ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Αποτίμηση Δικαιωμάτων Προαίρεσης σε Διακριτό Χρόνο - Διωνυμικό Μοντέλο Πολλών Περιόδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Αποτίμηση Δικαιωμάτων Προαίρεσης σε Διακριτό Χρόνο - Διωνυμικό Μοντέλο Πολλών Περιόδων 4 Αυτοχρηματοδοτούμενη επενδυτική στρατηγική σε διακριτό χρόνο Ας θεωρήσουμε μια χρηματοοικονομική αγορά στην οποία διατίθενται προς διαπραγμάτευση κ χρηματοοικονομικοί τίτλοι Συμβολίζουμε με Ω το χώρο των δυνατών καταστάσεων που μπορεί να βρεθεί η αγορά από σήμερα μέχρι ένα σημείο στο μέλλον και όλα τα δυνατά του ενδεχόμενα Θα θεωρήσουμε ότι ο χρόνος είναι διακριτός και θα εξετάσουμε την αγορά στις διακριτές χρονικές στιγμές t 0 < t < Στο χρόνο t θα είναι γνωστό για κάποια από τα ενδεχόμενα του Ω αν έχουν πραγματοποιηθεί ή όχι, και έστω η σ-άλγεβρα αυτών των ενδεχομένων Σύμφωνα και με όσα έχουν διατυπωθεί στο προηγούμενο κεφάλαιο, η μπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει όλη την πληροφορία σχετικά με την κατάσταση που επικρατεί στην αγορά μέχρι και το χρόνο t Προφανώς θα ισχύει ότι 0 και άρα η ακολουθία αυτή είναι ένα φιλτράρισμα Ας συμβολίσουμε με t, t,, κ t το τυχαίο διάνυσμα των χρηματικών α- ξιών των κ τίτλων της αγοράς πχ μετοχές, παράγωγα, ομόλογα, κοκ στο χρόνο t Το τυχαίο διάνυσμα προφανώς θα είναι - μετρήσιμο στο χρόνο t θα είναι γνωστές οι αξίες όλων των τίτλων Ορισμός 4 Ένα δυναμικό χαρτοφυλάκιο dymc otfolo ή εμπορική ή επενδυτική στρατηγική tdg sttgy είναι ένα σύνολο τίτλων μιας αγοράς του οποίου η σύνθεση μπορεί να αλλάζει σε διακριτά χρονικά σημεία ή κάθε χρονική στιγμή ανάλογα με την τρέχουσα και παρελθούσα κατάσταση της αγοράς δηλαδή η σύνθεση δεν μπορεί να διαμορφώνεται με βάση κάποια πληροφορία από το «μέλλον» Συμβολίζουμε με t, t,, κ t, το διάνυσμα που εκφράζει το πλήθος των τεμαχίων των τίτλων,,, κ, που περιέχονται στο χαρτοφυλάκιο στο χρόνο t ουσιαστικά στο [t, t Όπως έχουμε υποθέσει και είναι φυσιολογικό η σύνθεση του διαμορφώνεται με βάση την τρέχουσα και παρελθούσα κατάσταση της α- γοράς, δηλαδή το θα είναι μετρήσιμο Η χρηματική αξία αυτού του χαρτοφυλακίου στο χρόνο t θα είναι V κ j t j j t, 0,, Από τα παραπάνω προκύπτει ότι και η συγκεκριμένη ακολουθία είναι προσαρμοσμένη στην μελλοντική ιστορία 0 Ορισμός 4 Ένα δυναμικό χαρτοφυλάκιο με σύνθεση t, t,, κ t στο χρόνο t καλείται αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο slf-fcg otfolo αν ισχύει ότι,,,, Boutss MV 005-7, Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 5

