ΑΠΟΣΗΜΖΖ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΔΤΡΩΠΑΗΚΟΤ ΣΤΠΟΤ (CURRENCY OPIONS, BINARY OPIONS, COMPOUND OPIONS, CHOOSER OPIONS, LOOKBACK OPIONS, ASIAN OPIONS) ΣΑΝΣΟΤΛΟΤ ΔΛΔΝΖ ΔΠΗΒΛΔΠΩΝ ΚΑΘΖΓΖΣΖ: ΠΖΛΗΩΣΖ ΗΩΑΝΝΖ ΔΘΝΗΚΟ ΜΔΣΟΒΗΟ ΠΟΛΤΣΔΥΝΔΗΟ ΥΟΛΖ ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΩΝ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΦΤΗΚΩΝ ΔΠΗΣΖΜΩΝ Π.Μ.. ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΖ ΠΡΟΣΤΠΟΠΟΗΖΖ ΣΗ ΤΓΥΡΟΝΔ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΔ ΚΑΗ ΣΖΝ ΟΗΚΟΝΟΜΗΑ ΜΑΡΣΗΟ 3
ΠΡΟΛΟΓΟ Ζ παξνχζα εξγαζία κε ηίηιν «Απνηίκεζε παξαγψγσλ Δπξσπατθνχ ηχπνπ» απνηειεί ηελ δηπισκαηηθή κνπ εξγαζία ζρεηηθά κε ην πξφγξακκα κεηαπηπρηαθψλ ζπνπδψλ «Μαζεκαηηθή Πξνηππνπνίεζε ζηηο χγρξνλεο Σερλνινγίεο θαη ηελ Οηθνλνκία» κε θαηεχζπλζε «Υξεκαηννηθνλνκηθά» ηεο ρνιήο Δθαξκνζκέλσλ Μαζεκαηηθψλ θαη Φπζηθψλ Δπηζηεκψλ (.Δ.Μ.Φ.Δ.) ηνπ Δζληθνχ Μεηζφβηνπ Πνιπηερλείνπ (Δ.Μ.Π.). Σν αληηθείκελν κε ην νπνίν αζρνινχκαη ζηελ παξνχζα εξγαζία είλαη ζπγθεθξηκέλα ε απνηίκεζε δηθαησκάησλ πξναίξεζεο (opions) θαη κάιηζηα ησλ Currency, Binary, Compound, Chooser, Lookback θαη Asian Opions. Όια ηα πξναλαθεξζέληα απνηεινχλ εηδηθέο θαηεγνξίεο παξαγψγσλ Δπξσπατθνχ ηχπνπ, δειαδή ζπκβνιαίσλ αλάκεζα ζε δπν πιεπξέο κε πξνθαζνξηζκέλα θάπνηα ραξαθηεξηζηηθά, έθβαζε ελφο εθ δπν απνηειεζκάησλ πιεξσκήο θαη θαζνξηζκφ ζηελ αξρή κηαο δίθαηεο ηηκήο γηα ην ζπκβφιαην. ηελ παξνχζα εξγαζία απηφ πνπ ζα καο απαζρνιήζεη είλαη ν θαζνξηζκφο ηεο δίθαηεο ηηκήο πξάγκα ην νπνίν απαηηεί πεξηζζφηεξε εκβάζπλζε ζηα καζεκαηηθά θαη ζπγθεθξηκέλα ζην ππφβαζξν ην νπνίν ρξεηάδεηαη ην νπνίν είλαη έλα κεγάιν θνκκάηη ηεο Θεσξίαο Μέηξνπ θαη πην εηδηθά ηεο Θεσξίαο Πηζαλνηήησλ. Όπσο θαίλεηαη θαη αξγφηεξα ε εξγαζία είλαη ρσξηζκέλε ζε ηέζζεξα θεθάιαηα θαη ζην ηέινο παξαηίζεηαη θαη ε βηβιηνγξαθία πνπ ρξεηάζηεθα. ην πξψην θεθάιαην, ππάξρνπλ φια εθέηλα ηα βαζηθά πξναπαηηνχκελα καζεκαηηθά ηα νπνία ρξεηάδνληαη γηα ηελ θαιχηεξε θαηαλφεζε ησλ παξαθάησ ελλνηψλ φπσο νξηζκνί, ζεσξήκαηα θαη πνξίζκαηα πνπ έρνπλ λα θάλνπλ κε ηνραζηηθέο Γηαθνξηθέο Δμηζψζεηο. Σελίδα
ην δεχηεξν θεθάιαην, ππάξρεη κηα εηζαγσγή ζηα παξάγσγα ρξεκαηννηθνλνκηθά πξντφληα θαη εηδηθφηεξα ζηα δηθαηψκαηα πξναίξεζεο, πψο ζπλδένληαη κε ην κνληέιν Black-Scholes, θαη πψο γίλεηαη ε απνηίκεζή ηνπο φζνλ αθνξά απηά ηνπ Δπξσπατθνχ ηχπνπ ηα νπνία θαη καο απαζρνινχλ. ην ηξίην θεθάιαην γίλνληαη νη ππνινγηζκνί ηεο δίθαηεο ηηκήο (premium) πάλσ ζε δηθαίσκαηα ηέηνηνπ ηχπνπ θαη εηδηθφηεξα ζε Currency, Binary, Compound, Chooser, Lookback θαη Asian Opions φπνπ γηα ηα πξψηα δπν νη ππνινγηζκνί είλαη απινί κέζσ ηειηθνχ ηχπνπ, γηα ηα ηξία επφκελα νη ππνινγηζκνί γίλνληαη θαη κέζσ ηειηθνχ ηχπνπ θαη κέζσ πξνζέγγηζεο κε ηελ κέζνδν Mone Carlo θαη γηα ηα ην ηειεπηαίν νη ππνινγηζκνί γίλνληαη κφλν κε βάζε ηελ κέζνδν Mone Carlo κηαο θαη δελ ππάξρεη ζπγθεθξηκέλνο ηχπνο γηα ηνλ ππνινγηζκφ απηήο ηεο δίθαηεο ηηκήο. ην ηέηαξην θαη ηειεπηαίν θεθάιαην ηεο εξγαζίαο παξαηίζεληαη νη ζρεηηθνί θψδηθεο απφ ην πεξηβάιινλ ηεο MaLab γηα θαζέλα απφ ηα πξνγξάκκαηα ηα νπνία επαμεξγάζηεθα ζπλνδεπφκελα απφ θάπνηα ζρφιηα ηα νπνία ζα βνεζήζνπλ ηνλ εθάζηνηε αλαγλψζηε ζηελ θαιχηεξε θαηαλφεζή ηνπο. Σελίδα 3
ΔΤΥΑΡΗΣΗΔ Θα ήζεια θαηαξρήλ λα επραξηζηήζσ ζεξκά ηνλ επηβιέπνληα θαζεγεηή κνπ θ. πειηψηε Ησάλλε, Αλ. Καζεγεηή ηνπ Δ.Μ.Π., γηα ην ακέξηζην ελδηαθέξνλ πνπ έδεημε θαηά ηε δηάξθεηα εθπφλεζεο ηεο εξγαζίαο κνπ, ηελ ππνκνλή ηνπ θαη ηε ζηήξημή ηνπ ζε φιεο ηηο δπζθνιίεο πνπ αληηκεηψπηζα. Σν ζέκα ηεο παξνχζεο εξγαζίαο ην νπνίν θαη κνπ ππέδεημε ήηαλ εμ αξρήο πνιχ ελδηαθέξνλ θαη φπσο απνδείρζεθε ζηελ πνξεία έλα πνιχ ζεκεληηθφ θαη ρξήζηκν εξγαιείν ην νπνίν απαηηεί πνιιέο γλψζεηο νη νπνίεο θαηαλννχληαη ηαπηφρξνλα θαη ζηελ πξάμε θαη γίλνληαη θηήκα ηνπ εθάζηνηε αηφκνπ πνπ αζρνιείηαη καδί ηνπ. Δπηπξφζζεηα ζα ήζεια λα επραξηζηήζσ ηα κέιε ηεο ηξηκειήο επηηξνπήο, θ. Καξψλε Υξπζείο, Καζεγήηξηα, απφ ηελ νπνία απέζπαζα θαηά ηε δίαξθεηα ηνπ καζήκαηνο ηεο ζην κεηαπηπρηαθφ πξφγξακκα πνιχηηκα εθφδηα ζηαηηζηηθήο ηα νπνία κε βνήζεζαλ θαη ζηε πεξάησζε ηεο παξνχζεο εξγαζίαο, φπσο επίζεο θαη ηνλ θ. Φνπζθάθε Γεκήηξην, Δπίθνπξν Καζεγεηή γηα ην ελδηαθέξνλ πνπ έδεημε γηα ηελ εξγαζία κνπ θαη ηα πνιχηηκα ζρφιηα ηνπ φζνλ αθνξά ηελ θαιχηεξε δνκή ηεο. Σελίδα 4
ΠΔΡΗΔΥΟΜΔΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μαθημαηικά Πποαπαιηούμενα...7. Στοχαςτικέσ Ανελίξεισ...7. Κινηςη Brown.8 3. Στοχαςτικά Ολοκληρώματα... 4. Στοχαςτικέσ Ανελίξεισ IO 3 5. Θεώρημα Girsanov 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Υπημαηοοικονομικό μονηέλο Black-Scholes Αποηίμηζη Opions 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 6. Ειςαγωγή-Η έννοια του παράγωγου προΰόντοσ...9 7. Δικαιώματα προαίρεςησ... 8. Μοντέλο Black-Scholes.. 9. Χαρτοφυλάκια ςτο μοντέλο Black-Scholes...4. Maringale μέτρα πιθανότητασ...3. Δικαιώματα Ευρωπαΰκού τύπου...35. Αποτίμηςη δικαιωμάτων Ευρωπαΰκού τύπου...4 Τπολογιζμοί ζηα Opions Πίνακερ Mone Carlo Currency Opions 47 Binary Opions.54 Compound Opions 57 Chooser Opions.68 Lookback Opions..73 Asian Opions..8 Σελίδα 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κώδικερ Ππογπάμμαηα..9 Βιβλιογπαθία. Σελίδα 6
Κεφάλαιο Μαθημαηικά Πποαπαιηούμενα.ηοσαζηικέρ Ανελίξειρ Μηα ζηνραζηηθή αλέιημε είλαη κηα δηαδηθαζία πνπ πεξηγξάθεη ηε κεηαβνιή κηαο ή πεξηζζφηεξσλ κεηαβιεηψλ ππν θαζεζηψο αβεβαηφηεηαο. Σέηνηεο ζηνραζηηθέο αλειίμεηο κπνξεί λα πεξηιακβάλνπλ ζπλερείο ή δηαθξηηέο ηκέο θαη νξίδνπλ ηε δηαδξνκή ηπραίσλ κεηαβιεηψλ ζηνλ ίδην ρψξν πηζαλνηήησλ, φπνπ θάζε αιιαγή είλαη αλεμάξηεηε ησλ πξνεγνχκελσλ αιιαγψλ θαη θάζε κηα πεξηγξάθεηαη απφ φκνηα θαηαλνκή πηζαλφηεηαο. Οριζμός.. Έζησ Ø έλα ζχλνιν δεηθηψλ. ηνραζηηθή αλέιημε ζην Σ κε ηηκέο ζην m νλνκάδεηαη κηα νηθνγέλεηα ηπραίσλ κεηαβιεηψλ Υ, Σ νξηζκέλσλ ζε έλα ρψξν πηζαλφηεηαο Ω,F,P θαη ηηκέο ζην m. Όηαλ ην Σ παίξλεη ηηκέο απφ ην ζχλνιν ησλ θπζηθψλ αξηζκψλ,,... ή απφ ην ζχλνιν ησλ αθεξαίσλ...,,,,,... αλαθεξφκαζηε ζε ζηνραζηηθή αλέιημε δηαθξηηνχ ρξφλνπ ελψ αλ ην Σ είλαη δηάζηεκα ηνπ ζα αλαθεξφκαζηε ζε ζηνραζηηθή αλέιημε ζπλερνχο ρξφλνπ. Γηα ηπραίν αιιά δνζκέλν σ Ω ε ζπλάξηεζε Σ Υ σ m Σελίδα 7
