Εἶναι ἄραγε νεκρός ὁ Εὐκλείδης ;

Εἶναι ἄραγε νεκρός ὁ Εὐκλείδης ; Γιωργος Σωκρατης.Σ. Σµυρλης 2006

c 2006 Γιῶργος-Σωκράτης.Σ. Σµυρλῆς Η εἰκόνα στό ἐξώφυλλο ἀποτελεῖ ἔργο τοῦ Barnett Newman (1905-1970), τό ὁποῖο ϕέρει τόν τίτλο : The Death of Euclid. Τό ἔργο αὐτό τοῦ 1947, ἀποτελεῖ ἄθελά του προποµπό ἐκστρατείας τῶν Bourbaki ἐναντίον τῆς Εὐκλειδείου Γεωµετρίας. Σηµειωτέον ὅτι ἡ τέχνη τοῦ Barnett Newman, ὁ ὁποῖος ἀποτελεῖ ἐκπρόσωπο τῆς µετακυβιστικῆς σχολῆς, ἀντιστρατεύθηκε τήν ἀπόλυτα γεωµετρική ἐκδοχή τοῦ κυβισµοῦ.

Εἶναι ἄραγε νεκρός ὁ Εὐκλείδης ; Γιῶργος-Σωκράτης.-Σ. Σµυρλῆς Περίληψη Κατά τήν διάρκεια τοῦ δευτέρου ἡµίσεος τῆς δεκαετίας τοῦ 60 ἡ Εὐκλείδειος Γεωµετρία, ἡ ὁποία µέχρι τότε ἀποτελοῦσε ϐασικό µέσο διδασκαλίας ϑεµελιωδῶν µαθηµατικῶν ἐννοιῶν καί µεθόδων, παραµερίστηκε σταδιακά ἀπό τά σχολικά ἐγχειρίδια τῶν πλείστων χωρῶν τῆς ύσεως. Οἱ ὀλέθριες συνέπειες τῆς µεταρρυθµίσεως αὐτῆς κατέστησαν εµφανεῖς πολύ σύντοµα. Στήν Κύπρο ἡ µεταρρύθµιση αὐτή έλαβε χώραν στά µέσα τῆς δεκαετίας τοῦ 80. Τά συµπτώµατα τῶν µεταρρυθµίσεων αὐτῶν, καθώς καί τοῦ γενικότερου παραµερισµοῦ τῶν ἀποδείξεων στή δευτεροβάθµια ἐκπαίδευση τῆς Κύπρου, ἀναλύονται µέσω ἐµπειριῶν ἀπό τούς ϕοιτητές τοῦ Πανεπιστηµίου Κύπρου. 1 Εἰσαγωγικά Πρό πέντε περίπου ἐτῶν ἔδωσα σειρά ὁµιλιῶν 1 σέ καθηγητές τῆς δευτεροβάθµιας ἐκπαιδεύσεως ( Ε) τῆς Κύπρου, σέ συνέδρια ιδακτικῆς τῶν Μαθηµατικῶν καθώς καί στό Τρίτο πρόγραµµα τοῦ Ραδιοφωνικοῦ Ιδρύµατος Κύπρου, µέ ϑέµα τίς συνέπειες ἀπό τήν κατάργηση (ἤ ἔστω τόν παραµερισµό) τῆς Εὐκλειδείου Γεωµετρίας (ΕΓ) στήν Ε τῆς Κύπρου. Τό παρόν ἆρθρο ϐασίζεται ἐν πολλοῖς σ ἐκεῖνες τίς ὁµιλίες ἐνῶ εἶναι διανθισµένο µέ συµπεράσµατα ἀπό πρόσφατες ἐµπειρίες καί γεγονότα. Πέραν τοῦ παραµερισµοῦ τῆς ΕΓ παρετηρήθη καί σταδιακή ἐπιδείνωση τοῦ ἐπιπέδου τῶν νεοεισερχοµένων ϕοιτητῶν στό Πανεπιστήµιο Κύπρου στά Μαθηµατικά. ἐπιδείνωση αὐτή ἀναµφιβόλως ὀφείλεται στίς πρόσφατες ἐκπαιδευτικές µεταρρυθµίσεις. Η δοµή τοῦ παρόντος ἄρθρου εἶναι ἡ ἀκόλουθη : Παράγραφος 2. Παρουσίαση γενικῶν διαπιστώσεων στούς νεοεισερχόµενους ϕοιτητές τοῦ τµή- µατος Μαθηµατικῶν καί Στατιστικῆς. Παράγραφος 3. Ἀναφορά χαρακτηριστικῶν παραδειγµάτων ἀπό τήν προσωπική µου ἐµπειρία, ἀλλά καί ἀπό τήν ἐµπειρία συναδέλφων, ὅπου ἀναδεικνύονται οἱ ἐλλείψεις καί ἀδυναµίες τῶν ἀποφοίτων τῶν κυπριακῶν λυκείων. Τµῆµα Μαθηµατικῶν καί Στατιστικῆς, Πανεπιστήµιο Κύπρου, Καλλιπόλεως 75, 1678 Λευκωσία, Τ.Κ. 20537, Κύπρος. E-mail: smyrlis@ucy.ac.cy Η ἀνά χεῖρας ἐργασία ἔχει ὑποστηριχθεῖ ἀπό τό ἐρευνητικό πρόγραµµα τοῦ Πανεπιστηµίου Κύπρου # 8037-3/312-21005. 1 Οἱ περισσότερες ἀπό τίς ὁµιλίες ἐκεῖνες ἔφεραν τόν τίτλο : Εἶναι ἄραγε νεκρός ὁ Εὐκλείδης ; ἤ Οἱ συνέπειες ἀπό τήν κατάργηση τῆς Εὐκλειδείου Γεωµετρίας στή δευτεροβάθµια ἐκπαίδευση τῆς Κύπρου. Η 1

