Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

Transcript

1 Όποτε χρησιμοποιείτε το σταυρό ή το κλειδί της εργαλειοθήκης σας για να ξεσφίξετε τα μπουλόνια ενώ αντικαθιστάτε ένα σκασμένο λάστιχο αυτοκινήτου, ολόκληρος ο τροχός αρχίζει να στρέφεται και θα πρέπει να επινοήσετε ένα τρόπο συγκράτησής του. Ποιος είναι ο λόγος που η ασκούμενη δύναμη στη χειρολαβή του κλειδιού κάνει τον τροχό να γυρίζει; ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Μεταφορική κίνηση Ένα σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση, όταν κάθε στιγμή όλα τα σημεία του σώματος έχουν την ίδια ταχύτητα. Στη μεταφορική κίνηση το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο τυχαία σημεία του σώματος μετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του. Περιστροφική κίνηση Ένα σώμα εκτελεί περιστροφική κίνηση, όταν αλλάζει προσανατολισμό. Στη περιστροφική κίνηση υπάρχει μια ευθεία, που ονομάζεται άξονας περιστροφής, γύρω από την οποία τα σημεία του σώματος εκτελούν κυκλική κίνηση. Τα σημεία του άξονα περιστροφής παραμένουν ακίνητα. Σύνθετη κίνηση Ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, όταν μετακινείται στο χώρο και ταυτόχρονα αλλάζει ο προσανατολισμός του. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 1

2 ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Ορισμός της στροφορμής υλικού σημείου που περιφέρεται σε κυκλική τροχιά και της ροπής αδράνειας Έστω ένα σώμα, μάζας m, μικρών διαστάσεων ( ώστε να το θεωρούμε υλικό σημείο ), το οποίο εκτελεί κυκλική κίνηση σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας r. Ονομάζουμε στροφορμή του υλικού σημείου ως προς έναν άξονα zz που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδο της το διανυσματικό μέγεθος το οποίο έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο της ορμής του υλικού σημείου επί την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς, L = P r ή L = m υ r. Διεύθυνση αυτή του άξονα zz και φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονάδα μέτρησής της στροφορμής είναι το 1kg m 2 / s. Ορισμός στροφορμής και ροπής αδράνειας στερεού σώματος Θεωρούμε ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα zz με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τα διάφορα υλικά σημεία από τα οποία αποτελείται το σώμα διαγράφουν κυκλικές τροχιές σε επίπεδα κάθετα στον άξονα περιστροφής με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω. Η γραμμική ταχύτητα υ των διαφόρων υλικών σημείων είναι διαφορετική, καθώς διαγράφουν τροχιές με διαφορετικές ακτίνες. Θεωρούμε ότι το σώμα αποτελείται από ένα τεράστιο πλήθος v στοιχειωδών μαζών, των οποίων οι στροφορμές L 1 = m 1 ω r 1 2, L 1 = m 1 ω r 2 2, έχουν την ίδια κατεύθυνση. Η στροφορμή του στερεού σώματος είναι το άθροισμα των στροφορμών των υλικών σημείων που το αποτελούν. L = L 1 + L L n ή L = m 1 ωr m 2 ωr m n ωr n 2 ή L = (m 1 r m 1 r m n r n 2 )ω. Το άθροισμα μέσα στην παρένθεση είναι ίσο με τη ροπή αδράνειας του στερεού σώματος. Ονομάζουμε ροπή αδράνειας ( Ι ) ενός στερεού σώματος ως προς κάποιον άξονα περιστροφής το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί τα τετράγωνα των αποστάσεών τους από τον άξονα περιστροφής. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 2

3 L = Iω όπου Ι = n 2 1 m i r i Η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης το 1 kg m 2. Σημείωση: Η μάζα αποτελεί μέτρο της αδράνειας του σώματος στη μεταβολή της ταχύτητάς του ( γραμμικής ), ενώ η ροπή αδράνειας αποτελεί μέτρο της αδράνειας ενός σώματος στη μεταβολή της γωνιακής του ταχύτητας. Άσκηση: Τρεις σημειακές μάζες m 1 = m 2 = m 3 = m είναι στερεωμένες σε μια αβαρή ράβδο μήκος 2L. Nα βρείτε τη ροπή αδρανείας του συστήματος των μαζών όταν αυτό στρέφεται γύρω από τον άξονα: α. που συμπίπτει με τη ράβδο, β. που περνά από τη μάζα m 1 και είναι κάθετος στη ράβδο, γ. που περνά από τη μάζα m 2 και είναι κάθετος στη ράβδο. Όταν θέλουμε να βρούμε την κινητική ενέργεια ενός στερεού σώματος που εκτελεί μόνο περιστροφική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα ω, τότε χωρίζουμε το σώμα σε στοιχειώδεις μάζες m 1, m 2,., που η καθεμία απέχει από τον άξονα περιστροφής αποστάσεις r 1, r 2, Η κινητική ενέργεια του σώματος θα δίνεται από τη σχέση, Κ = 1 2 m 1υ m 2υ και επειδή υ = ωr γράφεται: K = 1 2 m 1ω 2 r m 2ω 2 r ή K = 1 2 (m 1r m 2 r )ω 2 ή Κ = 1 2 Iω2 Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 3

