3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι υπερβολή µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( Ε Ε ) = 2γ, πρέπει

3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε υπερολή µε εστίες τ σηµεί Ε κι Ε το εωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιµή της διφοράς των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη του (Ε Ε).. Άµεση συνέπει (ΜΕ ) (ΜΕ) Ο.τ του σηµείου Μ είνι υπερολή µε εστίες Ε κι Ε. Περιορισµός : Αν ( Ε Ε ), πρέπει < 3. Εξίσωση υπερολής µε εστίες Ε (, 0), Ε (, 0)., όπου Εξίσωση υπερολής µε εστίες Ε ( 0, ), Ε ( 0, ), όπου 5. Ισοσκελής υπερολή Ότν, τότε η υπερολή λέετι ισοσκελής κι έχει εξίσωση 6. Ιδιότητες πό το σχήµ i) Εστίες στον άξον ii) Σηµεί τοµής µε τον άξον iii) Συµµετρική ως προς τον άξον ως προς τον άξον ως προς την ρχή Ο iv) Σχέση µεεθών : ή Ε - O E

7. Ασύµπτωτες Λέοντι οι ευθείες, 8. Ορθοώνιο άσης Ν Κ Λέετι το ορθοώνιο ΚΛΜΝ, όπου Κ(, ) Ε Μ - O - Λ E 9. Εκκεντρότητ i) ε >, ποδεικνύετι ότι : ε 0. Εφπτοµένη, όπου Μ(, ) το σηµείο επφής. ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Το πρόσηµο των πρµέτρων Σε κάθε υπερολή. Κάτι προφνές λλά χρήσιµο + οι,, είνι > 0 3. Ισοδύνµη µορφή της εξίσωσης υπερολής

3. Ισοδύνµη µορφή της εξίσωσης εφπτοµένης 5. Γενική µέθοδος Γι την επίλυση του µεάλου όκου των προληµάτων : ) Θεωρούµε τους πρίτητους νώστους. ) Μεττρέπουµε τις υποθέσεις του προλήµτος σε εξισώσεις ) Λύνουµε το σύστηµ των εξισώσεων δ) Ακολουθούµε ήµ ήµ την εκφώνηση 6. Γι εφπτοµένη πό σηµείο που δεν νήκει στην υπερολή Θεωρούµε την εξίσωση της εφπτοµένης έχοντς νώστους τις συντετµένες του σηµείου επφής. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν ρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερολής που έχει τις ίδιες εστίες µε την έλλειψη 9 + 5 5 9 + 5 5 + 5 9 Επειδή 5 > 9, οι εστίες είνι στον άξον. Είνι 5 κι 3 άρ 6 ηλδή εστίες της έλλειψης είνι τ σηµεί Ε (, 0) κι Ε(, 0). Η ζητούµενη ισοσκελής υπερολή θ είνι της µορφής µε. Όµως κι φού, θ έχουµε Εποµένως η ζητούµενη υπερολή είνι 8. 6 8

. ίνετι η ισοσκελής υπερολή κι η ευθεί κ, η οποί τέµνει την υπερολή στ σηµεί Β κι Β. Αν Α κι Α είνι οι κορυφές της υπερολής δείξτε ότι ΒΑΒ ΒΑ Β 90 Σύστηµ κ Β Β κ κ κ O A + κ κ ± +κ κ Άρ Β ( + κ, κ) κι Β ( + κ, κ) Β Α ( + + κ, κ) κι ΒΑ ( + κ, κ) Οπότε Β ΒΑ Α ( + + κ )( + κ ) + κ κ + κ 0 Β Α ΒΑ Οµοίως ΒΑ Β 90

5 3. Ν ποδείξετε ότι το ινόµενο των ποστάσεων του τυχίου σηµείου Μ(, ) της υπερολής πό τις σύµπτωτες είνι στθερό. Ασύµπτωτες της υπερολής είνι οι ευθείες ε : κι ε : + 0 κι 0 d(μ, ε ) + + κι Οπότε d(m, ε ) d(μ, ε ) d(m, ε ) + + Επειδή όµως το Μ νήκει στην υπερολή, έχουµε Ακόµ είνι + Οπότε η () ίνετι d(m, ε ) d(m, ε ) () στθερό.

