1 η χρονική στιγμή της

Transcript

1 ΩΘΗΣΗ ΚΑΙ.ΑΠΟ ΤΟ ΖΕΝΙΘ ΣΤΟ ΝΑΔΙΡ Ένα σώμα μάζας είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου φυσικού μήκους και σταθεράς σκληρότητας, το πάνω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε οροφή. Δεύτερο σώμα μάζας είναι δεμένο με αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκους με το σώμα. Το σύστημα των δύο σωμάτων ισορροπεί ακίνητο με το ελατήριο να έχει μήκος και το σώμα να βρίσκεται σε ύψος h από το δάπεδο. Τη χρονική στιγμή εκτοξεύουμε με κατάλληλη αρχική ταχύτητα το σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω, ώστε το νήμα να παραμένει οριακά τεντωμένο και να μην χαλαρώνει κατά την κίνηση του συστήματος των δύο σωμάτων.. Να δείξετε ότι το σύστημα των δύο σωμάτων εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της φάσης της ταλάντωσης. Να θεωρήσετε ως θετική για την ταλάντωση τη φορά της συσπείρωσης του ελατηρίου και ως θέση ισορροπίας της ταλάντωσης των δύο σωμάτων η θέση του σώματος. l K. Να υπολογίσετε την κατάλληλη αρχική ταχύτητα εκτόξευσης του σώματος καθώς και τη μέση δύναμη που ώθησε το σώμα αν αυτή ασκήθηκε για αμελητέο χρονικό διάστημα (λάκτισμα) ώστε η ταλάντωση να ξεκινά από τη θέση ισορροπίας της. H L Σ Αν το νήμα φθείρεται κατά τη διάρκεια του λακτίσματος σε μεγάλο ποσοστό και σπάει όταν η τάση του νήματος λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της για πρώτη φορά στη διάρκεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης του συστήματος : h Σ. Να υπολογίσετε το όριο θραύσης του νήματος και τη χρονική στιγμή της θραύσης στη διάρκεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Αν για την νέα απλή αρμονική ταλάντωση του σώματος θραύσης του νήματος είναι η στιγμή τότε : η χρονική στιγμή της. Να υπολογίσετε μήκος του νήματος και το ύψος οροφής δαπέδου, αν τη στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος μηδενίζεται για τρίτη φορά μετά την έναρξη της ταλάντωσής του, το σώμα μόλις φθάνει στο δάπεδο και τα σώματα και απέχουν τότε απόσταση. Δίνεται : η επιτάχυνση της βαρύτητας και ότι Δημήτρης Αγαλόπουλος

2 Λύση Α) Στην θέση ισορροπίας της ταλάντωσης για το σύστημα των σωμάτων και : ( ) Άρα: Στην τυχαία θέση με θετική απομάκρυνση προς τα πάνω, αφού θετική είναι η φορά της συσπείρωσης, για το σύστημα των σωμάτων και έχουμε ( ) ( ) άρα εκτελεί ΑΑΤ με και όπως φαίνεται στον άξονα της ΑΑΤ Ο ρυθμός μεταβολής της φάσης της ΑΑΤ ισούται με τη γωνιακή συχνότητα και είναι : Δημήτρης Αγαλόπουλος

3 ( ) Σχόλιο: Για το σύστημα των σωμάτων οι τάσεις του νήματος είναι δυνάμεις εσωτερικές. Είναι ίσες κατά μέτρο κάθε στιγμή αφού το νήμα είναι αβαρές, αλλά με διαφορετική τιμή την κάθε στιγμή. Α) Το σύστημα εκτελεί ΑΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης. Επειδή οι αρχικές συνθήκες της ΑΑΤ είναι : ( ) H επιτάχυνση του συστήματος και κάθε σώματος είναι: Στην. έχουμε: (ίδιο μέτρο) και. Για το σώμα στο οποίο μπορεί να χαλαρώσει το νήμα έχουμε από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα: ( ) Για να μην χαλαρώνει το νήμα πρέπει για την τάση του νήματος. Επειδή από σχέση έχουμε : Άρα η πάνω ακραία θέση της ΑΑΤ ταυτίζεται με την θέση φυσικού μήκους και τότε η τάση του νήματος μηδενίζεται,. Δηλαδή οριακά δεν χαλαρώνει το νήμα στην πάνω. Άρα η κατάλληλη αρχική ταχύτητα εκτόξευσης ώστε το νήμα να μην χαλαρώνει οριακά είναι: αφού η εκτόξευση γίνεται στη θέση ισορροπίας του συστήματος που ταυτίζεται με τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης Σχεδιάζουμε τη δύναμη κατά την διάρκεια του λακτίσματος στο σώμα και επειδή το χρονικό διάστημα δράσης της δύναμης είναι πολύ μικρό, η αρχική και η τελική θέση ταυτίζονται με την Δημήτρης Αγαλόπουλος 3

