ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο Θέµα Α. α) Έστω η συνάρτηση στο κάθε f δ) R τις τιµές του γ) Αν η συνάρτηση παραγωγίσιµη σε αυτό. Τότε ισχύει ε) Αν [ ] α, β στ) Έστω η συνάρτηση Αν η συνεχής συνάρτηση β και ισχύει: Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά γ) Έστω µια συνάρτηση παρουσιάζει στο a ( ) υπάρχει α, β f τέτοιος ώστε ( ) α) Αν µια συνάρτηση f : A R έχει αντίστροφη συνάρτηση γνησίως µονότονη στο Α. β) Αν µια συνάρτηση κοντά στο συνεχής στο [a, β] ισχύει f d=, τότε η f A f. είναι παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα στο [ α, β] τέτοιος ώστε να ισχύει ( ( f f τοπικό ελάχιστο. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. είναι συνεχής στο f >. ) f ) f '( ) = ηµ. f = συν. Να αποδείξετε ότι η β) Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς σε ένα διάστηµα για τις οποίες ισχύει: f '( ) = g' ( ) για κάθε εσωτερικό σηµείο του. µε πεδίο ορισµού Α. Να δώσετε τον ορισµό : Πότε η η οποία είναι κυρτή στο διάστηµα και δύο φορές µε f c f '' > ( ( τέτοια ώστε να ισχύει: ) ) f ( f ' >. ) και για κάθε f >, τότε. δεν είναι παντού ίση µε µηδέν στο παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσηµες τιµές. ( β a ) f ( ) είναι παραγωγίσιµη f = g + c f ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ, τότε η f > και ισχύει f d>, τότε υπάρχει ( ) ΜΟΝΑ ΕΣ 8 ( ( ) ) [ α, β] είναι για τότε, και ΜΟΝΑ ΕΣ 9 f για

Θέµα ο Έστω η συνάρτηση ( ) ln ( a) f =, a>. Α. Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Μ(, f ( ) ) είναι παράλληλη στην ευθεία y =, να βρείτε την τιµή του α. Β. Για a= : α) Να µελετήσετε τη µονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της f. β) Να βρείτε το σύνολο τιµών και τις ασύµπτωτες. κ γ) Να αποδείξετε: ότι ( κ ) ( κ ) Θέµα ο ίνονται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [, ] αριθµοί z= a+ βi και w f ( α ) + i f ( β) Α. Να αποδείξετε ότι: α) Ο αριθµός z + κ > + για κάθε θετικό ακέραιο κ 8 = µε ( ) + β i z ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 7 ΜΟΝΑ ΕΣ 8 α β µε < α< β και οι µιγαδικοί f β. = είναι πραγµατικός αν και µόνο αν f ( a) + f ( β ) i w ΜΟΝΑ ΕΣ 5 β) Αν z = iw τότε οι εικόνες των z, w στο µιγαδικό επίπεδο και η αρχή των αξόνων, είναι κορυφές ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου. Β. Έστω ότι ισχύει α) a f ( β ) β f ( α ) = z iw = z + iw. Να αποδείξετε ότι: β) Οι εικόνες των z, w και η αρχή είναι συνευθειακά σηµεία. γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( aβ, ) παράστασης της f στο σηµείο (, ( )) = a ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ΜΟΝΑ ΕΣ τέτοιο ώστε, η εφαπτοµένη της γραφικής M f να διέρχεται από το σηµείο (,). ΜΟΝΑ ΕΣ 8

Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f µε f ''( ) συνεχή στο R τέτοια ώστε να ισχύουν: ( t + ) f ''( t) dt = t f '( t) dt 4 t f ( ) dt για κάθε R f ( ) = και ( ) f ' =. α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι f ( ) =, R +, µε ΜΟΝΑ ΕΣ β) Έστω E ( a ) το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και = a>. Αν το a µεταβάλλεται µε ρυθµό cm / sec, να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του E a, τη χρονική στιγµή κατά την οποία a= cm. εµβαδού ( ) γ) Θεωρούµε συνεχή συνάρτηση g για την οποία ισχύει: ( ) ( ) g + f για κάθε R. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 (i) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = + είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της g όταν + ΜΟΝΑ ΕΣ 5 (ii) Αν Ε είναι το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, την πλάγια ασύµπτωτη της στο + και τις ευθείες = και =, να αποδείξετε ότι: E ln 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΙΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα ο B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι f ( ) = f ( ) > άρα ( ) lim γ) Σωστό διότι από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ( aβ ) ( ) f ( β ) f a f '( ) = > a β, f > κοντά στο τέτοιος ώστε: διότι f άρα f ( a) < f ( β ) 4 δ) Λάθος διότι f ''( ),. (Παράδειγµα: για την f ( ) ε) Σωστό διότι αν ( ) ( ) ( ) f ' = 4, f '' = για κάθε R ) f = για κάθε [ α, β ] = είναι: τότε f ( ) d= β (άτοπο) στ) Σωστό διότι αν η f δεν παίρνει τουλάχιστον ετερόσηµες τιµές θα είναι f ( ) για κάθε [ aβ, ] β a ( ) d> f άτοπο.. Όµως η f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν, οπότε a Θέµα ο Α. A = (, + ) πεδίο ορισµού f ' ( ) ' ' ' ( ln ( a) ) ln ( a) ( ) ( a) ln ( a) a = = = ( ) ( a) ln ( a) ln ln ( a) = = = () Είναι ( ) ln a f ' = = ln a = ln a = a =

Β. α) Για α= έχουµε: ln f, ( ) = > και ( ) ln f ' =, > ln f ' ln e ( ) = = = = e + f '( ) + - f ( ) ma ln e ( ) = = ( ) f e β) lim f ( ) lim lim ln ( ) + + + e ma e ln = = = + = ' ln ( ln ) lim f ( ) = lim = lim = lim = lim = lim = + + ' + + + + ( ) ( ) ( ) ) Άρα f (, e =, e και f, e + ) =, e Η = είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη και η y= οριζόντια ασύµπτωτη. κ γ) ln ( κ ) ln ( κ ) + κ > + κ + ln κ > κ ln κ + κ + lnκ > κ ln ( κ + ) lnκ ln ( κ + ) > κ κ + f ( κ ) > f ( κ+ ) ισχύει διότι + > 8> e και f στο e, + ) κ κ

Θέµα ο Α. α) + β i( a βi) i a ( β ) ( ) ( β ) i f ( a) z = = = + f i f a i f ( ) ( ) ( ) i f ( a) i f ( a) ( ( )) ( ) + f ( a) ( ) i a + i f a + a f a + i a + f a = = + z R αν και µόνο αν ( ) ( ) a + f a = f a = a β) Ισχύει z = iw a + βi = i( f ( a) + i f ( β )) a + βi = f ( β ) if ( a) οπότε f ( a) = β και f ( β ) = a. Άρα w = β + α i. Έστω A( aβ, ) και B( β, a). Είναι ( OA) = a + β,( OB) = a + β δηλαδή AB ισοσκελές. Επειδή ( AB) ( a β ) ( a β ) = + + = O > ( β ) ( ) ( ) a β aβ a β aβ a OA OB = + + + + = + = + το τρίγωνο είναι και ορθογώνιο. Β. α) Έχουµε a + βi i( f ( a) + if ( β )) = a + βi + if ( a) f ( β ) ( β ) ( β ( )) β ( ) ( β ) a + f + i f a = a + + f a + f ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) a + f β + β f a = a + β + f a + f β ( β ) ( β ) β ( ) β ( ) β ( ) ( β ) a + f + a f + + f a f a = a + + f a + f a f ( β ) β f ( a) a f ( β ) β f ( a) β) Έστω A( aβ, ) και B( f ( a), f ( β )) = = β λ OA= και λ a Λόγω της ( ) OB f ( β) = οι συντελεστές διεύθυνσης ΟΑ και ΟΒ αντίστοιχα f ( α ) είναι λoa= λob που σηµαίνει Α, Ο, Β συνευθειακά. (Είναι f ( a) διότι αν f ( a ) = τότε και f ( β ) = άτοπο) C στο (, ( )) ( ) = '( )( ) η οποία διέρχεται από το ( ) f ( ) f '( ) f '( ) f ( ) γ) Η εξίσωση της εφαπτοµένης της f y f f M f είναι, όταν = =. Αρκεί να αποδείξουµε ότι έχει µια τουλάχιστον λύση στο (α,β) η εξίσωση Έστω ( ) ( ) ( ) ( ) ' f ' f f f '( ) f ( ) = = =. ( ) f g =, a, [ β]

Η g είναι παραγωγίσιµη στο [ aβ, ] και f ( α) f ( β ) g ( α) = = g( β) a β = λόγω της ( ) Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Rolle, έχει µία τουλάχιστον λύση στο ( α, β ) η εξίσωση g '( ) = δηλαδή η ισοδύναµη της f ( ) f ( ) ' = Θέµα 4ο α) ( ) ( ) ( ) ( ) + '' = ' 4 t f t dt t f t dt f tdt t + = '' ' ( t ) f ( t) dt t f ( t) dt 4 f ( ) '' ' ( t + ) f ( t) dt = t f ( t) dt f ( ) () Με παραγώγιση των µελών της () έχουµε: ( + ) f '' ( ) = f ' ( ) f ( ) f ' ( ) ( + ) f '' ( ) + f ' ( ) = f ( ) f ' ( ) ' ' ' ( + ) f ( ) = f ( ) Για ' = είναι f ( ) Η () γράφεται: ( ) f ' ( ) f ( ) ' 4 = C άρα C= + + = ' ' ' ( + ) f ( ) = ( ) Άρα ( ) ( ) Για = είναι ( ) f, άρα ( ) ' ( ) ( ) + f = f + C () + f = + C = C άρα C =. Εποµένως β µέθοδος Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' 4 f ) =, R + ( t + f t t f t dt = t f t dt f tdt t f f f ( ) '( ) '( ) 4 ( ) + = ( ) f '( ) f ( ) ( ) f '( ) f ( ) + = + + =

' ' ( + ) f ( ) = ( ) Άρα ( ) ( ) + f = + c Για = είναι f ( ) = c δηλαδή c= οπότε ( ) f ( ) f ( ) + = = + a + a ( ) ( ) ( ) β) ( ) ( ) a Ε a = d = ln + ' d = ln + = ln a +. Το a είναι συνάρτηση του χρόνου οπότε: ( ) ( ) ( ) ( ) ' a t a ' t E ( a) = ln ( a ( t) ) + ' = ( a ( t) + )' = a t + a t + Είναι a '( t) = cm / sec και a( t) = cm, άρα ( ) Ο ρυθµός µεταβολής του ( ) E a όταν a= cm. γ) i ) Αφού + για κάθε > ισχύει: ( ) ( ) ( ) f g + f g ( ) ( + ) + + Είναι lim lim = =. + + + + Άρα g ( ) ( ). ' E = cm / sec = cm / sec. 9 + lim + = που σηµαίνει ότι η ευθεία y = + είναι πλάγια + ασύµπτωτη της C g στο +. ii) Είναι ( ) ( ) ( ) και E = g + d = g + d ( ) ( ) g + f (ερώτηµα i) ( ) ( ) g + f. Άρα ( ) ( ) g + f d g ( ) + d d + ( ) E ln + E ln 5 E ln 5

