Επιστημολογικές πεποιθήσεις για τα μαθηματικά και επίδοση σε αριθμητικά έργα με το μηδέν

Επιστημολογικές πεποιθήσεις για τα μαθηματικά και επίδοση σε αριθμητικά έργα με το μηδέν Σοφοκλέους Παρασκευή Πανεπιστήμιο Κύπρου & Φιλίππου Γιώργος Πανεπιστήμιο Κύπρου Περίληψη Σημαντικό μέρος της έρευνας στη διδακτική των μαθηματικών εστιάζει στην κατανόηση των παραγόντων που επηρεάζουν τη μαθησιακή διαδικασία και τη διασαφήνιση του ρόλου τους. Ένας τέτοιος παράγοντας είναι οι επιστημολογικές πεποιθήσεις (ΕΠ) των μαθητών. Στην εργασία αυτή εξετάστηκε η δομή των ΕΠ των μαθητών για τα μαθηματικά και η σχέση τους με την επίδοση των μαθητών σε αριθμητικά έργα που περιλαμβάνουν το μηδέν. Σε 205 μαθητές Ε και Στ τάξης δημοτικού χορηγήθηκε κλίμακα μέτρησης των ΕΠ και δοκίμιο με αριθμητικά έργα που περιλάμβαναν το μηδέν. Η ανάλυση των δεδομένων έδειξε ότι η δομή των ΕΠ των μαθητών του δείγματος συνίσταται από πέντε διαστάσεις: «Προέλευση της γνώσης», «Προσπάθεια και χρόνος στη μάθηση των μαθηματικών», «Ικανότητα μάθησης των μαθηματικών», «Σταθερότητα της μαθηματικής γνώσης» και «Δομή της μαθηματικής γνώσης». Επιβεβαιώθηκαν, δηλαδή, και οι πέντε παράγοντες ΕΠ, περιλαμβανομένης και της πηγής της γνώσης, που δεν είχε εντοπιστεί στις έρευνες που έγιναν στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής. Βρέθηκε ακόμη ότι η διάσταση «Προέλευση της γνώσης» είναι στατιστικά σημαντικός δείκτης πρόβλεψης της ικανότητας επίλυσης αριθμητικών έργων που περιλαμβάνουν το μηδέν. Τα ευρήματα υποδεικνύουν την ανάγκη περαιτέρω μελέτης των ΕΠ των μαθητών του δημοτικού σχολείου ως προς τα μαθηματικά. Εισαγωγή Τα τελευταία χρόνια οι ΕΠ (πεποιθήσεις για τη φύση της γνώσης και της μάθησης) διερευνήθηκαν από πλήθος ερευνητών τόσο από το χώρο της ψυχολογίας όσο και από το χώρο της εκπαίδευσης (Schommer-Aikins, Mau, Brookhart, & Hutter, 2000). Ωστόσο, πολύ λίγες έρευνες ασχολήθηκαν με τις ΕΠ μαθητών δημοτικού για τα μαθηματικά (π.χ., Spangler, 1992; Kloosterman & Cougan, 1994; Lin, 2002), παρότι αναγνωρίζεται ότι αποτελούν σημαντικό παράγοντα που επηρεάζει τη μάθηση των μαθηματικών (Gfeller, 1999). Σκοπός της εργασίας αυτής ήταν να διερευνήσει τις ΕΠ των μαθητών Ε και Στ τάξης δημοτικού για τα μαθηματικά και τη μάθησή τους και την ικανότητα τους στην επίλυση αριθμητικών έργων που περιλαμβάνουν το μηδέν. Πιο συγκεκριμένα, εξετάστηκαν τα ακόλουθα ερωτήματα: 1. Ποια είναι η δομή των ΕΠ των μαθητών Ε και Στ τάξης δημοτικού για τα μαθηματικά και τη μάθησή τους; 2. Υπάρχει η σχέση ανάμεσα στις ΕΠ για τα μαθηματικά και τη μάθησή τους και στην επίδοση των μαθητών σε αριθμητικά έργα που περιλαμβάνουν το μηδέν; Στη συνέχεια, παρουσιάζεται το θεωρητικό πλαίσιο στο οποίο στηρίχτηκε η εργασία αυτή. Ακολούθως, αναλύεται η μεθοδολογία που χρησιμοποιήθηκε και παρατίθενται τα αποτελέσματα που προέκυψαν. Τέλος, αναφέρονται τα συμπεράσματα στα οποία κατέληξε η παρούσα εργασία. 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 109