2 Γενικές διαπιστώσεις Παράγραφος 4. Ιστορία τῶν µεταρρυθµίσεων. Ιδιαιτέρως δέ ἐξετάζεται πῶς ϕθάσαµε στήν κατάργηση τῆς ΕΓ στήν Ε τῆς Κύπρου. Παράγραφος 5. Σύντοµη εἰσαγωγή στήν ΕΓ. Τί εἶναι ; Πότε ἐµφανίζεται ; Πῶς ἐπηρέασε τά Μαθηµατικά γενικότερα ; Πῶς ἐπηρέασε τούς ἀρχαίους ϕιλοσόφους ἀλλά καί τούς συγχρόνους ἐπιστήµονες. Παράγραφος 6. Η ἐπανάσταση τῶν ὑπολογιστῶν. Οἱ ὑπολογιστές δύνανται νά ἀποτελέσουν ἄριστο ἐποπτικό µέσο γιά τήν καλύτερη κατανόηση τῆς ΕΓ. Παράγραφος 7. Επίλογος. Τί δέον γενέσθαι. Πηγή τῶν πληροφοριῶν µου ἀπετέλεσε σειρά ἐπαφῶν µέ κύπριους λειτουργούς τῆς Ε οἱ ὁποῖοι µοῦ µετέφεραν τίς προσωπικές τους ἐµπειρίες. Επίσης εἶχα τή δυνατότητα νά µελετήσω ἐγχειρίδια Μαθηµατικῶν πού χρησιµοποιοῦνται στά κυπριακά γυµνάσια καί λύκεια. Τέλος, Ϲωντανή πηγή ἐµπειριῶν καί πληροφοριῶν ἀπετέλεσαν καί ἐξακολουθοῦν νά ἀποτελοῦν, οἱ ϕοιτητές τοῦ Πανεπιστηµίου Κύπρου. 2 Γενικές διαπιστώσεις έν ἀποτελεῖ οὐδόλως ἀσύνηθες ϑέµα συζητήσεως µεταξύ τῶν συναδέλφων τοῦ τµήµατος Μαθη- µατικῶν καί Στατιστικῆς τοῦ Πανεπιστηµίου Κύπρου καί τῶν Ελλαδιτῶν ἐπισκεπτῶν, τό ἐπίπεδο καί ἡ γενική µαθηµατική κατάρτιση τῶν ἑκάστοτε νεοεισερχοµένων ϕοιτητῶν. Εχει διαπιστωθεῖ ὅτι, ἐνῶ οἱ πρωτοετεῖς µας εἶναι ἐπαρκῶς ἐξοικειωµένοι µέ ἀσκήσεις ὑπολογιστικῆς ϕύσεως, ἀσκήσεις δηλαδή οἱ ὁποῖες ἀπαιτοῦν σειρά ὑπολογισµῶν ἤ ἐφαρµογή γνωστῶν τύπων γιά νά ἐπιλυθοῦν, οἱ ἴδιοι ϕοιτητές ἀδυνατοῦν ἤ στήν καλύτερη περίπτωση δυσκολεύονται νά ἐπιλύσουν ἀποδεικτικές ἀσκήσεις. Αὐτές εἶναι ἀσκήσεις τῶν ὁποίων τό Ϲητούµενο, ἤ διαφορετικά τό ἀποδεικτέο, προκύπτει ὡς τό τελικό ϐῆµα µιᾶς ἀποδεικτικῆς διαδικασίας, δηλαδή µιᾶς σειρᾶς προτάσεων οἱ ὁποῖες εἴτε ἀποτελοῦν δεδοµένα ἤ γνωστά ϑεωρήµατα, εἴτε προκύπτουν ἀπό προηγούµενες προτάσεις µέσω λογικῶν κανόνων. Επί πλέον, ἐνῶ διαθέτουν ἀρκετή πεῖρα στήν ἐφαρµογή συνταγῶν ἐπιλύσεως προβληµάτων, δέν ἔχουν κατανοήσει γιατί καί πότε ἐπιτρέπεται νά χρησιµοποιηθοῦν οἱ συνταγές αὐτές. Ιδιαιτέ- ϱως, σέ ἀσκήσεις στίς ὁποῖες πρέπει νά ἀκολουθηθεῖ µιά σειρά ϐηµάτων ὑπό προϋποθέσεις, οἱ πρωτοετεῖς µας δέν ϑεωροῦν ἀναγκαῖο νά ἀναφέρουν σέ ποιές περιπτώσεις ἐπιτρέπεται τό κάθε ϐῆµα. Επιπροσθέτως ὑπάρχει ἐµφανής ἀδυναµία διατυπώσεως τῶν µαθηµατικῶν συλλογισµῶν, ἀκόµη καί στά γραπτά. Η ἀδυναµία αὐτή εἶναι ἐµφανέστερη ὅταν οἱ ἀπόφοιτοι τῶν κυπριακῶν λυκείων συγκρίνονται µέ αὐτούς τῶν ἑλλαδικῶν. Μιά χαρακτηριστική παρατήρηση τῶν ἐπισκεπτῶν καθηγητῶν ἀπό ἑλλαδικά πανεπιστήµια εἶναι ὅτι : Πολύ λίγες λέξεις ἐµφανίζονται στά γραπτά τῶν πρωτοετῶν ϕοιτητῶν µας. ίδεται ἡ ἐντύπωση ὅτι οἱ νέοι µας δέν ἔχουν ποτέ διδαχθεῖ πῶς νά ἐπεξηγήσουν µέ λόγια τί κάνουν καί γιατί, ὅταν ἐπιλύουν ἀσκήσεις. Η γενικότερη γλωσσική ἀνεπάρκεια τῶν ἀποφοίτων τῶν κυπριακῶν λυκείων εἶναι ἕνα πολύ µεγάλο πρόϐληµα, τό ὁποῖο δέν ἀποτελεῖ ϐεβαίως ἀποκλειστική εὐθύνη τοῦ τρόπου διδασκαλίας τῶν Μαθηµατικῶν. υστυχῶς ὅµως τό πρόβληµα αὐτό 2