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 4 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θ Ε Μ Α ο Α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε τ ο θ ε ώ ρ η µ α : Έ σ τ ω µ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f, η ο π ο ί α ε ί ν α ι ο ρ ι σ µ έ ν η σ ε έ ν α κ λ ε ι σ τ ό δ ι ά σ τ η µ α [ α, β ]. Α ν η f ε ί ν α ι σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ α, β ] κ α ι f ( α ) f ( β ) τ ό τ ε, γ ι α κ ά θ ε α ρ ι θ µ ό η µ ε τ α ξ ύ τ ω ν f ( α ) κ α ι f ( β ) υ π ά ρ χ ε ι έ ν α ς, τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ( α, β ) τ έ τ ο ι ο ς, ώ σ τ ε f ( ) = η Μ Ο Ν Α Ε Σ 5 Β. Η σ υ ν ά ρ τ η σ η f, π ο υ η γ ρ α φ ι κ ή τ η ς π α ρ ά σ τ α σ η φ α ί ν ε τ α ι σ τ ο σ χ ή µ α, ε ί ν α ι δ ύ ο φ ο ρ έ ς π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ η σ τ ο π ε δ ί ο ο ρ ι σ µ ο ύ τ η ς µ ε σ υ ν ε χ ή δ ε ύ τ ε ρ η π α ρ ά γ ω γ ο. y y = f () y Ν α β ρ ε ί τ ε, α ν η τ ι µ ή τ ω ν ο λ ο κ λ η ρ ω µ ά τ ω ν I, I, I ε ί ν α ι θ ε τ ι κ ή ή α ρ ν η τ ι κ ή. I = f () d Μ Ο Ν Α Ε Σ I = f '() d Μ Ο Ν Α Ε Σ = Μ Ο Ν Α Ε Σ I f ''() d

Γ. Ν α α ν τ ι σ τ ο ι χ ί σ ε τ ε κ α θ έ ν α α π ό τ α ό ρ ι α τ η ς σ τ ή λ η ς Α µ ε τ η ν τ ι µ ή τ ο υ τ η ς σ τ ή λ η ς Β. Σ Τ Η Λ Η Α Σ Τ Η Λ Η Β. lim ηµ α.. lim ηµ. lim ln + 4. lim e β. γ. δ. + Μ Ο Ν Α Ε Σ 8. Έ σ τ ω η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ( ) = ν, ν IN -{, }. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ η σ τ ο IR κ α ι ι σ χ ύ ε ι f ( ) = ν ν -. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Θ Ε Μ Α ο. Ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f, g ε ί ν α ι ο ρ ι σ µ έ ν ε ς κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ ε ς σ τ ο IR µ ε Α ν σ τ ο ό ρ ι ο L = f ( ) g ( ) =, f ( ) γ ι α κ ά θ ε IR... g() + ε φ α ρ µ ό σ ο υ µ ε τ ο ν κ α ν ό ν α τ ο υ ο ρ ί ο υ π η λ ί κ ο υ, + f() lim π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε τ α ι α π ρ ο σ δ ι ο ρ ι σ τ ί α τ η ς µ ο ρ φ ή ς. α. i ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο L. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 i i ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ι ς α σ ύ µ π τ ω τ ε ς τ ω ν γ ρ α φ ι κ ώ ν π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν τ ω ν σ υ ν α ρ τ ή σ ε ω ν f κ α ι g σ τ ο +. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 β. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η g έ χ ε ι τ ο π ο λ ύ µ ι α ρ ί ζ α σ τ ο IR. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 γ. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : f ( ) g ( ) = + 4 γ ι α κ ά θ ε IR. Μ Ο Ν Α Ε Σ 7

Θ Ε Μ Α ο Γ ι α κ ά θ ε IR. ο ρ ί ζ ο υ µ ε τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η g() = t α+ e dt, α > κ α ι τ ο ν µ ι γ α δ ι κ ό z = g ( ) + i µ ε z + i z. Α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι i ) η g α ν τ ι σ τ ρ έ φ ε τ α ι κ α ι i i ) ο ι ε ι κ ό ν ε ς τ ο υ z α ν ή κ ο υ ν σ τ η ν γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς g -. Μ Ο Ν Α Ε Σ 4 Β. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι : α. R e ( z ) I m ( z ), γ ι α κ ά θ ε IR Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 β. α =. Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 γ. < dt dt < t t + e α + e α + e + e Μ Ο Ν Α Ε Σ 7 Θ Ε Μ Α 4 ο Ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f, g ε ί ν α ι ο ρ ι σ µ έ ν ε ς κ α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι µ ε ς σ τ ο IR µ ε g ( ) = κ α ι f ( ) = g ( ), f ( ) + g ( ) = γ ι α κ ά θ ε IR. α. Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι : i ) g ( ) = g ( ) f ( ), IR.. Μ Ο Ν Α Ε Σ 4 i i ) Η g ε ί ν α ι γ ν η σ ί ω ς µ ο ν ό τ ο ν η σ ε κ α θ έ ν α α π ό τ α δ ι α σ τ ή µ α τ α (, ], [, + ) κ α ι έ χ ε ι α κ ρ ό τ α τ ο τ ο. Μ Ο Ν Α Ε Σ 5 β. i ) Ν α µ ε λ ε τ ή σ ε τ ε τ η ν σ υ ν ά ρ τ η σ η f ω ς π ρ ο ς τ η ν κ υ ρ τ ό τ η τ α κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ α σ η µ ε ί α κ α µ π ή ς τ η ς. Μ Ο Ν Α Ε Σ 6 i i ) Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π τ ο µ έ ν η ς τ η ς γ ρ α φ ι κ ή ς π α ρ ά σ τ α σ η ς τ η ς f σ τ ο σ η µ ε ί ο τ η ς Ο (, ). Μ Ο Ν Α Ε Σ γ. Α ν Ε ε ί ν α ι τ ο ε µ β α δ ό ν τ ο υ χ ω ρ ί ο υ, π ο υ ο ρ ί ζ ε τ α ι α π ό τ η ν γ ρ α φ ι κ ή π α ρ ά σ τ α σ η τ η ς f κ α ι τ ι ς ε υ θ ε ί ε ς y =, =, ν α δ ε ί ξ ε τ ε, ό τ ι Ε = ln[ g ()] +. Μ Ο Ν Α Ε Σ 7

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 4 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. ες σχολικό βιβλίο, σελίδα 94: Θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Ι > ες σχόλιο σελίδα 46. Ι = f() f() < γιατί f() < f() I = f '() f '() < γιατί η κλίση της C f στο (, f () ) είναι αρνητική και στο (, f () ) είναι θετική. Γ. γ β α 4 δ. ες σχολικό βιβλίο, σελίδα 4 στίχοι έως 8. ΘΕΜΑ ο Έχουµε: lim (g() + ) = () και lim (f() - - ) = + α. i) Tο κλάσµα g' () f '() - + () ορίζεται σε διάστηµα της µορφής (α, + ), αφού f '(). Στο είναι (g() + )' (f() - - )' = g' () f '() - g' () Ακόµα: f '() g '()= g '()=f '(), οπότε: lim =. + f '() - Από το πρώτο θεώρηµα του De l' Hospital προκύπτει: g() + (g() + )' L= lim = lim = lim + f() - - + (f() - - )' + g' () f '() - ii) Είναι lim (g() + ) = lim g() = -, άρα η C f έχει στο + οριζόντια ασύµπτωτη την ευθεία + y =. Πάλι, lim (f() - - ) = + την ευθεία y = + + lim[ f() - (+ ) ] = + =., άρα η C f έχει στο + πλάγια ασύµπτωτη β) Έστω ότι η g έχει δύο διαφορετικές ρίζες ρ, ρ στο IR µε ρ < ρ. ( απόδειξη µε άτοπο) Eφαρµόζεται το θεώρηµα του Rolle για την g στο [ρ, ρ ] γιατί, ως παραγωγίσιµη στο IR η g είναι συνεχής στο [ρ,ρ ] η g είναι παραγωγίσιµη στο (ρ,ρ ), και ακόµα g(ρ ) = g(ρ )=. Εποµένως, υπάρχει ξ (ρ, ρ ) τέτοιo, ώστε g '(ξ)=. Τότε: f '(ξ) g'(ξ)= f '(ξ)=. Άτοπο, γιατί f '(). Έτσι, η g έχει το πολύ µια ρίζα στο IR. γ) Έχουµε f '() g '() = (f() g())' = ()', άρα, από τις συνέπειες του Θ. Μ. Τ. του διαφορικού λογισµού, υπάρχει αριθµός c IR τέτοιος, ώστε f() g()=+c () ή f () = g () + + c 4. ( ) Επειδή υπάρχουν τα όρια lim (f() - - ) = και lim [(g() + ) + c - 4] = + c - 4, από την () + + είναι ίσα. Προκύπτει, εποµένως : = c 4 ή c = 4. Άρα, είναι: f() g()= 4, IR.. [ Στην () καταλήγουµε και µε ολοκλήρωση των δύο µελών της f '() g '() = ]

ΘΕΜΑ ο Α. i) Επειδή, προφανώς, η f(t)= είναι συνεχής στο IR, η g παραγωγίζεται στο IR µε t α + e g '() = >, εποµένως, η g είναι γνησίως αύξουσα και σαν τέτοια είναι και t α+e αντιστρέφεται. ii) Η C g είναι το σύνολο των σηµείων (, g()) µε IR, άρα η C g είναι το σύνολο των σηµείων (g(), ) και σ' αυτήν ανήκουν οι εικόνες Μ(g(), ) του z = g()+i, IR Β. α) Έχουµε κατά σειρά z +i z g() i+i g()+i g () + (- ).. g() g() Re(z) Im(z), IR (g() -) + β) Θεωρούµε την συνάρτηση: h() = g(), IR. Από το Βα είναι g() g() h() για κάθε IR. Ακόµα, g() = d= h()=, έτσι η h έχει ακρότατο (ολικό µέγιστο) για =. t a+ e Είναι h'() = g'() =, IR t α + e Επειδή το = είναι εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού της h και η h παραγωγίζεται σ' αυτό, από το θεώρηµα του Fermat προκύπτει : h'()= ή ισοδύναµα = α=. α + e γ. Έπειδή η g παραγωγίζεται στο IR θα είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιµη στο (, ). Από το Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισµού, υπάρχει ξ (, ) µε g () - g() = g '(ξ ) ή - dt dt = t t ξ a + e ή a + e a + e dt t a + e t a + e dt = a + e ξ () Έπειδή ξ (, ) είναι διαδοχικά: < ξ < ή e < e ξ < e [ e γνησίως αύξουσα στο IR ] ή +e < +e ξ < +e ή < < ξ + e + e + e ή < < ξ + e a+ e + e [ α= ] και η () δίνει το ζητούµενο: < dt dt + e < t t a + e a + e + e

