ΜΑΘΗΜΑ 4: Η ΓΑΛΙΛΑΪΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Simplicio: Αυτό πραγματικά δεν μπορώ να το κατανοήσω. Salviati: Αυτή είναι μια από τις δυσκολίες που και εγώ αρχικά αντιμετώπισα, αλλά την ξεπέρασα και η υπέρβαση έγινε ακριβώς με το πείραμα, αυτό που προκαλεί τη δυσκολία σ εσένα. ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Ο Γαλιλαίος ήταν ο πρώτος που ήρθε σε ρήξη με την επικρατούσα αριστοτελική αντίληψη για τις φυσικές αρχές που διέπουν την κίνηση των σωμάτων. Στο βιβλίο του που σηματοδότησε την απαρχή της σύγχρονης επιστημονικής αντίληψης για τη φυσική πραγματικότητα, Διάλογος και Μαθηματικές Αποδείξεις σχετικά με δυο νέες Επιστήμες, * αφήνει να ξετυλιχτεί ένας σπουδαίος φιλοσοφικός και επιστημονικός διάλογος μεταξύ τριών προσώπων, του Simplicio οπαδού της αριστοτελικής παράδοσης, του Salviati εκφραστή των απόψεων του συγγραφέα και του Sagredo που εκπροσωπεί τον μη προκατειλημμένο συζητητή. Από τα κείμενα αυτά αναδύονται οι αντιλήψεις στις οποίες θεμελιώθηκε η Κλασική Μηχανική. Ένα πλήθος ενδελεχών πειραματικών παρατηρήσεων και μετρήσεων του αποκάλυψαν την αδρανειακή συμπεριφορά της φύσης. Η έως τότε επικρατούσα αριστοτελική αντίληψη αποδεχόταν ότι ένα σώμα διατηρεί την κίνησή του μόνο όταν προωθείται διαρκώς από κάποια δύναμη και εκείνος δήλωσε ότι καμιά εξωτερική δύναμη δεν απαιτείται για τη διατήρηση της ταχύτητας ενός σώματος παρά μόνο για τη μεταβολή της. Λίγα χρόνια αργότερα, ο Νεύτωνας στις Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας, διατύπωσε την αρχή της αδράνειας στην οποία βασίστηκαν οι νόμοι της κίνησης. * Galileo Galilei : Discorsi e Dimostrazioni Matematica, intorno a due nuove scienze, 1638.
ΜΑΘΗΜΑ 4 ο : Η ΓΑΛΙΛΑΪΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 31 Η αρχή της αδράνειας. Ο Γαλιλαίος, στα κείμενά του, με γλαφυρό και απλοϊκό τρόπο περιγράφει αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως αρχή της αδράνειας: Μαζί με φίλους σας κλειστείτε στο εσωτερικό ενός πλοίου, εκεί όπου δεν υπάρχει δυνατότητα αντίληψης του εξωτερικού χώρου, και αφήστε να πετούν ολόγυρά σας πεταλούδες και άλλα πετούμενα, βάλτε μικρά ψάρια σ ένα ενυδρείο και στην οροφή ένα δοχείο από όπου να πέφτουν στάλες νερού σε ένα μπουκάλι τοποθετημένο στο δάπεδο. Όταν το πλοίο είναι ακίνητο παρατηρείστε προσεκτικά πώς πετούν τα μικρά ζώα εξίσου άνετα προς όλες τις κατευθύνσεις, πώς κινούνται τα ψάρια εξίσου άνετα προς κάθε πλευρά, πώς όλες οι στάλες πέφτουν μέσα στο μπουκάλι. Και εσείς δεν θα χρειαστεί να καταβάλετε μεγαλύτερη ή μικρότερη προσπάθεια για να ρίξετε ένα αντικείμενο στον ένα ή τον άλλο φίλο σας που βρίσκονται ολόγυρά σας και απέχουν εξίσου από εσάς. Όταν το πλοίο αρχίσει να κινείται, όσο γρήγορα θελήσετε, αρκεί η κίνηση να είναι ομαλή, δεν θα διακρίνετε την παραμικρή αλλαγή στις παρατηρήσεις σας ώστε να μπορέσετε να συμπεράνετε ότι το πλοίο πράγματι κινείται. Ο λόγος βρίσκεται στο ότι η κίνηση είναι κοινή για το πλοίο και ότι άλλο υπάρχει σε αυτό συμπεριλαμβανόμενου του αέρα. Πραγματοποιώντας μια σειρά πειραμάτων, σε διατάξεις όπως αυτές που εικονίζονται στο σχήμα, παρατηρεί ότι όταν ένα σφαιρίδιο ξεκινά με μηδενική ταχύτητα από κάποιο σημείο της τοξοειδούς διαδρομής τότε διανύει ένα τμήμα της και φτάνοντας λίγο χαμηλότερα από το απέναντι ισοϋψές σημείο επανακάμπτει εκτελώντας παλινδρομική κίνηση. Μετά από βελτιώσεις της λειότητας της επιφάνειας κύλισης και του σφαιριδίου συμπεραίνει ότι αν δεν υπήρχαν τριβές το σφαιρίδιο θα ανέκαμπτε στην ακριβώς απέναντι ισοϋψή θέση ως προς τη θέση εκκίνησής του. Σταδιακά αποκαμπυλώνει τη μια πλευρά της τοξοειδούς διαδρομής και καταλήγει στο ίδιο συμπέρασμα. Εικάζει ότι αν η πλευρά αυτή ευθειοποιηθεί εντελώς το σφαιρίδιο θα διατηρήσει στο διηνεκές την ευθύγραμμη ομαλή κίνηση χωρίς να απαιτείται κάποια ώθηση που θα συντηρούσε την κίνησή του, με την προϋπόθεση ανυπαρξίας τριβών. Η αριστοτελική άποψη καταρρέει και αποκαλύπτεται η αρχή της αδράνειας. Πειραματική διάταξη για την αποκάλυψη της αδρανειακής κίνησης.
