια μελέτη το άλλο πρωί, αλλά θα φροντίσει πρώτα να συγκεντρώσει κάποια εμπειρία, στο πλάι ενός έμπειρου μηχανικού, σε ένα συνεργείο, σε μια εταιρία, κάπου τέλος πάντων όπου θα μάθει όλα όσα δεν έμαθε στο ΤΕΙ, αλλά και όσα του διδάχτηκαν αλλά δεν τους έδωσε τη δέουσα σημασία ή που τα διέγραψε από τη μνήμη του την επομένη των αποτελεσμάτων του μαθήματος. Τελικά το ΤΕΙ, αφού δε σας βγάζει έτοιμους επαγγελματίες, τι σας προσφέρει; Πιο σωστά, τι υποτίθεται πως σας προσφέρει;.. τι πρέπει να σας προφέρει; Δύο είναι αυτά που πρέπει να έχετε πάρει πριν φύγετε από δω μέσα: Α. Ένα βασικό υπόβαθρο τεχνικών γνώσεων (οι λεπτομέρειες έξω, στη δουλειά του ο καθένας!) και Β. Την ικανότητα της συνδυαστικής λογικής προς επίλυση απλών ή πιο περίπλοκων προβλημάτων (μια ικανότητα που κανονικά θα πρέπει να έχετε ήδη αναπτύξει σε σημαντικό βαθμό μέσα από τα μαθήματα θετικής κατεύθυνσης σε γυμνάσιο - λύκειο). Όσον αφορά την προσπάθεια να αποκτήσετε αμφότερα αυτά τα εφόδια, μια μεγάλη δυσκολία που αντιμετωπίζουμε εμείς οι εκπαιδευτικοί του ΤΕΙ είναι οι ελλείψεις με τις οποίες φτάνετε εδώ ερχόμενοι από το σχολείο. Οι ελλείψεις αυτές οφείλονται αφενός στην κακή λειτουργία του ελληνικού σχολείου τα τελευταία 10-15 χρόνια (τουλάχιστο), αλλά και στο μέτριο χαμηλό επίπεδο των εισακτέων στο ΤΕΙ. Ό,τι κι αν λέμε, όπως και να το κάνουμε, με όσα κουσούρια κι αν έχουν, οι εισαγωγικές εξετάσεις κάνουν καλά τη δουλειά τους: Οι καλύτεροι πάνε κάπου και οι λιγότερο καλοί πάνε κάπου αλλού. Έχουμε εδώ φοιτητές με μέσο όρο στις γενικές κάτω από τη βάση, παιδιά που στα μαθηματικά έγραψαν 4 και πάει λέγοντας. «Λιγότερο καλοί» βέβαια δε σημαίνει χαζοί.. μπορεί να σημαίνει όμως διάφορα άλλα: Αδιάφοροι επειδή οικογένεια και σχολείο δεν τους εξήψαν το ενδιαφέρον και δεν τους έδωσαν ερεθίσματα για τα γράμματα και τις σπουδές, αδιάφοροι επειδή λόγω ατυχίας ή κακής προετοιμασίας στις εισαγωγικές βρέθηκαν σε σχολή κατώτερης προτίμησης, με κενά γνώσης λόγω κακής οικονομικής κατάστασης που τους εξώθησε στην εργασία για βιοπορισμό από νωρίς, πριν την εισαγωγή τους, αλλά και τώρα που σπουδάζουν, οπότε πού μυαλό και κουράγιο για διάβασμα κλπ, κλπ. Αυτές οι ελλείψεις σε γνώση και θέληση (ή χρόνο) για μάθηση συνήθως συνεχίζουν να σας χαρακτηρίζουν και κατά την πορεία σας στο ΤΕΙ αν τις έχετε μπαίνοντας Λίγοι μόνο δράττουν την ευκαιρία για να αλλάξουν προς το καλύτερο. Εμείς οι εκπαιδευτικοί λοιπόν προσπαθούμε να προσαρμοστούμε σε αυτό το κλίμα και να κάνουμε όσο καλύτερα γίνεται τη δουλειά μας. Μέσα σε όλα, θέτουμε ο καθένας μας τις δικές του κόκκινες γραμμές προς αποφυγήν ευτελισμού του μαθήματος, στοχεύοντας παράλληλα να δώσουμε όσο περισσότερα γίνεται. Χαιρόμαστε να κάνουμε παιχνίδι με εκείνο το 10% που πετάει και να δουλεύουμε στενά και με το 1

άλλο 30% που προσπαθεί φιλότιμα, ενώ κάνουμε ό,τι είναι εφικτό για να βοηθήσουμε και το υπόλοιπο 40% που δυσκολεύεται ώστε να πάρει πτυχίο μια μέρα, χωρίς όμως, όπως είπα πριν, να υπερβούμε τις κόκκινες γραμμές μας. Για το εναπομένον 20% που δεν καταβάλλει καμιά προσπάθεια (ή που δε σκαμπάζει καμιά φορά.. ντάξει, τι να κάνουμε, μερικοί δεν είναι για μηχανολογίες και ηλεκτρολογίες) και ελπίζει σε κάποια ανώτερη δύναμη ή στην τελειοποίηση των τεχνικών αντιγραφής ή στη συμπόνια του καθηγητή για να περάσει το μάθημα, δεν υπάρχει ούτε οίκτος, ούτε σωτηρία, μόνη ελπίδα η τύχη! Στην προσπάθεια να σας δώσουμε έστω λίγα ψίχουλα κριτικής συνδυαστικής σκέψης θα σας βάλουμε και θέματα λίγο διαφορετικά ή θέματα που δεν έχετε δει καν, τα οποία όμως θα πρέπει να είστε σε θέση να λύσετε αν έχετε το βασικό υπόβαθρο. Θα σας ρωτήσουμε και κάτι που μπορεί μεν να μην έχει ειπωθεί ξεκάθαρα μέσα στην αίθουσα, αλλά προκύπτει αν βάλετε το ξερό σας να σκεφτεί κομματάκι. Μη γκρινιάζετε λοιπόν γι αυτά τα θέματα, που άλλωστε είναι ολίγες μόνο μονάδες από τις δέκα, οι πολλές είναι τα γνωστά σας παλιά θέματα, άντε καμιά φορά με άλλα νούμερα. Επίσης θα βάλουμε και μια μονάδα (καμιά φορά όχι πάντα) για να ξεχωρίσει κι εκείνος που διαβάζει κι από αλλού, που έχει ένα παραπάνω ενδιαφέρον (μπορεί να του αρέσει το συγκεκριμένο μάθημα), που έχει εμπειρία επειδή δουλεύει χρόνια στο πλάι του μάστορα μηχανικού μπαμπά. Το σίγουρο είναι πως τα θέματα είναι τέτοια, ώστε όποιος έχει μελετήσει καλά (εννοώ ΚΑΛΑ, σωστά, όπως αρμόζει στην «ανώτερη εκπαίδευση» και όχι τις αρλούμπες που ακούω κάθε τόσο: «έχω διαβάσει καλά δάσκαλε, χτες όλη μέρα δε σήκωσα κεφάλι!») να μπορεί εύκολα να πιάσει το 5 κι από κει και πάνω, όσο πιο ψηλά τόσο πιο καλά! Από κει και πέρα, επιδείξτε λίγη αξιοπρέπεια Μη γκρινιάζετε επειδή έπεσε ένα δυσκολούτσικο