ΚΕΦΛΙΟ ο ΙΝΥΣΜΤ Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Ορισμός του ιανύσματος Πότε ένα μέγεθος καλείται βαθμωτό ή μονόμετρο και πότε διανυσματικό ; Τα μεγέθη ( όπως πχ η μάζα, ο όγκος, η πυκνότητα, η θερμοκρασία κτλ) τα οποία προσδιορίζονται από το μέτρο τους και από την αντίστοιχη μονάδα μέτρησης ονομάζονται μονόμετρα ή βαθμωτά Τα μεγέθη, ( όπως πχ η δύναμη, η ταχύτητα, η επιτάχυνση, η μετατόπιση, η μαγνητική επαγωγή κτλ) που για να τα προσδιορίσουμε, εκτός από το μέτρο τους και τη μονάδα μέτρησης, χρειαζόμαστε τη διεύθυνση και τη φορά τους λέγονται διανυσματικά μεγέθη ή απλώς διανύσματα Πως ορίζεται το διάνυσμα ; Τι καλείται αρχή ή σημείο εφαρμογής διανύσματος ; Τι καλείται πέρας του διανύσματος ; Τι καλείται μηδενικό διάνυσμα και πως συμβολίζονται τα διανύσματα ; Στη εωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο εφαρμογής του διανύσματος, ενώ το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσματος ν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα λέγεται μηδενικό διάνυσμα Έτσι, για παράδειγμα, το διάνυσμα AA είναι μηδενικό διάνυσμα Το διάνυσμα με αρχή το και πέρας το συμβολίζεται με AB και παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινάει από το και καταλήγει στο ια το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούμε πολλές φορές τα μικρά γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφάβητου επιγραμμισμένα με βέλος για παράδειγμα,,,, u, v, 3 Πως ορίζεται το μέτρο διανύσματος ; Τι καλείται μοναδιαίο διάνυσμα ; και τι καλείται φορέας του διανύσματος ; Η απόσταση των άκρων ενός διανύσματος AB, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος, λέγεται μέτρο ή μήκος του διανύσματος AB και συμβολίζεται με ν το διάνυσμα AB έχει μέτρο, τότε λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα AB AB A (αρχή) B (πέρας)
Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό B ε διάνυσμα AB λέγεται φορέας του AB A 4 Ποιος είναι ο φορέας του μηδενικού διανύσματος και πότε ένα διάνυσμα είναι παράλληλο προς μία ευθεία ; Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος ευθείες που διέρχονται από το AA μπορούμε να θεωρούμε οποιαδήποτε από τις ν ο φορέας ενός διανύσματος AB είναι παράλληλος ή συμπίπτει AA με μια ευθεία ζ, τότε λέμε ότι το AB είναι παράλληλο προς τη ζ και γράφουμε AB// ζ 5 Πότε δύο διανύσματα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά ; ύο μη μηδενικά διανύσματα AB και, που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα AB και έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουμε AB // 6 Πως διακρίνονται τα συγγραμμικά διανύσματα ; Τα συγγραμμικά διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα και αντίρροπα Συγκεκριμένα: AB και λέγονται ύο μη μηδενικά διανύσματα ομόρροπα: α) όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία που ενώνει τις αρχές τους ή β) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις ημιευθείες και περιέχει την άλλη Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα AB και έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε AB ύο μη μηδενικά διανύσματα AB και λέγονται αντίρροπα, όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα AB και έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουμε AB
Ίσα ιανύσματα 7 Πότε δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα και τι γνωρίζετε γι αυτά ; ύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα B ια να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα είναι ίσα, γράφουμε AB AB και Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους και συμβολίζονται με 0 A ν AB, τότε A, B και B ν Μ είναι το μέσον του, τότε AM MB και αντιστρόφως Μ ντίθετα ιανύσματα 8 Πότε δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται αντίθετα και τι γνωρίζετε γι αυτά ; ύο διανύσματα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα ια να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB και είναι αντίθετα, γράφουμε AB ή A B Είναι φανερό ότι AB AB Ειδικότερα, έχουμε 3
ωνία δύο ιανυσμάτων 9 Τι ονομάζουμε γωνία δύο διανυσμάτων ; Πως συμβολίζεται ; Ποιες τιμές μπορεί να πάρει και ποιες είναι οι ειδικές περιπτώσεις της ; Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα και Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA α και OB β Ο θ Ο a Ο a a Την κυρτή γωνία AOB, που ορίζουν οι ημιευθείες Ο και Ο, την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων α και β και τη συμβολίζουμε με ( α, β ) ή ( β, α ) ή ακόμα, αν δεν προκαλείται σύγχυση, με ένα μικρό γράμμα, για παράδειγμα θ Η γωνία των και είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο 0 0 Είναι φανερό επίσης ότι 0 θ 80 ή σε ακτίνια 0 θπ και ειδικότερα: 0, αν, αν ν, τότε λέμε ότι τα διανύσματα και είναι ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε α β ν ένα από τα διανύσματα, είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε ως γωνία των και μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε γωνία με 0 Έτσι, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το μηδενικό διάνυσμα, 0, είναι ομόρροπο ή αντίρροπο ή ακόμη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα Ο a 0 Έστω Μ το μέσο της πλευράς ενός τριγώνου Με αρχή το Μ γράφουμε τα διανύσματα M και ME BA Να αποδειχτεί ότι το είναι το μέσο του Ε 4
ΠΟΕΙΞΗ ρκεί να δείξουμε ότι Πράγματι, επειδή, είναι Ε () Όμως το Μ είναι μέσο του Άρα, Μ () Επομένως, λόγω των () και (), έχουμε, οπότε: (3) Επειδή επιπλέον, έχουμε (4) Έτσι, από τις σχέσεις (3) και (4) έχουμε 5
ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΙ ΦΙΡΕΣΗ ΙΝΥΣΜΤΩΝ Πρόσθεση ιανυσμάτων Πως ορίζεται το άθροισμα δύο διανυσμάτων Πως αλλιώς ονομάζεται ; και τι είναι ο κανόνας του παραλληλογράμμου ; Έστω δύο διανύσματα a και Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα OA α και στη συνέχεια με αρχή το παίρνουμε διάνυσμα AM β Το διάνυσμα OM λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων και β και συμβολίζεται με Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεται και με το λεγόμενο κανόνα του παραλληλόγραμμου ηλαδή, αν με αρχή ένα σημείο Ο πάρουμε τα διανύσματα OA α και OB β, τότε το άθροισμα ορίζεται από τη διαγώνιο O του παραλληλόγραμμου που έχει προσκείμενες πλευρές τις O και a a a Ο a Μ ποδείξτε ότι το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου Ο Πράγματι, αν O είναι ένα άλλο σημείο και πάρουμε τα διανύσματα O A α και A M β, επειδή OA OAα και AM A M β, έχουμε OO AA και AA MM Επομένως, M OO M, που συνεπάγεται ότι και OM OM a a β a a Μ a β M Ο O 6