ΘΕΜΑ 4ο α) i) Είναι f () + g () = (), IR και f () = g () (), IR οπότε: ( f () + g () )' = ή f()f '() + g()g '() = ή f()g () + g()g '() = και επειδή g() είναι f ()g() + g '() = g '() = f() g(), IR ii) Επειδή η g δεν µηδενίζεται και είναι συνεχής, ως παραγωγίσιµη, διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο IR. Είναι g() = >, άρα: g() > (), IR. H f είναι γνησίως αύξουσα στο IR, γιατί από την (): f '()=g () >. Από την (): f () + g () = f () + = f () =. (4) Ετσι, για < f () < f () f () < για > f () > f () f () > H g '()= g()f(), λόγω της (), έχει για κάθε αντίθετο πρόσηµο της f(), που σηµαίνει ότι για < είναι f () < g '() > και για > είναι f () > g '() < Άρα, η g, ως συνεχής στο =, είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, + ) και έχει ακρότατο (ολικό µέγιστο) το g() =, το οποίο αποδεικνύει το ζητούµενο. β i) Λόγω της () ισχύει η ισοδυναµία: g( ) < g( ) g ( ) < g ( ) f '( ) < f '( ), για κάθε, IR. που σηµαίνει, τελικά, ότι η f έχει ίδια µονοτονία µε την g. Eποµένως, η f είναι κυρτή στο (, ], κοίλη στο [, + ) και έχει σηµείο καµπής το (, f ()) = (, ). Άλλος τρόπος. Επειδή η g είναι παραγωγίσιµη, είναι παραγωγίσιµη και η g, άρα από την () και η f, που σηµαίνει ότι υπάρχει η f. Τότε: f ''() = ( f '() )' = (g ())' = g() g '() έτσι, από την (), η f ''() για κάθε έχει ίδιο πρόσηµο µε την g'(): για < είναι g '() > f ''() > και για > είναι g '() < f ''() < Eπειδή η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο = προκύπτει, ότι είναι κυρτή στο (, ], κοίλη στο [, + ) και έχει σηµείο καµπής το (, f ()) = (, ). ii) Η ζητούµενη εξίσωση είναι y f () = f '() ( ) ή y = f '() ή y= αφού από την () έπεται f '()=. γ. Επειδή η f είναι κοίλη στο [, + ), τα σηµεία της C f είναι κάτω από τα σηµεία της εφαπτοµένης της y= για κάθε (, + ), εποµένως: f () f () για κάθε [,+ ) Είναι Ε = - f() d = ( - f())d ( αi) = + g '() g() d = + ln g() = + ln g() - - ln g() = + ln g() - ln= + ln[g()]. [ γιατί g( ) > από την () ]

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα ο Α. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Να αποδείξετε ότι: Αν f ( ) ' > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. f Β. Έστω η συνάρτηση ( ) Να αποδείξετε ότι: '( ) >. a = µε α και f a a =. Μονάδες 9 Μονάδες 6 Γ. Να απαντήσετε αν είναι Σωστή ή Λάθος κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις.. Μια συνάρτηση f : A είναι << >> αν και µόνο αν για κάθε, Α ισχύει η συνεπαγωγή: αν = τότε f ( ) = f ( ). Αν lim f ( ) < lim g ( ) τότε f ( ) < g ( ) κοντά στο.. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ aβ, ] και υπάρχει ( aβ, ) τέτοιο ώστε f ( ) =, τότε f ( a) f ( β ) <. 4. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [, ] υπάρχει ( aβ ) τέτοιο ώστε f '( ) <. β, 5. Αν f ( ) d= a aβ και γνησίως αύξουσα, τότε και η συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν στο [ aβ, ], τότε f ( ) για κάθε [ aβ, ]. Μονάδες Θέµα ο f = ln, > Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε ότι: ( ) β) Να βρείτε το lim f '( ) + ln f ' =, >.. Μονάδες 4

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 Μονάδες γ) Να µελετήσετε τα κοίλα της f και να βρείτε το σηµείο της καµπής της. Μονάδες 8 δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( ) και Θέµα ο = e. ln ίνεται ο µιγαδικός z = e + ( ) i,. α) Να αποδείξετε ότι: Re( z) Im( z) =, τον άξονα και τις ευθείες > για κάθε.. β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ( ), w z z i = + + να είναι πραγµατικός. = e Μονάδες Μονάδες 8 τέτοιος ώστε ο αριθµός γ) Να βρείτε το µιγαδικό z του οποίου το µέτρο να γίνεται ελάχιστο. Θέµα 4 ο ίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο για την οποία ισχύουν ( ) και e f ( ) + f '( ) + ηµ = f '( ) για κάθε. f ) = συν + e f + f = συν για κάθε.. Μονάδες 8 Μονάδες 9 f = α) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι (, και ότι ισχύει ( ) ( ) β) Να βρείτε το lim f ( ) + γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα ( ) δ) Να αποδείξετε ότι: f ( ). π π I= f d. π π d 4. Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 6

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα ο Γ. (Λάθος) (Σωστό) (Λάθος) 4 (Λάθος) διότι από Θ.Μ.Τ. υπάρχει f ( α β ) τέτοιος ώστε f ( ), ( α ) < f ( β ) f ( β ) f ( α ) = > β α διότι α<β και 5 (Λάθος) διότι: αν f ( ) για κάθε [ aβ, ] τότε f ( ) d> Θέµα ο α) Για κάθε >, f ( ) = ( ln ) + = ( ln ) ( ln ) ln = + = + = β) lim f ( ) = lim ln + + = διότι lim = + και lim ln = + + γ) Για κάθε χ>, f ( ) ( ln ) ln ( ) ( ) = = ln ln ln = = = ln ln ln lne < e Είναι e + f () + - F() κυρτή Σ.Κ κοίλη β α

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 δ) ( ) ( ) (,) f e = e ln e = M e το σηµείο καµπής e ln ln ln E = d = d d + / e / e ( ln ) ( ln ) e / e = + = = + ln + e lne e e = 8 + ( ) + e( ) = 8 6 τ.µ. e e ( ) ( ) ( ) e Θέµα ο α) Re( ) Im( ) z > z e > e + > Έστω f ( ) = e +, R. Τότε f ( ) = e + f () + F() H f για χ= παρουσιάζει ελάχιστο το. Άρα f ( ) f ( ) f ( ) > για κάθε R = > δηλαδή β) w = e + ( ) i + e + ( ) i + i = = e + i ( ) e ( ) + e + ( ) i + i = = e + e ( ) + i ( ) e + + Έστω g ( ) = ( ) e + +, [,] Η g είναι συνεχής στο [, ] g ( ) = + = Άρα g ( ) g ( ) < g ( ) = + = Σύµφωνα µε το θεώρηµα Bolzano υπάρχει (,) τέτοιος ώστε ( ) που σηµαίνει ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ( ) πραγµατικός., g = τέτοιος ώστε W να είναι

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 z = e + το οποίο γίνεται ελάχιστο όταν η συνάρτηση γ) ( ) h( ) = e + ( ) έχει ελάχιστο. h ( ) = e + ( ). Προφανής λύση είναι η χ= διότι h ( ) = =. Είναι h ( ) = 4e + >. Άρα η ( ) + h () + H() min Για κάθε χ< ισχύει h ( ) h ( ) ισχύει h ( ) > h ( ) =. Εποµένως η ( ) Συνεπώς ο µιγαδικός z e ( ) i i Θέµα 4 ο α) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) = ( συν ) < = και για κάθε χ> h. h έχει ελάχιστο στο χ=. = + = έχει το µικρότερο µέτρο. e f + e f + f = ηµ e f f Άρα υπάρχει c Rτέτοιο ώστε: ( ) ( ) συν, e f f c + = + R ( ) ( ) e + f = συν + c. f = συν + c = + c c = συν f = R + e συν συν f + f = + = K = συν + e + e συν, R + e + e + e διότι συν lim = + + e lim f = Για χ= είναι ( ) Εποµένως ( ), Έχουµε ( ) ( ) ( ) β) Επειδή + ( ), σύµφωνα µε το κριτήριο παρεµβολής είναι γ) Με ολοκλήρωση των µελών της () παίρνουµε π / π / π / ( ) ( ) f d + f d = συνd () π / π / π /

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 π / d θέτουµε = u οπότε d = du. Στο f ( ) π / Για = π / είναι u= π / και για = π / είναι u = π / π / π / π / f du f u du f u du. Άρα ( ) = ( ) = ( ) π / π / π / Η () γράφεται: / [ ηµ ] ηµπ ηµ ( π ) I + I = π Ι = / / = + = π / Εποµένως Ι=. π δ) Βρίσκουµε την ελάχιστη και µέγιστη τιµή της f στο,. ηµ f ( ) = ( + e ) ( + e ) συν e ηµ = ( + e ) + ( + e ) e συν < 4 για κάθε [, π / ]. Άρα f στο [, π / ] οπότε f ( ) τιµή και f ( π / ) = η ελάχιστη. π / Ισχύει f ( ) απ όπου προκύπτει ότι f ( ) = η µέγιστη π d 4.

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα Α. α) Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σ ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f '( ) =. Μονάδες β) Πότε η ευθεία = λέγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f ; Μονάδες 4 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Μια συνάρτηση f : Α R είναι << >> όταν για κάθε, Α ισχύει η συνεπαγωγή: f ( ) = f ( ) τότε =. lim f g τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα ( ) β) Αν υπάρχει το ( ) ( ) lim f ( ) και lim ( ) g γ) Αν lim f ( ) = + ή τότε ( ). f για τις τιµές του κοντά στο. δ) Αν µια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και δεν παρουσιάζει καµπή σε κανένα σηµείο του, f '' για κάθε. τότε ( ) β f d και a β ε) Αν ( ) = a κάθε [ aβ, ]. f = για < τότε κατ ανάγκη ισχύει ( ) Μονάδες

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Θέµα ίνονται οι µιγαδικοί z και z+ i w= όπου z i. + i z α) Να αποδείξετε ότι: w i = z w + i Μονάδες 5 β) Αν z= και Μ η εικόνα του w στο µιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ ανήκει στον άξονα. Μονάδες 6 γ) Να αποδείξετε την ισοδυναµία: w φανταστικός z φανταστικός. Μονάδες 7 f a > και έστω δ) Θεωρούµε συνάρτηση f συνεχή στο [ aβ, ] µε ( ) z = f ( a) i και w f ( β ) i =. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει µια τουλάχιστον λύση στο (α,β). Θέµα Μονάδες 7 ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e a όπου a>. α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης, f. ( ) της f στο σηµείο ( ) Μονάδες 4 β) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο είναι αρνητικό. Μονάδες 8 γ) Έστω ( a) παράσταση της f, την εφαπτοµένη της στο, ( ) = a>. Ε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική i) Να αποδείξετε ότι: ( ) ii) Να βρείτε το lim ( a) a + a a Ε a = e a. Ε. ( ) f και την ευθεία Μονάδες 7 Μονάδες 6

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Θέµα 4 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R µε f ( ) > και έστω ( ) ( ) g = t f t dt, t, R. Να αποδείξετε ότι: g t f t dt για κάθε. α) ( ) = ( ) β) Η g είναι συνεχής στο =. γ) g ( ) ( ) < f t dt για κάθε >. δ) Αν ( ) = ( ) Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 7 t f t dt t f t dt τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιος ώστε: g ( ξ ) f ( ξ ) =. Μονάδες 6

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα Β) α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος Θέµα z + i i w i α) iz z + i i i z z = + = = = z w + i z + i + z + i + i + i z i + iz β) Λόγω (α) ερωτήµατος έχουµε: w i = w + i. Αν w= + yi τότε ( ) ( ) + yi i = + yi + i + y i = + y + i ( ) ( ) + y = + y + + y y + = + y + y + y = Άρα το σηµείο Μ ανήκει στον. z + i z i γ) w I w = w = + iz iz z + i iz = + iz z i ( )( ) ( ) ( ) z + i iz z + z = ( z + iz z i + z) z + i iz z + z = z iz z + i z z = z z = z z I. f ( a) i + i f ( a) + f β i = f ( β ) = < + i f a f a δ) Έχουµε ( ) διότι f ( a ) > ( ) ( ) Άρα f ( a) f ( β ) <. Η f είναι συνεχής στο [ aβ, ]. Σύµφωνα µε το θ. Bolzano η εξίσωση f ( ) = έχει µια τουλάχιστον λύση στο ( aβ, ).