- t - t t - Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι, στο χρόνο t, η σύνθεσή του μπορεί να αλλάζει από - σε χωρίς όμως να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κάποια χρηματική αξία πχ τα χρήματα που εισπράττουμε από ενδεχόμενη πώληση μετοχών τα επενδύουμε όλα σε άλλους τίτλους του χαρτοφυλακίου, πχ ομόλογα κοκ Η συνολική αξία του χαρτοφυλακίου στο χρόνο t παραμένει σταθερή Αυτή η διαδικασία αλλαγής της σύνθεσης ενός δυναμικού χαρτοφυλακίου καλείται και αυτοχρηματοδοτούμενη επενδυτική στρατηγική slf-fcg stmt sttgy 4 Διωνυμικό μοντέλο περιόδων Ας επανέλθουμε τώρα στο πρόβλημα εύρεσης της αξίας C oto c ή oto mum που θα πρέπει να έχει ένα συμβόλαιο προαίρεσης αγοράς ή πώλησης, Ευρωπαϊκού τύπου επί μιας μετοχής Λύσαμε το πρόβλημα αυτό στο διωνυμικό μοντέλο μιας περιόδου λαμβάνοντας μια πρώτη εικόνα για το τι πρέπει να αναμένουμε στην γενική περίπτωση Φυσικά το διωνυμικό μοντέλο μιας περιόδου είναι πολύ απλό και δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι περιγράφει ικανοποιητικά την πραγματικότητα Ένα πιο σύνθετο μοντέλο που προκύπτει φυσιολογικά γενικεύοντας το διωνυμικό μοντέλο μιας περιόδου σε περιόδους είναι το διωνυμικό μοντέλο περιόδων το οποίο θα εξετάσουμε στη συνέχεια Χωρίζουμε το χρονικό διάστημα [0, T] σε χρονικά σημεία t 0 0, t, t,, t T και συμβολίζουμε με 0,,, T την τιμή της υποκείμενης μετοχής στους χρόνους αυτούς 0 γνωστή Θεωρούμε ότι η τιμή θα είναι ίση είτε με 0 είτε με 0 0 < < τις οποίες λαμβάνει με κάποιες πιθανότητες, έστω και Όμοια, η τιμή θα είναι ίση είτε με με πιθ είτε με με πιθ, κοκ Δηλαδή, - με πιθ είτε με - με πιθ,,,, Σχηματικά, η τιμή της μετοχής υποθέτουμε ότι κινείται ως εξής: 0 0 0 0 t t 3 t t 0 0 0 3 0 3 0 0 0 3 Υποθέτουμε όπως και στο διωνυμικό μοντέλο μιας περιόδου ότι 0 < μοντέλο καλείται διωνυμικό μοντέλο περιόδων < < Το παραπάνω Boutss MV 005-7, Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 53

Στα παραπάνω υπονοείται ότι βρισκόμαστε σε ένα χώρο Ω,, P όπου Ω είναι το σύνολο των καταστάσεων της αγοράς στο χρονικό διάστημα [0, Τ] Ο μικρότερος Ω που μπορούμε να θεωρήσουμε θα αποτελείται από στοιχεία της μορφής ω c, c,, c όπου c ή 0 ανάλογα με το αν στον χρόνο t έχουμε «άνοδο» - ή «κάθοδο» - της τιμής της μετοχής Πχ η κατάσταση της αγοράς ω, 0, 0, υποδηλώνει ότι στο πρώτο χρόνο είχαμε άνοδο, στη συνέχεια πτώση της τιμής της μετοχής κοκ Σε αυτό το χώρο μπορούμε να θεωρήσουμε ως σύνολο ενδεχομένων όλα τα υποσύνολα του Ω, δηλαδή Ω Ο Ω θα αποτελείται από στοιχεία ενώ ο από ενδεχόμενα Το μέτρο πιθανότητας P είναι αυτό που σε κάθε στοιχειώδες ενδεχόμενο ω c, c,, c αντιστοιχεί πιθανότητα c c c c c c c c P P c c c { ω} {,,, } L Πχ P, 0, 0, Η πιθανότητα κάθε άλλου ενδεχομένου προκύπτει από το άθροισμα των πιθανοτήτων των στοιχειωδών ενδεχομένων από τα οποία απαρτίζεται Για {0,,,,}, η τμ είναι η απεικόνιση : Ω R, η οποία απεικονίζει κάθε ω Ω στο c c ω c, c,, c 0 Σύμφωνα και με αναφορές στο προηγούμενο κεφάλαιο, ολόκληρη η στοχαστική ανέλιξη 0,,, μπορεί εναλλακτικά να θεωρηθεί και ως μία απεικόνιση από το Ω στο σύνολο των συναρτήσεων από το {0,,,} στο R