Ιδιότητες Πρόσθεσης ιανυσμάτων 3 ιατυπώστε και αποδείξτε τις ιδιότητες της πρόσθεσης διανυσμάτων; ια την πρόσθεση των διανυσμάτων ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες της πρόσθεσης πραγματικών αριθμών ηλαδή, αν,, είναι τρία διανύσματα, τότε: () a β βα (ντιμεταθετική ιδιότητα) () ( α β) γ α( βγ) (Προσεταιριστική ιδιότητα) (3) 0 (4) α ( α) 0 ΠΟΕΙΞΗ a a β a a Μ a β M Ο O πό το προηγούμενο σχήμα έχουμε: α βoa AM OM και βαobbm OM Επομένως, πό το διπλανό σχήμα έχουμε: ( α β) γ ( OA AB) B OBB O και α( βγ) OA( ABB ) OA A O Επομένως, ( ) a ( ) Ο a a a Οι ιδιότητες (3) και (4) είναι προφανείς 4 Πως γενικεύεται το άθροισμα διανυσμάτων ; Η προσεταιριστική ιδιότητα μας επιτρέπει να συμβολίζουμε καθένα από τα ίσα αθροίσματα ( ) και ( ) με, το οποίο θα λέμε άθροισμα των τριών διανυσμάτων, και Το άθροισμα περισσότερων διανυσμάτων,, 3,,, 3 ορίζεται επαγωγικά ως εξής: 3 ( 3 ) ια παράδειγμα, ( ) 3 4 3 4 7
a a a a a 3 a a a 3 a 4 ηλαδή, για να προσθέσουμε διανύσματα,,,,, τα καθιστούμε διαδοχικά, οπότε το άθροισμά τους θα είναι το διάνυσμα που έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου και ως πέρας το πέρας του τελευταίου Επειδή μάλιστα ισχύουν η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης, το άθροισμα δε μεταβάλλεται αν αλλάξει η σειρά των προσθετέων ή αν μερικοί από αυτούς αντικατασταθούν με το άθροισμά τους a 3 a 4 φαίρεση ιανυσμάτων 5 Πως ορίζεται η διαφορά δύο διανυσμάτων ; Η διαφορά του διανύσματος από το διάνυσμα ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων και ηλαδή α βα( β) a a a a a a Σύμφωνα με τα παραπάνω, αν έχουμε δύο διανύσματα και, τότε υπάρχει μοναδικό διάνυσμα, τέτοιο, ώστε Πράγματι, ( ) ( ) ( ) 0 ( ) a ιάνυσμα Θέσεως 6 Τι ονομάζουμε διανυσματική ακτίνα ή διάνυσμα θέσεως ενός σημείου και τι σημείο αναφοράς ; Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου Τότε για κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσμα, το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσεως του Μ ή διανυσματική ακτίνα του Μ Το σημείο Ο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου, λέγεται σημείο αναφοράς στο χώρο O 8
7 ποδείξτε ότι : Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής ν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα έχουμε OA AB OB και επομένως AB OBOA O Μέτρο θροίσματος ιανυσμάτων 8 Να διατυπωθεί η τριγωνική ανισότητα για τα διανύσματα Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε το άθροισμα των διανυσμάτων και πό την τριγωνική ανισότητα γνωρίζουμε όμως ότι ( OA) ( AB) ( OB) ( OA) ( AB) και επομένως a a Ο a 9 ια τέσσερα σημεία,,, να αποδειχτεί ότι ΠΟΕΙΞΗ ν Ο είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε έχουμε: AB OBOAO O OBOO OAB A 0 Να αποδειχτεί ότι α βγ α βγ ΠΟΕΙΞΗ Έχουμε α βγ ( α βγα βγα βγ 9
σκήσεις Οι δυνάμεις F, F, F ασκούνται στο σώμα Σ Ποια δύναμη 5 χρειάζεται, ώστε να μην αφήσει το σώμα Σ να μετακινηθεί από τη θέση του; F 4 E F F 5 Σ F F 3 Θεωρούμε = F, = F, = F, = F και = F 3 4 5 Τότε = F + F + + F 5 Άρα πρέπει να εφαρμοστεί δύναμη αντίθετη της ίνεται τετράπλευρο και έστω,, και τα αντίστοιχα διανύσματα θέσεως ως προς ένα σημείο αναφοράς Ο Τι μπορείτε να πείτε για το τετράπλευρο αν: (i) + = + (ii) = (iii) + = + και = (i) + = + = = = παρ/μμο (ii) = = = το έχει ίσες διαγώνιες (iii) Το είναι παρ/μμο με ίσες διαγώνιες, άρα είναι ορθογώνιο 3 Να εκφράσετε το διάνυσμα σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα, ως συνάρτηση των άλλων διανυσμάτων που δίνονται: Ο 0
i) ii) iii) i) = + ii) = + iii) = + 4 ν για δύο τρίγωνα και Ε ισχύει + = +, να δείξετε ότι το τετράπλευρο Ε είναι παραλληλόγραμμο + = + = = Ε παραλληλόγραμμο B A Ε 5 ίνονται τέσσερα σημεία,,, και έστω Ο το μέσο του τμήματος Να αποδείξετε ότι + = + = + = = = που ισχύει, αφού Ο μέσο του 6 ίνεται κανονικό εξάγωνο ΕΖ ν = και =, να εκφράσετε το διάνυσμα ως συνάρτηση των και Ε Θεωρούμε σημείο αναφοράς το κέντρο Ο του εξαγώνου Είναι = Ζ O λλά = = και = = από παραλληλόγραμμα β Άρα = α 7 ια ένα τυχαίο εξάγωνο να αποδείξετε ότι 3 4 5 6
+ + 3 4 3 5 + 4 6 + 5 + 6 = 0 + + 3 4 3 5 + 4 6 + 5 + 6 = ( + 3 3 5 + 5 ) + ( + 4 4 6 + 6 ) = + = 0 + 0 = 0
ΠΟΛΛΠΛΣΙΣΜΟΣ ΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΝΥΣΜ Ορισμός Πολλαπλασιασμού ριθμού με ιάνυσμα Πως ορίζεται το γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού με ένα διάνυσμα ; Έστω ένας πραγματικός αριθμός με και ένα μη μηδενικό διάνυσμα Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το και το συμβολίζουμε με ή ένα διάνυσμα το οποίο: είναι ομόρροπο του, αν και αντίρροπο του, αν και έχει μέτρο ν είναι ή 0, τότε ορίζουμε ως το μηδενικό διάνυσμα 0 ια παράδειγμα, αν το διάνυσμα του διπλανού σχήματος έχει μέτρο, τότε το διάνυσμα 3 είναι ομόρροπο με το a και έχει μέτρο 3 3, ενώ το διάνυσμα 3 είναι αντίρροπο με το, αλλά έχει και αυτό μέτρο ίσο με 3 3 3a 3a Το γινόμενο α λ το συμβολίζουμε και με Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού ριθμού με ιάνυσμα ιατυπώστε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού διανυσμάτων καθώς και τις συνέπειες αυτών και του ορισμού ; ια το γινόμενο πραγματικού αριθμού με διάνυσμα ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: () () ( ) (3) ( ) ( ) Ως συνέπεια του ορισμού του γινομένου αριθμού με διάνυσμα και των παραπάνω ιδιοτήτων έχουμε: (i) λα0 λ0 ή 0 α (ii) ( λα) λ( α) ( λα) (iii) λ( α β) λα λβ (iv) ( λ μ) α λα μα (v) ν λα λβ και λ 0, τότε α β (vi) ν λα μα και α 0, τότε λ μ 3
ραμμικός Συνδυασμός ιανυσμάτων 3 Τι ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός δύο η περισσοτέρων διανυσμάτων ; Ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων α και β κάθε διάνυσμα της μορφής v καλβ, όπου κ, λr ς θεωρήσουμε δύο διανύσματα α και β πό τα διανύσματα αυτά παράγονται, για παράδειγμα, τα διανύσματα γ 3α 5β, δ α 3β κτλ νάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσότερων διανυσμάτων Έτσι, για παράδειγμα, το διάνυσμα v 3α β5γ είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των α β, και γ Συνθήκη Παραλληλίας ιανυσμάτων 4 ιατυπώστε και αποδείξτε το θεώρημα της παραλληλίας διανυσμάτων ΘΕΩΡΗΜ ν, είναι δύο διανύσματα, με 0, τότε //, R ΠΟΕΙΞΗ Ο ρ θ ό ν δύο διανύσματα και, όπου διανύσματα αυτά είναι παράλληλα 0, συνδέονται με τη σχέση, τότε τα ν τ ί σ τ ρ ο φ ο ηλαδή, αν τα διανύσματα και είναι παράλληλα και 0, τότε υπάρχει μοναδικός αριθμός τέτοιος ώστε Πράγματι, αν θέσουμε, τότε Συνεπώς: ν, τότε ν, τότε α κ β ν 0, τότε 0 Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει και μάλιστα μοναδικός, τέτοιος, ώστε 5 Να αποδείξετε διανυσματικά ότι αν και Ε είναι τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου τότε ΠΟΕΙΞΗ ν και Ε είναι τα μέσα των πλευρών και του τριγώνου, έχουμε: BA A A A ( A AE) E B 4
