Μονοτονία - Ακρότατα Αντίστροφη Συνάρτηση
|
|
- Ἄγγελος Παπάζογλου
- 9 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ f < f με < ισχύει: Γνησίως φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με < ισχύει: f > f Οι γνησίως αύξουσες και οι γνησίως φθίνουσες συναρτήσεις γενικά λέγονται γνησίως μονότονες. Όταν λέμε ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα) και δεν αναφέρεται το διάστημα, θα εννοούμε ότι είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Αποδεικνύεται ότι η μονοτονία των συναρτήσεων ακολουθεί κάποιους κανόνες όσον αφορά τις πράξεις και τη σύνθεση μεταξύ των συναρτήσεων. Έτσι, για παράδειγμα, αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως αύξουσες (φθίνουσες) και η συνάρτηση f +g είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα). Αν οι συναρτήσεις f,g είναι γνησίως αύξουσες σ ένα διάστημα Δ και f(), g() > 0 για κάθε Δ τότε και η συνάρτηση f. g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Ακρότατα συνάρτησης Για μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο o Α (ολικό) μέγιστο, το f ( 0 ), όταν ισχύει : f f( 0 ), για κάθε Α. Παρουσιάζει στο o Α (ολικό) ελάχιστο, το f ( 0 ), όταν ισχύει : f f( 0 ), για κάθε Α. Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται ακρότατα. Είναι φανερό ότι μία συνάρτηση μπορεί να μην έχει ακρότατα. Αν το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι κλειστό διάστημα, τα άκρα του είναι τα ακρότατα της συνάρτησης
2 58. Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση Συνάρτηση Μια συνάρτηση λέγεται (ένα προς ένα) στο πεδίο ορισμού της αν όταν και μόνον όταν για οποιαδήποτε, του πεδίου ορισμού της με έπεται f f. Συνέπεια του ορισμού είναι η πρόταση: Μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, του πεδίου ορισμού της f = f ισχύει: = με Αν μια συνάρτηση είναι, τότε σε κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της αντιστοιχεί ένα μόνο στοιχείο του πεδίου ορισμού της.γραφικά αυτό σημαίνει ότι κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα ', δηλαδή της μορφής y = α, τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο Δ συμπεραίνουμε ότι είναι και - στο Δ (επειδή λαμβάνει κάθε τιμή της ακριβώς μια φορά). y y o o Το αντίστροφο δεν ισχύει, για παράδειγμα οι παραπάνω συναρτήσεις είναι - αφού κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τις γραφικές τους παραστάσεις το πολύ σε ένα σημείο και όμως δεν είναι γνησίως μονότονες. Αντίστροφη συνάρτηση Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α και σύνολο τιμών f(a) η οποία είναι - στο Α. Ορίζεται τότε η συνάρτηση f - με πεδίο ορισμού f(a) και σύνολο τιμών A και ισχύει η ισοδυναμία: f = y = f ( y) Η f - λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f. Σύμφωνα με τον τρόπο που ορίζεται η αντίστροφη μιας συνάρτησης f, έχουμε ότι: i. To πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης f είναι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, και ii. Tο σύνολο τιμών της f είναι το πεδίο ορισμού Α της f. iii. Οι συναρτήσεις f και f έχουν το ίδιο είδος γνήσιας μονοτονίας. H σύνθεση δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι η ταυτοτική συνάρτηση. Έτσι, αν f είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση,με πεδίο ορισμού Α και σύνολο τιμών f(a) ισχύουν : ( ) f f =, για κάθε A f f ( y) = y, για κάθε y f( A)
3 Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση 59. Οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστρoφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, δηλαδή την ευθεία με εξίσωση y =. Αποτέλεσμα αυτού, είναι ότι οι εξισώσεις : f f,f f = ) είναι = = ή ( ισοδύναμες στο σύνολο A f ( A),όπου Α το πεδίο ορισμού της f μόνο όταν η f (ή f ) είναι γνησίως αύξουσα. (Βλέπε στις λυμένες ασκήσεις, άσκηση 9) Αν γνωρίζουμε δε, τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, μπορούμε να σχεδιάσουμε και τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της. Σχόλιο: Μια συνάρτηση μπορεί να μην αντιστρέ-φεται στο πεδίο ορισμού της άλλά σε ένα υποσύνολο του π.χ. f() = δεν αντιστρέφεται στο R (όχι ) όμως αντιστρέφεται στο (,0) και στα διαστήματα (0, + ) και ( ). Β. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία Μέθοδος Για να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη εργαζόμαστε ως εξής : Θεωρούμε τυχαία, A με < και προσπαθούμε να "δημιουργήσουμε" μια ανισοτική σχέση μεταξύ των f και f ( ). Αν καταλήξουμε σε f f είναι γνησίως αύξουσα στο Α, ενώ αν αν καταλήξουμε σε f( ) f( ) φθίνουσα στο Α. Παράδειγμα 4- f = + και g = Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με τύπους : Να εξεταστούν ως προς τη μονοτονία. Το πεδίο ορισμού της f είναι το R. Έστω, Rμε <. Τότε < < + < + f( ) < f( ) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Το πεδίο ορισμού της g είναι τα R για τα οποία ισχύει 4 0 Είναι οπότε A g = (,4]. < η f > η f είναι γνησίως
4 60. Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση Έχουμε: Κατηγορία, Μέθοδος (,4] µε < 4 > 4 4 > 4 Έστω 4μια συνάρτηση 4 f με y = f ορισμένη στο διάστημα Δ. > g > g f f που Βρίσκουμε σημαίνει ότι το η πρόσημο g είναι γνησίως του λόγου φθίνουσα λ = στο διάστημα με A, g = (,4]. Δ και Αν λ > 0 η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν λ < 0 η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Αν λ = 0 η συνάρτηση είναι σταθερή στο Δ. Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f με f Πρέπει + 0. =. Να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία. + Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Α = ( ) ( + ) f,, Έστω, Α f με (χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι < ). Είναι : λ f( ) f( ) = = = Για < < είναι + < 0 και + < 0 οπότε λ > 0. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ). Αν < < τότε + > 0 και + > 0 οπότε λ > 0. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, + ). Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα που αποτελούν το πεδίο ορισμού της. Δεν μπορούμε όμως να ισχυριστούμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της αφού για παράδειγμα απο - 4 < παίρνουμε f ( - 4 ) = 6 > f ( ) =. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα κατά διαστήματα. Κατηγορία Μέθοδος Για να προσδιορίσουμε τα ακρότατα μιάς συνάρτησης (αν έχει τέτοια) εργαζόμαστε ως εξής : f A = k,λ είναι Προσδιορίζουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. Αν για παράδειγμα [ ] το σύνολο τιμών της συνάρτησης το k είναι το ελάχιστο και το λ το μέγιστο, ενώ αν f ( A ) = [k, + ) ή[k,λ) το κ είναι το ελάχιστο της συνάρτησης ενώ η συνάρτηση δεν έχει μέγιστο. Ανάλογα ισχύουν όταν f ( A ) = (,λ] ή ( κ,λ ] ή.... Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : υπάρχουν). f = +.Να προσδιορίσετε τα ακρότατα της f (αν
5 Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση 6. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Πρέπει 0. Άρα Α f = (,] f για Επομένως : κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το f( A ) [, ) έχει ελάχιστη τιμή το για =. = + και επειδή f() = η συνάρτηση Κατηγορία Μέθοδος 4 Για να δείξουμε, ότι μία συνάρτηση είναι -:. Δεχόμαστε ότι f f δείχνουμε, ότι f( ) f( ) = και δείχνουμε, ότι = ή δεχόμαστε ότι και. Αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη.. Δείχνουμε ότι η εξίσωση f() = y έχει μοναδική λύση ως προς για κάθε y που ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης f. 4. Εκμεταλλευόμαστε την γραφική παράσταση (αν είναι γνωστή). Παράδειγμα 4 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f = είναι -. + Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R - { - }. Έχουμε: Για κάθε, Αf με: f = f = ( + ) = ( + ) = + = Επομένως η f είναι - στο πεδίο ορισμού της. Παράδειγμα 5 Δίνεται η συνάρτηση f με Κατηγορία Μέθοδος 5 Για να προσδιορίσουμε την αντίστροφη μια συνάρτησης f κάνουμε τα εξής βήματα: i. Προσδιορίζουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii. Δείχνουμε ότι η f είναι -, άρα αντιστρέψιμη. iii. Θέτουμε y = f() και λύνουμε ως προς για να βρούμε τον τύπο της αντίστροφης. Οι περιορισμοί για το y που τυχον θα προκύψουν μας δίνουν το σύνολο τιμών της συνάρτησης f που είναι και το πεδίο ορισμού της αντίστροφης f. f e Είναι A f = R. Εξετάζουμε αν η f είναι -. =. Nα βρεθεί η αντίστροφή της f (εφόσον υπάρχει).