3 Χαρακτηριστικά παραδείγµατα παρουσιάζει συνεχῆ ἐπιδείνωση. Ἀναµφιβόλως, ἡ ἀδυναµία ἐκφράσεως στά Ελληνικά ἐπηρεάζει τόσο τήν ἱκανότητα ἐκφράσεως στά Μαθηµατικά, ἀλλά καί αὐτήν τήν καλή κατανόηση λεπτῶν µαθηµατικῶν ἐννοιῶν. 3 Χαρακτηριστικά παραδείγµατα Εἶναι σηµαντικό νά ἀναφερθοῦν µερικά χαρακτηριστικά παραδείγµατα. (Τά παραδείγµατα Α, Β καί ἀπαιτοῦν τεχνικές γνώσεις γιά νά κατανοηθοῦν.) Α. Υπολογισµός ὁρισµένων ὁλοκληρωµάτων Σέ τάξη Ἀπειροστικοῦ Λογισµοῦ, ἔχοντας διαπιστώσει ὅτι οἱ ϕοιτητές εἶχαν πολύ µεγαλύτερη πεῖρα ἀπό µένα στόν ὑπολογισµό ἀορίστων ὁλοκληρωµάτων, ἔδωσα τήν ἑξῆς ἁπλῆ ἄσκηση : Νά ὑπολογισθεῖ ἡ τιµή τοῦ ὁλοκληρώµατος 1 2 dx x 2. Η µοναδική λύση πού ἔλαβα ἀπό τούς ϕοιτητές ἦταν : 1 dx 2 x 2 = 1 1 ( x = 1 ) ( 1 ) = 3 2 1 2 2. Βεβαίως τό ἀνωτέρω ὁλοκλήρωµα δέν ὁρίζεται καί ἡ ἀνωτέρω διαδικασία δέν ἔχει ἔννοια ἀφοῦ ἡ συνάρτηση 1 ἀπειρίζεται στό x = 0. Οταν ὑπέβαλα τήν ἐρώτηση : x2 Πῶς εἶναι δυνατόν τό ὁλοκλήρωµα µιᾶς ϑετικῆς συναρτήσεως, τῆς 1, νά εἶναι ἀρνητικό ; x2 Ως ἀπάντηση ἔλαβα σιωπή. Κανένας δέν ἦταν σέ ϑέση κἄν νά τό παρατηρήσει. Γνώριζαν λοιπόν οἱ ϕοιτητές τῆς τάξεως ἐκείνης κατά τυφλό µηχανικό τρόπο τή µεθοδολογία τῆς ὁλοκληρώσεως, δέν εἶχαν ὅµως ἐπαρκῆ διαισθητική κατανόηση τοῦ τί εἶναι ὁλοκλήρωµα. Β. Πεδίο ὁρισµοῦ λύσεων διαφορικῶν ἐξισώσεων Σέ µιά ἄλλη περίπτωση, σέ τάξη Συνήθων ιαφορικῶν Εξισώσεων, κατά τή διάρκεια τῆς δεύτερης ἑβδοµάδος τῶν µαθηµάτων εἶχα δώσει, σέ κατ οἶκον ἐργασία, τήν ἑξῆς ἄσκηση [2]: Η περιουσία κάποιου ἀνθρώπου µεταβάλλεται µέ ϱυθµό ἀνάλογο τοῦ τετραγώνου τῆς ἑκάστοτε τιµῆς της. Αν σηµέρα εἶναι 1000 καί µετά ἀπό ἕνα χρόνο 2000, τότε πόσο ϑά γίνει µετά ἀπό 1.5 καί 2.5 χρόνια. Στό πρόβληµα αὐτό ἡ ἐξέλιξη τῆς περιουσίας περιγράφεται ἀπό τήν διαφορική ἐξίσωση x = κx 2 µέ συνθῆκες x(0) = 1000 καί x(1) = 2000. Χρησιµοποιῶντας στοιχειώδη µέσα προκύπτει ὅτι ἡ λύση τοῦ προβλήµατος εἶναι ἡ συνάρτηση x(t) = 2000 2 t, 3

3 Χαρακτηριστικά παραδείγµατα ὅπου τό x µετρᾶται σέ λίρες καί τό t σέ χρόνια. Στήν ἐρώτηση τί ϑά συµβεῖ στήν περιουσία µετά ἀπό 1.5 καθώς καί µετά ἀπό 2.5 χρόνια, αντικαθιστῶντας στόν ἀνωτέρω τύπο λαµβάνεται ὅτι : x(1.5) = 4000 καί x(2.5) = 4000. Οἱ πλεῖστοι τῶν ϕοιτητῶν δέν παρατήρησαν κἄν ὅτι ἡ περιουσία ἐνῶ αὐξάνεται καθίσταται ἀρνητική. Μερικοί ἀπό τούς ϕοιτητές κατάλαβαν ὅτι κάτι δέν πάει καλά, ἀλλά δέν µπόρεσαν νά δώσουν ἐξήγηση. Η ἀπάντηση ἐδῶ εἶναι ὅτι ἡ λύση µιᾶς συνήθους διαφορικῆς ἐξισώσεως ἔχει ὡς πεδίο ὁρισµοῦ ἕνα διάστηµα, ἄρα ἡ συνάρτηση x(t) = 2000 δύναται νά ὁρίζεται εἴτε στό (, 2) εἴτε στό 2 t (2, + ). έν δύναται