νλνκάδεηαη ηξνρηά ηεο ζηνραζηηθήο αλέιημεο απηήλ κε ηνλ φξν σ = ηξνρηά Υ, θαη ζα αλαθεξφκαζηε ζε.κίνηζη Brown Μηα απφ ηηο πην ζεκαληηθέο ζηνραζηηθέο δηαδηθαζίεο είλαη ε θίλεζε Brown (κπνξεί θαλείο λα ηελ ζπλαληήζεη θαη κε ην φλνκα δηαδηθαζία Wiener, 87) ε νπνία πεξηγξάθεη ην πηζαλνζεσξεηηθφ εθείλν κνληέιν πνπ ζθνπεχεη ζηελ πεξηγξαθή θαη αλάιπζε ηεο άηαθηεο θίλεζεο κηθξψλ ζσκαηηδίσλ φηαλ απηά αησξνχληαη κέζα ζε θάπνην πγξφ, ππφ ηελ επίδξαζε ησλ ζπγθξνχζεσλ πνπ πθίζηαληαη απφ ηα κφξηα ηνπ πγξνχ. Ζ παξαηήξεζε ηεο θίλεζεο απηήο γίλεηαη γηα θάπνην ρξνληθφ δηάζηεκα [,s] γηα ην νπνίν ζε θάζε ζσκαηίδην, αληηζηνηρεί κηα ηξνρηά (x (), x (), x 3 (),...), [,s] ζην ρψξν. Σν πείξακα ζεσξείηαη πείξακα ηχρεο αθνχ δχν ζσκαηίδηα κπνξνχλ λα δηαγξάςνπλ δηαθνξεηηθέο ηξνρηέο θαηά ην δηάζηεκα [,s] παξά ην γεγνλφο φηη δελ ππάξρεη αιιαγή ζηηο ζπλζήθεο ζηηο νπνίεο βξίζθνληαη. Γειαδή έλα ζσκαηίδην κπνξεί λα δηαγξάθεη δηαθνξεηηθέο ηξνρηέο ζε δχν επαλαιήςεηο ηνπ ίδηνπ πεηξάκαηνο. Οριζμός.. Σππηθή κνλνδηάζηαηε Κίλεζε Brown νλνκάδεηαη κηα ζηνραζηηθή αλέιημε Β,, κε ηηκέο ζην νξηζκέλε ζε έλα ρψξν πηζαλφηεηαο Ω,F,P εθνδηαζκέλν κε κία δηχιηζε F, έηζη ψζηε λα ηθαλνπνηνχληαη νη παξαθάησ ζπλζήθεο: i) Γηα θάζε ε Β είλαη F -κεηξήζηκε. ii) Ζ ζηνραζηηθή αλέιημε, έρεη ζπλερείο ηξνρηέο. Σελίδα 8
iii) Β = Ρ-ζ.β. iv) Όηαλ s < ηφηε ε η.κ. Β B s είλαη αλεμάξηεηε ηεο ζ-άιγεβξαο F s. v) Όηαλ ζ s < ηφηε ε η.κ. B B s αθνινπζεί θαλνληθή θαηαλνκή Ν, s Παξαθάησ ζα γξάθνπκε γηα κηα θίλεζε Brown: Ζ θαη ε Β,F είλαη κηα θίλεζε Brown. Β, είλαη F -θίλεζε Brown ή Σελ ζηνραζηηθή αλέιημε {B, [,s]} φπνπ s > ζα ηελ θαινχκε σο κηα F -θίλεζε Brown ζην [, s]. Παραηηρήζεις ) Απφξεηα ησλ παξαπάλσ είλαη φηη κηα F -θίλεζε Brown είλαη επίζεο θαη κηα Β F -θίλεζε Brown, φπνπ Β F ζ Β, s. s ) Αλ {Β, } είλαη κηα F -θίλεζε Brown, ηφηε ε ζηνραζηηθή αλέιημε { Β, } είλαη επίζεο κηα F -θίλεζε Brown φπσο κπνξνχκε άκεζα λα δηαπηζηψζνπκε απφ ηνλ παξαπάλσ Οξηζκφ. Άξα, κε βάζε ηνλ Οξηζκνχ. πνπ παξαζέζακε παξαπάλσ δελ ππάξρεη κία κφλν Κίλεζε Brown. Πρόηαζη.3. Έζησ {Β, } κηα F -θίλεζε Brown. Σφηε ηζρχνπλ ηα παξαθάησ ζπκπεξάζκαηα: α) Αλ = < < < n n ηφηε νη δηαθνξέο {B B }, j =,,,n είλαη j j αλεμάξηεηεο. β) Ζ ζηνραζηηθή αλέιημε {Β, } είλαη F -maringale. Σελίδα 9
γ) Ζ ζηνραζηηθή αλέιημε {B, } είλαη επίζεο F -maringale. δ) Γηα νπνηαδήπνηε s,, ηζρχεη φηη ε ζπλδηαθχκαλζε Cov (B s, B ) = min {s, }. ε) Αλ < < < < n ηφηε ην ηπραίν δηάλπζκα (B,B,...,B ) αθνινπζεί ηελ n Καλνληθή Καηαλνκή Ν(, Γ) φπνπ Γ [min{ i, j}] i, j n. Απφ δψ θαη γηα φιε ηελ ππφινηπε εξγαζία φηαλ αλαθεξφκαζηε ζε κηα F - θίλεζε Brown ζα ζεσξνχκε φηη: Ο ρψξνο πηζαλφηεηαο (Ω, F,P) ζηνλ νπνίν νξίδεηαη είλαη πιήξεο θαη φηη, αλ γηα έλα ππνζχλνιν A Ω ππάξρεη N Fκε P(N) κε ηέηνην ηξφπν ψζηε λα είλαη Λ Ν ηφηε ζα είλαη θαη Λ F γηα θάζε. Ζ επφκελε ηδηφηεηα πνπ ζα εμεηάζνπκε απνηειεί κηα αθφκα ζπκπεξηθνξά ηεο θίλεζεο Brown. Ζ απιή Μαξθνβηαλή ηδηφηεηα είλαη ε αθφινπζε: γηα νπνηαδήπνηε s, θαη A B. P( Bs A Fs ) P Bs A Bs Απφ ηελ παξαπάλσ ζρέζε πξνθχπηεη ε εμήο εξκελεία: θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή s, θαη πξνθεηκέλνπ λα εθηηκήζνπκε ηελ θαηάζηαζε ηνπ ζπζηήκαηνο θαηά ηελ κειινληηθή ζηηγκή s+, δελ ρξεηάδεηαη φιε ηελ «πξντζηνξία» F s ηνπ ζπζηήκαηνο αιιά κφλν ηελ θαηάζηαζή ηνπ B s θαηά ηελ παξνχζα ρξνληθή ζηηγκή s. Δπίζεο απνδεηθλχεηαη φηη φηαλ s,, y θαη A Bηφηε ηζρχεη ε αθφινπζε ζρέζε P Bs A Bs y P y B A PB s - ζ.β. ε νπνία δηαηππψλεηαη κε ιφγηα σο εμήο: Γηα νπνηαδήπνηε θαηάζηαζε Bs y θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή s, ε εμέιημε ηεο Κίλεζεο Brown γηα ρξφλν είλαη πηζαλνζεσξεηηθά ίδηα κε ηελ εμέιημε γηα ρξφλν ηεο Σελίδα
Κίλεζεο Brown πνπ μεθηλά ηε ρξνληθή ζηηγκή y, ε Κίλεζε Brown δειαδή μεθηλά μαλά απφ ηελ αξρή θάζε ζηηγκή ηεο. Πρόηαζη.4. Έζησ κηα F - θίλεζε Brown { B, } θαη η είλαη έλαο F - ρξφλνο δηαθνπήο κε P ( ). Οξίδνπκε V B B,. Σφηε ε ζηνραζηηθή αλέιημε { V, } είλαη κηα V F -θίλεζε Brown αλεμάξηεηε ηεο F. Ωο άκεζν πφξηζκα ηεο πξνεγνχκελεο πξφηαζεο.4. έρνπκε ηελ ηζρπξή Μαξθνβηαλή ηδηφηεηα ηεο θίλεζεο Brown. Πόριζμα.5 Έζησ { B, } κηα F -θίλεζε Brown θαη η έλαο F -ρξφλνο δηαθνπήο κε P ( ). Σφηε γηα, A B, y ηζρχνπλ ηα παξαθάησ: P B A F P B A P ζ.β. P B A B y P B y A P B -ζ.β. Σελίδα
3.ηοσαζηικά Ολοκληπώμαηα Οριζμός.6 Έζησ f L a,b. Σν νινθιήξσκα Ηo ηεο f ζην [a,b] νξίδεηαη απφ ηε ζρέζε b a f()db lim f()db κε ηελ L -έλλνηα n φπνπ f : n αθνινπζία ζ.α. απφ ηελ L n a,b ηέηνηα ψζηε n b a n lime[ (f() f ()) d] Οη ζεκαληηθφηεξεο ηδηφηεηεο ηνπ ζηνραζηηθνχ νινθιεξψκαηνο Io δηαηππψλνληαη ζηελ παξαθάησ Πξφηαζε. Πρόηαζη.7 Έζησ φηη ηζρπξηζκνί: f,g L a,b, f n,n L a,b,c a,b θαη ι, κ. Ηζρχνπλ νη παξαθάησ α) β) γ) δ) b a E[ (f()db ] b a b a E (f()db E f ()d. b b b a a a (ιf() κg())db ι f()dβ κ g()dβ. b c b a a c f()dβ f()dβ f()dβ. ε) Ζ ηπραία κεηαβιεηή I b a f()dβ είλαη Fb -κεηξήζηκε. ζη) Αλ n b a n lime[ (f () f()) d] ηφηε n b a b n a lim f ()dβ f()dβ κε ηελ L -έλλνηα. Σελίδα
Παραηήρηζη Έζησ f L a,b Σν ζηνραζηηθφ νινθιήξσκα I b a f(s)db δελ νξίδεηαη γηα ην θάζε s σ Ω ρσξηζηά φπσο ζπκβαίλεη π.ρ. κε νινθιεξψκαηα ηεο κνξθήο b a f(s) b a f(s,σ)ds. Σν ζηνραζηηθφ νινθιήξσκα Η νξίδεηαη νιηθά σο έλα ζηνηρείν ηνπ L Ω,dP (είλαη ην L -φξην αθνινπζίαο ηπραίσλ κεηαβιεηψλ ηνπ L Ω,dP ) θαη άξα ν ζπκβνιηζκφο b a f(s,σ)db (σ) δελ είλαη απηφο ν νπνίνο θαηλνκεληθά δείρλεη. s Πξφθεηηαη γηα κηα απεηθφληζε I:L a,b L Ω,dP κε ηελ ηδηφηεηα (F) f (ηζνκεηξία) πνπ ζπκπίπηεη κε ηελ f () db fi B B i φηαλ i b a n i f L a,b Οριζμός.8 Έζησ f P, θαη <. Ολνκάδεηαη ζηνραζηηθφ νινθιήξσκα Io ηεο f ζην [, ], ην φξην θαηά πηζαλφηεηα Ρ ηεο αθνινπζίαο ηπραίσλ κεηαβιεηψλ f n s dβ s,n γηα θάζε αθνινπζία n f,n L, πνπ ηθαλνπνηεί ηελ παξαθάησ απαίηεζε P s n s f(s)db lim f (s)db. 4.ηοσαζηικέρ Ανελίξειρ IO 4.Formula ηος IO Κάπνηεο ζηνραζηηθέο αλειίμεηο πνπ είλαη ζπλαξηήζεηο ηεο Κίλεζεο Brown είλαη ηεο κνξθήο Σελίδα 3
a s ds s db,. s Απηνχ ηνπ είδνπο νη αλειίμεηο νλνκάδνληαη αλειίμεηο IO. Όπσο θαη ζε φιε ηελ εξγαζία έηζη θαη εδψ ηζρχνπλ ηα εμεο:, FP, είλαη ρψξνο πηζαλφηεηαο εθνδηαζκέλνο κε κηα δηχιηζε F, γηα ηελ νπνία ηζρχεη φηη N F, γηα θάζε φπνπ N { : N F P( N) } Δπίζεο { B, } είλαη κηα F -θίλεζε Brown νξηζκέλε ζηνλ, FP, κε n δηαζηάζεηο ( n N ). Οριζμός.9 ηνραζηηθή αλέιημε IO ζην [, ) κε ηηκέο ζην m, νλνκάδεηαη κηα ζπλερήο ζηνραζηηθή αλέιημε { X, } γηα ηελ νπνία ηζρχεη: X a s ds s db s, P-ζ.β. φπνπ,..., m ηπραίν δηάλπζκα F -κεηξήζηκν, mxn P θαη ε ζηνραζηηθή αλέιημε a s a s,..., am s, s είλαη B[, ) F -κεηξήζηκε, Fs -πξνζαξκνζκέλε θαη ηθαλνπνηεί ηελ παξαθάησ απαίηεζε: m P a s ds r j r j Παπαηηπήζειρ ) Μηα ζηνραζηηθή αλέιημε IO είλαη F -πξνζαξκνζκέλε ) Πξνθχπηεη φηη γηα s ηζρχεη: X X a r dr r db s s s r Σελίδα 4
