Κεφάλαιο 8 Έλεγχοι ορθότητας της επίλυσης

Κεφάλαιο 8 Έλεγχοι ορθότητας της επίλυσης Σύοψη Οι έλεγχοι τω αποτελεσμάτω στατικώ επιλύσεω, είτε οι επιλύσεις αυτές γίοται με το ηλεκτροικό υπολογιστή, είτε «με το χέρι», αποτελού ααπόσπαστο τμήμα της διαδικασίας επίλυσης. Οι έλεγχοι αυτοί είαι, κυρίως, έλεγχοι ισορροπίας για τα υπολογισθέτα ετασιακά μεγέθη και έλεγχοι συμβιβαστού για τα υπολογισθέτα παραμορφωσιακά μεγέθη. Οι δύο ασκήσεις του κεφαλαίου αυτού, αφορού στη εφαρμογή τω δύο θεμελιωδώ αρχώ της Στατικής, δηλαδή της Αρχής τω Δυατώ Έργω (ΑΔΕ) και της Αρχής τω Συμπληρωματικώ Δυατώ Έργω (ΑΣΔΕ), για το έλεγχο της ορθότητας τω αποτελεσμάτω μιας στατικής επίλυσης. Η ΑΔΕ χρησιμοποιείται για τους ελέγχους ισορροπίας, εώ η ΑΣΔΕ για τους ελέγχους συμβιβαστού. Προαπαιτούμεη γώση Απαραίτητη είαι η προηγούμεη εις βάθος καταόηση της ΑΔΕ και της ΑΣΔΕ. Ειδικότερα, συιστάται η μελέτη τω παραγράφω.6 και 6.7 του [], καθώς και της παραγράφου..6 του []. 8

Εκφώηση Άσκηση 7 Για το φορέα του σχήματος 7., δίοται τα διαγράμματα ροπώ και οι ατιδράσεις τω στηρίξεω, όπως υπολογίστηκα από δύο διαφορετικές επιλύσεις. Η Επίλυση είαι αυτή που παρουσιάστηκε στη Άσκηση 9 για τη φόρτιση α, εώ η Επίλυση διεεργήθηκε από άλλο μελετητή. Ζητείται ο έλεγχος ορθότητας τω αποτελεσμάτω τω δύο αυτώ επιλύσεω: (α) με εφαρμογή της αρχής δυατώ έργω (έλεγχος ισορροπίας) και (β) με εφαρμογή της αρχής συμπληρωματικώ δυατώ έργω (έλεγχος συμβιβαστού τω παραμορφώσεω). ΔΕΔΟΜΕΝΑ. kn 6. EI = EI = 5 knm EI =6 knm. EA GA s 6. Επίλυση Επίλυση.5.7.5 9.7.6.6 8.8 9.96 8.8. 5.8 5.8.8 78.. 78. 9.77 9.7 9.7.8.8.8 Σχήμα 7.. Δεδομέος φορέας Γεωμετρία, υλικό, φόρτιση Ροπές και ατιδράσεις. Λύση (α) Έλεγχος ισορροπίας με τη αρχή τω δυατώ έργω (ΑΔΕ) Σύμφωα με τη ΑΔΕ, το δυατό έργο που παράγεται από έα σύολο ισορροπουσώ δυάμεω (=πραγματική κατάσταση έτασης) κατά μία δυατή μετακίηση (=οητή κατάσταση μετακίησης συμβιβαστή με τους συδέσμους) του φορέα επί του οποίου δρα, είαι ίσο με το μηδέ και ατιστρόφως. Όπως γωρίζουμε, η ΑΔΕ είαι απόλυτα ισοδύαμη με τις συθήκες ισορροπίας και, επομέως, μπορεί α χρησιμοποιηθεί, τόσο για το υπολογισμό μεγεθώ έτασης, όσο και για το έλεγχο ορθότητας τω τιμώ τους, δηλαδή για τη διεέργεια ισορροπιακώ ελέγχω τω αποτελεσμάτω μιάς αάλυσης. Για τη διεέργεια εός ελέγχου