Ανασκόπηση Βιβλιογραφίας Επιστημολογικές πεποιθήσεις για τα μαθηματικά Oι ΕΠ για τα μαθηματικά περιλαμβάνουν τις πεποιθήσεις για τη φύση, την αιτιολόγηση, την πηγή και την απόκτηση της μαθηματικής γνώσης (Muis, 2004). Ο Schoenfeld (1985) αναφέρεται στις ΕΠ για τα μαθηματικά ως τις πεποιθήσεις που λαμβάνει κάποιος υπόψη του για να μελετήσει τα μαθηματικά και να επιλύσει μαθηματικά προβλήματα. Επιπλέον, ο Cobb (1986) θεωρεί ότι οι ΕΠ για τα μαθηματικά βοηθούν να δημιουργηθεί το κατάλληλο νόημα για το περιεχόμενο της μάθησης των μαθηματικών. Έρευνες έχουν δείξει ότι οι μαθητές, τόσο των πρώτων τάξεων του δημοτικού όσο και του λυκείου, πιστεύουν στην έμφυτη ικανότητα των μαθηματικών (Schoenfeld, 1983; Kloosterman & Cougan, 1994), στη γρήγορη επίλυση μαθηματικών προβλημάτων και στην ύπαρξη μόνο μίας σωστής απάντησης (Spangler, 1992). Οι Diaz-Obando, Plasencia-Cruz και Solano-Alvarado (2003) έχουν βρει ότι οι μαθητές μέσης εκπαίδευσης πιστεύουν ότι τα σχολικά μαθηματικά βασίζονται στην απομνημόνευση κανόνων και στην εφαρμογή διαδικασιών παρά στην κατανόηση μαθηματικών εννοιών. Δομή των επιστημολογικών πεποιθήσεων Αρχικά η έννοια των ΕΠ εθεωρείτο μονοδιάστατη (π.χ., Perry, 1968, αναφορά στους Schommer-Αikins et al., 2000). Αργότερα όμως επικράτησε η άποψη ότι η έννοια αυτή είναι αδύνατο να καλυφθεί από μία μόνο διάσταση, αφού δεν μπορούν να εξηγηθούν κάποιες αντικρουόμενες πεποιθήσεις (Schommer, 1990). Έτσι, η Schommer (1990) πρότεινε ότι οι ΕΠ αποτελούν ένα πολυδιάστατο σύστημα, όπου η κάθε διάσταση σχετίζεται με συγκεκριμένη πεποίθηση για τη γνώση και τη μάθηση (βλέπε Διάγραμμα 1). Η ίδια διέκρινε πέντε διαστάσεις των ΕΠ: (α) Τη «σταθερότητα της γνώσης» (Stability of Knowledge) η οποία κυμαίνεται από σταθερή/αμετάβλητη μέχρι αβέβαιη/μεταβαλλόμενη. (β) Τη «δομή της γνώσης» (Structure of Knowledge) που δυνατό να αποτελείται από μεμονωμένα τμήματα ή να είναι συνεκτική οντότητα. (γ) Την «προέλευση της γνώσης» (Source of Knowledge) η οποία μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από την αυθεντία ή ότι οικοδομείται από το άτομο με βάση την εμπειρία και την κριτική σκέψη. (δ) Την «ταχύτητα της μάθησης» (Speed of Learning) που κυμαίνεται από την πολύ γρήγορη (είτε καθόλου) έως τη σταδιακή και επίπονη. (ε) Την «ικανότητα μάθησης» (Ability to Learn) η οποία κυμαίνεται από την έμφυτη έως τη σταδιακά βελτιώσιμη. Διάγραμμα 1: Πέντε διαστάσεις των ΕΠ 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 110

Ωστόσο, οι πιο πάνω διαστάσεις δεν επιβεβαιώθηκαν εμπειρικά. Η Schommer (1993) έχει βρει μέσω διερευνητικής παραγοντικής ανάλυσης ότι οι ΕΠ μαθητών λυκείου και φοιτητών ομαδοποιούνται σε τέσσερις μόνο παράγοντες («σταθερότητα της γνώσης», «δομή της γνώσης», «ταχύτητα της μάθησης» και «ικανότητα της μάθησης»). Στη συνέχεια η ίδια με τους συνεργάτες της (2000) βρήκε ότι οι ΕΠ μαθητών γυμνασίου ομαδοποιούνται σε τρεις μόνο διαστάσεις («σταθερότητα της γνώσης», «ταχύτητα της μάθησης» και «ικανότητα της μάθησης»). Αυτά τα ευρήματα αποδόθηκαν στο γεγονός ότι η δομή των ΕΠ είναι πιο απλή σε μικρότερους μαθητές παρά σε μεγαλύτερους. Εκτός από αυτό, οι ίδιοι ερευνητές κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οι πεποιθήσεις που αφορούν τη μάθηση αναπτύσσονται πιο γρήγορα από τις πεποιθήσεις που αφορούν τη γνώση. Επιστημολογικές πεποιθήσεις και επίδοση στα μαθηματικά Έχει διαπιστωθεί ότι οι ΕΠ σχετίζονται με τον τρόπο που τα άτομα μαθαίνουν και επηρεάζουν τη γνωστική διαδικασία. Πιο συγκεκριμένα, έχει βρεθεί ότι η πεποίθηση για γρήγορη μάθηση (ή καθόλου) προβλέπει την προσέγγιση που θα χρησιμοποιήσει ο μαθητής, για να επιλύσει το μαθηματικό πρόβλημα (Schoenfeld, 1983). Ο Koller (2001) μελετώντας τη σχέση μεταξύ των διαστάσεων των ΕΠ (σταθερότητα, απλότητα, οικοδόμηση και συνοχή της γνώσης) με την επίδοση των μαθητών λυκείου βρήκε ότι οι ΕΠ προβλέπουν την μαθηματική επίδοση. Πιο συγκεκριμένα, οι μαθητές που πιστεύουν ότι η μαθηματική γνώση δεν αλλάζει, έχουν χαμηλότερη επίδοση από τους μαθητές που πιστεύουν ότι η μαθηματική γνώση αναπτύσσεται. Ακόμα, βρέθηκε ότι οι μαθητές που πιστεύουν ότι η μαθηματική γνώση αποτελείται από απομονωμένα κομμάτια πληροφοριών έχουν χαμηλότερη επίδοση από αυτούς που θεωρούν ότι η μαθηματική γνώση είναι συνεκτική. Επιπρόσθετα, οι μαθητές που πίστευαν στην οικοδόμηση και σύνδεση της γνώσης είχαν ψηλότερη επίδοση από αυτούς που θεωρούσαν τη μαθηματική γνώση είτε ορθή είτε λανθασμένη. Ωστόσο, η Lin (2002) δεν βρήκε καμία συσχέτιση μεταξύ των διαστάσεων των ΕΠ των μαθητών με την επίδοση τους σε ασκήσεις όγκου. Τα αντικρουόμενα αποτελέσματα που παρατηρούνται πιθανόν να οφείλονται είτε στο μαθηματικό περιεχόμενο είτε στους μαθητές του δείγματος κάθε εργασίας. Μεθοδολογία Δείγμα και μέσα συλλογής δεδομένων Το δείγμα της εργασίας αυτής αποτέλεσαν 205 μαθητές Ε και Στ τάξης δημοτικού που φοιτούσαν σε έξι δημόσια σχολεία της Κύπρου. Στους μαθητές αυτούς χορηγήθηκε ένα ερωτηματολόγιο που μετρούσε τις ΕΠ για τα μαθηματικά και ένα δοκίμιο με μαθηματικά έργα. Το ερωτηματολόγιο ΕΠ αποτελείτο από 28 δηλώσεις που αφορούσαν τις ΕΠ για τα μαθηματικά και τη μάθησή τους, σε κλίμακα τύπου Likert πέντε σημείων (1: Διαφωνώ πολύ, 2: Διαφωνώ, 3: Ούτε συμφωνώ, ούτε διαφωνώ, 4: Συμφωνώ, 5: Συμφωνώ πολύ). Οι δηλώσεις του ερωτηματολογίου αυτού, βασίστηκαν σε προηγούμενα ερωτηματολόγια σχετικά με τις γενικές ΕΠ (π.χ. Schommer, 1990) και τις ΕΠ για τα μαθηματικά (π.χ. Kloosterman & Cougan, 1994). Όλες οι δηλώσεις προσαρμόστηκαν έτσι ώστε να αναφέρονται αποκλειστικά στα μαθηματικά και στη μάθησή τους και να ανταποκρίνονται στην ηλικία των μαθητών. Για το σκοπό αυτό το ερωτηματολόγιο 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 111