6 6. Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση Για κάθε, R με f = f e = e e = e = Άρα η f είναι - και συνεπώς ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση αυτής. Για να βρούμε τον τύπο της αντίστροφης λύνουμε την εξίσωση y = f () y+ Eίναι : y = f y = e e = () Επειδή e > 0 πρέπει τύπος της αντίστροφης είναι Κατηγορία Μέθοδος 6 Επίλυση εξισώσεων y+ y+ > 0 y >. Έτσι η () γίνεται = ln µε y > και ο f = ln µε >. + Αν η f είναι - ισχύει η ισοδυναμία f( g( λ) ) = f( h( λ) ) g( λ) = h( λ) Επίλυση ανισώσεων Αν η f είναι γνησίως μονότονη ισχύει η ισοδυναμία g ( ) < f( h( λ) ) ( λ ) < g( λ) > f g λ h λ αν η f είναι γνησίως αύξουσα h λ αν η f είναι γνησίως φθίνουσα Παράδειγμα 6 Έστω f = α, με 0 < α < και R. i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. ii. Να λυθεί η εξίσωση λ λ λ α + λ = α + λ λ. α > α = + είναι γνησίως φθίνουσα στο R διότι αν < τότε > οπότε i. Η f α α > α f > f λ ii. Η εξίσωση λ λ λ α + λ = α + λ λ λ λ α λ λ α ( λ ) ( ) = ( ) f λ λ f λ = Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R είναι και - στο R οπότε: = ( ) = λ λ λ λ λ λ λ λ = 0 λ = ή λ = Κατηγορία Μέθοδος 7 Εύρεση του τύπου της αντίστροφης f όταν γνωρίζουμε μια συναρτησιακή σχέση για την f.
7 Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση 6. Παράδειγμα 7 Δίνεται f :R R που ικανοποιεί τη σχέση f + f + = 0 (), για κάθε R. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f. Έστω f( ) = f( ) τότε f ( ) f( ) + = () f + f = =. Άρα η f είναι - στο R οπότε αντιστρέφεται. Έστω f = y η εξίσωση γίνεται y + y+ = 0 =y y, y R. f Άρα. =, R Παράδειγμα 8 Για την f :R R ισχύουν τα παρακάτω: i. f( R) = R, ii. f ( α + βy) = αf + βf ( y),, y R (), iii. Η f είναι - στο R. Να δείξετε ότι f ( α βy) αf βf ( y) + = +. Στη σχέση (), θέτουμε όπου, f και όπου y, f ( y) οπότε έχουμε: ( ) ( ) ( ) f αf + βf y = αf f + βf f y = α + βy (αφού ( f f ) = και f( f ( y) ) = y για κάθε, y R ). Επομένως ( f f αf βf ( y) ) f + = α + βy αf βf ( y) f ( α βy) Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ + = +. Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f με f = + ln. Να εξετασθεί ως προς τη μονοτονία. Το πεδίο ορισμού της f είναι το (0, + ). Έστω 0< < () και επειδή η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ) έχουμε ln < ln ( ). Προσθέτοντας κατά μέλη τις () και () παίρνουμε : + ln < + ln που σημαίνει ότι f( ) f <. Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Άσκηση Να εξετασθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f με f Το πεδίο ορισμού της f είναι το R αφού e = e +. e + > 0, για κάθε R.