φού λοιπόν E B, συμπεραίνουμε ότι // και B E, που σημαίνει ότι Ξαναβρίσκουμε δηλαδή τη γνωστή μας από την Ευκλείδεια εωμετρία σχέση // Ε ιανυσματική κτίνα Μέσου Τμήματος 6 Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος ς πάρουμε ένα διάνυσμα αναφοράς Ο ια τη διανυσματική ακτίνα του τμήματος έχουμε: Επομένως, Άρα AB και ένα σημείο OM του μέσου Μ OM OA AM και OM OBBM OA AMOBBM OAOB OM OAOB OM Ο Μ 7 Να αποδειχτεί ότι ένα σημείο G είναι το βαρύκεντρο ενός τριγώνου, αν και μόνο αν ισχύει GA G G 0 και ότι για οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει OG ( OAOBO ) 3 G ΠΟΕΙΞΗ νωρίζουμε από την Ευκλείδεια εωμετρία ότι αν G είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου, τότε G G, όπου η διάμεσος του τριγώνου Επομένως, ισχύει AG G, οπότε έχουμε GAGBG GAG GA AGGG 0 ντιστρόφως, αν για ένα σημείο G ισχύει GA GB G 0, τότε θα έχουμε GA G0, όπου το μέσον της, οπότε θα ισχύει AG G Έτσι, το σημείο G ανήκει στη διάμεσο και ισχύει G G Άρα, το G είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου πό τη σχέση GA GB G 0 έχουμε: OA OG OB OG O OG 0 Άρα 3 ( OAOBO ) OG 5
8 Να αποδειχτεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζουν τα μέσα των απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου και τα μέσα των διαγωνίων του διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται από το σημείο αυτό ΠΟΕΙΞΗ Έστω,,, τα διανύσματα θέσεως των κορυφών,,,, αντιστοίχως, ενός τετράπλευρου ως προς ένα σημείο αναφοράς Ο Ε Τα διανύσματα θέσεως των μέσων Η της Θ και Θ της είναι ( β γ ) και ( α δ ) Ι G αντιστοίχως και το διάνυσμα θέσεως του μέσου G του ΗΘ είναι το Κ Η ( β γ) ( α δ) ( α βγ δ) Ζ 4 Ομοίως βρίσκουμε ότι το διάνυσμα θέσεως των μέσων των τμημάτων ΕΖ και ΙΚ είναι το ( α β γ δ) Άρα τα τμήματα ΗΘ, ΕΖ και ΙΚ διέρχονται από το ίδιο σημείο και 4 διχοτομούνται από αυτό 6
σκήσεις A Ομάδας ν είναι ένα διάνυσμα, τι μπορείτε να πείτε για το μέτρο και την κατεύθυνση του διανύσματος = 0 ; = 0 = = = Επειδή > 0, το διάνυσμα θα έχει ίδια κατεύθυνση με το Να βρείτε το διάνυσμα σε κάθε μια από τις περιπτώσεις: (i) ( + ) = ( + ) (ii) +3( + ) = 4( ) 3 3 (i) ( + ) = ( + ) 3( + ) = ( + ) 3 3 +3 = + 3 = 3 = 3 (ii) +3( + ) = 4( ) 3 + 3 +3 = 4 4 3 4 = 7 = 4 7 4 3 ν στο διπλανό σχήμα είναι (Μ) = (Μ), B να αποδείξετε ότι = 3 ( + ) M Σημείο αναφοράς το A Τα διανύσματα, έχουν ίδια φορά, άρα η ισότητα (Μ) = (Μ) γίνεται = = ( ) = 3 = + 3 = + = 3 ( + ) 7
4Στο διπλανό σχήμα έχουμε Ε = Ε, =, = και = (i) Να εκφράσετε συναρτήσει των και τα διανύσματα,,, και (ii) πό τις εκφράσεις των και ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τα σημεία, Ε και ; (i) = + = + Τα διανύσματα, έχουν ίδια φορά, E άρα η ισότητα Ε = Ε γίνεται = Είναι + = + = 3 = + = 3 ( + ) = + + = + + = = + = = 3 ( + ) = 3 (3 ) = 3 ( ) = + = 3 ( + ) = 3 ( + ) ( ) = 3 ( + 3 +3 ) = 3 (4 ) = 3 ( ) (ii) πό τις εκφράσεις των και που βρήκαμε = τα σημεία, Ε, είναι συνευθειακά 5 Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι τα σημεία, και Ε είναι συνευθειακά Ε 3 3 = + = + = + = 3 +3 = 3( + ) Άρα = 3 τα σημεία, και Ε είναι συνευθειακά 8
6 ν +3 = +3, να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά Σημείο αναφοράς το Κ +3 = +3 3 ( ) = + 3( ) 3 + = + 3 3 0 = + 3 = 3 Κ, Λ και Μ συνευθειακά 7 ν, Ε και Ζ είναι διάμεσοι του τριγώνου, να αποδείξετε ότι + + = 0 + + = ( + ) + Ζ Ε ( + ) + ( + ) = ( + + + + + ) = 0 = 0 8ν Κ, Λ, Μ είναι τα μέσα των πλευρών,,, αντιστοίχως, τριγώνου, να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει : + + = + + + + = ( + ) + Μ Λ ( + ) + K ( + ) = = ( + + ) = Ο = + + 9 ν Μ και Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων και, αντιστοίχως, ενός τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι + + + = 4 + = + = Ν Άρα + + + = ( + ) () Μ + = + = () + + + = 4 9
0 ίνεται το μη μηδενικό διάνυσμα και σημείο τέτοιο ώστε να ισχύει = λ και = μ Να αποδείξετε ότι λ μ = Σημείο αναφοράς το = μ = μ λ = μ (λ ) = μ και επειδή 0, θα είναι λ = μ άρα λ μ = ίνεται τρίγωνο ν = κ + λ και = λ + κ να αποδείξετε ότι // = = λ + κ (κ + λ ) = λ + κ κ λ = (λ κ) (λ κ) = (λ κ) ( ) = (λ κ) = (κ λ ) // 0
Oμάδας Στο διπλανό σχήμα είναι = 3 και = ν G είναι το 3 κέντρο βάρους του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο GΕ είναι παραλληλόγραμμο ρκεί να αποδείξουμε ότι = G Ε G Μ = = 3 + 3 = ( + ) 3 G = 3 M = 3 ( + ) = 3 ( + ) Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο και δύο σημεία Ε και Ζ τέτοια, ώστε = κ και Z = λ, όπου λ =, με κ Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ε, και Ζ είναι συνευθειακά Ζ Έστω = και = τότε = + Ε = = κ ( + ) = κ = (κ ) () Z = = (), () Z = Z = λ κ = [ (κ ) ] () κ = [ (κ ) ] = Z Ε,, Ζ συνευθειακά 3Να αποδείξετε ότι, αν ισχύουν δύο από τις σχέσεις + y + z = 0, + y + z = 0, + y + z = 0, τότε θα ισχύει και η τρίτη (ίνεται Κ Λ) Υποθέσεις : + y + z = 0 και + y + z = 0 φαιρούμε κατά μέλη ( )+ y( )+ z( ) = 0
( + )+ y( + )+ z( + ) = 0 + y +z = 0 ( + y + z) = 0 + y + z = 0 Υποθέσεις : + y + z = 0 και + y + z = 0 + y + z = ( K + ) + y( K + ) + z( K + ) = K + + y K + y + z K = ( + y + z) K + ( + y + z ) + z = 0 K + 0 = 0 + 0 = 0 H τρίτη περίπτωση είναι όμοια με τη δεύτερη 4ν, και r είναι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων, και Μ αντιστοίχως και MA MB =, να αποδείξετε ότι, αν το Μ είναι εσωτερικό σημείο του, τότε r =, ενώ αν το Μ είναι εξωτερικό σημείο του, τότε r = Ο Ο r r Μ Μ Είναι = = Όταν το Μ είναι εσωτερικό σημείο του MA MB = Μ = Μ = = ( ) λ λ r = κ + κ r λ + κ = κ r + λ r (κ + λ) r = λ + κ r = Όταν το Μ είναι εξωτερικό σημείο του Είναι = και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο
5ίνεται παραλληλόγραμμο Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο, ώστε να ισχύει + + = Σημείο αναφοράς το + + = + + = + = M + = = = Μ Το ζητούμενο σημείο είναι το 6ίνεται τετράπλευρο και έστω Μ και Ν τα μέσα των διαγωνίων του και αντιστοίχως Να αποδείξετε ότι αν 4 N = B, τότε το τετράπλευρο αυτό είναι παραλληλόγραμμο A β B Με σημείο αναφοράς το, ορίζουμε το τετράπλευρο θεωρώντας τα διανύσματα δ Ν Μ γ =, =, = Είναι = = = = = ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( + ) = [ ( + ) ( + )] = ( + + + ) 4 = ( + ) 4 = ( + ) () 4 N = B 4[ ( + )] = ( ) + = + + = 0 () = 0 Ν Μ οι διαγώνιοι διχοτομούνται άρα είναι παραλληλόγραμμο 3
