Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Συναρτήσεις πολλών Μεταβλητών Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

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º ýº ( ) 4 2 2) 12 Ú) 1ln(+ + Þ) ) ln( ) ( ) 9 2 ) 12 ( + 4 2 ) 12 ( ) Ú) sin 1 Ú) tan 1 + Ú) ln(þ) Ú) ln ( 2 + 2 Þ 2) º º½º¾ º½ ¹ ½ µº ô ( ) R 2 º lim ( ) = Ð º½ ¹ ½µ () ( 0 0 ) 0 Æ = Æ() 0 ( ) Ð ( ) ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 ƺ º½ ¹ ¾ µº R 3 º ô ( Þ) lim ( Þ) = Ð º½ ¹ ¾µ (Þ) ( 0 0 Þ 0 ) 0 Æ = Æ() 0 ( Þ) Ð ( Þ) ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 (Þ Þ 0 ) 2 ƺ º½ ¹ ½ º ý º½ ¹ ¾ µº

º½ ¹ ½º ô ( ) ( ) R 2 ( 0 0 ) º ý lim () (0 0 ) ( ) = Ð R lim 0 ( ) lim 0 ( ) [ ] lim ( ) = lim lim ( ) () ( 0 0 ) 0 0 [ ] = lim lim ( ) 0 0 = Ð º½ ¹ µ º º½ ¹ ½ ô ( ) = + = {( ) R2 ( ) (00)} lim ( ) = lim 0 0 + = lim ( ) = lim 0 0 + = 0 0+ = 1 0 0 lim 0 +0 = lim 0 = 1 = 0 0 +0 = 1 0 0 lim 0 0+ = lim 0 = 1 = 0 [ ] [ ] lim lim ( ) = 1 lim lim ( ) = 1 0 0 0 0 º½ ¹ ½ lim () (00) ( ) º

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½ º¾ ¹ ½ º» ½ () () 1 () ¾ () () () ln () () () sin () ()cos () cos () ()sin () () tan () cos 2 () cot () () sin 2 () tan 1 () () 1+ 2 () sin 1 () () 1 2 () ½¼ cos 1 () () 1 2 () ½½ sinh () ()cosh () ½¾ cosh () ()sinh () ½ () [ ] tanh () cosh 2 () = () 1 tanh 2 () ½ coth () () [ ] sinh 2 () = () 1 coth 2 ()

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ý È 0 ( 0 0 ) È 0 ( 0 0 Þ 0 ) È 0 Áº ( ) ( 0 0 ) ( Þ) ( 0 0 Þ 0 ) ÁÁº ( ) ( 0 0 ) ( Þ) ( 0 0 Þ 0 ) ( ) ( 0 0 ) Ë ( Þ) ( 0 0 Þ 0 ) ˺ Öй ØÚ ØÖÑÙѵ ( 0 0 ) ( 0 0 Þ 0 )º º ¹ ¾ µº ô ( ) Ë R 2 ( Þ) Ë R 3 Ë È 0 = ( 0 0 ) È 0 = ( 0 0 Þ 0 ) ˺ È 0 È 0 ØÖÑÙѵ Áº ( ) ( 0 0 ) ( Þ) ( 0 0 Þ 0 ) ÁÁº ( ) ( 0 0 ) ( Þ) ( 0 0 Þ 0 ) ( ) Ë ( Þ) ˺ ( 0 0 ) ( 0 0 Þ 0 )º º º ¹ ½ µº ô ( ) Ë R 2 ( Þ) Ë R 3 Ë º ý È 0 = ( 0 0 ) È 0 = ( 0 0 Þ 0 ) Ë ØØÓÒÖ ÔÓÒص º

º ýº ý ý = 2 ( 0 0 ) 2 = 2 ( 0 0 ) = 2 ( 0 0 ) 2 = 2 = º º½ ¹ ½µ ( 0 0 ) º ¹ ¾ µº ô ( ) Ë R 2 Ë Ë º ý ( 0 0 ) Ë ( 0 0 ) = ( 0 0 ) = 0 º º½ ¹ ¾µ Áº 0 º 0 0µ ( 0 0 ) º 0 0µ ( 0 0 ) º ÁÁº 0 º ( 0 0 ) º ÁÁÁº = 0 º º ¹ ½ µ (631 2) ÖØÐ ØØÓÒÖ ÔÓÒØ µ ( )º

