ΣΕΤ 2: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 07-8 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΤΟΥ Ε.Α.Π. ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΕΤ : ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΣΤΟ ΕΑΠ ΣΤΗΝ Θ.Ε. ΔΕΟ 3 ΑΚ. ΕΤΗ. 008-06 ΣΕΤ : Οικονομικές συναρτήσεις. Σελ. από 3

ΣΕΤ. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 0 ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΗ ΑΓΟΡΑ 4-3 Συνάρτηση ζήτησης (καταναλωτής) 4 Παραδείγματα συναρτήσεων ζήτησης 7 Συνάρτηση προσφοράς (προµηθευτής ) 8 Συνάρτηση προσφοράς και ζήτησης μετά την επιβολή φορολογίας 9 Πεδίο ορισµού και πεδίο τιµών της συνάρτησης ζήτησης 9 Πεδίο ορισµού και πεδίο τιµών της συνάρτησης προσφοράς 0 Παραδείγματα προσδιορισμού πεδίων ορισμού και τιμών 0 Γραμμικές συναρτήσεις 0 Μη γραμμικές συναρτήσεις ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ-equilibrium) 4- Ισορροπία στην αγορά προϊόντων (Goo market equilibrium) 4 Γραμμικές συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς -παραδείγματα, 5 Ασκήσεις προτεινόμενες προς επίλυση 6 Μη γραμμικές συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς-παραδείγματα 7 Ασκήσεις προτεινόμενες προς επίλυση 9 3 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ (Elaticity) -3 Ποσοστιαία μεταβολή Ελαστικότητα συνάρτησης (ορισμός) Σημειακή ελαστικότητα 4 Ελαστικότητα τόξου 5 Μέση Ελαστικότητα τόξου 5 Ταξινόμηση με βάση την ελαστικότητα 6 Παραδείγματα 6 Ασκήσεις προτεινόμενες για επίλυση 3 4 ΑΛΛΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 34-4 Συνάρτηση µέσου μεγέθους (Average function) 34 Συνάρτηση οριακού µεγέθους (Marginal function) 34 Συνάρτηση ολικού μεγέθους 35 Συνάρτηση παραγωγής (Prouction function) 36 Συνάρτηση συνολικού Κόστους (Total cot function) 37 Συνάρτηση ολικών Εσόδων (Total revenue function) 38 Συνάρτηση κερδών (Profit function) 39 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΙΚΑ 4-53 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ 54-58 7 ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΘΝΙΚΟΥ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ 59 8 ΑΝΑΛΥΣΗ ΝΕΚΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ 60 9 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 6-65 ΣΕΤ : Οικονομικές συναρτήσεις. Σελ. από 3

0. ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Και για τις σημειώσεις αυτές ισχύουν όλα όσα έχουν αναφερθεί στο ΣΕΤ Σε αυτές θα βρείτε όλο το υλικό που χρειάζεται για να αντιμετωπίσετε τις ανάγκες της Θ.Ε. ΔΕΟ 3 και ειδικότερα το μέρος που αναφέρεται στις οικονομικές συναρτήσεις. Η µελέτη τους θα σας βοηθήσει στην επίλυση των αντιστοίχων ασκήσεων των γραπτών εργασιών, και θα σας προετοιμάσει πλήρως για να αντιμετωπίσετε με επιτυχία τις τελικές εξετάσεις. Η δομή της ύλης. Παρουσιάζονται, με σειρά, όλες οι βασικές οικονομικές συναρτήσεις καθώς και οι παραγόμενες από αυτές. Μετά την παρουσίαση κάθε κατηγορίας συναρτήσεων παρατίθενται παραδείγματα ίσως και λυμένες ασκήσεις που βοηθούν στην εμπέδωση των εννοιών και των τεχνικών ανάλυσης, και προτείνονται ασκήσεις προς επίλυση, συνοδευόμενες με τις απαντήσεις των. Μετά την ολοκλήρωση της παρουσίασης του συνόλου της ύλης, παρατίθεται μια ενότητα με ασκήσεις ανακεφαλαίωσης λυμένες υποδειγματικά. Αυτή ακολουθείται από ασκήσεις, με τις απαντήσεις των, προτεινόμενες