ισορροπίας με εφαρμογή της ΑΔΕ, ακολουθείται η εξής διαδικασία (Σε παρέθεση δίοται οι επιλογές για τη προκείμεη περίπτωση):. Με κατάλυση ικαού πλήθους δεσμικώ ράβδω (εδώ: Με προσθήκη αρθρώσεω) ο αρχικός φορέας μετατρέπεται σε κιηματική αλυσίδα. Έτσι, κατά τη υποβολή του κιηματικού αυτού φορέα σε δυατή μετακίηση, δε ααπτύσσοται παραμορφώσεις τω δομικώ του στοιχείω, αλλά μόο μετατοπίσεις τω κόμβω του. Με το τρόπο αυτό, κατά το ακόλουθο υπολογισμό του δυατού έργου παράγοται μόο εξωτερικά δυατά έργα. Τα εσωτερικά δυατά έργα είαι μηδεικά (αφού δε υπάρχου 8

παραμορφώσεις), οπότε αποφεύγεται η αάγκη ολοκληρώσεω κατά μήκος τω μελώ του φορέα, τις οποίες θα απαιτούσε ο υπολογισμός τους... Προκειμέου α διατηρηθεί παρά τη μετατροπή του φορέα σε κιηματική αλυσίδα η προς έλεγχο δεδομέη ετασιακή κατάσταση, εισάγοται στις θέσεις τω δεσμικώ ράβδω που καταλύθηκα (εδώ: στις θέσεις τω αρθρώσεω που προστέθηκα) τα υπάρχοτα εκεί ετασιακά μεγέθη (εδώ: Οι επιρράβδιες ροπές που λαμβάοται από το διάγραμμα ροπώ, του οποίου η ορθότητα ελέγχεται).. Ο κιηματικός αυτός φορέας (του οποίου, όμως, η ετασιακή κατάσταση ταυτίζεται με εκείη του αρχικού φορέα) υποβάλλεται σε μία δυατή μετακίηση, η οποία εξ ορισμού είαι απειροστή και συμβιβαστή με τους συδέσμους (δηλαδή τις στηρίξεις) του (κιηματικού) φορέα.. Καταγράφοται όλα τα δυατά έργα που παράγοται κατά τη δυατή μετακίηση, δηλαδή τα εξωτερικά δυατά έργα όλω τω δυάμεω που δρου επί του κιηματικού φορέα. Εά το διάγραμμα τω ροπώ, από το οποίο λαμβάοται οι τιμές τω καμπτικώ ροπώ, είαι ορθό, τότε το άθροισμα Σ όλω τω δυατώ έργω θα πρέπει α προκύψει ίσο με το μηδέ. Εά το άθροισμα προκύψει διάφορο του μηδεός, τότε οι υπό έλεγχο ροπές περιέχου λάθη. Η παραπάω διαδικασία θα εφαρμοστεί για τα διαγράμματα ροπώ του σχήματος 7.. Επίλυση 8.5.7 8.5.7 (/) 5.8 8.8 ( 8.8).5 (.7) 5.8 6.68 Συμπέρασμα: Το γεγοός ότι, τα χρησιμοποιηθέτα ετασιακά μεγέθη της Επίλυσης δε οδηγού σε μηδεισμό τω δυατώ έργω κατά τη επιλεγείσα δυατή μετακίηση, σημαίει ότι τα μεγέθη αυτά είαι λαθασμέα. Επομέως, η Επίλυση είαι λαθασμέη. Επίλυση 8.5 9.7 8.5 9.7 (/) 9.7 78. ( 78.).5 ( 9.7) 9.7. Συμπέρασμα: Το γεγοός ότι, τα χρησιμοποιηθέτα ετασιακά μεγέθη της Επιλύσης οδηγού σε μηδεισμό τω δυατώ έργω κατά τη επιλεγείσα δυατή μετακίηση, σημαίει ότι τα μεγέθη αυτά είαι σωστά. Σχήμα 7. Έλεγχος τω διαγραμμάτω ροπώ τω επιλύσεω και με τη ΑΔΕ. 8