ή ασυνήθιστο θέμα (σάμπως τα καταφέρατε με τα υπόλοιπα συνηθισμένα θέματα;). Πριν βγείτε να διαμαρτυρηθείτε πως το τάδε θέμα δεν είχε σχέση με το μάθημα ξανασκεφτείτε το, θα εκτεθείτε ανεπανόρθωτα! Μην έρχεστε πριν τις εξετάσεις για να κάνετε deal με το διδάσκοντα, μην έρχεστε μετά για να ζητιανέψετε το 5 αν δεν το περνάτε. Αν εφαρμόζετε όλα τα προηγούμενα από σύστημα και κατ εξακολούθηση σας γνωρίζω ήδη, ξέρετε οι συνάδελφοι συζητάμε μεταξύ μας. Αν είστε ανάμεσα στους κορυφαίους σπεσιαλίστες αντιγραφείς της σχολής σας ξέρω ήδη και περιμένω να κάνετε το στραβοπάτημά σας. Αν σας πιάσουν να αντιγράφετε δώστε την κόλλα σας αδιαμαρτύρητα και αποδεχτείτε στη συνέχεια τις συνέπειες, οι οποίες μπορεί να είναι πιο σκληρές και πιο μακροχρόνιες από όσο έχετε ίσως συνηθίσει, μην προσπαθείτε να βγείτε από πάνω κιόλας, μπορεί η επίθεση να είναι η καλύτερη άμυνα, αλλά στην προκειμένη περίπτωση δε σας παίρνει. Μη μου στέλνετε μέιλ για να μου πείτε ότι διαβάσατε μαζί με τον τάδε, γράψατε τα ίδια ακριβώς και δε γίνεται εκείνος να περνάει κι εσείς να κόβεστε. Σκεφτείτε πόσες φορές νομίζατε πως είχατε γράψει πάρα πολύ καλά και τελικά δεν πήρατε ούτε το μισό από αυτό που περιμένατε. Σταματήστε να πιστεύετε ότι οι άντρες εκπαιδευτικοί ευνοούν τα κοριτσάκια και οι γυναίκες εκπαιδευτικοί τα πολεμούν και τα δυσκολεύουν. Τη δουλειά μας κάνουμε κι έχουμε πολύ πιο σπουδαία πράγματα στις ζωές μας να σκεφτούμε και να κάνουμε από το να τρέφουμε προς τους φοιτητές αισθήματα που δε συνάδουν με την εκπαιδευτική διαδικασία. Αν δεν περνάτε ένα μάθημα μην περιφέρεστε περίλυποι και κλαυθμώνες στα γραφεία των συναδέλφων για να φτιάξετε ατμόσφαιρα υπέρ σας, απλά προσπαθήστε περισσότερο και καλύτερα, όπως έκαναν πριν από σας ένα σωρό συνάδελφοί σας: τέσσερις πέντε φορές στην εξέταση για βόλτα και μόλις στρώθηκαν το πέρασαν αν όχι με την πρώτη, άντε με τη δεύτερη. Μην αφήνετε τη σωστή προετοιμασία για ένα μάθημα για το τέλος των σπουδών σας (στο μεταξύ, στις μισές εξεταστικές περνάτε, αν δε βαριέστε, για να φαίνεται το όνομά σας στα βαθμολόγια) με την ελπίδα ότι μπορεί και να σας λυπηθούν αν το έχετε τελευταίο και να σας το χαρίσουν κι έτσι να γλιτώσετε τον κόπο να το περάσετε με διάβασμα και με το κεφάλι ψηλά. Δεν είμαστε κατάστημα να δίνουμε στις εικοσιπέντε θεωρίες τη μία δώρο. Μη βάζετε ποτέ κανέναν να μιλήσει στο διδάσκοντα και να τον παρακαλέσει «να βοηθήσει» για λογαριασμό σας. Γενικά μη ζητάτε βοήθεια στη βαθμολόγηση και ειδική μεταχείριση, για όσους το έχουν τελευταία υποχρέωση μειώνω ούτως ή άλλως τις απαιτήσεις μου, αλλά αν νομίζετε πως πρέπει να το κάνετε, κάντε το μόνοι σας και μη βάζετε διαμεσολαβητές. Αν τελικά δε λάβετε υπόψη τη συμβουλή μου και ψιθυρίσετε σε κάποιον, να 2

ψιθυρίσει σε κάποιον άλλο, να ψιθυρίσει στο διδάσκοντα μη διανοηθείτε να αντιγράψετε ή να δώσετε λευκή κόλλα ή κάτι που να πλησιάζει τη λευκή κόλλα, σκεφτείτε πρώτα πόσους ξεφτιλίζετε αν σας πιάσουν να αντιγράφετε ή αν κάνατε όλον αυτό το σαματά για «βοήθεια» χωρίς να έχετε κάνει την παραμικρή προετοιμασία. Μη μου λέτε «δε μπορώ να κάνω κάτι παραπάνω, το έχω δώσει οκτώ φορές» ή «δουλεύω δυο δουλειές, έχω οικογένεια, έχω ανάγκη το πτυχίο, πέρασέ με». Δεν είμαι κοινωνικός λειτουργός για να σας στηρίξω ψυχολογικά και να δείξω κατανόηση στα τωρινά σας προβλήματα ή στα προβλήματα που μπορεί να είχατε πριν 10 χρόνια, τότε που παρατήσατε στη μέση τις σπουδές σας για κάτι άλλο (βρήκατε εργασία, πιάσατε γκόμενα, σας προέκυψε ένα σοβαρό οικογενειακό θέμα ή ένα πρόβλημα υγείας). Το ΤΕΙ (και φαντάζομαι πως η διοίκηση δεν έχει διαφορετική άποψη από μένα) δεν είναι φιλανθρωπικό ίδρυμα να μοιράζει πτυχία σε όσους τα έχουν ανάγκη. Διδάσκεστε, αξιολογείστε επί ίσοις όροις και όσοι ανταποκρίνεστε στις απαιτήσεις φεύγετε, οι υπόλοιποι ξαναπροσπαθείτε, μέχρι να τα καταφέρετε ή μέχρι να το πάρετε απόφαση πως δεν είναι για σας αυτή η σχολή (ένα σημαντικό ποσοστό των εισακτέων τα παρατάει τελικά οριστικά, οι περισσότεροι από αυτούς στα 1-2 πρώτα έτη, αλλά και μερικοί με μόλις λίγα μαθήματα για πτυχίο). Δεν πληρώνομαι για να αξιολογήσω τη ζωή σας εκτός του ιδρύματος, αλλά για να καταλάβω τι σας εμποδίζει να λύσετε τον τάδε τύπο άσκησης, να σας εξηγήσω πώς λειτουργεί μια μηχανή, να σας καθοδηγήσω στο τέλος τέλος προς την επιτυχία στις εξετάσεις, ακόμα κι αν δεν τρέφετε κανένα ειλικρινές ενδιαφέρον για το αντικείμενο του μαθήματος (τι μας μπλέκεις τώρα μηχανολόγους με καλώδια και ρεύματα!). Ονειρευόμουν μια ανώτερη - ανώτατη εκπαίδευση (έχω περάσει και από το Παν/μιο κάνοντας την ίδια δουλειά) που εκτός από τεχνική κατάρτιση θα σας έδινε και τα εφόδια