5. Φασματογράφοι 6 Ιουνίου 2013 1 Εισαγωγή Σε πολλά οπτικά συστήματα, το ζητούμενο δεν είναι μόνο η συλλογή του φωτός και ο σχηματισμός όσο το δυνατόν ακριβέστερων ειδώλων, αλλά και η ανάλυση του σε χρώματα. Ηφασματοσκοπία είναι ο φυσικός διαχωρισμός του φωτός σύμφωνα με τα μήκη κύματός του. Μερικά παραδείγματα είναι Η ανάλυση της προέλευσης ή του περιεχομένου μιας φωτεινής πηγής, όπως γίνεται στην αστρονομία. Ο προσδιορισμός της σύστασης ενός υλικού προσδιορίζοντας τα μήκη κύματος που εκπέμπει. Η αναγνώριση αντικειμένων μέσα από την ανίχνευση συγκεκριμένων μηκών κύματος, όπως για παράδειγμα στα κυάλια βραδινής όρασης που λειτουργούν στο υπέρυθρο. Πολλά οπτικά όργανα περιλαμβάνουν μέρη που επιτελούν τη λειτουργία της φασματικής ανάλυσης, ενώ κάποια σχεδιάζονται ειδικά για αυτόν το σκοπό. Αυτά τα όργανα καλούνται φασματογράφοι και χωρίζονται σε κατηγορίες ανάλογα με τη μέθοδο που χρησιμοποιούν για να επιτύχουν την ανάλυση του φωτός. Συγκεκριμένα, έχουμε φασματογράφοι φίλτρου, φασματογράφοι πρίσματος, και φασματογράφοι φράγματος. Όλοι οι φασματογράφοι χαρακτηρίζονται από την ισχύ ανάλυσης R, η οποία ορίζεται ως R = λ λ, (1) όπου λ είναι το μήκος κύματος της ακτινοβολίας που διαχωρίζουν και λ η ελάχιστη διαφορά στο μήκος κύματος που μπορεί να διακρίνουν. 2 Φασματογράφοι φίλτρου Η απλούστερη μέθοδος κατασκευής φασματοσκοπίου είναι η χρήση οπτικών φίλτρων, δηλαδή σωμάτων που επιτρέπουν να περάσει από αυτά φως μόνο σε μία συγκεκριμένη περιοχή του μήκους κύματος. Τοποθετώντας ένα φίλτρο σε ένα οπτικό σύστημα ξέρουμε ακριβώς ποια μήκη κύματος διασχίζουν το οπτικό σύστημα και σχηματίζουν το είδωλο. Ένα φίλτρο μπορεί να είναι κάτι τόσο απλό όσο ένα χρωματιστό γυαλί ή κάτι τόσο πολύπλοκο όπως ένα πολυστρωματικό διηλεκτρικό υλικό. Γενικά πάντως, ένα φασματομετρο που κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας ένα η περισσότερα απλά φίλτρα, μπορεί να είναι μία πολύ καλή (και φθηνή) λύση για πολλά πρακτικά προβλήματα φασματομετρίας. 1
Σχήμα 1: Η αλλαγή της κατανομής της έντασης της ακτινοβολίας ανά μήκος κύματος ύστερα από το πέρασμα από φίλτρο, για τρία διαφορετικά φίλτρα. Κάθε φίλτρο χαρακτηρίζεται από μία συνάρτηση μετάδοσης τ(λ). Η συνάρτηση μετάδοσης είναι το κλάσμα της εξερχόμενης έντασης ακτινοβολίας I out (λ) σε μήκος κύματος λ προς την εισερχόμενη ένταση ακτινοβολίας I in (λ), τ(λ) = I out(λ) I in (λ). (2) Με βάση τη συνάρτηση μετάδοσης τους, τα φίλτρα χωρίζονται σε τρεις βασικές κατηγορίες βλέπε σχ. 1. Φίλτρα υψηλών συχνοτήτων (μικρού μήκους κύματος), που επιτρέπουν το πέρασμα ακτινοβολίας με μήκος κύματος μικρότερο από μία κρίσιμη τιμή λ 0. Φίλτρα χαμηλών συχνοτήτων (μεγάλου μήκους κύματος), που επιτρέπουν το πέρασμα ακτινοβολίας με μήκος κύματος μεγαλύτερο από μία κρίσιμη τιμή λ 0. Φίλτρα ταινίας, που επιτρέπουν το πέρασμα ακτινοβολίας σε μία περιοχή μηκών κύματος γύρω από μία μέση τιμή λ 0. 