8ίνονται τα σημεία, και Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα 3 5 + είναι σταθερό Με σημείο αναφοράς το, ορίζουμε τα σημεία και θεωρώντας τα διανύσματα β Μ γ = και = 3 5 + = 3( ) 5( ) + ( ) = 3 5 + 5 + = 5 που είναι σταθερό 9Στο διπλανό σχήμα το είναι τραπέζιο με () = (), το ΚΛ παραλληλόγραμμο και το Ι μέσο του Να αποδείξετε ότι Ι Κ (i) = και = (ii) τα σημεία Ι, Κ, Λ είναι συνευθειακά (i) Τα τρίγωνα Κ, Κ είναι όμοια = = = (Κ )= (Κ) και (Κ) = (Κ) = και = (ii) = ( + ) = ( ) = 4 ( + ) = 4 Λ // Ι, Κ, Λ συνευθειακά 4
ΣΥΝΤΕΤΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΟ Άξονας Πως ορίζεται το μοναδιαίο διάνυσμα σε έναν άξονα ; Τι καλείται τετμημένη ενός σημείου Μ και πια αντιστοιχία προκύπτει με τον συνδυασμό αυτόν ; Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα το OI i και τον συμβολίζουμε με Η ημιευθεία O λέγεται θετικός ημιάξονας O, ενώ η O λέγεται αρνητικός ημιάξονας O Ο Ι Μ() ν, τώρα, πάνω στον άξονα πάρουμε ένα σημείο Μ, επειδή OM // i, θα υπάρχει ακριβώς ένας πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε OM ι Τον αριθμό τον ονομάζουμε τετμημένη του Μ λλά και αντιστρόφως, από την ισότητα OM ι προκύπτει ότι σε κάθε πραγματικό αριθμό αντιστοιχεί μοναδικό σημείο Μ του άξονα με τετμημένη Το σημείο αυτό συμβολίζεται με () Καρτεσιανό Επίπεδο Πως ορίζεται ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ; Πως ορίζονται και ποιες είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ και πια αντιστοιχία προκύπτει με τον συνδυασμό αυτόν ; Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες και yy με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα τα i και j Λέμε τότε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή y απλούστερα ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή ακόμα ένα καρτεσιανό επίπεδο και Μ(,y) Μ το συμβολίζουμε με Oy Το σύστημα Oy λέγεται ορθοκανονικό, γιατί είναι ορθογώνιο και κανονικό Ορθογώνιο είναι, γιατί οι άξονες και yy είναι κάθετοι, και κανονικό, γιατί τα διανύσματα i και j είναι ισομήκη Πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Oy παίρνουμε ένα σημείο Μ πό το Μ φέρνουμε την παράλληλη στον j Ο y i Μ yy, που τέμνει τον στο 5
M, και την παράλληλη στον, που τέμνει τον yy στο M ν είναι η τετμημένη του M ως προς τον άξονα και y η τετμημένη του M ως προς τον άξονα yy, τότε ο λέγεται τετμημένη του Μ και ο y τεταγμένη του Μ Η τετμημένη και η τεταγμένη λέγονται συντεταγμένες του Μ Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγμένων λλά και αντιστρόφως σε κάθε ζεύγος (, y) πραγματικών αριθμών αντιστοιχεί μοναδικό σημείο του επιπέδου, το οποίο βρίσκεται ως εξής: Πάνω στον άξονα παίρνουμε το σημείο M ( ) και στον yy το σημείο M ( y ) πό τα M και M φέρνουμε παράλληλες στους άξονες yy και αντιστοίχως, που τέμνονται στο Μ Το σημείο Μ είναι το ζητούμενο Ένα σημείο Μ με τετμημένη και τεταγμένη y συμβολίζεται και με M(, y) ή απλά με (, y ) Συντεταγμένες ιανύσματος 3 Να αποδείξετε ένα διάνυσμα του επιπέδου γράφεται με μοναδικό τρόπο σαν γραμμικός συνδυασμός των μοναδιαίων διανυσμάτων ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων Έστω Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ένα διάνυσμα του επιπέδου Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα OA α ν A και A είναι οι προβολές του στους άξονες και yy αντιστοίχως, έχουμε: OA OA OA () ν, y είναι οι συντεταγμένες του A, τότε ισχύει OA ι και OA yj Επομένως η ισότητα () γράφεται i yj ποδείξαμε δηλαδή ότι το Ο A είναι γραμμικός συνδυασμός των i και j Στην παραπάνω κατασκευή οι αριθμοί και y είναι μοναδικοί Θα αποδείξουμε τώρα ότι και η έκφραση του ως γραμμικού συνδυασμού των i και j είναι μοναδική Πράγματι, έστω ότι ισχύει και i yj Τότε θα έχουμε i yj i yj ( ) i ( y y) j ν υποθέσουμε ότι, δηλαδή ότι 0, τότε θα ισχύει y y i j Η σχέση αυτή, όμως, δηλώνει ότι i / / j, που είναι άτοπο, αφού τα i και j δεν είναι συγγραμμικά Επομένως, που συνεπάγεται ότι και y y Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή α i yj y j i a a A 6
4 Τι καλούνται συνιστώσες ενός διανύσματος και πότε δύο διανύσματα είναι ίσα ; Όπως αποδείξαμε : Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή α i yj Τα διανύσματα i και yj λέγονται συνιστώσες του διανύσματος κατά τη διεύθυνση των i και j αντιστοίχως, ενώ οι αριθμοί, y λέγονται συντεταγμένες του στο σύστημα Oy Πιο συγκεκριμένα, ο λέγεται τετμημένη του και ο y λέγεται τεταγμένη του πό τον τρόπο που ορίστηκαν οι συντεταγμένες ενός διανύσματος προκύπτει ότι: ύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες Καθένα από τα ίσα διανύσματα με τετμημένη και τεταγμένη y, θα το συμβολίζουμε με το διατεταγμένο ζεύγος (, y ) Συντεταγμένες ραμμικού Συνδυασμού ιανυσμάτων 5 Πως ορίζεται το άθροισμα δύο διανυσμάτων και του καρτεσιανού επιπέδου ; Πως ορίζεται ο πολλαπλασιασμός διανύσματος με έναν πραγματικό αριθμό και πως ορίζεται ο γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων και του καρτεσιανού επιπέδου ; ν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες δύο διανυσμάτων και του καρτεσιανού επιπέδου, τότε μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες του αθροίσματος α β, του γινομένου λα, λ R και γενικά κάθε γραμμικού συνδυασμού των α και β Πράγματι, αν, y ) και, y ), τότε έχουμε: ( ( ( i y j) ( i y j) ( ) i ( y y ) j ( i y j) ( ) i ( y ) j Επομένως (, y y ) και (, y ) ή ισοδύναμα (, y) (, y) (, y y), y ) (, ) ( y ενικότερα, για το γραμμικό συνδυασμό έχουμε:, y ) (, y ) (, y ια παράδειγμα, αν (, ) και (, ), τότε (, ) (,) (,), (, ) (, ), ( y ) 7
(, ) (,) (, ) (, ) (0, 3), και (, ) (,) (, ) (, ) (, 4) Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος 6 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του δύο σημείων (, y ) και, y ) του καρτεσιανού επιπέδου ( ς θεωρήσουμε δύο σημεία (, y ) και (, y ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι (, y) είναι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του Επειδή OM ( OAOB ), και OM (, y), OA, y ), OB, y ), έχουμε ( ( y y (, y) [(, y) (, y )], Επομένως ισχύει y B(,y ) Μ(,y) A(,y ) Ο και y y y Συντεταγμένες ιανύσματος με νωστά Άκρα 7 Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες (, y) του διανύσματος με άκρα τα σημεία (, y ), ) και y y y y B(,y ) ς θεωρήσουμε δύο σημεία (, y ) και (, y ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι (, y) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος AB Επειδή, AB OBOA, AB (, y), OB, y ), ( Ο A(,y ) και OA (, y ), έχουμε:, y) (, y ) (, y ) (, y ) Επομένως: ( y Οι συντεταγμένες (, y) του διανύσματος με άκρα τα σημεία A (, y ) και, y ) δίνονται από τις σχέσεις ( και y y y 8