ὅµως νά ὁρίζεται στήν ἕνωσή τους διότι αὐτή δέν ἀποτελεῖ διάστηµα. Λόγω τῶν ἀρχικῶν συνθηκῶν ἐπιλέγεται τό πρῶτο διάστηµα. ἡ περιουσία µετά ἀπό 2.5 χρόνια ; Στήν ἐρώτηση λοιπόν : Μέ τί ἰσοῦται Η ἀπάντηση εἶναι ὅτι τά δεδοµένα τοῦ προβλήµατος δέν ἐπιτρέπουν στήν περιουσία νά ὁρίζεται ἀπό τά δύο χρόνια καί µετά ἤ ὅτι τά συγκεκριµένο µοντέλο περιγραφῆς τῆς περιουσίας δέν ἔχει ἔννοια γιά t 2. Παρά τό γεγονός ὅτι δέν ἀποτελεῖ στόχο µου στό παρόν στάδιο νά κρίνω εἰς ϐάθος τά σχολικά ἐγχειρίδια, στό ϐιβλίο Μαθηµατικά ἐπιλογῆς Γ Λυκείου (1996) [8], δίδεται ὡς ὁρισµός λύσεως µιᾶς διαφορικῆς ἐξισώσεως : Κάθε συνάρτηση πού τήν ἐπαληθεύει (παράβαλε σελίδα 206.) Παραλείπεται τό ϐασικότερο χαρακτηριστικό τῆς ϕύσεως τοῦ πεδίου ὁρισµοῦ τῶν λύσεων τῶν διαϕορικῶν ἐξισώσεων πού εἶναι ἡ συνεκτικότητα. Ως γνωστόν, µιά συνήθης διαφορική ἐξίσωση ἀποτελεῖ σχέση µεταξύ κάποιας Ϲητούµενης συναρτήσεως καί τῆς παραγώγου αὐτῆς, ἤτοι, περιγράφει τόν τρόπο µε τόν ὁποῖο µεταβάλλεται ἤ ἐξελίσσεται ἡ Ϲητούµενη συνάρτηση σέ σχέση µέ τήν ἑκάστοτε τιµή της. Συνδυάζοντας τή γνώση τοῦ τρόπου µεταβολῆς µέ τή γνώση κάποιας ἀρχικῆς συνθήκης εἴµαστε σέ ϑέση νά ϐροῦµε, συνήθως κατά µοναδικό τρόπο, τή Ϲητούµενη συνάρτηση ἤ λύση. Αὐτή ἡ διαδικασία, ἡ ἐξελικτική διαδικασία, ὁρίζει λύση µέ πεδίο ὁρισµοῦ διάστηµα καί ὄχι ἕνωση ξενῶν ἀνοικτῶν διαστηµατῶν µεταξύ τῶν ὁποίων δέν δύναται νά µεταφερθεῖ ἡ πληροφορία τῆς ἀρχικῆς συνθήκης. Σηµειωτέον ὅτι στό κεφάλαιο 10 τοῦ προαναφερθέντος ἐγχειριδίου πού ϕέρει τόν τίτλο : ιαφορικές Εξισώσεις, δέν ἐµφανίζονται οὔτε µιά ϕορά οἱ ὅροι πεδίο ὁρισµοῦ καί µοναδικότητα λύσεων. Επίσης δέ δίδεται καµία ἔµφαση σέ ἀσκήσεις ϕυσικῶν ἐφαρµογῶν τῶν διαφορικῶν ἐξισώσεων. Γ. Πλήν ἐπί πλήν ἴσον σύν Σέ κάποια κοινωνική ἐκδήλωση στήν Πάφο, σέ συνοµιλία πού εἶχα µέ τόν τότε Μητροπολίτη Πάφου καί νύν Ἀρχιεπίσκοπο Κύπρου Χρυσόστοµο ΙΙ, ὁ Μακαριώτατος µοῦ εἶπε ὅτι ποτέ δέν κατανόησε γιατί : Πλήν ἐπί πλήν ἴσον σύν, καί συγκεκριµένα : Πῶς αὐτό ϑά ἦταν δυνατόν νά ἐξηγηθεῖ µέσω χειροπιαστῶν παραδειγµάτων. 4

3 Χαρακτηριστικά παραδείγµατα Τό ἐρώτηµα ϐεβαίως αὐτό εἶναι οὐσιαστικό καί γιά νά δοθεῖ ἱκανοποιητική ἀπάντηση ἀπαιτεῖται ἀρκετός χρόνος. Η κατανόηση τοῦ ἀνωτέρω ἐρωτήµατος προϋποθέτει τήν κατανόηση τῶν ἀρνητικῶν ἀριθµῶν. Παραδείγµατα τέτοιων ἀποτελοῦν ἡ κάτω τοῦ µηδενός ϑερµοκρασία, τό δάνειο εἰς ἀντιδιαστολήν τῆς καταθέσεως, ἡ ἀπώλεια ἤ µείωση χρηµάτων ἤ ἄλλων ἀγαθῶν. Ο δέ ἀρνητικός χρόνος ἀποτελεῖ τόν παρελθόντα χρόνο. Αν λοιπόν γιά παράδειγµα, ὑποτεθεῖ ὅτι ὑπό κατάλληλες συνθῆκες ἡ ϑερµοκρασία σώµατος µειοῦται µέ ϱυθµό 5 C ἀνά ὥρα ἤ ἰσοδύναµα µεταβάλλεται µέ ϱυθµό 5 C ἀνά ὥρα, τότε αὐτό σηµαίνει ὅτι πρίν ἀπό δύο ὧρες ἤ ἐντός 2 ὡρῶν, ἡ ϑερµοκρασία τοῦ σώµατος αὐτοῦ ἦταν κατά 10 C