8 64. Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση e e f e e f Είναι: λ e e = = + + = Αν < τότε και e < e e e > 0, οπότε είναι λ > 0 και η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο R. f Να δείξετε ότι η συνάρτηση g = e + f + είναι γνησίως αύξουσα στο R. Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R ισχύει: f < f (), για κάθε, R με < Η συνάρτηση e είναι και αυτή γνησίως αύξουσα και επειδή είναι f( ) f( ) f( ) f( ) e < e () Προσθέτουμε τις () και () κατα μέλη και έχουμε : < θα είναι και f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + < < + + < e f e f e f e f g g Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο R. Άσκηση 4 α. Να δείξετε ότι μια γνησίως μονότονη συνάρτηση f έχει το πολύ ένα σημείο μηδενισμού στο πεδίο ορισμού της f και να δώσετε γεωμετρική ερμηνεία του συμπεράσματος. β. Να λυθεί η εξίσωση +4 =5 () α. Μια γνησίως μονότονη συνάρτηση f είναι -, που σημαίνει ότι, για κάθε, με ισχύει f f. Aν η f έχει δύο σημεία μηδενισμού, έστω,, με τότε f = f = 0,που είναι άτοπο. Επομένως η f έχει το πολύ ένα σημείο μηδενισμού στο πεδίο ορισμού της και αυτό γεωμετρικά σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα ' το πολύ σε ένα σημείο. β. Η εξίσωση () έχει προφανή λύση την = αφού +4 =5. Έχουμε: = 5 + = + = Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση g = γνησίως φθίνουσα. 4 4 Είναι < > () και < > επειδή 5 0 για κάθε R., R και θα δείξουμε ότι η g είναι ()
9 Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση 65. διότι η συνάρτηση α με 0 < α < είναι γνησίως φθίνουσα. Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () παίρνουμε : > + + > + g > g Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R και σύμφωνα με το α' ερώτημα έχει το πολύ μία ρίζα. Επειδή g ( ) = 0, το είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης g ( ) = 0. Άσκηση 5 Έστω συνάρτηση f με σύνολο τιμών το R και η συνάρτηση g με τύπο g Να δείξετε ότι η g έχει μέγιστη τιμή τον αριθμό. f =. + f Aρκεί να δείξουμε ότι g, για κάθε πραγματικό αριθμό και ότι το είναι η τιμή της συνάρτησης g. Είναι f + ( ) + f g f f 0 f 0 Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό.επειδή η συνάρτηση f έχει πεδίο τιμών το R, υπάρχει 0 τέτοιο ώστε f ( 0 ) = οπότε g( 0 ) =. Άρα υπάρχει 0 R τέτοιο ώστε g = g( 0 ) για κάθε R. Επομένως, η συνάρτηση g έχει μέγιστη τιμή το. Άσκηση 6 Να εξετασθεί ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι -. i. f = + ii. f i. Είναι Af R είναι - στο R. ii. Είναι A = R {}. f + =. Είναι = iii. f = 5 + iv. f = f = f + = + = = οπότε η f + + = = + = + Είναι: f( ) f( ) ( )( ) ( )( ) + = + = = οπότε η f είναι - στο R{} iii. Είναι Af = Rμε f( ) = f = 6 και επειδή, η f δεν είναι - στο R. iv. Είναι Af = Rμε f( ) = f( 4) = και επειδή 4, η f δεν είναι - στο R.