32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η ελεύθερη πτώση. Ο Γαλιλαίος, θέλοντας να ανακαλύψει το νόμο που διέπει την κίνηση των σωμάτων υπό την επίδραση του βάρους τους, πραγματοποίησε μια σειρά πειραμάτων σε κεκλιμένες διαδρομές όπως αυτή που εικονίζεται στο επόμενο σχήμα. Επιλέγοντας ως μονάδα μήκους την απόσταση που διανύει το σφαιρίδιο την πρώτη χρονική μονάδα, μετρά στις επόμενες χρονικές μονάδες τη διανυόμενη απόσταση: * 1 η χρονική μονάδα 1 μονάδα μήκους 2 η χρονική μονάδα 3 μονάδες μήκους συνολική διαδρομή: 4 μονάδες μήκους 3 η χρονική μονάδα 5 μονάδες μήκους συνολική διαδρομή: 9 μονάδες μήκους 4 η χρονική μονάδα 7 μονάδες μήκους συνολική διαδρομή: 16 μονάδες μήκους 5 η χρονική μονάδα 9 μονάδες μήκους συνολική διαδρομή: 25 μονάδες μήκους κ.ο.κ. Επαναλαμβάνοντας την πειραματική διαδικασία με σφαιρίδια διαφορετικής μάζας βρίσκει το ίδιο αριθμητικό αποτέλεσμα και δηλώνει ότι το διάστημα που διανύει οποιοδήποτε σφαιρίδιο στην κεκλιμένη αυτή διαδρομή υπό την επίδραση του βάρους του έχει τετραγωνική αναλογική σχέση με τον παρερχόμενο χρόνο: 2 s() t kt. Αυτό σημαίνει ότι η επιτάχυνση των σφαιριδίων κατά την καθοδική τους πορεία στην κεκλιμένη αυτή διαδρομή διατηρείται σταθερή. Το συμπέρασμα αυτό σήμερα προκύπτει θεωρητικά ως εξής: 2 s() t kt () 2 s t kt s() t 2k. Πειραματική διάταξη για την αποκάλυψη της σταθερότητας της επιτάχυνσης της βαρύτητας. Αυξάνοντας σταδιακά την κλίση της κεκλιμένης διαδρομής διαπιστώνει ότι η τιμή της σταθεράς k αυξάνει, οπότε το μέτρο της σταθερής επιτάχυνσης των σφαιριδίων αυξάνει έως μια μέγιστη τιμή την οποία λαμβάνει στην κατακόρυφη κλίση, δηλαδή στην ελεύθερη πτώση, και δηλώνει: * Ο Γαλιλαίος δεν είχε στη διάθεσή του όργανα που μετρούσαν με ικανοποιητική ακρίβεια τον παρερχόμενο χρόνο και, όπως σημειώνει, χρησιμοποιούσε ως μονάδα χρόνου το ενδιάμεσο των χτύπων της καρδιάς του.
ΜΑΘΗΜΑ 4 ο : Η ΓΑΛΙΛΑΪΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 33 Κάθε σώμα που αφήνεται να πέσει υπό την επίδραση του βάρους του αποκτά ίδια σταθερή επιτάχυνση, ανεξάρτητα της μάζας του, και κάθε στιγμή η διανυθείσα απόσταση είναι ανάλογη του τετραγώνου του παρελθόντος χρόνου. Ο Simplicio αποδέχεται την ορθότητα της συλλογιστικής του Salviati, αλλά αμφιβάλλει για την ισχύ του συμπεράσματος στη φυσική πραγματικότητα και εκείνος απαντά: Ο Αριστοτέλης λέει ότι ένα σώμα δέκα φορές βαρύτερο από κάποιο άλλο πέφτει με δεκαπλάσια ταχύτητα, δηλαδή μια σιδερένια σφαίρα βάρους εκατό λιβρών που πέφτει από ύψος εκατό πήχεων φτάνει στο έδαφος προτού μια σφαίρα βάρους μιας λίβρας καλύψει απόσταση μιας πήχεως. Εγώ υποστηρίζω ότι φτάνουν ταυτόχρονα. Αν κάνεις το πείραμα θα διαπιστώσεις ότι η μεγάλη σφαίρα προηγείται της μικρής κατά δυο δάχτυλα, δηλαδή τη στιγμή που η μεγάλη φτάνει στο έδαφος η μικρότερη θα απέχει από αυτό δυο δάχτυλα. Αλλά μην κρύψεις πίσω από αυτά τα δυο δάχτυλα τους ενενήντα εννέα πήχεις του Αριστοτέλη, ούτε να επισημάνεις το δικό μου σφάλμα αποσιωπώντας το πολύ σοβαρότερο δικό του. Δηλώνει λοιπόν ότι το συμπέρασμά του θα ίσχυε με απόλυτη ακρίβεια αν ανάμεσα στο αρχικό και στο τελικό σημείο της πτώσης υπήρχε κενό. Όταν, όπως λέγεται, πήγε στον πύργο της Πίζας και άφησε δυο σώματα να πέσουν από το ίδιο ύψος σίγουρα ήξερε αν κάποιο από αυτά θα έφτανε πρώτο στο έδαφος. * Ο πύργος της Πίζας και η ελεύθερη πτώση των σωμάτων. Ο Νεύτωνας, λίγα χρόνια αργότερα, βασισμένος στη γνώση του για την επιτάχυνση της βαρύτητας και στη θεμελιώδη εξίσωση της κίνησης, κατέληγε στο ίδιο συμπέρασμα για την ελεύθερη πτώση στο κενό, το οποίο σήμερα διατυπώνεται ως εξής: 1 ms 2 B ms mg s() t g s () t gt v s() t gt v t x. o 2 o o * Στο βιβλίο του De motu (Περί κινήσεως) εκθέτει αυτές τις απόψεις του προκαλώντας σφοδρές αντιδράσεις από το κατεστημένο και εξαναγκάζεται να εγκαταλείψει το Πανεπιστήμιο της Πίζας. Στο συμπέρασμά του κατέληξε το 1604, αλλά το παρουσίασε αναλυτικά στο τελευταίο του βιβλίο που δεν το είδε γιατί στο μεταξύ έχασε το φως του.
34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η βαλλιστική κίνηση. Η αριστοτελική αντίληψη υποστήριζε ότι κατά την έναρξη της βαλλιστικής κίνησης προσδίδεται στο σώμα μια ώθηση και μόλις αυτή εξαντληθεί το σώμα πέφτει κατακόρυφα στο έδαφος. Μια κάπως διαφορετική άποψη είχε ο Nicolo Tartaglia (1499-1557) υποστηρίζοντας ότι η κατακόρυφη πτώση αρχίζει λίγο μετά την εξάντληση της ώθησης. Ο Γαλιλαίος δηλώνει απερίφραστα ότι η τροχιά κάθε βαλλιστικής κίνησης είναι παραβολική. Προεκτείνει την κεκλιμένη διαδρομή της πειραματικής διάταξης έτσι ώστε από κάποιο σημείο και πέρα να οριζοντιώνεται και αφήνει μια χάλκινη σφαίρα επικαλυμμένη με μελάνι να κυλήσει υπό την επίδραση του βάρους. Η σφαίρα μόλις φτάσει στο τέρμα της οριζόντιας διαδρομής εκβάλεται με την ταχύτητα που έχει αποκτήσει και διαγράφοντας μια καμπυλόγραμμη τροχιά αφήνει στο δάπεδο το στίγμα της. Επαναλαμβάνει το πείραμα αφήνοντας τη σφαίρα να ξεκινήσει από διάφορα ύψη της κεκλιμένης διαδρομής. Οι μετρήσεις δείχνουν ότι, από τη στιγμή της εκβολής της σφαίρας, οι διαδοχικές αποστάσεις των στιγμάτων στο έδαφος αυξάνονται ευθέως ανάλογα προς το τετράγωνο του παρερχόμενου χρόνου και συμπεραίνει ότι η τροχιά από το σημείο εκβολής έως την τελική πτώση είναι παραβολική. Πειραματική διάταξη για την αποκάλυψη του νόμου της βαλλιστικής κίνησης. Η αντίληψη της βαλλιστικής κίνησης πριν και μετά τον Γαλιλαίο.
ΜΑΘΗΜΑ 4 ο : Η ΓΑΛΙΛΑΪΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 35 Η ανεξαρτησία των κινήσεων. Ο Γαλιλαίος θέλει να μάθει αν ο νόμος που διέπει τη βαλλιστική κίνηση προκύπτει από τη σύνθεση των απλών ανεξάρτητων νόμων που διέπουν αντίστοιχα την οριζόντια κίνηση που οφείλεται στην αρχική ταχύτητα και τηn κατακόρυφη κίνηση που οφείλεται στη βαρύτητα. Ξέρει ότι αν αυτό αληθεύει τότε θα έρχονταν σε πλήρη αντίθεση με τον αριστοτελικό ισχυρισμό σχετικά με την ύπαρξη μόνο απλών κινήσεων στη φύση. Τα πειράματά του αναδεικνύουν ότι κάθε σώμα, είτε εκτοξευτεί οριζόντια με οποιαδήποτε ταχύτητα από κάποια θέση, είτε αφεθεί να πέσει ελεύθερα από την ίδια θέση, χρειάζεται ίδιο χρόνο έως ότου φτάσει στο έδαφος και οι όποιες διαφορές οφείλονται στην αντίσταση του αέρα. Αυτό σημαίνει ότι οι νόμοι που διέπουν την οριζόντια και την κατακόρυφη κίνηση λειτουργούν ανεξάρτητα και από τo συνδυασμό τους προκύπτει ο νόμος της βαλλιστικής κίνησης. Έτσι, καταρρίπτεται η επικρατούσα αντίληψη και αποκαλύπτεται η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων. Ελεύθερη πτώση και βαλλιστική κίνηση. Ο ισοχρονισμός του εκκρεμούς. Ο Γαλιλαίος, από τις αιωρήσεις μιας κρεμαστής λάμπας στον καθεδρικό ναό της Πίζας, αντιλαμβάνεται αυτό που σήμερα ονομάζουμε ισοχρονισμό του εκκρεμούς, δηλαδή την ανεξαρτησία της περιόδου ταλάντωσης από το πλάτος της. Τα πειράματά του επιβεβαιώνουν την διαίσθησή του και τα κείμενά του δίνουν σαφείς απαντήσεις: Salviati: Ας εξετάσουμε τώρα αν είναι δυνατό το εκκρεμές να παράσχει ικανοποιητική λύση για όλες αυτές τις δυσκολίες. Εκείνος απέδειξε ότι, κατά μήκος των χορδών του κύκλου του εκκρεμούς που καταλήγουν στη χαμηλότερη θέση του, ο χρόνος καθόδου είναι ίδιος. Το πείραμα δείχνει ότι ο χρόνος καθόδου κατά μήκος των αντίστοιχων τόξων είναι επίσης ίδιος, εφόσον αυτά δεν υπερβαίνουν τις ενενήντα μοίρες. Αλλά, όσο παράδοξο κι αν φαίνεται, ο χρόνος καθόδου των τόξων είναι βραχύτερος από το χρόνο καθόδου των χορδών. Πράγματι, αφού τα άκρα των δυο κινήσεων είναι ίδια και ο βραχύτερος σε απόσταση δρόμος που τα συνδέει είναι ο ευθύγραμμος, θα φαινόταν λογικό αυτός να είναι ο βραχύτερος και σε χρόνο.
36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Όμως αυτό δεν ισχύει και η κίνηση είναι ταχύτερη στα τόξα και όχι στις χορδές. Επίσης, το πείραμα δείχνει ότι οι χρόνοι ταλάντωσης των εκκρεμών είναι ανάλογοι προς τις τετραγωνικές ρίζες των μηκών τους ή θα μπορούσαμε να πούμε ότι τα μήκη είναι ανάλογα προς τα τετράγωνα των χρόνων. Ένα εκκρεμές για να έχει χρόνο ταλάντωσης διπλάσιο από το χρόνο ταλάντωσης κάποιου άλλου, πρέπει να έχει τετραπλάσιο νήμα ανάρτησης από το νήμα του άλλου. Και αν ένα εκκρεμές έχει νήμα ανάρτησης εννεαπλάσιο από το νήμα ενός άλλου τότε το δεύτερο εκτελεί τρεις ταλαντώσεις στο χρόνο μιας ταλάντωσης του πρώτου. Προκύπτει ότι τα μήκη των νημάτων ανάρτησης των εκκρεμών είναι αντιστρόφως ανάλογα προς τα τετράγωνα των αριθμών των ταλαντώσεων τους στο ίδιο χρονικό διάστημα. Sagredo: Αν κατάλαβα καλά, μπορώ να μάθω το μήκος του νήματος ενός εκκρεμούς, που το άνω άκρο του έχει προσδεθεί σε οποιοδήποτε ύψος, ακόμη κι αν είναι αόρατο, βλέποντας μόνο το κάτω άκρο. Αρκεί ένας φίλος μου να μετρά τις ταλαντώσεις του μεγάλου εκκρεμούς και εγώ, το ίδιο χρονικό διάστημα, να μετρώ τις ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς που έχει μήκος ακριβώς έναν πήχη. Για παράδειγμα, αν ο φίλος μου μετρήσει 20 ταλαντώσεις του μεγάλου εκκρεμούς και το ίδιο χρονικό διάστημα εγώ μετρήσω 240 ταλαντώσεις του μικρού εκκρεμούς, υπολογίζοντας τα τετράγωνα των δυο αυτών αριθμών που είναι αντίστοιχα 400 και 57600, θα συμπεράνω από το πηλίκο τους ότι το μεγάλο εκκρεμές έχει μήκος 144 πήχεις. Salviati: Και δεν θα αστοχήσεις περισσότερο από το πλάτος μιας παλάμης, ιδίως αν αφήσεις τα εκκρεμή να πραγματοποιήσουν μεγάλο αριθμό ταλαντώσεων. Sagredo: Ποτέ δεν περίμενα να μάθω ότι ένα σώμα αναρτημένο με ένα σχοινί 100 πήχεων που αιωρείται διαγράφοντας ένα τόξο ενενήντα μοιρών ή μιας μοίρας ή μισής μοίρας χρειάζεται ίδιο χρόνο για να κάνει μια πλήρη ταλάντωση και αυτό εξακολουθεί να με εκπλήσσει. Περιμένω να ακούσω τώρα πώς αυτά τα φαινόμενα μπορούν να δώσουν απαντήσεις σε ερωτήματα για τους παραγόμενους ήχους από τις ταλαντώσεις μιας χορδής μουσικού οργάνου. Το απλό επίπεδο εκκρεμές και η σημερινή ανάλυση των ασκούμενων δυνάμεων.
ΜΑΘΗΜΑ 4 ο : Η ΓΑΛΙΛΑΪΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 37 Η έννοια της κίνησης. Ο Γαλιλαίος γράφει στα κείμενά του: Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά. Εντούτοις, κάνοντας πειράματα, ανακάλυψα κάποιες ιδιότητες που μέχρι τώρα δεν έχουν παρατηρηθεί ούτε αποδειχτεί και αξίζει να κοινοποιηθούν. Βέβαια, είναι γνωστό ότι η κίνηση ενός σώματος σε πτώση επιταχύνεται διαρκώς, αλλά δεν έχει γίνει γνωστή η έκταση αυτής της επιτάχυνσης. Κανείς δεν έχει ακόμη επισημάνει, απ ότι γνωρίζω, ότι οι αποστάσεις τις οποίες διανύει σε ίσα χρονικά διαστήματα ένα σώμα, που πέφτει από την κατάσταση ακινησίας, έχουν μεταξύ τους λόγο όπως οι περιττοί αριθμοί που αρχίζουν με τη μονάδα. Επίσης, έχει παρατηρηθεί ότι τα βλήματα διαγράφουν μια καμπύλη τροχιά, ωστόσο κανείς δεν επεσήμανε ότι η τροχιά αυτή είναι μια παραβολή. Κατόρθωσα να αποδείξω αυτό το γεγονός, μαζί με άλλα που ούτε ολιγάριθμα είναι ούτε λιγότερο άξια να καταστούν γνωστά. Στο Merton College της Οξφόρδης, τον 14 ο αιώνα, διαμορφώθηκαν οι πρώτες σαφείς περιγραφές της κίνησης, από τον Thomas Bradwardine (1290-1349) που όρισε την ταχύτητα ως λόγο των διανυόμενων χωρικών διαστημάτων προς τα αντίστοιχα χρονικά διαστήματα και από τον William Heytesbury (1313-1372) που όρισε την επιτάχυνση ως ταχύτητα της ταχύτητας. Ο Nicolas Oresme (1320-1382) εισήγαγε την έννοια της μέσης ταχύτητας ανάγοντας κάθε ομαλά επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση σε ομαλή ευθύγραμμη κίνηση, μέσα από μια θεωρητική διαδικασία που είναι γνωστή ως κανόνας του Merton και απαντά στο εξής πρόβλημα: Ένα σώμα ξεκινά από ένα σημείο Α με μηδενική ταχύτητα προκειμένου να διανύσει με σταθερή επιτάχυνση μια ευθύγραμμη διαδρομή έως ένα σημείο Β. Αν διένυε την ίδια διαδρομή στο ίδιο χρονικό διάστημα με σταθερή ταχύτητα, ποια είναι αυτή η ταχύτητα; Η γεωμετρική συλλογιστική του κανόνα του Merton.