ηλαδή τετμημένη του AB τετμημένη του τετμημένη του τεταγμένη του AB τεταγμένη του τεταγμένη του ια παράδειγμα, το διάνυσμα AB με αρχή το (, ) και πέρας το (3,7) έχει συντεταγμένες 3 και y 7 5, δηλαδή είναι ίσο με το (,5) Μέτρο ιανύσματος 8 ν α (, y), τότε να αποδείξετε ότι το μέτρο του διανύσματος δίνεται από τον τύπο y y A(,y) a Έστω (, y) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και το σημείο με διανυσματική ακτίνα OA α ν και είναι οι προβολές του στους άξονες και y y αντιστοίχως, επειδή το σημείο έχει τετμημένη και τεταγμένη y, θα ισχύει ( ) και ( ) y Έτσι θα έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y Επομένως: ν α (, y), τότε y ια παράδειγμα, αν (5,), τότε 5 3 Ο A 9 Να αποδείξετε ότι η απόσταση των σημείων (, y ) και, y ) είναι ίση με ) ( y ) ( ) ( y ( ς θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία (, y ) και (, y ) του καρτεσιανού επιπέδου Επειδή η απόσταση () των σημείων και είναι ίση με y B(,y ) το μέτρο του διανύσματος AB (, y y), σύμφωνα με τον τύπο () θα ισχύει: A(,y ) ) ( y ) ( ) ( y Ο ια παράδειγμα, η απόσταση των σημείων (, 7) και ( 5, 3) είναι ίση με ( ) (5 ) ( 3 7) 3 4 5 9
0 ν (,) και (,4) είναι οι δύο κορυφές του παραλληλόγραμμου και (, 3) το κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών και ΛΥΣΗ ν (, y) και (, y ) είναι οι δύο άλλες κορυφές του παραλληλόγραμμου, επειδή το Κ είναι το μέσον των και, έχουμε: Επομένως, ( ) y 3 και y 4 3 6 y 7 και y 3 0 Άρα, οι συντεταγμένες των κορυφών και είναι ( 6, 7) και ( 3, 0) αντιστοίχως ΛΥΣΗ Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους G του τριγώνου, αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών του ν (, y), (, y ), ( 3, y3) είναι οι συντεταγμένες των κορυφών,, αντιστοίχως και (, y) είναι οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του, επειδή G G G 0 (Εφαρμ 3), θα έχουμε: Άρα ( 3, y y) (, y y) ( 3, y y) (0,0) ( 3 3, y y y3 3y) (0,0) 3 0 και y y y 3y 0 3 A(-,) (,y ) A(,y ) 3 3 y y y3, y 3 3 B(,4) G(,y) K(, -3) ( 3,y 3 ) 30
Να αποδείξετε ότι : Συνθήκη Παραλληλίας ιανυσμάτων α// βdet( a, β) 0 Έστω (, y ) και (, y) δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου ν τα διανύσματα είναι παράλληλα και υποθέσουμε ότι 0, τότε θα υπάρχει R, τέτοιος, ώστε Επομένως, θα έχουμε (, ) (, ) y λ y ή ισοδύναμα: και y y, y οπότε θα ισχύει y y y y 0 ή ισοδύναμα 0 y ν 0, τότε θα ισχύει y y y 0 0 0 είξαμε δηλαδή ότι αν τα διανύσματα και είναι παράλληλα, τότε y y 0 y ντιστρόφως, αν 0, τότε τα διανύσματα και θα είναι παράλληλα y y Πράγματι, επειδή 0, έχουμε y y y Επομένως, ν 0, τότε y y, οπότε, αν θέσουμε, θα έχουμε και y y Άρα, και συνεπώς // ν 0, τότε y 0, οπότε αν 0, τα διανύσματα και θα είναι παράλληλα προς τον άξονα των τεταγμένων, άρα και μεταξύ τους παράλληλα, ενώ, αν y 0, τότε το θα είναι το μηδενικό διάνυσμα και άρα, παράλληλο προς το ποδείξαμε λοιπόν ότι α// β y 0 y Την ορίζουσα y, που έχει ως η τη γραμμή τις συντεταγμένες του διανύσματος y και ως η γραμμή τις συντεταγμένες του διανύσματος, τη λέμε ορίζουσα των διανυσμάτων α και β (με τη σειρά που δίνονται) και θα τη συμβολίζουμε με det( α, β ) Έτσι, η παραπάνω ισοδυναμία διατυπώνεται ως εξής: () 3
ια παράδειγμα: Τα διανύσματα 3 det(, ) 3 3 ( 3, ) και 3 3 0, ενώ (, 3 ) και Τα διανύσματα 3 det(, ) 4 3 7 0 α// βdet( a, β) 0 ( 3, 3 ) είναι παράλληλα, αφού (, ) δεν είναι παράλληλα, αφού Συντελεστής ιεύθυνσης ιανύσματος 3 Πως ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος (, y ) ; Έστω (, y ) ένα μη μηδενικό διάνυσμα και A το σημείο του επιπέδου για το οποίο ισχύει OA a Τη γωνία φ, που διαγράφει ο ημιάξονας O αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία Ο, την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα Είναι φανερό ότι A(,y) y Ο φ 0 φπ ια τη γωνία φ, όπως είναι γνωστό από την Τριγωνομετρία, αν το δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα yy, ισχύει y εφ φ Το πηλίκο y της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος (, y ), με 0, το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του και τον συμβολίζουμε με ή απλώς με λ Επομένως: y λ εφφ Είναι φανερό ότι ν y 0, δηλαδή αν α //, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι ο 0 ν 0, δηλαδή αν α // yy, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος 4 Να αποδείξετε : α// β λ λ ς θεωρήσουμε τώρα δύο διανύσματα (, y ) και (, y ) με συντελεστές διεύθυνσης και αντιστοίχως Τότε έχουμε τις ισοδυναμίες: α y // β 0 y y λ λ y y y 3
Επομένως, η συνθήκη παραλληλίας για δύο διανύσματα διεύθυνσης λ και λ διατυπώνεται ως εξής: α// β λ λ και με συντελεστές 5 Να βρεθούν οι τιμές του μ R για τις οποίες τα σημεία (,0), ( μ,3) και ( 5μ,9) είναι συνευθειακά Τα σημεία,, είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν τα διανύσματα AB ( μ, 3) και, A ) 0 A ( 5μ, 9) είναι παράλληλα, δηλαδή, αν και μόνο αν det( AB Έχουμε λοιπόν μ det( AB, A ) 0 5μ 3 0 9 9μ 95μ30 3μ 5μ0 μ ή μ 3 33
σκήσεις A Oμάδας Ποια είναι η θέση στο καρτεσιανό επίπεδο των σημείων Μ(, y) για τα οποία ισχύει (i) = (ii) < (iii) y > (iv) = y (i) = = ή = Η θέση των σημείων είναι οι ευθείες ε, η ε - y 4 η Ο 5 - (ii) < < < ε y 4 η - Ο (iii) y > y < ή y > y Ο - δ θ (iv) = y y = ή y = Η θέση των σημείων είναι οι διχοτόμοι δ, δ δ Ο y δ Να βρείτε τις αποστάσεις των παρακάτω σημείων από τους άξονες και yy : (, ), (3, 4), ( 5, 6), (α, β + ), Μ(, y) ια το τυχαίο σημείο Μ(, y) ισχύει 4 (, y) d(m, ) = y και d(m, yy ) = y Ο 5-34
d(, ) = = και d(, ) = 4 = 4 και d(, yy ) = = d(, yy ) = 3 = 3 d(, ) = 6 = 6 και d(, yy ) = 5 = 5 d(, ) = και d(, yy ) = 3 ίνεται το διάνυσμα = ( 4, 3 ), λ ια ποια τιμή του λ είναι : (i) = 0 ; (ii) 0 και // (i) = 0 4 = 0 και 3 = 0 (λ = ή λ = ) και (λ = ή λ = ) λ = (ii) 0 και // 4 0 και 3 = 0 (λ και λ ) και (λ = ή λ = ) λ = 6 ίνονται τα διανύσματα = ( 3, 3 ) και = ( 5 6, 3 7 ) Να βρείτε το λ ώστε να είναι = = 3 = 5 6 και 3 = 3 7 λ = 4 και 5 0λ = 0 λ = και λ = 0 λ = και (λ = ή λ = 0) λ = 7 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό, ώστε τα διανύσματα = (, ) και = (4, ) να είναι ομόρροπα, ομόρροπα = λ με λ 0 (, ) = λ (4, ) με λ 0 = 4λ και = λ με λ 0 = 4λ και = λ 4λ με λ 0 = 4λ και = 4 με λ 0 = 4λ και λ = = 4 = 8 ν u = (3, 4), ποιο διάνυσμα είναι συγγραμμικό με το u και έχει διπλάσιο μέτρο από το u ; 35
Έστω w το ζητούμενο διάνυσμα w // u w = λ u () w = u w = u () λλά w = u () u = u = λ = ή λ = () w = (3, 4 ) = (6, 8) ή w = (3, 4 ) = ( 6, 8) 9 Στο διπλανό σύστημα συντεταγμένων είναι = i και B = j Να εκφράσετε ως συνάρτηση των i και j : α) Τα διανύσματα θέσεως των σημείων,, Ε, Ζ, Κ και Η β) Τα διανύσματα,,,,, και α) = i, = i + j, y Ζ = i + j, = j, = i + j, = i + j j Ε Θ Η K β) = O i = i + j i = i + j = = i ( i + j ) = i i j = i j = = i + j ( i + j ) = i + j i j = i = = i + j ( i + j ) = i + j i j = i + j = = 3 i + j ( i + j ) = 3 i + j i j = i = = i j = = j ( i + j ) = j i j = i + 3 j 0 ίνονται τα σημεία (, 6) και ( 9, ) Να βρείτε a Το σημείο του άξονα που ισαπέχει από τα και b Το σημείο του άξονα yy που ισαπέχει από τα και (i) Έστω Μ(, 0) το ζητούμενο σημείο (Μ) = (Μ) MA = MB 0 6 = 9 0 + + + 36 = + 8 + 8+ 4 6 = 48 = 3 Άρα Μ( 3, 0) 36