ψηλότερη ἀπ ὅτι τώρα. ηλαδή ( 2 ὧρες) 5 C ὥρα = +10 C. Κατ ἀνάλογο τρόπο, ἄς ὑποθέσοµε ὅτι σέ κάποιο κατάστηµα πού δέν λειτουργεῖ ἀρκετά ἀποτελεσµατικά, γιά κάθε πελάτη πού ἐπισκέπτεται τό κατάστηµα αὐτό, ὑπάρχει κατά µέσο ὅρο ἀπώλεια 10. Αν λοιπόν κάποια ἡµέρα ἐπισκεφθοῦν τό κατάστηµα 10 πελάτες λιγότεροι, τότε τό κατάστη- µα ἀναµένεται νά ἔχει, λόγω ἀκριβῶς τοῦ µικροτέρου ἀριθµοῦ πελατῶν, κέρδος 100! ηλαδή : ( 10 πελάτες) 10 πελάτη = 100. Εθεσα τό ἐρώτηµα αὐτό σέ ϕοιτητές τοῦ τµήµατος Μαθηµατικῶν καί Στατιστικῆς τοῦ Πανεπιστη- µίου Κύπρου. Συγκεκριµένα τούς Ϲήτησα νά µοῦ δώσουν χειροπιαστό παράδειγµα µέσω τοῦ ὁποίου γίνεται κατανοητό γιατί : πλήν ἐπί πλήν ἴσον σύν, οἱ ἀπαντήσεις πού ἔλαβα ἦταν κάτι περισσότερο ἀπό ἀποκαρδιωτικές. Ενας ἀπ αὐτούς εἶπε : Μά ἔτσι δέν ὁρίζεται ; Εµαθαν λοιπόν οἱ νεοεισερχόµενοι ϕοιτητές µας, πού ἀποτελοῦν τήν ἐλίτ τῶν κυπριακῶν λυκείων, νά δέχονται ὅ,τι τούς λέγεται κατά τρόπο δογµατικό, ἔµαθαν νά µήν σκέφτονται, νά µήν ἀµφισβητοῦν. Εἶναι χαρακτηριστικό ὅτι ὁ Μακαριώτατος, ἀπόφοιτος κλασσικοῦ λυκείου τή δεκαετία τοῦ 60, ἔµαθε ἄν µή τί ἄλλο νά διερωτᾶται γιατί πράγµατι ἰσχύουν ὅλοι αὐτοί οἱ ἀφηρηµένοι µαθηµατικοί νόµοι. Εµαθε νά ἀµφισβητεῖ.. Ανάπτυξη λογικῶν συλλογισµῶν καί ἀρνήσεων αὐτῶν Ενα ἀπό τά σοβαρότερα προβλήµατα πού παρατηροῦµε σχετίζεται µέ τίς τεράστιες δυσκολίες πού ἀντιµετωπίζουν οἱ πρωτοετεῖς µας στήν κατανόηση καί ἀνάπτυξη λογικῶν συλλογισµῶν. Συλλογισµῶν δηλαδή οἱ ὁποῖοι, ἄν και δύνανται νά διατυπωθοῦν µέσω συµβόλων τῆς Μαθηµατικῆς Λογικῆς, στήν πραγµατικότητα ἀποτελοῦν συλλογισµούς κοινῆς λογικῆς. Τό παράδειγµα πού ἀκολουθεῖ δέν εἶναι ἁπλό. ἀδυναµίες τοῦ ἐκπαιδευτικοῦ µας συστήµατος. Οµως µέσω αὐτοῦ καταδεικνύονται σοβαρές Ορισµός. Λέµε ὅτι ἡ ἀκολουθία {a n } n N R συγκλίνει στό a R, συµβολικά a n a, ἄν γιά κάθε ε > 0 ὑπάρχει N N ὥστε n N = a n a < ε. 5

3 Χαρακτηριστικά παραδείγµατα Ο ἀριθµός a ὀνοµάζεται ὅριο τῆς ἀκολουθίας {a n } n N. Ο ὁρισµός αὐτός, ὁ ὁποῖος ὀφείλεται στόν Cauchy (1821), µᾶς λέγει ὅτι : Οσο µικρό κι ἄν εἶναι τό ε > 0, ὅλοι οἱ ὅροι τῆς ἀκολουθίας {a n } n N ἀπό κάποιο δείκτη N καί µετά, ϐρίσκονται στό διάστηµα (a ε, a + ε). ηλαδή, γιά κάθε ε > 0, ὑπάρχει N N ὥστε a N, a N+1, a N+2,... (a ε, a + ε). Μία ϕαινοµενικά ἁπλή ἄσκηση, γιά τήν ὁποία ἀπαιτεῖται ἁπλῶς ἡ χρήση τοῦ ἀνωτέρω ὁρισµοῦ, καί ϐεβαίως ἡ χρήση τῆς κοινῆς λογικῆς, εἶναι ἡ ἀκόλουθη : Νά ἀποδειχθεῖ ὅτι ἡ ἀκολουθία a n = ( 1) n, n N, δέν συγκλίνει σέ κανένα πραγµατικό ἀριθµό. Στήν ἀνωτέρω ἀκολουθία οἱ ὅροι µέ ἄρτιο δείκτη ἰσοῦνται µέ 1 ἐνῶ οἱ ὅροι µέ περιττό δείκτη ἰσοῦνται µέ 1. Μία τέτοια ἀκολουθία δέν εἶναι δυνατόν ϐεβαίως νά συγκλίνει σέ κάποιο πραγµατικό ἀριθµό. Η πρώτη δυσκολία πού ἀντιµετωπίζουν οἱ ϕοιτητές εἶναι στό : Τί ἀκριβῶς