ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από το ένα άκρο της O. Τη χρονική στιγµή t = 0 η ράβδος είναι κατά µήκος του άξονα x και το σώµα είναι στη θέση Ο. (α) Βρείτε την ταχύτητα του σώµατος για t > 0 (i) σε πολικές συντεταγµένες και (ii) σε καρτεσιανές συντεταγµένες. (β) Βρείτε την επιτάχυνση σε πολικές συντεταγµένες και υπολογίστε την επιτρόχια και την κεντροµόλο συνιστώσα της επιτάχυνσης. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Το σώµα διαγράφει µια σπειροειδή τροχιά, η οποία ξεκινά από την αρχή Ο και ανοίγει µε την πάροδο του χρόνου καθώς το σώµα αποµακρύνεται από το O κατά µήκος της ράβδου και ταυτόχρονα περιστρέφεται γύρω από το Ο µαζί µε τη ράβδο. Αυτή η τροχιά προκύπτει από την επαλληλία των δύο κινήσεων του σώµατος, της ευθύγραµµης οµαλής κατά µήκος της ράβδου και της κυκλικής µαζί µε την περιστρεφόµενη ράβδο. Στις πολικές συντεταγµένες τα µοναδιαία διανύσµατα πάνω στο επίπεδο περιστροφής της ράβδου (το επίπεδο της σπειροειδούς τροχιάς), ως προς τα οποία θέλουµε να αναλύσουµε το διάνυσµα της ταχύτητας του σώµατος, είναι το ακτινικό r κατά µήκος της ράβδου (δηλ. από την αρχή Ο στο σώµα, θεωρούµενο ως σηµείο) και το γωνιακό θ κάθετα στη ράβδο. Σε αυτό το σύστηµα η απόσταση του σώµατος από την αρχή Ο σε χρόνο t είναι r = ut και η γωνία που σχηµατίζει η ράβδος ως προς την αρχική της θέση είναι θ = ωt. Από τη θεωρία, το διάνυσµα της ταχύτητας σε αυτό το σύστηµα είναι v = r r + r θ θ = ur + ωutθ όπου η τελεία πάνω από µια µεταβλητή υποδηλώνει παραγώγιση ως προς το χρόνο t. Σε καρτεσιανές συντεταγµένες το διάνυσµα θέσης του σώµατος γράφεται i j r = r cos θi + r sin θj όπου και είναι τα µοναδιαία διανύσµατα στους άξονες x και y αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας r = ut, θ = ωt και παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο t βρίσκουµε πώς αναλύεται το διάνυσµα της ταχύτητας σε αυτό το σύστηµα v = r = (u cos ωt ωut sin ωt) i + (u sin ωt + ωut cos ωt)j Το διάνυσµα της ταχύτητας είναι πάντα εφαπτόµενο στην τροχιά, ανεξαρτήτως επιλογής v = v = u 1 + ω t συντεταγµένων, και έχει µέτρο. Αντίθετα, στις πολικές συντεταγµένες ούτε το ακτινικό µοναδιαίο διάνυσµα r (που δείχνει τη διεύθυνση της αποµάκρυνσης του σώµατος από την αρχή Ο) είναι κάθετο στην τροχιά ούτε το γωνιακό µοναδιαίο διάνυσµα θ (που δείχνει την κατεύθυνση περιστροφής του σώµατος γύρω από την αρχή Ο) είναι εφαπτόµενο στην τροχιά, επειδή η ακτίνα περιστροφής r δεν είναι σταθερή. Για να αναλύσουµε λοιπόν την επιτάχυνση σε πολικές συντεταγµένες ξεκινάµε
! από τη γενική έκφραση της θεωρίας για την επιτάχυνση σε αυτό το σύστηµα (για επίπεδη κίνηση) r = 0 θ = 0 και επειδή και παίρνουµε a = ( r r θ ) r + ( r θ + r θ)θ a = r θ r + r θ θ = ω utr + ωuθ Αυτή είναι η ζητούµενη έκφραση της συνολικής επιτάχυνσης σε πολικές συντεταγµένες. Ορίζουµε τώρα το µοναδιαίο διάνυσµα εφαπτόµενο στην τροχιά T T = v v = 1 r + 1 + ω t ωt 1 + ω t θ και υπολογίζουµε την επιτρόχια συνιστώσα της επιτάχυνσης προβάλλοντας τη συνολική επιτάχυνση στο a T a T = ( a T ) T = ω ut 1 + ω t T = ω ut 1 + ω t ( r + ωt θ) Η κεντροµόλος συνιστώσα της επιτάχυνσης δίνεται από τη σχέση a C = a a T = + ω t 1 + ω t ωu( ωtr + Από τον ορισµό τους, η a T είναι πάντα εφαπτόµενη στην τροχιά (δηλαδή όντως επιτρόχια) και η a C πάντα κάθετη στην τροχιά (δηλαδή πράγµατι κεντροµόλος). ωt > > 1 t > > 1/ω Σε µεγάλους χρόνους (υποθέτοντας µια ράβδο πολύ µεγάλου µήκους για το ευθύγραµµο κοµµάτι της κίνησης του σώµατος) η σύνθετη (σπειροειδής) κίνηση του σώµατος τείνει να γίνει ασυµπτωτικά κυκλική (δηλαδή τείνει να πάρει τη διεύθυνση του θ ) και το µέτρο της αυξάνεται γραµµικά µε το χρόνο, v ωutθ, ενώ η επιτρόχια επιτάχυνση τείνει ασυµπτωτικά επίσης στη διεύθυνση του θ και σε ένα σταθερό µέτρο,, έτσι ώστε. Σε αυτό το όριο η κεντροµόλος επιτάχυνση τείνει a T ωuθ a C ω utr v a T t a C ω rr στο όριο, δηλαδή στη γνωστή σχέση. θ) ΘΕΜΑ : Πλοίο κινείται οριζόντια µε ταχύτητα u και βάλλει βλήµα µε ταχύτητα u0 ως προς το πλοίο σε γωνία φ µε τον ορίζοντα. Το βλήµα βάλλεται από το επίπεδο της θάλασσας και πέφτει στη θάλασσα. (α) Το βλήµα κινείται προς τα εµπρός στην κατεύθυνση του άξονα του πλοίου. Βρείτε το βεληνεκές της βολής όπως το µετράει ακίνητος παρατηρητής στη στεριά. (β) Για ποια τιµή της φ έχουµε µέγιστο βεληνεκές;
(γ) Εάν το βλήµα βάλλεται πλάγια µε αρχική ταχύτητα u0 κάθετη στον άξονα του πλοίου σε γωνία φ µε τον ορίζοντα, βρείτε το βεληνεκές της βολής όπως το µετράει ακίνητος παρατηρητής στη στεριά. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Στην περίπτωση (α) το βεληνεκές που βλέπει ο ακίνητος παρατηρητής στη στεριά προκύπτει από την επαλληλία της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης του πλοίου κατά τη διεύθυνση του άξονα x και της κίνησης του βλήµατος στο επίπεδο xy, µε τον άξονα y προσανατολισµένο κατακόρυφα προς τα πάνω, η οποία ως προς το πλοίο είναι µια παραβολική βολή σε αυτό το επίπεδο, δηλαδή ευθύγραµµη οµαλή στον άξονα x και οµαλά επιταχυνόµενη (ελεύθερη πτώση) στον άξονα y R = u 0 sin ϕ (u + u 0 cos ϕ) Το µέγιστο βεληνεκές στο ερώτηµα (β) αντιστοιχεί στη γωνία φ που µηδενίζει την πρώτη παράγωγο του R ως προς φ και ταυτόχρονα καθιστά αρνητική τη δεύτερη παράγωγο. Από τη συνθήκη µηδενισµού της πρώτης παραγώγου παίρνουµε τη δευτεροβάθµια εξίσωση ως προς cosφ cos ϕ + u u 0 cos ϕ 1 = 0 µε λύσεις cos ϕ 1, = ± 1 + u ( 4u 0 ) u 4u 0 από τις οποίες η φυσικά αποδεκτή (για 0<φ<90 ο ) είναι αυτή µε το θετικό πρόσηµο, που δίνει cos ϕ 1 = 1 + u ( 4u 0 ) u 4u 0 > 0 Η δεύτερη παράγωγος είναι d R dϕ = u 0 sin ϕ (u + 4u 0 cos ϕ) < 0 επειδή u, u0,, cosφ, sinφ > 0. Εποµένως