================================================= Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 Ασκήσεις σε γραµµική ανεξαρτησία διανυσµάτων ================================================= - 9 - Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, V - = 4 - - 9 - Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= - 4 - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) µικρότερος από τον αριθµό των στηλών του Α, άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα - µάλιστα ισχύει: C = C C Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: - 9 - - 4 - - 9 - - 4 - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ
- 9-6 6 - - Γ Γ ---> { - 9-6 - - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 6 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ -. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 ================================================= - - Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 4-9 - V - = -6
- - - Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A = 4-9 - -6 Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) Άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: - - - 4-9 - -6 Γ Γ ---> { - - - 4-9 - -6 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { 9 Γ - - - - -
Γ ---> { Γ - - - - - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ -9-6 Γ Γ ---> {
-9-6 9 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { 6 Γ. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 ================================================= 4 Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 4 V - - = - - 4 - - Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= 4 - - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) µικρότερος από τον αριθµό των στηλών του Α, άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα µάλιστα µόνον διανύσµα στήλη του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητο Με προσεκτική παρατήρηση µπορείτε να δείτε ότι ισχύει:
C= C, C= C Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: 4 - - 4 - - Γ Γ ---> { 4 - - 4 - - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ -. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 =================================================
Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 4 V = -9-6 -9 Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= 4-6 Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) Άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: -9 4-6 Γ Γ ---> { -9 4-6 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { 4 Γ
9 - -6 - Γ Γ ---> { 9 - -6 9 - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ
46-6 9 4 - Γ Γ ---> { 4 46-6 9 - Γ ---> Γ + { 46 Γ 6 Γ ---> Γ + { 9 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 =================================================
6-6 Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 4 V -9 = 9 4-6 6-6 Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= 4-9 9 4-6 Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) µικρότερος από τον αριθµό των στηλών του Α, άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα - µάλιστα ισχύει: C = C C Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: 6-6 4-9 9 4-6 Γ Γ ---> { -6 4-9 9 4-6 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { 4 Γ
- - - Γ Γ ---> { - - - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ -. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 =================================================
6 9 Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, -9 - V = 6 9 Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= -9 - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) Άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: 6 9-9 - Γ Γ ---> { 6 6 6 9-9 - Γ ---> Γ + { 9 Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ
6 6-9 - 4 - Γ ---> { Γ 6 6-9 - 4 - + Γ ---> Γ { 6 Γ + Γ ---> Γ { Γ + Γ 4 ---> Γ 4 { Γ
9-9 -49 9-44 9 Γ ---> { 9 Γ 49 9-9 -44 9 Γ ---> Γ + { 9 Γ 9 Γ ---> Γ + { Γ 44 Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ 9. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 =================================================
- 9 - Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 4 V - = - 9 - Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= 4 - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) µικρότερος από τον αριθµό των στηλών του Α, άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα - µάλιστα ισχύει: C = C C Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: - 9-4 - Γ Γ ---> { - - 4 - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ
- -9 9 - - Γ ---> { Γ 9 - - - - + Γ ---> Γ { Γ + Γ ---> Γ { Γ + Γ 4 ---> Γ 4 { Γ -. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 =================================================
- 9 - Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 4-6 V = 4 - - - 9-4 Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= 4 - - 6 - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) Άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: - 9-4 4 - - 6 - Γ Γ ---> { - 9-4 4 - - 6 - Γ ---> Γ + { 9 Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { 6 Γ
- -4 - - -6 4-4 Γ ---> { Γ 4-4 4 - -6 4-4 + Γ ---> Γ { Γ + Γ ---> Γ { Γ + Γ 4 ---> Γ 4 { 4 Γ
4 4 4-4 -6 4 4 Γ Γ ---> { 4 4 4-6 4 Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ ---> Γ + { 4 4 Γ 6 Γ 4 ---> Γ 4 + { 4 Γ. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 =================================================
Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 6 6 V - -4 = - - - -4 Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= 6-6 - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) µικρότερος από τον αριθµό των στηλών του Α, άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα µάλιστα µόνον διανύσµα στήλη του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητο Με προσεκτική παρατήρηση µπορείτε να δείτε ότι ισχύει: C= C, C= C Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: - -4 6-6 - - -4 6-6 - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 6 Γ Γ 4 ---> Γ 4 + { 6 Γ
-. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα :, V =, V =, 4 9 V = Ο πίνακας µε στήλες αυτά είναι A= 4 9 Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = (Γιατί;) Άρα τα διανύσµατα-στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: 4 9 Γ Γ ---> { 4 9 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ
+ Γ 4 ---> Γ 4 { 9 Γ - -9 Γ ---> { Γ - -9 + Γ ---> Γ { Γ + Γ ---> Γ { Γ + Γ 4 ---> Γ 4 { Γ
- 64-9 Γ Γ ---> { 64 - -9 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ 9 Γ 4 ---> Γ 4 + { Γ. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 =================================================
================================================= Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 Ασκήσεις σε γραµµική ανεξαρτησία διανυσµάτων ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [, -,, -9], V = [ 4, 9, -, 6 ], V = [, -4,, - ] - -9 Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= 4 9-6 -4 - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: - -9 4 9-6 -4 - Γ Γ ---> { -9-4 9-6 -4 - Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ ---> Γ + { Γ
-9 - - 4 - Γ Γ ---> { - - - -9 4 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ 4 6 - - 6-69 6 4 9 6 6 Γ Γ ---> {
4 6 - -69 6 4-9 Γ ---> Γ + { 4 6 Γ Γ ---> Γ + { Γ -44-9. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [ -6,, -, -], V = [ -9, -6, -, ], V = [ -, -4, -, ] -6 - - Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= -9-6 - - -4 - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = µικρότερος από τον αριθµό των γραµµών του Α, άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan:
-6 - - -9-6 - - -4 - Γ ---> { Γ 6-6 -9-6 - - -4 - + Γ ---> Γ { 9 Γ + Γ ---> Γ { Γ - 6-9 - -9 - Γ ---> { Γ 9-6 9 - -9 -
Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 9 Γ 4 4-9. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [ -,, -4, ], V = [ -9,,, ], V = [ -,,, ] - -4 Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= -9 - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: - -4-9 - Γ ---> { Γ
- 4-9 - + Γ ---> Γ { 9 Γ + Γ ---> Γ { Γ - 4 Γ ---> { Γ - 4 + Γ ---> Γ { Γ + Γ ---> Γ { Γ
- 4-6 Γ ---> { 4 Γ Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ 6 4. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [,,, -], V = [ 6, -,, - ], V = [ 4, 4, 4, -6 ]
- Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A = 6 - - 4 4 4-6 Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = µικρότερος από τον αριθµό των γραµµών του Α, άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: - 6 - - 4 4 4-6 - 6 - - 4 4 4-6 Γ ---> Γ + { 6 Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ - -9-4 4 Γ ---> { Γ 9
- - - 9 9-4 4 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ -4 9 9 - - 9 9. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [, -, 4, -], V = [,, -4, - ], V = [ -4, -,, - ] - 4 - Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= -4 - -4 - - Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: - 4 - -4 - -4 - - Γ Γ ---> {
- -4-4 - -4 - - Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ - -4 - - - -4 Γ Γ ---> { - -4 - - 6 - -4 Γ ---> Γ + { 4 Γ Γ ---> Γ + { Γ
- - - - 6-6 - Γ ---> { Γ - - - 6-6 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ 9. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [, -,, ], V = [ -,, -6, ], V = [ -,, -9, ]
- Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A = - -6 - -9 Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = µικρότερος από τον αριθµό των γραµµών του Α, άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: - - -6 - -9 - - -6 - -9 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ - - -4 6 Γ ---> { Γ
- - - 4 6-4 6 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 4 Γ -9 4 6 - - 4 6. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [, -9,, ], V = [, -, 9, ], V = [ -, -, 9, -9 ] -9 Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= - 9 - - 9-9 Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: -9-9 - - 9-9 Γ Γ ---> {
-9-9 - - 9-9 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ -9 4 - -4 Γ Γ ---> { -9 9 - -4 9 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ
9 9 9 49 9 6-6 9 9 Γ Γ ---> { 49 9 9 9 6-4 46 Γ ---> Γ + { 9 9 Γ Γ ---> Γ + { 9 Γ 4-4 46. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [ -,, -, ], V = [, -,, ], V = [ 6, -4, 6, 6 ]
- - Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A = - 6-4 6 6 Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = µικρότερος από τον αριθµό των γραµµών του Α, άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: - - - 6-4 6 6 Γ ---> { Γ - - - 6-4 6 6 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { 6 Γ - 9 - -6-6
Γ Γ ---> { 9 - - 9-6 - 6 9 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ - 64 9 9-6 9 9. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [ -, 6, -, ], V = [ -,, -, 9 ], V = [ -, -, 6, ] - 6 - Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= - - 9 - - 6 Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan:
- 6 - - - 9 - - 6 Γ ---> { Γ -6 - - - 9 - - 6 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ -6-6 - - 4 9 Γ Γ ---> {
-6-6 - - 4 9 6 Γ ---> Γ + { Γ 6 Γ ---> Γ + { Γ - 9-4 -9 9 Γ ---> { Γ 9-9 - 4-9 9 Γ ---> Γ + { Γ Γ ---> Γ + { Γ
- 9-94 -9 9. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 ================================================= Έστω τα διανύσµατα : V = [ -, -4, -, ], V = [, -, 6, -], V = [, -6,, -6 ] - -4 - Ο πίνακας µε γραµµές αυτά είναι A= - 6 - -6-6 Ο βαθµός του πίνακα είναι rank(a) = µικρότερος από τον αριθµό των γραµµών του Α, άρα τα διανύσµατα-γραµµές του Α είναι γραµµικά εξαρτηµένα Αναλυτική απάντηση µε απαλοιφή Gauss-Jordan: - -4 - - 6 - -6-6 Γ ---> { Γ 4-6 - -6-6 Γ ---> Γ + { Γ ---> Γ + {
4-6 - -6-6 Γ ---> { Γ 4-4 -6-6 + Γ ---> Γ { 4 Γ + Γ ---> Γ { 6 Γ 4-4 - 4. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 9 =================================================