για επίλυση. Στην τελευταία ενότητα δίνονται τα θέματα μαθηματικών με τις απαντήσεις τους που έχουν δοθεί στις εξετάσεις τα τελευταία τρία ακ. έτη. Στρατηγική μελέτης. Οικονομικές συναρτήσεις. Αυτό είναι το κύριο μέρος της ύλης των Μαθηματικών. Από αυτή την ύλη θα είναι τυα θέματα των εξετάσεων που αναφέρονται στα Μαθηματικά και αντιστοιχούν στο 33 % του συνόλου των θεμάτων και της βαθμολογίας αντίστοιχα. Θα πρέπει να μελετήσετε όλα τα θέματα που παρουσιάζονται. Ωστόσο, αν ο χρόνος σας πιέζει ασφυκτικά, ακολουθείστε προσεκτικά τις οδηγίες και υποδείξεις που θα συναντάτε στο κείμενο, καθώς κάποια θέματα μπορούν να παραλειφθούν, με σχετικά μικρό κόστος σε σχέση μόνο την επίδοση στις τελικές εξετάσεις (στις εργασίες δεν θα τα αποφύγετε). Κατά την μελέτη κάθε ενότητας, θα πρέπει μετά την μελέτη της θεωρίας να μελετήσετε με προσοχή τα παραδείγματα που ακολουθούν, τις ασκήσεις που είναι λυμένες, και να προσπαθήσετε οπωσδήποτε να λύσετε τις ασκήσεις που προτείνονται για λύση. Τέλος θα πρέπει να μελετήσετε τις ανακεφαλαιωτικές ασκήσεις, να προσπαθήσετε να λύσετε τις προτεινόμενες και μετά θα πρέπει να λύσετε τα θέματα των εξετάσεων. ΣΕΤ : Οικονομικές συναρτήσεις. Σελ. 3 από 3

. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΗ ΑΓΟΡΑ Με τον όρο αγορά εννοούμε ένα φυσικό ή νοητό χώρο στον οποίο υπάρχουν δυο μόνο ομάδες ανθρώπων (παίκτες). Η μια ομάδα, αποτελείται από τους προμηθευτές γενικότερα τις επιχειρήσεις (παραγωγοί, έμποροι μεταπωλητές), οι οποίοι διαθέτουν-προσφέρουν προς πώληση τα προϊόντα τους, και η άλλη ομάδα αποτελείται από τους καταναλωτές-αγοραστές που ενδιαφέρονται να αγοράσουν τα προϊόντα. Εμείς εδώ θα περιοριστούμε σε αγορά όπου διακινείται ένα μόνο προϊόν. Μια αγορά στην οποία ο αριθμός των επιχειρήσεων που δραστηριοποιούνται είναι μεγάλος, το διατιθέμενο προϊόν είναι ομοιογενές, και υπάρχει ελευθερία εισόδου και εξόδου των επιχειρήσεων, και όπου κάθε επιχείρηση παίρνει την τιμή ως δεδομένη, (δηλαδή δεν μπορεί να την επηρεάσει), τότε λέμε ότι η αγορά είναι πλήρως ανταγωνιστική Στο εξής με τον όρο αγορά θα εννοούμε μια πλήρως ανταγωνιστική αγορά στην οποία διακινείται ένα μόνο προϊόν, και οι μόνοι παράγοντες που επηρεάζουν την τιμή είναι αυτοί που επιρεάζουν την προσφορά και τη ζήτηση ενώ όλοι οι άλλοι (γνωστοί ή άγνωστοι) παράγοντες παραμένουν αμετάβλητοι. Οι τιμές των αγαθών σε μια τέτοια αγορά προσδιορίζονται από την αλληλεπίδραση των δυνάμεων της ζήτησης και της προσφοράς. Αυτό το παιγνίδι προσφοράς και ζήτησης συνήθως οδηγεί την αγορά στην διαμόρφωση μιας τιμής στην οποία, οι μέν προμηθευτές δέχονται να διαθέσουν το προϊόν τους, οι δε καταναλωτές αντίστοιχα δέχονται να αγοράσουν το διατιθέμενο προϊόν (κατά κάποιο τρόπο μια τιμή κοινής αποδοχής). Σε αυτή την τιμή οι ποσότητες που προσφέρονται από τους προμηθευτές αγοράζονται από τους καταναλωτές. Όταν συμβεί αυτό λέμε ότι η αγορά είναι σε κατάσταση ισορροπίας. Συνάρτηση ζήτησης (καταναλωτής). Η λογική με την οποία συμπεριφέρονται οι καταναλωτές (υποθέτουμε ορθολογικούς καταναλωτές) είναι απόλυτα φυσιολογική. Αυτοί παρατηρούν την τιμή P του προϊόντος στην αγορά και ανάλογα αποφασίζουν για την ποσότητα Q που θα αγοράσουν. Αν η τιμή είναι χαμηλή, (, με όλους τους άλλους παράγοντες σταθερούς) αγοράζουν μεγάλη ποσότητα ενώ όσο η τιμή μεγαλώνει αγοράζουν όλο και μικρότερη ποσότητα. Έτσι δημιουργούν τη δική τους συνάρτηση ζήτησης η οποία σαν συνέπεια αυτής της συμπεριφοράς είναι φθίνουσα συνάρτηση. Παράδειγμα. Τιμή Μονάδας Ζητούμενες Α/Α P μονάδες Q 4 30 7 3 3 9 8 4 3 4 30 Όταν μιλάμε για ένα καταναλωτή τότε αναφερόμστε στην ατομική συνάρτηση ζήτησηε και η συνάρτηση ζήτησης της αγοράς προκύπτει σαν το άθροισμα των ατομικών ΣΕΤ : Οικονομικές συναρτήσεις. Σελ. 4 από 3