χορηγήθηκε δοκιμαστικά σε μικρή ομάδα μαθητών που δεν περιλήφθηκαν στο δείγμα. Κάποιες από τις δηλώσεις του ερωτηματολογίου δίνονται στον Πίνακα 1. Το δοκίμιο μαθηματικών έργων αποτελείτο από 12 αριθμητικές πράξεις που περιλάμβαναν το μηδέν. Πιο συγκεκριμένα, οι μαθητές καλούνταν να δώσουν το αποτέλεσμα σε 3 έργα πρόσθεσης (3+0=_, 0+0=_, 0+_ =5), σε 2 έργα αφαίρεσης (3-0=_, 0-9=_), σε 3 έργα πολλαπλασιασμού (3Χ0=_, 0Χ_=0, 0Χ0=_) και σε 4 έργα διαίρεσης (8:0=_, 0:8=_, 0:_=0, 0:0= ). Ο συντελεστής αξιοπιστίας Gronbach s Alpha για τις απαντήσεις των μαθητών τόσο στο ερωτηματολόγιο των ΕΠ όσο στο δοκίμιο μαθηματικών έργων βρέθηκε αρκετά ψηλός (α=0.727 και α=0.897 αντίστοιχα). Αυτό δηλώνει ότι υπάρχει εσωτερική συνάφεια και αξιοπιστία στις απαντήσεις των μαθητών. Βαθμολόγηση έργων και τεχνικές στατιστικής ανάλυσης Η επίδοση των μαθητών στα αριθμητικά έργα συνίστατο από το άθροισμα της επιμέρους βαθμολογίας στο καθένα από αυτά. Για κάθε ορθή απάντηση δινόταν βαθμός ένα και για κάθε λανθασμένη δινόταν βαθμός μηδέν. Για την ανάλυση των δεδομένων χρησιμοποιήθηκε το στατιστικό πακέτο SPSS-15.0. Πιο συγκεκριμένα, έγινε χρήση της διερευνητικής παραγοντικής ανάλυσης (factor analysis) στις 28 δηλώσεις του ερωτηματολογίου για την εξέταση της δομής των ΕΠ των μαθητών και της παλινδρομικής ανάλυσης (Regression analysis) για τη μελέτη της σχέσης των ΕΠ και της επίδοσης στα αριθμητικά έργα. Επιπρόσθετα, χρησιμοποιήθηκε η περιγραφική στατιστική για παρουσίαση των ΕΠ των μαθητών του δείγματος και της ικανότητας τους στην επίλυση αριθμητικών έργων με το μηδέν. Αποτελέσματα Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται με βάση τα ερευνητικά ερωτήματα της παρούσας εργασίας. Δομή επιστημολογικών πεποιθήσεων των μαθητών δημοτικού Από τη διερευνητική παραγοντική ανάλυση των δηλώσεων των μαθητών στο ερωτηματολόγιο των ΕΠ προέκυψαν οι 5 διαστάσεις των ΕΠ, όπως προτάθηκαν θεωρητικά από τη Schommer (1990), αλλά δεν επιβεβαιώθηκαν μέχρι σήμερα εμπειρικά. Για το σκοπό αυτό χρειάστηκε να αφαιρεθούν 10 δηλώσεις που δεν φόρτιζαν ικανοποιητικά σε κανένα παράγοντα. Ο Πίνακας 1 παρουσιάζει τις 18 από τις 28 δηλώσεις του ερωτηματολογίου με τις φορτίσεις τους σε κάθε παράγοντα, τα h 2 κάθε δήλωσης, τις ιδιοτιμές, το ποσοστό ερμηνευόμενης διασποράς και το αθροιστικό ποσοστό της ερμηνευόμενης διασποράς του κάθε παράγοντα. Σύμφωνα με τον Πίνακα 1, οι πέντε παράγοντες που προέκυψαν εξηγούν το 55% της διασποράς. Πιο συγκεκριμένα, οι παράγοντες «Προέλευση της γνώσης» και «Προσπάθεια και χρόνος στη μάθηση των μαθηματικών» περιλαμβάνουν 5 δηλώσεις ο καθένας και ερμηνεύουν το 14.4% και το 13.0% της διασποράς αντίστοιχα. Όσον αφορά τον παράγοντα «Ικανότητα μάθησης των μαθηματικών» περιλαμβάνει 4 δηλώσεις και ερμηνεύει το 10.5% της διασποράς. Οι άλλοι δύο παράγοντες: 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 112