ώστε σε κάθε ω Ω «κατάσταση αγοράς» στους χρόνους t, t,, t αντιστοιχεί την συνάρτηση ή πεπερασμένη ακολουθία g ω με g ω, 0,,, ω Η συνάρτηση αυτή καλείται και «διαδρομή» της ανέλιξης,,,, Πολύ απλά μπορούμε να πούμε ότι, σε κάθε «κατάσταση της αγοράς» αντιστοιχεί μία «διαδρομή» της τιμής της μετοχής Τη χρονική στιγμή t θα γνωρίζουμε πως έχει κινηθεί η αγορά μέχρι το χρόνο αυτό, δηλαδή θα γνωρίζουμε τα c,c,,c όχι όμως ποιο ω c, c,, c θα πραγματοποιηθεί τελικά δηλαδή θα γνωρίζουμε για καθένα από τα ενδεχόμενα της μορφής A [ s,, s ] αν έχει πραγματοποιηθεί ή όχι Έστω η σ-άλγεβρα που παράγεται από αυτά τα ενδεχόμενα Πχ η παράγεται από τα ενδεχόμενα A {0,c,,c, c {0,}} [ 0 ], και επομένως {,Α,Α,Ω}, ενώ η από τα ενδεχόμενα Boutss MV 005-7, Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» A {,c,,c, c {0,}} [ 0 ], B {0,0,c 3,,c, c {0,}} [ 0, 0 ], B {0,,c 3,,c, c {0,}} [ 0, 0 ], B 3 {,0,c 3,,c, c {0,}} [ 0, 0 ], B 4 {,,c 3,,c, c {0,}} [ 0, 0 ], και επομένως {, Β, Β, Β 3, Β 4, Β Β, Β Β 3, Β Β 4, Β Β 3, Β Β 4, Β 3 Β 4, Β Β Β 3, Β Β Β 4, Β Β 3 Β 4, Β Β 3 Β 4, Ω}, κοκ για τις 3,, Η μπορεί να θεωρηθεί ως η πληροφορία που θα έχουμε για την κατάσταση της αγοράς μέχρι και το χρόνο t στο χρόνο αυτό 54

θα γνωρίζουμε ποια ενδεχόμενά της έχουν πραγματοποιηθεί και ποιά όχι Προφανώς η ακολουθία,,, είναι μία μελλοντική ιστορία φιλτράρισμα και η ακολουθία των τιμών,,, είναι προσαρμοσμένη σε αυτήν Στην συγκεκριμένη περίπτωση ουσιαστικά πρόκειται για το φυσικό φιλτράρισμα, σ,,, Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι στο χρόνο 0 δεν θα είναι γνωστή καμία πληροφορία, δηλαδή 0 {, Ω} Στο χώρο Ω μπορούμε να ορίσουμε και ένα άλλο μέτρο πιθανότητας, ανάλογο αυτού που «εμφανίστηκε» στο διωνυμικό μοντέλο μιας περιόδου και αποκαλέσαμε μέτρο πιθανότητας σε ένα κόσμο ουδέτερου ρίσκου Ορισμός 4 «κόσμος ουδέτερου ρίσκου» Ο χώρος Ω,, με Ω, όπως παραπάνω και το μέτρο πιθανότητας που σε κάθε στοιχειώδες ενδεχόμενο ω {c, c,, c } αντιστοιχεί πιθανότητα c c { ω } { c, c,, c } q q, q καλείται «κόσμος ουδέτερου ρίσκου» και το μέτρο πιθανότητας αντίστοιχα καλείται μέτρο πιθανότητας σε ένα κόσμο ουδέτερου ρίσκου Στο χώρο Ω,, η τιμή της μετοχής κινείται πάνω ή κάτω με πιθανότητες q και q Το δεν είναι το πραγματικό μέτρο πιθανότητας που ισχύει στον «πραγματικό κόσμο» Ω,, P αλλά χρησιμοποιείται για να δώσει καλύτερη ερμηνεία στα αποτελέσματα που θα α- κολουθήσουν βλ και ανάλογα σχόλια στο μοντέλο μιας περιόδου Φυσικά στα παραπάνω μπορούμε να θεωρήσουμε πολύ μεγαλύτερους χώρους καταστάσεων Ω στους οποίους πχ κάθε ω θα περιγράφει όλη την ιστορία της αγοράς όσες παραμέτρους χαρακτηρίζουν την αγορά στο χρονικό διάστημα [0, Σε τέτοιους χώρους ίσως είναι δύσκολο να ορίσουμε επακριβώς το σύνολο των ενδεχομένων καθώς και το μέτρο πιθανότητας P Μπορούμε όμως να ορίσουμε το P πάνω