2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης"

Ἡρωδιάς Κανακάρης-Ρούφος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική Μηχανική (Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 1985) Κεφ 1,, 3 Κ Χριστοδουλίδης, Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής (Σηµειώσεις, ΕΜΠ, 3): ιανύσµατα - Το αόριστο ολοκλήρωµα - Το ορισµένο ολοκλήρωµα - Λύση απλών διαφορικών εξισώσεων και εξισώσεων κίνησης 1 Οι νόµοι της κίνησης Οι τρεις νόµοι της κίνησης, του Νεύτωνα: 1 Ένα σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα (ή ηρεµεί) όταν δεν ασκείται πάνω του καµµιά εξωτερική δύναµη: = a = (1) = δύναµη, a = επιτάχυνση Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής p = v ενός σώµατος ως προς τον χρόνο είναι ίσος µε τη δύναµη που ασκείται πάνω στο σώµα: d = ( v) () 3 Όταν δύο σώµατα αλληλεπιδρούν, είναι: 1 = 1, (3) όπου 1 = η δύναµη που ασκείται πάνω στο σώµα 1 από το σώµα, και 1 = η δύναµη που ασκείται πάνω στο σώµα από το σώµα 1 υνάµεις και εξισώσεις κίνησης Εξίσωση κίνησης ενός σώµατος ονοµάζεται η διαφορική εξίσωση που προκύπτει από τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα v d d = ή = (4) όταν αντικατασταθεί σε αυτήν η µαθηµατική έκφραση για τη δύναµη που ασκείται πάνω στο σώµα Η δύναµη µπορεί να είναι συνάρτηση της θέσης του σώµατος, του χρόνου, της ταχύτητας του σώµατος κλπ = (, v, t,) Λύση της εξίσωσης κίνησης ονοµάζεται η λύση της διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί τις δεδοµένες αρχικές ή άλλες συνθήκες του προβλήµατος Αυτή είναι συνήθως η συνάρτηση = (t) που δίνει τη θέση του σώµατος συναρτήσει του χρόνου Ενδιάµεση λύση µπορεί να είναι η v = v(t) που δίνει την ταχύτητα του σώµατος συναρτήσει του χρόνου Όπου αυτές οι λύσεις δεν είναι εφικτές, είναι µερικές φορές επιθυµητό να βρεθεί η ταχύτητα συναρτήσει της θέσης, v = v() 7

2 3 Οι θεµελιώδεις δυνάµεις της κλασσικής Μηχανικής Η βαρυτική δύναµη που ασκείται πάνω στη µάζα m = G m m ˆ από τη µάζα είναι όπου είναι η απόσταση των δύο µαζών, και ˆ το µοναδιαίο διάνυσµα από την στην m Το αρνητικό πρόσηµο υπάρχει γιατί η δύναµη είναι ελκτική Ορίζοντας την ένταση του βαρυτικού πεδίου (επιτάχυνση της βαρύτητας), m g G ˆ =, (6) m η δύναµη είναι m = mg (7) Η δύναµη Coulomb που ασκείται πάνω στο φορτίο q από το φορτίο Q είναι qq 1 Qq = ˆ 4π ε (8) όπου είναι η απόσταση των δύο φορτίων, και ˆ το µοναδιαίο διάνυσµα από το Q στο q Η δύναµη είναι αρνητική ή θετική, αν είναι ελκτική ή απωστική, αντίστοιχα Ορίζοντας την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου qq 1 Q E ˆ Q =, (9) q 4π ε η δύναµη είναι qq = qe (1) Q Η βαρυτική δύναµη µεταξύ σηµειακών µαζών και η ηλεκτροστατική δύναµη µεταξύ σηµειακών φορτίων είναι της µορφής = f () ˆ, (11) δηλαδή είναι κεντρικές δυνάµεις Η µαγνητική δύναµη που ασκείται πάνω στο φορτίο µέσα στο µαγνητικό πεδίο B είναι µαγν = q v B (1) Αν υπάρχει και ηλεκτρικό πεδίο E, η ολική δύναµη (δύναµη Loentz) είναι: L = qe + q v B (13) 4 Λύσεις της εξίσωσης κίνησης q όταν αυτό κινείται µε ταχύτητα Σε προβλήµατα κίνησης σε τρεις διαστάσεις, οι εξισώσεις κίνησης σε διανυσµατική µορφή αναλύονται σε τρεις διαφορικές εξισώσεις, µία για κάθε συνιστώσα Έτσι, αν η διανυσµατική εξίσωση κίνησης είναι =, (14) (5) v 8