(β) Έλεγχος συμβιβαστού με τη αρχή τω συμπληρωματικώ δυατώ έργω (ΑΣΔΕ) Σύμφωα με τη ΑΣΔΕ, το δυατό έργο που παράγεται από έα σύολο οητώ ισορροπουσώ δυάμεω (=οητή κατάσταση έτασης) κατά μία πραγματική μετακίηση του φορέα (Σημ: Η πραγματική κατάσταση μετακίησης ικαοποιεί εξ ορισμού τις συθήκες συμβιβαστού τω παραμορφώσεω) είαι ίσο με το μηδέ και ατιστρόφως. Η ΑΣΔΕ είαι απόλυτα ισοδύαμη με τις συθήκες συμβιβαστού (δηλαδή, γεωμετρικής συέχειας) και, επομέως, μπορεί α χρησιμοποιηθεί, τόσο για το υπολογισμό μεγεθώ μετακίησης/ παραμόρφωσης, όσο και για τη διεέργεια ελέγχω συμβιβαστού τω παραμορφώσεω/μετακιήσεω που προέκυψα από τη αάλυση εός φορέα. Για τη διεέργεια εός ελέγχου συμβιβαστού με εφαρμογή της ΑΣΔΕ ακολουθείται η εξής διαδικασία (Σε παρέθεση οι επιλογές για τη προκείμεη περίπτωση):. Επιλέγεται το μέγεθος μετακίησης, του οποίου η συμβατότητα πρέπει α ελεγχθεί. Συήθως, επιλέγεται έα μέγεθος, το οποίο, λόγω τω συδέσμω (εσωτερικώ ή εξωτερικώ) του δεδομέου φορέα, είαι ίσο με το μηδέ (εδώ: Η σχετική στροφή Δφ τω άκρω τω στοιχείω και, η οποία, λόγω της μοολιθικής σύδεσης τω στοιχείω αυτώ στο κόμβο, θα πρέπει α προκύψει ίση με το μηδέ). Μπορεί, βεβαίως, α επιλεγεί προς έλεγχο συμβιβαστού και έα μέγεθος, του οποίου η μη μηδεική τιμή είαι ήδη γωστή (π.χ. μία δεδομέη κατααγκασμέη βύθιση) ή έχει ήδη υπολογιστεί με άλλο τρόπο.. Ο υπολογισμός της προς έλεγχο επιλεγείσας μετακίησης μπορεί α γίει σύμφωα με τη πρόταση ααγωγής σε έα παράγωγο ισοστατικό φορέα (εδώ: Κύλιση στο κόμβο και άρθρωση στο κόμβο ), ο οποίος φορτίζεται με μία οητή μοαδιαία δύαμη εργικώς αταποκριόμεη προς τη ελεγχόμεη μετακίηση (Εδώ: Μοαδιαίο ζεύγος ροπώ (Μ)= στο κόμβο ).. Ο, κατά αυτό το τρόπο, φορτισμέος παράγωγος ισοστατικός φορέας επιλύεται με τις συθήκες ισορροπίας και προκύπτει, έτσι, μία ισορροπούσα οητή κατάσταση έτασης.. Καταγράφοται όλα τα δυατά συμπληρωματικά έργα (εξωτερικά και εσωτερικά), που παράγοται από τη οητή κατάσταση έτασης κατά τη πραγματική παραμόρφωση του φορέα. Υπεθυμίζεται ότι η πραγματική παραμόρφωση του φορέα υπολογίζεται από τη γωστή (προς έλεγχο) πραγματική έτασή του με τη βοήθεια τω σχέσεω, που προκύπτου από το όμο της γραμμικώς ελαστικής συμπεριφοράς του Hooke. Το άθροισμα Σ* τω έργω αυτώ τίθεται ίσο με το μηδέ και από τη εξίσωση αυτή υπολογίζεται το μέγεθος μετακίησης, του οποίου η συμβατότητα πρέπει α ελεγχθεί. 