Λύσεις: Τελική Εξέταση 28 Αυγούστου 2015

Φ230: Αστροφυσική Ι Λύσεις: Τελική Εξέταση 28 Αυγούστου 2015 1. Ο Σείριος Α, έχει φαινόμενο οπτικό μέγεθος mv - 1.47 και ακτίνα R1.7𝑅 και αποτελεί το κύριο αστέρι ενός διπλού συστήματος σε απόσταση 8.6 έτη φωτός από τη Γη. To 1844 ο συνοδός του, Σείριος Β, ανακαλύφθηκε από το γνωστό μαθηματικό και αστρονόμο Bessel, λόγω της κίνησης του Σείριου Α στον ουρανό. α) Αν γνωρίζετε ότι ο Σείριος Β είναι 10 μεγέθη πιο αμυδρός από τον Σείριο Α, και έχει τον ίδιο φασματικό τύπο, υπολογίστε την ακτίνα του. (1.5 μονάδες) β) Η μάζα του Σείριου Β είναι 0.98𝛭. Υπολογίστε την πυκνότητά του και σχολιάστε τι είδους αστέρας είναι. (1 μονάδα) Απάντηση: α) Αφού ο Σείριος Β είναι 10 μεγέθη πιο αμυδρός από τον Σείριο Α, το φαινόμενο μέγεθός του θα είναι 10 mag μεγαλύτερο, δηλαδή: mvβ mvα + 10 (1) Επιπλέον μια που θεωρούμε ότι τα δύο αστέρια έχουν τον ίδιο φασματικό τύπο, θα έχουν και την ίδια ενεργό θερμοκρασία ΤΑ ΤΒ (2) Τέλος ως διπλό σύστημα αστέρων θα βρίσκονται πολύ κοντά το ένα στο άλλο, και άρα η απόστασή τους από τη Γη θα είναι πρακτικά η ίδια, δηλαδή dα dβ 8.6 ly (3) Γνωρίζουμε ότι η σχέση ανάμεσα στη λαμπρότητα (L), και τη ροή φωτός (F) που λαμβάνουμε από ένα αστέρι που βρίσκεται σε απόσταση d και εκπέμπει ισοτροπικά προς κάθε κατεύθυνση είναι 𝐹 (4) και μια που κάθε αστέρι εκπέμπει σχεδόν ως μέλαν σώμα, η λαμπρότητά του σχετίζεται με την ακτίνα του R και την ενεργό θερμοκρασία της επιφάνειάς του T, με τη γνωστή σχέση 𝐿 4𝜋𝑅 𝜎𝛵 (5) Επίσης η σχέση ανάμεσα στο φαινόμενο μέγεθος δυο αστεριών και τη ροή τους όπως την μετρούμε είναι mα- mβ - 2.5 log (6) Εφαρμόζοντας τα παραπάνω για το ζεύγος του Σείριου Α και Β έχουμε (6) 𝑚 𝑚 2.5 log 𝑚 𝑚 2.5 log 𝑚 𝑚 2.5 log 𝑚 𝑚 2.5 log 2.5 log 𝑅 𝑅 log 2 𝑅 10 𝑅 𝑅 𝑅 7 Επομένως ο Σείριος Β έχει ακτίνα μόλις: 𝑅 0.017𝑅 1.18x10 m 10 5 log Σελίδα 1 από 5

Σημειώνουμε ότι η ακτίνα της Γης είναι 6,500 km 0.65 x10 7 m, σχεδόν η μισή από αυτή του του Σείριου Β. β) Η μέση πυκνότητα του Σείριου Β είναι ρ."μ 2.68 10 kgr m 2.68 10 gr cm Παρατηρούμε ότι το μέγεθος του Σείριου Β είναι συγκρίσιμο με αυτό της Γης και η μάζα του παρόμοια με αυτήν του Ήλιου. Επομένως η μέση πυκνότητά του είναι 5 τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη από αυτή του Ήλιου και άρα είναι ένας Λευκός Νάνος. 2. α) Ποια βασική διεργασία συντελείται στο εσωτερικό ενός αστέρα όταν αυτός βρίσκεται στην Κύρια Ακολουθία του διαγράμματος H- R; (0.5 μονάδες) β) Χρησιμοποιώντας τη σχέση μάζας- λαμπρότητας υπολογίστε πόσο χρόνο θα ζήσει στην κύρια ακολουθία ένας αστέρας με μάζα M 1 10Μ και ένας με μάζα M 2 0.5 Μ. Υποθέστε ότι και οι δύο αστέρες αποτελούνται κατά 75% από υδρογόνο. (1 μονάδα). γ) Για να απαντήσετε στο