το ακρότατο του βεληνεκούς στη γωνία φ1 είναι µέγιστο. Στην περίπτωση (γ) το βεληνεκές που βλέπει ο ακίνητος παρατηρητής στη στεριά προκύπτει από την επαλληλία της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης του πλοίου κατά τη διεύθυνση του άξονα x και της κίνησης του βλήµατος στο επίπεδο yz, µε τον άξονα z προσανατολισµένο κάθετα στον άξονα x του πλοίου και προς την κατεύθυνση της βολής, η οποία, ως προς το πλοίο, είναι µια παραβολική βολή σε αυτό το επίπεδο, δηλαδή
ευθύγραµµη οµαλή στον άξονα z και οµαλά επιταχυνόµενη (ελεύθερη πτώση) στον άξονα y R = u 0 sin ϕ Και στις δύο περιτώσεις (α) και (γ), αν αγνοήσουµε την κίνηση του πλοίου (u = 0) η κίνηση του βλήµατος ανάγεται σε συνήθη βολή και το βεληνεκές δίνεται από τη γνωστή σχέση R = u 0 sin ϕ µε µέγιστο στη γωνία φ = 45 ο, στην οποία sinφ = 1. u + u 0 cos ϕ ΘΕΜΑ 3: Ένα εκκρεµές αποτελείται από µάζα m δεµένη σε νήµα αµελητέας µάζας µήκους l χωρίς τριβές. Το εκκρεµές κρατιέται αρχικά µε το νήµα να σχηµατίζει γωνία θ ως προς την κατακόρυφο. Εάν το εκκρεµές αφεθεί ελεύθερο, ποια είναι η τάση του νήµατος όταν το εκκρεµές διέρχεται από την κατακόρυφο; ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Εφαρµόζοντας το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας στην αρχική θέση του εκκρεµούς (µηδενική κινητική ενέργεια) και στην τελική θέση (την επιλέγουµε ως θέση µηδενικής δυναµικής ενέργειας) και χρησιµοποιώντας την υψοµετρική διαφορά µεταξύ των δύο θέσεων h = l (1 - cosθ), βρίσκουµε το µέτρο της τάσης του νήµατος (κατεύθυνση προς τα πάνω) T = (3 cos θ)m Για θ = 0 (το εκκρεµές σε ισορροπία) η τάση γίνεται T = m και απλά εξισορροπεί το βάρος της µάζας m. Για θ > 0 η τάση του νήµατος όταν το εκκρεµές περνά από την κατακόρυφο αυξάνεται όσο µεγαλύτερη είναι η αρχική γωνιακή απόκλιση θ. ΘΕΜΑ 4: Οµογενής τροχαλία µάζας M και ακτίνας R περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα, ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχαλίας και διέρχεται από το κέντρο της Ο. Σώµα µάζας m είναι κρεµασµένο στο άκρο νήµατος αµελητέας µάζας που είναι τυλιγµένο γύρω από την τροχαλία. Βρείτε την επιτάχυνση a της µάζας m καθώς πέφτει προς τα κάτω και την τάση T του νήµατος. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας είναι I = (1/)MR. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Από το νόµο του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση της τροχαλίας και την ευθύγραµµη (κατακόρυφη) κίνηση του αναρτηµένου σώµατος προκύπτει το µέτρο της επιτάχυνσης του σώµατος (κατεύθυνση προς τα κάτω) a = 1 + M/(m) και το µέτρο της τάσης του νήµατος στο σηµείο ανάρτησης του σώµατος (κατεύθυνση προς τα πάνω)
T = M/(m) 1 + M/(m) m Αν η τροχαλία ήταν αβαρής (M = 0) η τάση του νήµατος θα ήταν µηδέν και το σώµα θα εκτελούσε ελεύθερη πτώση (a = ).