«Σταθερότητα της μαθηματικής γνώσης» και «Δομή της μαθηματικής γνώσης» αποτελούνται από 2 μόνο δηλώσεις και ερμηνεύουν το 8.9% και το 8.0% της διασποράς αντίστοιχα. Γενικά, θεωρείται στατιστικά αποδεκτός ο συγκεκριμένος διαχωρισμός των παραγόντων, τόσο λόγω των αρκετά υψηλών h 2 όσο και των ικανοποιητικών συντελεστών αξιοπιστίας για κάθε παράγοντα (κυμαίνονται από 0.55 μέχρι 0.70). Για κάθε παράγοντα βρέθηκε ο συντελεστής αξιοπιστίας Gronbach s Alpha, που ήταν αρκετά ικανοποιητικός, άρα υπάρχει εσωτερική συνάφεια και αξιοπιστία στις απαντήσεις των μαθητών στις δηλώσεις κάθε παράγοντα. Πιο συγκεκριμένα, βρέθηκε α=0.670 για τον παράγοντα «Προέλευση της γνώσης», α=0.659 για τον παράγοντα «Προσπάθεια και χρόνος στη μάθηση των μαθηματικών», α=0.557 για τον παράγοντα «Ικανότητα μάθησης των μαθηματικών», α=0.496 για τον παράγοντα «Σταθερότητα της μαθηματικής γνώσης» και α=0.487 για τον παράγοντα «Δομή της μαθηματικής γνώσης». Πίνακας 1: Πέντε διαστάσεις ΕΠ για τα μαθηματικά και τη μάθησή τους Διαστάσεις Επ. Πεποιθήσεων I II III IV V h 2 Ι. Προέλευση της γνώσης Τα μαθηματικά που υπάρχουν στα βιβλία των μαθηματικών είναι πάντα σωστά. 0.73 0.04-0.11 0.02-0.11 0.6 Ό,τι μας λέει ο δάσκαλος μας στα μαθηματικά είναι σωστό. 0.70 0.13-0.01 0.23-0.08 0.6 Οι μαθηματικοί γνωρίζουν με σιγουριά τι είναι το σωστό στα μαθηματικά. 0.65 0.25 0.04 0.06-0.03 0.5 Για να λύσω ένα μαθηματικό πρόβλημα σκέφτομαι πάντα τι γράφει το βιβλίο των 0.57 0.17-0.01-0.21 0.17 0.4 μαθηματικών μου. Οι μαθηματικοί γνωρίζουν τα πάντα για τα μαθηματικά. Δεν υπάρχει τίποτα νεότερο που 0.55-0.03 0.29 0.05 0.32 0.5 χρειάζεται να βρουν. ΙΙ. Προσπάθεια και χρόνος στη μάθηση των μαθηματικών Για να καταλάβεις καλά τα μαθηματικά θέλεις πολύ χρόνο. 0.08-0.70-0.11-0.22-0.13 0.6 Για να είναι καλός στα μαθηματικά κάποιος μαθητής πρέπει να διαβάζει πολύ. 0.30 0.66-0.16-0.01-0.02 0.5 Ένας μαθητής γίνεται καλύτερος στα μαθηματικά όσο περισσότερο διαβάζει. 0.33 0.63 0.00-0.21-0.33 0.7 Οι μαθηματικοί μαθαίνουν ποια είναι τα πραγματικά μαθηματικά μόνο εάν τα 0.17 0.57 0.04-0.23 0.13 0.4 μελετήσουν πολύ. Καθώς μεγαλώνω μπορώ να καταλαβαίνω τα μαθηματικά καλύτερα. -0.11-0.51-0.06 0.15 0.21 0.4 ΙΙΙ. Ικανότητα μάθησης των μαθηματικών Ένας ειδικός στα μαθηματικά είναι αυτός που γεννήθηκε έξυπνος. 0.07 0.02 0.73 0.07 0.12 0.6 Κάποια άτομα γεννιούνται έξυπνα και άλλα όχι. -0.16 0.35 0.69-0.08 0.09 0.7 Αυτός που είναι έξυπνος μαθητής, δεν χρειάζεται να διαβάζει πολύ για να παίρνει -0.03-0.38 0.68-0.09 0.03 0.6 άριστα στα μαθηματικά. Οι καλοί μαθητές καταλαβαίνουν τα μαθηματικά γρήγορα. 0.43 0.12 0.51-0.03-0.26 0.5 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 113

ΙV. Σταθερότητα της μαθηματικής γνώσης Υπάρχουν πράγματα που σήμερα θεωρούνται σωστά στα μαθηματικά και στο μέλλον μπορεί 0.12-0.03-0.01 0.83-0.11 0.7 να αποδειχθούν ότι είναι λανθασμένα. Νέες έρευνες στα μαθηματικά από επιστήμονες μπορεί να αλλάξουν αυτά που σήμερα θεωρούμε σωστά μαθηματικά και μαθαίνουμε 0.03-0.13-0.04 0.73 0.16 0.6 στο σχολείο. V. Δομή της μαθηματικής γνώσης Κάποια από τα μαθηματικά που μαθαίνουμε στο σχολείο, τα χρησιμοποιούμε και εκτός σχολείου. 