α) έχετε κάνει έμμεσα κάποιες υποθέσεις σχετικά με το ποσοστό του υδρογόνου μεταστοιχειώνεται σε άλλα στοιχεία. Σχολιάστε τις συνέπειες των υποθέσεων αυτών στο αριθμητικό αποτέλεσμα που βρήκατε (0.5 μονάδες) δ) Εξηγήστε ποια θα είναι η τελική κατάσταση στην οποία θα καταλήξει το καθένα από τα δύο αυτά άστρα όταν δε μπορούν πλέον να γίνονται πυρηνικές αντιδράσεις στο εσωτερικό τους καθώς και ποια θα είναι περίπου η ακτίνα του (1 μονάδα) Απάντηση: α) Ένας αστέρας βρίσκεται στην Κύρια Ακολουθία όταν η κύρια πηγή παραγωγής ενέργειας στον πυρήνα του είναι η μετατροπή Υδρογόνου (Η) σε Ήλιο (He) είτε με τις πυρηνικές αντιδράσεις της αλυσίδας πρωτονίου- πρωτονίου (p- p chain) εάν έχει μικρή μάζα, είτε με τον κύκλο του άνθρακα (CNO cycle) για αστέρες μεγάλης μάζας. Η Κύρια Ακολουθία σηματοδοτεί την αρχή της ζωής του αστέρα. Οι αντιδράσεις της αλυσίδας p- p και του κύκλου CNO δίνονται στο βιβλίο. Παρατήρηση: Στο παραπάνω πρέπει να αναφέρουμε ότι η μετατροπή υδρογόνου σε ήλιο γίνεται στον πυρήνα και όχι γενικά στο εσωτερικό του, μια που όταν ένας αστέρας έχει βγει από την Κύρια Ακολουθία εξακολουθεί να μετατρέπει υδρογόνο σε ήλιο, αλλά σε κάποιο φλοιό και όχι στον πυρήνα. β) Για λόγους απλότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η σχέση μάζας λαμπρότητας που ισχύει για αστέρες στην Κύρια Ακολουθία, έχει τον ίδιο εκθέτη (πχ. 4) και για τους δύο αστέρες: L ~ M 4. Η σχέση αυτή μας λέει ότι η λαμπρότητα, δηλαδή η ισχύς ή ο ρυθμός με τον οποίο καταναλώνει και ακτινοβολεί την ενέργεια του το άστρο, είναι ανάλογη με την τη μάζα του στην 4 η δύναμη. Μια που η πηγή της ενέργειας είναι πυρηνικές αντιδράσεις που μετατρέπουν την μάζα υδρογόνου του αστεριού σε ήλιο, αναμένουμε ότι η διαθέσιμη ενέργεια, το «καύσιμο», θα είναι ανάλογο της μάζας του διαθέσιμου υδρογόνου και κατά συνέπεια της μάζας του αστεριού. Ε~Μ. Επομένως ο χρόνος ζωής στην Κύρια Ακολουθία θα είναι t Διαθέσιμο "ύ"#$ "#$ό "#"$ά"#$% ~ ~M [μονάδες χρόνου] Προσοχή, στον παραπάνω τύπο το Μ είναι το καύσιμο. Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο για το καθένα από τα δύο αστέρια και τον Ήλιο για τον οποίο γνωρίζουμε ότι t 9x10 yrs καθώς Σελίδα 2 από 5

3. και ότι αποτελείται και αυτός κατά 71% κατά μάζα από υδρογόνο και διαιρώντας κατά μέλη έχουμε: 𝑡 𝑀 0.75 16𝛭 𝑡 2𝑥10 𝑡 𝑡 1.8𝑥10 𝑦𝑟 0.18 𝑀𝑦𝑟𝑠 𝑡 𝛭 0.71 𝛭 𝑡 𝑀 0.75 0.5𝛭 𝑡 6.8 𝑡 𝑡 61.1𝑥10 𝑦𝑟 61.1 𝐺𝑦𝑟𝑠 𝑡 𝛭 0.71 𝛭 Παρατήρηση: Θα μπορούσαμε για μεγαλύτερη ακρίβεια να πάρουμε λίγο διαφορετικούς εκθέτες για το αστέρι μικρής και μεγάλης μάζας (4 και 3 αντίστοιχα), ή ακόμη και 3.5 και για τα δύο, αλλά δεν έχει ιδιαίτερη σημασία για την άσκηση. γ) Η βασική υπόθεση που κάνουμε στους παραπάνω υπολογισμούς είναι ότι όλη η μάζα του υδρογόνου, το «καύσιμο», μετατρέπεται σε ήλιο. Αυτό δεν είναι σωστό μια που γνωρίζουμε ότι ένα αστέρι φεύγει από την Κύρια Ακολουθία πριν εξαντλήσει όλο το υδρογόνο του. Μόνο το υδρογόνο που βρίσκεται στον πυρήνα μετατρέπεται σε ήλιο. Το ακριβές ποσοστό εξαρτάται από τη μάζα του αστεριού και είναι 15 με 25% του συνολικού υδρογόνου. Αυτό βέβαια έχει ως αποτέλεσμα να υπερεκτιμούμε ελαφρά τις παραπάνω ηλικίες των αστεριών. δ) Το αστέρι μάζας 0.5𝛭 θα καταλήξει σε λευκό νάνο με ακτίνα περίπου ίση με αυτή της Γης ή 1/100 της ακτίνας του ήλιου (~7000 χιλιόμετρα) ενώ το αστέρι μάζας 16𝛭 θα καταλήξει σε αστέρα νετρονίων με ακτίνα περί τα 10 χιλιόμετρα. Η ακριβής ακτίνα εξαρτάται από το ποσοστό της μάζας που θα χάσει το άστρο λόγω αστρικού ανέμου, κατά τη διάρκεια της ζωής του μετά την κύρια ακολουθία. Στο εσωτερικό του Ήλιου τα φωτόνια που δημιουργούνται από τις πυρηνικές αντιδράσεις σκεδάζονται από τα ηλεκτρόνια και τα ιόντα εκτελώντας έναν «τυχαίο βηματισμό», και η μέση ελεύθερη διαδρομή τους ανάμεσα σε κάθε σκέδαση είναι 𝒍 𝟎. 𝟓𝒄𝒎. α) Αποδείξτε ότι ο αριθμός των βημάτων/κρούσεων που απαιτούνται για να μπορέσει να διανύσει το φωτόνιο μια 𝒓𝟐 απόσταση r είναι 𝜨 𝟐 (0.5 μονάδες) β) Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του α) υπολογίστε 𝒍 πόσα χρόνια απαιτούνται για να φθάσει ένα φωτόνιο που δημιουργείται στο κέντρο του Ήλιου από το κέντρο στην επιφάνειά του. (1 μονάδα) Λύση: ου α) Η λύση στο ερώτημα α) βρίσκεται στο τέλος του 1 κεφαλαίου του βιβλίου «Εισαγωγή στην Σύγχρονη Αστρονομία» των Χ. Βάρβογλη, Ι. Σειραδάκη β) Ο χρόνος που απαιτείται για να φθάσει ένα φωτόνιο από το κέντρο του Ήλιου στην επιφάνειά του ισούται με τον αριθμό των βημάτων Ν που θα κάνει για να καλύψει την απόσταση 𝑅 επί το χρονικό διάστημα που χρειάζεται για να καλύψει το κάθε βήμα ανάμεσα σε δύο διαδοχικές σκεδάσεις. Αφού το κάθε βήμα έχει κατά μέσο όρο μήκος l, και το φωτόνιο κινείται με την ταχύτητα του φωτός, c, ο συνολικός χρόνος είναι: 8 6.95x10 m 𝑙 𝑅 𝑙 𝑡𝑁 𝑐 𝑙 𝑐 0.005𝑚 1 3x10 𝑚 𝑠 8 11 3.22x10 𝑠𝑒𝑐 7 Και μια που ένα έτος 1yr3.15x10 sec, το χρονικό διάστημα που κάνει για να φθάσει ένα φωτόνιο από το κέντρο στην επιφάνεια του Ήλιου είναι σχεδόν 10,000 χρόνια. Σελίδα 3 από 5

4. Το 1987 παρατηρήθηκε από τη Γη το φως από την έκρηξη ενός υπερκαινοφανούς στο Μεγάλο Νέφος του Μαγγελάνου, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση 51,400 pc. Συγκρίνοντας τη θέση του υπερκαινοφανούς με παλαιές φωτογραφίες, βρέθηκε ότι ο αστέρας που εξερράγη ήταν φασματικού τύπου Β3, είχε μάζα 16 Μ, ενεργό θερμοκρασία Τ eff 16,000 Κ και λαμπρότητα L3x10 4 L. α) Υπολογίστε ποια ήταν η ακτίνα του αστέρα πριν εκραγεί (1 μονάδα).