10 66. Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση Άσκηση 7 Έστω η συνάρτηση f ln( ln) =. Να βρεθεί η αντίστροφή της συνάρτηση, εφόσον αυτή υπάρχει. Το πεδίο ορισμού της f είναι τα R για τα οποία ισχύουν: > 0 > 0 > 0 > ln > 0 ln > ln > Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το διάστημα (, + ). Για να είναι μια συνάρτηση αντιστρέψιμη πρέπει να είναι -, δηλαδή να ισχύει : αν f( ) = f( ) τοτε = Θεωρούμε: f = f ln ln = ln ln ln = ln = που σημαίνει ότι η f είναι αντιστρέψιμη στο R. y= ln ln ως πρός. Για να βρούμε τον τύπο της αντίστροφης λύνουμε την εξίσωση y y y e Είναι y= ln( ln) e = ln = e και εφόσον > έχουμε y e e 0 y e > e > e e > 0, που ισχύει για κάθε y πραγματικό. Επομένως ο τύπος της αντίστροφης είναι y e f y = e µε y R. Επειδή ο συμβολισμός ανεξάρτητης μεταβλητής δεν έχει σημασία και επειδή συνηθίζεται η ανεξάρτητη μεταβλητή να συμβολίζεται με, γράφουμε τον τύπο της f - με μεταβλητή το : e f = e με R. οπότε Άσκηση 8 Να βρείτε τις αντίστροφες συναρτήσεις των συναρτήσεων με τύπους : α. f = +, < 0 και β. α. Είναι g() = + < 0 f = f + = + = = οπότε η f είναι - και επομένως αντιστρέφεται. Για να βρούμε τον τύπο της αντίστροφης λύνουμε την εξίσωση y = + ως πρός. Έχουμε y= +, < 0 = y, < 0, y Επομένως ο τύπος της αντίστροφης είναι: f = µε β. Η g είναι -στο R αφού: g = g + = + = = = Άρα η g αντιστρέφεται και για τον τύπο της αντίστροφής της έχουμε: = + = = y y y, y y, y <
11 Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση 67., Επομένως g =, < Ασκηση 9 α. Δίνεται συνάρτηση f:r R με σύνολο τιμών το R, η οποία είναι γνησίως αύξουσα. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις f = f () και f = () είναι ισοδύναμες. 4 β. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f = και στη συνέχεια τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f. α. Δύο εξισώσεις λέγονται ισοδύναμες όταν έχουν τις ίδιες ακριβώς λύσεις. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, είναι - και επομένως αντιστρέφεται. - Έστω ότι 0 R είναι λύση της (). Τότε f 0 = f ( 0), οπότε f( f( 0) ) = f( f ( 0) ) f( f( 0) ) = 0 () Αν f( 0) > 0 τότε f( f( 0) ) > f( 0) αφού η f είναι γνησίως αύξουσα και επομένως f( f( 0 )) > 0, που είναι άτοπο λόγω της (). Αν f( 0) < 0 τότε f( f( 0) ) < f( 0) αφού η f είναι γνησίως αύξουσα και επομένως f( f( 0 )) < 0, που είναι άτοπο λόγω της (). Άρα f( 0) = 0, οπότε ο 0 είναι λύση της (). - Έστω ότι 0 R είναι λύση της (). Τότε f( 0) = 0 () οπότε f ( f( 0) ) = f ( 0) 0 = f ( 0) (4). Από () και (4) έχουμε ότι f( ) 0 = f ( 0) δηλαδή ο 0 είναι λύση της (). Άρα οι (), () είναι ισοδύναμες. β. Af = R Για, Rμε < έχουμε: 4 4 < 4 < 4 4 < 4 < f < f. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και επομένως - στο R οπότε αντιστρέφεται. Έχουμε 4 y + y + y = = =, 4 4 y + y ή =, 4 y <
12 68. Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση +, οπότε 4 f =. +, < 4 Για να βρούμε τα κοινά σημεία των γραφικών των f και f = f. Σύμφωνα με το α ερώτημα είναι: f πρέπει να λύσουμε την εξίσωση f = f f = 4 = 0 = ή =. Επομένως τα κοινά σημεία των C,C f f είναι τα ( () A,f ), B,f δηλαδή τα A, και B,. Παρατήρηση Οι εξισώσεις f = f () και f = () είναι ισοδύναμες μόνο όταν η f είναι γνησίως αύξουσα. Για παράδειγμα, της συνάρτησης f =, η οποία είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα (,0) και ( 0, + ), η αντίστροφη είναι f = και η f = f έχει λύση για κάθε * R, ενώ η f = = = = ή =. Επομένως δεν είναι ισοδύναμες οι () και (). Ασκηση 0 Το διπλανό σχήμα παριστάνει μια συνάρτηση f η οποία είναι - στο [-,]. Nα προσδιορίσετε την τιμή f - ( 0 ). f 0 = f f = Επειδή f ( - ) = 0 έχουμε ( ) Ασκηση Για τη συνάρτηση f : R R ισχύει η ιδιότητα f f f( ) Να δείξετε, ότι η συνάρτηση f δεν αντιστρέφεται. Η σχέση () για = 0 γίνεται: f ( 0) f( 0) f Προσθέτουμε τις () και () κατά μέλη και έχουμε : για κάθε R (). ( ) και για = γίνεται: f () f() f( 0) ( )
