Η επικρατούα τιή για οαδοποιηένα δεδοένα Εντοπίζουε και πάλι το διάτηα το οποίο ανήκει η επικρατούα τιή (αυτό ε τη εγαλύτερη υχνότητα). Στο παράδειγα, το διάτηα αυτό είναι και πάλι το [30,40). Έτω f η υχνότητα αυτού του διατήατος και f -, f + οι υχνότητες των διατηάτων που βρίκονται δεξιά και αριτερά από αυτό. Τότε η επικρατούα τιή είναι τ L Στο παράδειγα έχουε f f + δ ( f f) + ( f f+ ) τ 30 + 0 36,67. 3 Δύο πλεονεκτήατα που έχει η επικρατούα τιή ε χέη ε άλλα περιγραφικά έτρα είναι: o Μπορεί να υπολογιτεί και για κατανοές που είναι ανοικτές προς τα πάνω ή προς τα κάτω. o Μπορεί να χρηιοποιηθεί και για ονοατικά δεδοένα Π.χ. δεδοένα για οικογενειακή κατάταη Α, Ε, Ε, Δ, Ε, Ε, Α, Δ ε επικρατούα τιή το Ε (4 φορές) Μειονέκτηα επικρατούας τιής Ένα ειονέκτηα που έχει η επικρατούα τιή είναι ότι πορεί να βρεθεί όνο για ονοκόρυφες κατανοές.
Τεταρτηόρια Γενίκευη της έννοιας της διαέου Υπολογιός των τεταρτηορίων για οαδοποιηένα δεδοένα ο τεταρτηόριο (Q ): το ηείο κάτω από το οποίο βρίκεται το 5% των διατεταγένων τιών του δείγατος (ή του πληθυού, αντίτοιχα) 3 ο τεταρτηόριο (Q 3 ): το ηείο πάνω από το οποίο βρίκεται το 5% των διατεταγένων τιών του δείγατος (ή του πληθυού, αντίτοιχα) Το δεύτερο τεταρτηόριο (Q ) υπίπτει ε τη διάεο. Ο τύπος για το πρώτο τεταρτηόριο είναι Q δ n + F f 4 L όπου είναι το διάτηα το οποίο βρίκεται το ο τεταρτηόριο, L το κατώτερο όριο αυτού του διατήατος, f είναι η υχνότητα και δ το πλάτος αυτού του διατήατος, F - η αθροιτική υχνότητα του (-) διατήατος. Αντίτοιχα ο τύπος για το τρίτο τεταρτηόριο είναι Q δ 3n + F f 4, 3 L Εδώ το παριτάνει κάθε φορά τον αύξοντα αριθό της κλάης την οποία ανήκει το κάθε τεταρτηόριο. 3 4
Για τα δεδοένα του τελευταίου παραδείγατος βρίκουε () 0 0 Q 30 + 3,5, 4 4 και για το τρίτο τεταρτηόριο (3) 0 30 Q 3 40 + 6 45 4 4 Η διαφορά του πρώτου από το τρίτο τεταρτηόριο, δηλαδή η διαφορά Q 3 Q ονοάζεται ενδο-τεταρτηοριακό εύρος. Όταν η διάεος βρίκεται πιο κοντά το ένα ή το άλλο τεταρτηόριο, αυτό ας δείχνει το είδος της αυετρίας. Σχέη εταξύ, Μ, και Τ Για έναν πληθυό, ο υβολιός είναι Αριθητικός έος Διάεος Μ Επικρατούα τιή Τ Για το δείγα ο αντίτοιχος υβολιός είναι Αριθητικός έος Διάεος m Επικρατούα τιή τ Γενικά για έναν πληθυό ιχύει Όταν Μ Τ, τα δεδοένα προέρχονται από ία υετρική κατανοή. Όταν έχουε θετική αυετρία, ιχύει > Μ >Τ Όταν έχουε αρνητική αυετρία, ιχύει αντίτροφα ότι < Μ <Τ 5 6