0.15 0.15-0.05-0.29-0.70 0.6 Για να μάθω να λύνω προβλήματα στα μαθηματικά δεν χρειάζεται να θυμάμαι τύπους 0.14 0.07 0.08-0.18 0.70 0.6 και τρόπους λύσης ασκήσεων. Ιδιοτιμή 2.7 2.6 2.1 1.9 1.6 Ποσοστό ερμηνευόμενης διασποράς 14.4 13.0 10.5 8.9 8.0 Αθροιστική διασπορά 14.4 27.4 37.9 46.8 54.8 Επιστημολογικές πεποιθήσεις μαθητών δημοτικού Στον Πίνακα 2, παρουσιάζονται οι μέσοι όροι των μαθητών στις πέντε διαστάσεις των ΕΠ που βρέθηκαν από τη διερευνητική παραγοντική ανάλυση. Στις παρενθέσεις δίνονται οι τυπικές αποκλίσεις Πίνακας 2: Μέσοι όροι των ΕΠ μαθητών στις 5 διαστάσεις Διαστάσεις Επιστημολογικών Πεποιθήσεων Μ.Ο. (Τ.Α.) Προέλευση της γνώσης 2.90 (0.73) Προσπάθεια και χρόνος στη μάθηση των μαθηματικών 3.65 (0.73) Ικανότητα μάθησης των μαθηματικών 2.66 (0.83) Σταθερότητα της μαθηματικής γνώσης 2.89 (0.88) Δομή της μαθηματικής γνώσης 1.97 (0.87) Μελετώντας τον Πίνακα 2, παρατηρείται ότι οι μαθητές διαφωνούν με το ότι τα μαθηματικά προέρχονται από αυθεντίες (Μ.Ο.=2.90), δεν θεωρούν έμφυτη τη μαθηματική ικανότητα (Μ.Ο.=2.66) και δεν συμφωνούν με το ότι η μαθηματική γνώση είναι σταθερή (Μ.Ο.=2.89). Όμως, οι μαθητές τείνουν να πιστεύουν σε μεγάλο βαθμό ότι για να καταλάβεις και να μάθεις τα μαθηματικά χρειάζεται προσπάθεια και χρόνος (Μ.Ο.=3.65). Εκτός από τα πιο πάνω, φαίνεται ότι οι μαθητές θεωρούν ότι για να λύσουν μαθηματικά προβλήματα χρειάζονται να θυμούνται τύπους και μεθόδους λύσης (Μ.Ο.=1.97). Δηλαδή, οι μαθητές του δείγματος τείνουν να πιστεύουν ότι τα μαθηματικά αποτελούν μία διαδικασία που πρέπει να ακολουθούν πιστά για να επιτύχουν σε αυτά. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι πεποιθήσεις των μαθητών σε κάθε διάσταση δεν φαίνεται να διαφέρουν πολύ, αφού οι τυπικές αποκλίσεις είναι πολύ μικρές. Επίδοση στα αριθμητικά έργα με το μηδέν Οι περισσότεροι μαθητές (90%) του δείγματος έδωσαν ορθή απάντηση στα έργα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού με το μηδέν. Οι μαθητές που έδωσαν λάνθασμένη απάντηση στα έργα αυτά, φάνηκε ότι σύγχυζαν την ιδιότητα του μηδέν στην πρόσθεση και στον πολλαπλασιασμό και την εφάρμοζαν αντίστροφα. 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 114

Στα έργα αφαίρεσης με το μηδέν, το 78% των μαθητών έδωσε ορθή απάντηση στην πράξη 3-0=_, ενώ μόνο το 26% των μαθητών έδωσε ορθή απάντηση στην πράξη 0-9=_. Στην πράξη 3-0=_ δόθηκαν ως λανθασμένες απαντήσεις είτε το μηδέν είτε το τρία. Όσον αφορά τις λανθασμένες απαντήσεις στην πράξη 0-9=_, 40% των μαθητών έδωσαν ως απάντηση το μηδέν αφού «από 0 μήλα δεν γίνεται να αφαιρέσεις 9 μήλα.», 17% των μαθητών το εννιά αφού «9-0=9» και 4% των μαθητών το ένα αφού «δανείζεσαι μία μονάδα και κάνεις 10-9=1». Στα έργα διαίρεσης με το μηδέν, μόνο στην πράξη 0:8=_ παρατηρείται να έδωσαν σχεδόν όλοι οι μαθητές την ορθή απάντηση. Ενώ στα άλλα έργα με διαιρέτη το μηδέν, οι περισσότεροι μαθητές έδωσαν ως απάντηση το διαιρετέο, αφού σύμφωνα με κάποιους από αυτούς «το μηδέν δεν σημαίνει τίποτα» και ένα μέρος των μαθητών δεν έδωσε απάντηση. Πιο συγκεκριμένα, στην πράξη 8:0=_ μόνο δώδεκα μαθητές (5.9%) δήλωσαν ότι «το 8 διά μηδέν δεν