3 Φασματογράφοι πρίσματος 3.1 Πρίσμα και γωνία εκτροπής Ως πρίσμα χαρακτηρίζεται οποιοδήποτε διαφανές στερεό σώμα από ομοιογενές ισότροπο υλικό του οποίου η διατομή είναι τριγωνική. Το πρίσμα προσδιορίζεται δύο επίπεδα μη παράλληλα μεταξύ τους που καλούνται έδρες του πρίσματος και η τομή τους ακμή του πρίσματος ή διαθλαστική ακμή. Η γωνία που σχηματίζεται από τις έδρες καλείται διαθλαστική γωνία. Θα συμβολίσουμε τη διαθλαστική γωνία ως A. Εστω ότι ο δεικτης διάθλασης του υλικού είναι n. Εφαρμόζοντας το νόμο του Snell στις δύο διαθλαστικές επιφάνεις, παίρνουμε τη βασική εξίσωση για πρίσμα = ϕ A + sin 1 y, (3) όπου y = n 2 sin 2 ϕ sin A sin ϕ cos A (4) 2
Σχήμα 2: Διαθλαστική γωνία A, εισερχόμενη γωνία ϕ και γωνία εκτροπής. Σχήμα 3: Η γωνία εκτροπής ως συνάρτηση της γωνίας πρόσπτωσης ϕ σε πρίσμα με διαθλάστική γωνία α = 30 o. Μια τυπική γραφική παράσταση του ως συνάρτηση του ϕ δίνεται στο σχήμα 3. Παρατηρούμε ότι υπάρχει μία ελάχιστη τιμή min της γωνίας εκτροπής. Θεωρητικά αυτή η τιμή προσδιορίζεται εφαρμόζοντα την απαίτηση d /dϕ = 0 στην εξίσωση (3), από την οποία προκύπτει η σχέση n = sin ( ) A+ min 2 sin ( ). (5) A 2 Η παραπάνω σχέση είναι ιδιαίτερα σημαντική καθώς μας δίνει μία άμεση σχέση της γωνίας ελάχιστης εκτροπής min με το δεικτη διάθλασης n του υλικού από το οποίο αποτελείται το πρίσμα. 3.2 Διασκεδασμός ενός γυαλιού Η βασική ιδιότητα ενός διαθλαστικού υλικού που επιτρέπει τη χρήση πρισμάτων ως φασματομετρα είναι ο διασκεδασμός, δηλαδή η μεταβολή του δείκτη διάθλασης n του υλικού σε σχέση με το μήκος κύματος λ της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Κάθε υλικό χαρακτηρίζεται από διαφορετική συνάρτηση n(λ) που καλείται συνάρτηση διασκεδασμού. Παραδείγματα συναρτήσεων διασκεδασμού για διάφορα γυαλιά δίνονται στο σχήμα 4. Για να χαρακτηρίσουμε ένα είδος γυαλιού ως προς την αλλαγή του δείκτη διάθλασης χρησιμοποιούμε μία σύμβαση να εξετάζουμε το δείκτη διάθλασης σε τρία μήκη κύματος αναφοράς, που αντιστοιχούν σε φασματικές γραμμές ουσιών, όπως δίνονται στον πίνακα 1. Συνήθως οι οπτικές ιδιότητες ενός γυαλιού περιγράφονται συνοπτικά από δύο αριθμούς, το δείκτη διάθλασης n d και το συντελεστή Abbe V d, ο οποίος ορίζεται ως V d = n d 1 n F n C. (6) 3
Σχήμα 4: Δείκτης διάθλασης n ως συνάρτηση του μήκους κύματος λ για διάφορα υλικά.(flint glass = πυριτίαλος, crown glass = στεφανύαλος). Πίνακας 1: Μήκη κύματος αναφοράς και συμβολισμός φασματική γραμμή λ(nm) χρώμα δείκτης διάθλασης d του He 587,6 κίτρινο n d F του H 486,1 μπλε-πράσινο n F C του H 656,3 κόκκινο n C Οι τιμές του συντελεστή Abbe κυμαίνονται μεταξύ 20 και 90. Όσο μικρότερες είναι οι τιμές τόσο μεγαλύτερη η μεταβλητότητα του δεικτη διάθλασης με το μήκος κύματος. Οι κατασκευαστές ξεχωρίζουν τους