13 Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση ( ) = f 0 f f 0 f f 0 f f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f. Άρα η f δεν είναι - και συνεπώς δεν αντιστρέφεται. Ε. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Έστω η συνάρτηση f με f = Nα εξετασθεί ως προς τη μονοτονία. (Απ.: Η f γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [,+ ) ). Ποια απο τις παρακάτω συναρτήσεις δεν είναι γνησίως μονότονη. Να αποδειχθεί, ότι η συνάρτηση f = (Απ.: Η τρίτη) έχει μέγιστο το και ελάχιστο το (Υπ.: Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.) 4. Να εξετασθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση f με f = +, (Απ.: Είναι f < =, οπότε είναι σταθερή στο (,) και γνησίως αύξουσα στο [, + ). Για κάθε (,] παρουσιάζει ελάχιστο το ) 5. Να εξετασθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση f με f = log( + + ) (Υπ.-Απ.: Df = R Για την μονοτονία να διακρίνετε περιπτώσεις, αν < < 0 και αν 0 <. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0) και γνησίως αύξουσα στο [ 0,+ ) Για τα ακρότατα,
14 70. Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση για κάθε R, 0... και κατασκευαστικά, βρείτε το σύνολο τιμών της. Για = 0 παρουσιάζει ελάχιστο το f( 0) = og ) 6. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f =, αν., αν > i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να βρείτε την αντίστροφη της f. (Υπ.: Διακρίνετε περίπτωσεις: Αν <, αν < < και αν < ) 7. Nα αποδειχθεί, ότι: i. Αν f,g είναι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις σε διάστημα Δ τότε και η συνάρτηση f + g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. ii. Αν f,g είναι γνησίως φθίνουσες συναρτήσεις σε διάστημα Δ τότε και η συνάρτηση f + g είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. (Υπ.: Αξιοποιείστε τους ορισμούς της μονοτονίας) 8. i. Να αποδειχθεί, ότι, αν οι συναρτήσεις f,g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας, τότε η συνάρτηση fog (αν ορίζεται), είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να αποδειχθεί, ότι, αν οι συναρτήσεις f,g είναι διαφορετικού είδους μονοτονίας, τότε η συνάρτηση fog (αν ορίζεται), είναι γνησίως φθίνουσα. (Υπ.:Ομοίως με την 7) e 9. Δίνονται οι συναρτήσεις f = και g() = - ln. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση f - og. + e (Απ.: Af = R, A g = 0, + f = n, ( 0,), A (,e n = ) με ( f og) = n ) f og n 0. Έστω η συνάρτηση f : R R η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο R και για την οποία ισχύει f (f ())= για κάθε R. Nα αποδειχθεί, ότι : f ()=. (Απ.:Έστω, ότι υπάρχει 0 R έτσι ώστε f( 0) > 0 (). Επειδή η f έχουμε f( f( 0) ) > f( 0) (). Από () και () έχουμε f( f( 0) ) > 0, που είναι άτοπο λόγω υπόθεσης.ανάλογα αν υπάρχει R : f( ) < καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα f =, για κάθε R) Η διπλανή γραφική παράσταση παριστάνει την - συνάρτηση f. Ποιο είναι το ολικό μέγιστο της συνάρτησης f - ; (Υπ.:Θυμηθείτε ποιο είναι το σύνολο τιμών της f. Το μέγιστο είναι το ) - - y O -