Με τα σύμβολα Q, q, ή απλά Q, q (σύμβολα ισοδύναμα) συμβολίζουμε την ποσότητα που αγοράζει ένας καταναλωτής. Με τα σύμβολα P, p ή απλά Ρ, p (σύμβολα ισοδύναμα) συμβολίζουμε την τιμή στην οποία ο καταναλωτής αγοράζει (πληρώνει για να αγοράσει) μία μονάδα από το προϊόν της αγοράς. Ο δείκτης είναι το αρχικό της λέξεως Deman (=ζήτηση), και μας θυμίζει την ζήτηση. H σχέση που συνδέει την ζητούμενη από τον καταναλωτή ποσότητα Q, με την τιμή P στην οποία αγοράζει ο καταναλωτής την μονάδα του προϊόντος προϊόντος ονομάζεται συνάρτηση ζήτησης του καταναλωτή ή απλά συνάρτηση ζήτησης. Η σχέση αυτή μπορεί να είναι άγνωστη αλλά μπορεί να είναι και μια συνάρτηση που προσδιορίζεται από συγκεκριμένο τύπο. Παράδειγμα: Η Q 0 Pείναι μια συνάρτηση ζήτησης. Σύμφωνα με αυτήν αν η τιμή P είναι π.χ. ο καταναλωτής θα αγοράσει Q 0 6μονάδες από το προϊόν, αν η τιμή Pείναι 0 ο καταναλωτής θα αγοράσει Q 0 0 0, δηλαδή δεν θα αγοράσει καμία μονάδα, ενώ αν η τιμή είναι 0 ο καταναλωτής θα αγοράσει Q 0 0 0, δηλαδή αγοράζει όλη την διατιθέμενη ποσότητα Q των 0 μονάδων. Όταν η τιμή P είναι μεγαλύτερη από 0 η ποσότητα που υπολογίζεται από τη συνάρτηση αυτή είναι πάντα αρνητική, που σημαίνει ότι ο καταναλωτής δεν αγοράζει από το προϊόν. Έτσι βλέπουμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι έγκυρη, έχει νόημα όταν 0 P 0οπότε και το Q μεταβάλλεται από το μηδέν μέχρι το 0 δηλαδή 0 Q 0.Αυτό διατυπώνεται λέγοντας ότι η συνάρτηση αυτή, έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [0,0] (δηλαδή P [0,0] ) και πεδίο τιμών το διάστημα [0, 0] (δηλαδή Q [0, 0] ). Στο θέμα αυτό, πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών, θα επανέλθουμε αργότερα και θα το δούμε διεξοδικότερα. Μια άγνωστη συνάρτηση ζήτησης μπορεί να δοθεί σε μορφή πίνακα, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα Μια γνωστή συνάρτηση ζήτησης μπορεί να βρεθεί στις εξής δυο μορφές.. Η ζήτούμενη ποσότητα Q να είναι (εκφράζεται ως) συνάρτηση της τιμής P όπως ακριβώς στο παραπάνω παράδειγμα. Η γενική μορφή είναι Q Q (P ) Αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης μπορούμε, κατά περίπτωση, να παραλείπουμε τους πολλούς δείκτες, και να την γράψουμε και στις παρακάτω απλούστερες μορφές Q Q (P), Q Q(P), Q Q (P), Q Q(P), q q (p) ή q q(p), q f(p) H τιμή P να εκφράζεται σαν συνάρτηση της ζήτούμενης ποσότητας γενική μορφή είναι P P (Q ) ή και στις ισοδύναμες απλούστερες, όπως παραπάνω μορφές, Q π.χ. P 0 0.5Q. Η Η ερμηνεία αυτου θέλει πολύ περισσότερη επεξηγηση, αλλά αυτό ξεφεύγει από τον στοχο αυτών των σημειώσεων ΣΕΤ : Οικονομικές συναρτήσεις. Σελ. 5 από 3