διαφορετικούς τύπους γυαλιών χρησιμοποιώντας έναν εξαψήφιο κωδικό. Τα 3 πρώτα ψηφία του κωδικού αντιστοιχούν στα τρία πρώτα σημαντικά ψηφία του n d 1 και τα τρία τελευταία αντιστοιχούν στα τρία πρώτα σημαντικά ψηφία του V d (κάνοντας στρογγυλοποίηση). Για παράδειγμα, ένα γυαλί με n d = 1, 5168 και V d = 64, 29 χαρακτηρίζεται από τον εξαψήφιο κωδικό 517643. Αντίστροφα, ένα γυαλί με εξαψήφιο κωδικό 617366 έχει n d = 1, 617 και V d = 36, 6. 3.3 H λειτουργία του φασματογράφου πρίσματος Με δεδομένη την εξάρτηση της γωνίας εκτροπής από το δείκτη διάθλασης του υλικού, κάθε φωτεινή ακτίνα που εισέρχεται στο φασματόμετρο εκτρέπεται και κατά διαφορετική γωνία ανάλογα με το μήκος κύματός της. Κατ αυτόν τον τρόπο το πρίσμα δρα ως αναλυτής του φωτός στα επιμέρους χρώματά του. Αν επιπλέον γνωρίζουμε ακριβώς τη συνάρτηση διασκεδασμού του γυαλιού του πρίσματος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (3) ή τη σχέση (5) προκειμένου να προσδιορίσουμε το μήκος κύματος της κάθε ακτίνας μετρώντας τη γωνία εκτροπής. Τα όρια ανάλυσης ενός φασματογράφο πρίσματος οφείλονται στο ότι τα όρια του πρίσματος αποτελούν οπτικό διάφραγμα, οπότε εμφανίζονται φαινόμενα περίθλασης. Δεδομένου ότι ένα πρίσμα δεν είναι σφαιρικό δεν μπορούμε να εμφανίσουμε κριτήρια όπως αυτό του Rayleigh για να υπολογίσουμε ακριβώς την ανάλυση που μπορεί να επιτύχει (δηλαδή πόσο μικρό είναι το σφάλμα λ στον προσδιορισμό του μήκους κύματος). Απαιτείται πιο περιπλοκη θεωρητική μελέτη, η οποία δίνει την ακόλουθη έκφραση για την ισχυ. R = dn B, (7) dλ όπου B είναι το μήκος της βάσης του πρίσματος στην κατεύθυνση που διαδίδονται οι φωτεινές ακτίνες. Είναι σαφές ότι μεγαλύτερα σε μέγεθος πρίσματα επιτυγχάνουν μεγαλύτερη ανάλυση. 4
Σχήμα 5: Δύο διαγράμαμτα σχεδιασμού φασματογράφων πρίσματος. Στο πρώτο διάγραμμα χρησιμοποιείται ένα ανεξάρτητο κάτοπτρο μαζί με το πρίσμα, ενώ στο δεύτερο το ρόλο του κατόπτρου τον παίζει μία επιφάνεια του πρίσματος που έχει επαργυρωθεί. Το δεύτερο σχέδιο είναι πιο χρήσιμο για μικρούς και φτηνούς φασματογράφους. Η παράγωγος dn/dλ στην εξ. (7) μπορεί να γραφτεί προσεγγιστικά ως συνάρτηση των n d και V d dn dλ n C n F = (n d 1) 1 5, 9 (n d 1) (µm) 1. (8) λ C λ F V d λ C λ F V d Για ένα τυπικό πρίσμα με μήκος βάσης B = 5cm, n d = 1, 5 και V d 35, βρίσκουμε R 4300. Για την κατασκευή λειτουργικών φασματογράφων πρίσματος συνήθως χρησιμοποιούνται φακοί για να εστιάσουν τις προσπίπτουσες ακτίνες στο πρίσμα και κάτοπτρα προκειμένου να περάσουν πολλές φορές οι ακτίνες μέσα από το πρίσμα, έτσι ώστε να αυξηθεί η τελική γωνία εκτροπής και άρα η ισχύς του βλέπε σχήμα 5. 4 Φασματογράφοι φράγματος 4.1 Περίθλαση σε φράγμα Ο φασματογράφος φράγματος λειτουργεί με βάση το φαινόμενο της περίθλασης σε φράγμα. Όταν λέμε φράγμα εννοούμε ένα γυαλί με πολλές παράλληλες τομές σε μικρή κλίμακα. Η βασική παράμετρος που χαρακτηρίζει ένα φράγμα είναι η σταθερά d του φράγματος, η οποία αντιστοιχεί στη μέση απόσταση μεταξύ διαδοχικών διατομών. Συνήθως ένα εργαστηριακό φράγμα προσδιορίζεται από τον αριθμό των γραμμών (διατομών) ανά cm, από τον οποίο βρίσκουμε την τιμή του d με αντιστροφή. Για παράδειγμα, ένα φράγμα με 5000 γραμμές ανά cm, έχει σταθερά d = 1cm/(5000) = 10 7 nm/5000 = 2000nm. Όταν μονοχρωματική ακτινοβολία μήκους κύματος λ πέσει πάνω σε ένα φράγμα υπό γωνία β ως προς την κάθετο στο φράγμα, τότε διασπάται σε δέσμες οι οποίες σχηματίζουν γωνίες δ m με την κάθετο στο φράγμα, οι οποίες ικανοποιούν από τη σχέση mλ = d(sin δ m sin β), (9) όπου m = 0, ±1, ±2,.... Η απόλυτη τιμή του ακεραίου m που χαρακτηρίζει μία εξερχόμενη ακτίνα καλείται τάξη της ακτίνας. Στο σχήμα 6 δίνονται φωτογραφίες από ακτίνες εξερχόμενες από φράγμα, ενώ στο σχήμα 7 δίνεται ένα διάγραμμα περιγραφής των εισερχόμενων και εξερχόμενων ακτινών. Από τη σχέση 99) παίρνουμε sin δ m = mλ/d + sin β. Με δεδομένο ότι sin δ m 1, παίρνουμε την ανισότητα mλ/d + sin β 1. (10) 5
Σχήμα 6: Φωτογραφίες εξερχόμενων φωτεινών ακτινών από φράγμα περίθλασης. Σχήμα 7: Διάγραμμα εκτρεπόμενων ακτινών από φράγμα περίθλασης. Από την παραπάνω σχέση μπορούμε να προσδιορίσουμε και την ανώτατη τάξη εξερχόμενων ακτινών, για δεδομένο φράγμα και μήκος κύματος. Συγκεκριμένα, Αν λ > 2d, η μοναδική εξερχομενη ακτίνα (για οποιαδήποτε γωνία πρόσπτωσης β αντιστοιχεί σε m = 0 και δ 0 = 0, δηλαδή δεν εκτρέπεται σε σχέση με την αρχική. Δεν μπορεί να υπάρξει εξερχόμενη ακτίνα με τάξη m > 2d/λ για οποιαδήποτε γωνία πρόσπτωσης β. Αυτό σημαίνει ότι σε οποιοδήποτε φράγμα υπάρχουν το πολύ 2(2d/λ) + 1 = 4λ + 1 εξερχομενες ακτίνες. Στην ειδική περίπτωση που οι ακτίνες προσπίπτουν κάθετα (β = 0), ισχύει m λ/d 1, οπότε για λ > d υπάρχει μόνο εξερχόμενη ακτίνα μηδενικής τάξης, για λ < d, η μέγιστη τάξη m max εξερχόμενης ακτίνας ικανοποιεί m max = [d/λ], όπου [x] συμβολίζει το ακέραιο μέρος του x, δηλαδή το μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό μικρότερο από x. (Για παράδειγμα, [3, 5] = 3, [4, 99] = 4). Οι αριθμός των εξερχόμενων ακτινών είναι ακριβώς ίσος με 2 m max + 1. 4.2 H λειτουργία του φασματογράφου φράγματος Σε ένα φασματογράφο φράγματος, η μετρούμενες ποσότητες είναι οι γωνίες εκτροπής δ m των εξερχόμενων ακτινών. Ο φασματογράφος κατασκευάζεται έτσι ώστε η γωνία πρόσπτωσης β να είναι σταθερή και γνωστή. Δεδομένου ότι και η σταθερά d του φράγματος είναι γνωστή, η εξίσωση (9) μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε το μήκος κύματος λ. Η ισχύς ενός φασματογράφου φράγματος δίνεται από τη σχέση R = Nm, (11) 6