γη απηφ άιισζηε ιέγεηαη θαη ζηνραζηηθφ δηαθνξηθφ θαη ζπρλά ρξεζηκνπνηείηαη ε γξαθή dx a d db, X 3) Μηα m-δηάζηαηε Κίλεζε Brown { B, } είλαη επίζεο αλέιημε IO κε θαη [ ] i m. ij j m Παξαθάησ παξαζέηνπκε ηελ formula ηνπ IΣΟ: Πρόηαζη. (formula ηνπ IO, m=n=) Έζησ X a s ds s db, κηα αλέιημε IO θαη s f C, [, ) x. Σφηε γηα φια ηα ηζρχεη ην παξαθάησ: f f f s s s f, X f, s, X a s s, X s s, X ds x x f s s, X s db x s Ζ formula ηνπ IO ηζρχεη θαη γηα πεξηζζφηεξεο απφ κηα δηαζηάζεηο. 5.Θεώπημα Girsanov Έζησ { B, } κηα κνλνδηάζηαηε F -θίλεζε Brown ζηνλ ρψξν πηζαλφηεηαο, FP, θαη. Γηα ηπραίν, νξίδνπκε ζηνλ, F έλα κέηξν κε ηνλ παξαθάησ ηξφπν: A P A e dp A F,. Σελίδα 5
Αλ ζεσξήζνπκε ηελ ζηνραζηηθή αλέιημε { M e,, }, ε παξαπάλσ ζρέζε γξάθεηαη P A MdP A F, A Δίλαη φκσο γλσζηφ (απφ παξαπάλσ) φηη ε ζηνραζηηθή αλέιημε { M,, } είλαη F -maringale θαη άξα E M E M. Απφ ηελ ηειεπηαία δηαπίζησζε θαη ηελ παξαπάλσ ζρέζε πξνθχπηεη φηη ε ζπλνινζπλάξηεζε P είλαη έλα κέηξν πηζαλφηεηαο ζηελ, F. Πξνθχπηεη φκσο θαη θάηη άιιν απφ ην γεγνλφο φηη ε ζηνραζηηθή αλέιημε { M,, } είλαη F -maringale: Δπεηδή γηα θάζε, έρνπκε E M F M, P-ζ.β., ζα έρνπκε θαη φηη A P A e dp A F, F δειαδή, ν πεξηνξηζκφο ηνπ κέηξνπ πηζαλφηεηαο P ζηελ ζ-άιγεβξα F δίλεηαη απφ ηελ παξαπάλσ ζρέζε. Απηφ καο επηηξέπεη λα γξάςνπκε (γηα ηπρφλ, θαη ηπρνχζα f : θξαγκέλε) E f B f B dp f B e dp x x f x e e dx f x e dx y f y e dy E f B. Αλ ινηπφλ ζεσξήζνπκε ηελ ζηνραζηηθή αλέιημε X B, πνπ είλαη γλσζηή Σελίδα 6
σο θίλεζε Brown κε ζπληειεζηή δηεχζπλζεο κ, έρνπκε βξεί ηελ παξαθάησ ζρέζε E f B E f X Ζ παξαπάλσ ζρέζε κπνξεί επίζεο λα γεληθεπηέη γηα νπνηεζδήπνηε ρξνληθέο ζηηγκέο... θαη λα γίλεη n E f B,..., B E f X,..., X n n Απφ ηελ ηειεπηαία ζρέζε πξνθχπηεη ε αθφινπζε δπλαηφηεηα: Πηζαλνζεσξεηηθά πξνβιήκαηα εθθξαζκέλα ζην κέηξν P πνπ ζθνξνχλ ηελ X,, κπνξνχλ λα κεηαζρεκαηηζηνχλ ζε πξνβιήκαηα πνπ λα αθνξνχλ ηελ B, αιιά εθθξαζκέλα ζην κέηξν P. Λήμμα. Έζησ, FP, ρψξνο πηζαλφηεηαο, θαη Z,, έλα F -maringale κε E Z θαη Z,. Αλ Q είλαη κέηξν πηζαλφηεηαο νξηδφκελν ζηνλ F απφ ηε ζρέζε Q A Z dp θαη X είλαη ηπραία κεηαβιεηή F -κεηξήζηκε κε A, E XZ ηφηε γηα s ηζρχεη φηη P EQ X Fs EP XZ Fs Z s PQ-ζ.β., Πρόηαζη. (Θεψξεκα Girsanov, n=) Έζησ, FP, ρψξνο πηζαλφηεηαο ζηνλ νπνίν νξίδεηαη κηα κνλνδηάζηαηε Κίλεζε Brown θαη ε αληίζηνηρε ηππηθή δηχιηζε F, δειαδή F F N φπνπ B B F B, s θαη N : N F N P N. Έζησ αθφκα s θαη ζηνραζηηθή αλέιημε a P, ηέηνηα ψζηε ε ζηνραζηηθή αλέιημε Σελίδα 7
a s dbs a s ds Z e,, λα είλαη F -maringale. Οξίδνπκε ζηνλ, FP, ην κέηξν πηζαλφηεηαο Q απφ ηε ζρέζε Q A Z dp A F, A Σφηε ε ζηνραζηηθή αλέιημε W B a s ds,, είλαη F -Κίλεζε Brown γηα κέηξν Q. Σελίδα 8
Κεφαλαιο Υπημαηοοικονομικό μονηέλο Black-Scholes. Αποηίμηζη Γικαιωμάηων Πποαίπεζηρ (Opions). Διζαγωγή - Ζ έννοια ηος παπάγωγος πποϊόνηορ απηφ ην θεθάιαην πξφθεηηαη λα αζρνιεζνχκε κε ηα παξάγσγα ρξεκαηννηθνλνκηθά πξντφληα θαη ηελ απνηίκεζή ηνπο ε νπνία απαηηεί ην καζεκαηηθφ ππφβαζξν πνπ παξνπζηάζηεθε ζηα πξνεγνχκελα θεθάιαηα. Ωο παξάγσγν πξντφλ ζεσξνχκε κηα δηκεξή ζχκβαζε ε νπνία κπνξεί λα αλαθέξεηαη ζε κεηνρέο, δείθηεο κεηνρσλ, νκφινγα, ζπλάιιαγκα ή θαη εκπνξεχκαηα. Σα παξάγσγα πξντφληα ζπλαιιάζνληαη ζην ρξεκαηηζηήξην παξαγψγσλ ην νπνίν απνηειεί έλαλ νξγαληζκφ πνπ δηαζθαιίδεη ηελ εχξπζκε ιεηηνπξγία ηεο αγνξάο απηψλ ησλ πξντφλησλ. Σα πην γλσζηά παξάγσγα πξντφληα είλαη: Σα πξνζεζκηαθά ζπκβφιαηα, ηα νπνία είλαη ε απινχζηεξε κνξθή παξαγψγνπ. Σα ζπκβφιαηα απηά ζπλήζσο πξαγκαηνπνηνχληαη κεηαμχ δπν ρξεκαηννηθνλνκηθψλ ηδξπκάησλ κε κηα ζπκθσλία αγνξαο-πψιεζεο αλάκεζά ηνπο κε θαζνξηζκέλε εκεξνκελία ιήμεο ηνπο ζην κέιινλ θαη αθνξνχλ κηα ζπγθεθξηκέλε πνζφηεηα αγαζνχ θαη ζε ζπγθεθξηκέλε ηηκή ζπλαιιαγήο. Γηα ηα πξνζεζκηαθά ζπκβφιαηα ζπλήζσο δελ γίλεηαη δηαπξαγκάηεπζή ηνπο ζηελ ρξεκαηηζηεξηαθή αγνξά. Σα ζπκβφιαηα κειινληηθήο εθπιήξσζεο (fuure conracs), ηα νπνία απνηεινχλ ην ίδην κνληέιν κε ηα πξνζεζκηαθά ζπκβφιαηα πνπ πεξηγξάςακε Σελίδα 9
παξαπάλσ κφλν πνπ ζπλαιιάζνληαη απφ ην ρξεκαηηζηήξην παξαγψγσλ θαη άξα εγγπφληαη σο πξνο ηελ εθπιήξσζή ηνπο (ππάξρεη λνκηθή ηζρχ). Σα πξντφληα δαλεηζκνχ ηίηισλ (sock repo and sock reverse repo), ηα νπνία αθνξνχλ ηελ παξαρψξεζε ηίηισλ σο δάλεην ή ηελ απφθηεζή ηνπο σο δάλεην. Καη ηέινο, Σα δηθαηψκαηα πξναίξεζεο (opions), ηα νπνία εηλαη θαη ην αληηθείκελν κειέηεο απηήο ηεο εξγαζίαο. Σα δηθαηψκαηα απηά απνηεινχλ ζπκβφιαηα κεηαμχ δπν αληηζπκβαινκέλσλ (ηνλ εθδφηε θαη ηνλ θάηνρν ηνπ δηθαηψκαηνο) ηα νπνία δίλνπλ ην δηθαίσκα θαη φρη ηελ ππνρξέσζε ζηελ πιεπξά ηνπ θαηφρνπ λα αζθήζεη ην δηθαίσκα ηνπ. Σν πιενλέθηεκα απηφ ηνπ εθδφηε αληηζηαζκίδεηαη απφ ηελ θαηαβνιή ελφο αληηηίκνπ (premium) απφ ηνλ θάηνρν. Σα δηθαηψκαηα πξναίξεζεο είλαη εγγπεκέλα απφ ην Υξεκαηηζηήξην Παξαγψγσλ.. Γικαιώμαηα Πποαίπεζηρ Σα δηθαηψκαηα πξναίξεζεο έρνπλ ηηο δπν αθφινπζεο κνξθέο: Call δηθάησκα αγνξάο Pu δηθάησκα πψιεζεο Καη ηα εμεο ραξαθηεξηζηηθά ηα νπνία αλαθέξνληαη θαη ζηηο δπν παξαπάλσ κνξθέο: Σηκή άζθεζεο δηθαηψκαηνο Κ (srike price), ε νπνία είλαη θαζνξηζκέλε απφ ηελ ρξνληθή ζηηγκή έλαξμεο ηνπ opion. Υξνλνο άζθεζεο δηθαηψκαηνο Σ (mauriy ime), ν νπνίνο απνηειεί νπζηαζηηθά ηε ρξνληθή δηάξθεηα ηζρχνο ηνπ δηθαηψκαηνο κέρξη ηε ιήμε ηνπ Αληίηηκν-Γίθαηε Σηκή c (premium), ην νπνίν απνηειεί ηελ ηηκή πνπ θαηαβάιεη ν θάηνρνο ζηνλ εθδφηε ηελ εκέξα έλαξμεο ηνπ ζπκβνιαίνπ ψζηε λα είλαη δίθαηε ε πνξεία ηεο ζπλαιιαγήο αλεμαξηήησο απνηειέζκαηνο Σελίδα
Σηκή ηνπ αγαζνχ ζηνλ ρξφλν ιήμεο ηνπ ζπκβνιαίνπ S. Πιεξνθνξηαθά αλαθέξνπκε ηνλ αθφινπζν ηχπν δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο (American opion) ηνπ νπνίνπ ην δηθαίσκα αζθείηαη νπνηαδήπνηε ζηηγκή ζην ρξνληθφ δηάζηεκα [,Σ]. Δκείο ζα αζρνιεζνχκε παξαθάησ κε ηα δηθαηψκαηα Δπξσπατθνχ ηχπνπ ζηα νπνία ην δηθαίσκα αζθείηαη αθξηβψο ζε ρξφλν Σ. 3. Μονηέλο Black-Scholes Παξαθάησ αλαιχνπκε ηελ ζπκπεξηθνξά ζην ρξφλν κηαο επέλδπζεο ζηελ αγνξά ρξήκαηνο ε νπνία κπνξεί λα είλαη απιή θαηάζεζε ή δαλεηζκφο. Έηζη αλ r(), είλαη ην επηηφθην ζπλερνχο αλαηνθηζκνχ θαη K(), ε ζπλάξηεζε θεθαιαίνπ, ηφηε γηα έλα πνιχ κηθξφ ρξνληθφ δηάζηεκα [, + Γ] θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ νπνίνπ ην επηηφθην ζεσξείηαη ζηαζεξφ θαη ίζν κε r(), ε κεηαβνιή ηνπ θεθαιαίνπ είλαη ε αθφινπζε K( Γ) K() r()k()γ. Καηά ζπλεπεηα ε δηαθνξηθή εμίζσζε πνπ πεξηγξάθεηαη παξαθάησ κε αξρηθή ζπλζήθε ηελ θαη dk r K d φπνπ θαη θ ην αξρθφ θεθάιαην λα είλαη ε θαηαιιειφηεξε γηα ην παξαπάλσ κνληειν ην νπνίν πεξηγξάςακε. Ζ ιχζε ηεο παξαπάλσ δηαθνξηθήο εμίζσζεο είλαη ε αθφινπζε r(s)ds K() θe,. ηε ζπλέρεηα θάλνπκε ηελ αληηθαηάζηαζε r β() e, φηαλ r r θαη r ζηελ παξαπάλσ ιχζε φπνπ β(), ε ιχζε ηεο παξαθάησ δηαθνξηθήο εμίζσζεο dβ() β() r()β()d (3.) φηαλ ην αξρηθφ θεθάιαην γίλεη κηα ρξεκαηηθή κνλάδα. Σελίδα