σε ενδεχόμενα της μορφής [ 0, 0,, 0 - ] που δείχνουν την «διαδρομή» της τιμής της μετοχής, κοκ Με βάση τώρα το παραπάνω διωνυμικό μοντέλο περιόδων αποδεικνύεται το ακόλουθο αποτέλεσμα Θεώρημα 4 s utl cg fomul Η o-tg τιμή στο χρόνο 0 ενός δικαιώματος αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου, με ημερομηνία λήξης Τ, τιμή εξάσκησης Κ στο διωνυμικό μοντέλο περιόδων είναι ίση με C T K όπου είναι το μέτρο πιθανότητας ουδέτερου ρίσκου Δηλαδή είναι ίση με την παρούσα αξία του αναμενόμενου κέρδους από την χρήση του παραγώγου σε έναν κόσμο ουδέτερου ρίσκου Απόδειξη Αρκεί να θεωρήσουμε ότι στην αγορά διατίθενται οι παρακάτω τρεις τίτλοι: Ο τίτλος είναι ένα ομόλογο επί μιας χρηματικής μονάδας στο χρόνο 0, με επιτόκιο δηλαδή στο χρόνο t προσφέρει απόδοση t, Ο τίτλος είναι η υποκείμενη μετοχή πχ ΑΑΑ, με αξία στο χρόνο t 3 Ο τίτλος 3 είναι το log cll συμβόλαιο επί μετοχής ΑΑΑ με cs c K, oto c C και cs dt T με αξία στο χρόνο t Το διάνυσμα των αξιών των τριών παραπάνω τίτλων στο χρόνο t θα είναι, Boutss MV 005-7, Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 55

,,, 0,,, Επίσης θεωρούμε ότι έχουμε στην κατοχή μας ένα δυναμικό αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο με σύνθεση ψ, Δ, 0 στο χρόνο t Στο χρόνο 0, το χαρτοφυλάκιο αυτό αποτελείται από ένα ομόλογο στο οποίο έχει επενδυθεί ποσό ψ 0 και Δ 0 μετοχές Επιθυμούμε να διαμορφώσουμε μια αυτοχρηματοδοτούμενη επενδυτική στρατηγική δηλαδή μια ακολουθία συνθέσεων 0,,, - του χαρτοφυλακίου η οποία θα μας εξασφαλίζει έναντι του κινδύνου κατοχής ενός log cll συμβολαίου Δηλαδή επιθυμούμε να κατασκευάσουμε ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο εξασφάλισης το οποίο θα έχει τελική αξία στο χρόνο T ίση με το συμβόλαιο δικαιώματος αγοράς Ας υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε στο χρόνο t - στον οποίο ήδη από το χρόνο t - κατέχουμε το χαρτοφυλάκιο - ψ -, Δ -, 0 το οποίο και αναθεωρούμε στο - ψ -, Δ -, 0 Στο χρόνο t - θα γνωρίζουμε την τιμή της μετοχής - η οποία, στο επόμενο χρονικό σημείο t, θα γίνει ίση είτε με - είτε με - με πιθανότητες και αντίστοιχα Αν θεωρήσουμε το μοντέλο αυτό μόνο στα δύο χρονικά σημεία t - και t, τότε έχουμε ουσιαστικά να κάνουμε με ένα μοντέλο ισοδύναμο με το διωνυμικό μοντέλο μιας περιόδου - - - - t - t - t Όπως και στο διωνυμικό μοντέλο μιας περιόδου, θα προσδιορίσουμε το - ώστε να έχει το χαρτοφυλάκιο αυτό αξία στο χρόνο T ίση με το δικαίωμα προαίρεσης Θα πρέπει, στο χρόνο t,, ψ Δ όπου, ως γνωστό, K Εργαζόμενοι όμοια με το διωνυμικό μοντέλο μιας περιόδου θα πρέπει να ισχύει ότι από όπου προκύπτει ότι ψ ψ Δ Δ K K K K K K Δ, ψ Συνεπώς, το χαρτοφυλάκιό μας στο χρόνο t -, θα έχει αξία ψ Δ q K q K όπου q /, η πιθανότητα μεταπήδησης σε ένα κόσμο ουδέτερου ρίσκου Ανάλογα και με όσα έχουμε αναπτύξει στο διωνυμικό μοντέλο μιας περιόδου, θα πρέπει η o-tg αξία του log cll στο χρόνο t - να είναι ίση με την παραπάνω αξία του χαρτοφυλακίου, δηλαδή, q K q K Boutss MV 005-7, Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 56

Boutss MV 005-7, Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 57 Θα κάνουμε το ίδιο για το βήμα από τον χρόνο t στο t Ας υποθέσουμε τώρα ότι βρισκόμαστε στο χρόνο t και συνεπώς θα γνωρίζουμε την τιμή Η τιμή αυτή στο επόμενο χρονικό σημείο t θα γίνει ή Αν θεωρήσουμε το μοντέλο αυτό μόνο στα δύο χρονικά σημεία t και t, τότε έχουμε και πάλι να κάνουμε με ένα μοντέλο ισοδύναμο με το διωνυμικό μοντέλο μιας περιόδου Θα πρέπει, στο χρόνο t, Δ ψ H αξία - όταν βρισκόμαστε στο χρόνο t - έχει βρεθεί στο προηγούμενο βήμα και όπως είναι αναμενόμενο εξαρτάται από την τιμή της μετοχής σε εκείνο το χρόνο Έστω γενικά τώρα ότι η αξία του παραγώγου έχει υπολογισθεί την χρονική στιγμή t Προφανώς θα εξαρτάται και από την τιμή της μετοχής εκείνη την χρονική στιγμή Συμβολίζουμε με s την αξία του παραγώγου όταν βρισκόμαστε στον χρόνο t με s Εργαζόμενοι όμοια με το διωνυμικό μοντέλο μιας περιόδου θα πρέπει Δ Δ ψ ψ και επομένως Δ, ψ Συνεπώς, το χαρτοφυλάκιό μας στο χρόνο t -, θα έχει o-tg αξία Δ ψ q q Αλλά, έχουμε ήδη βρει ότι και επομένως, Επαγωγικά επομένως αποδεικνύεται ότι, από όπου προκύπτει τελικά ότι 0 0 K C T T T Παρατηρούμε ότι η αποδεικτική διαδικασία που χρησιμοποιήθηκε στο παραπάνω αποτέλεσμα και αφορούσε την τιμή ενός δικαιώματος αγοράς, θα μπορούσε να είχε χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν, αρκεί αυτό να μπορούσε να εξασκηθεί μόνο κατά το χρόνο λήξης του Ευρωπαϊκού τύπου Τέτοια παράγωγα έχουμε ήδη αναφέρει σε προηγούμενο κεφάλαιο δικαιώματα αγοράς, πώλησης Υπάρχουν όμως και παράγωγα Ευρωπαϊκού τύπου που έχουν πιο σύνθετους όρους πχ B, As, Looc κα, βλ τελευταίο κεφάλαιο και που η αξία τους μπορεί να βρεθεί με τον ίδιο τρόπο Ο γενικότερος ορισμός παραγώγου χρηματοοικονομικού προϊόντος που μπορεί να καλυφθεί από την παραπάνω αποδεικτική διαδικασία είναι ο ακόλουθος

Ορισμός 4 Θα καλούμε «απλό παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν Ευρωπαϊκού τύπου» με χρόνο λήξης t Τ, μια μετρήσιμη τυχαία μεταβλητή Με τον ίδιο λοιπόν τρόπο αποδεικνύεται το επόμενο αποτέλεσμα Θεώρημα 4 s utl cg fomul Η o-tg τιμή στο χρόνο 0 ενός απλού παράγωγου χρηματοοικονομικού προϊόντος ευρωπαϊκού τύπου, με ημερομηνία λήξης Τ στο διωνυμικό μοντέλο περιόδων είναι ίση με T C, όπου είναι το μέτρο πιθανότητας ουδέτερου ρίσκου Δηλαδή είναι ίση με την παρούσα αξία του αναμενόμενου κέρδους από την χρήση του δικαιώματος αγοράς σε έναν κόσμο ουδέτερου ρίσκου Γενικότερα, στο χρόνο t, 0,,,, η o-tg αξία του παραγώγου αυτού θα είναι T t Απόδειξη Είναι η ίδια με την απόδειξη του προηγούμενου θεωρήματος, μόνο που στη θέση του τίτλου 3 θεωρείται το «απλό παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν Ευρωπαϊκού τύπου» επί μετοχής ΑΑΑ με oto c C και cs dt T Ως συνέπεια, στη θέση του K στην παραπάνω απόδειξη χρησιμοποιείται τo Παρατήρηση 4 Από την παραπάνω απόδειξη επίσης είναι ενδιαφέρουσα η παρατήρηση ότι ένα απλό παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν ευρωπαϊκού τύπου «ισοδυναμεί» στο διωνυμικό μοντέλο περιόδων με ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο εξασφάλισης που στο χρόνο t, 0,,,, θα αποτελείται από Δ μετοχές και ψ ποσό επενδυμένο σε ομόλογα όπου, όπως και στην απόδειξη, s είναι η αξία του παραγώγου όταν βρισκόμαστε στον χρόνο t και είναι γνωστό ότι s Είναι προφανές ότι οι Δ, ψ είναι μετρήσιμες τυχαίες μεταβλητές η τιμή τους εξαρτάται από τα 0,,,, δηλαδή η τιμή τους θα είναι γνωστή στο χρόνο t και όχι νωρίτερα Από την παραπάνω απόδειξη είναι εύκολο να δούμε ότι η Δ γράφεται εναλλακτικά, Δ V V δ Δηλαδή μπορεί να θεωρηθεί ως ένα είδος παραγώγου συνάρτησης σε διακριτό χρόνο της τιμής V του παράγωγου χρηματοοικονομικού προιόντος ως προς την τιμή της υποκείμενης μετοχής στο χρόνο t βλ ανάλογα σχόλια στην παρακάτω παράγραφο 64 που αναφέρεται στρατηγική εξασφάλισης Δέλτα Dlt Hdgg Το αποτέλεσμα του Θεωρήματος 4 μας δίνει μια εικόνα για το τι περίπου θα πρέπει να αποδείξουμε και σε πιο ρεαλιστικά μοντέλα συνεχούς χρόνου Αυτό που λείπει στην παρούσα φάση είναι ο τρόπος με τον οποίο θα το αποδείξουμε, διότι η παραπάνω απόδειξη δεν μπορεί να γενικευτεί με αυστηρό τρόπο σε μοντέλα συνεχούς χρόνου Στην επόμενη παράγραφο θα δούμε δ V Boutss MV 005-7, Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 58

το παραπάνω αποτέλεσμα υπό μια άλλη οπτική γωνία από την οποία μπορούμε να διακρίνουμε καλύτερα την βαθύτερη αιτία που οδηγούμαστε σε αυτό 43 Η o-tg αξία παράγωγων χρηματοοικονομικών προϊόντων σε μοντέλο περιόδων Σε αυτή την παράγραφο θα εξακολουθήσουμε να θεωρούμε το χρόνο διακριτό, αλλά θα εξετάσουμε ένα γενικότερο μοντέλο για την κίνηση της τιμής της μετοχής Θεωρούμε ως μοντέλο διακριτού χρόνου περιόδων ένα μοντέλο της αγοράς το οποίο εξετάζεται στα χρονικά σημεία t 0 0, t, t,, t T, χωρίς να κάνουμε τώρα κάποια υπόθεση για τον τρόπο με τον οποίο κινείται η τιμή της μετοχής Και εδώ συμβολίζουμε με Ω,, P το αντίστοιχο χώρο πιθανότητας και με 0,,,, την μελλοντική ιστορία που α- ντιστοιχεί στους χρόνους t 0, t,, t Ας θεωρήσουμε ένα δυναμικό αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο με σύνθεση ψ, Δ, 0, στο χρόνο t, δηλαδή,,,,,, όπου,, όπως παραπάνω Στο μοντέλο διακριτού χρόνου περιόδων όχι απαραίτητα το διωνυμικό ισχύει το ακόλουθο αποτέλεσμα Θεώρημα 43 Αν υπάρχει ένα μέτρο πιθανότητας στον Ω, τέτοιο ώστε η ακολουθία των προεξοφλημένων τιμών της μετοχής, 0,,,,, είναι -mtgl ως t προς την μελλοντική ιστορία,,,, τότε και η ακολουθία των τιμών V, 0,,,, t προεξοφλημένη αξία ενός αυτοχρηματοδοτούμενου χαρτοφυλακίου στους χρόνους t 0, t,, t είναι ένα -mtgl ως προς την ίδια μελλοντική ιστορία υποθ ότι < Απόδειξη Το θα είναι μετρήσιμο από ορισμό και το ίδιο ισχύει για την τιμή Επομένως η ακολουθία V t, 0,,,, είναι προσαρμοσμένη στην παραπάνω ι- στορία Επίσης, η ακολουθία αυτή είναι Lsgu ολοκληρώσιμη από υπόθεση Τέλος, για 0,,,, t t t t V ψ Δ t t ψ Δ ψ Δ ψ Δ t t t t ψ Δ V t Είναι εύκολο να δούμε ότι στο διωνυμικό μοντέλο περιόδων η ακολουθία, 0,,,, πληροί τις υποθέσεις του παραπάνω θεωρήματος t Θεώρημα 43 Στο διωνυμικό μοντέλο περιόδων η ακολουθία των τιμών, 0,,,, είναι ένα -mtgl ως προς την μελλοντική ιστορία 0,,, όπου είναι το μέτρο πιθανότητας ουδέτερου ρίσκου Boutss MV 005-7, Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 59

t Απόδειξη Η ακολουθία των τιμών, 0,,,,, είναι προσαρμοσμένη t στην παραπάνω ιστορία Επίσης, <, και t t q q t t Επομένως, στο διωνυμικό μοντέλο περιόδων η ακολουθία των τιμών V t,,,, προεξοφλημένη ακολουθία αξιών οποιουδήποτε χαρτοφυλακίου είναι ένα - mtgl Επίσης είναι χρήσιμος ο επόμενος ορισμός Ορισμός 43 Ένα απλό παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν Ευρωπαϊκού τύπου,, καλείται dgl αν υπάρχει ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο το οποίο έχει τελική α- ξία ίση με Μία αγορά ένα μοντέλο διακριτού χρόνου περιόδων καλείται πλήρης αν κάθε απλό παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν Ευρωπαϊκού τύπου είναι dgl Στο διωνυμικό μοντέλο περιόδων είδαμε ότι για κάθε απλό παράγωγο μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο εξασφάλισης Το χαρτοφυλάκιο αυτό στο χρόνο t θα αποτελείται από Δ μετοχές, και ψ ποσό επενδυμένο σε ομόλογα Επομένως, έχουμε το επόμενο πόρισμα Πόρισμα 43 Η αγορά που περιγράφεται από το διωνυμικό μοντέλο περιόδων είναι πλήρης κάθε απλό παράγωγο προϊόν είναι dgl Έχει ενδιαφέρον να δούμε τώρα τι ισχύει για ένα dgl παράγωγο προϊόν σε ένα διακριτό μοντέλο περιόδων όχι απαραίτητα το διωνυμικό Θεώρημα 433 Έστω ένα απλό παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν Ευρωπαϊκού τύπου,, επί μιας μετοχής σε ένα διακριτό μοντέλο περιόδων: αν υπάρχει ένα μέτρο πιθανότητας ως προς το οποίο η ακολουθία των προεξοφλημένων τιμών της μετοχής, 0,,,,, είναι mtgl ως προς,,, t και αν το είναι dgl, τότε η o-tg αξία,, του παραγώγου στο χρόνο t, 0,,,, θα δίνεται από τον τύπο T t Απόδειξη Αφού το παράγωγο προϊόν είναι dgl, θα υπάρχει ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο με σύνθεση στο χρόνο t,,,, για το οποίο θα ισχύει ότι Επομένως, η o-tg αξία του παραγώγου στο χρόνο t θα είναι, 0,,,, Boutss MV 005-7, Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 60