(ii) Έστω Μ(0, y) το ζητούμενο σημείο (Μ) = (Μ) MA = MB 0 y 6 = 0 9 y + y y + 36 = 8 + 6y = 48 y = 3 Άρα Μ(0, 3) y + 4y +4 Oμάδας ν τα σημεία Κ 3, 5, Λ 3, 7, Μ 5 4,, Ν 3, και Ξ 3, είναι τα μέσα των πλευρών,,, Ε και Ε, αντιστοίχως, του πενταγώνου Ε, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του πενταγώνου Έστω του πενταγώνου, y,, y,, y,, y και Ε 3 3 ια τις τετμημένες θα έχουμε = 3 = 3 = 3 = 6 3 = 4 = 8 3 4 = 3 = 6 4 5 = 3 = 3 5 4 4, y οι κορυφές 5 5 Προσθέτουμε κατά μέλη: + + 3 4 5 = 6 ( )+( )+ 3 4 5 = 3 3 + 8 + 5 = 3 = 5 = 3 + = 3 = 5 = 3 + = 3 = = 6 + = 6 = 4 3 3 3 = 8 4 + = 8 = 4 3 4 4 4 Ομοίως, για τις τεταγμένες βρίσκουμε y =, y = 4, y = 3, y = και y = 0 3 4 5 Σ ε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τετμημένες δύο σημείων και είναι οι ρίζες της εξίσωσης ( 4λ + 3) 7 = 0 Nα βρείτε την τιμή του λ, ώστε το μέσο του τμήματος να έχει τετμημένη 4 Επειδή γ = 7 < 0, η εξίσωση έχει ρίζες, έστω, Έστω Μ το μέσο του Τότε + = M 37
= 8 4 3 4λ + 3 = 8 4λ 5 = 0 λ = 5 ή 3 ίνονται τα σημεία (, ), (, ), (, ) και (, ) 3 3 3 4 4 4 Να αποδείξετε ότι, αν τα σημεία αυτά είναι τα μέσα των διαδοχικών πλευρών ενός τετραπλεύρου, τότε ισχύει + 3 = + 4 και + 3 = + 4 Έστω, y,, y,, y, 4 4 3 3, y οι κορυφές του τετραπλεύρου M 4 M M 3 M ια τις τετμημένες θα έχουμε = + () = + 3 () 3 = + 3 4 (3) 4 = + 4 (4) () + (3) + 3 = + + + 3 4 () + (4) + 4 = + 3 + + 4 Άρα + 3 = + 4 + = + 3 4 Ομοίως για τις τεταγμένες 4 ια οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς,,,,, y να αποδείξετε ότι y + y Θεωρούμε τα σημεία,,, και (, y) πό την τριγωνική ανισότητα έχουμε () + () () y + y 5 ίνονται δύο μη συγγραμμικά διανύσματα και ενός επιπέδου Να αποδείξετε ότι οποιοδήποτε διάνυσμα r του επιπέδου αυτού μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των και κατά μοναδικό τρόπο Έστω O = r, OA = και OB = Φέρουμε ΡΚ//Ο τότε K = λ, OK = μ και O = OK + K r = μ + λ () Κ r Ρ Ο 38
Έστω ότι είναι και r = μ + λ () (), () μ + λ = μ + λ μ μ = λ λ (μ μ ) = (λ λ) (3) ν ήταν μ μ 0, η (3) = Άρα μ μ = 0 μ = μ, συγγραμμικά, που είναι άτοπο Η (3) 0 = (λ λ) λ λ = 0 ή = 0 ν ήταν = 0, τότε, συγγραμμικά, που είναι άτοπο Άρα λ λ = 0 λ = λ 39
ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΙΝΟΜΕΝΟ ΙΝΥΣΜΤΩΝ Ορισμός εσωτερικού γινομένου Πως συνδέεται το έργο δύναμης με το εσωτερικό γινόμενο ; νωρίζουμε ότι το έργο που παράγεται από μια δύναμη F όταν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της από το Ο στο είναι ίσο με το γινόμενο F ( ) συνφ Το γινόμενο αυτό συμβολίζεται με FOA και λέγεται εσωτερικό γινόμενο της δύναμης F με το διάνυσμα OA φ F Ο A Πως ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ; ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ α β συνφ, όπου φ η γωνία των διανυσμάτων και ν 0 ή 0, τότε ορίζουμε 0 ια παράδειγμα, το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων και με 3, 8 π π και φ είναι αβ 38συν 38 3 3 3 Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες του ορισμού γινομένου; Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι εξής: α β βα (ντιμεταθετική ιδιότητα) ν α β τότε α β 0 και αντιστρόφως ν α β τότε α β α β και αντιστρόφως ν α β α β α β και αντιστρόφως Το εσωτερικό γινόμενο α α συμβολίζεται με α και λέγεται τετράγωνο του α Έχουμε: α α α συν0 α Επομένως α α Ειδικότερα, για τα μοναδιαία διανύσματα i και j του καρτεσιανού επίπεδου ισχύουν: 40
i j ji 0 και i j ναλυτική Έκφραση Εσωτερικού ινομένου 4 Να αποδείξετε ότι : Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους Έστω δύο διανύσματα (, y ) (, y ) και Με αρχή το Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA α και OB β πό το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο Ο έχουμε την ισότητα ( ) ( ) ( ) ( )( ) συν, η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία Ο,, είναι συνευθειακά Όμως είναι ( ) ( ) ( y y ), ( ) y και ( ) y Επομένως, έχουμε διαδοχικά: και επειδή ηλαδή: ( ) ( y y) y y y y y y y y α β ( )( ) συν, έχουμε τελικά: y y ( )( ) συν ( )( ) συν Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους ια παράδειγμα, το εσωτερικό γινόμενο των ( 34, ) και (, ) είναι: ( 3) 4( ) 0 5 Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: λα βα( λβ) λ( αβ), λr α ( βγ ) αβαγ (Επιμεριστική Ιδιότητα) αβ λ λ όπου λ λ α και λ λ, ( α, β // yy ) β Πράγματι, αν (, y ), (, y ) και ( 3, y3 ), τότε έχουμε: ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( y y y y yy ) και ( ) (, y )(, y ) ( ) y ( y ) ( y y ) ( ) Άρα, (,y ) y θ Ο a (,y ) 4
( ) ( ) ( ) ( ) (, y)( 3, y y3) ( 3) y( y y3 ) ( 3) ( yy yy3 ) ( yy ) ( 3 yy3 ) y y αβ αβ0 y y 0 y y λ λ Συνημίτονο ωνίας δύο ιανυσμάτων 6Να βρεθεί ο τύπος ο οποίος υπολογίζει την γωνία των μη μηδενικών διανυσμάτων (, y ) και (, y ) ν (, y ) και (, y ) είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία θ, τότε και επομένως, α β συνθ α β Είναι όμως Επομένως, yy, συνθ y y y y και ια παράδειγμα, αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων (, ) και ( 3, ), τότε: y y συνθ 3 3 5 5 0, οπότε 4 7 ν α (, y) και β (, y ), να αποδειχτεί ότι: (i) α β α β (ii) ( α β) α β Πότε ισχύουν οι ισότητες; (i) ν είναι η γωνία των διανυσμάτων α και β, τότε έχουμε: α β α β συν θ α β συνθ α β Η ισότητα ισχύει μόνο, αν συνθ, δηλαδή, μόνο αν α β // (ii) Επίσης, έχουμε ( α β) αβ ( α β ) α β α β Η ισότητα ισχύει, όπως και προηγουμένως, μόνο όταν α β // 4
8 Έστω δύο διανύσματα α και β που έχουν μέτρα α 3, β και π σχηματίζουν γωνία φ Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων α β και 6 y α β ν θ είναι η γωνία των και y, τότε υπολογίσουμε το y και τα μέτρα των, y Έχουμε λοιπόν y ( α β)( αβ) a β α β 3 ( α β) α β αβ α β α β συνφ y y ( α β) 3 3 3 7 α β αβ α β α β συνφ 3 3 3 y συνθ ρκεί, επομένως, να y Άρα, 7 0 συνθ, οπότε θ 4 7 7 9 Να αποδειχτεί ότι συν ( α β) συν ασυν βημαημβ, όπου 0 βαπ ν στον τριγωνομετρικό κύκλο τα διανύσματα OA y και OB σχηματίζουν με τον άξονα β αντιστοίχως, τότε θα είναι OB ( συνβ,ημβ) γωνίες α και OA ( συνα,ημα) και Ο α-β α β Επομένως, θα έχουμε: OAOB OA OB συν( α β) συν( α β) συν( α β) και OA OB ( συνα,ημα)(συνβ,ημβ) συνα συνβ ημαημβ Άρα, συν ( α β) συνα συνβ ημαημβ 43