Καη άξα απφ ηελ αληηθαηάζηαζε ην απνηέιεζκα πνπ παίξλνπκε είλαη ε ζρέζε K() θβ(), ηε ζπλέρεηα καο ελδηαθέξεη ε κεηαβνιή ηεο ηηκήο κηαο κεηνρήο ζε ζρέζε κε ηελ πξνζθνξά θαη ηε δήηεζή ηεο ζηελ αγνξά. Μ απηφλ ηνλ ηξφπν νξίδνπκε φηη άλνδν ζηε δήηεζε πξνθαιεί άλνδν ηεο ηηκήο ηεο θ.ν.θ. Όκσο απηφ πνπ ελδηαθέξεη ζε κηα κεηνρή είλαη ε απφδνζή ηεο ηελ νπνία νξίδνπκε σο dx X φπνπ dx είλαη ε κεηαβνιή ηεο ηηκήο ηεο ζην ρξνληθφ δηάζηεκα [, + d]. Τπνζέηνπκε ινηπφλ φηη dx X bd φπνπ b. (3.) Όκσο ην παξαπάλσ κνληέιν (3.) γίλεηαη ξεαιηζηηθφηεξν κε ηελ πξφζζεζε ελφο ιεπθνχ ζνξχβνπ {ζμ } κε ζ > ζην δεχηεξν κέινο ηεο (3.) ην νπνίν καο νδεγεί ζηελ παξαθάησ ζρέζε dx X bd ζμ d. (3.3) Υξεζηκνπνηψληαο ηελ ζεσξία γηα ηελ ζηνραζηηθή νινθιήξσζε ΗΣΟ γηα ηελ (3.3) ζα κπνξνχζακε λα θαηαιήμνπκε ζηελ επφκελε ζρέζε dx bxd ζxdb. Άξα ινηπφλ, γηα λα πεξηγξάςνπκε ηελ εμέιημε ζην ρξφλν ηεο ηηκήο ππνθείκελσλ ηίηισλ θαηαιήγνπκε ζην επφκελν ζηνραζηηθφ κνληέιν X x bx ds ζx db, (3.4) s s s φπνπ b, ζ > θαη x >. Σελίδα
Ζ ηνραζηηθή Γηαθνξηθή Δμίζσζε (3.4) αλαθέξεηαη ζε έλα ρψξν πηζαλφηεηαο Ω,F,P ζηνλ νπνίν νξίδεηαη ε θίλεζε Brown {Β, } πνπ πεξηγξάςακε ζην πξνεγνχκελν θεθάιαην θαη ν νπνίνο είλαη εθνδηαζκέλνο κε ηελ εμεο δηχιηζε Β F ζ F Ν p,n p {Λ Ω : Ν F κε Λ Ν θαη P N } Παξαηεξνχκε φηη ε παξαπάλσ ηνραζηηθή Γηαθνξηθή Δμίζσζε (3.4) είλαη γξακκηθή θαη ε ιχζε ηεο πεξηγξάθεηαη απφ ηε ζρέζε (b ζ ) ζβ X xe, (3.5) κέζσ ηεο νπνίαο ζπκπεξαίλνπκε φηη ln X ln x (b ζ ) ζb, θαη άξα ln X N(ln x (b ζ ), ζ ),. πγθεθξηκέλα γηα s ζπκπεξαίλνπκε απφ ηελ (3.5) φηη ηζρχεη γηα ηελ X X X e s (b ζ )( s) ζ(β B s) Καη αληίζηνηρα φηη X ln N((b ζ )( s), ζ ( s)). X s (3.6) Αθφκα απφ ηελ (3.5) έρνπκε φηη F Β Υ F θαη ζπλεπψο Β Υ p p F ζ F Ν ζ F Ν Ο ζπληειεζηήο ζ > εθηηκάηαη απφ παξαηεξήζεηο X x, X x,...,x x n n πνπ ιακβάλνληαη ζε ρξνληθέο ζηηγκέο,,, n κε i i η γηα θάζε i =,,, n. Σελίδα 3
Λφγσ ηεο (3.6), νη ηηκέο x u i i ln, i,,...n xi απνηεινχλ δείγκα ηεο θαηαλνκήο N((b ζ )η,ηζ ) θαη ζπλεπψο ε παξάκεηξνο ζ εθηηκάηαη απφ ηελ αθφινπζε ζρέζε n i η n i ˆζ (u u). 4. Υαπηοθςλάκια ζηο μονηέλο Black-Scholes Ζ ελφηεηα απηή καδί κε ηηο επφκελεο πνπ αθνινπζνχλ είλαη βνεζεηηθή γηα ηελ αλαπηχμε ηεο καζεκαηηθήο επεμεξγαζίαο πξνβιεκάησλ πνπ ηέζεθαλ ζε πξνεγνχκελεο παξαγξάθνπο, γηα ην κνληέιν Black-Scholes. Όια απφ δσ θαη πέξα ζα αλαθέξνληαη ζηνλ ρψξν πηζαλφηεηαο Ω,F,P ζηνλ νπνίν νξίδεηαη κηα κνλφδηάζηαζε θίλεζε Brown {Β, } θαη ε ηππηθή ηεο δηχιηζε, δειαδή, Β F ζ F Ν p, φπσο νξίζακε θαη παξαπάλσ φπνπ Β F ζ Β, s θαη s N p {Λ Ω: Ν F κε Λ Ν θαη P N }. Σν κνληέιν αγνξάο (β, Υ) ζην νπνίν αλαθεξφκαζηε είλαη ην γλσζηφ κνληέιν Black-Scholes, δειαδή β() rβ(s)ds, (4.) X x bx ds ζx db, (4.) s s s φπνπ r, b, ζ, x,. Σελίδα 4
Σν r αλαπαξηζηά ην επηηφθην ζπλερνχο αλαηνθηζκνχ, ην x αλαπαξηζηά ηελ ηηκή ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ Υ θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή = θαη Σ είλαη ν ρξφλνο άζθεζεο ησλ δηθαησκάησλ ησλ opion. Δπίζεο ε (4.) κπνξεί λα γξαθεί θαη κ απηή ηε κνξθή r β() e, (4.3) κε ηελ r β () e, λα ηθαλνπνηεί ηελ εμίζσζε β () rβ (s)ds. (4.4) Καινχκε σαπηοθςλάκιο γηα ηελ αγνξά (β, Υ) έλα δεχγνο θ = (θ, θ ) φπνπ θ, θ είλαη ζηνραζηηθέο αλειίμεηο κε ηηκέο ζην, κεηξήζηκεο θαη F -πξνζαξκνζκέλεο. Ολνκάδεηαη ανέλιξη αξίαρ ηνπ ραξηνθπιαθίνπ θ = (θ, θ ) ε αθφινπζε ζηνραζηηθή αλέιημε θ Y θ ()β() θ ()X,. (4.5) Γηα θάζε ρξνληθή ζηηγκή [,], θ () θαη αληίζηνηρα θ () είλαη ν αξηζκφο ησλ ηίηισλ β αληίζηνηρα Υ πνπ δηαζέηεη ν επελδπηήο. Όκσο φια ηα ραξηνθπιάθηα δελ είλαη απνδεθηά θαη απηφ ην δείρλνπκε παξαθάησ. ε έλα πνιχ κηθξφ ρξνληθφ δηάζηήκα [, + Γ] θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ νπνίνπ κπνξνχκε λα ζεσξήζνπκε ην ραξηνθπιάθην θ ζηαζεξφ, ε κεηαβνιή ηεο αμίαο ηνπ είλαη ε αθφινπζε θ θ Τ ( Γ) Τ () θ ()(β( Γ) β()) θ ()(Υ( Γ) Υ()). Έηζη ινηπφλ απνδερφκαζηε κφλνλ ηα ραξηνθπιάθηα θ = (θ, θ ) γηα ηα νπνία ηζρχεη ε παξαθάησ ζρέζε θ dy θ ()dβ() θ ()dx (4.6) ή ηζνδχλακα Σελίδα 5
θ θ Y Y [rθ (s)β(s) bθ (s)x ]ds ζθ (s)x db, (4.7) s s s θάλνληαο απαξαίηεηε ηελ πξνυπφζεζε φηη ηζρχεη ε παξαθάησ ζρέζε γηα ηελ ηεηξαγσληθή ζχγθιηζε s θ (s) ds θ (s)x ds P ζ.β. (4.8) Καη έηζη κε βάζε ηα παξαπάλσ πεξλάκε ζηνλ επφκελν φξηζκφ: Οριζμός. Έζησ έλα κνληέιν αγνξάο (β, Υ) φπσο ην νξίζακε θαη παξαπάλσ ζηηο ζρέζεηο (4.), (4.). Έλα ραξηνθπιάθην θ = (θ, θ ) νλνκάδεηαη αςηοσπημαηοδοηούμενο γηα ηελ (β, Υ) φηαλ ηθαλνπνηεί ηελ (4.8) θαη ε αλέιημε αμίαο ηνπ θ Τ θ β θ Υ ηθαλνπνηεί ηελ (4.7). Σν ζχλνιν ησλ απηνρξεκαηνδνηνχκελσλ ραξηνθπιαθίσλ ζα γξάθεηαη Χ. ηε ζπλέρεηα, νη ζηνραζηηθέο αλειίμεηο β Υ, β Τ. απνθηνχλ ηδηαίηεξε ζεκαζία. Ζ ζεκαζία απηή είλαη ε εμήο: Αλ ε αγνξά ρξήκαηνο δίλεη επηηφθην r ηφηε έλα επξψ ηελ (κειινληηθή) ρξνληθή ζηηγκή έρεη ζεκεξηλή ( = ) αμία e r. πλεπψο β X (αληίζηνηρα θ β Y ) είλαη ε ζεκεξηλή, ( = ), αμία ηνπ ηίηινπ Υ (αληίζηνηρα ραξηνθπιαθίνπ θ) πνπ ζα έρεη ηηκή Υ (αληίζηνηρα ζηηγκή >. θ Y ) θαηά ηελ (κειινληηθή) ρξνληθή Σελίδα 6
Πρόηαζη. Έζησ έλα κνληέιν αγνξάο (β, Υ) φπσο ζηηο (4.), (4.) θαη θ X Σφηε ηζρχεη γηα [,] s s s β X x (b r)β (s)x ds ζβ (s)x db (4.9) θ θ s s s β Y Τ (b r)θ (s)β (s)x ds ζθ (s)β (s)x db (4.) Απφδεημε Καη νη δχν δεηνχκελεο ζρέζεηο πξνθχπηνπλ κε ηε βνήζεηα ηεο formula ηνπ Ιo. Όζνλ αθνξά ηελ ζρέζε (4.) έρνπκε: απφ ηηο (4.4) θαη (4.7) θαη κε ηε βνήζεηα ηεο formula ηνπ Ηo έρνπκε θ θ s s β ()Y Τ [ rβ (s)y rθ (s) bβ (s)θ (s)x ]ds ζβ (s)θ (s)x db. s s Αληηθαζηζηψληαο ηψξα κέζα ζην νινθιεξψκα ηελ Τ s απφ ηελ (4.5) πξνθχπηεη ε θ θ s s β ()Y Τ [ rβ (s)θ (s)x bβ (s)θ (s)x ]ds ζβ (s)θ (s)x db. s s πνπ είλαη θαη ε δεηνχκελε. Παραηήρηζη Παξαηεξνχκε φηη ην δεχηεξν κέινο ηεο (4.) δελ εκπεξηέρεη ην θ αιιά κφλν ην θ. Απηφ καο επηηξέπεη λα βξίζθνπκε ην θ φηαλ δίλεηαη ην θ. πγθεθξηκέλα: Σελίδα 7
Έζησ φηη δίλεηαη y θαη θ κεηξήζηκε, F -πξνζαξκνζκέλε κε s θ (s)x ds Ρ-ζ.β. Θέηνπκε γηα [,] θ s s s G (b r)θ (s)β (s)x ds ζθ (s)β (s)x db. (4.) θαη νξίδνπκε θ = (θ, θ ) φπνπ θ θ () y G θ ()β ()X,. (4.) Σφηε κε Τ θ = θ β + θ Υ ζπκπεξαίλνπκε άκεζα φηη θ θ Y β (y G ),. Ζ ηειεπηαία ζρέζε κε ηε βνήζεηα ηεο formula ηνπ Io θαη ηεο (4.) ζπλεπάγεηαη ηελ (4.7) θαη ζπλεπψο θ Υή πην ζπγθεθξηκέλα θ Υ y. ηε ζπλέρεηα παξαζέηνπκε ηνλ νξηζκφ ζχκθσλα κε ηνλ νπνίν ζπκπεξαίλνπκε αλ έλα ραξηνθπιάθην είλαη απνδεθηφ ή φρη. Οριζμός.3 Έλα απηνρξεκαηνδνηνχκελν ραξηνθπιάθην θ X νλνκάδεηαη αποδεκηό φηαλ ππάξρεη Λ ηέηνην ψζηε θ Τ Λ d dp-ζ.β. Σν ζχλνιν ησλ απνδεθηψλ ραξηνθπιαθίσλ ζα ζεκεηψλεηαη X. Ηδηαίηεξα γηα y ζα είλαη θ y X {θ X : Y y P-ζ.β.}. Σελίδα 8