P P (Q), P P(Q), P P(Q), p p(q ), p p(q), p f(q) Οι μορφές Q Q(P),q q(p), P P(Q), p p(q) είναι και οι πλέον συνηθισμένες. Σύμφωνα με την λογική δημιουργίας της,η συνάρτηση ζήτησης είναι φθίνουσα. Όταν δίνεται στη μορφή Q Q(P) είναι φθίνουσα ως προς την τιμή P διάθεσης του προϊόντος, δηλαδή καθώς αυξάνει η τιμή P ο καταναλωτής αγοράζει όλο και λιγότερη ποσότητα Q. Όταν δίνεται στη μορφή P P(Q) είναι φθίνουσα ως προς την ποσότητα Q του προϊόντος. Δηλαδή όταν αγοράζει ποσότητα Qσε τιμή P P(Q ) και αποφάσιζει να αγοράσει ποσότητα Q, Q Q, η τιμή P P(Q ) θα είναι μικρότερη της P, P P. Παρατηρήσεις. Αρνητικές τιμές για τα Q, P δεν έχουν νόημα λόγω της φυσικής των σημασίας διότι εδώ μιλαμε για αγαθά). Δεν έχει νόημα να πούμε ότι αγοράσαμε -5 κιλά μήλα, ούτε έχει νόημα να πούμε ότι αγοράσαμε σε τιμή -4 ευρώ το κιλό. Αυτό είναι σημαντικό για την εύρεση του πεδίου ορισμού και του πεδίου τιμών της συνάρτησης αυτής, ένα θέμα που θα το δούμε παρακάτω.. Όταν έχουμε την συνάρτηση ζήτησης στην μία μορφή, θεωρητικά μπορούμε να την φέρουμε και στην άλλη λύνοντας τη σχέση ως προς την μεταβλητή που θέλουμε. Έτσι αν π.χ. η συνάρτηση ζήτησης είναι στη μορφή P P(Q) και για τις ανάγκες του προβλήματος την θέλουμε στην μορφή Q Q(P) θα λύσουμε την P P(Q) ως προς Q οπότε καταλήγουμε στην μορφή Q Q(P). Η ενότητα που ακολουθεί μπορεί να παραλειηφθεί ως ύλη για τις εξετάσεις Συνάρτηση ζήτησης σε μορφή πίνακα Όταν έχουμε στοιχεία τιμών- ποσότητας σε ένα πίνακα (όπως στο αρχικό παράδειγμα) Παράδειγμα. Α/Α Τιμή Μονάδας Ζητούμενες Σημείο (Q,P) P μονάδες Q στο επίπεδο 4 30 (30,4) 7 3 (3,7) 3 9 8 (8,9) 4 3 4 (4,3) 30 (,30) τι μπορούμε να κάνουμε για να προσδιορίσουμε την συνάρτηση ζήτησης αν την χρειαζόμαστε σε αλγεβρική μορφή. Από αυτά τα στοιχεία δεν είναι δυνατόν να ανακαλύψουμε τον ακριβή νόμο (την σχέση) που συνδέει την ποσότητα με την τιμή. Ωστόσο μπορούμε να φτιάξουμε ένα διάγραμμα αυτών των σημείων ώστε να πάρουμε μια ιδέα πώς συμμεταβάλλονται τα δυο μεγέθη. Ακόμη μπορούμε να προσδιορίσουμε την εξίσωση μιας καμπύλης που περνάει από όλα αυτά τα σημεία (ή από κάποια επιλεγμένα), και να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση αυτής της καμπύλης ως συνάρτηση ζήτησης της αγοράς. Εξαίρεση του κανόνα αυτού αποτελούν τα αγαθά Giffen) τα οποία θα σας απασχολήσουν στην Μικροοικονομία Αυτό δεν είναι πάντα δυνατόν να γίνει, αλλά και όταν γίνεται δεν είναι πάντα εύκολο, και σε πολλές περιπτώσεις δεν είναι και αναγκαίο. ΣΕΤ : Οικονομικές συναρτήσεις. Σελ. 6 από 3

Δείτε πως απεικονίζονται τα σημεία ( Q, P ) στο επίπεδο, καθώς και την εικόνα προσεγγιστικής καμπύλης ΤΤιμή P Διάγραμμα Σημείων (Q,P) 35 30 5 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 5 Ποσότητα Q Σειρά 35 Προσεγγιστική καμπύλη Τιμή P 30 5 0 5 0 5 Σειρά 0 4 8 3 0 Ποσότητα Q Παραδείγματα συναρτήσεων ζήτησης (i) Aν η συνάρτηση ζήτησης είναι στην μορφή P 0.5Q, δηλαδή η τιμή P είναι συνάρτηση της ποσότητας Q τότε λύνοντας την P 0.5Q την παίρνουμε στην μορφή Q Q(P). P P P 0.5Q 0.5Q P Q Q Q 4 P 0.5 0.5 0.5 (ii) q 9 0.5p, με 0 p 8. Αυτή είναι στην μορφή q=q(p), η ποσότητα είναι συνάρτηση της τιμής. Λύνοντας ως προς p παίρνουμε την συνάρτηση ζήτησης στη μορφή p 8 q, με 0 q 9. ΣΕΤ : Οικονομικές συναρτήσεις. Σελ. 7 από 3

