Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών
Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall Εμπόδια Brousseau Το σχήμα (διαδικασίες) Απόδειξη (συλλογισμοί)
Τρεις κόσμοι προσέγγισης των Μαθηματικών Σύμφωνα με τον D.Tall (2000) μπορούμε να διακρίνουμε τρεις κόσμους που αφορούν στον τρόπο προσέγγισης των Μαθηματικών. Δηλαδή, τρεις κόσμους μαθηματικής σκέψης. τον ενσαρκωμένο ή ενσωματωμένο (embodied), τον διαδικαστικο-εννοιολογικό (proceptual) τον αξιωματικό (axiomatic) κόσμο.
Τρεις κόσμοι προσέγγισης των Ο ενσαρκωμένος κόσμος αποτελεί το πρωταρχικό στάδιο μαθηματικής σκέψης, βασίζεται στις αισθήσεις και τη δράση. Επεκτείνεται δε και στον πνευματικό μας κόσμο. Σε μία μέτρηση οι αριθμοί αποτελούν τα σύμβολα και η μέτρηση τη δράση. Ο διαδικαστικο-εννοιολογικός κόσμος, είναι ο κόσμος των μαθηματικών συμβόλων. Προκύπτει από τον ενσαρκωμένο κόσμο μέσω δράσεων. Μαθηματικών
Τρεις κόσμοι προσέγγισης των Μαθηματικών Ο αξιωματικός κόσμος είναι το ανώτερο στάδιο μαθηματικής σκέψης. Εδώ εργαζόμαστε, όχι με αντικείμενα που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας, αλλά με αξιώματα τα οποία έχουν επιλεγεί προσεκτικά, για να ορίσουν μαθηματικές δομές με βάση συγκεκριμένες ιδιότητες. Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες
Τα επίπεδα van HIELE Σύμφωνα με τη θεωρία των επιπέδων οι μαθητές περνούν με διαδοχική σειρά, χωρίς δηλ. να υπερπηδούν κάποιο, από πέντε επίπεδα γεωμετρικής σκέψης, που η μετάβασή τους δεν αποτελεί φυσική διαδικασία, αλλά πραγματοποιείται κάτω από την επίδραση ενός προγράμματος διδασκαλίας μάθησης. Ο Hoffer (1981) κάλεσε τα επίπεδα αυτά Αναγνώριση Ανάλυση Ταξινόμηση Επαγωγή Αυστηρότητα
ΕΠΙΠΕΔΟ 1 Αναγνώριση (Gestalt). Οι μαθητές σε αυτό το επίπεδο αντιλαμβάνονται τα σχήματα ως μια ολότητα με βάση τη μορφή τους.
ΕΠΙΠΕΔΟ 2 Ανάλυση. Οι μαθητές αναγνωρίζουν τα συστατικά και τις ιδιότητες ενός σχήματος, αλλά όχι και των σχέσεων μεταξύ των ιδιοτήτων και των σχημάτων.
ΕΠΙΠΕΔΟ 3 Ταξινόμηση. Οι μαθητές κατανοούν τις σχέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων ενός σχήματος και μεταξύ των σχημάτων, ενώ αρχίζουν να αντιλαμβάνονται την έννοια του ορισμού.
ΕΠΙΠΕΔΟ 4 Επαγωγή. Οι μαθητές μπορούν να σκεφτούν λογικά για τα γεωμετρικά αντικείμενα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητές τους σε ένα παραγωγικό πρότυπο.
ΕΠΙΠΕΔΟ 5 Αυστηρότητα ή Ακρίβεια. Οι μαθητές μπορούν να διακρίνουν και να συγκρίνουν διαφορετικά συστήματα γεωμετριών και να αντιλαμβάνονται τη σπουδαιότητα της ακρίβειας της διατύπωσης των γεωμετρικών θεωριών.
ΕΜΠΟΔΙΑ Επιστημολογικά / Διδακτικά /Γνωστικά Μια γνώση, η εφαρμογή της οποίας αν και κρίνεται ενδιαφέρουσα και επιτυχημένη σε κάποιες περιπτώσεις, σε κάποιες άλλες αποδεικνύεται λανθασμένη ή απλά μη προσαρμόσιμη.
Αναπτύσσονται ήδη από το δημοτικό διδακτικά εμπόδια Από το βιβλίο εργασιών της Ε Δημοτικού
Α Β Γ Γυμνασίου: Δεν γίνεται χρήση γεωμετρικών οργάνων (ενσαρκωμένος κόσμος;;;;;)
Δεν διδάσκεται όλη η προβλεπόμενη διδακτέα ύλη (ρήξη συνέχειας) Για παράδειγμα στη Β γυμνασίου δεν διδάσκονται τα στερεά, ενώ στις οδηγίες για το βιβλίο της Γ γυμνασίου προτείνεται να διδαχθεί η άσκηση 5 στη σελίδα 29 που αναφέρεται σε σφαίρα
Σχήμα Στο βιβλίο της Γ Γυμνασίου δίνονται έτοιμα τα σχήματα. Όμως: 1) Ένα σχήμα δεν είναι σχεδόν ποτέ μόνον ένα σχήμα, αλλά πολλά σχήματα A D F B E C
Σχήμα 2) Η διαχείριση και ο συλλογισμός πάνω σε γεωμετρικά σχήματα είναι συνδεδεμένα με την εποπτεία τους. Αυτό ταιριάζει απόλυτα στα επίπεδα Van Hiele ενώ περιγράφει με ποιο τρόπο, από τον ενσαρκωμένο κόσμο, οδηγούμαστε σταδιακά στον κόσμο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, ο οποίος με τη σειρά του θα εξελιχθεί σε αξιωματικό κόσμο.