5. Α η τιμή του μεγέθους μετακίησης, που υπολογίστηκε κατά το προηγούμεο βήμα, είαι ίση με τη εξ αρχής γωστή τιμή (μηδεική ή δεδομέη) του μεγέθους αυτού, τότε τα χρησιμοποιηθέτα αποτελέσματα (εδώ: Το δεδομέο διάγραμμα ροπώ) ικαοποιού τις συθήκες συμβιβαστού τω παραμορφώσεω. Σε ατίθετη περίπτωση, η δεδομέη ετασιακή κατάσταση δε ικαοποιεί τις συθήκες συμβιβαστού και, επομέως, είαι λαθασμέη. Η παραπάω διαδικασία θα εφαρμοστεί για τα διαγράμματα ροπώ του σχήματος 7.. Όπως ααφέρθηκε πιο πάω, ως παράγωγος φορέας επιλέγεται το ισοστατικό πλαίσιο του σχήματος 7. με άρθρωσηκύλιση στο κόμβο και άρθρωση στο κόμβο. Σχήμα 7. Μοαδιαία οητή (βοηθητική) φόρτιση και έταση του παράγωγου ισοστατικού φορέα. 8

Ακολούθως, καταγράφοται τα συμπληρωματικά δυατά έργα βάσει τω δεδομέω αποτελεσμάτω τω δύο επιλύσεω και, και ελέγχεται για κάθε περίπτωση, α το άθροισμά τους είαι ίσο με το μηδέ. β) Έλεγχος τω αποτελεσμάτω της Επίλυσης φ φ φ φ 6 5. 6.7 e 6 6 i ΕΙ L M (x) M(x) dx M (x) M(x) L.5.7 6.7 5.8.99 φ 5 5 7.57.99 dx Συμπέρασμα: Από τη παραπάω εξίσωση προκύπτει ότι η σχετική στροφή Δφ στο κόμβο είαι διάφορη του μηδεός. Αυτό σημαίει, ότι τα χρησιμοποιηθέτα ετασιακά μεγέθη της Επίλυσης δε ικαοποιού τις συθήκες συμβιβαστού τω παραμορφώσεω, και, επομέως, τα μεγέθη αυτά είαι λαθασμέα. Άρα, η Επίλυση είαι λαθασμέη. β) Έλεγχος τω αποτελεσμάτω της Επίλυσης φ 6 φ φ φ. e 6 5. 6 6 L M (x) M(x) dx M (x) M(x).5 9.7 6 9.7 9.7 59. φ 5 i ΕΙ L 5 5.97 5.9 dx Συμπέρασμα: Από τη παραπάω εξίσωση προκύπτει ότι η σχετική στροφή Δφ στο κόμβο είαι ίση με το μηδέ. Αυτό σημαίει ότι, τα χρησιμοποιηθέτα ετασιακά μεγέθη της Επιλύσης ικαοποιού τη συγκεκριμέη συθήκη συμβιβαστού, και, επομέως, τα μεγέθη αυτά είαι σωστά. 85

Εκφώηση Άσκηση 8 Για το φορέα του σχήματος 8., δίοται τα διαγράμματα ροπώ και οι ατιδράσεις τω στηρίξεω, όπως υπολογίστηκα από δύο διαφορετικές επιλύσεις. Να διεεργηθού έλεγχοι ισορροπίας (με τη ΑΔΕ) και έλεγχοι συμβιβαστού (με τη ΑΣΔΕ), προκειμέου α διαπιστωθεί η ορθότητα ή μη τω αποτελεσμάτω αυτώ. q=kn/m. 5. c N. ΔΕΔΟΜΕΝΑ Δοκοί EI= knm EA GA s Σταθερά ελατηρίου c N =kn/m Επίλυση 7.5 6..75 7.5.5 6..5 Επίλυση 9.6 7.5.8 6..9 7.5.9 Σχήμα 8. Δεδομέος φορέας Γεωμετρία, υλικό, φόρτιση Ροπές και ατιδράσεις. Λύση (α) Έλεγχος ισορροπίας με τη ΑΔΕ Για τη διεέργεια εός ελέγχου ισορροπίας με εφαρμογή της ΑΔΕ, ακολουθείται η διαδικασία που περιγράφηκε ααλυτικά στη άσκηση 7. Ως δυατή μετακίηση επιλέγεται εδώ η θετική μοαδιαία στροφή της χορδής. 86