(iii Αν q 9 p, 0 p 3 (το p 0πρέπει να είναι σε αυτό το διάστημα ώστε το qνα είναι θετικό). Και αυτή είναι στην μορφή q=q(p), και αν την λύσουμε παίρνουμε την p 9 q, με 0 q 9, για να έχει νόημα η τετραγωνική ρίζα. Σχόλιο. Η συνάρτηση ζήτησης στη μορφή p f(q), όπου η τιμή p εκφράζεται σαν συνάρτηση της ποσότητας q (η ποσότητα είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή), φαίνεται λίγο αταίριαστη, με την έννοια που έχουμε για τη συνάρτηση διότι, ο καταναλωτής ενεργόντας λογικά πρώτα κοιτάζει την τιμή και μετά αποφασίζει τι ποσότητα θα αγοράσει, δηλαδή η έκφραση q g(p) μας έρχεται πιο φυσιολογική. Εν τούτοις για ιστορικούς λόγους έχει επικρατήσει στις τάξεις των οικονομολόγων και είναι δημοφιλής η μορφή p f(q). Έτσι, έχει παγιωθεί η κατάσταση, και όταν φτιάχνουμε το γράφημα μιας συνάρτησης ζήτησης στον οριζόντιο άξονα να τοποθετούμε την ποσότητα q και στο κάθετο την τιμή p. Συνάρτηση προσφοράς (προμηθευτής -παραγωγός). Αυτοί ενεργούν ακριβώς ανάποδα από τους καταναλωτές. Παρατηρούν την τιμή του προϊόντος στην αγορά, και αν αυτή είναι χαμηλή διαθέτουν (ρίχνουν στην αγορά) μικρή ποσότητα του προϊόντος ενώ αν αυτή είναι υψηλή διαθέτουν (ρίχνουν στην αγορά) μεγαλύτερη ποσότητα. Μια σχέση που συνδέει την ποσότητα Q, q, Q, q (ισοδύναμα σύμβολα) ενός προϊόντος που διαθέτουν οι προμηθευτές (παραγωγοί- upplier ) στην αγορά όταν παρατηρούν ότι η τιμή διάθεσης του προϊόντος στην αγορά είναι P, P, p p (ισοδύναμα σύμβολα) ονομάζεται συνάρτηση προσφοράς του προμηθευτή ή και απλά συνάρτηση προσφοράς. Ο δείκτης είναι το αρχικό της λέξης upplier (=προμηθευτής). Η συνάρτηση αυτή γράφεται σαν Q Q (P ), ή P Q (Q ) Και για αυτή τη συνάρτηση έχουμε απλούστερες μορφές με δίκτες ή απαλλαγμένες από τους δείκτες ανάλογα με την περίπτωση και τις ανάγκες ανάλυσης π.χ. Q Q(P), Q Q (P), q f(p), Q Q(P ), P P(Q ), P Q (Q), p f(q) κ.λπ. Αντί του Q συχνά χρησιμοποιείται και το σύμβολο S (από το αρχικό της λέξης upply) για τον προμηθευτή οπότε έχουμε τη συνάρτηση με τον συμβολισμό S S(P) ή P S(S). Και αυτή η συνάρτηση μπορέι να δοθεί σε μορφή πίνακα Σύμφωνα με την λογική δημιουργίας της, η συνάρτηση προσφοράς είναι αύξουσα. Συγκεκριμένα, όταν δίδεται στην μορφή Q Q(P) είναι αύξουσα ως προς P ενώ όταν δίδεται στην μορφή P P(Q) είναι αύξουσα ως προς Q. Παράδειγμα. Q 4PS ή Q 4P ήq 4P ήq 4P ή q 4 p Μη αρνητικό, και αυτό απαιτεί την επίλυση της ανισότητας q 0 9 p 0 Από μαθηματική άποψη προέρχεται από την μεγιστοποίηση των κερδών. ΣΕΤ : Οικονομικές συναρτήσεις. Σελ. 8 από 3

ή αν την λύσουμε ως προς την τιμή P 0.5 0.5Q ή P 0.5 0.5Q ή P 0.5 0.5Qκ.λ.π. Συνάρτηση προσφοράς (προμηθευτής) και ζήτησης μετά την επιβολή φορολογίας Όταν οι παραγωγοί- προμηθευτές-πωλητές δημιουργούν την συνάρτηση προσφοράς παρατηρούν, όχι μόνο τι εισπράττουν από την πώληση μιας μονάδας του προϊόντος που διαθέτουν, αλλά τι τελικά μένει στην τσέπη τους, και αυτό διότι ενδέχεται να υπάρχουν και φόροι που επιβάλλονται στην τιμή του προϊόντος, τους οποίους ο προμηθευτής εισπράττει και αποδίδει στο κράτος. Έτσι Όταν στην τιμή p πώλησης της μονάδας του προϊόντος επιβάλλεται φορολογία t χρηματικών μονάδων, για να προχωρήσουμε στην όποια περαιτέρω ανάλυση πρέπει να κάνουμε τα εξής. Αν πριν την φορολογία η συνάρτηση προσφοράς είναι στην μορφή q σε q f (p t) και αν είναι στην μορφή δηλαδή όπου p θα πρέπει να βάλλουμε p-t. Η συνάρτηση ζήτησης q q(p) (καταναλωτής) παραμένει αμετάβλητη. p f(p) θα πρέπει να την αλλάξουμε h(q) θα πρέπει να την αλλάξουμε σε p t h(q), Αυτό συμβαίνει διότι όταν επιβάλλεται φορολογία t ν.