15 Μονοτονία - Ακρότατα - - Αντίστροφη Συνάρτηση 7. f = ln, g = + α. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις f - και g -.. Δίνονται οι συναρτήσεις β. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις f g και g f (Απ.: A f, = +, [ ) e Ag =, +, α. f =, R, g ( ) + = +, [, + ) ( ) e β. ( f og ) e =, [, + ) ( g of ) = +, [ n, + ) ) +. Θεωρούμε συνάρτηση f τέτοια ώστε ( ) + f f = +, για κάθε R Να αποδείξετε ότι : α. f ( ) =, β. Η συνάρτηση g f = + δεν είναι -. (Απ.: α. Από τη δοσμένη σχέση για = έχουμε: f( f() ) = και για = f() έχουμε: ( ( ()) f f f ) = f () f() + οπότε () f = f() f() +... f() =. β. Βρείτε το g( 0 ) και το g) () E. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ. Για τη συνάρτηση f ισχύει η σχέση : Nα δείξετε ότι: f y =f +f y για κάθε,y R () i. f () = 0 ii. f =-f iii. Mε την παραδοχή, ότι η μονάδα είναι η μοναδική τιμή του με f() = 0, να δείξετε ότι αν s,t είναι διακεκριμένοι θετικοί, τότε f(s) f(t).. Δίνεται η συνάρτηση f :R Rμε την ιδιότητα ( fof)( ) = -+ για κάθε R. Να δείξετε ότι: i. f() = ii. η συνάρτηση g:r R με g( ) = - f( ) + δεν αντιστρέφεται.. Δίνονται οι συναρτήσεις f =, R και g( ) =, R i. Nα δείξετε ότι η g() είναι και να βρείτε την αντιστροφή της. - ii. Να βρεθεί η συνάρτηση h( ) =f og ( ).
16
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Διαβάστε περισσότερα<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>
Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε
Διαβάστε περισσότεραΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.
3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότερααβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού
Διαβάστε περισσότεραg(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)
Διαβάστε περισσότερα1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R
ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες
Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
Διαβάστε περισσότεραπ x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραII. Συναρτήσεις. math-gr
II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (o Γ Λυκείου).Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε: Α) τα σημεία (, ),(, ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης α +β. Β)τα σημεία ( 0, ),( e, ) να ανήκουν στην γραφική παράσταση
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραOΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΣΜΟΣ 2 (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις)
ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ) ΟΡΙΣΜΟΣ (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις) Μια συνάρτηση : A είναι συνάρτηση -,
Διαβάστε περισσότερα13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης
3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμοί Α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα υποσύνολο Β του Πεδίου Ορισμού της όταν : για κάθε, B με < f( ) < f( ). Β) Μια
Διαβάστε περισσότερα2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
Διαβάστε περισσότερα2 (1) 1 0 ln( (2)) 3 (2) 3 0. e f και f f. f( g( x)) 3x 4, για κάθε x. συνx 5. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R, για τις οποίες ισχύει η σχέση: f( g( )) 4, για κάθε. a. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη. β. Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραMαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότερα1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R
Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = 4 6 6 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
Διαβάστε περισσότεραf(x) = 2x+ 3 / Α f Α.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»
Διαβάστε περισσότερα2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις
ο Διαγώνισμα 08-9 Ύλη: Συναρτήσεις Θέμα Α Α. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν μια συνάρτηση : είναι - τότε είναι και γνησίως μονότονη.» α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
Διαβάστε περισσότεραx 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)
Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.