β) Σχεδιάστε ένα διάγραμμα H- R και τοποθετήστε σε αυτό τον αστέρα, όπως ήταν αυτός πριν εκραγεί. Βρίσκεται ο αστέρας στην κύρια ακολουθία και γιατί; (1 μονάδα). γ) Ποιο ήταν το έτος στη Γη όταν έγινε η έκρηξη του υπερκαινοφανούς; (0.5 μονάδες) δ) Αν και δεν έχει ακόμη ανακαλυφθεί αστρικό υπόλειμμα στο σημείο της έκρηξης, μπορείτε να εκτιμήσετε τι θα μπορούσε να είναι και ποια περίπου θα ήταν η μέγιστη και η ελάχιστη μάζα που θα μπορούσε να έχει; (0.5 μονάδες) Λύση: α) Ο πιο εύκολος τρόπος να λυθεί το α) είναι αν γνωρίζουμε την ενεργό θερμοκρασία του Ήλιου Τ 5800 Κ. Τότε εφαρμόζουμε τη γνωστή σχέση L 4πR στ (1) για το άστρο με L 3x10 L και για τον Ήλιο με L L και διαιρώντας κατά μέλη έχουμε L L R R T T R R 3x10 4 L L T T R 22.7 R 1.5x10 " m Η άλλη λύση είναι να εφαρμόσουμε απλά την (1) βάζοντας την τιμή της σταθεράς Stephan Boltzmann σ 5.67 10 8 W m 2 K 4, που δόθηκε κατά την εξέταση. β) Ένα διάγραμμα H- R ακολουθεί. Το κόκκινο «Χ» υποδηλώνει τη θέση του αστεριού πριν εκραγεί ως υπερκαινοφανής. Χ Προφανώς το αστέρι δε βρίσκεται στην κύρια ακολουθία. Αυτό το αναμέναμε μια που στην Κύρια Ακολουθία βρίσκεται το αστέρι όταν ξεκινά τη ζωή του μετατρέποντας υδρογόνο σε ήλιο στον πυρήνα του. Πριν γίνει όμως υπερκαινοφανής έχει φθάσει στο τέλος σχεδόν της εξέλιξής του έχοντας δημιουργήσει ένα πυρήνα σιδήρου ενώ παράλληλα μετατρέπει με πυρηνικές Σελίδα 4 από 5

αντιδράσεις σε μια σειρά ομόκεντρους φλοιούς διαδοχικά υδρογόνο σε ήλιο, ήλιο σε άνθρακα, άνθρακα σε οξυγόνο κτλ.. Δείτε το σχήμα που ακολουθεί. γ) Γνωρίζουμε ότι 1pc3.26 έτη φωτός (έτος φωτός light year lyr). Επομένως η απόστασή μας από τον υπερκαινοφανή είναι d51,400 x 3.26 ly 167564 lyr Μια που εξ ορισμού το έτος φωτός είναι η απόσταση που διανύει το φως σε ένα έτος, η έκρηξη έγινε 167,564 πριν φθάσει το φως της στην Γη ώστε να την παρατηρήσουμε. Επομένως, όταν συνέβη η έκρηξη στο μεγάλο νέφος του Μαγγελάνου, στη Γη το έτος ήταν 1987 167564 165577 πχ. δ) Με δεδομένο ότι ο αστέρας που εξερράγη ήταν μπλε γίγαντας φασματικού τύπου Β3 και μεγάλης μάζας 16 Μ, αναμένουμε ότι ο υπερκαινοφανής (που ήταν Τύπου ΙΙ) θα δώσει ως υπόλειμμα έναν αστέρα νετρονίων. Τον αστέρα νετρονίων δεν τον έχουμε παρατηρήσει διότι είναι πιθανόν ο pulsar που ίσως δημιουργήθηκε να έχει τέτοια γεωμετρία και περιστροφή ώστε οι κατευθυνόμενοι παλμοί του να μην σαρώνουν την Γη. Η ακτίνα του θα είναι ανάμεσα στο όριο Chandrasekhar 1.4 Μ και το μέγιστο μέγεθος ενός ευσταθούς αστέρα νετρονίων που είναι περίπου 3 Μ. Αν ο αστέρας ήταν πάνω από 17 Μ θα περιμέναμε να μας δώσει μελανή οπή. Δίνονται Η λαμπρότητα του Ήλιου L 3.85x10 26 Watt, η μάζα του Ήλιου Μ 1.98x10 30 kgr, η ακτίνα του Ήλιου R 6.95x10 8 m. H διάρκεια ζωής του Ήλιου στην Κύρια Ακολουθία είναι 9x10 9 έτη. Σελίδα 5 από 5