πρέπει νά ἀποδείξουν ; Ιδιαιτέρως, δέν εἶναι σέ ϑέση νά διατυπώσουν τήν ἄρνηση τοῦ ἀνωτέρω ὁρισµοῦ. Νά ἀναπτύξουν δηλαδή τήν διατύπωση τοῦ : Πότε µία ἀκολουθία δέν συγκλίνει ; Κατ ἀρχάς ἄς δοῦµε πῶς ἐπιτυγχάνοµε τήν διατύπωση τῆς ἀρνήσεως τῆς συγκλίσεως µιᾶς ἀκολουθίας στό a, δηλαδή τῆς προτάσεως : Πότε ἡ ἀκολουθία {a n } n N δέν συγκλίνει στό a; Ορισµός λέγει ὅτι a n a ἄν καί µόνον ἄν ( ε > 0 N N ( n N(n N a n a < ε) )). ηλαδή ἄν : Γιά κάθε ε > 0 ἱκανοποιεῖται ἡ πρόταση P : N N ( n N(n N a n a < ε) ). Η ἄρνηση τῆς a n a δύναται νά διατυπωθεῖ ὡς : Υπάρχει ε > 0 ὥστε νά µήν ἱκανοποιεῖται ἡ P : N N ( n N(n N a n a < ε) ). Η µή ἱκανοποίηση ἤ ἄρνηση τῆς P, συµβολικά P, διατυπώνεται κατ ἀναλογίαν ὡς : Γιά κάθε N N δέν ἰσχύει ἡ πρόταση Q : n N(n N a n a < ε). 6

3 Χαρακτηριστικά παραδείγµατα Κατ ἀνάλογο τρόπο, ἡ ἄρνηση τῆς Q διατυπώνεται ὡς ἑξῆς : n N ( n N & a n a ε ). Εδῶ χρησιµοποιήθηκε τό γεγονός ὅτι ἡ ὑπόθεση P 1 δέν συνεπάγεται τό συµπέρασµα P 2 ἄν καί µόνον ἄν ἰσχύουν ταυτοχρόνως τά P 1 καί P 2. Συνολικά ἡ ἄρνηση τῆς a n a δύναται νά διατυπωθεῖ ὡς : ( ε > 0 N N ( n N(n N a n a ε) )). Τέλος ἡ πρόταση : Η ἀκολουθία {a n } n N δέν συγκλίνει σέ κανένα πραγµατικό ἀριθµό, διατυπώνεται µέ λογικά σύµβολα ὡς : ( a R ε > 0 ( N N ( n N(n N & a n a ε) ))) Βεβαίως δέν ϑά ἀνέµενε κανείς ἀπό ἕνα πρωτοετῆ ϕοιτητή νά εῖναι σέ ϑέση νά δοµήσει µέσω λογικῶν συµβόλων τόν ἀνωτέρω λογικό τύπο. Εκεῖνο ὅµως πού παρατηρεῖται σήµερα στούς ἀποφοίτους τῆς Ε εἶναι ἡ παντελής ἀδυναµία στήν διατύπωση λογικῶν συλλογισµῶν γιά πολύ ἁπλούστερα προβλήµατα, καί ἰδιαιτέρως στήν κατασκευή τῶν ἀρνήσεων αὐτῶν. Στό παρελθόν, ὅταν ἡ ΕΓ ἀποτελοῦσε σηµαντικό µέρος τῆς ἐξεταστέας ὕλης στίς εἰσαγωγικές ἐξετάσεις, οἱ νεοεισερχόµενοι ϕοιτητές ἦσαν ἐξοικειωµένοι µέ ἀποδείξεις ὅπου ἐχρησιµοποιεῖτο ἡ εἰς ἄτοπον ἀπαγωγή. Ἀντί κάποιος νά ἀποδείξει εὐθέως ὅτι ἡ ὑπόθεση P συνεπάγεται τό συµπέρασµα Q, µέ τήν εἰς ἄτοπον ἀπαγωγή ἀρκεῖ νά ἀποδειχθεῖ ὅτι ἡ ἄρνηση τοῦ συµπεράσµατος Q συνεπάγεται ἄρνηση τῆς ὑποθέσεως P. ηλαδή : P Q Q P. Κάποιος µαθητής ὁ ὁποῖος ἔχει ἐξοικειωθεῖ µέ τήν χρήση τέτοιων ἀποδεικτικῶν µεθόδων, ἀναπό- ϕευκτα ἔχει ἀποκτήσει καί τήν ἱκανότητα σχηµατισµοῦ τῆς ἀρνήσεως λογικῶν προτάσεων, ἔστω καί µέ λόγια. Η µόνη λοιπόν ἑρµηνεία τῆς ἀδυναµίας αὐτῆς τῶν πρωτοετῶν µας εἶναι ἡ σχεδόν παντελής ἀπουσία ἀποδεικτικῶν ἀσκήσεων ἀπό τήν ἐξετεστέα ὕλη. Οἱ µαθητές δέν διδάσκονται νά σκέπτονται ἀλλά ἁπλῶς νά ὑπολογίζουν. Ε. Προβλήµατα διατυπώσεως καί ἐκφράσεως Μιά ἄλλη κατηγορία περιστατικῶν σχετίζεται µέ τήν ἀδυναµία ἐκφράσεως, ἀδυναµία πού κάνει τούς Κυπρίους ϕοιτητές νά αἰσθάνονται πολύ συχνά µειονεκτικά ἔναντι τῶν Ελλαδιτῶν συµ- ϕοιτητῶν τους. Ἀκόµη κι ὅταν ἐπιλύουν ὀρθά κάποιες ἀσκήσεις δέν εἶναι σέ ϑέση νά ἐξηγήσουν µέ λόγια τί κάνουν καί κυρίως γιατί επιτρέπεται νά τό κάνουν. Μία συνήθης στιχοµυθία µεταξύ συναδέλφου καί ϕοιτητῆ εἶναι ἡ ἑξῆς : 7