4 Για το σύστημα των σωμάτων και : Οι τάσεις του νήματος είναι εσωτερικές άρα και Για τις εξωτερικές δυνάμεις του συστήματος από τη γενική διατύπωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα έχουμε: Επειδή η θετική φορά είναι προς τα πάνω έχουμε: ( ). Όμως από την σχέση έχουμε ( ) Άρα : B) Από σχέση έχουμε ( ) Όμως:, συνεπώς για δηλαδή στην κάτω της ΑΑΤ, έχουμε. Συνεπώς: ( ) Άρα :,. Η εξίσωση της απομάκρυνσης για την ΑΑΤ του συστήματος των σωμάτων και είναι : Για την κάτω που σπάει το νήμα,. Άρα η εξίσωση της απομάκρυνσης γίνεται: και την πρώτη φορά B) Μετά τη θραύση του νήματος για τη νέα του άρα Επειδή τη στιγμή που σπάει το νήμα τα βρίσκονται στην έχουν ταχύτητες. Άρα το την ξεκινά ΑΑΤ από την κάτω Αθ αφού. Συνεπώς από το σχήμα έχουμε: Οι αρχικές συνθήκες της νέας ΑΑΤ που εκτελεί μόνο το είναι : ( ) Άρα, από την εξίσωση της απομάκρυνσης: ( ) και επειδή έχουμε ότι:. Για την ΑΑΤ του ισχύει: Άρα, η εξίσωση της απομάκρυνσης του είναι: ( ). Δημήτρης Αγαλόπουλος 4

5 Για το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε:.δηλαδή στη Την 3 η φορά μετά την έναρξη όπου το σώμα μάζας βρίσκεται στη για η φορά και κινείται προς την κάτω όπου ξεκίνησε την. Άρα η εξίσωση της απομάκρυνσης γίνεται : ( ) ( ) Για έχω από τη η λύση : απορρίπτεται, η φορά στη όπου για η φορά Ενώ για έχω από τη η λύση : δεκτή, η φορά στη όπου για 3 η φορά Άρα : (Τη η φορά όπου ) Στο χρόνο αυτό το εκτελεί ελεύθερη πτώση αφού όταν σπάει το νήμα έχει και ασκείται μόνο το βάρος του. Άρα: h h h Από το σχήμα έχουμε ότι: h ( h ) Επίσης από το σχήμα έχουμε ότι: το ύψος οροφής- δαπέδου. Δημήτρης Αγαλόπουλος 5