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ý È 1 (00) È 2 (11) ý (631 1) ( ) = = 6 = = 3 = = 6 = 2 = 6 3 = = 36 9 3 6 Á¹ÁÁÁµ º ¹ ¾ º º ¹ µ È 1 È1 (00) = 9 0 È 2 È2 (11) = 27 0 È2 (11) = 6 0 (11) = 3º º ¹ º ¹ º ( ) = 3 + 3 3 +4

º ýº º ¹ ø ( ) = 3 2 + 3 3 2 3 2 +2 = R 2 º ý (631 2) = 6 6 = 0 = 3 2 +3 2 6 = 0 1 6( 1) = 0 = 0 = 1º 2 = 0 : = 1 : 3 2 6 = 3( 2) = 0 = 0 = 2 ( ) 3 2 3 = 3 2 1 = 0 = 1 = 1 È 1 (00) È 2 (02) È 3 (11) È 4 ( 11) (631 1) ( ) = = 6 6 = = 6 = = 6 6 = 2 = 6 6 = 6 6 6 6 = 36( 1) 2 36 2 Á¹ÁÁÁµ º ¹ ¾ º º ¹ µ È 1 È1 (00) = 36 0 È1 (00) = 6 0 µ (00) = 2

ý È 2 È2 (02) = 36 0 È2 (02) = 6 0 µ (02) = 2 È 3 È3 (11) = 36 0 È 4 È4 ( 11) = 36 0 º º ¹ º ¹ º 3 2 + 3 3 2 3 2 +2 ( ) ) 2 + + 2 +5 5 +3 ) 3 6 + 3 ) 3 3+ 2 Ú) 2 2 º ý º ¹ µº ô ( Þ) Ë R 3 Ë Ë

¼ º ýº º ô È 0 = È 0 ( 0 0 Þ 0 ) Ë ý ( 0 0 Þ 0 ) = ( 0 0 Þ 0 ) = ( 0 0 Þ 0 ) = = Þ Þ Þ Þ ÞÞ ( Þ) Ë R 3 = ( 0 0 Þ 0 ) Þ È 0 Áº 0 0 0 ÁÁº 0 0 0º = 0 º º½ ¹ µ È 0 º º½ ¹ µ ø º ¹ ½ Áµ (631 3) ( Þ)º º ¹ ô ( Þ) = 2 + 2 + Þ 2 2 5º (631 3) = 2 2 = 0 = 2 = 0 Þ = 2Þ = 0 ( 0 0 Þ 0 ) = (100)º (631 4) = (100) = 2 0 = = 4 0 (100)

ý ½ = Þ Þ Þ Þ ÞÞ = 8 0 (100) ÁÁµ º ¹ È(100) (100) = 4º ( Þ) µ 2 + 2 + Þ 2 2+4 6Þ 11 µ 2 + 2 + Þ 2 +3Þ +1º º º¾ ý ¾½ º º½ ÑØÑØÐ ÓÔØÑÞØÓÒµ ( ) ¾¾ R 2 º º ØÖÑ ÚÐÙ ØÓÖѵ º ¹ ½ ý ( ) R 2 ( 1 1 ) ( 2 2 ) ¾½ º ¾¾ º ¹ ½ R 2 º = [ 11] [02] = [ 11] [02] º º ¹ ¾ R 2 º

¾ º ýº ( 1 1 ) ( 1 1 ) º º ¹ ½ º ¾ ÁÁº º ÁÁÁº (Á) (ÁÁ) º º ¹ ½ º º ¹ ½µ ( ) = 2 +4 2 2 2 +4 = {( ) R 2 : 1 1 1 1} º º ¹ ½ Á ý (631 2) = 2 4 = 0 = 8 2 2 = 0 2 = 2 4 1 4 2 ( 4 = 2 3 = 2 2) = 0 = 0 ± 2 ¾ º ¹ º

ý º ¹ ½ º ¹ ½ µ = {( ) R 2 : 1 1 1 1} µ ( ) = 2 +4 2 2 2 +4 ( ) º = 0º ý = 0 2 = 0º È(00) (00) = 4 ½µ ÁÁ µ = 1 1 1 (1 ) = 1 () = 4 2 2 + 5º 1 () = 8 2 1 1 () = 0 = 1 4 º ( È 1 1 1 ) ( 1 1 ) ( ) 1 = 1 = 475 ¾µ 4 4 4 µ = 1 1 1 ( 1 ) = 2 () = 4 2 2+5 = 1 () ()º µ = 1 1 1 (1) = 1 () = 8 2 º 1 () = 2 1

º ýº 1 () = 0 = 0 º È 2 (01) (01) = 1 (0) = 8 µ Úµ = 1 1 1 ( 1) = 2 () = 8 + 3 2 º 2 () = 6 2 = 0 º È 3 (0 1) (0 1) = 2 (0) = 8 µ Úµ 1 ( 1 1) ( 1 1) = 11 2 (1 1) ( 11) = 11 3 (11) (11) = 7 µ 4 ( 11) ( 11) = 7 ÁÁÁ ý ½µ¹ µ È(00) 4 1 ( 1 1) 2 (1 1) 11 º º ¹ ½µº º ¹ ¾ ø ( ) = 2 2 2 +6 = {( ) R 2 : 2 + 2 16} º º ¹ ½

ý Á ý (631 2) = 4 = 0 = 2 +6 = 0 È(03) (03) = 9 ½µ ÁÁ 2 + 2 16 µ 2 + 2 = 16 2 = 16 2 ( () = 2 16 2) 2 +6 = 32 3 2 +6 4 4º () = 6 + 6 = 1 2 = 16 2 È 1 ( ) ( 151 ) 151 ( ( ) È 2 151 ) 151 = 35 = 35 ¾µ µ [ 44] = ±4 = 0º 1 (0 4) (0 4) = 40 2 (04) (04) = 8 µ

º ýº ÁÁÁ ý ½µ¹ µ 1 (0 4) 40 È 1 ( 151) È2 ( 151 ) 35 º º ¹ ¾µº º ¹ ¾ º ¹ ¾ ( ) = 2 2 2 +6 ( ) º º º ý ¹ ÄÖÒ ( ) º ( ) ( Þ) ( ) ( Þ) ÓÒ¹ ØÖÒØ µ ( ) = 0 ( Þ) = 0 ÓÙÔÐÒ ÕÙ¹ ØÓÒ ÕÙÐØ ÓÒ ØÖÒصº ÓÒØÓÒÐ ØÖÑÙѵ º ÄÖÒ ÄÖÒ ÑÙÐØÔÐÖ µº

ý ( ) ( Þ) ( ) = 0 ( Þ) = 0 º º ¹ ½µ ÄÖÒ ÙÐÖ ÙÒØÓÒµ ( ) = ( )+ ( ) º º ¹ ¾µ ( Þ) = ( Þ)+ ( Þ) º º ¹ µ ÄÖÒ º º ô ³ (631 1) = + = 0 = + = 0 = + = 0 = + = 0 º º ¹ µ º º ¹ µ Þ = Þ + Þ = 0 ý = () = () Þ = Þ()º ý (633 1) 0 0 0 0 Þ 0 (633 4) (633 5)º º ¹ ½ ø (633 1) R 2

º ýº R 3 º ¹ ½º È ( 0 0 ) ( ) ( ) = 0 È ( 0 0 Þ 0 ) ( Þ) ( Þ) = 0º µ ( 0 0 ) ( 0 0 Þ 0 ) È º ¹ ½ ( ) = ( ) = + 1 = 0 º (633 2) ÄÖÒ ( ) = + (+ 1) (633 4) = + = 0 = + = 0 = = ý ( ) = + 1 = 0 2 = 1 = 1 2 º = = 1 2 È ( 1 2 1 2 º ¹ ½ ( 1 2 1 2) ( 1 2 1 = 2) 1 0 4 )

ý º ¹ ¾ ø ( ) = 5 3 ( ) = 2 + 2 136 = 0 º Þ = ( ) ( ) 136º (633 2) ÄÖÒ ( ) ( ) = 5 3 + 2 + 2 136 (633 4) = 2+5 = 0 = 2 3 = 0 = 5 2 3 = 2 ý ( ) = 2 + 2 136 = 0 25 4 2 + 9 4 2 = 136 2 = 1 16 = ± 1 4 = 1 4 = 10 = 6 È 1 ( 106) = 1 4 = 10 = 6 È 2 (10 6) º ¹ ½ È 1 ( 106) : ( 106) = 68 0 È 2 (10 6) : (10 6) = 68 0

¼ º ýº º ¹ ø ( Þ) = Þ ( Þ) = + + Þ 1 = 0 Þ 0º º (633 3) ÄÖÒ ( Þ) = Þ + (+ + Þ 1) (633 5) = Þ + = 0 = Þ+ = 0 Þ = + = 0 Þ = ½µ Þ = ¾µ = µ ý ½µ ¾µ Þ = Þ Þ( ) = 0 Þ = 0 µ = µ ý µ ½µ ¾µ = 0 µ = 0 = 0 = 0º ( Þ) = + + Þ 1 = 0 Þ = 0 = 0 = 1 È 1 (010) µ Þ = 0 = 0 = 1 È 2 (100) µ

ý ½ ý µ µ = = 0º ( Þ) = ++Þ 1 = 0 Þ = 1 È 3 (001) µ µ = 0º ¾µ µ Þ = (Þ ) = 0 = 0 = Þ 0 = Þº = = Þº ( Þ) = + + Þ 1 = 0 3 = 1 = 1 ( 1 È 4 3 3 1 3 1 ) µ 3 µ¹ µ º ¹ ½ (001) = 0 (010) = 0 (100) = 0 ( 1 3 1 3 1 = 3) 27 = 0º º ¹ 64 Ñ 2 º º ô Þ Þ 0º Þ 2( + Þ + Þ)º ( Þ) = Þ ( Þ) = + Þ + Þ 32 = 0 (633 3) ÄÖÒ ( Þ) = Þ + ( + Þ + Þ 32)

¾ º ýº (633 5) = Þ + ( + Þ) = 0 = Þ+(Þ + ) = 0 Þ = + (+) = 0 Þ = ( + Þ) ½µ Þ = (Þ + ) ¾µ = (+) µ ½µ ¾µ µ Þ Þ = ( + Þ) µ Þ = (Þ + ) µ = (+) µ ý µ µ ( + Þ) = (Þ + ) (Þ Þ) = 0 = 0 Þ = 0 = 0 Þ = 0 Þ Þ = 0 Þ 0 = µ ø µ µ = Þ µ

ý = = Þ µ ( Þ) = + Þ + Þ 32 = 3 2 32 = 0 Þ 0 0 = 0 = Þ 0 = 32 3 È ( 0 0 Þ 0 ) ( 0 0 Þ 0 ) 1067 0 º ¹ ½ º º ¹ ø 2 2 + 2 2 + Þ2 2 = 1 º ø (000)º (±±±Þ) Þ 0 Î = 222Þ = 8Þº ( Þ) = 8Þ ( Þ) = 2 2 + 2 2 + Þ2 1 = 0 2 (633 3) ÄÖÒ ( 2 ) ( Þ) = 8Þ + 2 + 2 2 + Þ2 2 1 (633 5) = 8Þ +2 2 = 0 = 8Þ+ 2 = 0 Þ = 8 + Þ 2 = 0 = 4 2 Þ = 42 Þ = 42 Þ

º ýº 2 2 = 2 2 Þ 2 2 = 2 2 2 2 = 2 2 = Þ2 2 ½µ ( Þ) = 2 2 + 2 2 + Þ2 2 1 = 0 1 = 2 2 + 2 2 + Þ2 2 = 3 2 2 = ± 3 0 = ± 3 ½µ ( ) È 3 3 3 Î(È) = 8 3 3 º ) 2 + 2 2 + 3 = 1 ) 2 + 2 + Þ 2 2 4 + 2 9 + Þ2 16 = 1 ) +2 2 + 2 = 5 Ú) cos 2 +cos 2 = 4 ¾ ( Þ) ( Þ) = 0 ( Þ) = 0 º º ¹ ¾µ ø Ĺ ÖÒ ( Þ) = ( Þ) + ( Þ) + ( Þ) º º ¹ ¾µ ¾ º º

ý º ô ³ (631 1) = + + = 0 = + + = 0 º º ¹ ¾µ Þ = Þ + Þ + Þ = 0 ý = ( ) = ( ) Þ = Þ( )º ý (633 24) 0 0 Þ 0 (633 26)º º º 2 sin ºº º ý ºº º º ¾ () È Ò () Ò ¾ È Ò () = Ò Ò + Ò 1 Ò 1 + + 0 º º ¹ ½µ ¾ ýº ½ º ¾ º ¹ ½ ÏÖ ØÖ µº ý

º ýº R = 0 1 Ò È ÌÐÓÖ () È Ò () = ( 0 )+ ( 0 ) 1! ( 0 )+ + (Ò) ( 0 ) Ò! ( 0 ) Ò 0 º ¹ Ò ¹ 0 ¹ 0 ¹ ºº () ص Ë = {( ) = 1 2 Ò} º º ¹ ¾µ 0 1 Ò Ò+1 [ ] () [ ] ( ) = 0 1 Òº È Ò Ò (634 1) º º ¹ ½µ Áº È Ò ( ) = ( ) = 0 1 Ò ÔÓÐÒÓÑÐ ÒØÖÔÓÐØÓÒµ [ ] 0 È () È() [ ]

ý y 2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1 2 3 4 5 x º ¹ ½ Ë = {(01)(10)(32)(5 1)}º µ 1 ¹ µ 2 ¹ µ ÁÁº Ø ÔÔÖÓÑØÓÒ Ø ØØÒµ Ë (634 2)º º ÖØ ÔÔÖÓÑØÓÒµº ÁÁ º Á 1 ô Ë (634 2) 1 È 1 () = È() = + º º ¹ µ º ý ( ) Ë = È ( ) =

º ýº + = = ( + ) º = 1 + + Ò = 1 ( 1 + ) + + Ò ( Ò + ) º º ¹ µ = ( ) º (634 4) º (631 2) = 0 = 0 º º ¹ µ (634 5) ¾ º ÖØ Ð Ø ÕÙÖ ÑØÓµ (634 4) = 2 1 + +2 Ò = [ 1 ( 1 + )] 2 + +[ Ò ( Ò + )] 2 º º ¹ µ º (634 6) Ò = 2 ( ) = 0 =1 Ò = 2 ( ) = 0 =1 Ò 2 + Ò Ò = =1 =1 =1 Ò {}}{ Ò Ò + 0 = =1 ¾ ô =1 Ò º º ¹ µ =1 º º = 1 Ò = 0 = 1 1 = Ò = 0

ý º ¹ ½ º ¹ ½ 2 ¹¼º ½º¾ ¹¼º ¼º¾ ¼º ¾º¼ ¼º ¼º¼ ¼º ½º¼ ¼º ¼º ½º ¹½º¼ ¹½º ¾º¾ ¾º¼ º¾ ¹¼º º¼ (634 7) ÒÓÖÑÐ ÕÙØÓÒ µ ( Ò ( Ò )( Ò ) Ò ) = = º ¹ ½ =1 ( Ò ) Ò 2 =1 =1 ( Ò =1 =1 ) 2 º º ¹ µ ( Ò )( Ò ( 2 Ò )( Ò ) ) =1 =1 =1 =1 ( Ò ) ( Ò ) Ò 2 2 º º ¹ µ =1 =1 ¹¼º ¼º ¼º ½º ½º¾ ¾º¼ ½º¼ ¹½º¼ º º ¹ ½º (634 9) (634 9) = 4 ( 08) 2 (32) 4 (308) 2 2 11539

¼ º ýº 2.0 y 1.5 1.0 0.5 0.5 0.5 1.0 1.5 x 0.5 1.0 º ¹ ¾ º ¹ ½º = 11539 +13769 = (308) (32) ( 08) 2 4 (308) 2 2 13769 È() = 11539 +13769 º º ¹ ¾µº