3 η λύση βρίσκεται συνήθως αφού αυτή αναλυθεί στις τρεις εξισώσεις: = x y z x, = y, = z (15) 41 Μηδενική δύναµη Εξίσωση κίνησης: = = (16) d Λύση: v = = σταθ = v, = + v t (17) όπου = η αρχική θέση του σώµατος, v = η αρχική ταχύτητα του σώµατος Σε συνιστώσες: x = x + υ xt, y = y + t, z = z + υ zt (18) υ y 4 Σταθερή δύναµη Εξίσωση κίνησης: = = σταθ (19) 1 Λύση: v( t) = v + t, ( t) = + vt + t () όπου = η αρχική θέση του σώµατος, v = η αρχική ταχύτητα του σώµατος Σε συνιστώσες: 1 x x( t) = x + υ x t + t, x y z υ x ( t) = υ x + t, υ y ( t) = υ y + t, υ z ( t) = υ z + t, (1) 1 y y( t) = y + υ y t + t, 1 z z( t) = z + υ z t + t () Ειδική περίπτωση: Βολή σε οµογενές βαρυτικό πεδίο Η αρχική ταχύτητα σχηµατίζει γωνία θ µε την οριζόντια κατεύθυνση Η κίνηση γίνεται στο επίπεδο xy Η εξίσωση κίνησης είναι: Λύση: Εξίσωση της τροχιάς: d x d y d x d y m xˆ yˆ = mg yˆ +, ή =, = g (3) y y x = x + υ cos ) t, ( θ υ sin θ g + = x cos x g υ θ 1 y = y + ( υ sinθ ) t gt (4) υ sinθ cosθ + g (5) 43 Κίνηση φορτίου µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο Επιλέγουµε τους άξονες ώστε: µαγνητικό πεδίο: B = Bzˆ και αρχική ταχύτητα: Η αρχική θέση είναι: = x xˆ + yyˆ + zzˆ Εξίσωση κίνησης: d = = q v B (6) Σε συνιστώσες: v =υ 1ˆ y + υ zˆ z 9

4 Λύση: qb υ = υ qb & x y υ y = υ x x ( 1 & υ& z = (7) υ t) = υ sinωt υ t) = υ cosωt υ = σταθ (8) y ( 1 z όπου ω qb x = x + c (1 cosω ) y = y c sinωt z = z +υ t (9) t + = ω c η κυκλοτρονική συχνότητα, 1 υ 1 c ω c qb υ = = η κυκλοτρονική ακτίνα z 44 Κίνηση µε δύναµη τριβής ανάλογη της ταχύτητας ύναµη τριβής: τρ = β v Αρχική ταχύτητα: v Αρχική θέση: (,, ) d v Εξίσωση κίνησης: = β v (3) Αν v x υ x = υ xˆ, η εξίσωση κίνησης είναι =, όπου τ = σταθερά χρόνου τ β t / τ υ t / τ Λύση: υ x ( t) = υ e, x( t) = (1 e ) (31) β Προβλήµατα Από το βιβλίο Kittel κά "Μηχανική": Κεφ 3 Ασκ 3, 11, 14, 15 1 Ένα σωµατίδιο µε µάζα m κινείται στο επίπεδο xy υπό την επίδραση δύναµης = C, όπου C µια θετική σταθερά και το διάνυσµα θέσης του σωµατιδίου Ζητούνται: (α) Να γραφούν και να λυθούν οι εξισώσεις κίνησης του σωµατιδίου ως προς τους άξονες x και y (β) Ποια είναι η συνθήκη ώστε η τροχιά του σωµατιδίου να είναι περιφέρεια κύκλου και ποια είναι τότε η περιόδος της κίνησης; (γ) Ποια είναι η συνθήκη ώστε η τροχιά του σωµατιδίου να είναι ευθεία µε κλίση 45 ο ως προς τον άξονα x; Ένα σώµα έχει µάζα m, βρίσκεται αρχικά ακίνητο στη θέση y = και αρχίζει να πέφτει κατακόρυφα (κατά µήκος του άξονα y, η θετική κατεύθυνση του οποίου είναι προς τα πάνω) Η δύναµη της τριβής του αέρα είναι ίση µε bυ, όπου υ η ταχύτητα του σώµατος και b µια θετική σταθερά (α) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος, υ, ως συνάρτηση του χρόνου (β) είξτε ότι το σώµα τείνει να αποκτήσει µια ορική ταχύτητα και βρείτε την τιµή της (γ) Να βρεθεί η θέση του σώµατος, y, ως συνάρτηση του χρόνου (δ) Αναπτύξτε τις απαντήσεις για τα y (t) και υ (t) σε σειρές δυνάµεων του χρόνου, για να βρείτε σχέσεις που ισχύουν για µικρές τιµές του t 3 Σωµατίδιο µάζας m κινείται στο επίπεδο xy Το επίπεδο xy είναι οριζόντια λεία επιφάνεια Τη χρονική στιγµή t = το σωµατίδιο βρίσκεται στο σηµείο (, ) και έχει ταχύτητα υ η οποία σχηµατίζει γωνία 45 o µε τον άξονα x Η µόνη δύναµη που ασκείται στο σωµατίδιο είναι µία δύναµη τριβής, mkυ y ŷ, ανάλογη της συνιστώσας υ y της ταχύτητάς του, όπου k είναι ένας σταθερός θετικός συντελεστής (α) Ποια είναι η εξίσωση κίνησης του σωµατιδίου; (β) Βρείτε την ταχύτητά του ως συνάρτηση του χρόνου Μετά πόσο χρόνο η κατακόρυφη συνιστώσα της γίνεται υ / ; (γ) Ποια είναι η εξίσωση της τροχιάς που διαγράφει το σωµατίδιο στο επίπεδο xy ; 1