3 Χαρακτηριστικά παραδείγµατα Συνάδελφος : Πῶς κατέληξες σ αὐτό τό συµπέρασµα ; Φοιτητής : Χρησιµοποίησα τό τάδε ϑεώρηµα. Συνάδελφος : Τί ἀκριβῶς λέγει τό ϑεώρηµα αὐτό ; Φοιτητής : Ξέρω ἀλλά δέν µπορῶ νά τό διατυπώσω. Χρήζει σχολιασµοῦ καί ὁ τρόπος µέ τόν ὁποῖο ἀπαντῶνται ϑεωρητικές ἀποδεικτικές ἀσκήσεις οἱ ὁποῖες ἀπαιτοῦν καλή δικαιολόγηση τοῦ συµπεράσµατος. Εἶναι χαρακτηριστική, σέ τέτοιου εἴδους ἀσκήσεις, ἡ χωρίς ὑπερβολή ἀπουσία λέξεων. Οἱ Κύπριοι ἀπόφοιτοι ἔχουν µάθει µόνο νά ἐκτελοῦν πράξεις εφαρµόζοντας συνταγές. Εὐθύνη ἔχει τό ἐκπαιδευτικό µας σύστηµα γενικότερα, διότι ἐδῶ παρουσιάζεται καί µία σοβαρή ἀδυναµία στήν ἀποτελεσµατική χρήση τῆς ἑλληνικῆς γλώσσας. ΣΤ. Προβλήµατα σέ service courses Πολύ πρόσφατα, ἐπισκέπτης καθηγητής, ὁ ὁποῖος ὑπῆρξε διδάσκων εἰσαγωγικοῦ µαθήµατος σέ ϕοιτητές τοῦ τµήµατος Οἰκονοµικῶν ϐρέθηκε ἀντιµέτωπος ἀξεπέραστων ἀντιξοοτήτων στήν προσπάθειά του ἀφ ἑνός µεν νά διδάξει στοιχειώδεις ἀποδείξεις καί ἀφ ἑτέρου νά ἀπαιτήσει ἀπό τούς ϕοιτητές νά µάθουν τή διατύπωση καί χρήση κάποιων χαρακτηριστικῶν ϑεωρηµάτων. Συγκεκριµένα, τό τµῆµα Μαθηµατικῶν καί Στατιστικῆς προσφέρει σειρά κατά παραγγελίαν µα- ϑηµάτων ἀποκλειστικά πρός ϕοιτητές ἄλλων τµηµάτων, τά λεγόµενα service courses. Ενα τέτοιο εἶναι τό ΜΑΣ 001 τό ὁποῖο προσφέρεται πρός τούς ϕοιτητές τῶν τµηµάτων Οἰκονοµικῶν, ηµοσίας ιοικήσεως καί ιοικήσεως Επιχειρήσεων. Τό προαναφερθέν µάθηµα καλύπτει τό πρῶτο ἥµισυ ἑνός συνήθους µαθήµατος Ἀπειροστικοῦ Λογισµοῦ σέ ἁπλουστευµένη ἐκδοχή. Περιλαµβάνει δηλαδή τίς ἑνότητες : Συναρτήσεις, ἀκολουθίες, ὅρια, συνέχεια, παράγωγοι. Ολες οἱ προαναφερθεῖσες ἑνότητες ἦσαν οἰκεῖες στό ἀκροατήριο τοῦ µαθήµατος διότι ϐρίσκονται στό λυκειακό ἐγχειρίδιο : Μαθηµατικά Επιλογῆς Τρίτης Λυκείου [8]. Οἰκεῖες στό ἀκροατήριο ὑπῆρξαν καί οἱ ἀσκήσεις τῶν ἐνδιαµέσων διαγωνισµάτων καθώς καί τῆς τελικῆς ἐξετάσεως - συγκεκριµένα οἱ ἐκφωνήσεις τῶν ἀσκήσεων. Εκεῖνο ὅµως τό ὁποῖο οὐδόλως ὑπῆρξε οἰκεῖο ἦταν ὁ ὀρθός τρόπος ἐπιλύσεως τῶν ασκήσεων αὐτῶν. Οἱ µαθητές εἶχαν ἐθισθεῖ, ἀπό τίς µέρες τῶν λυκείου, στήν ἀνεξέλεγκτη χρήση µεθόδων (γιά παράδειγµα τοῦ Κανόνος τοῦ L Hôpital) χωρίς νά γνωρίζει ποιό ἀκριβῶς ϑεώρηµα ἐφαρµόζεται καί ὑπό ποῖες προϋποθέσεις. Στό λύκειο ἡ ἀποκλειστική ἔµφαση πού εἶχε δοθεῖ ἦταν : Ποιά συνταγή πρέπει νά χρησιµοποιηθεῖ ὥστε νά καταλήξουµε στό Ϲητούµενο. Συνήθισαν µάλιστα σ ἕνα µινιµαλιστικό τρόπο ἐπιλύσεως, στόν ὁποῖο δέν ἀπαιτεῖται ἡ χρήση ἑλληνικῶν λέξεων. Τά µαθηµατικά σύµβολα ἀρκοῦν. Ο ἐπισκέπτης συνάδελφος, ἀφοῦ διεπίστωσε ὅλ αὐτά, Ϲήτησε από τούς ϕοιτητές νά µάθουν τήν ἐκφώνηση µικροῦ ἀριθµοῦ ϑεωρηµάτων, 8