ý ½ ÁÁ ѹ Ë (634 2) ѹ (634 1) È Ñ () = 0 + 1 + + Ñ Ñ Ñ Ò ¹ ½ º º ¹ ½¼µ Á 0 1 Ñ ¾ = 2 1 + + 2 Ò = [ 1 È Ñ ( 1 )] 2 + +[ Ò È Ñ ( Ò )] 2 º ø 1 (631 2) = 0 = 0 1 Ñ º º ¹ ½½µ ý (634 11) ¾ Ñ +1 Ñ + 1 Ò Ò Ò 0 0 + 1 1 + + Ñ Ñ = =1 =1 =1 Ò 0 1 Ò + 1 2 Ò + + Ñ Ñ+1 = =1 =1 =1 Ò 0 =1 Ò 1 =1 Ò 0 Ñ =1 + 1 Ò =1 Ñ+1 Ò + + Ñ =1 ¾ þ ýº ½ º º ¾ (634 11) Ò =0 º Ñ =1 + 2Ñ = º º º ¹ ½¾µ Ò Ñ =1 = 2 Ò =1 + 2 Ñ =0 Ò =1 + = 0 = Ñ =1 = 0 1 Òº

¾ º ýº º ý (634 12) = 12 Ò º º ¹ ½ Ë È Ñ () = Ò =1 3 (634 11) º º º ¹ ¾ 2 º ¹ ½º º Ò = 4 (634 10) Ñ Ñ 4 1 Ñ = 2º ô È 2 () = 0 + 1 + 2 2 º (634 12) 4 0 0 =1 4 + 1 1 =1 4 + 2 2 = =1 4 0 =1 4 0 1 =1 4 + 1 2 =1 4 + 2 3 = =1 4 1 =1 4 0 2 =1 4 + 1 3 =1 4 + 2 4 = =1 4 2 =1 º ¹ ¾ 4 0 + 20 1 + 308 2 = 32 20 0 + 308 1 + 362 2 = 08 308 0 + 362 1 + 53732 2 = 128

ý º ¹ ¾ º ¹ ¾ 2 3 4 2 ¹¼º ½º¾ ¹¼º ¼º¾ ¹¼º½¾ ¼º¼¾ ¼º ¼ ¼º ¾º¼ ¼º ¼º¼ ¼º¼¾ ¼º¼¼½ ¼º½ ¼º ½º¼ ¼º ¼º ¼º ¼º¾¼½ ¼º ½º ¹½º¼ ¹½º ¾º¾ º º¼¾ ¹¾º¾ ¾º¼ º¾ ¹¼º º¼ º¾ º ¾ ¹½º¾ ¼ º º ¹ µ È 2 () = 14583 2 +03045 +17707 ½ ¾ ¼ º ½ ý º ¾ ý º ýº º ¹ÑÐ ÖØ Ó ØØºÖ ÍÊÄ ØØÔ»»Ù Ö ºØغֻÖØ Ó»

º ýº 2.0 y 1.5 1.0 0.5 0.5 0.5 1.0 1.5 x 0.5 1.0 º ¹ º ¹ ¾º È 2 () = 14583 2 +03045 +17707 º ¹ ½µ = 11539 +13769

þ ½ ýº ¾¼½½µ ýº ý ÁËÆ ß¼ß ½ßߺ ¾ ýº ¾¼¼¾µ ý ýº ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ߺ ÒÒ Êº ĺ ÓÖÒÓ º ʺ ¾¼¼µ ý ÁËÆ ß¼ß¾ß½ß½ º ÓÒ º ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÅØÑØ ¾¼¼µ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¼¼ßº ËÔРź ÏÖ Êº ¾¼¼µ ý ÁËÆ ¼ß½ß¼ßº ØØÔ»»ÒºÛÔºÓÖ»Û»ÅÒ È ØØÔ»»ÕÛÓÖкÔÑÒغÖÙ»ÒºØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖкÛÓÐÖѺÓÑ» ØØÔ»»ÓѺ ÔÖÒÖº»

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 2014. Αθανάσιος Μπράτσος. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Ενότητα 6: Συναρτήσεις πολλών Μεταβλητών». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2