38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Με ένα απλό γεωμετρικό σκεπτικό είχε από τότε δοθεί η απάντηση: Όταν ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση και σε ένα χρονικό διάστημα το μέτρο της ταχύτητάς του μεταβληθεί από 0 σε, η έως τότε διανυθείσα απόσταση είναι ίδια με εκείνη που θα διένυε στο ίδιο χρονικό διάστημα με σταθερή ταχύτητα μέτρου /2. Ο Γαλιλαίος ίσως γνώριζε τον κανόνα του Merton και για να ερμηνεύσει το τι ακριβώς συμβαίνει κάθε χρονική στιγμή της κίνησης χρειαζόταν να αναπτύξει μια συλλογιστική απεριόριστων διαδοχικών διαμερίσεων της χρονικής μονάδας. Τα μαθηματικά που είχε στη διάθεσή του βασίζονταν στη Γεωμετρία του Ευκλείδη και του Αρχιμήδη, πέρα από τις επικρατούσες λανθασμένες αντιλήψεις για τους φυσικούς νόμους που διέπουν την κίνηση των σωμάτων. Στα κείμενά του γράφει: Στη διερεύνηση της φυσικά επιταχυνόμενης κίνησης είχαμε πάντοτε ως οδηγό τη συμπεριφορά της ίδιας της φύσης στις ποικίλες εκφάνσεις της, έτσι ώστε να χρησιμοποιούμε εκείνα μόνο τα μέσα που είναι τα πιο κοινά, απλά και εύκολα. Παρατηρώντας μια πέτρα να πέφτει από μια υπερυψωμένη θέση και να αποκτά συνεχώς αυξανόμενη ταχύτητα, γιατί να μην πιστέψω ότι οι επαυξήσεις της ταχύτητας συμβαίνουν κατά τον πιο απλό και φανερό τρόπο; Εξετάζοντας το θέμα προσεκτικά, δεν θα διαπιστώσουμε καμία προσθήκη ή επαύξηση πιο απλή από αυτή που επαναλαμβάνεται πάντοτε με τον ίδιο τρόπο. Αυτό το καταλαβαίνουμε αμέσως αναλογιζόμενοι την άρρηκτη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στο χρόνο και την κίνηση. Πράγματι, όπως ακριβώς η ομαλότητα της κίνησης ορίζεται και νοείται μέσω ίσων χρόνων και ίσων αποστάσεων, μπορούμε να πούμε ότι μια κίνηση είναι ομαλά και συνεχώς επιταχυνόμενη όταν, στη διάρκεια οποιωνδήποτε ίσων χρονικών διαστημάτων, προσδίδονται ίσες επαυξήσεις ταχύτητας. Φαίνεται ότι δεν απέχουμε πολύ από την αλήθεια εάν θεωρήσουμε την αύξηση της ταχύτητας ως ευθέως ανάλογη προς την αύξηση του χρόνου και έτσι ο υπό εξέταση ορισμός μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Μια κίνηση λέγεται ομαλά επιταχυνόμενη όταν, εκκινώντας από τη θέση της ηρεμίας, αποκτά εντός ίσων χρονικών διαστημάτων ίσες επαυξήσεις ταχύτητας. Sagredo: Δεν μπορώ να διατυπώσω κάποια λογική ένσταση για το συγκεκριμένο ορισμό και γενικά για οποιονδήποτε ορισμό, αφού όλοι είναι αυθαίρετοι. Αλλά, ας μου επιτραπεί να εκφράσω τις αμφιβολίες μου για το κατά πόσο ένας ορισμός όπως αυτός, που έχει διατυπωθεί με αφηρημένο τρόπο, αντιστοιχεί και περιγράφει το είδος της επιταχυνόμενης κίνησης που συναντάμε στη φύση κατά την ελεύθερη πτώση των σωμάτων. Σκέπτομαι ένα σώμα να ξεκινά από την κατάσταση ηρεμίας και πέφτοντας να κερδίζει ταχύτητα ανάλογα με το χρόνο που διέρρευσε από την έναρξη της κίνησης. Για παράδειγμα, μια κίνηση που σε οκτώ παλμούς του σφυγμού θα αποκτούσε οκτώ μονάδες ταχύτητας, στο τέλος του τέταρτου παλμού θα αποκτούσε τέσσερις μονάδες, του δεύτερου δυο και του πρώτου μια. Εφόσον ο
ΜΑΘΗΜΑ 4 ο : Η ΓΑΛΙΛΑΪΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 39 χρόνος είναι απείρως διαιρετός, έπεται από τους συλλογισμούς ότι, εάν η προηγούμενη ταχύτητα ενός σώματος είναι μικρότερη από την παρούσα ταχύτητά του κατά σταθερό λόγο, δεν υπάρχει κανένας βαθμός ταχύτητας, οσοσδήποτε μικρός, - ή, θα μπορούσαμε να πούμε, κανένας βαθμός βραδύτητας, οσοσδήποτε μεγάλος, - με τον οποίο να μην οδεύει το σώμα κατά την πτώση του έχοντας ξεκινήσει από την άπειρη βραδύτητα, δηλαδή την ακινησία. Έτσι, καθώς πλησιάζουμε αντίστροφα όλο και περισσότερο στη στιγμή της εκκίνησης, το σώμα κινείται τόσο αργά ώστε, αν συνέχιζε να κινείται με αυτή την ταχύτητα, θα χρειαζόταν ατέλειωτα χρόνια για να διανύσει μια μονάδα μήκους. Ο νους δεν χωρά αυτό το φαινόμενο και οι αισθήσεις δείχνουν ότι ένα βαρύ σώμα σε πτώση αποκτά έξαφνα μεγάλη ταχύτητα. Salviati: Αυτή είναι μια από τις δυσκολίες που και εγώ αντιμετώπισα, αλλά την ξεπέρασα και η υπέρβαση έγινε με το πείραμα. Λες ότι το πείραμα φαίνεται να υποδεικνύει ότι μόλις ένα βαρύ σώμα αφεθεί σε ελεύθερη πτώση αμέσως αποκτά πολύ σημαντική ταχύτητα και εγώ υποστηρίζω ότι, όσο βαρύ κι αν είναι το σώμα, οι αρχικές κινήσεις του