μ. στην τιμή του προϊόντος, o παραγωγόςπρομηθευτής από την τιμή p που εισπράττει πληρώνει φόρο t και έτσι βάζει στην τσέπη του μόνο p-t χρηματικές μονάδες και με αυτή την τιμή αυτός διαμορφώνει τη συνάρτηση προσφοράς. Ο καταναλωτής κοιτάζει μόνο την τιμή p στην οποία αγοράζει το προϊόν και δεν τον ενδιαφέρει αν αυτή περιέχει φόρους ή και όποιες άλλες επιβαρύνσεις, και με αυτήν διαμορφώνει την συνάρτηση ζήτησης, Επισήμανση. Δώστε προσοχή, η επιβολή φορολογίας αποτελεί προσφιλές θέμα εξετάσεων. Πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών των συναρτήσεων ζήτησης και προσφοράς. Όταν γράφουμε οποιαδήποτε από τις δυο αυτές συναρτήσεις είναι απαραίτητο να δώσουμε και το πεδίο ορισμού αυτών. Επίσης είναι χρήσιμο να μπορούμε να βρούμε και το πεδίο τιμών αυτών. Πιό πάνω είδαμε ένα παράδειγμα. Πως όμως μπορούμε να βρούμε αυτά τα πεδία; Αυτό γίνεται βασιζόμενοι στις ιδιότητες που πρέπει να έχουν αυτές οι δυο συναρτήσεις και τους φυσικούς περιορισμούς που υπάρχουν για τα μεγέθη Q, P που δεν μπορεί να είναι αρνητικά. Η ανάλυση απαιτεί την χρήση στοιχειωδών μαθηματικών, που συνήθως συνίστανται στην επίλυση πολύ απλών ανισοτήτων, όπως θα δούμε και στα παραδείγματα που ακολουθούν. Πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών της συνάρτησης ζήτησης Πεδίο ορισμού Αν Q Q(p) είναι μια συνάρτηση ζήτησης τότε το πεδίο ορισμού αυτής βρίσκεται με την επίλυση, των τριών ανισοτήτων. Q 0, p 0, Q 0 p {ή P 0 q αν είναι στην μορφή P P(q) } και την εύρεση του διαστήματος (ή των διαστημάτων αν υπάρχουν περισσότερα από ένα) στα οποία αυτές συναληθεύουν. Μπορούμε να ακριβώς τις αντίθετες αλλαγές, όμως μη μπλέκεται τα πράγματα. ΣΕΤ : Οικονομικές συναρτήσεις. Σελ. 9 από 3

Η πρώτη και η δεύτερη εξασφαλίζουν ότι η ζητούμενη ποσότητα και η τιμή δεν θα είναι αρνητικές ενώ ή τελευταία εξασφαλίζει ότι η Q Q(p) θα είναι φθίνουσα, ιδιότητα που πρέπει να έχει η συνάρτηση ζήτησης. Πεδίο τιμών. Αν το πεδίο ορισμού είναι το διάστημα [p,p ], τότε το πεδίο τιμών θα έχει άκρα τις τιμές q Q(p ), q Q(p ) ( q q ) και θα είναι το [q,q ]. Ανάλογα εργαζόμαστε με την P P(q). Πεδίο ορισμού και τιμών της συνάρτησης προσφοράς Πεδίο ορισμού. Για την εύρεση του πεδίου ορισμού της συνάρτησης προσφοράς λύσουμε τις ανισότητες. Q 0, p 0 Q 0 p (ή P q 0 αν είναι στην μορφή P Q Q(p) πρέπει να P(q) _ και να βρούμε το διάστημα στο οποίο αυτές συναληθεύουν. Η πρώτη και δεύτερη εξασφαλίζουν ότι η προσφερόμενη ποσότητα και η τιμή θα είναι θετικές, και η τρίτη εξασφαλίζει ότι η Q Q(p) θα είναι αύξουσα, όπως πρέπει να είναι η συνάρτηση προσφοράς. Πεδίο τιμών. Αν το πεδίο ορισμού είναι το διάστημα [p,p ], τότε το πεδίο τιμών θα έχει άκρα τις τιμές q Q(p ), q Q(p ) ( q q ) και θα είναι το [q,q ]. Ανάλογα εργαζόμαστε με την P P(q). Σχόλιο. Για την εύρεση του πεδίου ορισμού και του πεδίου τιμών γραμμικών συναρτήσεων ζήτησης και προσφοράς δεν χρειάζεται να καταφύγουμε στις παραγώγους οι συναρτήσεις αυτές διότι αυτές είναι μονότονες, αύξουσες ή φθίνουσες. Παραδείγματα προσδιορισμού πεδίων ορισμού και τιμών Θα δούμε τώρα με παραδείγματα πως προσδιορίζουμε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών μιας οικονομικής συνάρτησης, αφού τις χωρίσουμε σε δυο μεγάλες κατηγορίες. Γραμμικές συναρτήσεις p q ή q p.. Μπορεί η p 0 q, να είναι συνάρτηση ζήτησης ή προσφοράς. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών αυτής. Λύση Με μια ματιά διαπιστώνουμε ότι αυτή είναι φθίνουσα ως προς q, (το επιβεβαιώνουμε και με την παράγωγο p 0 ότι η pείναι φθίνουσα ως προς q). Αρα μπορεί να είναι συνάρτηση q ζήτησης (καταναλωτής). Το πεδίο ορισμού βρίσκεται αν λύσουμε την ανισότητα p 0 δηλαδή την 0 q 0από την οποία προκύπτει q 5 και επειδή πρέπει να έχουμε και q 0, προκύπτει ότι 0 q 5, δηλαδή το πεδίο ορισμού είναι το διάστημα [q,q ] [0,5]. Η προσέγγιση είναι έγκυρη όταν το πεδίο ορισμού είναι ένα μόνο ένα διάστημα και όχι σύνολο διαστημάτων. Αυτό όμως δεν πρόκειται να συμβεί σε θέματα της ΔΕΟ 3, άρα δεν ανησυχούμε. ΣΕΤ : Οικονομικές συναρτήσεις. Σελ. 0 από 3

Για το πεδίο τιμών υπολογίζουμε τις τιμές της p 0 q για q =0 και q =5 που είναι p =0 και p =0, οπότε το πεδίο τιμών είναι το διάστημα [0,0]. Εναλλακτικά, μπορούμε να βρούμε το πεδίο τιμών αν λύσουμε την p 0 q ως προς q οπότε παίρνουμε q 5 0.5p και στην συνέχεια λύνουμε την ανισότητα q 0, οπότε προκύπτει p 0. Αυτό συνδυάζεται με την απαίτηση p 0 και προκύπτει το πεδίο τιμών που είναι το διάστημα 0 p 0.. Μπορεί η q.5p να είναι συνάρτηση ζήτησης ή προσφοράς. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών αυτής. Λύση Προφανώς η συνάρτηση είναι αύξουσα (επιβεβαίωση προσφοράς. q.5 0), άρα μπορεί να είναι συνάρτηση p Πεδίο ορισμού. q 0 q.5p 0.5p p ( /.5) p 0.4.Αυτή η p 0.4και η p 0 συναληθεύουν όταν p 0.4 άρα το πεδίο ορισμού είναι το διάστημα [0.4, ) Πεδίο τιμών. Από την q.5p για τις τιμές p=0.4 βρίσκουμε Q=0 και όταν p τότε Q οπότε το πεδίο τιμών είναι [0, ). Εναλλακτικά. Λύνουμε την q.5p ως προς p. q.5p.5p q p (q ) /.5 p 0.4q 0.4 και στην συνέχεια λύνουμε την ανισότητα p 0.4q 0.4 0 0.4q 0.40 q. Αυτή q και q 0 συναληθεύουν όταν q 0 άρα το πεδίο τιμών είναι το διάστημα [0, ). 3. Σε μια αγορά ξέρουμε ότι αν η τιμή p είναι η ποσότητα q που προσφέρεται από τους παραγωγούς είναι 5, ενώ αν η τιμή p είναι 4 η ποσότητα q που προσφέρεται είναι 3. Να βρεθεί η συνάρτηση προσφοράς όταν είναι γνωστό ότι αυτή είναι γραμμική. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού και τιμών. Αυτής. Λύση Η γενική μορφή της γραμμικής συνάρτησης είναι q p, α,β παράμετροι. Για να προσδιορίσουμε τα α, β χρειαζόμαστε δυο ζεύγη τιμών (p, q), τα οποία θα πρέπει να αντικαταστήσουμε στην συνάρτηση και εν συνεχεία θα πρέπει να επιλύσουμε το προκύπτον σύστημα. Από τα δεδομένα έχουμε (p,q ) (,5) και (p,q ) (4,3). Αν αντικαταστήσουμε τις τιμές αυτές στην q p παίρνουμε το σύστημα των εξισώσεων 5 και 3 4 Από την 5 παίρνουμε 5 και αν αντικαταστήσουμε αυτό το β στην η έχουμε 3 4 5. Η λύση αυτής είναι 3 5 3 5 8 4, οπότε 5 4 3. Άρα η συνάρτηση είναι η q 3 4p. 3 Εύκολα μπορείτε να βρείτε και τα πεδία που είναι. Ορισμού [, ) και τιμών [0, ) 4 Εναλλακτικά (και πιο εύκολα). Αφού ξέρουμε ότι η ζητούμενη συνάρτηση είναι γραμμική, δηλαδή ευθεία, και περνά από τα δυο σημεία (p,q ) (,5) και (p,q ) (4,3) μπορούμε να βρούμε την εξίσωση αυτής από τον τύπο της ευθείας y y y y ( x x ), a (βλέπε τυπολόγιο Μαθηματικών, εξίσωση ευθείας). x x ΣΕΤ : Οικονομικές συναρτήσεις. Σελ. από 3

Σχόλιο Στις οικονομικές συναρτήσεις δεν δίνουμε ιδιαίτερη σημασία αν το διάστημα ορισμού και τιμών είναι, κλειστό [α,β] ανοικτό (α,β), ανοικτό αριστερά κλειστό δεξιά (α,β], κλειστό αριστερά ανοικτό δεξιά [α,β], αρκεί το. όταν πρέπει να είναι ανοικτό από δεξιά Μη γραμμικές συναρτήσεις Παράδειγμα Για τη συνάρτηση p p(q) q 5q 4 να βρεθεί το διάστημα στο οποίο μπορεί να μεταβάλλεται το q, ώστε αυτή να μπορεί να είναι συνάρτηση ζήτησης (εναλλακτική διατύπωση, να βρεθεί το πεδίο ορισμού αυτής αν μας δίνεται ότι αυτή είναι