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Θέµα α) f '( ) = e a οπότε f ( ) ' = a ε : y f () = f '()( ) y = ( a) β) Είναι f ( ) e a ln a - lna + f ( ) - + f ( ) Η f στο = ln a παρουσιάζει ελάχιστο το ( ) ln a Επειδή ( ) g a = e aln a = a aln a g ' a = lna = lna < για κάθε a (, + ) και g συνεχής στο [, + ) η g είναι στο [, + ) οπότε για κάθε a > ισχύει ga ( ) < g () = a γ) i) ( ) = ( ) ( ) E a f a d. Επειδή η f είναι κυρτή διότι f ''( ) = e > και η ψ ( α ) = εφαπτοµένη της f ισχύει : f a για κάθε R ( ) ( ) a Άρα ( ) = ( + ) = ( ) E a e a a d e d = e = E a ii) ( ) e a e a a a τ.µ. a e = a. Είναι a a a a a ( ) e e a lim e a = lim ( ) c στο, ( ) a ( ) ( ) e a + a a + a = lim = lim = lim = +. Εποµένως lim E ( a) α + a a + ( α ) α + a + a f, = +

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Θέµα 4 α) Θέτουµε t u t dt = du dt = du οπότε για κάθε είναι dt= du Για t= είναι u = και για t = είναι u=. u Άρα g ( ) = f ( u) d = u f ( u) du Επειδή το ολοκλήρωµα είναι ανεξάρτητο της µεταβλητής ολοκλήρωσης, έχουµε. g ( ) = t f ( t) dt, = τότε ( ) β) Η g είναι συνεχής στο, g = t f dt= f t dt= Είναι ( ) ( ) ( ) Επειδή (Η ( ) lim = όταν lim g ( ) g ( ) =. t = f ( ) f ( ) = και t f ( t) dt ( ) lim = t f t dt= t f t dt είναι παραγωγίσιµη, άρα και συνεχής) σύµφωνα µε το θ. De L Hospital έχουµε t f ( t) dt lim g ( ) lim f f f = = lim = lim = ( ) ( ) ( ) ( ) διότι η f είναι συνεχής στο = Άρα lim g ( ) = g ( ) που σηµαίνει ότι η g είναι συνεχής στο = γ) Για κάθε > η ανισότητα γράφεται: t f ( t) dt < f ( t) dt ( ) t f t dt < f ( t) dt t f ( t) dt < f ( t ) dt ( ) ( ) Έστω η συνάρτηση: ( ) ( ) ( ) t f t dt f t dt < h = t f t dt f t dt,

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 4 ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) h f f t dt f διότι από ( ) ( ) f t > προκύπτει ότι: f t dt> για κάθε χ>. f t dt < για κάθε χ>. Η h είναι συνεχής στο [,+ ) (πράξεις συνεχών συναρτήσεων) Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ). Εποµένως για κάθε χ> ισχύει h( ) < h( ) Αλλά h ( ) ( ) g ( ) < για κάθε χ>. = t f t dt= συνεπώς δ) Η g είναι παραγωγίσιµη στο [, ] και ισχύει: ( ) ( ) ( ) g = t f t dt = t f t dt + t f ( t ) dt = 4 4, t f ( t ) dt = g ( ). Σύµφωνα µε το Θ. Rolle υπάρχει ξ ( ) τέτοιος ώστε ( ) Με παραγώγιση των µελών της ( ) = ( ) g t f t dt έχουµε: g ( ) g '( ) f ( ) g ( ) g '( ) f ( ) προκύπτει: g ( ξ ) + ξ g '( ξ ) = f ( ξ ) g( ξ ) = f ( ξ ) g ' ξ =. + = + = οπότε για = ξ

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θέµα ο Α. α) Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Fermat. Μονάδες 4 β) Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και f ' > για κάθε εσωτερικό σηµείο του. ισχύει ( ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος.. Αν για µια συνάρτηση A R f : ισχύει ( ) f κ όπου κάθε Α, τότε το κ είναι η µέγιστη τιµή της f. κ R για. Αν υπάρχει το lim f ( ) =, τότε υπάρχει το όριο της ( ) και είναι f ( ) lim =. f στο. Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν f ( a ) f ( β ) < και f ( ) για κάθε ( a, β ), τότε η f δεν είναι συνεχής στο [ a, β ]. 4. Αν για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστηµα ισχύει ( ) = ' ( ) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε f ( ) = g ( ) f ' g για κάθε. 5. Αν για µια συνάρτηση f υπάρχει παράγουσα στο διάστηµα, τότε για κάθε λ R ισχύει: λ f ( ) d = λ f ( ) d 6. Αν οι συναρτήσεις,. f g είναι συνεχείς στο [, ] a β και ισχύει f ( ) < g ( ) για κάθε [ a, β], τότε ( ) < ( ) β f d g d. a β a Μονάδες

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Θέµα ο Έστω η συνάρτηση f ( ) = ( + a) e. Αν η ευθεία y = +, R εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σηµείο (, f ( )) α) Να αποδείξετε ότι: a=. β) Να µελετήσετε τη µονοτονία της f. γ) Να υπολογίσετε τα όρια: lim f lim f i) ( ) ii) ( ) + δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 7 Μ τότε: Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 6 f = έχει ακριβώς µια λύση στο R. Μονάδες 6 Θέµα ο ίνονται οι µιγαδικοί z, w µε z w για τους οποίους ισχύει: Να αποδείξετε ότι: α) ( z w ) Re =. z + w = z w. Μονάδες 6 β) Ο αριθµός z w είναι φανταστικός. Μονάδες 5 γ) Το τρίγωνο µε κορυφές τις εικόνες των z, w στο µιγαδικό επίπεδο και την αρχή Ο των αξόνων, είναι ορθογώνιο στο. Μονάδες 7 a β µε < a< β και δ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [, ] z = a + i f ( a ), w = f ( β ) βi τότε η εξίσωση f ' ( ) = f ( ) έχει µια τουλάχιστον λύση στο ( a, β ). Θέµα 4 ο ίνεται η συνάρτηση g ( ) = d t όπου t, R. + t α) Να µελετήσετε ως προς τα κοίλα τη συνάρτηση g. + β) Να αποδείξετε ότι: g ( ) γ) Να αποδείξετε ότι: g ( ) g ( ) για κάθε + = για κάθε R. Μονάδες 7 Μονάδες 4 Μονάδες 7 Μονάδες 6

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 δ) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, τον άξονα και τις ευθείες =, = είναι Ε = g ( ) ln τ.µ. Μονάδες 8 Καλή Επιτυχία στις Γενικές εξετάσεις

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα ο Β.. Λάθος. Σωστό. Σωστό 4. Λάθος 5. Λάθος 6. Σωστό Θέµα ο α) ' ( ) = ( + ) = ( ) = ( + ) f e a e a e a e f ( ) = a και f ' ( ) = a ε : y a = a y = a + a η εξίσωση της εφαπτοµένης στο (, f ( )) Μ. Ταυτίζεται µε την y = + όταν a = και a= δηλαδή όταν a=. β) Για f e a= είναι ( ) = ( + ) και ( ) ( ) f ' = + e < για κάθε R διότι + < και e > για κάθε R. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. ( ) γ) lim ( ) lim ( ) διότι lim ( ) = + = + f e e + = + και lim = + ( + ) + + + ( + ) e ( e )' ' lim f ( ) = lim ( ) e + = lim = lim = + + + + + ( ) + ' = lim = lim = lim = + e + ' + e ( e ) δ) Από (β) και (γ) συµπεραίνουµε ότι το σύνολο τιµών της f ( ) είναι f ( Α ) = (, + ) το οποίο περιέχει το 7. Η f ( ) στο R, άρα η εξίσωση f ( ) = 7 έχει ακριβώς µια ρίζα στο R.

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Θέµα ο α) z + w = z w... z w + z w = = z w + z w = ( z w ) ( z w ) Re = Re = β) Ισχύει z w + z w = (ερώτηµα (α)) z w = z w. ιαιρούµε µε ww = w και έχουµε z = z που σηµαίνει ότι z w w w φανταστικός. γ) Αν Α, Β οι εικόνες των, ΟΑ = z, ΟΒ = w και ( ΑΒ ) = z w. ( ) z w τότε ( ) ( ) Αρκεί ότι ( ΟΑ ) + ( ΟΒ ) = ( ΑΒ) ( z w ) Re = ισχύει. z + w = z w... β µέθοδος uuur uuur uuur uuur Η ισότητα z + w = z w γράφεται ισοδύναµα OA + OB = OA OB uuur uuur uuur uuur ( OA + OB ) = ( OA OB ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB + OA OB = OA + OB OA OB... uuur uuur OA OB = Άρα AOB= 9 γ µέθοδος Αν Γ η 4η κορυφή του παραλληλόγραµµου µε πλευρές ΟΑ και ΟΒ, τότε ΟΓ = + και ( ΑΒ ) = z w επειδή z + w = z w είναι ( ) z w ( ΟΓ ) = ( ΑΒ ). Εποµένως ΟΑΓΒ ορθογώνιο. δ) Είναι z w = a + i f ( a ) f ( β ) + βi = a f ( β ) β f ( a ) + a β + f ( a ) f ( β ) i f ( a ) f ( β ) οπότε Re ( z w ) = a f ( β ) β f ( a ) = =. a β Θα αποδείξουµε ότι έχει µια τουλάχιστον λύση στο ( a, β ) η εξίσωση f ( ) ( ) ( ) f ' f =... ' =. Εφαρµόζεται το Θ. Rolle για f ( ) την h ( ) = στο [ a, β ], άρα υπάρχει ( a, β )...

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Θέµα 4 ο α) g ' ( ) = και g' ' ( ) + + g + - "( ) ( ) g β) Για = ( + ) Σ. Κ. g. Ισχύει η ισότητα = είναι ( ) Για κάθε > εφαρµόζεται το Θ.Μ.Τ. στο [ ] g ( ) g ( ) g ( ) ξ (, ) τέτοιος ώστε g ' ( ξ ) g ' ( ξ ) +, + και [ ) < ξ< (ερώτηµα α) β µέθοδος Θα αποδείξουµε ότι: g d t + + t + ( ) Έστω ( ) ( ) h, οπότε υπάρχει = = Έχουµε g ' ( ) g ' ( ξ ) g ' ( ). Ισχύει διότι ' ( ) h = d t, + t + ( + ) + + + = = = = > ( ) ( ) + + + g στο για κάθε (, + ) και h συνεχής στο [, + ). Άρα h ( ) στο [ ) Όµοια αποδεικνύουµε ότι : g ( ), +. Εποµένως για κάθε h g g d t d t + t + t γ) Έστω ( ) = ( ) + ( ) = + ' = + + = Για Είναι h ( ) ισχύει h ( ) h ( ) για κάθε [, + ).. άρα h ( ) = c = είναι h ( ) =. Εποµένως ( ) β µέθοδος Είναι g ( ) + g ( ) = d t + d t + t + t Στο g ( ). θέτουµε t = u τότε d t = d u Άκρα ολοκλήρωσης h =, για κάθε R. =.