να γίνεστε καλύτεροι άνθρωποι. Δυστυχώς με τα χρόνια έχω εγκαταλείψει το όνειρο, διαπιστώνω πως ό,τι είναι να γίνει γίνεται ως την ηλικία των 18. Έχω δει πολλούς να μπαίνουν στο Παν/μιο και να βγαίνουν πτυχιούχοι, αλλά το ίδιο αναξιοπρεπείς, αμόρφωτοι, ακαλλιέργητοι και άξεστοι όπως και όταν μπήκαν. Αν ως τα 18 οικογένεια και σχολείο δε σας έχουν χαρίσει αρετές όπως η διάθεση για δουλειά και πρόοδο, το φιλότιμο, το αίσθημα του δικαίου, η άμιλλα, η διάθεση για αριστεία, η αγάπη για το συνάνθρωπο και για το περιβάλλον, η ευγένεια και ο σεβασμός προς όσους δικαίως τον αξίζουν, η καρτερικότητα και η υπομονή, η προσήλωση σε προσιτούς στόχους, η διάθεση για γενικότερη μόρφωση και καλλιέργεια του πνεύματος, η αγάπη για την υγεία του σώματος και τη φυσική άσκηση αν όλα αυτά δεν είναι κτήμα σας τη μέρα που έρχεστε για σπουδές, είναι εξαιρετικά απίθανο να τα αποκτήσετε αργότερα. Αντιθέτως, όσοι τα έχουν όλα αυτά μέσα τους, κατά τη διάρκεια των σπουδών έχουν μια πρώτης τάξεως ευκαιρία να τα καλλιεργήσουν περεταίρω. Ελεύθερος χρόνος υπάρχει άφθονος και υπάρχει επίσης τριγύρω μια πληθώρα ανθρώπων που μπορούν να συμβάλουν, αρκεί να επιλέξει κανείς με σύνεση και σοφία τους φίλους και τους συνεργάτες του. Αν μου έρθει και τίποτα άλλο θα το συμπληρώσω στο μέλλον Προς το παρόν θέλω μόνο να ευχηθώ σε όλους καλό πτυχίο και γρήγορα! $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ ΑΣΚΗΣΗ 1 Τριφασικός ασύγχρονος κινητήρας έχει στάτη τυλιγμένο σε αστέρα και p = 1. Σε ονομαστική λειτουργία η τάση τροφοδοσίας είναι 400V και το ρεύμα τροφοδοσίας 10Α. Για το μονοφασικό ισοδύναμο του κινητήρα είναι γνωστά τα ακόλουθα: R s = 1Ω, X s = 7Ω, R R =2Ω, Χ R =10Ω, R Fe =1.5kΩ, Χ m =4.0kΩ. (α) Για την ονομαστική λειτουργία να υπολογιστούν: Στροφές του κινητήρα, συνολικές απώλειες χαλκού, απώλειες σιδήρου, ηλεκτρομαγνητική ισχύς (ισχύς διακένου), συντελεστής ισχύος, ηλεκτρική ισχύς εισόδου, ισχύς εξόδου, ροπή, απόδοση. 3

(β) Συνδέουμε στον κινητήρα ένα φορτίο, του οποίου οι στροφές διατηρούνται σταθερές και ίσες με τις ονομαστικές του κινητήρα. Αν η τάση τροφοδοσίας μειωθεί στο μισό της ονομαστικής να υπολογιστούν η ροπή και η ισχύς στον άξονα του κινητήρα. (α) Είναι προφανές ότι για αυτό το πρόβλημα πρέπει να σχεδιάσουμε το μονοφασικό ισοδύναμο κύκλωμα και να το επιλύσουμε. Από την επίλυση αυτή θα προκύψουν όλα τα ζητούμενα. ΤΟ ΠΡΩΤΟ πράγμα που θα αναζητήσουμε (και το οποίο μας λείπει για να είναι πλήρως γνωστό το ισοδύναμο κύκλωμα) είναι η ολίσθηση s. Κατά τα γνωστά, ομιλώντας για ονομαστική λειτουργία, θα χρησιμοποιήσουμε το απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα, ενώ θα λάβουμε υπόψη τον κλάδο με τα στοιχεία R Fe και Χ m μόνο για τον υπολογισμό των απωλειών σιδήρου, δηλαδή η X m δε θα μας χρειαστεί πουθενά. Σημειώνεται πως η τιμή της Χ m μας είναι χρήσιμη μόνο αν αναζητούμε το εν κενώ ρεύμα της μηχανής. Σχεδιάζουμε το μονοφασικό ισοδύναμο κύκλωμα της μηχανής, με τάση εισόδου (ΠΡΟΣΟΧΗ!!!) 230V. Z ολ = (1 + 2/s) + j(7 + 10) => Z ολ = sqrt[(1 + 2/s) 2 + 17 2 ] Όμως επίσης Z ολ = V s /I s = 230/10 = 23 Άρα: sqrt[(1 + 2/s) 2 + 17 2 ] = 23 =>... => s = 0.138 ΠΡΟΣΟΧΗ: Στον υπολογισμό της ολίσθησης και φυσικά όπου αλλού μετά θα χρησιμοποιήσετε την τιμή της όπως και ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΣΑΣ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ, να κρατάτε ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΤΡΙΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ... ΤΕΣΣΕΡΑ ΘΑ ΕΛΕΓΑ ΓΙΑ ΣΙΓΟΥΡΙΑ! Λιγότερα σημαντικά ψηφία ενδέχεται να οδηγήσουν τους υπολογισμούς σας σε μεγάλα σφάλματα και να χάσετε πολύτιμες μονάδες! Προσέξτε!... Αναφέρομαι σε σημαντικά και όχι σε δεκαδικά ψηφία! Από την άλλη, το να κρατάτε στις πράξεις σας μια ατέλειωτη ουρά από ψηφία όσα δείχνει το κομπιουτεράκι δηλώνει ότι μάλλον... δεν κάνετε για μηχανικοί και προδιαθέτει αρνητικά τον βαθμολογητή. Οι παραπάνω υποδείξεις έχουν γενική ισχύ και δεν ισχύουν μόνον εδώ! p = 1 n s = 3000rpm s = (n s - n)/ n s => 0.138 = (3000 - n)/3000 =>. => n = 2586rpm ΠΡΟΣΟΧΗ: ΟΛΑ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ πρέπει να συνοδεύονται από ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ. Σε αντίθετη περίπτωση χάνετε πολύτιμες μονάδες στη βαθμολόγηση. Είναι εξίσου λάθος να βρείτε π.χ. τις στροφές του κινητήρα σε km/h, όπως και το να μη βάλετε καθόλου μονάδες. Αυτός που δε δηλώνει τη μονάδα μέτρησης είναι συνήθως αυτός που δεν ξέρει καν ποια μπορεί να είναι αυτή... Στις ενδιάμεσες πράξεις μπορείτε να τις παραλείπετε (όπως κάνω κι εγώ παντού στα δεδομένα παραδείγματα), αρκεί βέβαια να ξέρετε κατά τ άλλα τι κάνετε. Πολύ προσοχή στα πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια και στις δυνάμεις του δέκα. Μια καλή ιδέα σε αρκετές περιπτώσεις (όχι πάντα) είναι, πριν ξεκινήσετε υπολογισμούς, να τα έχετε μετατρέψει όλα στο SI (αν υπάρχει κάτι που δίνεται σε άλλο σύστημα). P Cu = I s 2 (R s + R R ) = 10 2 (1 + 2) = 300W Συνολικά: P Cu = 900W 4

P Fe = V s 2 /R Fe = 230 2 /1500 = 35W Συνολικά: P Fe = 105W Θυμηθείτε ότι στο απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα είναι Ι s = I R = Ι Ρ η/μ = I 2 s (2/s) = 10 2 (2/0.138) = 1450W P Cu, R = I 2 s R R = 10 2 2 = 200W P out = 4350 600 = 3750W Συνολικά: P η/μ = 4350W Συνολικά: P Cu, R = 600W Άρα: T = P/Ω = (3750 60) / (2π2586) = 13.85 Nt m cosφ = R/Z = [1 + (2/0.138)]/23 = 0.674 P in = P out + P Cu + P Fe = 3750 + 900 + 105 = 4755W a = 3750 / 4755 = 0.79 = 79% Προσέξτε εδώ ότι αν υπολογίζαμε την ισχύ εισόδου ως P in = 3 400 10 0.674 = 4650W θα είχαμε κάνει λάθος κατά 105W, που είναι οι απώλειες σιδήρου κι αυτό διότι όταν υπολογίσαμε το cosφ δε λάβαμε υπόψη τον κλάδο με τα R Fe και X m. Αυτό το λάθος βέβαια, στη συγκεκριμένη περίπτωση, (που οι απώλειες σιδήρου είναι πολύ μικρότερες από τις απώλειες χαλκού) είναι μικρό... «Ξεχνώντας» τις P Fe η απόδοση θα προέκυπτε 0.80 αντί 0.79. Σε μια άλλη μηχανή όμως, που οι απώλειες χαλκού και σιδήρου είναι συγκρίσιμες, ΔΕΝ μπορούμε απλά να τις «ξεχάσουμε»!!! (β) Τ 1 / Τ 2 = (V 1 / V 2 ) 2 = > T 2 = (V 2 / V 1 ) 2 T 1 = (200/400) 2 13.85 = 3.46 Νm P out = 3.46 (2π2586 / 60) = 937W ΑΣΚΗΣΗ 2 Τριφασικός ασύγχρονος κινητήρας βραχυκυκλωμένου κλωβού τροφοδοτείται με τάση 400V, ρεύμα 0.71Α και η απόδοσή του είναι 90%. Ο άξονάς του περιστρέφεται με 1470rpm και συνδέεται σε ιδανικό μειωτήρα (χωρίς απώλειες) 10:1, ενώ στην άλλη πλευρά του μειωτήρα συνδέεται ιδανικό βαρούλκο με ακτίνα 50cm το οποίο ανυψώνει φορτίο μάζας 5kg. (α) Να υπολογιστεί ο συντελεστής ισχύος στη γραμμή τροφοδοσίας. (β) Θέλοντας να επιτύχετε πλήρη διόρθωση του συντελεστή ισχύος (αντιστάθμιση της αέργου ισχύος), επιλέξτε τον πλέον κατάλληλο από τους τρεις ακόλουθους πυκνωτές: 230VAR, 255VAR, 280VAR. (γ) Αν η τάση τροφοδοσίας μειωθεί στα 200V, να υπολογιστεί η ταχύτητα ανύψωσης του φορτίου. (α) n βαρ = 147rpm T φ = BR = mgr = 5 9.81 0.5 = 24.5 Nm P φ = Ρ αξ = Τ φ Ω βαρ = 24.5 (2π147 / 60) = 377W P in = 377 / 0.9 = 419W cosφ = P in / 3VI = 419 / 3 400 0.71 = 0.85 5

(β) sinφ = sqrt(1 cos 2 φ) = 0.527 Q = 3VIsinφ = 3 400 0.71 0.527 = 259VAR Επιλέγουμε τον πυκνωτή 255VAR (γ) Σχεδιάζουμε στο επίπεδο Τ-n τις εξής τρεις καμπύλες (είναι ευθείες γραμμές): Τ βαρ n βαρ (υπενθυμίζεται ότι n βαρ = n κιν /10), με τάση τροφοδοσίας 400V Τ βαρ n βαρ με τάση τροφοδοσίας 200V Τ φ = σταθ. = 24.5 Nm και εκμεταλλευόμαστε τη γνώση πως για τον κινητήρα Τ n=σταθ. ~ V 2. Προσέξτε ότι οι σύγχρονες στροφές στο βαρούλκο είναι 150rpm. Οι λεπτομέρειες είναι απλή σύγκριση ομοίων τριγώνων: Τ(n=147rpm, V = 200V) = (1/4) 24.5 = 6.125Nm 6.125 / 24.5 = (150-147) / (150 - n βαρ ) =>... => n βαρ = 138rpm v = ΩR = (2π138/60) 0.5 = 7.22 m/s ΑΣΚΗΣΗ 3 Μονοφασικός Μ/Σ 380/230V, I 2N = 20A. Χωρίς φορτίο και με ονομαστική τάση στο πρωτεύον έχουμε απώλειες 50W και ρεύμα 200mA. Στη συνέχεια, βραχυκυκλώνοντας το δευτερεύον, πετυχαίνουμε ονομαστικό ρεύμα στο πρωτεύον με εφαρμογή τάσης 23V και οι απώλειες τότε είναι 130W. (α) Να σχεδιαστεί το απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα του Μ/Σ. (β) Να υπολογιστεί το ρεύμα βραχυκύκλωσης στην πλευρά της χαμηλής τάσης, όταν V 1 = V 1N. (γ) Συνδέουμε στην έξοδο του Μ/Σ αντίσταση φορτίου R φ = 11Ω και εφαρμόζουμε στην είσοδο ονομαστική τάση. Να βρεθούν η τάση στο φορτίο και η απόδοση του Μ/Σ. (δ) Συνδέουμε στην έξοδο του Μ/Σ ωμικό φορτίο R φ = 10.6Ω. Να υπολογιστεί η απαιτούμενη τάση στην είσοδο, ώστε η τάση φορτίου να είναι η ονομαστική του δευτερεύοντος του Μ/Σ. (ε) Με ονομαστική τάση στο πρωτεύον, συνδέουμε στο δευτερεύον του Μ/Σ ως φορτίο, αντίσταση 7Ω σε σειρά με επαγωγή 32mH. Να βρεθεί σε αυτή την περίπτωση η τάση του φορτίου και η απόδοση του Μ/Σ. (στ)για την περίπτωση του ερωτήματος (ε) να υπολογιστεί η τιμή (σε F) του πυκνωτή που απαιτείται να συνδεθεί στο φορτίο για να γίνει πλήρης διόρθωση του συντελεστή ισχύος. Πώς συνδέεται αυτός ο πυκνωτής, σε σειρά ή παράλληλα με το φορτίο; Πόσες θα είναι οι απώλειες χαλκού του Μ/Σ μετά τη σύνδεση του πυκνωτή; (Θεωρήστε πως με τη σύνδεση του πυκνωτή η τάση στο φορτίο δε μεταβάλλεται σημαντικά). (α) R Fe = V 1N 2 / P 1o = 380 2 /50 = 2.89kΩ Ι Fe = V 1N / R Fe = 380 / 2.89 10 3 = 131mA I m = sqrt(i 1o 2 I Fe 2 ) = 151mA X m = V 1N / I m = 380V / 151mA = 2.52kΩ S 1N = S 2N => V 1N I 1N = V 2N I 2N => I 1N = (230 20) / 380 = 12.5A R eq = P 1sc / I 1N 2 = 130 / 12.5 2 = 832mΩ Ζ eq = V 1sc / I 1N = 23 / 12.5 = 1.84Ω Χ eq = sqrt(z eq 2 R eq 2 ) = sqrt(1.84 2 0.832 2 ) = 1.64Ω 6

Έχοντας πλέον υπολογίσει όλα τα στοιχεία του, σχεδιάζουμε το απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα. Δεν είναι λάθος αν εμφανίζονται ως ξεχωριστά στοιχεία αυτά του πρωτεύοντος και αυτά του δευτερεύοντος, τα οποία τα βρίσκετε θέτοντας R 1 = R 2 = R eq /2 και Χ 1 = Χ 2 = X eq /2. (β) Ι 1sc = I 2sc = V 1N / Z eq = 380 / 1.84 = 206.5A Ι 2sc = αi 2sc = (380/230) 206.5 = 341Α (γ) Θα χρησιμοποιήσουμε το απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα. R φ = α 2 R φ = (380/230) 2 11 = 30.0 Ω Z ολ = (30 + 0.83) + j1.64 = 30.83 + j1.64 Z ολ = sqrt(30.83 2 + 1.64 2 ) = 30.87 Ω Ι 1 = Ι 2 = V 1N /Z ολ = 380/30.87 = 12.31 Α V 2 = Ι 2 R φ = 12.31 30 = 369.3V V 2 = V 2 /α = 369.3/1.652 = 223.5V (α = 380/230 = 1.652) P φ = Ι 2 2R φ = 12.31 2 30 = 4546W P Cu = Ι 2 2R eq = 12.31 2 0.832 = 126W P Fe = V 2 1N /R Fe = 380 2 /2900 = 50W (το ξέραμε άλλωστε κι από την εκφώνηση της άσκησης) η = P out / (P out + P loss ) = 4546 / [4546 + (126 + 50)] = 0.963 = 96.3% (δ) Επιλύουμε και πάλι το απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα, μόνο που τώρα άγνωστος δεν είναι η τάση στο δευτερεύον, αλλά η τάση στο πρωτεύον. R φ = α 2 R φ = (380/230) 2 10.6 = 28.93 Ω V 2 = 380V (από τα δεδομένα του υποερωτήματος... δηλαδή η τάση εξόδου πρέπει να είναι 230V) άρα: Ι 2 = V 2 / R φ = 380 / 28.93 = 13.14A Z ολ = sqrt[(28.93 + 0.83) 2 + 1.64 2 ] = 29.80Ω V 1 = I 1 Z ολ = 13.14 29.80 = 391.6V (ε) Ζ φ = α 2 Ζ φ = (380/230) 2 [7 + j2π50 0.032] = 19.11 + j27.44 = R φ + jx φ Z ολ = (19.11 + 0.83) + j(27.44 + 1.64) = 19.94 + j29.08 Z ολ = sqrt(19.94 2 + 29.08 2 ) = 35.26Ω Ι 1 = Ι 2 = V 1N /Z ολ = 380/35.26 = 10.78Α V 2 = Ι 2 Ζ φ = 10.78 sqrt(19.11 2 + 27.44 2 ) = 10.78 33.44 = 360.5V (Z φ = 33.44Ω) V 2 = V 2 /α = 360.5/1.652 = 218.2V P φ = Ι 2 2R φ = 10.78 2 19.11 = 2221W P Cu = Ι 2 2R eq = 10.78 2 0.832 = 97W P Fe = V 1N 2 /R Fe = 380 2 /2900 = 50W η = P out / (P out + P loss ) = 2221 / [2221 + (97 + 50)] = 0.938 = 93.8% (στ) Ο πυκνωτής ασφαλώς συνδέεται ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ στο R-L φορτίο!!! 7

Πλήρης διόρθωση του συντελεστή ισχύος σημαίνει πλήρης αντιστάθμιση της αέργου ισχύος του φορτίου, δηλαδή η άεργος ισχύς του πυκνωτή θα πρέπει να είναι ίση με την άεργο ισχύ του πηνίου: Q C = Q L <=> V φ 2 ωc = I φ 2 Χ L => V φ 2 ωc = [V φ / sqrt(r φ 2 + Χ φ 2 )] 2 ωl => C = L / (R φ 2 + ω 2 L 2 ) Και αντικαθιστώντας τις τιμές: C = 0.032 / [7 2 + 314 2 0.032 2 ] = 213μF -------------------------------------------------------- Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε (με λίγες παραπάνω πράξεις όμως) αν βρούμε την έκφραση που δίνει την εμπέδηση για τον παράλληλο συνδυασμό φορτίου - αντισταθμιτή και στη συνέχεια απαιτήσουμε το φανταστικό μέρος αυτής να είναι ίσο με μηδέν: (R + jωl) // (1 / jωc) =. = A + jβ, όπου Α = LR/C + (R/ωC) [(1/ωC) - ωl)] Β = (L/C) [(1/ωC) - ωl)] R 2 /ωc Θέτοντας Β = 0 καταλήγουμε στην ίδια έκφραση με παραπάνω. ------------------------------------------------------------------------ Για το φορτίο είναι: φ = tan -1 (ωl / R) = tan -1 (314 0.032/7) = 55.1 o Μετά τη σύνδεση του αντισταθμιτή, από την πηγή τροφοδοσίας του φορτίου (δηλαδή από τον Μ/Σ) έρχεται πλέον μόνο η ενεργός συνιστώσα του ρεύματος, που εδώ είναι: Ι εν = Ι cosφ = 10.78 cos(55.1 o ) = 6.17 A P Cu = 6.17 2 0.832 = 32W (από 97W που ήταν!) ΑΣΚΗΣΗ 4 DC κινητήρας ξένης διέγερσης, 2100rpm, 1.2kW, 220V, 6.5A, 0.25A. (α) Βρείτε τα R f, R a, CΦ Ν, Ε an (β) Σχεδιάστε το ισοδύναμο κύκλωμα (γ) Υπολογίστε τη ροπή και την απόδοση σε ονομαστική λειτουργία (δ) Υπό ονομαστική διέγερση και ονομαστικό φορτίο, να βρεθεί η τάση τροφοδοσίας τυμπάνου ώστε η ταχύτητα του κινητήρα να είναι 2300rpm. (ε) Να βρεθεί η ταχύτητα του κινητήρα αν τροφοδοτείται με ονομαστική τάση (σε τύμπανο και διέγερση) και η ροπή του φορτίου δίνεται από την έκφραση Τ φ (n) = 3.3 + 0.9 10-6 n 2 Μελετήστε το υλικό που σας έχω δώσει στα «Παλιά Θέματα» και επαληθεύστε τα παρακάτω αποτελέσματα. (α) Ε aν = 1200 / 6.5 = 184.6V R a = (220 184.6) / 6.5 = 5.45Ω R f = 220 / 0.25 = 880Ω CΦ Ν = 60 184.6 / (2π2100) = 0.8394 Vsec (γ) Τ Ν = 60 1200 / (2π2100) = 5.46 Νm η Ν = 1200 / [220(6.5 + 0.25] = 80.8% 8

(δ) Ε α = (2300/2100) 184.6 = 202.2V V T = 202.2 + 6.5 5.45 = 237.6V --------------------------------------------------------------------- Σημείωση: Εφόσον γνωρίζουμε τα n, CΦ, R a και Τ, η V T μπορεί επίσης να βρεθεί ως η μόνη άγνωστη ποσότητα και από την εξίσωση ροπής - στροφών του κινητήρα (δες εξίσωση στο επόμενο υποερώτημα). --------------------------------------------------------------------- (ε) Ω = Ω ο ΚΤ <=> 2πn/60 = V T /CΦ [R a /(CΦ) 2 ] Τ =>... => Τ = -0.0135n + 33.88 T κιν = Τ φ =>... => 0.9 10-6 n 2 + 0.0135n 30.58 = 0 n = 2000rpm ΑΣΚΗΣΗ 5 DC κινητήρας ξένης διέγερσης, 2000rpm, 1.8kW, 200V, 10A, 0.35A. (α) Βρείτε τα R f, R a, CΦ Ν, Ε an (β) Σχεδιάστε το ισοδύναμο κύκλωμα (γ) Υπολογίστε τη ροπή και την απόδοση σε ονομαστική λειτουργία (δ) Υπό ονομαστική διέγερση και ονομαστικό φορτίο, να βρεθεί η τάση τροφοδοσίας τυμπάνου ώστε η ταχύτητα του κινητήρα να είναι 2150rpm. (ε) Να βρεθεί η ταχύτητα του κινητήρα αν τροφοδοτείται με ονομαστική τάση (σε τύμπανο και διέγερση) και η ροπή του φορτίου δίνεται από την έκφραση Τ φ (n) = 3 + 0.7 10-6 n 2 (α) Ε aν = 180V, R a = 2Ω, R f = 571Ω, CΦ Ν = 0.86 Vsec (γ) Τ Ν = 8.6 Νm, η Ν = 0.87 (δ) Ε α = 193.5V, V T = 213.5V (ε) Τ κιν = -0.0387n + 86 T κιν = Τ φ =>... => 0.7 10-6 n 2 + 0.0387n 83 = 0 n = 2067rpm ΑΣΚΗΣΗ 6 DC γεννήτρια ξένης διέγερσης 220V, 10A, 1500rpm, 0.5A, R a = 1.5Ω. (α) Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο κύκλωμα (β) Με ονομαστική διέγερση και ονομαστικές στροφές, να υπολογιστεί η εν κενώ τάση εξόδου. (γ) Με ονομαστική τάση εξόδου, να βρεθούν οι εν κενώ στροφές. (δ) Με ονομαστική διέγερση και ονομαστικές στροφές, να βρεθούν η τάση στο φορτίο και η ροπή στον άξονα, αν το ρεύμα φορτίου είναι το μισό του ονομαστικού της μηχανής. 9

(ε) Με ονομαστική διέγερση και ονομαστικές στροφές, να υπολογιστούν το ρεύμα και η τάση φορτίου, καθώς και η απόδοση της γεννήτριας, αν το φορτίο είναι μια αντίσταση 30Ω. (στ)να υπολογιστεί η αντίσταση που πρέπει να είναι συνδεδεμένη ως φορτίο για να επιτύχουμε ονομαστική λειτουργία. (ζ) Να υπολογιστούν το ρεύμα και η τάση φορτίου αν κατά την ονομαστική λειτουργία με ωμικό φορτίο μειωθεί το ρεύμα διέγερσης κατά 10%. Θεωρήστε ότι οι στροφές παραμένουν σταθερές και ότι η μαγνητική ροή είναι ανάλογη του ρεύματος διέγερσης. (α) R f = 220/0,5 = 440Ω (β) Ε αν = 220 + 10 1.5 = 235V (γ) n = (220/235) 1500 = 1404rpm (δ) V T = 235-5 1.5 = 227.5V CΦ N = 60 235 / (2π1500) = 1.50 Vsec T = 1.50 5 = 7.5 Nm (ε) Ι α = Ε α / R ολ = 235 / (30 + 1.5) = 7.46Α V φ = V T = 7.46 30 = 223.8V η = P out / P in = V T I φ / (Ε α Ι α + V f I f ) = 223.8 7.46 / (235 7.46 + 220 0.5) = 89.6% (στ) R φν = 220/10 = 22Ω (ζ) Εδώ δε χρειάζεται να υπολογίσουμε κάτι στο χαρτί... απλή εφαρμογή του νόμου του Ohm! 10% μείωση του Ι f 10% μείωση του E a 10% μείωση των Ι α και V φ : Ι α 9Α (από 10Α) V φ 198V (από 220V) ΑΣΚΗΣΗ 7 DC γεννήτρια παράλληλης διέγερσης 220V, 10A, R a = 1.5Ω, R f = 440Ω. (α) Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο κύκλωμα. (β) Για ονομαστική λειτουργία να υπολογιστούν: ωμικό φορτίο, απόδοση γεννήτριας, ροπή στον άξονα. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Στις μηχανές παράλληλης διέγερσης το ρεύμα που δίνεται είναι το ρεύμα στην έξοδο της γεννήτριας (ή το ρεύμα τροφοδοσίας, αν πρόκειται για κινητήρα). Αυτό το ρεύμα είναι άθροισμα του ρεύματος τυμπάνου και του ρεύματος διέγερσης. (β) 10

R φν = 220 /10 = 22Ω Ι αν = 10 + 0.5 = 10.5Α E an = 220 + 10.5 1.5 = 235.75V P in = 235.75 10.5 = 2475 W P out = 220 10 = 2200 W η Ν = 2200 / 2475 = 88.9% P in,n = T αξ,ν Ω Ν => T αξ,ν = 60 P in,n / 2πn N = 60 2475 / 2π1500 = 15.76 Νm ------------------------------------------------------------ (Άλλος τρόπος είναι να βρείτε το CΦ Ν = 60Ε αν / 2π1500 = 1.50 Vsec και μετά εύκολα: Τ Ν = CΦ Ν Ι αν = 1.50 10.5 = 15.75 Νm) --------------------------------------------------------- ΑΣΚΗΣΗ 8 Έχουμε τον ίδιο Μ/Σ όπως στα θέματα του Σεπτεμβρίου 2016, με στοιχεία 400/40V, 50Ηz, 4kVA. Αφήνοντας τον Μ/Σ εν κενώ τροφοδοτούμε το πρωτεύον με ονομαστική τάση και τότε η ισχύς απωλειών πάνω στον Μ/Σ είναι 130W και το ρεύμα είναι 0.55Α (το ρεύμα αυτό δε δινόταν τότε στην εξέταση, αλλά δε χρειαζόταν κιόλας!). Στη συνέχεια, βραχυκυκλώνουμε την έξοδο του Μ/Σ και τροφοδοτούμε το πρωτεύον με τάση 35V και τότε το ρεύμα στο πρωτεύον είναι ίσο με το ονομαστικό και η ισχύς απωλειών πάνω στο Μ/Σ είναι 180W. Να υπολογιστούν όλα τα στοιχεία του πλήρους ισοδύναμου κυκλώματος από την πλευρά της χαμηλής τάσης. Πάνω απ όλα όχι πανικός! Υπάρχουν δύο τρόποι να προσεγγίσετε αυτό το πρόβλημα. Ο ένας είναι να βρείτε το πλήρες ισοδύναμο κύκλωμα από την πλευρά της υψηλής τάσης (την πλευρά του «πρωτεύοντος» στην εκφώνηση, την πλευρά δηλαδή από την οποία εμείς κάναμε τις δοκιμές μας, εν κενώ και βραχυκύκλωσης) και κατόπιν να κάνετε αναγωγή στην πλευρά της χαμηλής τάσης. Ο άλλος είναι να λάβετε υπόψη κάποιες σημαντικές παρατηρήσεις και να κάνετε εξ αρχής την ανεύρεση του ισοδύναμου κυκλώματος από την πλευρά της χαμηλής τάσης, παρότι οι δοκιμές έγιναν στην πλευρά της υψηλής τάσης. Όπως θα διαπιστώσετε, ο τρόπος Α είναι απλούστερος. Προσέγγιση Α : Θα βρούμε πρώτα, κατά τα γνωστά, το ισοδύναμο κύκλωμα από την πλευρά της υψηλής τάσης. Ακολουθώντας τα γνωστά βήματα (κάντε το για εξάσκηση) βρίσκουμε τα εξής: R 1 = R 2 = R eq / 2 = 0.9Ω Χ 1 = Χ 2 = X eq / 2 = 1.5Ω R Fe = 1.23kΩ X m = 0.90kΩ Γνωρίζουμε ότι οι «αληθινές» τιμές των μεγεθών, που εδώ εμφανίζονται ανηγμένα, είναι Χ 2 = Χ 2 /α 2 = 1.5 / 100 = 15mΩ R 2 = R 2 /α 2 = 0.9 / 100 = 9mΩ 11

Πάμε λοιπόν τώρα από την πλευρά της χαμηλής τάσης και κοιτάμε τον Μ/Σ. Τώρα πλευρά (1) είναι αυτή της χαμηλής τάσης και πλευρά (2) αυτή της υψηλής τάσης και ο λόγος μετασχηματισμού είναι α = 1/10 = 0.1, οπότε έχουμε: R 1 = R 2 = 9mΩ Χ 1 = Χ 2 = 15mΩ R Fe = α 2 1.23kΩ = 1.23kΩ / 100 = 12.3Ω X m = α 2 0.9kΩ = 900Ω / 100 = 9Ω Προσέγγιση Β : (α) Πρέπει να θυμόμαστε πως οι απώλειες εν κενώ εξαρτώνται μόνο από την τάση, συνεπώς θα είναι οι ίδιες (130W) είτε εφαρμόζετε στην υψηλή τάση 400V και κρατάτε τη χαμηλή τάση ανοιχτή, είτε εφαρμόζετε στη χαμηλή τάση 40V και κρατάτε την υψηλή τάση ανοιχτή. Επίσης το εν κενώ ρεύμα στην χαμηλή τάση (με εφαρμογή ονοματικής τάσης) θα είναι α (10) φορές μεγαλύτερο απ όσο ήταν στην υψηλή τάση, δηλαδή 5.5Α. (β) Πρέπει να θυμόμαστε πως η σχετική τάση βραχυκύκλωσης είναι φέρον χαρακτηριστικό του Μ/Σ και δεν εξαρτάται από το σε ποια πλευρά εφαρμόζεται η τάση και σε ποια είναι το βραχυκύκλωμα. Εν προκειμένω είναι u k = (35/400) 100% = 8.75% Άρα η τάση βραχυκύκλωσης (τη συμβολίζουμε V k ή V sc ) στην πλευρά της χαμηλής τάσης (η τάση που πρέπει να εφαρμόσουμε για να περάσουν ονομαστικά ρεύματα με βραχυκυκλωμένη την υψηλή τάση) είναι (35/400) 40 = 0.0875 40 = 3.5V και φυσικά οι απώλειες θα είναι οι ίδιες (αφού κι εδώ ονομαστικά ρεύματα κυκλοφορούν) 180W. Τα υπόλοιπα τα ξέρετε πλέον καλά: R Fe = 40 2 / 130 = 12.3Ω Ι 1Ν = 4000 / 40 = 100Α S o = 40 5.5 = 220VA Q o = sqrt(s 2 o P 2 Fe ) = sqrt(220 2-130 2 ) = 177.5VAR X m = 40 2 / 177.5 = 9Ω (ή μπορείτε να το πάτε βρίσκοντας τo ρεύμα I Fe και έχοντας το Ι ο = 5.5Α) R eq = 180 / 100 2 = 18mΩ R 1 = R 2 = 9mΩ Ζ eq = 3.5 / 100 = 35mΩ Χ eq = sqrt(z eq 2 R eq 2 ) = sqrt(35 2 18 2 ) = 30mΩ Χ 1 = Χ 2 = 15mΩ ΑΣΚΗΣΗ 9 (α) 12

Μια αντλία τραβάει νερό από μια δεξαμενή με ελεύθερη επιφάνεια και το διοχετεύει σε μια μάνικα. Η παροχή του νερού είναι Q, το μανομετρικό ύψος h και το εμβαδόν του στομίου της μάνικας είναι S. Αν η υδραυλική απόδοση στις σωληνώσεις είναι 1 και ο μηχανικός βαθμός απόδοσης της αντλίας είναι επίσης 1, να βρεθεί η ισχύς που αποδίδεται στην αντλία από τον ηλεκτρικό κινητήρα που την περιστρέφει. Πρέπει να θυμάστε την πυκνότητα του καθαρού νερού. Αν δε σας δίνεται κάτι άλλο, θα θεωρείτε αυτή ως γνωστή. Το μόνο που έχετε να κάνετε από κει και πέρα είναι να επιστρατεύσετε τα γνωστά σας για τη δυναμική και την κινητική ενέργεια και να προσέξετε μην μπουρδουκλώσετε τις μονάδες μέτρησης. Η παροχή θα σας δίνεται σε lt/sec, m 3 /min ή κάτι τέτοιο, το h σε m και το S πιθανότατα σε cm 2. Ε κιν = 0.5mv 2 και E δυν = mgh Με δεδομένη την παροχή Q γνωρίζετε πόση μάζα νερού Δm ανά μονάδα χρόνου Δt ανυψώνεται κατά ύψος h και άρα γνωρίζετε την ισχύ μεταφοράς (λόγω μεταβολής της δυναμικής ενέργειας): P μετ = gh(δm/δt) Με δεδομένη τη διατομή του στομίου (ακροφύσιου) της μάνικας (μπορεί αντί αυτής να σας δίνεται έμμεσος τρόπος να τη βρείτε) και την παροχή Q, μπορείτε εύκολα να βρείτε την ταχύτητα εξόδου του νερού: Q = S(Δl/Δt) = S v => v = Q / S και η ισχύς εκτόξευσης του νερού θα είναι P εκτ = 0.5(Δm/Δt)v 2 Και τελικά: P = P μετ + P εκτ (Ένα ολοκληρωμένο παράδειγμα θα βρείτε στις λύσεις των θεμάτων Σεπτεμβρίου 2018) (β) Σε μια υδροηλεκτρική μονάδα με μοναδιαίο υδραυλικό βαθμό απόδοσης το μέτωπο ύδατος είναι h [m] o μηχανικός βαθμός απόδοσης του υδροστρόβιλου αντίδρασης είναι n t, ενώ το νερό εισέρχεται στα πτερύγια του υδροστρόβιλου μέσω ανοίγματος διατομής S [m 2 ]. Το νερό εξέρχεται από τον υδροστρόβιλο με ταχύτητα που είναι κατά 60% μειωμένη σε σχέση με την ταχύτητα εισόδου σε αυτόν. Βρείτε την ισχύ που αποδίδεται στον άξονα του υδροστρόβιλου. Η ισχύς λόγω μεταβολής της δυναμικής ενέργειας είναι P = gh(δm/δt) όπου το (Δm/Δt) θα το βρείτε εύκολα από την παροχή Q, η οποία θα σας δίνεται, έστω με έμμεσο τρόπο. 13