(α) Έλεγχος τω αποτελεσμάτω της Επίλυσης 5 7.5 ' 7.5 6. ιάγραμμα illiot ' 5 θ ' cosθ=.8 sinθ=.6 ψ =(/5) ' 6. ' θ 5 Ω, ' 7.5 7.5 6. 5.5 5 Σχήμα 8. Έλεγχος ισορροπίας τω αποτελεσμάτω της Επίλυσης με τη ΑΔΕ. Συμπέρασμα: Το γεγοός ότι, τα χρησιμοποιηθέτα ετασιακά μεγέθη της Επιλύσης δε οδηγού σε μηδεισμό τω δυατώ έργω κατά τη επιλεγείσα δυατή μετακίηση, σημαίει ότι τα μεγέθη αυτά είαι λαθασμέα. Επομέως, η Επίλυση είαι λαθασμέη. (α) Έλεγχος τω αποτελεσμάτω της Επίλυσης 5 9.6 ' 9.6 7.5 5 θ ' cosθ=.8 sinθ=.6 ψ =(/5) ' 7.5 9.6 9.6 7.5 5. 5 Σχήμα 8. Έλεγχος ισορροπίας τω αποτελεσμάτω της Επίλυσης με τη ΑΔΕ. Συμπέρασμα: Το γεγοός ότι, τα χρησιμοποιηθέτα ετασιακά μεγέθη της Επιλύσης οδηγού σε μηδεισμό τω δυατώ έργω κατά τη επιλεγείσα δυατή μετακίηση, σημαίει ότι τα μεγέθη αυτά είαι σωστά. Παρατηρήσεις:. Η δυατή μετακίηση επιβάλλεται στο χαλαρό (κιηματικό) φορέα, που προκύπτει από το δεδομέο φορέα με τη εισαγωγή μιας άρθρωσης στο κόμβο και με τη τομή του ελατηρίου στο κόμβο. Προκειμέου α διατηρηθεί η προς έλεγχο ετασιακή κατάσταση, στη με άρθρωση προσάγεται η επιρράβδια ροπή 7.5 ή 9.6, στις δε όχθες του τετμημέου ελατηρίου η ελατηριακή δύαμη 6. ή 7.5, ατιστοίχως, που αμφότερες προέκυψα από τη Επίλυση.. Οι εξωτερικές μοαχικές δυάμεις, που τοποθετήθηκα στους κόμβους και, προκύπτου από τη αάλυση της δεδομέης φόρτισης του στοιχείου σε δύο συιστώσες κατά τους άξοες και, και τη ισοκαταομή τους στους κόμβους αυτούς.. Ο υπολογισμός της δυατής στροφής ψ της χορδής γίεται, διαιρώτας τη μετατόπιση του κόμβου κατά το άξοα Ζ (w = ) με το μήκος του στοιχείου (L =5m). Το πρόσημο της γωίας αυτής είαι αρητικό, διότι έχει φορά ατίθετη της συμβατικά θετικής φοράς, η οποία είαι αριστερόστροφη. Το βελάκι που συμβολίζει τη γωία στροφής της δοκού στο σχήμα 8. είαι δεξιόστροφο και επομέως ατιστοιχεί στη ψ. 87