4 ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα είναι μηδέν (ΣΜ εξ = 0), τότε η στροφορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή ( L = σταθερή ). Το συμπέρασμα αυτό αποτελεί την αρχή διατήρησης της στροφορμής, η οποία διατυπώνεται ως εξής: ΣΜ εξ = ΔL Δt «Η ολική στροφορμή ενός συστήματος παραμένει σταθερή, αν η συνολική εξωτερική ροπή στο σύστημα είναι μηδέν.» L ολ = σταθερό ή L ΑΡΧ = L ΤΕΛ ή Ι ΑΡΧω ΑΡΧ = Ι ΤΕΛω ΤΕΛ Η αρχή αυτή αναφέρεται στη στροφική κίνηση και είναι ανάλογη της αρχής διατήρησής της ορμής που αναφέρεται στη μεταφορική κίνηση των σωμάτων ενός μονωμένου συστήματος. Άσκηση: Η αβαρής ράβδος ΑΒ με μήκος 2L = 2m μπορεί να περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσο Ο, διαγράφοντας οριζόντιο επίπεδο. Στα άκρα Α και Β της ράβδου υπάρχουν δύο πίθηκοι, μάζας m = 20kg ο καθένας και η ράβδος περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 1 = 10 rad/s. Κάποια στιγμή οι πίθηκοι αρχίζουν να κινούνται ταυτόχρονα προς το μέσο Ο της ράβδου και διανύουν διάστημα L/2 ο καθένας. Να βρείτε: α. τη νέα γωνιακή ταχύτητα της ράβδου, β. τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 4

5 Εφαρμογές της αρχής διατήρησης της στροφορμής Να εξηγήσετε με τη βοήθεια της αρχής της διατήρησης της στροφορμής τι συμβαίνει στις πιο κάτω εικόνες: Γιατί μια μπάλα του μπάσκετ μπορούμε να την ισορροπήσουμε στο δάκτυλο μας πιο εύκολα όταν αυτή στρέφεται παρά όταν είναι ακίνητη; Σ ένα στερεό σώμα ασκείται ένα ζεύγος δυνάμεων. Θα έχουμε μεταβολή στην ορμή του p και στη στροφορμή του L ; Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 5

6 Άσκηση: Στη τροχαλία του σχήματος, με ακτίνες r = 0,1m και R = 0,2m, είναι τυλιγμένα αβαρή σχοινιά, στα ελεύθερα άκρα των οποίων είναι δεμένα τα σώματα με μάζες m 1 = 2kg και m 2 = 1kg. Αν αφήσουμε τα σώματα ελεύθερα, να βρείτε τις ταχύτητές τους τη στιγμή που το σώμα μάζας m 1 θα έχει κατεβεί κατά h 1 = 1m. Δίνονται: Ι = 0,26 kg m 2 και g = 10 m/s 2. Περιστροφή ενός αστέρα νετρονίων Οι αστρονόμοι πιστεύουν ότι σε ορισμένες περιπτώσεις ένα άστρο μπορεί να καταρρεύσει, συμπιεσμένο από την ίδια του τη βαρύτητα και να αποκτήσει μια εξαιρετικά πυκνή δομή που αποτελείται κυρίως από νετρόνια, οπότε ονομάζεται αστέρας νετρονίων. Η πυκνότητα των αστέρων νετρονίων είναι περίπου φορές μεγαλύτερη από την πυκνότητα της συνηθισμένης συμπυκνωμένης ύλης. Οι αστρονόμοι έχουν ανακαλύψει μερικά ουράνια σώματα, ονομαζόμενα pulsars, που φαίνεται ότι στροβιλίζονται τόσο γρήγορα γύρω από τον εαυτό τους. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 6

7 Κίνηση ανθρώπου πάνω περιστρεφόμενη πλατφόρμα Α. Ο άνθρωπος του σχήματος στέκεται πάνω σε περιστρεφόμενη πλατφόρμα κρατώντας βαράκια και περιστρέφεται αριστερόστροφα. z z Να σχεδιάσετε στο σχήμα τη στροφορμή του. Β. Αρχικά ο άνθρωπος έχει τα χέρια του ανοικτά και περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 1. Στη συνέχεια ο άνθρωπος μαζεύει τα χέρια του και το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας γίνεται ω 2. Ι. Με τι θα είναι ίση η ολική ροπή αδράνειας του συστήματος; ΙΙ. Σε ποια περίπτωση ο άνθρωπος έχει τη μεγαλύτερη ροπή αδράνειας; Εξηγήστε. ΙΙΙ. Με δεδομένο ότι η στροφορμή του συστήματος διατηρείται να εξηγήσετε τι θα αλλάξει στην κίνησή του αν μαζέψει τα χέρια στο στήθος του. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 7