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 4 Για t=, u= και για t=, u=. g d t d u + t + u Άρα ( ) = = δ) Αφού f ( t ) Εποµένως = + t > τότε g ( ) = d t>. Άρα + t ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) Ε = g d = g d = g g d = ( ) = g ( ) d = g ( ) ln ( + ) ' d = + ( ) ( ) ( ) = g ln + = g ln τ.µ. 4

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο Α. α. Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () = g () για κάθε εσωτερικό σηµείο του, να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: f () = g() + c ΜΟΝΑ ΕΣ 6 β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () = ν, ν IN {, } είναι παραγωγίσιµη στο IR και ισχύει: f () = ν ν ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Β. Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί z, z. Να χαρακτηρίσετε καθεµιά από τις επόµενες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασµένη (Λ): α. Η διανυσµατική ακτίνα του αθροίσµατος των z και z είναι το άθροισµα των διανυσµατικών τους ακτίνων. ΜΟΝΑ ΕΣ β. Είναι: z + z= z+ z γ. Είναι: z z z + z z + z ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ δ. Η εξίσωση z z = z z µε z z παριστάνει τη µεσοκάθετο του τµήµατος µε άκρα τα σηµεία Α(z ) και Β(z ). ΜΟΝΑ ΕΣ

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 Γ. Έστω η συνάρτηση F() = f(t) dt, όπου f η συνάρτηση του διπλανού σχήµατος που η γραφική της παράσταση αποτελείται από τα ευθύγραµµα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ. Το εµβαδό του γραµµοσκιασµένου χωρίου Ω είναι Ε(Ω) = 6 τ.µ. Να συµπληρώσετε τις ισότητες: α. F() = β. F(4) = γ. F() = y B 4 A Ω Ο 4 ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f µε ηµ + λ, αν > f() = µε λ, µ IR (µ ) +, αν α. Να βρείτε την τιµή του λ, ώστε η f να είναι συνεχής. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 β. Να βρείτε την τιµή του µ, ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη στο =. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 γ. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι -. δ. Για λ = και µ =, να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα f() d. π ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ 8 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f µε f () = e e, IR. α. i. Να την µελετήσετε ως προς την µονοτονία. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 + e ii. Να αποδείξετε ότι f () = (e ) e, να µελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε το σηµείο καµπής της γραφικής της παράστασης. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 β. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της f. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 γ. Να παραστήσετε γραφικά την f. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 δ. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f (), τους άξονες, y y και την ευθεία = ln. ΜΟΝΑ ΕΣ 6

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ 4 ο Οι συναρτήσεις f, g: IR IR είναι συνεχείς και για κάθε πραγµατικό αριθµό ισχύουν: Να αποδείξετε ότι: f(t) dt = g(t) dt () και g() () α. Η f είναι παραγωγίσιµη στο = και f () = g() β. g() < για κάθε IR γ. f(t) dt f(t) dt για κάθε IR ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 7 δ. H εξίσωση f () = g() + έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο διάστηµα (, ). ΜΟΝΑ ΕΣ 7

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο Α. α. Βλέπε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέπε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ). Γ. α., β. 8, γ. 44 ΘΕΜΑ ο α. Η f είναι συνεχής για <, ως πολυωνυµική και για >, ως άθροισµα της τριγωνοµετρικής ηµ µε την σταθερή c() = λ. Στο = έχουµε: lim f() = + lim f() lim (ηµ + λ) = λ + lim ((µ ) + ) = = Ακόµα f()=. Για να είναι η συνάρτηση συνεχής στο = πρέπει και αρκεί: lim f() + = lim f() = f() λ = Εποµένως, η ζητούµενη τιµή είναι λ =. β. Για > έχουµε: f() f() lim+ ηµ + λ ηµ + = lim = lim = lim + + + ηµ = Για < έχουµε: f() lim f() (µ ) + = lim (µ ) lim = = µ Για να είναι η συνάρτηση παραγωγίσιµη στο = πρέπει και αρκεί: f() f() f() f() lim = lim µ = µ = + Εποµένως, η ζητούµενη τιµή είναι µ =. γ. Είναι π.χ. f (π) = f(π) = λ, άρα η συνάρτηση δεν είναι.

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 δ. Είναι και ηµ +, f() = +, αν > αν π ΘΕΜΑ ο π f() d = f() d+ f() d= (+ ) d+ = + + [ συν + ] π = π + π (ηµ+ ) d= α. i. Για κάθε IR είναι : e f () = (e )' = ( e )' e e = e e e = e + e + Επειδή e e > είναι f () < στο IR, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο IR ii. Για κάθε IR είναι: f () = ( e + e )' = (+ e )' e + e = ( e ) e + e = (e ) e + e Έτσι:f () = (e + ) e e = e = e = = και f () > >, f () < < H f είναι συνεχής στο IR µε f () < στο διάστηµα (, ), άρα στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστηµα (, ]. Ακόµα είναι f () > στο διάστηµα (,+ ), άρα η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [, + ). Τέλος, η συνάρτηση έχει σηµείο καµπής το (, f ()), γιατί εκατέρωθεν του αλλάζει κυρτότητα και υπάρχει η εφαπτοµένη της γραφικής της παράστασης σ αυτό, αφού είναι παραγωγίσιµη. Είναι f () = e = e = έτσι, η συνάρτηση έχει σηµείο καµπής το (, ). β. Θα βρούµε, αν υπάρχουν, τα όρια: e e lim f() = lim (e ) και lim f() = lim (e ) + + Θέτουµε u = e οπότε: Τότε είναι: lim u= lim (- e ) = και lim u= lim (- e ) = - = + + και -e lim f() = lim (e ) = lim e u = + + u

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 lim f() = lim (e e u ) = lim(e ) = e Εποµένως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει οριζόντια ασύµπτωτη την y = στο + και την y = e στο. γ. Με βάση τις πληροφορίες των προηγουµένων ερωτηµάτων σχεδιάζουµε την γραφική παράσταση της συνάρτησης: u y y = e e Ο y y = + f () f () + f () e δ. Στο α ερώτηµα βρήκαµε f () <, οπότε f () = f () και έτσι: E = = f ' () d = f ' () d ln e ΘΕΜΑ 4 ο e + ln / e e = +e = [ ()] ln ln τµ f = f() + f ln = α. Επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς, οι συναρτήσεις f(t) dt και g(t) dt, που ορίζονται από ολοκλήρωµα, είναι παραγωγίσιµες, έτσι µπορούµε να παραγωγίσουµε και τα δύο µέλη της (), οπότε έχουµε: ( f(t) dt )' = ( g(t)dt)' ή f () = g() + g(t) dt () Για = παίρνουµε: f () = + Με από την () έχουµε: g(t) dt = και: f() = g() + g(t)dt

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 4 lim f() = lim g() + g(t)dt Επειδή η g είναι συνεχής στο IR, άρα και στο =, είναι lim g( ) = g(). Η συνάρτηση h() = =, οπότε: Εποµένως, το όριο: lim g(t) dt, IR, είναι παραγωγίσιµη, άρα είναι συνεχής στο g(t)dt= lim h() = h() = lim g(t)dt g(t)dt= είναι µορφή / και υπολογίζεται µε τον κανόνα του De L Hospital: Έτσι: οπότε, τελικά: lim lim f '() g(t)dt ( = lim f() = lim g() + f() f() = lim = lim g(t)dt)' g() = lim = g() ()' g(t)dt = g() f() β. H () για = δίνει = g(t) dt (4) = g() Επειδή η g() δεν µηδενίζεται και είναι συνεχής στο IR διατηρεί πρόσηµο σ αυτό. Αν ήταν g() > τότε g(t)dt > > Άτοπο. Άρα είναι g() <, για κάθε IR. γ. H () για = δίνει f(t) dt = f(t) dt = (5) Είναι g() < g() > για κάθε IR, έτσι: µε είναι [ g(t)]dt g(t)dt, άρα: g(t) dt µε < είναι [ g(t)]dt > g(t)dt >, άρα: g(t) dt < Εποµένως, για κάθε IR από την () είναι: g(t) dt f(t) dt 4

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 5 f(t) dt [ f(t) dt = από (5)] f(t) dt f(t) dt ος τρόπος: Έστω η συνάρτηση F() = f(t) dt, IR για την οποία F () = f (). Από την (), αφού g() <, βρίσκουµε: µε > είναι f () = g() + g(t) dt < F () < µε = είναι f () = F () = µε < είναι f () = g() + g(t) dt > F () > οπότε η F() έχει µέγιστο το F(), άρα για κάθε IR : F() F() f(t) dt f(t) dt δ. (Απόδειξη µε Rolle σε αρχική). Θεωρούµε την συνάρτηση: Η() = f(t) dt g(t)dt µε [, ] Επειδή οι f, g είναι συνεχείς, οι συναρτήσεις f(t) dt και g(t) dt ως οριζό- µενες από ολοκλήρωµα, είναι παραγωγίσιµες. Ακόµα η είναι παραγωγίσιµη, ως πολυωνυµική, άρα η Η(), ως αλγεβρικό άθροισµα παραγωγίσιµων συναρτήσεων, είναι: Παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της, άρα και στο (, ) µε Η () = f () g() συνεχής στο [, ], ως παραγωγίσιµη σ αυτό. Ακόµα: Η() = και Η() = f(t) dt g(t)dt f(t) dt g(t)dt = ( ) = [ από (4) και (5) ] Εποµένως, εφαρµόζεται για την Η() το θεώρηµα του Rolle, οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) µε Η (ξ) = f (ξ) g(ξ) = f (ξ) = g(ξ) +, που σηµαίνει ότι το ξ είναι ρίζα στο (, ) της εξίσωσης f () = g() +. 5

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να δείξετε ότι: f ( ) = Μονάδες 9 Β.. Πότε η ευθεία ψ = λ + β λέγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες. Πότε µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]; Μονάδες Γ. Να χαρακτηρίσετε καθεµιά από τις επόµενες προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασµένη (Λ):. Ισχύει lim f ( ) = l lim f ( + h) = l h Μονάδες lim =. Αν <α< τότε a. Μονάδες. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] τότε η f έχει υποχρεωτικά ολικά ακρότατα τα f(α) και f(β). Μονάδες 4. Για τις συναρτήσεις f και g που έχουν συνεχείς παραγώγους στο [α,β] ισχύει: β a a [ ] f ( ) g ( ) d f ( ) g( ) d = f ( ) g( ) β β a Μονάδες 5. Αν για κάθε στοιχείο ψ του συνόλου τιµών της f(), η f(χ)=ψ έχει λύση ως προς τότε η f είναι -. Μονάδες

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση z + z =, z C και z, z οι ρίζες της. Να αποδείξετε ότι: A. z z = και z =. B. (z 9 + z 9 ) R. Μονάδες 4 Μονάδες 4 Γ. z 8 + z + = Μονάδες 4. Αν f() συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [,] µε z z f()-= + και f()= z z + z z τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον (,), ώστε f( )=. Μονάδες 7 Ε. Αν Γ είναι η εικόνα του µιγαδικού w = z + z και Α, Β οι εικόνες των z και z αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f() = + +ln. Α. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία και να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία είναι κυρτή ή κοίλη. Μονάδες 6 Β. Να βρείτε το σύνολο τιµών και το πλήθος των ριζών της f. Μονάδες 6 Γ. Αν ln g ( ) = να δείξετε ότι υπάρχει > ώστε: + g() g( ) για κάθε >. Μονάδες 7. Να δείξετε ότι για κάθε > ισχύει: f( ) < f( + ) f( + 4). Μονάδες 6