Διαβάστε περισσότεραΟι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-09 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το
Διαβάστε περισσότεραΡητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότερα1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.
o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότερα********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότερα2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει
Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις
ΘΕΜΑ Α Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας ωρών στις Συναρτήσεις 0 9-05 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).. Αν η συνάρτηση f είναι -, είναι και γνησίως
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 3 α) f 3 1 1 γ) f 9 β) f 3 δ) f log 1 4 α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί 3 3 + (1) Έχουμε: (1) ( 3+), και 1,
Διαβάστε περισσότεραf (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 2 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 76 A2 Βλέπε Σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην ανάλυση
Εισαγωγή στην ανάλυση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Έστω Α ένα υποσύνολο του και Α. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α,
Διαβάστε περισσότερα5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε
Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Όρια Συνέχεια
Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός παραγώγου Εξίσωση εφαπτομένης
9 Ορισμός παραγώγου Εξίσωση εφαπτομένης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ι Ορισμός παράγωγου αριθμού Ορισμός 1 Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν f( f( υπάρχει
Διαβάστε περισσότερα3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε
Διαβάστε περισσότερα1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
Διαβάστε περισσότεραΝα βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x
. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 56 57 A µάδας. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) () = ii) () = ln( ) iii) () = e + iv) () = ( ), i)
Διαβάστε περισσότερα2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα
Διαβάστε περισσότεραf (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 26: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR τέτοια ώστε f ( ) 1 για κάθε IR (1) και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο i Να βρείτε τα κ και λ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 3. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () x 75 3
ΦΥΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν τα Πεδία Ορισμων συναρτήσεων: i) f () 4 f () i f () 4 f () 6 5 v) f () 9 vi) f () v f () log() vi f () 4, i) f () 8, Να βρεθούν επίσης οι τιμές : n f ( 4),( f ),( f0),(),(0),(
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.
Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια (Νο 1) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 1. Να υπολογίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : ln
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια (Νο ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.
Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότερα- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) 1 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g γα τις οποίες ισχύει: f()+1=g()+e (Η C f κάτω
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης
7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται
Διαβάστε περισσότεραΔιαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους
ΨΗΦΙΑΚΌ ΒΟΗΘΗΜΑ ΥΠΠΕΘ Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους 7-8 Με τις λύσεις τους o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ
Διαβάστε περισσότεραf( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )
MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α
ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α
ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.
ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f
Διαβάστε περισσότεραΚ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Πραγματική Συνάρτηση ρισμός Έστω Α ένα υποσύνολο του R. νομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα στις Συναρτήσεις και τα Όρια τους
Διαγώνισμα στις Συναρτήσεις και τα Όρια τους 8-9 Θέμα Α Α Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f β) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια
Διαβάστε περισσότερα5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
5.3. Αντίστροφη συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση f : A.Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι - τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών f (A) της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις
ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
Διαβάστε περισσότερα4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου
4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο,, 3) ΘΕΜΑ Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής
Διαβάστε περισσότεραΒ Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)
Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x
Διαβάστε περισσότερα2 ο Διαγώνισμα περιόδου στις Συναρτήσεις και τα Όρια
Θέμα Α ο Διαγώνισμα περιόδου 7-8 στις Συναρτήσεις και τα Όρια Α Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β ; Μονάδες Α Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών και να κάνετε την γεωμετρική του ερμηνεία
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 6//26 ΕΩΣ 3//26 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Κυριακή 3 Οκτωβρίου 26 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α v v Α. Έστω το πολυώνυμο
Διαβάστε περισσότερα1 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις μέχρι και τα ακρότατα
Θέμα Α Α1. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: 1 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις μέχρι και τα ακρότατα 018-19 «Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων,g :, 0 ή g 0» ισχύει ότι g 0 αν και μόνο αν α) Να χαρακτηρίσετε
Διαβάστε περισσότερα