Σχήμα Επομένως το σχήμα πρέπει: να σχεδιάζεται από τον ίδιο το μαθητή (ενσαρκ-κόσμος) να αναγνωρίζεται από το μαθητή (1 ο,2 ο και 3 ο επίπεδο van Hiele) και να κατασκευάζεται από το μαθητή ((3 ο και 4 ο επίπεδο van Hiele) Τα πιο πάνω πρέπει να διδάσκονται σταδιακά στο Δημοτικό και το Γυμνάσιο για να αποτελέσουν προκαταβολικούς οργανωτές σύμφωνα με τον Ausubel (1960) για την Ευκλείδεια Γεωμετρία που θα διδαχθούν στο Λύκειο.
στρατηγικές διερεύνησης σχήματος
Η Απόδειξη Στη χώρα μας, στο Γυμνάσιο διδάσκεται η διαισθητική αιτιολόγηση και κάποιες απλές αποδείξεις. Ιδιαίτερη δε δυσκολία στην απόδειξη παρουσιάζουν οι μαθητές της Α τάξεως του Λυκείου (Θωμαίδης & Πούλος, 2000). Οι δυσκολίες στην απόδειξη, τόσο στην Ελλάδα όσο και στο εξωτερικό (Senk, 1985 Usiskin, 1982 Γαγάτσης1993 Ζαράνης, 1997) εντείνονται ακόμη περισσότερο λόγω των πρακτικών που επικρατούν στην παραδοσιακή διδασκαλία. Σύμφωνα με τον Usiskin (1982) παράγοντα-κλειδί για την αποτυχία πολλών μαθητών στην απόδειξη αποτελεί η αρκετά φτωχή γνώση των μαθητών και το γεγονός ότι οι μαθητές δεν διαθέτουν επαρκές υπόβαθρο γνώσεων Γεωμετρίας από το Γυμνάσιο. Το πραγματικό τους υπόβαθρο δεν περιλαμβάνει καν την χρήση βασικών ιδιοτήτων των σχημάτων (Kynigos, 1993).
Αιτιολογήσεις Θα λέμε ότι μια αιτιολόγηση είναι απλή αιτιολόγηση (ΑΑ), όταν δεν απαιτείται άλλη αιτιολόγηση για να υποστηριχθεί η αλήθεια της. Η αιτιολόγηση ενός ισχυρισμού θα λέμε ότι είναι μια όχι απλή αιτιολόγηση (ο-αα), όταν η αλήθεια της απαιτεί μια ακόμη άλλη αιτιολόγηση. Την όχι απλή αιτιολόγηση θα τη λέμε και σύνθετη αιτιολόγηση ή μερική απόδειξη. Θα λέμε προ-αιτιολόγηση μια ολιστική (gestalt) αναγνώριση του σχήματος Η απόδειξη είναι σειρά - σύνθεση αιτιολογήσεων
Απλή Αιτιολόγηση (ΑΑ) Τρεις ευθείες τέμνονται στα σημεία Α, Β και Γ. Οι αποστάσεις ΑΒ και ΑΓ είναι ίσες. Δείξτε ότι το τρίγωνο ABΓ είναι ισοσκελές ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΙΤΟΛΟΓΗΣΗ
Απλή Αιτιολόγηση (ΑΑ) Τρεις ευθείες τέμνονται στα σημεία Α, Β και Γ. Οι αποστάσεις ΑΒ και ΑΓ είναι ίσες. Δείξτε ότι το τρίγωνο ABΓ είναι ισοσκελές Το τρίγωνο ABΓ είναι ισοσκελές ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΙΤΟΛΟΓΗΣΗ
Απλή Αιτιολόγηση (ΑΑ) Τρεις ευθείες τέμνονται στα σημεία Α, Β και Γ. Οι αποστάσεις ΑΒ και ΑΓ είναι ίσες. Δείξτε ότι το τρίγωνο ABΓ είναι ισοσκελές Το τρίγωνο ABΓ είναι ισοσκελές ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΒ = ΑΓ ( Υπόθεση)
όχι Απλή Αιτιολόγηση (ο-αα) (ε) ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ
όχι Απλή Αιτιολόγηση (ο-αα) (ε) ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΒΓ ισοσκελές
όχι Απλή Αιτιολόγηση (ο-αα) (ε) ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒΓ ισοσκελές ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ
όχι Απλή Αιτιολόγηση (ο-αα) (ε) ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒ = ΑΓ
όχι Απλή Αιτιολόγηση (ο-αα) (ε) ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒ = ΑΓ ΑΒ = ΑΓ AITIOΛΟΓΗΣΗ