(β) Έλεγχος συμβιβαστού με τη ΑΣΔΕ Για τη διεέργεια εός ελέγχου συμβιβαστού τω παραμορφώσεω ή μετακιήσεω με εφαρμογή της ΑΣΔΕ, ακολουθείται η διαδικασία που παρουσιάστηκε ααλυτικά στη Άσκηση 7. Στη περίπτωσή μας επιλέγεται ως μέγεθος προς έλεγχο η σχετική στροφή Δφ μεταξύ τω κοιώ άκρω τω στοιχείω και, η οποία, λόγω της μοολιθικής σύδεσης τω στοιχείω αυτώ στο κόμβο, θα πρέπει α προκύψει ίση με το μηδέ. Ο υπολογισμός της μπορεί α γίει σύμφωα με τη πρόταση ααγωγής σε έα παράγωγο ισοστατικό φορέα. Αυτός προκύπτει, π.χ., με εισαγωγή στο κόμβο μιας άρθρωσης. Το εργικώς αταποκριόμεο οητό ετασιακό μέγεθος, που πρέπει χρησιμοποιηθεί για το υπολογισμό της Δφ, είαι το μοαδιαίο ζεύγος ροπώ Μ = στο κόμβο (Σχ. 8.). M = "M (x)"..6.6. Σχήμα 8. Μοαδιαία οητή (βοηθητική) φόρτιση και έταση του παράγωγου ισοστατικού φορέα. Σύμφωα με τη ΑΣΔΕ, το δυατό έργο που παράγει η οητή ετασιακή κατάσταση λόγω Μ = επί τω παραμορφώσεω και μετακιήσεω της πραγματικής κατάστασης πρέπει α είαι ίσο με το μηδέ. Διαφορετικά, η δεδομέη κατάσταση δε ικαοποιεί τις συθήκες συμβιβαστού τω παραμορφώσεω. Ακολούθως, καταστρώοται τα συμπληρωματικά δυατά έργα βάσει τω δεδομέω αποτελεσμάτω τω δύο επιλύσεω και, και ελέγχεται για κάθε περίπτωση α το άθροισμά τους συεπάγεται Δφ =. (β) Έλεγχος τω αποτελεσμάτω της Επίλυσης φ φ φ φ. e 6 5 (9.5.8) i ΕΙ 9.58.5. L M (x) M(x) dx M (x) M(x) L 7.5 7.5 5 7.5 7.6 5.5 dx Α.6 x A c x N 6 Συμπέρασμα: Από τη παραπάω εξίσωση προκύπτει ότι η σχετική στροφή Δφ στο κόμβο είαι διάφορη του μηδεός. Αυτό σημαίει ότι, τα χρησιμοποιηθέτα ετασιακά μεγέθη της Επίλυσης δε ικαοποιού τις 88

συθήκες συμβιβαστού τω παραμορφώσεω, και, επομέως, τα μεγέθη αυτά είαι λαθασμέα. Άρα, η Επίλυση είαι λαθασμέη. (β) Έλεγχος τω αποτελεσμάτω της Επίλυσης φ. φ φ φ e 6 i ΕΙ 5 6.67 6.67 8.7. L M (x) M(x) dx M (x) M(x) L 6. 9.6 5 9.6.5.5.5 dx Α x A c x N 7.5.6 Συμπέρασμα: Από τη παραπάω εξίσωση προκύπτει ότι η σχετική στροφή Δφ στο κόμβο είαι ίση με το μηδέ. Αυτό σημαίει ότι, τα χρησιμοποιηθέτα ετασιακά μεγέθη της Επιλύσης ικαοποιού τη συγκεκριμέη συθήκη συμβιβαστού, και, επομέως, τα μεγέθη αυτά είαι σωστά. Βιβλιογραφικές ααφορές [] Αβραμίδης, Ι.Ε. (). Στατική τω Κατασκευώ, Τόμος Ι: Θεμελιώδεις αρχές και ισοστατικοί φορείς. Θεσσαλοίκη: Αυτοέκδοση. [] Αβραμίδης, Ι.Ε., (). Στατική τω Κατασκευώ, Τόμος ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς Κλασικές Μέθοδοι Αάλυσης. Θεσσαλοίκη: Αυτοέκδοση. 89