6 Σχόλια- παρατηρήσεις - προσεγγίσεις εμβάθυνσης :. Δυναμική προσέγγιση Κατά την διάρκεια που δρα η δύναμη μπορούμε να υπολογίσουμε τις εσωτερικές δυνάμεις των τάσεων του νήματος και να παρατηρήσουμε την μεγάλη αύξηση της τιμής τους σε σχέση με την αρχική τους τιμή κατά την ισορροπία. Στη ή την για το (που ασκούνται λιγότερες δυνάμεις σε σχέση με το ) έχουμε :. Άρα μόλις πριν και μόλις μετά τη δράση της δύναμης έχουμε:. Κατά τη δράση της δύναμης λαμβάνοντας τη γενική διατύπωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για το (που ασκούνται λιγότερες δυνάμεις σε σχέση με το ) παίρνουμε:. Επειδή όμως η θετική φορά είναι προς τα πάνω η σχέση γίνεται:. Άρα κατά τη διάρκεια του λακτίσματος :. Η τιμή της τάσης είναι μεγαλύτερη από το όριο θραύσης που υπολογίσαμε. Στην εκφώνηση όμως αναφέρεται ότι το νήμα σπάει όταν η τάση του νήματος λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της για πρώτη φορά στη διάρκεια της ΑΑΤ και ότι κατά τη δράση της δύναμης φθείρεται κατά μεγάλο ποσοστό αλλά δεν σπάει. Άρα το όριο θραύσης του κατά τη δράση της είναι: Συνεπώς για να σπάσει το νήμα στην κάτω της ΑΑΤ όπου το νήμα κατά το λάκτισμα υπέστει φθορά σε ποσοστό μεγαλύτερο του ποσοστού μεταβολής της τάσης του νήματος που είναι: Άρα η φθορά είναι μεγαλύτερη του 60% ( μεγάλο ποσοστό )αφού κατά τη διάρκεια δράσης της δεν έσπασε το νήμα.. Ενεργειακή προσέγγιση Θεωρούμε ως επίπεδο αναφοράς της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας των σωμάτων και το οριζόντιο δάπεδο. Μόλις πριν τη δράση της στη για το σύστημα των με το ελατήριο ( και ) η αρχική μηχανική ενέργεια είναι : ( h) h. Κατά τη διάρκεια που δρα η στη προσφέρεται ενέργεια στο σύστημα των μέσω μεταφοράς ορμής και το σύστημα αποκτά τη μέγιστη κινητική ενέργεια που ισούται με την ενέργεια της ταλάντωσης : ( ). Άρα τη στιγμή που ξεκινά ΑΑΤ το σύστημα των με το ελατήριο έχει μηχανική ενέργεια:. Τη στιγμή σπάει το νήμα στην κάτω σταθερή έχουμε :. Και επειδή είναι Την παραπάνω στιγμή ορίζουμε ως για την έναρξη της ΑΑΤ του από την κάτω Δημήτρης Αγαλόπουλος 6

7 και της ελεύθερης πτώσης του. Η τελική μηχανική ενέργεια του συστήματος τότε είναι: ( h ) h (5) Με αντικατάσταση τιμών έχουμε : Αξίζει όμως να συνεχίσουμε τη σχέση (4) ως την ( ) ( h ) h και βλέποντας το αρχικό σχήμα έχουμε: ( h ) [ ( h )] ( h ) ( ) ( h ) ( h ) για και αντίστοιχα, όπου:,, και από την ελεύθερη πτώση του. Συνεπώς αμέσως μετά την δράση της, δηλαδή από την που ξεκινά η ΑΑΤ των έως την που σπάει το νήμα και ξεκινά η ΑΑΤ του και μέχρι την η μηχανική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή. Άρα από την ως την Για στιγμές και με τη θεώρηση ότι το δεν αναπηδά μετά την κρούση του με το δάπεδο, έχουμε απώλεια μηχανικής ενέργειας :. Συνεπώς η μηχανική ενέργεια του συστήματος μειώθηκε λόγω του ελατηρίου για να ταλαντώνεται απομένει: και στο υπόλοιπο σύστημα Όπου περιλαμβάνει τις ενέργειες : της ταλάντωσης του ( ) καθώς και της βαρυτικής δυναμικής του και της ελαστικής δυναμικής του ελατηρίου που μεταβάλλονται οι τιμές τους κατά την ΑΑΤ του αλλά έχουν σταθερό άθροισμα ( ) Για την ενεργειακή μελέτη της κίνησης του συστήματος δεν λαμβάνουμε υπ όψη τις εσωτερικές δυνάμεις των τάσεων του νήματος που είναι αντίθετες (αβαρές νήμα), κάθε στιγμή (το μέτρο τους δεν είναι σταθερό), στην ΑΑΤ του συστήματος γιατί το σημείο εφαρμογής τους μετατοπίζεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο ( δεν χαλαρώνει το νήμα και σταθερό, ίδια ταχύτητα κάθε στιγμή), άρα τα έργα τους είναι αντίθετα. Ο ενεργειακός ρόλος τους για το σύστημα εκδηλώνεται από το σώματα κατά τη διάρκεια της ΑΑΤ του συστήματος. για καθένα από τα Συνεπώς σε Δημήτρης Αγαλόπουλος 7

