Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα

Διάλεξη Ε4: Επανάληψη Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή σε δενδρικές δομές δεδομένων, Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης Ισοζυγισμένα Δένδρα & 2-3 Δένδρα Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-1

Βαθμός, βάθος και ύψος ενός δένδρου Βαθμός (degree) ενός κόμβου είναι ο αριθμός των παιδιών του. Βαθμός ενός δένδρου είναι ο μέγιστος από τους βαθμούς των κόμβων του. Βάθος ενός κόμβου (Node Depth) (ή επίπεδο Level) => αριθμός προγόνων + 1. Βάθος ενός δένδρου ονομάζουμε τον μέγιστο από τα βάθη των κόμβων. Ύψος ενός κόμβου : το μήκος του μονοπατιού από το βαθύτερο κόμβο (στο ίδιο υπό-δένδρο) προς τον κόμβο. π.χ. το ύψος οποιουδήποτε φύλλου είναι 0. Ύψος ενός δένδρου : το ύψος της ρίζας του δένδρου. ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-2

Ποιος είναι ο βαθμός του κόμβου 99; 50 42 72 5 46 61 99 43 58 65 51 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-3

Ποιος είναι ο βαθμός του κόμβου 61; 50 42 72 5 46 61 99 43 58 65 51 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-4

Ποιος είναι ο βαθμός του δέντρου; 50 42 72 5 46 61 99 43 58 63 65 51 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-5

Ποιο είναι το ύψος του κόμβου 51; 50 42 72 5 46 61 99 43 58 65 51 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-6

Ποιο είναι το ύψος του δέντρου; 50 42 72 5 46 61 99 43 58 65 51 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-9

Ποιο είναι το βάθος του κόμβου 50; 50 42 72 5 46 61 99 43 58 65 51 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-10

Διάσχιση Δένδρων Αν θέλουμε να επισκεφθούμε όλους τους κόμβους ενός δένδρου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα από τους πιο κάτω τρόπους, οι οποίοι διαφέρουν στη σειρά με την οποία εξετάζουν τους κόμβους. 1. Προθεματική Διάσχιση: (Preorder Traversal) επισκεπτόμαστε (εκτυπώνουμε) πρώτα τη ρίζα και ύστερα τα παιδιά της. Αναδρομικά η πράξη ορίζεται ως εξής: Print_Preorder(treenode u) Print u; foreach child v of u Print_Preorder(v) 2. Μεταθεματική Διάσχιση: (Postorder Traversal) επισκεπτόμαστε (εκτυπώνουμε) πρώτα τα παιδιά και ύστερα τη ρίζα του δένδρου. Αναδρομικά η πράξη ορίζεται ως εξής: Print_Postorder(treenode u) foreach child v of u Print_Postorder(v) Print u; ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-13

Πιο θα είναι το αποτέλεσμα της προθεματικής διάσχισης? 50 42 72 5 46 61 99 43 58 65 51 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-14

Πιο θα είναι το αποτέλεσμα της προθεματικής διάσχισης? 50 42 72 5 46 61 99 43 58 65 51 50, 42, 5, 46, 43, 72, 61, 58, 51, 65, 99 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-15

Πιο θα είναι το αποτέλεσμα της μεταθεματικής διάσχισης? 50 42 72 5 46 61 99 43 58 65 51 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-16

Πιο θα είναι το αποτέλεσμα της μεταθεματικής διάσχισης? 50 42 72 5 46 61 99 43 58 65 51 5, 43, 46, 42, 51, 58, 65, 61, 99, 72, 50 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-17

Δυαδικά Δένδρα Ένα δένδρο είναι δυαδικό αν όλοι οι κόμβοι του έχουν βαθμό 2. Ορισμός: Δυαδικό δένδρο λέγεται ένα δένδρο το οποίο : είτε είναι κενό, ή αποτελείται από μια ρίζα και δύο δυαδικά υπόδενδρα. Αναφερόμαστε στα δύο υπόδενδρα ως το αριστερό και το δεξιό υπόδενδρο. Το ύψος ενός δυαδικού δένδρου με n κόμβους μπορεί να είναι το 2 πολύ : n-1 (συνδεδεμένη λίστα) και το λιγότερο lg n. Ένα δυαδικό δένδρο είναι γεμάτο (full), αν κάθε εσωτερικός του κόμβος έχει δύο απογόνους. Ένα δυαδικό δένδρο είναι τέλειο (perfect), αν είναι γεμάτο και όλοι του οι κόμβοι που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο έχουν το ίδιο βάθος. 6 6 1 3 6 floor(lg 4)= 2 11 h=2 2 1 3 11 5 8 13 7 9 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-18 FULL 2 1 3 11 5 8 13 PERFECT

Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης ΔΔΑ (Binary Search Trees) Το πιο σημαντικό πλεονέκτημα της χρήσης δυαδικών δένδρων η αποδοτική αναζήτηση σε ένα σύνολο στοιχείων Υποθέτουμε την ύπαρξη μιας σχέσης στο σύνολο των στοιχείων που επεξεργαζόμαστε, έστω τη σχέση < πάνω στο σύνολο των ακεραίων. Ένα δυαδικό δένδρο αναζήτησης (ΔΔΑ) είναι ένα δυαδικό δένδρο κάθε κόμβος u του οποίου ικανοποιεί τα εξής: 1. τα κλειδιά του αριστερού υποδένδρου του u είναι μικρότερα από το κλειδί του u 2. τα κλειδιά του δεξιού υποδένδρου του u είναι μεγαλύτερα (ή ίσο) από το κλειδί του u. ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-19

Διαδικασία Εύρεσης Στοιχείου FindNode() Απλή αναδρομική στρατηγική: συγκρίνουμε το στοιχείο που μας ενδιαφέρει α με το στοιχείο της ρίζας του δένδρου β (αν υπάρχει) και 1. αν α=β, σταματούμε, 2. αν α<β, προχωρούμε στο αριστερό υπόδενδρο, 3. αν α>β προχωρούμε στο δεξιό υπόδενδρο. NODE *FindNode(NODE *root, int val) { } if (root == NULL) return NULL; // το στοιχείο δεν βρέθηκε 2 else if (root->val == val) // το στοιχείο βρέθηκε! return root; else { // ακόμα δεν βρέθηκε το στοιχείο if (val < root->val) return FindNode(root->left, val); else return FindNode(root->right, val); } Χείριστη περίπτωση Ο(n) (εάν έχουμε λίστα) 1 3 6 11 5 8 13 7 9 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-20

Διαδικασία Εισαγωγής Κόμβου InsertNode() NODE *InsertNode(NODE *root, int val){ if (root == NULL) { // εισαγωγή κόμβου root = (NODE *) malloc(sizeof(node)); if (root==null) { printf("out of Memory!"); exit(1); } } else { } root->val = val; root->left = NULL; root->right = NULL; if (val < root->val) // εισαγωγή αριστερά root->left = InsertNode(root->left, val); else // εισαγωγή δεξιά root->right = InsertNode(root->right, val); root 1 2 1 3 6 11 5 8 13 7 9 } return root; ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-21

Σύγκριση Δυαδικών Δένδρων Να γραφεί μια συνάρτηση η οποία να επιστρέφει 1 αν δυο δυαδικά δένδρα είναι τα ίδια και 0 στην αντίθετη περίπτωση int sametree(node *a, NODE *b) { // και τα δυο δένδρα είναι κενά => άρα επιστρέφουμε TRUE if (a==null && b==null) return 1; // και τα δυο δένδρα δεν είναι κενά συγκρίνουμε τις ρίζες τους else if (a!=null && b!=null) { return( (a->data == b->data) 6 6 && 3 11 3 11 sametree(a->left, b->left) && 5 8 13 8 sametree(a->right, b->right) ); 7 9 7 9 } 1 1 5 13 } // το ένα εκ των δυο υπό-δένδρων είναι κενό => επιστρέφουμε FALSE else return 0; ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-22

Δυαδικά Δέντρα Ποιος είναι ο ύψος ενός δυαδικού δέντρου όταν εισάξουμε τα στοιχεία 1,2,3,4,5,6,7 με αυτή τη σειρά; Ποιος θα είναι ο χρόνος αναζήτησης χείριστης περίπτωσης στο πιο πάνω δέντρο σε σχέση με το n; ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-23

Δυαδικά Δέντρα Ποιος είναι ο ύψος ενός δυαδικού δέντρου όταν εισάξουμε τα στοιχεία 1,2,3,4,5,6,7 με αυτή τη σειρά; 6 Ποιος θα είναι ο χρόνος αναζήτησης χείριστης περίπτωσης στο πιο πάνω δέντρο σε σχέση με το n; Ο(n) 1 2 3 4 5 7 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-24 6

Δυαδικά Δέντρα Με ποια σειρά πρέπει να εισάξουμε τα στοιχεία 1,2,3,4,5,6,7 ώστε να πάρουμε το πιο κάτω δέντρο; 4 2 6 1 3 5 7 Τι είναι το πιο πάνω δέντρο; ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-25

Δυαδικά Δέντρα Με ποια σειρά πρέπει να εισάξουμε τα στοιχεία 1,2,3,4,5,6,7 ώστε να πάρουμε το πιο κάτω δέντρο; 4,2,6,1,3,5,7 4 2 6 1 3 5 7 Τι είναι το πιο πάνω δέντρο; Τέλειο ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-26

Ισοζυγισμένα Δένδρα Ένα τέλειο δένδρο προϋποθέτει ότι υπάρχει ο κατάλληλος αριθμός κόμβων. π.χ. ένα τέλειο δυαδικό δένδρο πρέπει να έχει 1 ή 2 ή 4 ή 8. κόμβους Για αυτό περιοριζόμαστε στο να κρατάμε το δένδρο ισοζυγισμένο αντί τέλειο. Ισοζυγισμένο Δένδρο (Balanced Tree) Ένα δένδρο στο οποίο όλα τα φύλλα έχουν το ίδιο βάθος. Μη-γεμάτο, Ισοζυγισμένο Γεμάτο, Μη- Ισοζυγισμένο Γεμάτο, Ισοζυγισμένο, Τέλειο ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-27

2-3 Δένδρα Όλα τα 2-3 δένδρα είναι ισοζυγισμένα. Δηλαδή όλα τα φύλλα έχουν την ίδια απόσταση από την ρίζα ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-28

Εισαγωγή κόμβου σε ένα 2-3 δένδρο Η εισαγωγή κάποιου κλειδιού k σε ένα 2-3 Δένδρο μπορεί να χωριστεί στις ακόλουθες τρεις λογικές φάσεις 1. Καθοδική Φάση (Downward Phase) Σε αυτή την φάση διανύουμε αναδρομικά το δένδρο μέχρι να φθάσουμε σε τερματικό κόμβο (δηλαδή κάποιο φύλλο). Δηλαδή: αν k<u.key1 τότε προχώρα στον κόμβο u.left αν k>u.key2 τότε προχώρα στον κόμβο u.right αν u.key1 < k < u.key2 τότε προχώρα στον κόμβο u.center. 2. Τερματική Φάση (Terminal Phase) Όταν φτάσουμε σε φύλλο τότε προσπαθούμε να κάνουμε την εισαγωγή Αν δεν έχει αρκετό χώρο τότε διασπάται το φύλλο και «ανασηκώνουμε» (kick up) αναδρομικά το μεσαίο στοιχείο στον πατέρα. 3. Ανοδική Φάση (Upward Phase) Σε αυτή την φάση κάνουμε την εισαγωγή αναδρομικά στον γονέα αν δεν πετύχαμε εισαγωγή στην τερματική φάση. ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-29

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-30

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο Εισαγωγή του 65 65 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-31

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο Εισαγωγή του 76 65 76 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-32

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο Εισαγωγή του 71 NULL προαγωγή 71 71 65 76 65 76 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-33

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο Εισαγωγή του 79 71 65 76 79 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-34

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο Εισαγωγή του 82 71 79 προαγωγή 65 76 82 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-35

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο Εισαγωγή του 82 71 79 65 76 82 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-36

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο Εισαγωγή του 73 71 79 65 73 76 82 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-37

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο Εισαγωγή του 84 71 79 65 73 76 82 84 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-38

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο Εισαγωγή του 72 71 79 65 προαγωγή 73 82 84 72 76 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-39

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο NULL Εισαγωγή του 72 προαγωγή 73 71 79 65 72 76 82 84 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-40

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο Εισαγωγή του 72 73 71 79 65 72 76 82 84 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-41

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο Εισαγωγή του 77 73 71 79 65 72 76 77 82 84 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-42

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο Εισαγωγή του 83 73 71 79 προαγωγή 65 72 76 77 83 82 84 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-43

2-3 Δέντρα Εισάγετε τα στοιχεία 65, 76, 71, 79, 82, 73, 84, 72, 77, 83 σε ένα 2-3 δέντρο Εισαγωγή του 83 73 71 79 83 65 72 76 77 82 84 ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ. Ε4-44