συνάρτηση ζήτησης). Λύση Για να είναι συνάρτηση ζήτησης πρέπει q 0 και ακόμη να είναι φθίνουσα. Η παράγωγός της είναι {p(q)}' q 5και είναι αρνητική όταν q 5 0 ή q.5 Άρα η p q 5q 4είναι φθίνουσα στο διάστημα q.5 (και αύξουσα στο q.5 Οι δυο παρπάνω συνθήκες ισχύουν όταν 0 q.5.. Αν θέσω p f (q) q 5q 4 θα πρέπει ακόμη να έχουμε καιf(p) 0 δηλαδή. ) q 5q 4 0. Για να επιλύσουμε αυτή την ανισότητα βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου f (p), που είναι οι q και q 4. Ο συντελεστής του q στο τριώνυμο f(q) είναι α=>0. Άρα το f (p) q 5q 4 είναι θετικό (ομόσημο με το α) στα διαστήματα εκτός των ριζών του, που είναι τα q ή q 4, (και αρνητικό στο διάστημα q 4,εντός των ριζών). P 4 3 Φθίνουσα (καταναλωτής) Αύξουσα (παραγωγός Ο.5 3 4 Q Για να ισχύουν οι τρείς προυποθέσεις που απαιτούνται για την συνάρτηση ζήτησης πρέπει. 0 q.5 και q ή q 4. Οι ανισότητες 0 q.5 και q συναληθεύουν όταν 0 q. Οι 0 q.5και q 4 δεν συναληθεύουν. Έτσι καταλήγουμε ότι για να είναι η p q 5q 4 συνάρτηση ζήτησης πρέπει 0 q δηλαδή το πεδίο ορισμού της να είναι το σύνολο [0,] στο οποίο αυτή είναι θετική και φθίνουσα. Για q=0 ή βρίσκουμε ότι p=4 ή p=0 αντίστοιχα οπότε το πεδίο τιμών είναι το διάστημα [0,4]. Δυο ξένα διαστήματα όπου στο κάθε από αυτά επαληθεύεται η ανισότητα q 5q 4 0. Η 0 q.5 πρέπει να εξετασθεί με κάθε μία από τις ανισότητες q, q 4 ΣΕΤ : Οικονομικές συναρτήσεις. Σελ. από 3

Τα ευρήματα από την λύση επαληθεύονται από το γράφημα της p q 5q 4 Σχόλιο. Η ίδια συνάρτηση p q 5q 4 μπορεί να σταθεί και σaν συνάρτηση προσφοράς, αν ορισθεί κατάλληλα το πεδίο ορισμού της, δηλαδή το πεδίο μεταβολής του q. Για να κατανοήσετε καλύτερα και μια για πάντα το θέμα, πεδίο ορισμού και τιμών σε σχέση με τις οικονομικές συναρτήσεις για την συνάρτηση αυτού του παραδείγματος προσδιορίστε το πεδίο ορισμού ώστε αυτή να είναι συνάρτηση προσφοράς και βρείτε και το πεδίο τιμών αυτής. Επιβεβαιώστε τα παραπάνω αποτελέσματα με αναφορά στο γράφημα της p q 5q 4, που δίδεται στο σχήμα. Πριν κλείσουμε αυτή την ενότητα, θα πρέπει να επισημάνουμε ότι σε κάθε οικονομική συνάρτηση - οικονομικό μοντέλο, οι παράμετροι που μπορεί να υπάρχουν στο μοντέλο παραμένουν αμετάβλητες για όλη την περίοδο που υποθέτουμε ότι ισχύει το μοντέλο. Επίσης, οι μεταβλητές που, σύμφωνα με τη θεωρία, επηρεάζουν μεν το μέγεθος που μελετάμε, αλλά δεν περιλαμβάνονται ρητά στο μοντέλο, υποτίθεται ότι παραμένουν αμετάβλητες και σιωπηρά ενσωματώνονται στο σταθερό όρο της συναρτήσεως. Για παράδειγμα, από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι το εισόδημα του καταναλωτή επηρεάζει θετικά τη ζητούμενη ποσότητα ενός κανονικού αγαθού. Επειδή, όμως, χάριν απλότητας, συχνά δεν συμπεριλαμβάνουμε ρητά το εισόδημα ως μία επιπλέον μεταβλητή στη συνάρτηση ζητήσεως, αυτό συμπεριλαμβάνεται σιωπηρά στο σταθερό όρο. Συνεπώς, όταν υπάρχει η πληροφορία ότι το εισόδημα π.χ. αυξήθηκε, τότε η συνάρτηση ζητήσεως μετατοπίζεται παράλληλα προς τα δεξιά. Το πλήρες υλικο αποτελαίται από 68 δατκλυλογραφημένες σελίδες και διατίθεται μόνο στους φοιτητές μας ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΣ τ. Καθηγητής Μαθηματικού Τμήματος Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Τηλ. 650-3560 Κιν 6944707939 Email: papachr@cc.uoi.gr Ιστοσελίδα: http://uer.uoi.gr/papachr http://www.eo3eap.eu/ ΣΕΤ : Οικονομικές συναρτήσεις. Σελ. 3 από 3