8 Πρόβλημα: Ο άνθρωπος στέκεται με τεντωμένα τα χέρια του σε περιστρεφόμενη πλατφόρμα. Σε κάθε χέρι κρατά ένα βαράκι σημειακής μάζας m = 10kg και στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 1 = 5 rad/s. Αν η αρχική απόσταση που έχουν τα βαράκια από τον άξονα περιστροφής είναι r 1 = 1m και η ροπή αδράνειας του ανθρώπου πλατφόρμα είναι I = 20kg m 2, να βρείτε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος όταν ο άνθρωπος πλησιάζει τα βαράκια στη μισή απόσταση. Πώς εξηγείται αυτή η μεταβολή; Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 8

9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Από μια συμπαγή σφαίρα ροπής αδράνειας Ι ως προς διαμετρικό άξονα αφαιρέσαμε ένα μέρος του εσωτερικού της. Η ροπή αδράνειας της κοίλης σφαίρας θα είναι μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με τη ροπή αδράνειας της συμπαγούς; Να εξηγήσετε. 2. Τα δύο στερεά του διπλανού σχήματος έχουν την ίδια μάζα, είναι φτιαγμένα από το ίδιο υλικό, περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα και δέχονται την ίδια επιβραδύνουσα ροπή λόγω τριβής. Να εξηγήσετε ποιο από τα δύο σώματα θα σταματήσει πρώτο. 3. Δύο πανομοιότυποι χάρακες έχουν, ο A ένα νόμισμα στην πάνω άκρη και ο Β ένα δεύτερο πανομοιότυπο νόμισμα στο μέσο. Αφήνουμε ταυτόχρονα τους δύο χάρακες να πέσουν ελεύθερα από κατακόρυφη θέση προς το δάπεδο. Α Β Να εξηγήσετε ποιος από τους δύο χάρακες θα φτάσει πρώτος στο δάπεδο ή γιατί οι δύο χάρακες φτάνουν ταυτόχρονα στο δάπεδο. (Η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα). Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 9

10 4. Οι δίσκοι Α και Β του σχήματος στρέφονται γύρω από τον ίδιο άξονα αλλά με αντίθετες φορές. Ο δίσκος Α έχει ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής διπλάσια από ότι ο δίσκος Β ( Ι Α = 2Ι Β ) και το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας είναι επίσης διπλάσιο απ ότι του δίσκου Β ( ω Α = 2ω Β ). Κάποια στιγμή ο δίσκος Β αφήνεται να πέσει πάνω στο δίσκο Α. Μετά από λίγο οι δύο δίσκοι στρέφονται ως ένα σώμα. Να υπολογίσετε: α. τη γωνιακή ταχύτητα του νέου σώματος σε σχέση με την αρχική γωνιακή ταχύτητα του δίσκου Α. β. τη μεταβολή της περιστροφικής κινητικής ενέργειας. Όπου Ι Α = 4kg m 2 και ω Α = 1 rad/s. Να σχολιάσετε το αποτέλεσμα. 4. Το ραβδί του διπλανού σχήματος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που βρίσκεται στο πάνω μέρος του. Το μήκος του ραβδιού είναι l = 1,2m και η μάζα του είναι Μ = 1 kg. Αμελητέων διαστάσεων μάζας m = 0,5kg, που κινείται με ταχύτητα u, προσκολλάται στο κάτω μέρος του ραβδιού και το σύστημα μόλις που καταφέρνει να εκτελέσει ανακύκλωση. Ζητείται η ταχύτητα u της μάζας m. 5. Ο άνθρωπος του σχήματος κρατά πάνω από το κεφάλι του ένα τροχό ποδηλάτου και πατά πάνω σε μια εξέδρα που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές. α. Να εξηγήσετε τι θα συμβεί αν ο άνθρωπος θέσει με το αριστερό του χέρι σε δεξιόστροφή περιστροφή τον τροχό χωρίς να τον μετακινήσει από τη θέση του. β. Τι θα συμβεί αν ο άνθρωπος σταματήσει ξανά τον τροχό με το αριστερό του χέρι; γ. Υποθέστε ότι αρχικά ο τροχός περιστρέφεται δεξιόστροφα, ενώ ο άνθρωπος είναι ακίνητος πάνω στην εξέδρα. Ι. Τι θα συμβεί αν σταματήσει με το αριστερό του χέρι τον τροχό; II. Τι θα συμβεί αν μετακινήσει τον τροχό ώστε ο άξονας του να γίνει οριζόντιος; ΙΙΙ. Τι θα συμβεί αν αναποδογυρίσει τον τροχό ώστε ο άξονας να είναι και πάλι κατακόρυφος; Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 10