Η ισχύς αυτή γίνεται κινητική ισχύς του νερού στο ακροφύσιο. Με δεδομένο ότι η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας, από τα δεδομένα προκύπτει πως μόνο το (1-0.4 2 ) = 0.84 αυτής αποδίδεται τελικά στα πτερύγια του στροβίλου και από αυτήν το ποσοστό n t θα βγει τελικά στον άξονα. ------------------------------------------ Εσείς βέβαια ξέρετε από τα μηχανολογικά σας μαθήματα ότι η ανάλυση της απόδοσης μιας υδροηλεκτρικής μονάδας ή μιας μονάδας άντλησης, χωρίς απλοποιήσεις και προσεγγίσεις, είναι αρκετά πιο περίπλοκη, αλλά για τους δικούς μας σκοπούς εδώ πέρα οι παραπάνω υπενθυμίσεις είναι υπεραρκετές. ΑΣΚΗΣΗ 10 Έχετε τον 1φ Μ/Σ 380/230V, I 2N = 20A της Άσκησης 3 με το ίδιο ωμικό φορτίο 11Ω. (α) Χρησιμοποιώντας το απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα να βρείτε την τάση στο φορτίο ονομαστική τάση στην είσοδο. (β) Χρησιμοποιώντας το πλήρες ισοδύναμο κύκλωμα να βρείτε πάλι την τάση στο φορτίο. Πόσο είναι το επί τοις εκατό λάθος που γίνεται στον υπολογισμό της τάσης φορτίου με χρήση του απλοποιημένου ισοδύναμου; Ακολουθώντας τα γνωστά πλέον βήματα, προσδιορίζουμε όλα τα στοιχεία του ισοδύναμου κυκλώματος (με βάση τις μετρήσεις από τα πειράματα εν κενώ και βραχυκύκλωσης, όπως δίνονται στην Άσκηση 3). Βρίσκουμε τα εξής (βλ. Άσκηση 3): R Fe = 2.89 kω X m = 2.52 kω R eq = 832 mω R 1 = R 2 = R eq /2 = 416 mω Ζ eq = 1.84 Ω Χ eq = 1.64Ω Χ 1 = Χ 2 = X eq /2 = 0.82 Ω ενώ επίσης έχουμε: R φ = 30.0 Ω και με το απλοποιημένο ισοδύναμο βρίσκουμε: V 2 = 223.5V Στο πλήρες ισοδύναμο τώρα (σχεδιάστε το) έχουμε δύο βρόχους και άρα θα χρειαστεί να λύσουμε ένα σύστημα 2 2 με μιγαδικούς αριθμούς. Δεν είναι κάτι σπουδαίο, ισχύουν ακριβώς τα ίδια που ήδη ξέρετε, μόνο που θα χρειαστείτε το κομπιουτεράκι με μιγαδικούς και κάνα μισάωρο με ησυχία, χωρίς τους επιτηρητές να κουβεντιάζουν πάνω από το κεφάλι σας. Πριν από αυτό όμως θα μετατρέψουμε τον παράλληλο συνδυασμό της αντίστασης σιδήρου και της επαγωγικής αντίδρασης μαγνήτισης σε μια εμπέδηση Α + jβ: (R Fe // jx m ) = (R Fe jx m ) / (R Fe + jx m ) =. = (1.248 + j1.432) kω Θεωρώντας στον πρώτο βρόχο (στην πλευρά της πηγής) ένα ρεύμα Ι Α και στον δεύτερο (στην πλευρά του φορτίου) ένα ρεύμα Ι Β και εφαρμόζοντας νόμο βρόχων του Κίρκοφ έχουμε: 380 Ι Α (0.416 + j0.82) (I A I B ) (1248 + j1432) = 0 => 14

(1248.4 + j1432.8)i A + (-1248 - j1432)i B = 380 X 1 I A + Y 1 I B = 380 [V] (1) - (I B I A )(1248 + j1432) I B (0.416 + j0.82 + 30) = 0 => (1248 + j1432)i A + (-1278 j1432.8)i B = 0 => X 2 I A + Y 2 I B = 0 [V] (2) Mια και ασχολούμαστε με τη μαθηματική επίλυση, αν παραλείψουμε τις μονάδες [V] δεν τρέχει και τίποτα Επίσης παρατηρήστε ότι έλαβα υπόψιν όλα τα στοιχεία, αλλά στα μικρά δεν το παράκανα με τα δεκαδικά ψηφία μετά την άθροιση τα σημαντικά ψηφία του αθροίσματος έχουν σημασία και είναι ήδη περισσότερα από τα τέσσερα που έχουμε πει στο μάθημα. Όταν π.χ. προσθέτουμε το 1432 με το 0.82... ντάξει το 0.8 είναι ήδη ουσιαστικά αμελητέο μπροστά στο 1432 πόσο μάλλον το 0.02! Άρα γράφω στο άθροισμα 1432.8 και είμαι ΟΚ Το 1432.82 θα ήταν υπερβολή. Από τα γνωστά μας για συστήματα 2 2 εφαρμόζουμε τα ακόλουθα: D = X 1 Y 2 X 2 Y 1 D A = 380Y 2 D B = -X 2 380 I A = D A /D I B = D B /D και βρίσκουμε: Ι Α = (12.424 j0.792) Α και Ι Β = (12.30 j0.640) Α όπου βέβαια το Ι Α εδώ δε μας χρειάζεται κάπου για να βρούμε την τάση στο φορτίο. V φ = R φ I B = 30I B = (369 j19.2) V V φ = 369.46 V V φ = (230/380)369.46 = 223.6 V Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι η βελτίωση στο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το πλήρες ισοδύναμο κύκλωμα αντί για το απλοποιημένο είναι ουσιαστικά αμελητέα (0.1/223.5 = 0.05%). ΠΡΟΣΟΧΗ: Στις εξετάσεις ΔΕΝ πρόκειται να σας ζητήσω να λύσετε το σύστημα με τις μιγαδικές μεταβλητές, μπορεί όμως κάλλιστα να σας ζητήσω να υπολογίσετε τα στοιχεία του και να σχεδιάσετε το πλήρες ισοδύναμο κύκλωμα και να καταρτίσετε τις εξισώσεις (Ηλεκτροτεχνία), να φτάσετε δηλαδή ως τις (1) και (2), έχοντας γράψει σωστά τους συντελεστές Χ 1, Υ 1, Χ 2, Υ 2. Οι συντελεστές αυτοί, όπως στο παράδειγμα που σας δίνω εδώ, πρέπει να βρίσκονται στη μορφή A + jb και όχι να χρειάζεται εγώ να κάνω πράξεις για να δω αν αυτό που έχετε μέσα στην παρένθεση τελικά δίνει το σωστό αριθμό. Τα υπόλοιπα είναι δουλειά υπολογιστών. Σε λογισμικά όπως το Matlab και το Octave αρκεί να δώσετε τους συντελεστές των εξισώσεων (υπό μορφή πίνακα) για να σας δοθεί η λύση, χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσετε ορίζουσες κλπ. Φυσικά, ακόμα πιο απλή λύση είναι να εξομοιώσετε όλο το κύκλωμα στο Spice, δίνοντας απλά τις τιμές των διαφόρων εμπεδήσεων και της τάσης εισόδου. 15