Για ια κατανοή ε ικρή ή έτρια αυετρία, ιχύει ο επειρικός τύπος τ 3 ( m) 3m τ Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Μπορεί να χρηιοποιηθεί για να βρω το τ, αν γνωρίζω τον αριθητικό έο και διάεο. Π.χ. το τελευταίο παράδειγα, είχαε 38 m 37,5 τ 36,67 Από τον επειρικό τύπο βρίκουε 3 m 3 37,5 38 36,5 ία πολύ καλή προέγγιη για το τ. Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος είναι ο έος όρος των τιών όταν αφαιρέουε το p % ε τις ικρότερες και το p % ε τις εγαλύτερες τιές. Π.χ. έτω τα δεδοένα 3 5 6 6 7 0 40, 0 Ένας 0% ιοταθιένος έος το παραπάνω δείγα των 0 παρατηρήεων προκύπτει αν αφαιρέω από το δείγα τη ικρότερη και εγαλύτερη τιή, και ετά υπολογίω το έο όρο των τιών. 5 + 6 + 6 + 7 + 0 + + + 8,5 8 7 8
Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Όταν δεν υπάρχουν έκτροπες παρατηρήεις, το θηκόγραα παριτάνει τη έγιτη και ελάχιτη τιή τη διάεο το πρώτο και τρίτο τεταρτηόριο Μέα το ορθογώνιο, όταν η διάεος βρίκεται πιο κοντά την κάτω πλευρά (πρώτο τεταρτηόριο), έχουε ένδειξη για θετική αυετρία ενώ όταν βρίκεται πιο κοντά την πάνω πλευρά (τρίτο τεταρτηόριο), έχουε ένδειξη για αρνητική αυετρία για υετρικά δεδοένα, η διάεος ιαπέχει από τα δύο τεταρτηόρια. Συγκεκριένα, κατακευάζουε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραο που το ύψος του υνδέει το πρώτο ε το τρίτο τεταρτηόριο ε ία οριζόντια γραή έα το παραλληλόγραο παριτάνεται η διάεος ενώνουε ε κατακόρυφες γραές την πάνω πλευρά του ορθογωνίου ε τη έγιτη τιή και την κάτω πλευρά του ορθογωνίου ε την ελάχιτη τιή 9 0
Στην περίπτωη που υπάρχουν ακραίες παρατηρήεις, τότε οι κατακόρυφες γραές πάνω και κάτω από το ορθογώνιο δε φτάνουν έχρι τη έγιτη και ελάχιτη τιή, αλλά έχρι τα ηεία Κατώτερο εωτερικό φράγα Ανώτερο εωτερικό φράγα Q, 5 IQR Ενδοτεταρτηοριακό εύρος Q3 +, 5 IQR Οι τιές που είναι ικρότερες από το κατώτερο εωτερικό φράγα και οι τιές που είναι εγαλύτερες από το ανώτερο εωτερικό φράγα θεωρούνται ακραίες τιές. Στην περίπτωη που υπάρχουν πολύ ακραίες τιές, ηειώνουε επίης το διάγραα ε έναν κύκλο τα ηεία Κατώτερο εξωτερικό φράγα Ανώτερο εξωτερικό φράγα Q 3IQR Q3 + 3IQR
Σηειώνουε επίης ότι η έννοια του τεταρτηορίου πορεί να γενικευτεί. Έτι έχουε Δεκατηόρια, που χωρίζουν τα διατεταγένα δεδοένα ε δέκα διατήατα ε ίο αριθό παρατηρήεων το καθένα Εκατοτηόρια, που χωρίζουν τα διατεταγένα δεδοένα ε εκατό διατήατα ε ίο αριθό παρατηρήεων το καθένα κοκ. Μέτρα κύανης και διαποράς Έτω ότι παίρνουε δεδοένα από τη ηνιαία αύξηη % (θετική ή αρνητική) της τιής ιας ετοχής Α. Για ένα διάτηα 5 ηνών οι τιές που πήραε είναι: 5, -3,, 4,. Οι αντίτοιχες τιές για ια άλλη ετοχή Β για το ίδιο διάτηα των 5 ηνών είναι: -7, 3,, -9,. Ο αριθητικός έος για τα δεδοένα της ετοχής Α είναι 5 0 A, 5 5 ενώ για τη ετοχή Β έχουε 5 0 B. 5 5 3 4