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω συνάρτηση f ορισµένη και παραγωγίσιµη στο (, + ) για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f ( ) = + e και f() = e Α. Να δείξετε ότι f() = e -/. Μονάδες 8 Β.. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f() στο σηµείο µε τετµηµένη =. Μονάδες. Να δείξετε ότι f ( ) d >. e Μονάδες 7 f ( ) Γ. Αν g() =, να βρείτε το εµβαδόν Ε(t) του χωρίου που περικλείεται από τη Cg, τον και τις ευθείες = και =t µε t>. Μονάδες 5 lim. Να βρείτε το E(t). t + Μονάδες

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Σχολ. Βιβλίο σελ. 6 Β.. Σχολ. Βιβλίο σελ. 8. Σχολ. Βιβλίο σελ. 9 Γ.. Σ. Λ. Λ 4. Σ 5. Λ ΘΕΜΑ ο Α. z + = z + = z z + z + = µε z z= (τύποι Vieta) z ή + i i = = = = -4.. - z και z και ( ) z + z + = z + z + z = z = z + z = ή z = + i =... 9 9 9 Β. Οι αριθµοί z και z συζυγείς οπότε z = z = z 9 9 z + σαν άθροισµα συζυγών Άρα ( ) R z z + + = z + z + = z. z + z z+ = z + z+ = 8 8 z Γ. ( ) ( ). Έστω g( ) = f ( ) +, συνεχής στο [,] σαν άθροισµα συνεχών (f παραγωγίσιµη οπότε και συνεχής και + συνεχής ως πολυωνυµική µε ( z z ) z z ( ) z z z + z +. () = f () + = + + + = + 4 = + 4 = + 4 = > g z z zz zz z + z 5 5 και g() = f () + = + = = = < z z 4z z 4

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Άρα από το Θεώρηµα Bolzano υπάρχει (,) ώστε g ( ) = f ( ) + = f ( ) = Ε. w = (z +z )=(-)=- δηλαδή Γ (-,), και Α, 9 ΓΑ = + + = + = 4 4 ΓΒ = + + = Άρα ΓΑ = ΓΒ -, Β, τότε ΘΕΜΑ o Α. f ( ) + + ln = µε π.ο. D = (,+ ) f ( ) = + > f (, + ) f ( ) = < f κοίλη στο (, + ) f Β. lim f ( ) lim( + + ln ) = + = + = + > = ( + + ) = + + + = + δηλαδή f(α)= (, + ) + f (A έχει η f()= ρίζα στο (,+ ) lim f ( ) lim ln + Αφού το ) f (,+ ) Γ. Θέλω g() g( ) δηλαδή η g να έχει ελάχιστο στο. Έχω g ()= ( ln + )( + ) ln ln + ln + = ( + ) ( + ) ln + + = = Αν f ( ) ( + ) ( + ) f ( ) g ( ) = = f ( ) = ( + ) + ln =, µοναδική γιατί

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 άρα η g() έχει ελάχιστο στο δηλαδή g ) g( ) (. Θέλω f(-)<f(+)-f(+4) f(+4) f(+)<f(+)-f(-) f ( + 4) f ( + ) f ( + ) f ( ) < ( + 4) ( + ) ( + ) ( ) έχω από Θ.Μ.Τ. ότι υπάρχουν ξ, ( +, + 4) και ξ (, + ) ώστε ( f ( + 4) f ( + ) ( ) ( ) f ξ ) = ( + 4) ( + και ) ( f + f f ξ ) = ( + ) ( δηλαδή θέλω ) f ( ξ ) < f ( ξ ) Όµως f κοίλη στο (,+ ) δηλαδή (, + ) f και< - < ξ <+<ξ <+4 Θα είναι f ( ξ ) > f '( ) δηλαδή ισχύει το ζητούµενο. ' ξ ΘΕΜΑ 4 o Α. Για κάθε (, + ) είναι: f ( ) = + - e f ( + ) = (- e _ f ( ) = e + c Για = είναι f() = e + c c= _ Άρα f ( ) = e ) [f ( _ )] = (e Έστω = ω τότε = ω, ω (, + ). Άρα f(ω) = ωe -/ω Τελικά f() = e -/ (, + ). ) η λύση: f ( ) = +, > e Θέτω = ω = ω > Άρα f (ω) = ( ω +) e -/ω f (ω) = (ω e -/ω ) f(ω) = ω e -/ω + c Για = είναι ω = άρα f() = e - + c c = Άρα f(ω) = ω e -/ω, ω> ή f() = e -/, >

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 4 Β.. Είναι f () = e -/ + e -/ f () =, f() = e e Η εφαπτοµένη στο = είναι: y f() = f ()(-) y = e - e = e -/ ( + ) (ε). Είναι: f () = e -/ > για >. Άρα η f() είναι κυρτή στο (, + ) και η C f βρίσκεται πάνω από την (ε) εκτός του σηµείου επαφής. Είναι f() e -e f() - e +e για κάθε [,] Άρα (f() - +e )d > e f()d + [- e +e ] > f()d + f()d - > e (- e +e )d > f()d > e f ( ) Γ. g() = t Άρα Ε = _ e > στο [,t] = t g()d = e -/ d = [e -/ ] t = e -/t - e - τ.µ.. lim t + t ω = lim ( e e ) = ( e e ) = e t + ω E( t) lim (Έστω - t =ω, όταν t + τότε ω ) 4

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ ο Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστηµα [α, β]. Αν G είναι µία β παράγουσα της f στο [α, β], τότε f ( t) dt = G( β ) G( α ). B.. B.. α (Μονάδες ) Πότε λέµε ότι µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της. (Μονάδες ) Να δώσετε την γεωµετρική ερµηνεία του παράγωγου αριθµού στο σηµείο Μ, f της γραφικής παράστασης της f. ( ( ) (Μονάδες ) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Αν z z + = και z, z C αναγκαστικά z =z =. g α lim g α lim f y = l τότε β) Αν ( ) κοντά στο µε ( ) = και ( ) ( ( )) lim f g = l. γ) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β] και ( ) συνάρτησης, τότε κατ ανάγκη θα είναι f ( β) =. y α f β µέγιστη τιµή της δ) Αν µία συνάρτηση f είναι κυρτή και δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα, τότε f ( ) >. ε) Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, 5 ] και f ( ) στο [ ] f d. τότε ( ) 5, 5, (Μονάδες )

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ ο + w Οι µιγαδικοί αριθµοί z, w συνδέονται µε τη σχέση z = και η εικόνα του w w Κ και ακτίνα ρ =. ανήκει στον κύκλο µε κέντρο (,) α) Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο µε κέντρο το Ο(, ) και ακτίνα ρ =. (Μονάδες 6) β) Αν z= () και z, z, z οι εικόνες τριών µιγαδικών αριθµών για τους οποίους ισχύει η σχέση () να δείξετε ότι: z+ z z+ z z+ z i) Ο αριθµός α= + + είναι πραγµατικός. z z z (Μονάδες 7) ii) Αν επιπλέον z +z +z = τότε να αποδείξετε ότι: z z z Re + + = z z z (Μονάδες 7) γ) ίνεται η ευθεία (ε): + 4y =. Να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων του µιγαδικού w από την ευθεία (ε). (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ ο Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f :(, ) + ισχύουν f ( ) = f ( ) e + και ( ) f =. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) = e + είναι -. β) Να δείξετε ότι f ( ) ln = για κάθε >. γ) Να µελετήσετε τη συνάρτηση h( ) βρεθεί το σύνολο τιµών της. + R τέτοια, ώστε για κάθε > ( ) (Μονάδες ) (Μονάδες 6) f = ως προς την µονοτονία και να (Μονάδες 6)

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ συν ηµ ηµ δ) Να λύσετε την εξίσωση συν π = αν e e,. (Μονάδες 5) ε) Να εξετασθεί η h ως προς κυρτότητα και να δείξετε ότι για κάθε, µε h( ) h( ) > > ισχύει. 5 e (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 4 ο Έστω συνάρτηση f : R R η οποία είναι παραγωγίσιµη και τέτοια, ώστε u ( ) f t dt du 6 για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: α) f ( t) dt=. (Μονάδες 7) β) Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α (, f ()) είναι η ευθεία 4 + y = να υπολογίσετε το γ) Αν για κάθε ισχύει f ( ) > και ότι για κάθε > ισχύει h( ) h ( ) >. t f ( t) dt lim. 4 (Μονάδες 5) h( ) = f ( t) dt, να αποδείξετε δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) f ( ξ ) + = ξ. (Μονάδες 7) ξ τέτοιο, ώστε (Μονάδες 6)

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο σελ.4. Β.. σελ.. Β.. σελ.. Γ. α Λ β Σ γ Λ δ Λ ε Σ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο + w z = w z w = + w w w + zw = z w( + z) = z z z w = ( z ) w + = + z + z + z + z + z + w + = = z + z +. Από την υπόθεση w+ =. Άρα z + w + = = z + = z + z + α) Έχουµε ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) z + = z + z + z + = z + z + z zw = + w 4zz + z + z + = zz + z + z + 4 z = z =. β) i) Έχουµε z = z = zz = z =, z =, z = z z z Επειδή z R z = z (Πρέπει να αποδειχθεί) αρκεί να δείξουµε ότι α= α.

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ii) Οπότε γ) ος Τρόπος z z z z z z z z z z z z α + + + ɶ z z z z z z z = + + + + + = z z z z z + + + + + = z z z z z z z z z z z z z+ z z+ z z+ z = + + = α. z z z z z z z z z + + + + + z z z z z z z z z Έχουµε Re + + = = z z z z z z z z z z+ z z z z z + + + + + + + + + z z z z z z z z z = = z z z z z z = = = + + = + + + + + = z z z z z z z z z Έχουµε ( ) + 4 5 d ( Kε, ) = = = + 4 5 Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι: AM = d K, ε ρ = = και ( ) ( ) µέγιστη ( ) ( ) ος Τρόπος BM = d K, ε + ρ= + = 4. 4 ε δ λ δ βρούµε το Μ λύνουµε το σύστηµα Έχουµε( ) ( ) =. Άρα ( ) ( ) + 4y = 4 (, y) =, άρα M 4 y + 4 = 5 5 ( KM ) 4 5 = + + = = 5 5 5 4 δ : y = + 4 y + 4 =. Για να 4, 5 5

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι: ( AM ) = ( KM ) ρ = = και µέγιστη ( BM ) = ( KM ) + ρ = + = 4. ΘΕΜΑ ο α) Είναι g( ) = e + (). Τότε g ( ) e Άρα η συνάρτηση g είναι ως γνησίως αύξουσα. = + > για κάθε (, ) β) Έχουµε + f ( ) f ( ) = f ( ) ( )( e + ) = + f e + f ( ) f ( ) e f f ( ) + ( ) = + ( e + f ( ) ) = ( + ln ) f ( ) e + f = + ln + c. ( ) Για = έχουµε f () e + f () = + c µε c =. Άρα f ( ) ln ( ) ln ln ( ( )) = ( ln ). Αλλά η g είναι -. Άρα f ( ) ln e + f = + = e + και λόγω της () έχουµε g f g γ) Είναι h( ) Τότε h ( ) ( ) f =. ( ln ln ) ln = = =. h = ή ln = ή ln= ή = e Αν ( ) e h () h() + Έχουµε h h( e ) + =. +. H h είναι γνησίως αύξουσα για κάθε (, e H h είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε [ e, + ) lne ma = = = e e Πεδίο τιµών : lim h( ) = lim ( ln ) = ( + )( ) = + +