5 (δ) Ποια είναι η µέγιστη τιµή ym του y στην τροχιά; 4 Σφαίρα µάζας m εκτοξεύεται από το σηµείο (, ) µε αρχική ταχύτητα υ που σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα x, ο οποίος είναι οριζόντιος Ο άξονας y είναι κατακόρυφος Η σφαίρα κινείται στο επίπεδο xy Το σηµείο βολής βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος Κατά την κίνησή της η σφαίρα υφίσταται αντίδραση bυ από την ατµόσφαιρα, όπου υ είναι η ταχύτητα της σφαίρας και b µια θετική σταθερά (α) Βρείτε τις συναρτήσεις υ (t) και υ (t) κατά την κίνηση της σφαίρας x y (β) Βρείτε τις συντεταγµένες x (t) και y(t) της σφαίρας (γ) Γράψετε την εξίσωση που προσδιορίζει την τιµή του χρόνου τ όταν η σφαίρα προσκρούει στο έδαφος, χωρίς να επιχειρήσετε να τη λύσετε hb υ (δ) είξτε ότι για τ >> m / b ο χρόνος αυτός είναι τ + sinθ mg g 5 Μια βάρκα κινείται µε ταχύτητα υ = υ xˆ ( υ > ) και βρίσκεται στη θέση x = όταν τη χρονική στιγµή t = σβήνεται η µηχανή της Η αντίσταση του νερού είναι τέτοια ώστε η δύναµη τριβής που ασκείται πάνω στη βάρκα να είναι ίση µε be, όπου υ είναι το µέτρο της ταχύτητας της βάρκας και α και b είναι θετικές σταθερές (α) Να βρεθεί η ταχύτητα της βάρκας, υ, ως συνάρτηση του χρόνου για t > (β) Να βρεθεί η θέση της βάρκας, x, ως συνάρτηση του χρόνου για t > (γ) Πόσος χρόνος, τ, θα απαιτηθεί για να σταµατήσει η βάρκα; Σε ποια τιµή τείνει ο τ για πολύ µεγάλες τιµές της υ ; 1 + = + [ + ] ln(1 ct ) (1 ct) ln(1 ct) 1 c 6 Σώµα µάζας m εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα V ŷ ( V > ) κατά µήκος του άξονα των y, η θετική κατεύθυνση του οποίου είναι προς τα πάνω Η αρχική θέση του σώµατος είναι y = Πάνω στο σώµα δρα, εκτός του βάρους του, δύναµη τριβής από τον αέρα ίση µε mkυ, όπου υ η ταχύτητα του σώµατος και k µια θετική σταθερά (α) Να διατυπωθεί η εξίσωση κίνησης του σώµατος dy (β) Χρησιµοποιώντας τη σχέση = = υ δείξτε ότι τα υ και y ικανοποιούν τη dy dy V υ g 1 + kv / g σχέση y = ln k k 1 + kυ / g (γ) Βρείτε το µέγιστο ύψος H στο οποίο θα φθάσει το σώµα (δ) Αν υ = U είναι η ταχύτητα µε την οποία το σώµα επιστρέφει στο y =, δείξτε ότι: ku ku / g kv kv / g 1 e g = 1 + e g 7 Ένα σώµα µάζας m βρίσκεται πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο Η γωνία θ που σχηµατίζει το επίπεδο µε την οριζόντια κατεύθυνση είναι αρχικά µηδενική και αυξάνεται πολύ αργά µέχρι τη στιγµή που το σώµα αρχίζει να κινείται Τότε η γωνία διατηρείται σταθερή Αν οι συντελεστές στατικής και κινητικής τριβής µεταξύ σώµατος και επιπέδου είναι µ s και µ k αντίστοιχα (µ s >µ k ), να βρεθούν ως συναρτήσεις του χρόνου: (α) Η ταχύτητα της µάζας, και (β) Η θέση της 8 Ένα σώµα έχει µάζα m, βρίσκεται αρχικά ακίνητο στο σηµείο y =, και τη χρονική στιγµή t = αρχίζει να πέφτει κατακόρυφα (κατά µήκος του άξονα y, η θετική κατεύθυνση του οποίου είναι προς τα κάτω) Κατά την κίνηση του σώµατος στο πεδίο βαρύτητας, το οποίο θεωρούµε οµογενές, η αντίσταση του αέρα είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας του σώµατος, και ίση µε aυ, όπου υ η ταχύτητα του σώµατος και a µια θετική σταθερά αυ 11

6 (α) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος, υ (t), ως συνάρτηση του χρόνου (β) είξετε ότι το σώµα τείνει να αποκτήσει µια ορική ταχύτητα και βρείτε την τιµή της (γ) Να βρεθεί η θέση του σώµατος, y(t), ως συνάρτηση του χρόνου 1

Σχετικά έγγραφα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα