Ασκήσεις Κλασικής Μηχανικής, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 19 Απριλίου 2013 Κεφάλαιο Ι 1. Να γραφεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης υλικού σημείου σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. Να υπολογιστεί η εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης στην τροχιά υλικού σημείου με τη βοήθεια των κυλινδρικών συντεταγμένων. 2. Υλικό σημείο κινείται στο επίπεδο Oxy έτσι ώστε οι συνιστώσες της θέσης του να πληρούν τις παρακάτω σχέσεις: } x(t) = α + β cos t, y(t) = γ + δ sin t, με α, β, γ, δ σταθερές. (i) Να βρεθεί η τροχιά του υλικού σημείου ως y = y(x) και (ii) να παρασταθεί γραφικά όταν α = 1, β = 2, γ = 4 και δ = 3 (*). 3. Η κίνηση υλικού σημείου δίνεται από την τομή των επιφανειών: y = 2 sin πx 4, z = 2 cos πx 4. (i) Να βρεθεί η απόσταση, S, που διανύει το υλικό σημείο μεταξύ των σημείων (0, 0, 2) και (1, 2, 2). (ii) Να παρασταθεί γραφικά η κίνηση του υλικού σημείου από x = 0 έως x = 10 (*). 4. Η γραφική παράσταση του μέτρου, u, της ταχύτητας με την απόσταση, S, υλικού σημείου, δίνεται στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα 1). Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση του μέτρου της επιτάχυνσης, a, με την απόσταση, S, και να υπολογιστεί ο χρόνος που χρειάζεται το υλικό σημείο να φτάσει στην απόσταση S = 400 m. 5. Οταν ο σκιέρ (υλικό σημείο) φτάνει στο σημείο A πάνω στη παραβολική τροχιά του σχήματος, y(x) = x 2 /20, (Σχήμα 2) έχει ταχύτητα μέτρου 6 m/s και αυξάνεται κατά 2 m/s 2. Να προσδιοριστεί η κατεύθυνση της ταχύτητας του υλικού σημείου καθώς και η κατεύθυνση και το μέτρο της επιτάχυνσης του υλικού σημείου. Η ακτίνα καμπυλότητας δίνεται από τη σχέση: ρ(x) = (1 + y 2 (x)) 3 /y (x). 6. Σωματίδιο (υλικό σημείο) κινείται επιταχυνόμενο σε κυκλική τροχιά ακτίνας, R, με σταθερή επιτρόχια επιτάχυνση. (i) Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται ώστε η γωνία μεταξύ των 1

2 Σχήμα 1: Γραφική παράσταση του μέτρου της ταχύτητας, u, με την απόσταση, S, υλικού σημείου. Σχήμα 2: Οταν ο σκιέρ φτάνει στο σημείο A πάνω στην παραβολική τροχιά του σχήματος έχει ταχύτητα μέτρου 6 m/s, που αυξάνεται κατά 2 m/s 2. διανυσμάτων της ταχύτητας, u, και της επιτάχυνσης, a, να γίνει ίση με φ. (ii) Να βρεθεί το διάστημα, S, που διανύει το σωματίδιο στο χρονικό αυτό διάστημα. 7. Η ράβδος, OA του σχήματος (Σχήμα 3) περιστρέφεται στο οριζόντιο Oxy επίπεδο έτσι ώστε θ = t 3 rad. Συγχρόνως, το δακτυλίδι B ολισθαίνει πάνω στη ράβδο, OA, κινούμενο προς τα έξω με r = 100t 2 mm. Να προσδιοριστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του δακτυλιδιού όταν t = 1 s. 8. Εχουμε σχοινί με σταθερό μήκος (ACEDB, Σχήμα 4) και τα σημεία C και D είναι σταθεροποιημένα. Αν το σημείο B του σχοινιού κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου u B = 6 m/s, να υπολογιστεί η ταχύτητα του σημείου A. Η ακτίνα των τροχαλιών θεωρείται αμελητέα. 9. Υλικό σημείο διαγράφει την τροχιά r = a(1 cosθ), όπου a = 25 m (Σχήμα 5). Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του υλικού σημείου είναι θ = 2 rad/s και το μέτρο της γωνιακής του επιτάχυνσης θ = 0.3 rad/s 2. Να υπολογιστούν το μέτρο της ταχύτητας και το μέτρο της Σχήμα 3: Η ράβδος, OA, περιστρέφεται στο οριζόντιο Oxy επίπεδο και συγχρόνως το δακτυλίδι B ολισθαίνει πάνω στη ράβδο.

3 Σχήμα 4: Το ACEDB είναι σχοινί σταθερού μήκους και τα σημεία C και D είναι σταθεροποιημένα. Το σημείο, B του σχοινιού κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου u B = 6 m/s. Σχήμα 5: Υλικό σημείο διαγράφει την τροχιά r = a(1 cosθ), όπου a = 25 m. επιτάχυνσης όταν θ = 100 0. Κεφάλαιο ΙΙ 10. Μεταβλητή δύναμη F δίνεται από τη σχέση: F = 2y x0 + xy y 0. Ποιό είναι το παραγόμενο έργο όταν το υλικό σημείο κινηθεί ευθύγραμμα από την αρχή των αξόνων έως το σημείο R 1 = 2 x 0 + y 0 ; 11. Να υπολογιστεί το έργο, W της δύναμης F = xyz(2z + 3x) x 0 + z(x 2 z 3y 2 + x 3 ) y 0 + y(2x 2 z y 2 + x 3 ) z 0 από το σημείο A(1, 0, 2) έως το σημείο B(2, 1, 3). 12. Υλικό σημείο μάζας m = 1 kg, κινείται στο Oxy επίπεδο υπό την επίδραση της δύναμης F = 2ẋ x 0 4ẏ y 0. Το σημείο ξεκινά τη χρονική στιγμή t = 0 από την ηρεμία και το διάνυσμα της ταχύτητας είναι: r 0 = 2 x 0 + 5 y 0. (i) Να βρεθούν οι εξισώσεις κίνησης του υλικού σημείου. (ii) Να βρεθεί η ταχύτητα του υλικού σημείου κάθε χρονική στιγμή. 13. Υλικό σημείο μάζας, m, κινείται κατά μήκος του x άξονα υπό την επίδραση συντηρητικής δύναμης, δυναμικού V (x) = k 2 x2 (k, θετική σταθερά). Εάν για t = 0 το σημείο ξεκινά από την ηρεμία από τη θέση x = α, να μελετήσετε την κίνησή του. Να σχεδιαστεί η τροχιά του, x = x(t), με τιμές του α = 1 και k/m = 0.1, 1 και 10 από t = 0 μέχρι t = 4π (*), τι παρατηρείτε; 14. Υλικό σημείο μάζας m = 4 kg, κινείται κατά μήκος του x άξονα υπό την επίδραση της δύναμης F (x) = 2x 3x 2. (i) Να βρεθούν τα σημεία ισορροπίας της τροχιάς του υλικού σημείου και να μελετηθούν (ασταθή ή ευσταθή σημεία ισορροπίας). (ii) Να βρεθεί αν υπάρχει

4 Σχήμα 6: Μέσα σε ποτάμι ταχύτητας ροής u 2 = u 2 x 0, u 2 = σταθερά, παράλληλης προς τις όχθες, κινείται βάρκα (υλικό σημείο) M, με σχετική ταχύτητα σταθερού μέτρου u 1. και κάτω από ποιές προϋποθέσεις το δυναμικό V (x) της F (x), (x [0, + ) και V (0) = 1). (iii) Να παρασταθεί γραφικά το δυναμικό της F (x) συναρτήσει του x στο διάστημα [0, + ) (*). 15. Σε υλικό σημείο μάζας, m = 1 kg, ασκείται δύναμη F (x) = kx + αx 3 με k > 0 και α > 0. Να γραφεί η διαφορική εξίσωση κίνησης για το υλικό σημείο, να βρεθούν τα σημεία ισορροπίας της κίνησης του και να μελετηθούν (ασταθή ή ευσταθή σημεία ισορροπίας). Να βρεθεί το δυναμικό της F (x) και να παρασταθεί γραφικά για k = α = 1 και V (0) = 1 (*). 16. Υλικό σημείο κινείται στην επιφάνεια: z = 2 sin(x + y), με την επίδραση του βάρους, B = mg z 0. Σε ποιές θέσεις ισορροπεί το υλικό σημείο; 17. Μέσα σε ποτάμι η ταχύτητα ροής u 2 = u 2 x 0, (u 2 = σταθερά), είναι παράλληλη προς τις όχθες και βάρκα (υλικό σημείο) M, κινείται με σχετική ταχύτητα σταθερού μέτρου u 1. Η ταχύτητα u 1 διευθύνεται πάντοτε προς το σημείο O της όχθης. Η βάρκα ξεκινάει από το σημείο M 0, όπου OM 0 = r0 και r 0 Ox (Σχήμα 6). Να βρεθεί η εξίσωση της απόλυτης τροχιάς της βάρκας σε πολικές συντεταγμένες. 18. Σκιέρ (υλικό σημείο) ολισθαίνει πάνω στη ράμπα του σχήματος (Σχήμα 7) που δίνεται από την έκφραση y = 0.005x 2 200. Να προσδιοριστεί η κάθετη δύναμη, που ασκείται στο υλικό σημείο μάζας, m = 70 kg, την στιγμή που φτάνει στο σημείο A, το τέλος της ράμπας, όπου το μέτρο της ταχύτητάς του είναι 22 m/s. Ποιά είναι η επιτάχυνση του υλικού σημείου στο σημείο A; Η ακτίνα καμπυλότητας δίνεται από τη σχέση: ρ(x) = (1 + y 2 (x)) 3 /y (x). 19. Υλικό σημείο μάζας, m = 60 kg, ολισθαίνει στην κυκλική ράμπα του σχήματος (Σχήμα 8) ξεκινώντας από την θέση A, όπου θ = 0 0. Να προσδιοριθεί το μέγεθος της κάθετης δύναμης (αντίδρασης) που ασκεί η κυκλική ράμπα στο υλικό σημείο όταν θ = 60 0. 20. Το ελατήριο του σχήματος κρατείται συσπειρωμένο κατά r 1 = 0.7 m με σχοινί (αρχικό μήκος ελατηρίου l 0 = 1 m). Στην κορυφή του το ελατήριο έρχεται σε επαφή με την σημειακή μάζα, m = 2 kg (Σχήμα 9, η μάζα του ελατηρίου θεωρείται αμελητέα). Αν κοπεί το σχοινί σε ποιό ύψος h, από το έδαφος θα φτάσει η μάζα, m, και ποιό είναι το έργο, W, που παράγεται ή καταναλώνεται; (k = 200 Nt/m, g 10 m/s 2 ).

5 Σχήμα 7: Σκιέρ (υλικό σημείο) ολισθαίνει πάνω στη ράμπα του σχήματος. Σχήμα 8: Υλικό σημείο μάζας, m = 60 kg, ολισθαίνει στην κυκλική ράμπα του σχήματος ξεκινώντας από την θέση A, όπου θ = 0 0. Σχήμα 9: Το ελατήριο του σχήματος κρατείται συσπειρωμένο με σχοινί. Στην κορυφή του το ελατήριο έρχεται σε επαφή με σημειακή μάζα (η μάζα του ελατηρίου θεωρείται αμελητέα).

6 Σχήμα 10: Δακτυλίδι μάζας, m, ολισθαίνει σε κατακόρυφη ράβδο. Το ελατήριο είναι ασυμπίεστο όταν το δακτυλίδι βρίσκεται στη θέση A. Σχήμα 11: Η επίπεδη επιφάνεια περιορίζεται από τον άξονα x και τον κύκλο x 2 + y 2 = 1, (y > 0). 21. Δακτυλίδι μάζας, m = 2 kg, ολισθαίνει σε κατακόρυφη ράβδο. Αν το ελατήριο είναι ασυμπίεστο όταν το δακτυλίδι βρίσκεται στη θέση A, (Σχήμα 10) να προσδιοριστεί το μέτρο της ταχύτητας, u C, και η φορά με την οποία κινείται το δακτυλίδι όταν y = 1 m, στις περιπτώσεις: (i) αν αρχικά στο σημείο A ηρεμεί και (ii) αν αρχικά στο σημείο A έχει ταχύτητα μέτρου u A = 2 m/s και φοράς προς τα κάτω (k = 3 Nt/m). Κεφάλαιο ΙΙΙ 22. Η επίπεδη επιφάνεια του σχήματος (Σχήμα 11) περιορίζεται από τον άξονα x και τον κύκλο x 2 + y 2 = 1, (y > 0) και έχει επιφανειακή πυκνότητα ρ s = 3 kgr/m 2. Να υπολογιστούν: (i) η μάζα της επιφάνειας και (ii) οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας της επιφάνειας. 23. Δύο σωματίδια με μάζες m 1 και m 2 κινούνται έτσι ώστε η σχετική τους ταχύτητα να είναι u και η ταχύτητα του κέντρου μάζας τους u 1 (Σχήμα 12). Αν M = m 1 + m 2 είναι η ολική μάζα και µ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ) είναι η ανηγμένη μάζα του συστήματος να δειχθεί ότι η ολική κινητική ενέργεια είναι 1 2 M u 1 + 1 2 µ u. 25. Υποθέτουμε ότι έχουμε n συστήματα σωματιδίων με κέντρα μάζας r 1, r 2,..., r n και ολικές μάζες M 1, M 2,..., M n αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι το κέντρο μάζας όλων των συστημάτων είναι στο σημείο: M 1 r 1 + M 2 r 2 +... + M n r n M 1 + M 2 +... + M n.

7 Σχήμα 12: Δύο σωματίδια με μάζες m 1 και m 2 κινούνται έτσι ώστε η σχετική τους ταχύτητα να είναι u και η ταχύτητα του κέντρου μάζας τους u 1. Σχήμα 13: Να υπολογιστεί το κέντρο μάζας του ομογενούς σφαιρικού τομέα. 26. Να υπολογιστεί το κέντρο μάζας του ομογενούς σφαιρικού τομέα που ορίζεται από τη σφαίρα x 2 + y 2 + z 2 = α 2 και από τα επίπεδα που διέρχονται από τον άξονα των z και σχηματίζουν γωνίες με τον άξονα των x, φ και φ = φ, αντίστοιχα (x 0) (Σχήμα 13). (x 1)2 (y 2)2 27. Δίνεται η ομογενής επιφάνεια: + = 1 στο επίπεδο z = 0. (i) Να βρεθεί 4 9 το κέντρο μάζας της. (ii) Να σχεδιαστεί η ομογενής επιφάνεια για x 0 και y 0 (*). 28. Σύστημα δύο μαζών A και B έχει συνολική μάζα, M = 2 kg, κέντρο μάζας το σημείο G και υπόκειται στη δύναμη F = 8t x 0 (Σχήμα 14). Να υπολογιστεί η επιτάχυνση α του κέντρου μάζας του συστήματος G όταν t = 1 s. Ο συντελεστής τριβής του εδάφους και της B μάζας είναι η = 0.3, (Οι μάζες A και B κινούνται μαζί, g 10 m/s 2 ). 29. Διαστημικό όχημα μάζας, M = 200 kgr, ταξιδεύει με σταθερή ορμή p = mu 0 x 0 (kg m/s) με u 0 = 150 x 0 (m/s) (Σχήμα 15) και περνά από την αρχή των αξόνων, O, όταν t = 0. Εκρηξη του οχήματος το διαχωρίζει σε τρία κομμάτια, A, B, C με μάζες 100, 60, 40 kgr αντίστοιχα. Η ταχύτητα της μάζας A κατά τη χρονική στιγμή t = 2.5 s, είναι u A = 270 x 0 120 y 0 +160 z 0 (m/s) και η ταχύτητα του B βρίσκεται στο επίπεδο Oxz. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του C την ίδια χρονική στιγμή. Οι θέσεις των μαζών A, B, C κατά τη χρονική στιγμή t = 2.5 s, είναι A(555 m, 180 m, 240 m), B(255 m, 0 m, 120 m) και C(105 m, 450 m, 420 m). Οι εξωτερικές δυνάμεις πάνω στο σύστημα να θεωρηθούν αμελητέες.

8 Σχήμα 14: Σύστημα δύο μαζών A και B έχει συνολική μάζα, M = 2 kg, κέντρο μάζας το σημείο G και υπόκειται στη δύναμη F = 8t x 0. Σχήμα 15: Διαστημικό όχημα μάζας, M, ταξιδεύει με σταθερή ορμή και περνά από την αρχή των αξόνων, O, όταν t = 0. Εκρηξη του οχήματος το διαχωρίζει σε τρία κομμάτια, A, B, C. 30. Επιφάνεια περικλείεται από την παραβολή που περνάει από την αρχή των αξόνων και την ευθεία y = h (Σχήμα 16). Η επιφανειακή πυκνότητα είναι σταθερή και ίση με ρ s = 2 kg/m 2. Να βρεθεί το κέντρο μάζας. 31. Βρείτε το κέντρο μάζας της καμπύλης AB του σχήματος (Σχήμα 17) από θ = α έως θ = α, (α > 0) όταν η γραμμική πυκνότητα είναι σταθερή και ίση με ρ l = 1 kg/m. Οι ασκήσεις πρέπει να επιστραφούν μέχρι την Τετάρτη 29 Μαίου, στις 12μμ. Σχήμα 16: Επιφάνεια περικλείεται από την παραβολή που περνάει από την αρχή των αξόνων και την ευθεία y = h.

9 Σχήμα 17: Βρείτε το κέντρο μάζας της καμπύλης του σχήματος. (*) Οπου ζητείται να παρασταθεί γραφικά το αποτέλεσμα της άσκησης προτείνεται η χρήση του προγράμματος M athematica (εγχειρίδιο χρήσης και χρήσιμες ιστοσελίδες μπορούν να βρεθούν στην σελίδα του μαθήματος: http : //www.math.upatras.gr/ maik/km.html).