5. Maringale μέηπα πιθανόηηηαρ Θεσξνχκε μαλά ην κνληέιν αγνξάο (β, Υ) κε β, Υ φπσο ζηηο (4.), (4.). Θέηνπκε ζ b r ζ θαη ζb ζ Z e,. (5.) Ζ ζηνραζηηθή αλέιημε {Z, } είλαη F -maringale φπσο έρνπκε απνδείμεη ζην πξνεγνχκελν θεθάιαην θαη ζπλεπψο ε ζρέζε Q(A) Ε dp, A F (5.) Α Σ νξίδεη έλα κέηξν πηζαλφηεηαο ζηνλ ρψξν πηζαλφηεηαο Ω,F,P. Μάιηζηα ην κέηξν Q είλαη ηζνδχλακν ηνπ κέηξνπ Ρ, δειαδε P A Q A A F (5.3) Αλαθαιψληαο ην Θεψξεκα Girsanov, ε ζηνραζηηθή αλέιημε w B ζ, (5.4) είλαη κηα F -θίλεζε Brown, γηα ην κέηξν Q. Όπσο θαη παξαπάλσ ε δηχιηζε F, είλαη ε ηππηθή δηχιηζε ηεο θίλεζεο Brown {B, }, δειαδή Β F ζ F Ν p Όκσο ιφγσ ηεο (5.4) ηζρχεη ιφγσ ηεο (5.3) ηζρχεη NP N Q θαη ζπλεπψο Β W F F θαη Β W p Q F ζ F Ν ζ G Ν (5.5) Σελίδα 9
Πρόηαζη.4 Έζησ (β, Υ) κνληέιν αγνξάο φπσο ζηηο (4.), (4.) θαη Q ην κέηξν πηζαλφηεηαο ζηνλ ρψξν πηζαλφηεηαο Ω,F πνπ νξίδεηαη απφ ηηο ζρέζεηο (5.), (5.). Σφηε ππφ ην κέηξν πηζαλφηεηαο Q θαη γηα ηπραίν θ = (θ, θ ) Χ ηζρχνπλ νη παξαθάησ ζρέζεηο: dx rxd ζxdw, (5.6) s s s β X x ζβ Υ dw, (5.7) θ θ s s s β Y Y ζβ θ (s)υ dw,. (5.8) Απφδεημε Κάλνπκε ηελ αληηθαηάζηαζε db dw ζd θαη έηζη κ απηφλ ηφλ ηξφπν απφ ηελ ζρέζε (4.) πξνθχπηεη φηη θ θ s s s s β Y Y (b r)θ (s)β Υ ds ζθ (s)β (s)x dw ζθ (s)β s (s)x ζds Ξέξνπκε φηη ηζρχεη ε ηζφηεηα ζ b r ζ θαη θάλνληαο αληηθαηάζηαζε θαηαιήγνπκε ζηελ παξαπάλσ ζρέζε (5.8) πνπ είλαη θαη ε δεηνχκελε ηεο απφδεημεο. Με βάζε ηα φζα αλαθέξακε παξαπάλσ έρνπκε ηα αθφινπζα ζπκπεξάζκαηα: Σελίδα 3
Πόριζμα (α) Τπφ ην κέηξν πηζαλφηεηαο Q ε ζηνραζηηθή αλέιημε {β X, } είλαη F - maringale. (β) Τπφ ην κέηξν πηζαλφηεηαο Q ε ζηνραζηηθή αλέιημε θ {β Y, } είλαη F - local maringale θαη ηδηαίηεξα αλ θ X είλαη ε F -supermaringale. Απφδεημε (α) Απφ ην ζεψξεκα Ηo ησλ ηνραζηηθψλ Γηαθνξηθψλ Δμηζψζεσλ έρνπκε φηη γηα m ηπραίν m ηζρχεη E X c [,]. P Δπίζεο ζβ (ζ) ζ ζ p p E Z e E (e ) e αθνχ ε ζηνραζηηθή αλέιημε ζβ (ζ) e, είλαη maringale. Δπεηδή EQ X Ep X Z ζπκπεξαίλνπκε φηη Q E X d Καη ρξεζηκνπνηφληαο ηελ ζρέζε (5.7) πξνθχπηεη ην δεηνχκελν. (β) Αθνχ θ Υ είλαη s P( θ (s)x ds ) θαη επεηδή ηα κέηξα πηζαλφηεηαο Ρ, Q είλαη ηζνδχλακα ζπκπεξαίλνπκε φηη θαη s Q( θ (s)x ds ). χκθσλα κε ηε ζεσξία ηεο ζηνραζηηθήο νινθιήξσζεο θαη ηελ ζρέζε (5.8) ζπκπεξαίλνπκε φηη ε ζηνραζηηθή αλέιημε θ {β Y, } είλαη F -local maringale. Αλ ηψξα θ Υ Σελίδα 3
ηφηε ε ζηνραζηηθή αλέιημε θ β Τ είλαη θάησ θξαγκέλε θαη ζπλεπψο είλαη supermaringale. Σημείωζη Αλ ζέζνπκε X β X, ηφηε νη ζρέζεηο (5.7), (5.8) γξάθνληαη σο εμεο dx ζx dw, X x, θ d(β Y ) θ ()dx,. Ζ χπαξμε ηνπ κέηξνπ πηζαλφηεηαο Q θαη ησλ ζπλεπεηψλ ηεο (Πξφηαζε.4) ραξαθηεξίδεη ην κνληέιν αγνξάο σο κνληέιν ρσξίο θαηλφκελν arbirage δειαδή επθαηξηψλ θέξδνπο ρσξίο θίλδπλν. Πην ζπγθεθξηκέλα, δελ ππάξρεη ραξηνθπιάθην θ Υ κε,θ YΣ Ρ-ζ.β. θαη,θ P(YΣ ). Πξάγκαηη, έζησ φηη ππάξρεη ραξηνθπιάθην θ Υ κε απηέο ηηο ηδηφηεηεο. χκθσλα κε ην Πφξηζκα ηεο Πξφηαζεο (.4) ε ζηνραζηηθή αλέιημε,θ {β Y, } είλαη supermaringale γηα ην κέηξν Q θαη ζπλεπψο Q,θ,θ Q E (Y ) E (Y ). (5.9) Όκσο,θ Y Ρ-ζ.β. θαη ιφγσ ηεο ηζνδπλακίαο ησλ κέηξσλ Ρ, Q ζα είλαη,θ Y Q-ζ.β. πλεπψο ε (5.9) ζπλεπάγεηαη φηη,θ Q(Y ) θαη άξα,θ P(Y ) - ζπκπέξαζκα άηνπν. Παξαθάησ ζα αζρνιεζνχκε κε ην λα εμεηάζνπκε αλ ππάξρεη θαη πνηα είλαη ε ζρέζε αλάκεζα ζην κέηξνπ πηζαλφηεηαο Q θαη ηεο δίθαηεο ηηκήο (premium) πνπ εκείο Σελίδα 3
δεηνχκε. Ζ εμέιημε ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ θαη ηδίσο ηεο επηθαηξνπνηεκέλεο αμίαο ηνπ X β X, είλαη θαηά ηελ (4.9) θαη ππφ ην κέηξν πηζαλφηεηαο Ρ dx (b r)xd ζxdb, X x. Όπσο βιέπνπκε ην θνκκάηη (b r)xd αλ ππήξρε κφλν ηνπ (ζ = ) ηφηε ε δίθαηε ηηκή δελ ζα έρεη θαλέλα λφεκα. Σν φιν δήηεκα γηα ηελ δίθαηε ηηκή νθείιεηαη ζην θνκκάηη ζxdb κφλνλ. Απηφ ινηπφλ αθξηβψο θάλεη ην κέηξν Q: αγλνεί ην θνκκάηη (b r)xd θαη ιακβάλεη ππφςε κφλν ην ζxdb. Γηα λα είκαζηε αθξηβείο, αγλνεί ηνλ ζπληειεζηή b, αιιά δελ αγλνεί ηνλ ζπληειεζηή r πξάγκα πνπ θαίλεηαη θαιχηεξα ζηελ (5.6). απηή ηε ζρέζε ην δεχγνο (Υ, W) είλαη κηα αζζελήο ιχζε ηεο ηνραζηηθήο Γηαθνξηθήο Δμίζσζεο * * * * * X rx d ζx dw, X x γηα ηελ νπνία ηζρχεη ηζρπξή άξα θαη αζζελήο κνλαδηθφηεηα. Απηφ ζεκαίλεη φηη πξνζδηνξίδεη κηα θαηαλνκή ζην C([,], ) πνπ εμαξηάηαη απφ ηα r, ζ, x θαη φρη απφ ην b. Γειαδή ην κέηξν Ρ ζεσξείηαη φηη αληαλαθιά ηηο πξνηηκήζεηο ησλ επελδπηψλ απέλαληη ζηνλ θίλδπλν. Αληίζεηα ην κέηξν πηζαλφηεηαο Q ζεσξείηαη «νπδέηεξν θηλδχλνπ» (risk-neural measure). Έλα κέηξν πηζαλφηεηαο φπσο ην Q, δειαδή ηζνδχλακν ηνπ κέηξνπ Ρ θαη ππφ ην νπνίν ε ζηνραζηηθή αλέιημε {X, } είλαη F -maringale νλνκάδεηαη ιζοδύναμο maringale μέηπο πιθανόηηηαρ. Σελίδα 33
6. Γικαιώμαηα Δςπωπαϊκού ηύπος Πξνρσξνχκε ηψξα ζηνλ απαξαίηεην νξηζκφ ζηα πιαίζηα ελφο κνληέινπ αγνξάο (β, Υ). Αθνινπζνχλ παξαδείγκαηα πνπ δηεπθξηλίδνπλ ηε ζεκαζία ηνπ. Οριζμός.5 Έζησ Σ> θαη (β, Υ) κνληέιν αγνξάο φπσο νξίζακε ζηηο (4.), (4.). Γικαίωμα Δςπωπαϊκού ηύπος σπόνος άζκηζηρ Σ νλνκάδεηαη κηα κε αξλεηηθή ηπραία κεηαβιεηή Τ : Ω [, ) πνπ είλαη F -κεηξήζηκε. πλεπψο αλ h:, [, ) είλαη κε αξλεηηθή Borel ζπλάξηεζε ηφηε ε Τ = h(x ) είλαη έλα δηθαίσκα Δπξσπατθνχ ηχπνπ ρξφλνπ άζθεζεο Σ. Αλαθέξνπκε κεξηθά ζπλήζε παξαδείγκαηα ηέηνησλ δηθαησκάησλ. Παραδείγμαηα Α) European call opion Σν δηθαίσκα είλαη Y (X K) φπνπ ν αξηζκφο Κ νλνκάδεηαη ηιμή άζκηζηρ ηνπ δηθαηψκαηνο (srike price) θαη X ε ηηκή θιεηζίκαηνο ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ ηελ εκέξα ιήμεο Σ. Β) European pu opion Σν δηθαίσκα είλαη Y (K X ). φπνπ Κ θαη εδψ ε ηηκή άζθεζεο ηνπ δηθαηψκαηνο θαη X ε ηηκή θιεηζίκαηνο ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ ηελ εκέξα ιήμεο Σ. Σελίδα 34
Γ) Currency opion Σν δηθαίσκα είλαη Y X φπνπ δ εδψ ε αληίζηνηρε ηηκή άζθεζεο ηνπ δηαθαηψκαηνο φπσο ζηα πξνεγνχκελα δηθαηψκαηα κ.νλν πνπ είλαη ίζε κε Ke r φπνπ r είλαη ην επηηφθην ηνπ μέλνπ λνκίζκαηνο Σ είλαη ν ρξφλνο κέρξη ηε ιήμε θαη ε ηηκή θιεηζίκαηνο ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ ηελ εκέξα ιήμεο Σ. X Γ) Binary opion Σν δηθαίσκα είλαη Y q φπνπ q είλαη ην κέξνο ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ πνπ, X K, X K ζα ιάβεη ν θάηνρνο αλ εθπιεξσζεί ην δηθαίσκα θαη X ε ηηκή θιεηζίκαηνο ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ ηελ εκέξα ιήμεο Σ. Δ) Compound opion r( ) Σν δηθαίσκα είλαη Y c X, K, φπνπ c( S, ) S N( d ) X e N( d ), Κ srike price θαη X ε ηηκή θιεηζίκαηνο ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ ηελ εκέξα ιήμεο Σ. η) Chooser opion Σν δηθαίσκα είλαη Y c X, c ; K, p X, c ; K φπνπ Κ srike price, X ε c c ηηκή θιεηζίκαηνο ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ ηελ εκέξα επηινγήο ιήμεο ηνπ δηθαηψκαηνο c ελψ ε ηειηθή εκέξα ιήμεο ηνπ δηθαηψκαηνο. c Σελίδα 35