είναι ήπιες και πολύ αργές. Το ίδιο πείραμα που εκ πρώτης όψεως φαίνεται να αποδεικνύει ένα πράγμα, όταν το εξετάσουμε πιο προσεκτικά, μας διαβεβαιώνει για το αντίθετο. Αλλά και χωρίς το πείραμα, που αναμφισβήτητα είναι πολύ διαφωτιστικό, έχω την αίσθηση ότι δεν είναι δύσκολο το γεγονός αυτό να αποδειχθεί μόνο με το συλλογισμό. Φανταστείτε μια βαριά πέτρα να αφήνεται ελεύθερα από ένα ύψος, οπότε, επειδή είναι βαρύτερη από τον αέρα αρχίζει να πέφτει, όχι με ομαλή κίνηση, αλλά αργά στην αρχή και μετά με όλο μεγαλύτερη ταχύτητα. Εφόσον η ταχύτητα μπορεί να μεταβάλλεται απεριόριστα, τι λόγος υπάρχει να πιστέψουμε ότι ένα τέτοιο κινούμενο σώμα που ξεκινά με άπειρη βραδύτητα, δηλαδή από την κατάσταση ηρεμίας, αποκτά αμέσως ταχύτητα δέκα βαθμών και όχι τεσσάρων ή δυο ή ενός ή μισού ή ενός εκατοστού ή οποιουδήποτε άλλου από τους άπειρους αριθμούς των μικρών τιμών; Τώρα, ας φανταστούμε ότι κάποια ωστική δύναμη επαναφέρει αντίστροφα την πέτρα στην αρχική υπερυψωμένη θέση της έτσι ώστε η μείωση και απώλεια ταχύτητας να ακολουθεί τον ίδιο ρυθμό όπως η αύξησή της κατά την ελεύθερη πτώση από την κατάσταση ηρεμίας. Δεν βλέπω πώς μπορείτε να αμφισβητήσετε το γεγονός ότι η ανερχόμενη πέτρα, καθώς η ταχύτητά της μειώνεται, θα πρέπει να περάσει από όλους τους δυνατούς βαθμούς βραδύτητας πριν φτάσει στην ακινησία. Simplicio: Εάν όμως ο αριθμός των βαθμών της ολοένα μεγαλύτερης βραδύτητας είναι απεριόριστος, οι βαθμοί αυτοί δεν θα εξαντληθούν ποτέ και επομένως, ένα ανερχόμενο σώμα θα κινείται ολοένα με βραδύτερο ρυθμό χωρίς ποτέ να φτάσει στην κατάσταση ηρεμίας. Αυτό όμως δεν συμφωνεί με τα παρατηρούμενα γεγονότα. Salviati: Αυτό θα συνέβαινε εάν το σώμα διατηρούσε την ταχύτητά του για κάποιο χρονικό διάστημα σε κάθε βαθμό ταχύτητας. Στην πραγματικότητα, απλώς διέρχεται από κάθε ση-
40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ μείο χωρίς να καθυστερεί περισσότερο από μια στιγμή. Και εφόσον κάθε χρονικό διάστημα, οσοδήποτε μικρό, διαιρείται σε άπειρες στιγμές, το πλήθος τους θα είναι πάντα επαρκές ώστε οι στιγμές αυτές να αντιστοιχιστούν στους άπειρους βαθμούς της μειούμενης ταχύτητας. Το ότι ένα τέτοιο βαρύ ανερχόμενο σώμα δεν παραμένει για κάποιο χρονικό διάστημα σε οποιοδήποτε δεδομένο βαθμό ταχύτητας είναι εμφανές από το εξής: εάν υπήρχε ένα τέτοιο χρονικό διάστημα, το σώμα θα κινείτο με την ίδια ταχύτητα από την πρώτη έως την τελευταία στιγμή αυτού του διαστήματος και θα μπορούσε με όμοιο τρόπο να ανέλθει από τον δεύτερο βαθμό ανύψωσης καλύπτοντας ίσο ύψος, όπως ακριβώς μεταφέρθηκε από την πρώτη ανύψωση στη δεύτερη, και με την ίδια συλλογιστική θα περνούσε από την δεύτερη ανύψωση στην τρίτη και τελικά θα συνέχιζε να κινείται εσαεί με ομαλή κίνηση. Sagredo: Από τις σκέψεις αυτές καταλήγω στο συμπέρασμα ότι μπορούμε να βρούμε μια αποδεκτή λύση στο πρόβλημα που απασχολεί τους φιλόσοφους: Τι είναι αυτό που προκαλεί την επιτάχυνση στη φυσική κίνηση των σωμάτων; Η γεωμετρική συλλογιστική των απεριόριστων διαμερίσεων της χρονικής μονάδας. Sagredo: Παρουσιάζεις τα περίπλοκα αυτά ζητήματα με μεγάλη άνεση και τεκμηρίωση και αυτή η εξαιρετική ευχέρεια συντελεί ώστε να εκτιμώνται λιγότερο από όσο εάν τα παρουσίαζες με δυσνόητο τρόπο. Γιατί, τη γνώση που αποκομίζουν με λίγο μόχθο οι άνθρωποι δεν την εκτιμούν τόσο όσο εκείνη που αποκτούν μέσα από δυσνόητες και ατέρμονες συζητήσεις. Salviati: Εάν όσοι αποδεικνύουν με σαφήνεια και συντομία την πλάνη των λαϊκών αντιλήψεων αντιμετωπίζονταν με περιφρόνηση αντί για ευγνωμοσύνη τότε η βλάβη θα ήταν ανεκτή, αλλά είναι πολύ ενοχλητικό και δυσάρεστο να βλέπεις ανθρώπους, που ισχυρίζονται ότι είναι ειδήμονες, να θεωρούν δεδομένα ορισμένα συμπεράσματα που εύκολα και γρήγορα αποδεικνύονται ψευδή. Το αίσθημα αυτό δεν θα το περιέγραφα ως φθόνο, που συνήθως εκφυλίζεται σε μίσος και οργή εναντίον όσων αποκαλύπτουν τα ψεύδη. Μάλλον θα το χαρακτήριζα ως ισχυρή επιθυμία να διατηρηθούν οι παλαιές πλάνες προκειμένου να μη γίνουν αποδεκτές οι νέες αλήθειες. Η επιθυμία αυτή τους ωθεί ενίοτε να συνασπίζονται ενάντια στις αλήθειες, μόνο και μόνο για να μειώσουν την εκτίμηση που κάποιοι άλλοι απολαμβάνουν από το μη σκεπτόμενο πλήθος.