όχι Απλή Αιτιολόγηση (ο-αα) (ε) ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒ = ΑΓ ΑΒ = ΑΓ Α είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΒΓ Υπόθεση
όχι Απλή Αιτιολόγηση (ο-αα) (ε) ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒ = ΑΓ ΑΒ = ΑΓ o-aa Α είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΒΓ Υπόθεση o-aa AA
προ-αιτιολόγηση Από το βιβλίο εργασιών της ΣΤ Δημοτικού
προ-αιτιολόγηση Από το βιβλίο εργασιών της ΣΤ Δημοτικού
απλή-αιτιολόγηση Από το βιβλίο εργασιών της ΣΤ Δημοτικού
Δεν αιτιολογεί, αναγνωρίζει, όμως, την ευθεία γωνία
Περιέχει ακριβώς μία ο-αα Να πάρετε με τη σειρά που δίνονται τα σημεία A, B, Γ και Δ σε μια ευθεία. Αν AΓ = BΔ δείξτε ότι AB = ΓΔ AB=ΓΔ ΑΠΟΔΕΙΞΗ AB+BΓ=BΓ+ΓΔ AB+BΓ=BΓ+ΓΔ ο-αα AΓ=BΔ Υπόθεση ΑΑ
Περιέχει ακριβώς δύο ο-αα
Περιέχει περισσότερες από δύο ο-αα Δύο ευθ. τμήματα ΑΒ και ΓΔ διχοτομούνται στο σημείο Ο. Να δείξετε ότι ΑΔ=ΒΓ ΑΔ=ΒΓ τριγ ΑΟΔ=τριγ ΒΟΓ ΑΠΟΔΕΙΞΗ τριγ ΑΟΔ=τριγ ΒΟΓ ΟΑ=ΟΒ ΟΑ=ΟΒ Γιατί το Ο είναι μέσον του ΑΒ Το Ο είναι μέσον του ΑΒ Υπόθεση ο-αα ΟΓ=ΟΔ ΒΟΓ=ΔΟΑ ο-αα ΟΓ=ΟΔ Γιατί το Ο είναι μέσον του ΓΔ ΒΟΓ=ΔΟΑ Ως κατακορυφήν o-αα Το Ο είναι μέσον του ΓΔ Υπόθεση Ως κατακορυφήν Γιατί οι πλευρές της μιας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης ΑΑ
Απλή αιτιολόγηση ΠΡΟΤΑΣΗ Αντιστοιχεί σε υποθέσεις, ορισμούς και εφαρμογές θεωρημάτων Η σκέψη του μαθητή απευθύνεται μόνον σε ένα σχήμα ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ
Απλή αιτιολόγηση Αντιστοιχεί σε υποθέσεις, ορισμούς και εφαρμογές θεωρημάτων Η σκέψη του μαθητή απευθύνεται μόνον σε ένα σχήμα Ο μαθητής αναλύει τις ιδιότητες ενός μόνον σχήματος και ανήκει στο 2ο Επίπεδο van Hiele τουλάχιστον Κολέζα (2000).
Όχι απλές αιτιολογήσεις (ο-αα) ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ Αντιστοιχεί σε συνδυασμούς ορισμών, ιδιοτήτων, θεωρημάτων, κ.λπ. Πολλαπλή ανάλυση ενός σχήματος ή ανάλυση πολλών διαφορετικών σχημάτων ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ Ο μαθητής αναλύει και συσχετίζει ιδιότητες περισσοτέρων του ενός σχημάτων μέσα από ένα δίκτυο σχέσεων που πρέπει να έχει στη διάθεσή του και επομένως πρέπει να λειτουργεί τουλάχιστον στο 3 ο Επίπεδο της Θεωρίας van Hiele Κολέζα (2000).
Παρουσιάζεται μια διαβαθμισμένη σειρά αποδεικτικής διαδικασίας, αλλά ΛΥΚΕΙΟ ΤΥΠΙΚΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΛΕΣ ΚΑΙ ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΠΡΟ-ΑΠΛΕΣ ΚΑΙ ΑΠΛΕΣ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΕΙΣ Προκαταβολικοί οργανωτές (Ausubel) Διδασκαλίες στρατηγικών και δεξιοτήτων (Polya Hoffer/Sierpinska) Διαβαθμισμένη διδασκαλία της απόδειξης, δηλ. τη διδασκαλία προαιτιολογήσεων, απλών και μερικών αποδείξεων τυπικές αποδείξεις Ενίσχυση: Dienes, στις αναπαραστάσεις του Bruner, στη Γνωστική Μαθητεία, σε συνεργατικά περιβάλλοντα (Vygotsky) και στα πλαίσια της ΖΕΑ.
Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη στα Α.Π. Οι τρεις κόσμοι του Tall Δεν χρησιμοποιούνται πάντα Εμπόδια Brousseau Δημιουργούν ασυνέχειες Το σχήμα (διαδικασίες) Απόδειξη (συλλογισμοί)
Σας ευχαριστώ Ερωτήσεις