γίνεται», ενώ εκατό εξηντά επτά μαθητές (81.5%) έδωσαν ως λανθασμένες απαντήσεις το μηδέν (48.3% των μαθητών) και το οκτώ (35.6% των μαθητών). Στην πράξη 0:_=0 μόνο δεκαέξι μαθητές (7.8%) έδωσαν σωστή απάντηση και από αυτούς μόνο τρεις μαθητές υπογράμμισαν ότι στο κενό μπορεί να «βάλουν οποιοδήποτε αριθμό θέλουν εκτός από το μηδέν». Οι υπόλοιποι μαθητές (76.6%) έδωσαν ως λανθασμένη απάντηση το μηδέν. Όσον αφορά την πράξη 0:0=_ μόνο το 3.9% των μαθητών δήλωσε ότι δεν γίνεται η πράξη αυτή, ενώ το 80% των μαθητών έδωσε ως λανθασμένη απάντηση το μηδέν. Επιστημολογικές πεποιθήσεις και επίλυση αριθμητικών έργων Έγινε χρήση της παλινδρομικής ανάλυσης με ανεξάρτητες μεταβλητές τις πέντε διαστάσεις των ΕΠ για τα μαθηματικά και τη μάθησή τους που βρέθηκαν στη διερευνητική παραγοντική ανάλυση και με εξαρτημένη τη γενική επίδοση των μαθητών στα αριθμητικά έργα που περιλάμβαναν το μηδέν. Βρέθηκε ότι ο παράγοντας «Προέλευση της γνώσης», μπορεί να προβλέψει στατιστικά σημαντικά την επίδοση των μαθητών σε αριθμητικά έργα με το μηδέν (R=0.287, p<0.05), αλλά με πολύ μικρό ποσοστό ερμηνευόμενης διασποράς (8.2%). Η εξίσωση που προκύπτει είναι η εξής: Επίλυση αριθμητικών έργων= -0.034 («προέλευση της γνώσης») + 0.803 Με βάση την πιο πάνω εξίσωση, η πεποίθηση που αφορά στο ότι τα μαθηματικά δεν προέρχονται από αυθεντίες επηρεάζει θετικά την επίδοση των μαθητών σε αριθμητικά έργα που περιλαμβάνουν το μηδέν. Δηλαδή, οι μαθητές που δεν αναμένουν τα μαθηματικά από τη αυθεντία, αλλά τα θεωρούν αποτέλεσμα εμπειρίας και κριτικής σκέψης, είναι πιο ικανοί στην επίλυση αριθμητικών έργων με το μηδέν. Συμπεράσματα Σκοπός της εργασίας αυτής ήταν να διερευνήσει τη δομή των ΕΠ των μαθητών Ε και Στ τάξης δημοτικού για τα μαθηματικά και τη μάθησή τους και τη σχέση τους με την επίδοση των μαθητών σε αριθμητικά έργα που περιλαμβάνουν το μηδέν. Έχει βρεθεί μέσω της χρήσης διερευνητικής παραγοντικής ανάλυσης ότι η δομή των ΕΠ των μαθητών του δείγματος για τα μαθηματικά συνίσταται από τους παράγοντες: «Προέλευση της γνώσης», «Προσπάθεια και χρόνος στη μάθηση των μαθηματικών», 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 115

«Ικανότητα μάθησης των μαθηματικών», «Σταθερότητα της μαθηματικής γνώσης» και «Δομή της μαθηματικής γνώσης». Επιβεβαιώνεται έτσι το αρχικό θεωρητικό μοντέλο της Schommer (1990), ενώ προηγούμενες ερευνητικές εργασίες έχουν βρει και επιβεβαιώσει την ύπαρξη τριών ή και τεσσάρων παραγόντων (Schommer, 1993; Schommer-Aikins et al., 2000), οδηγώντας τους στο συμπέρασμα ότι η δομή των επιστημολογικών πεποιθήσεων μικρότερων μαθητών είναι πιο απλή σε σχέση με τους μεγαλύτερους. Αυτό έρχεται σε αντίθεση, με το εύρημα των πέντε παραγόντων της παρούσας εργασίας, το οποίο θεωρεί τη δομή των ΕΠ των μαθητών δημοτικού το ίδιο περίπλοκη και σύνθετη όπως των μεγαλύτερων μαθητών. Ακόμα, βρέθηκε ότι ο παράγοντας «Προέλευση της γνώσης», μπορεί να προβλέψει στατιστικά σημαντικά την επίδοση των μαθητών σε αριθμητικά έργα με