Ε) Lookback opion Σν δηθαίσκα είλαη Y X, m φπνπ m min X ε ειάρηζηε ηηκή ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ ζην ρξνληθφ δηάζηεκα,, Κ srike price, X ε ηηκή θιεηζίκαηνο ηνπ ππνθέηκελνπ ηίηινπ ηελ εκέξα ιήμεο ηνπ δηθαηψκαηνο Σ. Ζ) Asian opion Σν δηθαίσκα είλαη Y A K, φπνπ A( ) S( ) d ε κέζε ηηκή ησλ ηηκψλ ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ ζε ρξνληθφ δηάζηεκα, θαη Κ srike price. Οριζμός.6 Έζησ Τ έλα δηθαίσκα Δπξσπατθνχ ηχπνπ ρξφλνπ άζθεζεο αλαθεξφκελν ζην κνληέιν αγνξάο. ηξαηεγηθή αληηζηάζκηζεο θηλδχλνπ γηα ην Τ (hedging sraegy) κε αξρηθή αμία y ιέγεηαη έλα ραξηνθπιάθην, κε y, Y Y, Ρ - ζ.β. Γίθαηε ηηκή γηα ην δηθαίσκα Τ ιέγεηαη ην y, inf y : y Y YP.. ημείωζη Λφγσ ηνπ φηη γηα ηπραία y,, ε ζηνραζηηθή αλέιημε y, y είλαη Q-supermaringale έρνπκε ην ζπκπεξαζκα φηη Q Σελίδα 36
Πρόηαζη.7 Έζησ θαη έλα Δπξσπατθφ δηθαίσκα Τ ρξφλνπ άζθεζεο Σ γηα ην κνληέιν αγνξάο,. Τπνζέηνπκε φηη Ε Q Y φπνπ Q κέηξν πηζαλφηεηαο. Έζησ ηψξα y κηα ζηξαηεγηθή αληηζηάζκηζεο θηλδχλνπ γηα ην Τ κε αξρηθή αμία y. Σφηε ε ζηνραζηηθή αλέιημε y,, είλαη F maringale γηα ην κέηξν Q φηαλ θαη κφλν φηαλ y y Q. Απφδεημε Τπνζέηνπκε φηη y y Q. Καηά ην Πφξηζκα πνπ νξίζακε παξαπάλσ ε ζηνραζηηθή αλέιημε y,, είλαη F maringale γηα ην κέηξν Q. Όκσο E Y Y y E Y θαη ζπλεπψο ε ζηνραηηθή αλέιημε y, y, Q Q Q y,, είλαη F maringale γηα ην κέηξν Q. Ακέζσο ηψξα δηαηππψλνπκε θαη απνδεηθλχνπκε ζηε ζπλέρεηα ην ζεκειηψδεο απνηέιεζκα. Πρόηαζη.8 Έζησ θαη Τ έλα Δπξσπατθφ δηθαηψκα ρξφλνπ άζθεζεο Σ γηα ην κνληέιν, πνπ έρνπκε νξίζεη. Τπνζέηνπκε φηη Ε Q Y φπνπ Q ην κνληέιν πηζαλφηεηαο πνπ νξηζακε ζηηο ζρέζεηο (5.) θαη (5.) πην πάλσ. Σφηε Q y ˆ θαη ππάξρεη κηα κνλαδηθή ζηξαηεγηθή αληηζηάζκηζεο θηλδχλνπ y κε αξρηθή αμία ŷ γηα ην δηθαίσκα Τ. Σελίδα 37
Απφδεημε Οξίδνπκε M Y F,. Ζ ζηνραζηηθή αλέιημε Μ είλαη F Q maringale γηα ην κέηξν Q. Δπεηδή γηα ηελ θίλεζε Brown W, ηελ νξηδφκελε ζηελ (5.4) ηζρχεη W F N Q, ην maringale Μ αλαπαξίζηαηαη σο ζηνραζηηθφ νινθιήξσκα σο πξνο W M yˆ s dw Q-ζ.β., s φπνπ P,. Οξίδνπκε ˆ ˆ, ˆ κε ˆ X, ˆ κε ŷ αληί ηνπ y θαη ˆ αληί. Απφ πξνεγνχκελε παξαηήξεζε μέξνπκε φηη ηζρχεη ˆ y ˆ. Δμάιινπ απφ ηνλ νξηζκφ ˆ θαη ζπλεπψο, ˆ ˆ s s s M y s dw, Q-ζ.β. Καη ζπγθξίλνληαο κε ηελ (5.8)(κε ˆ φπνπ ) ζπκπεξαίλνπκε y, M Q-ζ.β., Απφ ηελ ηειεπηαία ζπκπεξαίλνπκε αθελφο κελ ŷ θαη αθεηέξνπ φηη Y yˆ, ˆ Y, άξα yˆ, Y ˆ Y Q-ζ.β. Δίλαη πξνθαλέο ηψξα φηη ŷ. Δίλαη φκσο ήδε γλσζηφ φηη EQ y ˆ θαη ζπλεπψο ŷ. Σελίδα 38
Απνκέλεη λα δείμνπκε φηη ε ζηξαηεγηθή ˆ είλαη ε κφλε ζην ŷ. Πξάγκαηη έζησ Y κε yˆ, ŷ Y Ρ-ζ.β. (Q-ζ.β. επίζεο). Οη ζηνραζηηθέο αλειίμεηο yˆ, ˆ, yˆ, είλαη F maringale γηα ην κέηξν Q θαη ζπλεπψο γηα θάζε, Y F yˆ, ˆ yˆ, Q, Q-ζ.β. Δπηθαινχκελνη ηελ (5.8) ζπκπεξαίλνπκε φηη γηα θάζε, ˆ s s s s s s s dw s dw, Q-ζ.β θαη ζέηνληαο ˆ s s s V X s s dw έρνπκε V Q-ζ.β.,,. Αξθεί ηψξα εθαξκνγή ηεο θφξκνπια ηνπ Io ζηελ V γηα λα ζπκπεξάλνπκε φηη ˆ d dq Q-ζ.β. Δπεηδή έρνπκε φηη ˆ ˆ (κε δηαθξηλφκελεο) ζπκπεξαίλνπκε φηη θαη ˆ d dq, Q-ζ.β. Σειηθά ˆ d dq, Q-ζ.β. θαη αθνχ ηα κέηξα P,Q είλαη ηζνδχλακα εμαζθαιίδνπκε φηη ˆ d dp, P -ζ.β.. Οριζμός.9 Με βάζε ηηο πξνυπνζέζεηο ηεο παξαπάλσ Πξφηαζεο.8 ζέηνπκε Y ˆ, yˆ, ˆ θαη έρνπκε ηα αθφινπζα ζπκπεξάζκαηα. Ζ ζηνραζηηθή αλέιημε Yˆ, νλνκάδεηαη αλέιημε αμίαο ηνπ δηθαηψκαηνο Τ. Σελίδα 39
7. Αποηίμηζη δικαιωμάηων Δςπωπαϊκού Σύπος Γηα δηθαηψκαηα ηεο κνξθήο Y h(x ) φπνπ h : (, ) [, ) ζπλερήο κε E [h(x )] ζην κέηξν πηζαλφηεηαο Q φπσο ην νξίζακε ζηηο πξνεγνχκελεο Q παξαγξάθνπο έρνπκε r( ) Q F Ŷ E [e h(x ) ] φπνπ s s s X x rx ds ζx dw ε αληίζηνηρε εμίζσζε απφ ην κνληέιν Black- Scholes γηα ην κέηξν Q. θαη ζπλεπψο κε αληηθαηάζηαζε ηεο δεχηεξεο ζρέζεο ζηελ πξψηε πξνθχπεη ε αθφινπζε ζρέζε r( ) Q s s s F Ŷ E [e h(x rx ds ζx dw ]. Σψξα κπνξνχκε λα γξάςνπκε Ŷ g(,x ) (7.) κε r( ) Q s s s g(,μ) Δ (e h(μ rx ds ζx dw )) ή αιιηψο πην ζχληνκα Q r( ) g(,μ) Δ (e h(x (μ,))), μ (7.) φπνπ X(μ,u), u ε ιχζε ηεο ηνραζηηθήο Γηαθνξηθήο Δμίζσζεο (ππφ ην κέηξν Q) u u u s s s X μ rx ds ζx dw, u. Όκσο ε ιχζε απηήο ηεο ηνραζηηθήο Γηαθνξηθήο Δμίζσζεο γξάθεηαη θαη (r ζ )(u ) ζ(wu W ) u X μe, u θαη ζέηνληαο ι r ζ πξνθχπηεη ε εμεο ζρέζε r( ) ι( ) ζ(w W ) g(,μ) E [e h(μe )]. Q Σελίδα 4
Δπεηδή ε ηπραία κεηαβιεηή W W αθνινπζεί θαηαλνκή Ν (, Σ ) γηα θαη θαηαλνκή δ γηα = ζπκπεξαίλνπκε φηη g(,μ) e r( ) π y ι( ) ζy h(μe )e dy, h(μ), (7.3) Πξνθχπηεη άκεζα φηη g C([,] (, )). θαη θάλνληαο ηψξα ηνλ κεηαζρεκαηηζκφ ι( ) ζy μe z έρνπκε γηα r( ) g(,μ) e h(z)k(,z,μ)dz (7.4) φπνπ [lnz lnμ α(σ )] K(,z,μ) exp{ }. ζz π(σ η) ζ (Σ ) Τπνζέηνπκε ηψξα φηη ε ζπλάξηεζε h ηθαλνπνηεί ηελ απαίηεζε: Γηα c >, m ηζρχεη m h(x) c( x ) x (, ). (7.5) Τπφ ηε ζπλζήθε απηή, απφ ηελ (7.4) ζπλάγνπκε φηη, h C ([,) (, )) θαη ζπλεπψο εθαξκφδεηαη ε formula ηνπ Io ζηελ ζηνραζηηθή αλέιημε r ˆ r e Y e g(,x ), ˆ g e Y y N β (s,x )ζx dw μ r ˆ s s s s φπνπ rs s g g g N e Lg(s, X )ds, Lg ζ μ rμ rg. μ μ Σελίδα 4
Όκσο ζχκθσλα κε ηελ (6.6) ην πξψην κέινο είλαη F -maringale θαη ην ζηνραζηηθφ νινθιήξσκα ηνπ δεπηέξνπ κέινπο είλαη F -local maringale (ππφ ην κέηξν Q πάληα) θαη ζπλεπψο N = Q-ζ.β. Σειηθά r g e Yˆ yˆ β s (s,x s)ζxsdw s,. μ Όκσο r e Yˆ M y ς(s)dw, ˆ s θαη άξα ε ς ζα είλαη ίζε κε g ς β (,Υ)ζΥ. μ Υξεζηκνπνηψληαο ηψξα ηελ ζρέζε (6.9) ζπκπεξαίλνπκε φηη ηζρχεη ην αθφινπζν g r r g θ ˆ() (,X ), θ ˆ() e g(,x ) e (,X )X, [,). μ μ (7.6) Πρόηαζη. Έζησ έλα επξσπατθφ δηθαίσκα Y = h(x ) φπνπ h : (, ) [, ) ζπλερήο κε καζεκαηηθή ειπίδα σο πξνο ην κέηξν Q E Q[h(X )]. Σφηε ε αλέιημε αμίαο Τ θαη ε δίθαηε ηηκή ξ(τ) δίλνληαη απφ ηηο ζρέζεηο Y g(,x ), ξ(τ) g(,x) φπνπ g ε ζπλάξηεζε ε νξηδφκελε απφ ηελ ζρέζε (7.3) κε ι r ζ. Δπηπιένλ ππφ ηε ζπλζήθε (7.5), ην κνλαδηθφ ραξηνθπιάθην αληηζηάζκηζεο θηλδχλνπ θ ˆ (θˆ θ ˆ ) δίλεηαη απφ ηηο ζρέζεηο (7.6). Σελίδα 4
Αλ ζεσξήζνπκε ηψξα ην πξφβιεκα Cauchy V V V ζ x rx rv ζην [,) (, ) x x (7.7) V(,x) h(x), x (, ) θαη ππνζέζνπκε φηη ππάξρεη γη απηφ κνλαδηθή ιχζε, V C([,] (, )) C ([,) (, )) πνπ ηθαλνπνηεί ηηο απαηηήζεηο ηνπ Θεσξήκαηνο Feynman-Kac. ηελ πεξίπησζε απηή εθαξκφδεηαη ην Θεψξεκα Geynman-Kac θαη ε ιχζε V αλαπαξίζηαηαη ζηνραζηηθά αθξηβψο φπσο ε ζπλάξηεζε g ζηελ ζρέζε (7.), είλαη δειαδή V = g θαη ζπλεπψο Ŷ g(,x ) V(,X ), (7.8) θαη άξα ε δίθαηε ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο Τ είλαη ίζε κε ξ(y) g(,x) V(,x). (7.9) Σν πξφβιεκα Cauchy (7.7) είλαη γλσζηφ σο εξίζωζη Black-Scholes. πρλα, ζηε ζέζε ηεο ζπλάξηεζεο g, ρξεζηκνπνηείηαη ε ζπλάξηεζε F πνπ νξίδεηαη απφ ηελ εμεο αθφινπζε ζρέζε F(,μ) g(,μ) V(,μ),, μ. Σφηε Ŷ F(,X ), θαη ξ(τ) = F(, x). Οη ζρέζεηο (7.6) γξάθνληαη γηα F θ ˆ () (,X ), θ ˆ () e F(,X ) e θ ˆ ()X μ r( ) r( ) Σελίδα 43