Η διάεος για την πρώτη ετοχή είναι -3,,, 4, 5 Παράδειγα (Πίνακας 7.) Χρόνοι αναονής (ε λεπτά της ώρας) ε δύο ιατρεία για τη δεύτερη ετοχή είναι και πάλι -9, -7,,, 3. Οι δύο ετοχές έχουν την ίδια έη τιή και διάεο, όως η δεύτερη ετοχή είναι η πιο ριψοκίνδυνη, αφού οι τιές της έχουν εγαλύτερη εταβλητότητα. Γιατρός Α Γιατρός Β 7 8 6 0 0 8 7 0 3 9 9 6 3 0 8 46 0 Γιατί ελετάε τη εταβλητότητα των δεδοένων; Είναι ένα ηαντικό χαρακτηριτικό που ας βοηθάει να υγκρίνουε δεδοένα, λ.χ. για να πάρουε κάποια απόφαη (όπως το παράδειγα, ποια ετοχή να επιλέξουε). Η εταβλητότητα ενός δείγατος παίζει ηαντικό ρόλο την εκτιητική, π.χ. όταν θέλουε να εκτιήουε το έο ενός πληθυού. Και πάλι τα δύο δείγατα έχουν ίδια έη τιή, αλλά οι εκτιήεις ε βάη το δεύτερο δείγα είναι πιο αξιόπιτες. Επίης, η ελέτη της εταβλητότητας ας βοηθάει να εντοπίουε έκτροπες παρατηρήεις, αν υπάρχουν τα δεδοένα. 5 6
Το πιο ηαντικό περιγραφικό έτρο για να ετράε τη εταβλητότητα είναι η διακύανη ή διαπορά. Για έναν πληθυό ε έη τιή, ο οποίος περιλαβάνει Ν άτοα, η διακύανη ορίζεται από τη χέη ( ) Αντίτοιχα, για ένα δείγα τιών,,...,, ε n έη τιή, η δειγατική διακύανη είναι s n ( ) n. Ιδιότητες της διακύανης. Αν..., τότε 0.. Αν πολλαπλαιάουε όλες τις τιές ε ια ταθερά c, τότε η διακύανη πολλαπλαιάζεται ε c. Απόδειξη Έτω ο πληθυός,,..., ε διακύανη ( ) Τότε για ένα πληθυό ε τιές c,..., διακύανη θα είναι ( c ),, c c η όπου είναι η έη τιή για τα νέα δεδοένα. Αλλά από τις ιδιότητες της έης τιής ξέρουε ότι c, οπότε παίρνουε ( c c) ( ) c c. 7 8
3. Αν ε όλες τις τιές ιας εταβλητής προθέουε ία ταθερά c, τότε η διακύανη δεν αλλάζει. Πράγατι, η νέα διακύανη είναι [ ( + c) ( + c) ] ( ) 4. Έτω ότι έχουε πληθυό Π εγέθους Ν ε έη τιή, διακύανη, πληθυό Π εγέθους Ν ε έη τιή, διακύανη,... κοκ, πληθυό Π κ εγέθους Ν κ ε έη τιή κ, διακύανη κ. Τότε για το υνολικό πληθυό Π ε έγεθος Ν + +... + κ ιχύει ότι η διακύανη ιούται ε. Παράδειγα Έτω τα δεδοένα 9, 0,, 8, 6 Ο αριθητικός έος είναι A 5 5 75 5 και η διακύανη το δείγα είναι s n ( ) n (9 5) + (0 5) 36 + 5 + 9 + 9 + 4 50 5 + ( 5) 4 + (8 5) + (6 5) κ κ + ( ). 9 0
Η τυπική απόκλιη ορίζεται ως η (θετική) τετραγωνική ρίζα της διακύανης. Έτι, για ένα πληθυό έχουε ( ), ενώ για το δείγα η δειγατική τυπική απόκλιη είναι ( ) n s n. Στην πράξη, πολύ υχνά αντί για τον τύπο ( ) χρηιοποιούε τον τύπο ο οποίος δεν απαιτεί υπολογιό των αποκλίεων. Οι τύποι είναι ιοδύναοι γιατί ( ) ( ) + + +