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 4 ln ( ln ) lim h( ) = lim = lim = lim =. + + + + ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) h A = lim h( ), h e lim h( ), h e =,,,. = + + e e e συν ηµ ηµ συν δ) Έχουµε =. e e π Για κάθε, ισχύει ηµ, συν > > e e Λογαριθµίζουµε τη σχέση και έχουµε: συν ηµ ηµ συν ηµ συν ln = ln συν ln = ηµ ln e e e e ln( ηµ ) ln( συν) συν ( ln( ηµ ) lne) = ηµ ( ln( συν) lne) = ηµ συν h( ηµ ) = h( συν ) () π Για κάθε, ισχύουν οι σχέσεις < ηµ <, < συν < και (,) (,e ). Η h είναι - ως γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (,e. Από τη () έχουµε π ηµ = συν ή εφ = ή =. 4 ln h = και ( ln ) 4 ln ( ln 5) ln 5 h ( ) + = = = = 4 4 4. 5 5 h ( ) = ή ln 5 = ή ln= ή = e. 5/ Η h είναι κοίλη στο διάστηµα (,e e 5/. h () ++ Η h είναι κυρτή στο διάστηµα e 5/, + ). h () ε) Έχουµε ( ) 5 5/ 5/ ln e h min ( e ) = = =. 5 5 e e 5/ ( e ) 4

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 Τότε ΘΕΜΑ 4 ο h ( ) για κάθε >. 5 e, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Η h είναι συνεχής στο [ ] Η h είναι παραγωγίσιµη στο (, ) ως πηλίκο παραγωγίσιµων ln συναρτήσεων µε h ( ) =. Από το Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον h( ) h( ) ξ (, ) ώστε h ( ξ ) = (). Αλλά για κάθε > εποµένως και για το ξ > ισχύει h ( ξ ) (4). 5 e h( ) h( ) Από τις () και (4) έχουµε. 5 e u α) Θεωρούµε την συνάρτηση g( ) = f ( t) dt du + 6. g g και η g παρουσιάζει ελάχιστο για =. Έχουµε g() =. Τότε ( ) ( ) g = f t dt Από το Θεώρηµα Fermat ισχύει g ( ) =. Αλλά ( ) ( ) και για = έχουµε g ( ) = f ( t) dt - = ή ( ) β) Για = και y = f() έχουµε 4 + f ( ) = f ( ) = και f ( ) = 4. Έχουµε : 4 ( ) f t dt=. ( ) t f ( t) dt t f t dt f ( ) - lim lim lim 4 DLH = = = 4 f ( ) f ( ) f () 4 = lim = lim = f ( ) = =. 4 4 4 4 γ) ος Τρόπος Για κάθε > η ανίσωση γίνεται: h > h h h > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Θέτουµε K ( ) = ( ) h ( ) h( ) = ( ) f ( ) h( ) για [, ) +. Έτσι έχουµε K ( ) = f ( ) + ( ) f ( ) h ( ) = f ( ) + ( ) f ( ) f ( ) = = f > για κάθε >. ( ) ( ) Άρα η K είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ) αφού είναι συνεχής στο [,+ ). Εποµένως K ( ) K ( ) ( ) h ( ) h( ) ος τρόπος > > >. u. Θεωρούµε την συνάρτηση h( u) = f ( t) dt, u [, ] =. Η h είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιµη στο (, ) µε h ( u) f ( u) Από το Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) ώστε h ( ξ ) Αλλά f t dt οπότε h ( ξ ) h() = ( ) = και h ( ) f ( ) για ξ< έχουµε h ( ξ ) h ( ) h( ) h( ) h() =. = = (). Επίσης h ( ) f ( ) = >. Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα για κάθε και h( ) h ( ) >. δ) Θεωρούµε την συνάρτηση ( ) < (). Από τις σχέσεις () και () έχουµε ( ),. ϕ = f t dt + R Η φ είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισµα συνεχών συναρτήσεων. Η φ είναι παραγωγίσιµη στο (, ) ως άθροισµα παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε ϕ ( ) = f ( ) +. ϕ ( ) ( ) = = = f t dt + = Είναι ϕ() ϕ() ϕ ( ) 9 9 Από το Θεώρηµα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) ϕ ( ξ ) = f ( ξ ) + ξ = f ( ξ ) + = ξ. ξ ώστε 6

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον, ) τέτοιος, ώστε ΜΟΝΑ ΕΣ 7 Β. Πότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης ; ΜΟΝΑ ΕΣ 4 Γ. Να δώσετε την γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος του Rolle. ΜΟΝΑ ΕΣ 4. Να χαρακτηρίσετε καθεµιά από τις επόµενες προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λανθασµένη (Λ).. Για κάθε µιγαδικό αριθµό z είναι.. Είναι. ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ. Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f : A ΙR και g : B ΙR, αν ορίζεται η συνάρτηση, τότε έχει πεδίο ορισµού την τoµή. ΜΟΝΑ ΕΣ 4. Αν µια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιµη στο. ΜΟΝΑ ΕΣ 5., όπου, είναι συνεχείς στο,. ΜΟΝΑ ΕΣ

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f : ΙR ΙR µε 4, για κάθε ΙR. όπου λ ΙR, η οποία παρουσιάζει στο = καµπή. α. i. Να αποδείξετε ότι. ii. β. Να βρείτε το όριο Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη. lim ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 γ. i. Να βρείτε την αρχική της της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σηµείο,. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ii. ΘΕΜΑ Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της και τον άξονα. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 Έστω µια συνεχής συνάρτηση f : ΙR ΙR για την οποία ισχύει α. Να αποδείξετε ότι: ηµ συν, για κάθε ΙR.. και ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ii. Υπάρχει, τέτοιο, ώστε: ΜΟΝΑ ΕΣ 7 β. Έστω, επιπλέον, ότι η είναι παραγωγίσιµη και για κάθε IR., i. Να βρείτε την και να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης της στο σηµείο της µε τετµηµένη. ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ii. Να υπολογίσετε το όριο: ΜΟΝΑ ΕΣ 8

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ 4 Α. Να αποδείξετε ότι, για κάθε IR. Πότε ισχύει η ισότητα ; ΜΟΝΑ ΕΣ Β. Έστω µια συνεχής συνάρτηση :,,. Για κάθε θεωρούµε το µιγαδικό z, µε: όπου. Να αποδείξετε ότι:.. και,, για κάθε. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ii., για κάθε. β. Η είναι γνησίως αύξουσα. γ. Η έχει αντίστροφη και να βρείτε την αντίστροφή της. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 4 δ. Αν η είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα (,, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε. ΜΟΝΑ ΕΣ 4

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 94, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 79 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε σελίδα 46 του σχολικού βιβλίου, αµέσως µετά την διατύπωση του θεωρήµατος Rolle... Σωστό. Βλέπε στο σχολικό βιβλίο σελίδα 9: µε.. Λάθος. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 85 µε α :. Λάθος. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 4: /, 4. Σωστό. Βλέπε το ΣΧΟΛΙΟ στη σελίδα 8 του σχολικού βιβλίου. 5. Σωστό. Βλέπε στο σχολικό βιβλίο σελίδα 6 τον τύπο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες. ΘΕΜΑ α. i. Η f, ως πολυωνυµική, είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιµη στο µε 4, 4 4 Επειδή στο = παρουσιάζει καµπή, είναι f ( ) = : 4 4 ii. Επειδή λ = είναι 4 και 4 4 4 4 Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, ] και κυρτή στο [, + ).

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ β. Θέτουµε. Επειδή είναι lim lim 4 lim γ. i. Η ζητούµενη αρχική είναι η lim = 4, µε c σταθερά, γιατί για κάθε 4 4 Το σηµείο (, ) ανήκει στην γραφική παράσταση της, οπότε : Εποµένως 4, ii. Βρίσκουµε τις ρίζες της συνάρτησης: 4 4 ή Το ζητούµενο εµβαδόν Ε ισούται µε το ολοκλήρωµα Στο διάστηµα, είναι = 4, άρα Τότε 6 7. ΘΕΜΑ α. i) Θέτουµε στη δοσµένη σχέση και παίρνουµε: 4 4 Πάλι, µε = παίρνουµε: ii) Θεωρούµε την συνάρτηση g: [, ] µε, για κάθε,

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Η g είναι συνεχής, ως άθροισµα συνεχών συναρτήσεων της f, και της. Είναι και, οπότε = () ιακρίνουµε τις περιπτώσεις: η περίπτωση: Αν f () =, τότε από () ή. Η θα έχει ρίζα το = ή το = η περίπτωση: Αν f (), τότε από την () είναι:. Εφαρµόζεται, εποµένως, το θεώρηµα του Bolzano για την g στο [, ], έτσι θα υπάρχει, τουλάχιστον, ένα (, ) τέτοιο, ώστε. Σε κάθε περίπτωση, λοιπόν, υπάρχει,, τέτοιο ώστε, το οποίο απόδειξε το ζητούµενο. β. i. Θεωρούµε την συνάρτηση h: µε, Η h είναι παραγωγίσιµη στο, ως άθροισµα της, η οποία από υπόθεση είναι παραγωγίσιµη, και της πολυωνυµικής, µε παράγωγο Η h έχει ελάχιστο στο. Πραγµατικά, είναι Ακόµα, για κάθε Το είναι εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµό της h. Εποµένως, εφαρµόζεται το θεώρηµα του Fermat, σύµφωνα µε το οποίο : Η εξίσωση της εφαπτοµένης της f στο σηµείο µε τετµηµένη είναι

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 4 ii) Είναι f () + f () = f () = f () και ηµ συν συν ηµ. Αντικαθιστούµε στο όριο και έχουµε: Κάνουµε την αντικατάσταση y = ηµ. Επειδή ηµ ηµ lim τo y τείνει στο. Ετσι Επειδή η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο, από τον ορισµό της είναι Στη συνέχεια θα υπολογίσουµε την. Παραγωγίζουµε και τα δύο µέλη της δοσµένης και παίρνουµε: ηµ συν ηµ συν ηµ ηµ συν συν συν ηµ συν Από εδώ, για έχουµε συν ηµ συν. Εποµένως, σύµφωνα µε τις (), () και (4): ΘΕΜΑ 4 Α. Θεωρούµε την συνάρτηση, IR η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιµη µε παράγωγο, IR Είναι και 4

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 Εποµένως η g, ως συνεχής στο = : είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα,, είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα, άρα, έχει ολικό ελάχιστο το g() =, οπότε, για κάθε IR Από την παραπάνω απόδειξη συµπεραίνουµε, ότι η ισότητα αληθεύει ακριβώς όταν =, αφού η θέση ελαχίστου της συνάρτησης είναι µόνον η =. Β. α. i. Θέτουµε u = t, οπότε du = dt. Για t = είναι u = και για t = είναι u =. Τότε:. Τότε για κάθε, έχουµε: οπότε Στην συνέχεια Επειδή, για κάθε είναι, εποµένως, για κάθε ii. Βρήκαµε, οπότε άρα, για κάθε Σύµφωνα µε την σχέση αυτή και την δεύτερη από τις δοσµένες είναι:, ια κάθε Επειδή η και η είναι συνεχείς, θα είναι συνεχείς η σύνθεση και το άθροισµα, εποµένως οι συναρτήσεις που ορίζονται από τα ολοκληρώµατα 5