Προβολή ιανύσματος σε ιάνυσμα 0Πως ορίζεται η προβολή διανύσματος σε διάνυσμα και ποιος τύπος ισχύει για αυτήν ; Έστω α, v δύο διανύσματα του επιπέδου με 0 α Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA α και OM ν πό το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύθυνση του καθέτου OA και έστω M το ίχνος της Το διάνυσμα OM λέγεται προβολή του ν στο α και συμβολίζεται με προ β α ν ηλαδή, OM προ β α ν ποδεικνύεται ότι η προβολή του ν πάνω στο α είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο ια το εσωτερικό γινόμενο των α και ν έχουμε: αv α( OM α προ β α ν MM ) αomαmm αom Ο v θ M M a A Επομένως: α ν απροβ ν α Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος v πάνω στο διάνυσμα α, αν α, v 3 και η γωνία των διανυσμάτων α και v π είναι ίση με φ 6 Έστω Άρα, v προβ ν α Τότε θα ισχύει v λα v 3α αv αv αv αλα αv λα α v συνφ λ α Επειδή α v aπροβ αv, έχουμε: 3 3 λ λ 3 44
ίνονται τα διανύματα α (3,) και (,) Να αναλυθεί το ν σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο α ν Έστω ε η ευθεία η κάθετη στη διεύθυνση του α πό το πέρας Μ του ν φέρνουμε τις κάθετες και στη διεύθυνση του α και στην ε αντιστοίχως και έστω ν και ν Έχουμε ν () ν ν Το διάνυσμα είναι η προβολή του ν στο α και επειδή ν // α, υπάρχει λ R, τέτοιο ώστε προβ ν α λα (3λ, λ) Όμως α ν α βα ν προ και ν επομένως έχουμε διαδοχικά: Συνεπώς, ( 3,) (,) (3,) (3λ, λ) 3 33λλ 5 0λ λ 3 ν α (3,), και v v v ε M v v v Ο 3 3 (,),, y M M a 45
ν = (, 3) και = (, 5), τότε σκήσεις A Oμάδας (i) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα, ( )(-3 ) και ( ) (3 + ) (ii) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ, ώστε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων u = (κ, λ) και να είναι ίσο με μηδέν Ποια η σχέση όλων των διανυσμάτων u στην περίπτωση αυτή; (i) = ( ) + 3 5 = + 5 = 3 ( )( 3 ) = 6 ( ) = 6 3 = -78 = (, 3) (, 5) = (, 3 5) = ( 3, ) 3 + = 3 (, 3) + (, 5) = ( 3, 9) + (, 5) = (, 4) Άρα ( ) (3 + ) = ( 3, ) (, 4) = 3 8 = 5 (ii) u = 0 κ + 5λ = 0 Είναι u, άρα τα διανύσματα u είναι μεταξύ τους συγγραμμικά ν u = (, ), v = (4, ) και w = (6, 0), να υπολογίστε τις παραστάσεις : u (7 v + w ), u ( v w ), uv w και ( u v ) w u v = 4 + 4 = 8 u = = 5 u w = 6 + 0 = 6 w = v w = 4 + 0 = 4 6 0 = 6 u (7 v + w ) = 7( u v ) + u w = 7 8 + 6 = 56 + 6 = 6 u ( v w ) = 5 4 = 4 5 uv w = 8 w = 8 w = 8 6 = 48 ( u v ) w = ( 5 v ) w = 5 ( v w ) = 5 4 = 4 5 3ν = (, 0) και = (, ), να βρείτε τον λ ώστε: (i) Τα διανύσματα και + λ να είναι κάθετα (ii) Τα διανύσματα και + λ να είναι κάθετα 46
(i) + λ ( + λ ) = 0 + λ( ) = 0 + λ( + 0) = 0 + λ = 0 λ = (ii) + λ ( + λ ) = 0 + λ = 0 ( + 0) + λ ( + ) = 0 + λ = 0 λ = λ = 4 Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο u = (3, -) και έχουν μέτρο ίσο με Έστω v = (, y) το ζητούμενο διάνυσμα u v u v = 0 3 y = 0 v = y = 3 y = 3 () y = y = ( ) 9 = 4 3 = 4 = 4 = 3 3 ια = 3, η () y = 3 3, και ή = 3 για = 3 θα είναι y = 3 3 Άρα v = ( 3, 3 3 ) ή v = ( 3, 3 3 ) 5ν =, = 3 και ( ), =, να υπολογίσετε τον κ 3, ώστε τα διανύσματα u = 3 - και v = κ + να είναι κάθετα u v u v = 0 (3 )( κ + ) = 0 3κ + 6 κ - = 0 () λλά = = 4, = = 9 και = συν 3 = 3 = 3 47
() 3κ 4 + 6 3 κ 3 9 = 0 κ + 8 3κ 8 = 0 9κ = 0 κ = 0 6ν = (κ, ) και = (4, 3), να βρείτε τον κ ώστε να ισχύει : (i) = 0 (ii) ( ), = (iii) // 4 (i) = 0 4κ + 3 = 0 4κ = 3 κ = 3 4 (ii) = συν 4 4κ + 3 = 8k + 6 = 5 4 3 () Περιορισμός : 8κ + 6 0 8κ 6 κ 3 4 () 8 6 = 50( ) 64 + 96κ + 36 = 50 + 50 4 + 96κ 4 = 0 = 7 + 48κ 7 = 0 48 + 4 49 = 304 + 96 = 500, κ = 48 50 = ή 98 = ή 7 4 4 4 7 Λόγω του περιορισμού θα έχουμε κ = 7 (iii) // 4 3 = 0 3κ 4 = 0 κ = 4 3 7ν = = και ( ), = 3, να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων u = +4 και v = Έστω θ η γωνία των διανυσμάτων u, v Τότε u v = ( + 4 )( ) = + 4 4 = + 4 = + = 4 = 3 συνθ = uv u v () = συν 3 = 4 = = 48
u = u = 4 = 4 = 4( + 4 + 4 ) = 4( + 4) = Άρα u = 3 v = v = = + = + + = 3 Άρα v = 3 () συνθ = 3 = θ = 3 3 3 8ν τα διανύσματα, είναι μη μηδενικά, να αποδείξετε ότι : ( ) συν( ), = ( ) ( ) = 0 = 0 = = συν( ), συν( ), = 9Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u = + και v = είναι κάθετα u v = ( + )( ) = = ( ) + ( ) = 0 u v 0Να αποδείξετε ότι για δύο μη μηδενικά διανύσματα και, το διάνυσμα v = ( ) είναι κάθετο στο v = [ ( ) ] = = ( ) ( )( ) ( ) ( ) = 0 v 49
ίνονται τα σημεία (3, ), (6, 4), (, 5 ) και (, ) Να υπολογίσετε (i) Το εσωτερικό γινόμενο (ii) Τι συμπεραίνετε για τα διανύσματα και ; (i) = (6 3, 4 + ) = (3, ) = (, 5) = (, 3) = 3( ) + ( )( 3) = 6 + 6 = 0 (ii) = 0 ίνονται τα διανύσματα = (, 4) και = ( -8, 5) Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το Έστω u, v οι συνιστώσες, με u, v και = u + v u u = λ v v =0 = u + v = ( u + v ) ( 8) + ( 4) 5 = ( λ + v ) 6 0 = λ + v 36 = λ (4 + 6) + 0 36 = 0λ λ = 9 5 Άρα u = 9 = 9 8, 36 5 5 5 5 = u + v v = u = ( 8, 5) (, 4) = 8, 36 = 8 8, 5 36 =, 5 5 5 5 5 5 3Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου που κατασκευάζεται με τα διανύσματα 5 + και 3, αν =, = 3 και ( ), = 45 ο = συν 45 ο = 3 = = 5 3 = 6 = 36 + = 36 8 6 + 9 = 6 = 88 7 + 9 = 5 = 5 50
= = 5 3 = 4 5 = 6 + 40 + 5 = 6 8 = 40 6 + 5 9 = 8 + 40 + 5 = 593 = 593 4ια τα διανύσματα του διπλανού σχήματος, να υπολογίσετε την παράσταση + + = ( + ) Ε = = = = ()(Ε) = 5 3 = 5 Άλλος τρόπος, με συντεταγμένες = ( 3, 4), = (, 3), = (4, 3) = 3 + = 9, = = 4 Άρα + = 9 4 = 5 5Να εξετάσετε πότε ισχύει : (i) = + (ii) = (i) = + = ( + ) = ( + ) + + = + + = (ii) = = = + = + + = 5
Oμάδας Τα διανύσματα και είναι μη μηδενικά και μη συγγραμμικά Να αποδείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ ισχύει : + λμ( ) + 0 Πότε ισχύει το = ; + λμ( ) + + λμ( ) + 0 0 που ισχύει για κάθε λ, μ = 0 = 0 λ + μ = 0 λ = μ ν ήταν λ 0, τότε = που είναι άτοπο Άρα λ = 0 Ομοίως αν ήταν μ 0 Να αποδείξετε ότι : (i) (i) u v + u v + u v = u + u v = u v = = + u v u + u v + u + v v (ii) u v = 4 v + u u v + u v 4 v u v (ii) u v 4 4 u v = 4 u v 4 u v = 4 ( u + u v + = 4 ( u + u v + = 4 4( u v ) = u v v ) 4 ( u u v + v u + u v v ) v ) 3ίνονται τα μη μηδενικά και μη συγγραμμικά διανύσματα και Να αποδείξετε ότι : (i) Ο φορέας του διανύσματος u = + διχοτομεί τη γωνία των διανυσμάτων και 5
(ii) Ο φορέας του διανύσματος v = διχοτομεί την παραπληρωματική γωνία των διανυσμάτων και (i) ρκεί να δειχθεί ότι συν( u, ) = συν( u, ) u u = u u u = u ( ) = ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) + ( ) = ( ) + που ισχύει (ii) ρκεί να δειχθεί ότι v u, δηλαδή v u = 0 v u = ( ) ( + ) = ( ) ( ) = = = 0 4ν =, =, = 3 και + + = 0, να υπολογίσετε τα : (i),, (ii) συν( ),, συν( ),, συν( ),, και να αποδείξετε ότι = και = 3 (i) + + = 0 + = ( + ) = ( ) 4 + 4 + = 53