Παρόοια, για τη δειγατική διακύανη ιχύει ότι s n n. n Ένα άλλο περιγραφικό έτρο εταβλητότητας είναι η έη απόκλιη. Για έναν πληθυό εγέθους Ν, αυτή ορίζεται από τον τύπο A ενώ αντίτοιχα για ένα δείγα εγέθους n, n α n Επίης, χρηιοποιείται και η έη απόκλιη από τη διάεο: για έναν πληθυό ε διάεο Μ, η έη απόκλιη είναι M A ενώ για δείγα εγέθους n ε διάεο m έχουε Παράδειγα Έτω οι παρατηρήεις 8, 77, 65, 86, 70 Η δειγατική έη τιή είναι 8 + 77 + 65 + 86 + 70 76 5 ενώ η διάεος το δείγα είναι 77. 8 6 6 77 65-86 0 0 70-6 6 άρα η έη απόκλιη είναι n 34 α 6, 8 n 5 n m α. n 3 4
Για τη διάεο (m 77) έχουε αντίτοιχα τον πίνακα m m 8 5 5 77 0 0 65-86 9 9 70-7 7 άρα η έη απόκλιη γύρω από τη διάεο το δείγα είναι n m 33 α 6, 6. n 5 Μια διαδικαία ε εγάλη εφαρογή τη τατιτική, ιδιαίτερα ε χέη ε την κανονική κατανοή, είναι η τυποποίηη Αν έχουε ία εταβλητή Χ ε τιές,...,, η οποία έχει έη τιή και διακύανη, τότε οι τιές Z ονοάζονται τυποποιηένες τιές της Χ. Οι τυποποιηένες τιές έχουν πάντα έη τιή ηδέν, γιατί Z ( ) 0 Η διακύανη των Ζ είναι ίη ε τη διακύανη των διαιρεένη ε, δηλαδή ίη ε. 5 6
Έτω τα αριθητικά δεδοένα 8, 77, 65, 86, 70 από το προηγούενο παράδειγα και υποθέτουε ότι οι τιές αυτές παριτάνουν βάρος ε κιλά. Η έη τιή και η τυπική απόκλιη εκφράζονται πάντα τις ίδιες ονάδες ε τα αρχικά δεδοένα, δηλαδή εδώ ε κιλά. Ένα περιγραφικό έτρο το οποίο είναι καθαρός αριθός είναι ο υντελετής εταβλητότητας, που εκφράζεται αν το πηλίκο της τυπικής απόκλιης προς την απόλυτη τιή της έης τιής. Παράδειγα Τα ύψη 5 ατόων ε τρεις διαφορετικές ονάδες έτρηης. Μέτρα Εκατοτά Ίντες,70 70 66,9,7 7 67,5 3,67 67 65,7 4,8 8 7,6 5,70 70 66,9 CV3,365 CV3,365 CV3,365 Άρα για έναν πληθυό έχουε CV ( 00) ενώ ο υντελετής εταβλητότητας για το δείγα είναι s CV ( 00) 7 8
Διακύανη και τυπική απόκλιη για οαδοποιηένα δεδοένα Για η οαδοποιηένα δεδοένα, η διακύανη είναι ( ) Έτω ότι έχουε οάδες ε υχνότητες f,,,.... Η κεντρική τιή της οάδας υβολίζεται ε w. οπότε ο τύπος για τη διακύανη του πληθυού γίνεται f ( w ) f ( w ) f Η τυπική απόκλιη είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύανης, δηλαδή f ( w ) f ( w ) f Όπως και για τη έη τιή, θεωρούε ότι όλες οι τιές ε κάθε οάδα είναι ίες ε την κεντρική τους τιή. Έτι έχουε f τιές ίες ε w την η οάδα f τιές ίες ε w την η οάδα κλπ f τιές ίες ε w την - οάδα, 9 30
3 Όταν τα δεδοένα ας αναφέρονται ε ένα δείγα από έναν πληθυό, τότε αντικαθιτούε το παραπάνω ε το δειγατικό έο ( ) ( ) n w f f w f s, ενώ η τυπική απόκλιη του δείγατος είναι ( ) ( ) n w f f w f s