όπου N είναι ο αριθμός των διατομών που συμμετέχουν στην περίθλαση και m η τάξη της ακτίνας της οποίας μετράμε την γωνία εκτροπής. Για να μεγιστοποιήσουμε την ισχύ σχεδιάζουμε το φασματογράφο έτσι ώστε η προσπίπτουσα ακτινοβολία να καλύπτει όλες τις διατομές. Σ αυτήν την περιπτωση, N = L/d, όπου L το πλάτος του φράγματος. Επίσης εστιάζουμε σε μέτρηση των μεγαλύτερων δυνατών γωνιών εκτροπής. Συχνά χρησιμοποιούνται ανακλαστικά φράγματα, στα οποία έχει γίνει επίθεση ενός μεταλικού στρώματος στο πίσω μέρος του φράγματος, έτσι ώστε οι εξερχόμενες ακτίνες να ανακλαστούν προς την κατεύθυνση που προήλθαν. Γενικά στην κατασκευή ενός φασματογράφου φράγματος χρησιμοποιούνται και άλλα οπτικά στοιχεία, όπως φακοί και κάτοπτρα για την εστίαση των φωτεινών ακτινών. 5 Ερωτήματα-ασκήσεις 1. Τι είναι η ισχύς ανάλυσης ενός φασματογράφου; 2. Σχεδιάστε τη μορφή των συναρτήσεων μετάδοσης που αντιστοιχούν σε φίλτρα υψηλών συχνοτήτων, χαμηλών συχνοτήτων και σε φίλτρα ταινίας. 3. Έχετε δύο φίλτρα ταινίας. Το πρώτο επιτρέπει τη μετάδοση σε μήκη κύματος (500±30)nm και το δεύτερο σε μήκη κύματος (550 ± 30)nm. Με τί ακρίβεια λ μπορείτε να προσδιορίσετε το μήκος κύματος όταν λ = 528nm; Ποια είναι η ισχύς ανάλυσης R; 4. Πρίσμα με μήκος βάσης B = 6cm κατασκευάζεται από γυαλί με κωδικό 563362. Βρείτε την ισχύ ανάλυσης R του πρίσματος. 5. Δυο πρίσματα έχουν ακριβώς το ίδιο σχήμα και μέγεθος. Το πρώτο αποτελείται από γυαλί με κωδικό 566413 και το άλλο από γυαλί με κωδικό 601467. Ποιο από τα δύο έχει υψηλότερη ισχύ ανάλυσης; 6. Δύο πρίσματα κατασκευάζονται από το ίδιο γυαλί, έχουν την ίδια διαθλαστική γωνία, αλλά διαφορετικό μέγεθος. Το μεγαλύτερο ή το μικρότερο έχει υψηλότερη ισχύ ανάλυσης; 7. Ποια είναι η σταθερά d για ένα φράγμα φράγμα με 650 διατομές ανά mm; 8. Πόσες εγκοπές ανά cm πρέπει να έχει ένα φράγμα ώστε να δίνει τουλάχιστον μία εκτρεπόμενη ακτίνα αν πέσει πάνω του ερυθρό φως και πόσες αν πέσει πάνω του μπλε φως; 9. Έχετε ένα φράγμα με σταθερά d = 2000nm και πλάτος L = 1cm και ένα δεύτερο φράγμα με d = 4000nm και πλάτος L = 2cm. Ποιο μπορεί να μας δώσει υψηλότερη ισχύ ανάλυσης για φως στο ερυθρό; 10. Επαναλάβετε το παραπάνω ερώτημα αν το δεύτερο φράγμα έχει d = 3000nm και πλάτος L = 1cm. Θεωρείστε κάθετη πρόσπτωση στο φράγμα. Άσκηση 1. Σε πρίσμα με διαθλαστική γωνία A = 60 o προσπίπτει ακτινοβολία μήκους κύματος λ = 568nm. Υπολογίστε τη γωνία ελάχιστη εκτροπής, αν ξέρετε ότι το πρίσμα είναι κατασκευασμένο από γυαλί με δείκτη διάθλασης n = 1, 543. Άσκηση 2. Ακτινοβολία μήκους κύματος λ = 560nm προσπίπτει σε φράγμα με σταθερά d = 2500nm υπό γωνία β = 30 o. Προσδιορίστε όλες τις γωνίες δ m των εξερχομενων ακτινών. Ποια είναι η μέγιστη τιμή της τάξης m ; Ασκηση 3. Φράγμα έχει πλάτος L = 2cm και σταθερά d = 2000nm. Αν εισερχόμενες ακτίνες μήκους κύματος λ = 467nm προσπίπτουν κάθετα, βρείτε τη μέγιστη τάξη των εξερχόμενων ακτινών. Υπολογίστε τη μέγιστη ισχύ του φασματογράφου που μπορεί να κατασκευαστεί με αυτό το φράγμα. 7