Αν δεν ισχύει η παραπάνω ισότητα μπορεί κανείς να αγοράσει το πιο «φθηνό» και να πωλήσει το πιο «ακριβό» από τα δύο το παράγωγο ή το χαρτοφυλάκιο στο χρόνο t και να κλείσει την όποια ανοικτή θέση του στο χρόνο t έχοντας αποκομίζει σίγουρο κέρδος tg Από το τώρα του θεωρήματος, θα υπάρχει ένα μέτρο πιθανότητας ως προς το οποίο η ακολουθία, 0,,,, είναι mtgl Από παραπάνω θεώρημα προκύπτει τότε t ότι και η ακολουθία των τιμών V,,,,, t θα είναι ένα -mtgl ως προς την,,, Επομένως, V V,, από όπου προκύπτει τελικά ότι t V t V t t t t Σύμφωνα με το παραπάνω αποτέλεσμα, η o-tg τιμή ενός οποιουδήποτε dgl παραγώγου προϊόντος Ευρωπαϊκού τύπου είναι ίση με την παρούσα αξία του - αναμενόμενου κέρδους από την χρήση του, όπου είναι ένα μέτρο πιθανότητας ως προς το οποίο t η ακολουθία, 0,,, είναι mtgl Ασκήσεις Κεφαλαίου 4 Άσκηση Έστω ότι σε μία αγορά με ετήσιο επιτόκιο ομολόγων διατίθενται δικαιώματα α- γοράς και πώλησης επί μιας μετοχής ΑΑΑ με χρόνο λήξης Τ και τιμή εξάσκησης Κ Η τιμή της υποκείμενης μετοχής είναι σήμερα t 0 0 ίση με 0 ενώ μπορεί να αλλάξει κατά τους χρόνους t Τ/ και t Τ Σε καθένα από αυτούς τους χρόνους μπορεί ποσοστιαία να αυξηθεί κατά d ή να μειωθεί κατά d 0% διωνυμικό μοντέλο περιόδων α Ποια θα πρέπει να είναι η τιμή ι- σορροπίας o-tg C ενός cll oto Ευρωπαϊκού τύπου επί της μετοχής αυτής; β Ε- φαρμόστε τον γενικό τύπο για 0 00; d %, d 0%, T μήνες, 5%, K 95, 00, 05 Άσκηση Να κάνετε και πάλι στην Άσκηση, αυτή τη φορά για ut oto μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το ut-cll ty Άσκηση 3 Στο μοντέλο που περιγράφεται από την Άσκηση, κατασκευάστε ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο εξασφάλισης για το cll oto το οποίο στο χρόνο t 0 0 θα αποτελείται από ψ 0 ομόλογα και Δ 0 μετοχές ενώ στο χρόνο t Τ/ θα αποτελείται από ψ ομόλογα και Δ μετοχές α Βρείτε τους γενικούς τύπους που περιγράφουν τις τιμές των ψ, Δ και β εφαρμόστε και πάλι για τις συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων που δίνονται στην Άσκηση γ Αν η τιμή της μετοχής κινηθεί δύο φορές ανοδικά, ποια θα πρέπει να είναι η σύνθεση αυτού του χαρτοφυλακίου στους χρόνους t 0 και t Άσκηση 4 Στο διωνυμικό μοντέλο περιόδων, α να εκφράσετε τις πιθανότητες στον Ω,,P και Ω,, αντίστοιχα P 0, 0 β Αν για ευκολία θέσουμε ρ, ρ, για κάποια κατάλληλη σταθερά ρ > T/, ποια είναι η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Boutss MV 005-7, Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 6

Boutss MV 005-7, Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 6 Y 0 l ρ, στον Ω,,P και στον Ω,, Ποια είναι η o-tg αξία ενός απλού παράγωγου χρηματοοικονομικού προϊόντος στο χρόνο 0 αν έχει αξία στο χρόνο λήξης του, Τ, ίση με l / 0 γ Αποδείξτε ότι η τμ έχει στον Ω,, την ίδια κατανομή με την τυχαία μεταβλητή 0 Βρ όπου Β ~ Διωνυμική με παραμέτρους και q Αποδείξτε ότι η o-tg αξία ενός cll oto στο διωνυμικό μοντέλο περιόδων είναι ίση με T q q K C 0 0 ρ