4 4 + 4 + = 9 4 = 8 = Ομοίως βρίσκουμε = 3 και = 6 (ii) συν( ), = = = και ομοίως συν( ), =, συν( ), =, συν( ), = ( ), = 80 ο, Ομοίως αποδεικνύουμε ότι = 3 5ν τα διανύσματα οπότε η σχέση = γίνεται = = (κ, λ) και = (μ, ν) είναι κάθετα και έχουν μέτρα ίσα με τη μονάδα, να δείξετε ότι (κν λμ ) = = 0 κμ + λν = 0 (κμ + λν ) = 0 + κμλν + = 0 () = = + = = = = + = = () ( ) + κμλν + ( + ) ( + κμλν + ( κμλν + ) = 0 = 0 ) = 0 (κν λμ ) = 0 = (κν λμ ) 6Να αποδείξετε ότι Θεωρούμε τα διανύσματα u = (α, β ) και v = (γ, δ) Τότε συνu, v = λλά συνu, v 7Σε ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου Ο παίρνουμε σημείο Μ (i) Να εκφράσετε τα διανύσματα MA, MB M 54
ως συνάρτηση των, (ii) Να βρείτε το γινόμενο MA MB O Τι συμπεραίνετε για τη γωνία των διανυσμάτων MA και MB; Ποια πρόταση της Ευκλείδειας εωμετρίας έχει αποδειχθεί; (i) MA = OA OM = MB = OB OM = (ii) MA MB = ( + )( ) = ( ) = = = 0 MA MB άρα, Επομένως αποδείχθηκε η πρόταση της Ευκλείδειας εωμετρίας : H γωνία, που βαίνει σε ημικύκλιο, είναι ορθή 8Σε τρίγωνο τα δύο ύψη του Ε και Ζ A τέμνονται στο Η Έστω A =, = και = = 90 ο (i) Να εκφράσετε τα διανύσματα B, H και ως συνάρτηση των, και (ii) Να αποδείξετε ότι = και B = (iii) πό το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει ότι = Με τη βοήθεια της ισότητας αυτής να δείξετε ότι Η Ποια πρόταση της Ευκλείδειας εωμετρίας έχει αποδειχθεί; (i) B = A = = A = = = (ii) B B = 0 ( ) = 0 = 0 = () Ομοίως = () 55
(iii) (), () = = 0 ( ) = 0 A ( ) = 0 A = 0 Η ποδείχθηκε ότι : τα ύψη τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο 9ίνεται τρίγωνο και εξωτερικώς αυτού κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΕΖ και ΗΘ Να εκφράσετε τα διανύσματα και ως συνάρτηση των Ζ,,, και να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο Ε Τι συμπεραίνετε για τα τμήματα Θ και Ζ; Θ Η = = = = = ( )( ) = + = 0 συν, συν, + 0 = () () συν(π ˆ ) () () συν ˆ Συμπεραίνουμε Θ Ζ = () () συν ˆ () () συν ˆ = 0 0Στο διπλανό σχήμα, το είναι παραλληλόγραμμο και τα, οι προβολές του στις και αντιστοίχως Να αποδείξετε ότι B B + = B B + = B προ + προ = B B + = ( B + ) = = 56
ίνεται κύκλος (Ο, R) και σημείο Μ του επιπέδου του ν μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Μ τέμνει τον κύκλο στα και, να αποδείξετε ότι το γινόμενο B είναι σταθερό (Το γινόμενο αυτό λέγεται δύναμη του σημείου Μ ως προς τον κύκλο Ο) Φέρουμε τη διάμετρο Ο και τα τμήματα, Μ, ΟΜ ˆ = 90 ο = προ Ο Άρα B= B = ( B )( ) Μ = ( )( ) = ( + )( ) = ( ) = (ΟΜ ) R = σταθερό 57
Ερωτήσεις κατανόησης ου ίνεται ότι το τετράπλευρο είναι ρόμβος Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) Σ Λ iν) Λ Σ ν) Σ Λ νi) Λ Σ ν,,, είναι τέσσερα σημεία να συμπληρώσετε τις ισότητες i) = νi) ii) νii) iii) νiii) 0 iν) = i) = 0 ν) 3ν Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου, να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες Ο i) = iν) ii) = ν) iii) 58
4ια τα διανύσματα του διπλανού σχήματος, να βάλετε σε κύκλο την σωστή απάντηση i) ii ) iii) 5 Σε ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο δίνεται το σημείο ( 3, ) Να συμπληρώσετε τις ισότητες i) Συμμετρικό του ως προς τον άξονα των ( 3, ) ii) Συμμετρικό του ως προς τον άξονα των ψ (3, ) iii) Συμμετρικό του ως προς την αρχή Ο 3 (3, ) iν) Συμμετρικό του ως προς την διχοτόμο της ˆ ψ 4 (, 3) 6ίνονται τα σημεία (3, ), (6, 5), ( 4, ), (3, 3)και Ε( 3, 5) Να συνδέσετε με μία γραμμή κάθε διάνυσμα της πρώτης στήλης με τις συντεταγμένες του στη δεύτερη στήλη Στήλη Στήλη (0, 4) (3, 4) ( 7, 3) ( 6, 4) ( 9, 0) 7ίνονται τα σημεία (3, ), ( 4, 5), ( 3, ), (3, 4) Να συνδέσετε με μία γραμμή κάθε τμήμα της πρώτης στήλης με τις συντεταγμένες του μέσου του στη δεύτερη στήλη Στήλη Στήλη (0, 0) 7 (, ) 7 3 (, ) (0, 3) 59
8Να βάλετε σε κύκλο τον αριθμό που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση i) ίνεται το διάνυσμα (3, ) και τα σημεία (4, ), (, 7), (0, 3) και (, 5) Ποιο από τα παρακάτω διανύσματα είναι ίσο με το ; 3 4 5 ii) ίνεται το διάνυσμα (3, ) Ποιο από τα παρακάτω διανύσματα είναι παράλληλο με το ; (8, 4) ( 4, ) 3 ( 6, 3) 4 ( 6, 4) 9ίνεται το τετράγωνο κέντρου Ο και πλευράς α Να βρείτε ως συνάρτηση του α τα παρακάτω εσωτερικά γινόμενα Ο i) = 0 iν) = ii) = α ν) α iii) = 0 νi) = α 0Τα διανύσματα u και v έχουν μέτρα και 3 αντίστοιχα Να βρείτε το γινόμενο u v, αν η γωνία των διανυσμάτων αυτών είναι : i) 0 o, ii) 30 o, iii) 60 o, iν) 90 ο, ν) 0 o, νi) 50 o, νii) 80 o i) u v = u v συν0 o = 3 = 6 ii) u v = u v συν30 o = 3 3 =3 3 iii) u v = u v συν60 o = 3 =3 iν) u v = 0 ν) u v = u v συν0 o = 3 ( ) = 3 νi) u v = u νii) u v = u v συν50 o = 3 ( 3 ) = 3 3 v συν80 o = 3 ( ) = 6 60
Να βάλετε σε κύκλο την σωστή απάντηση : ν u v = u w και u 0 τότε v = w, v w, u v w, u v + w Να συνδέσετε με μία γραμμή κάθε ζεύγος διανυσμάτων της πρώτης στήλης με το είδος της γωνίας τους που αναφέρεται στην δεύτερη στήλη Στήλη Στήλη u (7, 5), v (, ) ορθή u ( 3, 4), v (, ) 3 u (3, 5), v (6, 0) οξεία 4 u (0, ), v ( 5, 4) 5 u (, 3), v (3, ) 6 u (, ), v (, ) αμβλεία 3 ια τα διανύσματα του παρακάτω σχήματος να βάλετε σε κύκλο την σωστή απάντηση i) ii) iii ) 6
ενικές ασκήσεις ν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί κ, λ, μ με + + 0, τέτοια, ώστε κ + λ + μ = 0 και κ + λ + μ = 0, να αποδείξετε ότι τα σημεία, και είναι συνευθειακά και αντίστροφα Ευθύ + + 0 ένας τουλάχιστον από τους κ, λ, μ είναι 0 Έστω λ 0 κ + λ + μ = 0 κ = λ μ κ + λ + μ = 0 ( λ μ) + λ + μ = 0 λ μ + λ + μ = 0 λ( ) + μ( ) = 0 λ + μ = 0 λ = μ = ντίστροφο //, και είναι συνευθειακά, και συνευθειακά // = ρ = ρ( ) = ρ ρ ρ + ρ = 0 (ρ ) + + ( ρ) = 0 () Θέτουμε ρ = κ, = λ, ρ = μ Τότε κ + λ + μ = ρ + ρ = 0 και () κ + λ + μ = 0 ν για το σημείο Μ του επιπέδου ενός τριγώνου ισχύουν οι σχέσεις = λ + μ και = λ + μ, να αποδείξετε ότι το Μ είναι το μέσο της πλευράς Θεωρούμε σημείο αναφοράς το και =, =, = = λ + μ = λ + μ () = λ + μ = λ + μ( ) = λ μ = + λ μ () 6
(), () λ + μ = + λ μ λ + μ λ + μ = 0 (λ + μ) + (μ λ) = 0 και επειδή τα, είναι μη συγγραμμικά θα είναι λ + μ = 0 και μ λ = 0 λ + μ = και μ = λ λ = λ = = μ Η ισότητα = λ + μ = + = ( + ) Μ μέσο της πλευράς 3Έστω Ο και δύο σταθερά σημεία του επιπέδου με OA = 3 Ποια γραμμή γράφουν τα σημεία Μ του επιπέδου για τα οποία είναι O ( O OA ) = 7; Θεωρούμε σημείο αναφοράς το O ( O OA ) = 7 ( A AO )( A AO + AO ) = 7 Άρα το Μ γράφει κύκλο (, 4) ( A AO )( A + AO ) = 7 A AO = 7 (Μ ) 3 = 7 (Μ ) = 6 (Μ) = 4 4ίνονται δύο μη μηδενικά διανύσματα και ν υπάρχει λ τέτοιος, ώστε =, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου Ο με OA = και O = είναι μικρότερο ή ίσο του = = = + λ( ) + + ( )λ + = = 0 () O K 63