7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Κρατάμε τους μεγιστοβάθμιους όρους Άσκηση σελ σχ βιβλίο Α Ομάδας Να βρείτε τα όρια : i iv vii v vi v ii i ii iv v vi 9 vii v ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΡΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Α Για να υπολογίσουμε όρια που περιέχουν παραστάσεις της μορφής : g ή g εργαζόμαστε ως εξής : Σε κάθε υποριζο βγάζουμε κοινό παράγοντα τη μεγαλτερη δναμη του, Χωρίζουμε τις ρίζες και εμφανίζεται :, Βγάζουμε κοινό παράγοντα το Αν κατά τη διαδικασία εμφανιστεί απροσδιοριστία της μορφής, τότε στο αρχικό όριο πολλαπλασιάζουμε και διαιρομε με τη συζυγή παράσταση Ασκήσεις, σελ 7 σχ βιβλίο Α Ομάδας Να βρεθον τα όρια : i ii 9 iv v vi vii v i ii 9 9 9 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα iv v vi Διαπιστώνω την αναμενόμενη απροσδιοριστία, γι αυτό πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση: vii Διαπιστώνω την αναμενόμενη απροσδιοριστία, γι αυτό πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση: v Διαπιστώνω την αναμενόμενη απροσδιοριστία, γι αυτό πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση: ] ][ [
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα Β ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΜΕ ΠΟΛΛΑ ΡΙΖΙΚΑ Να βρεθεί το όριο : Διαπιστώνω την αναμενόμενη απροσδιοριστία, γι αυτό χωρίζω κατάλληλα την παράσταση και πολλαπλασιάζω αριθμητές και παρανομαστές με τη συζυγή παράσταση:
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Αν μέσα στο όριο υπάρχει g τότε υπολογίζω ξεχωριστά το g Αν g τότε και g, ενώ αν g τότε και g Οπότε απαλλάσσομαι από τα απόλυτα και υπολογίζω κανονικά το όριο Άσκηση σελ 7 σχ βιβλίο B Ομάδας Να βρεθον τα όρια : i i, άρα όταν άρα,, άρα όταν άρα, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ Άσκηση σελ 7 σχ βιβλίο B Ομάδας Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : i ii i ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ, επειδή, θα διακρίνουμε περιπτώσεις για το Αν τότε Αν τότε Αν τότε ii, επειδή :, θα διακρίνω περιπτώσεις για το Αν,, Γιατί : έχω, ή, μ - + + - + Επειδή θέλω,, Τότε Αν, τότε Αν τότε Αν τότε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΟΡΟΥΣ Τα όρια ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥΣ και δεν υπάρχουν Αν σε κάποιο όριο παρουσιάζονται οι όροι ημ και συν, τότε διαιρομε τους όρους αυτος με κάποια θετική δναμη του, ώστε χρησιμοποιώντας το κριτήριο παρεμβολής να τους μηδενίσουμε ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : ενώ :, ομοίως και τα οποία αποδεικνονται με κριτήριο παρεμβολής και ή, ή, ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Στην ενότητα είδαμε ότι Μηδενική επί φραγμένη που αποδεικνεται ως εξής : aaa Έχω, άρα Εφαρμόζω κπ και, άρα από κπ Όμως γιατί : έ u u ό u u u ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Αν έχω όριο όπου, που περιέχει ή, τότε διαιρώ κάθε όρο αριθμητή και παρανομαστή με τη μεγιστοβαθμια δναμη του Αν χρειαστεί κάνω διαχωρισμό του κλάσματος Να βρεθον τα όρια : i ii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα i : *, *, ή ii : * *, ή και, ή : * * παραπάνω δείξαμε ότι και, ομοίως :, ή
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 7 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχει : για κάθε Να βρείτε τα όρια : i ii i Έχω :, άρα όταν τότε άρα Έχω : και άρα από κπ ii Έχω :, άρα όταν τότε άρα Έχω : και άρα από κπ Έχω : Έχω : και άρα από κπ
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχει : 7 Να βρείτε τα όρια : i ii i Θέτω g, με, τότε g 7 Έχω : : g g g g Για άρα : g g g 7 ii g g g g g 7 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Ισχουν :,, ln και ln 9 Να βρεθον τα όρια : i ln ii ln ln iv ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα
ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα i ln ii ln ln iv ln ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Αν έχω μια εκθετική πχ μόνο, τότε τη βγάζω κοινό παράγοντα Αν έχω ή περισσότερες εκθετικές, τότε βγάζω κοινό παράγοντα αυτή με τη μεγαλτερη βάση αν Αν κοινό παράγοντα βγάζω την εκθετική με τη μικρότερη βάση πχ πχ Να βρεθον τα όρια : i ii i ii, επειδή, τότε, άρα θα είναι : επειδή, τότε, άρα θα είναι :