ΜΑΘΗΜΑ 4 ο : Η ΓΑΛΙΛΑΪΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 41 Χειρόγραφα σχεδιάσματα του Γαλιλαίου για τις βαλλιστικές κινήσεις. Πίνακας της εποχής του Γαλιλαίου για τις βαλλιστικές κινήσεις.
42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΓΑΛΙΛΑΙΟΥ Ερωτήματα ενός μαθηματικού προς ένα φυσικό: 1. Η έννοια του ορίου, στην οποία βασίζεται ο ορισμός της ταχύτητας και της επιτάχυνσης μιας κίνησης, είναι από τις πιο βαθιές και δύσκολες μαθηματικές έννοιες. Είσαι σίγουρος ότι έχεις κατανοήσει το αληθινό νόημα της; 2. Τον 5 ο αιώνα π.χ., ο Αναξαγόρας είπε: Κατά τη θεώρηση του μικρού δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι υπάρχει το μικρότατο, αλλά πάντοτε μικρότερο, αφού αυτό που υπάρχει δεν μπορεί να πάψει να υπάρχει οσοδήποτε μικρό και αν θεωρηθεί. Βλέπεις τη σχέση αυτής της φράσης με τις αντιλήψεις του Γαλιλαίου για τον ορισμό της στιγμιαίας ταχύτητας και επιτάχυνσης; 3. Ο Γαλιλαίος ανέφερε ότι η ελεύθερη πτώση των σωμάτων στο κενό υπό την επίδραση της βαρύτητας διέπεται από το νόμο των περιττών αριθμών. Πώς φαντάζεσαι ότι θα επηρεαστεί αυτός ο νόμος όταν η πτώση δεν γίνεται στο κενό; 4. Πώς φαντάζεσαι ότι θα επηρεαστεί ο ισοχρονισμός των ταλαντώσεων του εκκρεμούς όταν οι αιωρήσεις του δεν γίνονται στο κενό; 5. Τι είναι αυτό που προκαλεί την επιτάχυνση στη φυσική κίνηση των σωμάτων; Ο Γαλιλαίος προσπαθούσε να δώσει απάντηση σε αυτό το ερώτημα που απασχολούσε από την αρχαιότητα τους φιλόσοφους. Πώς θα μπορούσες να συμβάλεις σε αυτή του την αναζήτηση; Ερωτήματα ενός φυσικού προς ένα μαθηματικό: 1. Με ποιο σκεπτικό διαμόρφωσες τον μαθηματικό ορισμό της στιγμιαίας ταχύτητας και της στιγμιαίας επιτάχυνσης της φυσικής κίνησης των σωμάτων; 2. Πώς διατυπώνεται μαθηματικά ο ισοχρονισμός των ταλαντώσεων του εκκρεμούς στον οποίον αναφέρονταν ο Γαλιλαίος; 3. Έλα να μελετήσουμε το εξής πρόβλημα: Ένα τρένο κινείται σε ευθύγραμμη σιδηροδρομική γραμμή κατευθυνόμενο από μια πόλη Α προς μια πόλη Β και ο οδηγός ρυθμίζει την ταχύτητα, σε χιλιόμετρα ανά ώρα, έτσι ώστε σε κάθε χρονική στιγμή να ισούται αριθμητικά με την απόσταση, σε χιλιόμετρα, που απομένουν ως το τέλος της διαδρομής. Π.χ., στα 10 km πριν το τέρμα θα έχει ταχύτητα 10 km/h, στο 1 km θα έχει ταχύτητα 1 km/h, στα 500 m θα έχει ταχύτητα 0,5 km/h, κ.ο.κ. Πόσο θα μειωθεί σε μια ώρα η απόσταση που απομένει ως το τέρμα της διαδρομής; Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να διανυθεί το τελευταίο χιλιόμετρο; Πότε θα φτάσει το τρένο στο τέρμα της διαδρομής;