8 * για το : ( ) (κερδίζει το ) * για το : (χάνει το ) Άρα τα έργα των τάσεων των νημάτων δεν μεταβάλλουν την ενέργεια του συστήματος αφού είναι αντίθετα αλλά όμως εκφράζουν την ενέργεια που μεταφέρθηκε από το στο στο χρονικό διάστημα όπου θα σπάσει το νήμα. Με βάση την παραπάνω μελέτη συμπεραίνουμε ότι σε ένα σύστημα σωμάτων ή σε ένα σώμα που ταλαντώνεται και παράγουν έργο συντηρητικές δυνάμεις γνωστής δυναμικής ενέργειας η ολική μηχανική ενέργεια κατά τη διάρκεια της ΑΑΤ του συστήματος ελατηρίου, μαζών ή μάζας ως προς ορισμένο επίπεδο αναφοράς βαρυτικής δυναμικής ενέργειας, παραμένει σταθερή σε κάθε θέση της ταλάντωσης. Η ενέργεια της ταλάντωσης δεν εμφανίζεται «ως παραπάνω όρος» στη μηχανική ενέργεια του όλου συστήματος αλλά αν θέλουμε να την «εντοπίσουμε ως τμήμα» της ολικής μηχανικής ενέργειας το επιτυγχάνουμε με την έκφραση της μηχανικής ενέργειας ολόκληρου του συστήματος στη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Με τον τρόπο αυτό εμφανίζεται η μέγιστη κινητική ενέργεια στη που αντιστοιχεί στην ολική ενέργεια της ΑΑΤ. Η αναγωγή της μηχανικής ενέργειας ολόκληρου του συστήματος στη οφείλεται στο γεγονός ότι η αποτελεί το σημείο αναφοράς της ΑΑΤ όπου η δυναμική της ενέργεια μηδενίζεται. Στο ελατήριο έχουμε τη ως σημείο αναφοράς και η βαρυτική πρέπει να ορίζει το σημείο αναφοράς της γιατί μπορεί διαφορετικά να επιλεχθεί αυθαίρετα. Συνεπώς στη διάρκεια ταλάντωσης για τη μηχανική ενέργεια όλου του συστήματος:, Συνεχίζοντας την παραπάνω σχέση, προσθέτω και αφαιρώ την στο πρώτο μέλος και έχουμε: ή Συνεπώς καταλήξαμε στον ορισμό της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης όπου: η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης σε μία τυχαία θέση της ισούται με το έργο της δύναμης επαναφοράς από την τυχαία θέση στη θέση ισορροπίας που ορίζουμε σαν σημείο μηδενικής δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης (σημείο αναφοράς). Τέλος θα ήθελα να πω ότι ξέφυγα λίγο στα σχόλια αλλά κάποια δημοσιεύματα που έψαξα σχετικά με την ανάρτησή μου με οδήγησαν και σε άλλες σκέψεις και θέλησα κάποιες να τις μοιραστώ μαζί σας. Τα σχόλια και η μελέτη είναι αποτέλεσμα της μακροχρόνιας προσφοράς όλων των συναδέλφων του διαδικτύου και των δημιουργών του και προσωπικά του κου Μάργαρη επειδή το να μοιράζεται κανείς είναι καλό για όλους. Να συνεχίσουμε δημιουργικά με συνθέσεις και αντιθέσεις καλοπροαίρετες και μετά την μετακόμιση!!! Ελπίζω να προσφέρω και εγώ ένα λιθαράκι σε ότι όλοι εσείς δημιουργήσατε. Δημήτρης Αγαλόπουλος 8

9 Δημήτρης Αγαλόπουλος 9