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 είναι παραγωγίσιµες µε,, Παραγωγίζουµε και τα δύο µέλη της () και έχουµε: ή, τελικώς:, για κάθε β. Για κάθε, από την (α.ii) έχουµε Έστω. Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα έχουµε µε g την συνάρτηση του ερωτήµατος Α, η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, + ), στο οποίο παίρνει τιµές η. Εποµένως. Αποδείξαµε, λοιπόν, ότι για κάθε,, αν, τότε που σηµαίνει, ότι η είναι γνησίως αύξουσα. γ. Η ως γνησίως αύξουσα, είναι, άρα έχει αντίστροφη. Πάλι η, ως γνησίως αύξουσα και συνεχής, έχει σύνολο τιµών το διάστηµα:, Η σχέση επειδή δίνει Επειδή είναι Για = πάλι από την παίρνουµε. Έτσι, το είναι λύση της εξίσωσης e = +. Από το ερώτηµα Α. η εξίσωση αυτή έχει µοναδική λύση =, που συνεπάγεται, ότι Εποµένως η έχει σύνολο τιµών το διάστηµα 6

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7,, Έστω y = f () µε. Από την έχουµε: Η τελευταία εξίσωση έχει λύση ως προς, αφού. Τότε: ln Για την τιµή αυτή του είναι f () = y. Πραγµατικά ln Η g ως γνησίως αύξουσα στο, είναι -, έτσι ln Άρα: ln,, δ. Για = από την () παίρνουµε: Για την συνάρτηση f εφαρµόζεται το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του διαφορικού λογισµού στο διάστηµα [, α], α >, γιατί είναι συνεχής σε αυτό και παραγωγίσιµη στο αντίστοιχο ανοιχτό διάστηµα, ως παραγωγίσιµη από υπόθεση στο,. Εποµένως υπάρχει ένα τουλάχιστον, ξ (, α) µε ή λόγω των () και (): ή. 7

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Να αποδείξετε ότι, αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο, τότε είναι συνεχής στο σηµείο αυτό. Μονάδες 5 A. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α παρουσιάζει ολικό µέγιστο στο Α; Μονάδες 4 A. Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () = α, α > είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και ισχύει f () = α lnα Μονάδες 6 A4. Να βρείτε ποιοι από τους επόµενους ισχυρισµούς είναι αληθείς και ποιοι ψευδείς: i. Μια συνάρτηση είναι, αν και µόνο αν δεν υπάρχουν σηµεία της γραφικής της παράστασης µε ίδια τεταγµένη. Μονάδες ii. i 4ν + = i, για κάθε ν ΙΝ. iii. Αν lim f () > iv., τότε f () > κοντά στο. Μονάδες Μονάδες Αν δύο µεταβλητά µεγέθη, y συνδέονται µε τη σχέση y = f (), όταν f είναι µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο, τότε o ρυθµός µεταβολής του y ως προς στο σηµείο είναι η παράγωγος y = f ( ). Μονάδες v. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα, τότε τα εσωτερικά σηµεία του, στα οποία f ( ), δεν είναι θέσεις τοπικών ακρότατων της f. Μονάδες ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Β ίνονται οι συναρτήσεις f() = e και g() = ln+. B. Να βρείτε τις συνθέσεις fog και gof και να εξετάσετε αν είναι ίσες. B. Να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη και να βρείτε την f. Μονάδες 6 Μονάδες 6 B. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e = ln + έχει µία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστηµα (e, ). Μονάδες 6 B4. Να αποδείξετε ότι: f () g() lim = lim = (gof )() + (fog)() ΘΕΜΑ Γ Η συνάρτηση f: IR IR είναι συνεχής και για κάθε IR ισχύει όπου α IR {}. Γ. Να αποδείξετε ότι: t f (t) dt (+ α ) f () = e, Μονάδες 7 i. Η f είναι παραγωγίσιµη µε f ' () = f (), για κάθε IR. Μονάδες 4 ii. f () = + α, για κάθε IR. Γ. Να αποδείξετε ότι η τιµή του ολοκληρώµατος του α. Γ. Να µελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την f. α Μονάδες 4 t f (t) dt είναι ανεξάρτητη Μονάδες 4 Μονάδες 8 Γ4. Αν Ε είναι το εµβαδό του χωρίου που ορίζεται από τους άξονες, την γραφική παράσταση της f και την ευθεία = α, να αποδείξετε ότι: < E < 4 α α Μονάδες 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο IR µε f () =, + f () e lim = και f () <, για κάθε IR. + Να αποδείξετε ότι:. f ( ) = και f () + 4, για κάθε IR.. Η f παρουσιάζει µέγιστο σε σηµείο (, ).. Η εξίσωση ( 5) ( ) f f (t )dt = f () έχει µοναδική λύση στο IR την = 5. 4. Ο µιγαδικός αριθµός z για τον οποίο ισχύει f( z + i ) f( z + ) είναι φανταστικός. Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 7 Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδα 7 την απόδειξη του Θεωρήµατος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδα 5 τον ορισµό του µεγίστου. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδα 4 την απόδειξη του τύπου (α ) = α lnα. Α4. i. Αληθής. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδα 5 τα σχόλια. ii. Ψευδής. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδα 9 τις δυνάµεις του i µε υ =. iii. Αληθής. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδα 65 το Θεώρηµα ο. iv. ΘΕΜΑ Β Αληθής. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδα 4 τον ορισµό του ρυθµού µεταβολής. v. Αληθής. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδα 6 το σχόλιο του Θεωρήµατος του Fermat. Β. Τα πεδία ορισµού των f, g είναι αντίστοιχα τα Α f = IR και A g = (, + ) H fog έχει πεδίο ορισµού το σύνολο { A g και g() Α f } ={ > και g() IR } = (, + ) Για τέτοιες τιµές του, έχουµε: ( )( ) ( ) Ώστε ( fog)( ) = µε (, + ) ( ) ( ) g ln fog = f g = e = e = Η gof ορίζεται στο σύνολο { A f και f() Α g } = { IR και Για τέτοιες τιµές του, έχουµε: e ( )( ) ( ) ( ) > } = IR gof = ln f + = ln e + = + = Ώστε ( gof)( ) = µε IR. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 8

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) Παρατηρούµε ότι οι συναρτήσεις fοg και gof δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού, εποµένως δεν είναι ίσες. Β. Για κάθε, IR έχουµε ( ) ( ) e e f f Εποµένως η f είναι και έχει αντίστροφη. Έχουµε y = f y = e Άρα f () = ln +, > ( ) = ln y, y > = ln y +, y > h = e ln, e,. Β Θεωρούµε την συνάρτηση ( ) Η h είναι συνεχής. Πράγµατι η συνάρτηση e είναι συνεχής, ως σύνθεση της πολυωνυµικής µε την εκθετική e, οι οποίες είναι συνεχείς. Εποµένως η h είναι συνεχής, γιατί προκύπτει από πράξεις των συνεχών συναρτήσεων e, ln (λογαριθµική) και (σταθερή). Είναι και Β4. Είναι Οπότε: h e e e ( e ) = e ln e = e + = e > h ( ) = e ln = ln < ( ) ( ) e ( ) h e h = e ln < Εφαρµόζεται, εποµένως το Θεώρηµα του Bolzano για την h στο διάστηµα [ e, ], οπότε υπάρχει ( e, ) µε h( ) =. Tότε ( ) h = e ln = e = ln + Αυτό σηµαίνει, ότι η εξίσωση e = ln + έχει ως ρίζα τον αριθµό ( e,) και αποδεικνύει το ζητούµενο. f () e lim = lim =, γιατί (gof )() e lim e = lim = lim e = = και e e e lim = g() ln + Ακόµα, lim = lim. Επειδή lim (ln + ) = + και + (fog)() + lim = + + + έχουµε απροσδιόριστη µορφή. Είναι (ln + )' l lim = lim =, οπότε από + ()' + το αντίστοιχο θεώρηµα του De L Hospital έχουµε: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 8

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) Ώστε g() ln + (ln + )' lim = lim = lim = + (fog)() + + ()' f () g() lim = lim = (gof )() + (fog)() ΘΕΜΑ Γ Γ. i Είναι +α, οπότε: tf (t )dt f () = + α e () Η συνάρτηση tf(t) είναι συνεχής, ως γινόµενο των συνεχών συναρτήσεων t και f (t), οπότε η συνάρτηση που ορίζεται από το ολοκλήρωµα tf (t)dt είναι παραγωγίσιµη, άρα και η tf (t)dt ii. tf (t )dt είναι παραγωγίσιµη. Εποµένως η συνάρτηση e είναι παραγωγίσιµη ως σύνθεση παραγωγίσιµων συναρτήσεων, της f (t)dt µε την εκθετική e. Το γινόµενό της επί τον αριθµό + α, tf (t) dt δηλαδή η f () = e είναι παραγωγίσιµη. Έχουµε + α f '() ' ' tf (t )dt tf (t)dt = e tf (t) = e dt + α + α = f () ( f ()) = f () Για κάθε IR είναι f () >, αφού +α > και ' f '() f '() = f () = = e tf (t )dt >. Έτσι ( ) ' f () f () Εποµένως υπάρχει c IR, ώστε = c f () () H () για = δίνει f () =. + α H () δίνει c c c f () = + + α = + = α Άρα η () δίνει f () =, για κάθε IR. + α Γ. Έχουµε ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 8

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ' α α α t α (t + α ) t f(t)dt = dt = dt = ln t + α t + α t + α 4 = ln 4α ln α = ln Η τιµή αυτή είναι ανεξάρτητη του α. Γ. Η f, ως ρητή, είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιµη στο IR µε ' ' ( + α ) f '() = = = + α ( + α ) ( + α ) Το πρόσηµο της f µε την µονοτονία και το ακρότατο της f φαίνονται στον επόµενο πίνακα: + f + f α Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, + ) και έχει ολικό µέγιστο το f () = α Για την f έχουµε: ( + α ) ( + α ) f () = 4 ( ) = = + α ( + α ) ( + α ) 4 ( + α ) + α 4 α = = = 6 4 ( + α ) ( + α ) ( + α ) Το πρόσηµο της f µε την κυρτότητα της f και τα σηµεία καµπής της φαίνονται στον επόµενο πίνακα: α α + f + + f 4α σ. κ 4α σ. κ Η f είναι κυρτή σε καθένα από τα διαστήµατα (, α ], [ α, + ) και κοίλη στο διάστηµα [ α, α ]. Έχει σηµεία καµπής τα ( α, /4α ) και ( α, /4α ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 8

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) Η f, ως συνεχής στο ΙR, δεν έχει κατακόρυφες ασύµπτωτες. Στα + και έχουµε: lim f () = lim = lim = + + + + α lim f () = lim = lim = + α Άρα έχει οριζόντια ασύµπτωτη στο + και στο τον άξονα των. Σύµφωνα µε τα παραπάνω συµπληρώνουµε τον επόµενο πίνακα µεταβολών: α α + f + + f + + 4α α 4α f σ. κ ma σ. κ Η γραφική παράσταση της f δίνεται στο επόµενο σχήµα: Παρατήρηση. Η f είναι άρτια αφού για κάθε IR το IR και f ( ) = = = f () ( ) + α + α Εποµένως µπορούµε να την µελετήσουµε στο διάστηµα [, + ) και να επεκτείνουµε τα συµπεράσµατα στο IR. Γ4. Το ζητούµενο εµβαδό (βλέπε τη γραφική παράσταση της f ) είναι µεγαλύτερο από το εµβαδό E = α = του ορθογωνίου που ορίζεται από τους 4α 4 α ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 8