το μηδέν. Όμως, σε άλλες ερευνητικές εργασίες βρέθηκαν διαφορετικές διαστάσεις των ΕΠ ως δείκτες πρόβλεψης (Koller, 2001; Lin, 2002). Αυτό πολύ πιθανόν να οφείλεται στην επίδραση επείσακτων μεταβλητών, όπως αυτής της διαφορετικής ομάδας μαθητών και της διαφορετικής μαθηματικής έννοιας που μελετάται σε κάθε έρευνα. Για αυτό είναι ανάγκη για περαιτέρω έρευνα της σχέσης των διαστάσεων των ΕΠ με την επίδοση των μαθητών στα μαθηματικά. Καταλήγοντας, οι ΕΠ είναι πολύ σημαντικές για τη μάθηση των μαθηματικών και ειδικότερα σε μαθητές δημοτικού, οι οποίοι βρίσκονται στο στάδιο της ανάπτυξης της βασικής μαθηματικής γνώσης. Έτσι, θα μπορούσε στη διδασκαλία των μαθηματικών να αναπτύσσεται στους μαθητές η γνώση για τις πεποιθήσεις τους για τη μαθηματική γνώση και μάθηση και αναλόγως οι εκπαιδευτικοί να τους εμπλέκουν σε μαθηματικές δραστηριότητες οι οποίες θα βοηθούν στην αναδιαμόρφωση αυτών. Αναφορές Cobb, P. (1986). Contexts, goals, beliefs, and learning mathematics, For the Learning of Mathematics, 6, 2 9. Diaz-Obando, E., Plasencia-Cruz, I., & Solano-Alvarado, A. (2003) The impact of beliefs in students learning: An investigation with students of two different contexts, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 34, 161 173. Gfeller, M. K. (1999). Mathematical MIA s, School Science and Mathematics, 99(2), 57 59. Kloosterman, P., & Cougan, M. C. (1994). Students beliefs about learning school mathematics, Elementary School Journal, 94, 375 388. Koller, O. (2001). Mathematical world views and achievement in advanced mathematics in Germany: Findings from TIMSS Population 3, Studies in Educational Evaluation, 27, 65 78. 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 116

Lin, C. (2002). Effects of computer graphics types and epistemological beliefs on students learning of mathematical concepts, Journal of Educational Computing Research, 27, 265 274. Muis, K. R. (2004). Personal epistemology and mathematics: a critical review and synthesis of research, Review of Educational Research, 74, 317 377. Schoenfeld, A. H. (1983). Beyond the purely cognitive: Belief systems, social cognitions, and metacognitions as driving forces in intellectual performance, Cognitive Science, 7, 329 363. Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press. Schommer, M. (1990) Effects of beliefs about the nature of knowledge on comprehension, Journal of Educational Psychology, 82, 498 504. Schommer, M. (1993). Epistemological development and academic performance among secondary students, Journal of Educational Psychology, 85, 406 411. Schommer-Aikins, M., Mau, W., Brookhart, S., & Hutter, R. (2000). Understanding middle students beliefs about knowledge and learning using a multidimensional paradigm, Journal of Education Research, 94, 120 127. Spangler, D. A. (1992). Assessing students beliefs about mathematics, Mathematics Educator, 3, 19 23. 11 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 117