θαη ην πξφβιεκα Cauchy (7.7) αλαδηαηππψλεηαη ζε F F F ζ x rx rf x x ζην (,] (, ) F(,x) h(x), x (, ). Δλδεηθηηθά αλαθέξνπκε ηνλ ηχπν γηα ηα European Opions πνπ είλαη γλσζηή σο Black-Scholes formula θαη έρεη σο εμήο: r ξ(τ) g c(,x) xφ(d ) Ke Φ(d ) (7.) φπνπ ln( x ) (r ζ )Σ ln( x ) (r ζ )Σ d Κ, d Κ d ζ Σ. ζ Σ ζ Σ Σελίδα 44
Κεφαλαιο 3 Currency opions Ξεθηλψληαο απφ ην κνληέιν Black-Scholes, X πνπ νξίζακε ζην πξνεγνχκελν θεθάιαην, ζα δψζνπκε ζηε ζπλέρεηα κηα ζπγθεθξηκέλε εξκελεία πνπ ζα πεξηγξάθεη έλα παξάδεηγκα δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο. Έζησ X, λα είλαη ε ηηκή ηεο κνλάδαο ελφο μέλνπ λνκίζκαηνο ζε κνλάδεο ηνπ ληφπηνπ λνκίζκαηνο. Σν δηθαίσκα πνπ ζα εμεηάζνπκε είλαη ην παξαθάησ θαη αθνξά ηζνηηκία: X φπνπ Ο εθδφηεο ηνπ δηθαηψκαηνο ζρεκαηίδεη έλα ραξηνθπιάθην,, απφ ην εληφπην θαη ην μέλν λφκηζκα αληίζηνηρα, ηνπ νπνίνπ ε αμία (ζην εληφπην λφκηζκα) λα είλαη X κε e r, θαη r λα είλαη ην επηηφθην ζπλερνχο αλαηνθηζκνχ ηνπ μέλνπ λνκίζκαηνο. Απηφ ζπκβαίλεη γηαηί ζήκεξα ( ) ε αμία ηνπ ελφο δνιαξίνπ ζαλ παξάδεηγκα μέλνπ λνκίζκαηνο είλαη X x αιιά ηελ ρξνληθή ζηηγκή ην έλα δνιάξην γίλεηαη e r θαη ζπλεπψο ε αμία ηνπ ζε επξψ γηα παξάδεηγκα εληφπηνπ λνκίζκαηνο ζα είλαη e r X (αθνχ X είλαη ε αμία ζε επξψ ηνπ ελφο δνιαξίνπ θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή ). * r Αλ ηψξα ζέζνπκε X e X, ηφηε κε απιή εθαξκνγή ηεο θφξκνπιαο ηνπ Io πέξλνπκε ζαλ απνηέιεζκα φηη dx b r X d X db, * * * * X x Έηζη κπνξνχκε ην παξαπάλσ πξφβιεκα λα ην αλάγνπκε πιένλ ζην κνληέιν *, X ζην νπνίν ην δηθαίσκα Τ κπνξεί λα γξαθεί σο εμήο: Σελίδα 45
Y e X e X e e e X e e X K r * r * r r r * r r * φπνπ K e r θαη ζπλεπψο ε αλέιημε αμίαο ηνπ δηθαηψκαηνο Τ είλαη ε αθφινπζε ˆ r r * Q Y e E e X K F, φπνπ Q είλαη ην maringale κέηξν πηζαλφηεηαο γηα ην κνληέιν *, X, φπσο πεξηγξάθεθε ζην πξνεγνχκελν θεθάιαην, δειαδή ην Q A Z dp, A F A φπνπ b r r Z e θαη. * Άξα, ζπλεπάγεηαη φηη ˆ r Y e g, X, c φπνπ g c ε ζπλάξηεζε r g, d Ke d c κε d d, ln r θαη d d, ln r Όκσο μέξνπκε φηη ε ηηκή άζθεζεο δηθαηψκαηνο είλαη πιένλ K e r θαη αληίζηνηρα X * r e X θαη ζπλεπψο κε αληηθαηάζηαζε ζηνπο παξαπάλσ ηχπνπο έρνπκε: d d, * ln X r r d d, * ln X r r Σειηθά απφ ηηο παξαπάλσ ζρέζεηο πξνθχπηεη φηη Σελίδα 46
ˆ r r Y e X d e d φπνπ d θαη d είλαη νη ζρέζεηο πνπ νξίζακε παξαπάλσ. Δηδηθφηεξα ε δίθαηε ηηκή (premium) είλαη ˆ r r Y e x d e d φπνπ x ln r r d θαη d ln x r r Σελίδα 47
ΠΗΝΑΚΔ ΤΠΟΛΟΓΗΜΩΝ CURRENCY OPIONS Γηα Υ=6 αξρηθή ηηκή ηεο κεηνρήο, K=9 ηηκή άζθεζεο δηθαηψκαηνο, r=.5 επηηφθην ζπλερνχο αλαηνθηζκνχ μέλνπ λνκίζκαηνο, r=. επηηφθην ζπλερνχο αλαηνθηζκνχ εληφπηνπ λνκίζκαηνο, =/4 ηνπ ρξφλνπ ν ρξφλνο ιήμεο ηνπ δηθαηψκαηνο, ζ=. δηαθχκαλζε ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο παίξλνπκε πξαγκαηηθή ηηκή γηα ην premium ηνπ currency opion 5.958. Αιιάδνληαο ηελ δηαθχκαλζε παξαηεξνχκε φηη αιιάδεη θαη ε ηηκή ηνπ premium θαη ζπγθεθξηκέλα φηαλ απμάλεηαη ε δηαθχκαλζε ε δίθαηε ηηκή κεηψλεηαη. ς (volailiy) premium.5 5.9588. 5.958.5 5.8748. 5.75 Αιιάδνληαο ηψξα ηελ ηηκή γηα ηνλ ρξφλν ιήμεο ηνπ δηθαηψκαηνο ζε Σ=/ ηνπ ρξφλνπ ε δίθαηε ηηκή παίξλεη ηελ ηηκή.8385 θαη απμάλνληαο ηελ δηαθχκαλζε παξαηεξνχκε γηα αθφκε κηα θνξά ηελ δίθαηε ηηκή λα κεηψλεηαη, κε πνιχ κηθξφ ξπζκφ βέβαηα. ς (volailiy) premium.5.8388..8385.5.83439..88583 Σελίδα 48
Binary opions ηα νηθνλνκηθά, έλα binary παξάγσγν είλαη έλαο ηχπνο παξαγψγνπ φπνπ ε απνπιεξσκή είλαη είηε θάπνηα θαζνξηζκέλε κνλάδα ηεο κεηνρήο ή ηίπνηα πνιχησο. Οη δπν θχξηνη ηχπνη binary παξαγψγνπ είλαη νη εμεο, cash-or-nohing binary opion θαη asse-or-nohing binary opion. ην πξψην πιεξσλνπκε έλα ζπγθεθξηκέλν πνζφ ρξεκάησλ αλ ην παξάγσγν ιήμεη in-he-money ελψ ζην δεχηεξν πιεξψλνπκε ηελ ηηκή «αζθάιεηαο» ηεο κεηνρήο γηα ηελ νπνία παίδεηαη ην παηρλίδη. Έηζη, ηα παξάγσγα είλαη binary (δησλπκηθά) θαη θπζηθά αθνχ ππάξρνπλ δπν κφλν πηζαλά απνηειέζκαηα. Δπίζεο ιέγνληαη θαη all-or-nohing (φια ή ηίπνηα) παξάγσγα, digial opions, ή θαη fixed reurn opions. Να ζεκεηψζνπκε φηη ηα παξάγσγα binary είλαη ζρεδφλ πάληα Δπξσπατθνχ Σχπνπ. Όηαλ αγνξάδνπκε έλα παξάγσγν binary ηα πηζαλά θέξδε πνπ απηφ ζα επηθέξεη είλαη ζίγνπξα θαη γλσζηά πξηλ γίλεη ε αγνξά. Σα binary παξάγσγα κπνξνχλ λα αγνξαζηνχλ θαηλνκεληθά γηα νπνηνδήπνηε νηθνλνκηθφ πξντφλ θαη ζηηο δπν θαηεπζχλζεηο ηεο αγνξάο, είηε αγνξάδνληαο έλα Call/Up opion, είηε έλα Pu/Down opion. Απηφ ζεκαίλεη φηη ν επελδπηήο κπνξεί λα επελδχζεη ζε long ή shor ζε νπνηνδήπνηε νηθνλνκηθφ πξντφλ απιά αγνξάδνληαο έλα binary opion. Απηνχ ηνπ είδνπο ηα opions πξνζθέξνληαη γηα έλαλ ζπγθεθξηκέλν ρξφλν ιήμεο ν νπνίνο κπνξεί λα είλαη είηε γηα παξάδεηγκα 5-3 ιεπηά αξγφηεξα ζην κέιινλ, κηα ψξα κπξνζηά ή ζην θιείζηκν ησλ κεηνρψλ ηεο κέξαο. Δπίζεο λα ζεκεηψζνπκε φηη ηα binary opions δελ κπνξνχλ λα μαλαπσιεζνχλ αθφηνπ αγνξαζηνχλ πξηλ ηελ εκεξνκελία ιήμεο ηνπο. Σελίδα 49
Ξεθηλάκε πάληα απφ ην κνληέιν Black-Scholes (β,υ) πνπ νξίζακε ζην πξνεγνχκελν θεθάιαην r s ds κε θαη s s s X x bx ds X db φπνπ r, ην επηηφθην ζπλερνχο αλαηνθηζκνχ ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ, b,,ε δηαθχκαλζε ηεο θαλνληθήο θαηαλνκήο x,ε αξρηθή ηηκή ηεο κεηνρήο ηελ εκέξα έλαξμεο ηνπ ζπκβνιαίνπ θαη ε δηάξθεηα ηνπ ζπκβνιαίνπ. Σειηθά, θηάλνπκε ζηελ παξαθάησ εμίζσζε πνπ απνδίδεη ηε δίθαηε ηηκή ηνπ δηθαηψκαηνο q Y Xe d κε d X ln K r q φπνπ Κ ε ηηκή άζθεζεο ηνπ δηθαηψκαηνο (srike price) θαη q ην κέξνο ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ πνπ ζα απνδψζεη ν εθδφηεο ζηνλ θάηνρν ηελ εκέξα ιήμεο ηνπ ζπκβνιαίνπ αλ εμαζθείζεη ην δηθαίσκά ηνπ. θαη x z e dz ε θαλνληθή θαηαλνκή. Σελίδα 5
ΤΠΟΛΟΓΗΜΟΗ ΣΑ BINARY OPIONS Γηα Υ=6 αξρηθή ηηκή ηεο κεηνρήο, K=9 srike price, r=. επηηφθην, =/4 ηνπ ρξφλνπ ν ρξφλνξ ιήμεο ηνπ ζπκβνιαίνπ, ζ=. δηαθχκαλζε θαλνληθήο θαηαλνκήο, ε δίθαηε ηηκή (premium) ηνπ Binary Opion είλαη 7.968 θαη απμάλνληαο ηελ δηαθχκαλζε εδψ βιέπνπκε φηη ππάξρεη κείσζε ηνπ premium αξρηθά ε νπνία αξρίδεη λα εμαζζελεί φηαλ ε δηαθχκαλζε θηάλεη ην %. ς (volailiy) Premium.5 9.58894. 7.968.5.73947. 9.7498 Αιιάδνληαο ηψξα ηελ ηηκή γηα ηνλ ρξφλν ιήμεο ηνπ δηθαηψκαηνο ζε Σ=/ ηνπ ρξφλνπ ε δίθαηε ηηκή παίξλεη ηελ ηηκή 5.88674 θαη απμάλνληαο ηελ δηαθχκαλζε παξαηεξνχκε γηα αθφκε κηα θνξά ηελ δίθαηε ηηκή λα κεηψλεηαη, κε ηνλ ίδην ξπζκφ φπσο θαη αξρηθά. ς (volailiy) Premium.5 9.7547. 5.88674.5 4.98446. 9.86793 Σελίδα 5
