ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε διχοτόµο ΑΔ Σύγκριση Τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΔ: -ΑΒ=ΑΓ (δεδοµένο) -ΒΑΔ=ΓΑΔ (αφού ΑΔ διχοτόµος) -ΑΔ κοινή Άρα από Π-Γ-Π τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα. Οπότε οι γωνίες ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσες.
ΠΟΡΙΣΜΑ 3. Η διχοτόµος που αντιστοιχεί στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ύψος και διάµεσος. Σύγκριση τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΔ: -ΑΒ=ΑΓ (δεδοµένο) -ΒΑΔ=ΓΑΔ (αφού ΑΔ διχοτόµος) -ΑΔ κοινή Άρα από Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα ΒΔ=ΔΓ, οπότε Δ µέσο του ΒΓ, έτσι ΑΔ διάµεσος του τριγώνου. Άρα γωνίες ΒΔΑ και ΓΔΑ είναι ίσες και παραπληρωµατικές οπότε ΒΔΑ=ΓΔΑ=90 µοίρες, οπότε ΑΔ είναι και ύψος του τριγώνου ΑΒΓ.
ΠΟΡΙΣΜΑ 4. Η διάµεσος που αντιστοιχεί στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ύψος και διχοτόµος. Σύγκριση τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΔ: -ΑΒ=ΑΓ (δεδοµένο) -ΒΔ=ΓΔ (αφού ΑΔ διάµεσος) -ΑΔ κοινή Άρα από Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα ΒΑΔ=ΔΑΓ, οπότε ΑΔ διχοτόµος της γωνίας Α. Άρα γωνίες ΒΔΑ και ΓΔΑ είναι ίσες και παραπληρωµατικές οπότε ΒΔΑ=ΓΔΑ=90 µοίρες, οπότε ΑΔ είναι και ύψος του τριγώνου ΑΒΓ.
ΠΟΡΙΣΜΑ 6. Η κάθετος από το κέντρο ενός κύκλου προς µία χορδή του διέρχεται από το µέσο της χορδής και από το µέσο του αντίστοιχου τόξου της. Στο Ισοσκελές τρίγωνο ΑΟΒ (αφού ΟΑ=ΟΒ ως ακτίνες του ίδιου κύκλου) το ΟΚ είναι το ύψος στην βάση ΑΒ αφού ΟΚ τέµνει κάθετα την ΑΒ. Από προηγούµενο πόρισµα (το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στην βάση είναι διάµεσος και διχοτόµος της γωνίας της κορυφής). Άρα ΑΚ=ΚΒ και γωνίες ΑΟΚ=ΒΟΚ. Οπότε τα τόξα ΑΜ και ΒΜ είναι ίσα. Έτσι το ευθύγραµµο τµήµα ΟΚ διέρχεται και από το µέσο της χορδής ΑΒ και από το µέσο του τόξου ΑΒ.
ΠΟΡΙΣΜΑ 7. Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει από τα άκρα του τµήµατος. Σύγκριση ορθογωνίων τριγώνων ΜΒΚ και ΜΓΚ: -ΒΚ=ΚΓ (αφού ΜΚ µεσοκάθετος) -ΜΚ κοινή Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα ΜΒ=ΜΓ οπότε κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει από τα άκρα του ευθύγραµµου τµήµατος.
Αντίστροφα: Κάθε σηµείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράµµου τµήµατος ανήκει στην µεσοκάθετο του. Αν σηµείο Μ ισαπέχει από το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ, τότε ΜΒ=ΜΓ και στο ΒΓ σηµείο Κ µέσο του ΒΓ, έχουµε ισοσκελές τρίγωνο ΒΜΓ µε ΜΚ διάµεσο στη βάση του. Άρα από προηγούµενο πόρισµα ΜΚ είναι και ύψος του ΒΜΓ, οπότε Μ ανήκει στην µεσοκάθετο του ΒΓ.
ΠΟΡΙΣΜΑ 8. Κάθε σηµείο της διχοτόµου µιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της. Σύγκριση ορθογωνίων τριγώνων ΟΒΜ και ΟΑΜ: -ΟΜ κοινή πλευρά -Ο1=Ο2 (αφού Οδ διχοτόµος) Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Οπότε ΜΒ=ΜΑ
Αντίστροφα: Κάθε εσωτερικό σηµείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές της ανήκει στην διχοτόµο της. Σύγκριση ορθογωνίων τριγώνων ΟΜΑ και ΟΜΒ: -ΜΑ=ΜΒ (δεδοµένο) -ΟΜ κοινή Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Όποτε Ο1=Ο2, έτσι ΟΜ διχοτόµος της χοy.
ΠΟΡΙΣΜΑ 9. Δύο χορδές είναι ίσες αν τα αντίστοιχα τόξα είναι ίσα. Σύγκριση τριγώνων ΑΒΟ και ΟΓΔ: -ΑΟ=ΟΓ (ως ακτίνες του ίδιου κύκλου) -ΑΟΒ = ΓΟΔ (αφού τα τόξα είναι ίσα τότε θα είναι και οι επίκεντρες γωνίες) -ΒΟ=ΟΔ (ως ακτίνες του ίδιου κύκλου) Άρα από Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα ΓΔ=ΑΒ.
Αντίστροφα Δύο τόξα (µικρότερα του ηµικυκλίου) είναι ίσα αν οι αντίστοιχες χορδές είναι ίσες. Σύγκριση τριγώνων ΑΒΟ και ΟΓΔ: -ΑΟ=ΟΓ (ως ακτίνες του ίδιου κυκλου) -ΑΒ=ΓΔ (δεδοµένο) -ΒΟ=ΟΔ (ως ακτίνες του ίδιου κύκλου) Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα ΑΟΒ=ΓΟΔ, οπότε αφού όταν οι επίκεντρες γωνίες είναι ίσες τότε και τα τόξα τους είναι ίσα τόξα ΑΒ και ΓΔ είναι ίσα.
ΠΟΡΙΣΜΑ 10. Δύο χορδές είναι ίσες αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Σύγκριση ορθογωνίων τριγώνων ΒΖΟ και ΔΗΟ: -ΒΟ=ΔΟ (ως ακτίνες του ίδιου κύκλου) -ΟΖ=ΟΗ (δεδοµένο) Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα ΒΖ=ΗΔ, οπότε ΑΒ=ΔΓ ως διπλάσια των ίσων τµηµάτων ΗΔ και ΒΖ.
Αντίστροφα Δύο αποστήµατα είναι ίσα αν οι χορδές τους είναι ίσες. : Σύγκριση ορθογωνίων τριγώνων ΒΖΟ και ΔΗΟ: -ΒΟ=ΔΟ (ως ακτίνες του ίδιου κύκλου) -ΒΖ=ΗΔ (δεδοµένο) Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα ΑΒ=ΔΓ ως διπλάσια των ίσων τµηµάτων ΒΖ και ΗΔ, και ΟΖ=ΗΔ από την σύγκριση.