6. είξτε ότι ι τις υπερολές κι ε + ε ε ε, όπου ε, ε οι εκκεντρότητες ισχύει Έστω η εστική πόστση της πρώτης υπερολής. Τότε ε + Έστω η εστική πόστση της δεύτερης υπερολής. Τότε ε + + + Αρκεί ν ποδείξουµε ε + ε ε ε + + + + + ( + ) + ( + ) ( + ) + + + + + που ισχύει

7 5. Μι υπερολή έχει εκκεντρότητ ε, εστίες στον άξον κι κέντρο συµµετρίς την ρχή των ξόνων. Ν ρείτε την οξεί ωνί των συµπτώτων της υπερολής. Από την υπόθεση του προλήµτος προκύπτει ότι οι σύµπτωτες της υπερολής έχουν εξισώσεις Οι σύµπτωτες είνι ε : κι ε : Πάµε ν υπολοίσουµε το συντελεστή διεύθυνσης της ε ε + + 3 3 εφ 60ο Εποµένως η ε σχηµτίζει µε τον άξον των ωνί 60 ο Λόω της συµµετρίς ως προς τον άξον, η µλεί ωνί των συµπτώτων θ είνι 0 ο, άρ η οξεί ωνί θ είνι 60 ο

8 6. Έστω η υπερολή 3 6. Ν ρείτε i) Τις εφπτόµενες της υπερολής που είνι πράλληλες στη ευθεί ii) Το εµδόν του τριώνου που ορίζετι πό µί των εφπτοµένων κι τις σύµπτωτες. i) Αν Μ(, ) είνι το σηµείο επφής τότε η εφπτοµένη (ε) σ υτό έχει εξίσωση 3 6 µε λ 3 (ε) πράλληλη στην ευθεί Μ νήκει στην υπερολή 3 3 3 6 () () Λύνοντς το σύστηµ των () κι () ρίσκουµε Μ(3, ) ή Μ( 3, -) Άρ οι ζητούµενες εφπτόµενες είνι ε : 6 6 6, ε : 6 + 6 6 ii) Η υπερολή ράφετι Μί σύµπτωτη είνι ε : ε :, ε : + 6 3 6 3 3 3, 3 Σύστηµ των ε, ε : 3 3( ) 3 3 ( 3 ) 3 3 3 3( 3 + ) 3 + 6 ( 3 )( 3 + ) 3+ 6 + 6 3 + 6

9 Οπότε η µί κορυφή του τριώνου είνι Α(3 + 6, + 6 ) οµοίως η άλλη Β(3 6, 6 ) κι η τρίτη Ο(0, 0) Είνι OA (3 + 6, + 6 ) κι OB (3 6, 6 ) det( OA 3+ 6 + 6, OB ) 3 6 6 6 Άρ το ζητούµενο εµδόν είνι (ΟΑΒ) 6 6 τετρωνικές µονάδες 7. Ν ρείτε την εξίσωση της εφπτοµένης της υπερολής η οποί πέχει πό την ρχή Ο πόστση Έστω (ε) : d(ο, ε) 0 Μ νήκει στην υπερολή + 6 µονάδες η ζητούµενη εφπτοµένη + 6 + 6 6 () () 3 Σύστηµ των (), () ± κι ± Εποµένως υπάρχουν σηµεί επφής κι η εφπτοµένη είνι 3 0 ή + 3 0 ή 3 0 ή + 3 0

0 8. Ν ρείτε το εωµετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων οποίοι διέρχοντι πό το σηµείο Μ(, 0) κι εφάπτοντι εξωτερικά στον κύκλο + 0 Ο δοσµένος κύκλος + 0 έχει κέντρο Κ(, 0) κι κτίν ρ. Έστω Λ(, ) τυχίο σηµείο του εωµετρικού τόπου, δηλδή κέντρο κύκλου ( ) + ( ) R σηµείο Μ(, 0) κι εφάπτετι εξωτερικά στον δοσµένο ( ) + R () κι (ΚΛ) R + ρ () που διέρχετι πό το () ( ) + R + ( ) ( ) + ( + R) + + + R + R + R + R () + R + ( ) + Περιορισµός : R > 0 () ( ο ) + + R + + + + R + R > 0 < + (3) 6 + 8 + + + + + 8 + 6 + 8 + 3 3 3 Εποµένως το σηµείο Λ ρίσκετι στην υπερολή µε < 3

9. Η υπερολή κι η ευθεί + τέµνοντι στ σηµεί Α, Β. 6 Ν ρείτε τις συντετµένες του µέσου Μ της χορδής ΑΒ + Σύστηµ 6 + 6 + ( + ) 6 + 6 + 3 7 0 Οι ρίζες, της δευτεροάθµις είνι οι τετµηµένες των Α, Β ντίστοιχ, οπότε + 3 Αλλά M + M 3 Μ νήκει στην (ε) M M + 3 + 3

0. Η εφπτοµένη της υπερολής στο σηµείο της Μ(, ) κι η κάθετη στην εφπτοµένη στο ίδιο σηµείο τέµνουν τον άξον των στ σηµεί Α κι Β. είξτε ότι ο κύκλος διµέτρου ΑΒ διέρχετι πό τις εστίες της υπερολής. Η εξίσωση της εφπτοµένης της υπερολής στο σηµείο Μ(, ) είνι µε συντελεστή διεύθυνσης λ άξον των το Α(0, ). κι σηµείο τοµής της µε τον Η κάθετη στην εφπτοµένη στο Μ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ κι εξίσωση ( ) + + 5 Γι 0 δίνει B(0, 5) Στην υπερολή, επειδή κι, θ είνι 5 Οπότε εστίες της υπερολής είνι τ σηµεί Ε ( 5, 0) κι Ε( 5, 0) Ο κύκλος διµέτρου ΑΒ έχει κέντρο το, + + AB Κ A B, A B Κ(0, ) κι κτίν ρ (5+ ) 3 Οπότε η εξίσωσή του είνι + ( ) 9, η οποί επληθεύετι πό τις συντετµένες των εστιών, άρ ο κύκλος διέρχετι πό τις εστίες.

3. Ν ποδείξετε ότι το ινόµενο των ποστάσεων των εστιών της υπερολής Έστω (ε): πό µί εφπτοµένη της είνι ίσο µε. 0 η εφπτοµένη Οι d( Ε, ε) + + + d( Ε, ε) + + Οπότε d( Ε, ε) d( Ε, ε) + + + + + Όµως το Μ νήκει στην υπερολή, άρ Η () ίνετι d( Ε, ε) d( Ε, ε) () + ( ) + ( + ) + ( + ) ()

Επειδή όµως ο προνοµστής της () είνι θετικός, άρ κι της (), η () d( Ε, ε) d( Ε, ε). Μι υπερολή έχει κέντρο συµµετρίς την ρχή των ξόνων Ο κι εστίες στον άξον των. Ο κύκλος + 6 διέρχετι πό τις κορυφές της υπερολής κι µί σύµπτωτη της υπερολής είνι η ευθεί. Ν ρείτε 3 i) Τις εστίες της υπερολής ii) Την εξίσωση της υπερολής iii) Τις κορυφές του ορθοωνίου άσης της υπερολής iν) Την εκκεντρότητ της υπερολής i) Η εξίσωση της υπερολής θ είνι της µορφής Κορυφές της υπερολής είνι τ σηµεί Α ( 0, ) κι Α( 0, ) µε Αφού ο κύκλος + 6 διέρχετι πό υτές, έχουµε 6 () Ασύµπτωτες της υπερολής είνι οι ευθείες Όµως πό υπόθεση µί σύµπτωτη είνι η άρ Η 3, 3 κι 3 κι λόω της () έχουµε 3 3 5 5 Εποµένως οι εστίες είνι τ σηµεί Ε (0, 5) κι Ε(0, 5) ii) Η εξίσωση της υπερολής είνι iii) 6 9 Κ(3, ), Λ( 3, ), Μ( 3, ) κι Ν(3, ) iν) Η εκκεντρότητ ε 5

5 3. ίνετι η υπερολή C : κι σηµείο της Μ(, ) διφορετικό πό τις κορυφές της. Έστω (ε) η εφπτοµένη στο Μ κι (ε ) η κάθετη της (ε) στο Μ. Αν η (ε ) τέµνει τον άξον των στο Γ κι τον άξον των στο, i) Ν ρείτε την εξίσωση της (ε ) ii) Ν ρείτε τις συντετµένες των Γ κι iii) Ν ρείτε τις συντετµένες του µέσου Ν του Γ iν) Ν δείξετε ότι, ότν το Μ µετάλλετι το Ν κινείτι σε υπερολή. i) (ε) : µε λ ε Άρ λ ε (ε ) : ( ) + + + + + ( + ) + () ii) Γι 0, η () Γ, 0 Γι 0, η () 0, iii) N Γ + κι N Γ + () iν) Από τις () έχουµε Ν κι Ν (3)

6 Kι επειδή το Μ(, ) νήκει στην υπερολή, θ έχουµε (3) N Ν Ν Ν Ν Ν που είνι εξίσωση υπερολής

7. Έστω η υπερολή C: κι η εφπτοµένη (ε) στο σηµείο της Μ(, ). Αν η (ε) τέµνει τις εφπτοµένες στις κορυφές της υπερολής στ Γ κι, δείξτε ότι ο κύκλος µε διάµετρο Γ διέρχετι πό τις εστίες της υπερολής (ε) : Κορυφές τις υπερολής είνι τ σηµεί Α (, 0) κι Α(, 0) Οι εφπτόµενες στ Α κι Α έχουν εξισώσεις Λύνοντς τ συστήµτ Σ : κι ντίστοιχ κι Σ : κι ρίσκουµε Γ, ( ) + κι, ( ) ΕΓ ( +), ΕΓ Ε ( ) ( )( ) κι Ε, Όµως το Μ(, ) νήκει στην υπερολή, άρ () ΕΓ Ε 0 ( ) ( ) ( ) ΕΓ Ε Οµοίως ποδεικνύετι ότι διέρχετι κι πό την Ε ( + ) () 0 ο κύκλος διµέτρου Γ διέρχετι πό την εστί Ε.

8 5. Ν ρείτε την εξίσωση της υπερολής, η οποί έχει κέντρο συµµετρίς την ρχή Ο, εστίες Ε, Ε πάνω στον άξον, διέρχετι πό το σηµείο Α(8, 6) κι ισχύει Ε ΑΕ 90 ο. Έστω η ζητούµενη υπερολή κι Ε (, 0), Ε(, 0) οι εστίες Τότε ΑΕ ( 8, 6) κι ΑΕ ( 8, 6) Ε ΑΕ 90 ο ΑΕ ΑΕ 0 ( 8)( 8) + 36 0 ( 8)( + 8) + 36 0 ( 8)( + 8) 36 6 36 00 + 00 () 6 36 Α νήκει στην υπερολή () Λύνοντς το σύστηµ των (), () ρίσκουµε 0 κι 60 Άρ η υπερολή έχει εξίσωση 0 60

9 6. Ν ρείτε την εξίσωση της εφπτοµένης της υπερολής, η οποί εφπτοµένη σχηµτίζει µε τους θετικούς ηµιάξονες τρίωνο µε εµδόν 3 Αν Μ(, ) είνι το σηµείο επφής τότε η εφπτοµένη είνι Γι 0 δίνει, άρ τέµνει τον στο Γ, 0 µε < 0 Γι 0 δίνει, άρ τέµνει τον στο 0, Το εµδόν του τριώνου ΟΓ είνι ίσο µε (ΟΓ ) 3 Μ(, ) νήκει στην υπερολή 3 µε > 0 3 () () Λύνοντς το σύστηµ των (), () κι λµάνοντς υπόψη κι τους περιορισµούς < 0 κι > 0 ρίσκουµε κι 6 Οπότε η ζητούµενη εφπτοµένη είνι 6 +.

0 7. Σηµείο Μ κινείτι στην υπερολή. Η εφπτοµένη της υπερολής στο Μ τέµνει τον άξον σε σηµείο Α. Ν ποδείξετε ότι το ορθόκεντρο του τριώνου ΜΑΟ (Ο η ρχή των ξόνων) κινείτι σε µι άλλη υπερολή. Έστω Μ(, ) κι Η(, ) το ορθόκεντρο του τρ. ΜΑΟ. ΜΑ εφπτοµένη: λ ΜΑ ΟΗ ΜΑ λ ΟΗ. λ ΜΑ λ ΟΗ Εξίσωση της ευθείς ΟΗ: 0 H OH ο MΗ OΑ ο ο () () Σύστηµ των (), () µε νώστους Μ στην υπερολή ο, (3) ( 0) ο : O A ο κι ο ο κι ο ο ο ο ο ο M(, ) H( 0, 0 ) ο υπερολή (3)

8. ίνετι ρόµος ΑΒΓ. Ν ρείτε το εωµετρικό τόπο των σηµείων Μ, ι τ οποί ισχύει (ΜΑ) (ΜΓ) (ΜΒ) (Μ ). Θεωρούµε σύστηµ ξόνων µε άξονες τις διώνιες κι χωρίς λάη της ενικότητς έστω Α(0, ), Β(, 0), Γ(0, ), (, 0), Μ(, ) µε > 0. (ΜΑ) (ΜΓ) (ΜΒ) (Μ ) (ΜΑ) (ΜΓ) (ΜΒ) (Μ ) (-, 0) O A(0, ) Γ(0, -) M(, ) Β(, 0) [( 0) + ( ) ] [( 0) + ( + ) ] [( ) + ( 0) ] [( + ) + ( 0) ] ( + + ) ( + + + ) ( + + ) ( + + + ) [( + + ) ][( + + ) + ] ( + + ) ( + + ) [( + + ) ][( + + ) + ] + + + + + + + + + + + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) () Ότν > 0, δηλδή <, δηλδή < η () πριστάνει ισοσκελή υπερολή µε τις εστίες της στον άξον Ότν < 0, δηλδή >, δηλδή > η () ίνετι, οπότε πριστάνει ισοσκελή υπερολή µε τις εστίες της στον άξον Ότν 0, δηλδή, δηλδή η () ίνετι 0, ή οπότε πριστάνει τις διχοτόµους των ωνιών των ξόνων

9. Γι τις διάφορες τιµές του λ R, ν ρείτε τι πριστάνει η εξίσωση + λ+ 5 λ+ 9 Στις περιπτώσεις που πριστάνει κωνική τοµή, ν ρείτε τις εστίες. - -9-5 + Γι λ 9 ή λ 5 η εξίσωση είνι δύντη, άρ δεν πριστάνει τίποτ. Γι λ < 9, άρ κι λ < 5 λ + 9 < 0 κι λ + 5 < 0 λ+ 5 < 0 κι < 0 λ+ 9 + < 0 λ+ 5 λ+ 9 η εξίσωση είνι δύντη, άρ δεν πριστάνει τίποτ. Γι 9 < λ < 5 λ + 9 > 0 κι λ + 5 < 0 Η εξίσωση ράφετι + ( λ+ 5) λ+ 9 λ+ 9 ( λ+ 5) Είνι λ + 9 κι (λ + 5) Αλλά (λ + 5) (λ + 9) λ 5 λ 9 Άρ οι εστίες είνι Ε (0, ), Ε(, 0) που πριστάνει υπερολή µε τις εστίες της στον άξον. Γι λ > 5, άρ κι λ > 9 λ + 5 > 0 κι λ + 9 > 0 Άρ η εξίσωση πριστάνει έλλειψη. Επειδή δε, λ + 9 > λ + 5, οι εστίες της νήκουν στον άξον. Η εξίσωση ράφετι + λ+ 9 λ+ 5 Αλλά λ + 5 λ + 9 Άρ οι εστίες είνι Ε (0, ), Ε(, 0) µε λ + 9 κι λ + 5

3 0. Η εστί της προλής p µε p > 0 + µε 0 < <. συµπίπτει µε µί εστί της έλλειψης i) Ν ποδείξετε ότι το σηµείο Μ, νήκει σε µι ισοσκελή υπερολή p p νεξάρτητη των p,,. ii) Έστω ε, ε οι εφπτόµενες της προλής που άοντι πό την εστί της έλλειψης η οποί δεν είνι εστί της προλής. Ν ρείτε τις συντετµένες των σηµείων επφής Α, Α συνρτήσει του στοιχείου () της έλλειψης. iii) Αν τ Α, Α νήκουν στην έλλειψη, ν υπολοίσετε την εκκεντρότητά της. Επειδή p > 0, η εστί Ε(, 0) της έλλειψης θ συµπίπτει µε την εστί της προλής. Άρ θ είνι i) Αρκεί ν ποδείξουµε ότι M M p p p p p p M -, οπότε p () M στθερό. Αλλά, οπότε ii) Έστω Α (, ) κι Α (, ) Θ είνι ε : p( + ) Ε ε 0. p( + ) 0 + M Ε M O () p Α p, 0 ( ) E Α στην προλή Άρ, οπότε p p ().. Α (, ). Οµοίως δε, Α (, ) Α

iii) Α στην έλλειψη ( ) + + + λλά ( ) + ( ) + + 6 0 6 + 0 6 + 0 6 + 0 ε 6ε + 0 36 3 ε 6 ± 3 6 ± 3 ± λλά ε < άρ ε 3 ε 3