Compound opions Έλα δηθαίσκα πξναίξεζεο ηχπνπ compound ζχλζεην είλαη απιά έλα δηθαίσκα πάλσ ζε έλα άιιν δηθαίσκα (opion on an opion). Τπάξρνπλ 4 θχξηνη ηχπνη compound δηαθησκάησλ, πνπ ηα παξαζέηνπκε νλνκαζηηθά θαη είλαη ηα, call on a call, call on a pu, pu on a call θαη pu on a pu. Δκείο παξαθάησ ζα αζρνιεζνχκε πεξεηαίξσ κε ηελ πεξίπησζε ηνπ call on a call. Έλα compound δηθαίσκα, έρεη δπν ηηκέο άζθεζεο δηθαηψκαηνο (srike price) θαη δπν ρξφλνπο ιήμεο. Γεληθά, ζεσξνχκε έλα call on a call φπνπ θαη ηα δπν calls είλαη Δπξσπατθνχ ηχπνπ. ηνλ πξψην ρξφλν, ν θάηνρνο ηνπ compound δηθαηψκαηνο έρεη ην δηθαίσκα λα αγνξάζεη ην ππνβφζθνλ call δηθαίσκα γηα ηελ πξψηε ηηκή άζθεζεο δηθαηψκαηνο. Σν ππνβφζθνλ call δηθαίσκα δίλεη ην δηθαίσκα ζηνλ θάηνρφ ηνπ λα αγνξάζεη ηνλ ππνβφζθνληα ππνθείκελν ηίηιν γηα ηελ δεχηεξε ηηκή άζθεζεο δηθαηψκαηνο ζε έλαλ αξγφηεξν ρξφλν ιήμεο. Αο ζεσξήζνπκε σο c( S, ) θαη c( S, ) λα είλαη νη αμίεο ηνπ παξαγψγνπ call-on-a-call θαη ηνπ ππνβφζθνληνο call παξαγψγνπ αληίζηνηρα, φπνπ S θαη S είλαη αληίζηνηρα ε ηηκή ηεο κεηνρήο ζε παξφληα ρξφλν θαη ε ηηκή ηεο κεηνρήο ζηνλ ρξφλν πξψηεο ιήμεο. Αο ζεκεηψζνπκε φηη ην compound παξάγσγν ζα εμαζθεζεί ζε ρξφλν κφλν φηαλ c( S, ) K. Αο ζεσξήζνπκε ηελ ζπλήζε Γεσκεηξηθή θίλεζε Brown γηα ηελ ηηκή ηνπ ππνβφζθνληα ηίηινπ, πιαηζησκέλε απφ αλαιπηηθέο θφξκνπιεο απνηίκεζεο γηα ηα Δπξσπατθήο κνξθήο compound δηθαηψκαηα κε φξνπο απφ ηελ δηκεηαβιεηή ζπλάξηεζε θαλνληθήο θαηαλνκήο. Απφ ρξφλν κέρξη ρξφλν (γπξλψληαο πίζσ ζην ρξφλν), ε αμία Σελίδα 5
ηνπ ππνβφζθνληνο call δηθαηψκαηνο δίλεηαη απφ ηελ θφξκνπια Black-Scholes γηα call opions. πγθεθξηκέλα, φηαλ, έρνπκε λα ηζρχεη φηη c( S, ) S N( d ) K e N( d ), r( ) φπνπ d S ln ( r )( ) K, θαη d d. Ζ θξίζηκε ηηκή γηα S, δεισκέλε απφ ην X, πάλσ ζηελ νπνία ην compound παξάγσγν ζα εμαζθεζεί ζε ρξφλν δίλεηαη ιχλνληαο ηελ κε-γξακκηθή αιγεβξηθή εμίζσζε c( S, ). Ζ ζπλάξηεζε απνπιεξσκήο ηνπ compound δηθαηψκαηνο ζε ρξφλν ίζν κε είλαη c( X, ) max( c( S, ) K,) Υξεζηκνπνηψληαο ηελ πξνζέγγηζε γηα ηελ καζεκαηηθή ειπίδα, ε ηηκή ηνπ compound δηθαηψκαηνο γηα δίλεηαη απφ ηελ ζρέζε c S e c S K S S ds r( ) (, ) max( (, ),) ( ; ) (.) e [ S ( d ) K e ( d ) ] ( S ; S) ds r ( ) r ( ) φπνπ ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο δίλεηαη απφ ηε ζρέζε Σελίδα 53
( S ; S) S ( ) {ln S [ln S ( r )( )]} exp( ) ( ) Ο ηειεπηαίνο φξνο ζηελ εμίζσζε (.) είλαη εχθνια αλαγλσξίζηκνο σο r( ) r( ) ηξίηνο φξνο= e ( S ; S) ds e ( a ) φπνπ a S ln ( r )( ), θαη a a Γηα λα απνηηκήζνπκε ηνπο άιινπο δπν φξνπο, είλαη βνιηθφ λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνπο κεηαζρεκαηηζκνχο: x ln S θαη y ln S. Ο δεχηεξνο φξνο ηεο εμίζσζεο (.) κπνξεί λα εθθξαζηεί σο εμεο r( ) δεχηεξνο φξνο e ( d ) ( S ; S) ds r( ) e ( S ; S ) ( ; ) S S ds ds e r( ) ln ln ( ) ( ) { y [ln S ( r )( )]} exp( ) ( ) Σελίδα 54
{ x [ y ( r )( )]} exp( ) dxdy ( ) Πεξαηηέξσ, αλ νξίζνπκε σο y y [ln S ( r )( )] ( ) θαη x x [ln S ( r )( )] ( ) θαη επίζεο ηφηε ηα παξαπάλσ νινθιεξψκαηα κπνξνχλ λα εθθξαζηνχλ σο εμεο r δεχηεξνο φξνο e ( ) a b ( x y ) y exp( ) dx dy ( ) e r( ) a b x x y y exp( ) dx dy ( ) e ( a, b ; ) r( ) Σελίδα 55
φπνπ ( a, b ; ) είλαη ε δηκεηαβιεηή ζπλάξηεζε θαλνληθήο θαηαλνκήο κε ζπληειεζηή ζπζρέηηζεο, θαη b, b δνζκέλα απφ ηε ζρέζε b S ln ( r )( ) K, θαη b b. εκεηψλνπκε φηη ε ( a, b ; ) κπνξεί λα εξκελεπηεί σο ε πηζαλφηεηα λα ζπκβεί S X ζε ρξφλν θαη S X ζε ρξφλν, δεδνκέλνπ φηη ε ηηκή ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ ζε ρξφλν ηζνχηαη κε S. Όκνηα, ν πξψηνο φξνο ζηελ εμίζσζε (.) κπνξεί λα εθθξαζηεί σο εμήο r( ) πξψηνο φξνο e S ( d ) ( S ; S) ds K e r( ) r( ) ln ln e ( ) ( ) { y [ln S ( r )( )]} exp( ) ( ) { x [ y ( r )( )]} exp( x ) dxdy ( ) e r( ) r( ) ln ln e Σελίδα 56
{ y [ln S ( r )( )]} exp( ) ( ) { x [ y ( r )( )]} exp( x ) dxdy. ( ) Σψξα, ζεσξνχκε ηα y y [ln S ( r )( )] θαη x x [ln S ( r )( )] ηα παξαπάλσ νινθιεξψκαηα κπνξνχλ λα εθθξαζηνχλ σο εμεο πξψηνο φξνο S a b x xy y ( ) exp( ) dxdy S ( a, b ; ) πλδπάδνληαο ηα απνηειέζκαηα ζηηο παξαπάλσ εμηζψζεηο, ε ηηκή ελφο call-on-a-call compound παξαγψγνπ βξίζθεηαη λα είλαη c( S, ) S ( a, b ; ) e ( a, b ; ) e ( a ) r ( ) r ( ) φπνπ ηα a, b, a θαη b δίλνληαη απφ ηηο παξαπάλσ εμηζψζεηο θαη X είλαη ε ιχζε ηεο αξρηθήο εμίζσζεο. Ζ παξάκεηξνο είλαη ν ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο κεηαμχ ησλ Σελίδα 57
επηθαιππηνχκελσλ πξνζαπμήζεσλ Brown ησλ πνζνηήησλ θαη απφ ηελ ησξηλή ρξνληθή ζηηγκή, θαη δίλεηαη απφ ηε ζρέζε cov( Z( ) Z( ), Z( ) Z( )) var( Z( ) Z( )) var( Z( ) Z( )) Μπνξνχκε θαη λα επεθηείλνπκε ηελ παξαπάλσ θφξκνπια απνηίκεζεο ζε ζπλδπαζκφ ελφο απινχ Δπξσπατθνχ δηθαηψκαηνο κε έλα currency δηθαίσκα ηζνηηκηάο πνπ αθνξά έλα μέλν λφκηζκα κε ην εληφπην. Αο αθήζνπκε r ην επηηφθην ζπλερνχο αλαηνθηζκνχ ηνπ εληφπηνπ λνκίζκαηνο θαη αο ζέζνπκε r f ην επηηφθην ζπλερνχο αλαηνθηζκνχ ηνπ μέλνπ λνκίζκαηνο. Σφηε ε απνηίκεζε ηεο θφξκνπιαο ελφο call-on-a-call δηθαηψκαηνο πξναίξεζεο δίλεηαη απφ ηηο εμήο αθφινπζεο ζρέζεηο. rf,, ; c S Se a b e a, b ; r e a r φπνπ a ln S r rf, θαη b ln S K r rf θαη Υ είλαη ιχζε ηεο κε-γξακκηθήο αιγεβξηθήο εμίζσζεο rf rf e d K e d K φπνπ d ln X K r rf Σελίδα 58
ΠΗΝΑΚΔ ΤΠΟΛΟΓΗΜΩΝ COMPOUND OPION Οη παξαθάησ πίλαθεο πεξηέρνπλ ηα απνηειέζκαηα ησλ ππνινγηζκψλ γηα δηάθνξεο ηηκέο παξακέηξσλ ζηα compound opions. Ζ κέζνδνο Mone Carlo πεξηιακβάλεη ηελ εμεο δηαδηθαζία. Ξεθηλάκε ζεσξψληαο έλαλ πίλαθα S_ [9,Ν] ζηελ MaLab φιν κε κνλάδεο. Δπίζεο ζεσξνχκε έλαλ πίλαθα cracks [9,Ν] γεκάην κε ηηκέο ηπραίεο απφ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Αθφκα νξίδνπκε έλαλ πίλαθα [9,Ν] κε ηελ πξψηε ζηήιε λα έρεη κφλν ηηο ηηκέο S (αξρηθέο ηηκέο ηεο κεηνρήο) θαη ηηο επφκελεο ζηήιεο ηνπ λα ζπκπιεξψλνληαη ζηε ζπλέρεηα σο εμεο. Παίξλνπκε ηελ ζρέζε S S e r (βηβιίν Kwok, ζει. 5) θαη αληηθαζηζηνχκε φπνπ 36, r επηηφθην, ζ δηαθχκαλζε, ηα ζηνηρεία ηνπ πίλαθα cracks πνπ νξίζακε παξαπάλσ θαη S ηηο ηηκέο ησλ πξνεγνχκελσλ ζηνηρείσλ ησλ ζηειψλ ηνπ πίλαθα. Έηζη, κε απηφλ ηνλ ηξφπν κφιηο ζπκπιεξσζεί ν πίλαθαο παίξλνπκε θάζε ζηνηρείν ηεο ηειεπηαίαο γξακκήο, ην αληηθαζηζηνχκε ζηελ ζρέζε πνπ πεξηγξάθεη ην opion θαη παίξλνπκε κηα θαηλνχξγηα ηηκή. Απηήλ ηελ δηαδηθαζία ηελ εθηεινχκε γηα φια ηα ζηνηρεία ηεο γξακκήο ηνπ πίλαθα θαη ηα απνηειέζκαηα πνπ παίξλνπκε ηα πξνζζέηνπκε, ηα δηαηξνχκε κε Ν (ην πιήζνο ηνπο), θαη ην απνηέιεζκα ην πνιιαπιαζηάδνπκε κε ηνλ ζπληειεζηή απνηέιεζκα γηα ηελ πξνζέγγηζε Mone Carlo. r e θαη έρνπκε ην ηνλ παξαθάησ πίλαθα έρνπκε ηα απνηειέζκαηα γηα ελδεηθηηθέο ηηκέο παξακέηξσλ S=6 αξρηθή ηηκή ηνπ ππνθείκελνπ ηίηινπ, K=3 ηηκή άζθεζεο δηθαηψκαηνο γηα ην compound δηθαίσκα, K=9 ηηκή άζθεζεο δηθαηψκαηνο γηα ηνλ ππνβφζθνληα ππνθείκελν ηίηιν, =/ ρξφλνο ιήμεο ηνπ ππνβφζθνληνο δηθαηψκαηνο, =/4 Σελίδα 59