4 Πῶς ὅµως ϕθάσαµε σ αὐτή τήν ἐξέλιξη ; καθώς καί τήν ἀπόδειξη ἀκόµη µικροτέρου ἀριθµοῦ, καί ἀπαίτησε ἀπό τούς ϕοιτητές νά δικαιολογοῦν στά γραπτά τους τί κάνουν καί ποιά ϑεωρήµατα χρησιµοποιοῦν. υστυχῶς, ἡ ἐπακόλουθη ἐµπειρία τοῦ ἐπισκέπτη συναδέλφου, ἀπετέλεσε τόν καλύτερο τρόπο γιά νά µάθει ὁ ἴδιος ὅτι : Τό πιό δύσκολο πράγµα εἶναι νά διδάξεις ἐκ νέου καί ὀρθά κάτι πού οἱ µαθητές ἔχουν ἤδη µάθει λάθος. Οἱ ϕοιτητές δέν µπόρεσαν λοιπόν νά ἀποστηθίσουν τήν διατύπωση τοῦ ϑεωρήµατος τοῦ Rolle καί οὔτε ϐεβαίως νά τό ἐφαρµόσουν ὀρθά. Επέµεναν νά λύουν µέ τόν τρόπο πού ἔµαθαν στό λύκειο τίς ἀσκήσεις τῶν ἐξετάσεων. Οταν δέ τούς ἀφαιροῦντο µονάδες, οὐδόλως τό ἀπεδέχοντο εἰρηνικά. Οἱ ἀντιδράσεις τους ἦσαν ἐντελῶς ἀπαράδεκτες. Φοιτητής ἔφθασε στό σηµεῖο νά χειροδικήσει µέ τόν ἐπισκέπτη, νά σκίσει τό γραπτό του ἐπικαλούµενος ὡς δικαιολογία ὅτι ὁ ϕροντιστής του ἔτσι ἀκριβῶς τοῦ εἶχε λύσει τήν ἄσκηση. Θά µποροῦσα νά ἀναφέρω πολλά παρόµοια περιστατικά, τόσο δικῆς µου ἐµπειρίας ὅσο καί συναδέλφων. Περιστατικά πού ἐν τέλει καταδεικνύουν ὅτι ἄν και οἱ ϕοιτητές σήµερα ϕαινοµενικά µαθαίνουν πολύ περισσότερα πράγµατα, κατ οὐσίαν ἡ γνώση τους εἶναι ἐπιφανειακή, στερού- µενη ϑεµελιώσεως, ἀποδείξεων καί αὐστηρότητος. Στόχος ἡ ἐκµάθηση συνταγῶν. Παλαιότερα οἱ ἀπόφοιτοι τῶν λυκείων δέν ἤξεραν τί εἶναι ὁλοκλήρωµα ἤ διαφορική εξίσωση. Η ὕλη τότε σταµατοῦσε στά ὅρια, συνέχεια καί παραγώγους. Οἱ µαθητές ὅµως, τουλάχιστον αὐτοί πού πετύχαιναν στίς εἰσαγωγικές, ἤξεραν τί ἀκριβῶς εἶναι τό ὅριο (µέσω τῶν ἐψιλοντικῶν ὁρισµῶν), ἡ συνέχεια καί ἡ παράγωγος. έν ἀρκοῦνταν µόνο στή µεθοδολογία ἐπιλύσεως ἀσκήσεων. Επιπροσθέτως, στήν ϱηχή κάλυψη πού ἐµφανίζεται στά σχολικά ἐγχειρίδια δέν δίδεται καµιά ἔµφαση στήν Ιστορία τῶν Μαθηµατικῶν, τή σηµασία τῶν διαφόρων κλάδων, στήν αὐστηρή µα- ϑηµατική σκέψη καί ἐν ὀλίγοις σ αὐτό πού ὀνοµάζεται Μαθηµατική Καλλιέργεια. 4 Πῶς ὅµως ϕθάσαµε σ αὐτή τήν ἐξέλιξη ; Τό ϕαινόµενο αὐτό εἶναι σχετικά πρόσφατο. Εἶναι ϕαινόµενο τῆς τελευταίας εἰκοσαετίας, πε- ϱιόδου κατά τήν ὁποία, στά σχολικά ἐγχειρίδια, δίδεται σταδιακά ὁλοένα καί µικρότερη ἔµφαση στίς ἀποδείξεις καί ταυτόχρονα µεγαλύτερη ἔµφαση στούς ὑπολογισµούς. Επίσης δίδεται ἔµ- ϕαση στήν κάλυψη πολλῶν µαθηµατικῶν περιοχῶν, χωρίς ϐεβαίως ἐµβάθυνση ἤ αὐστηρότητα. Εδῶ ϑά ἤθελα νά διευκρινίσω ὅτι δέν ϐλάπτει καθόλου ἡ έστω ἐγκυκλοπαιδική κάλυψη ἀρκετῶν περιοχῶν, δοθέντος ὅµως ὅτι κάποιες ἀπ αὐτές καλύπτονται εἰς ϐάθος καί µέ αὐστηρότητα. Οἱ ἀποδείξεις, ἔπαψαν οὐσιαστικά νά ἀποτελοῦν µέρος τῆς ἐξεταστέας ὕλης στίς εἰσαγωγικές ἐξετάσεις καί ἀναπόφευκτα, σέ πολλές περιπτώσεις, ἔπαψαν ἀκόµη καί νά διδάσκονται στά λύκεια, µιά καί δέν ὑπάρχει πλέον οὐσιαστικό κίνητρο γιά τή διδασκαλία τους, παρά τό γεγονός ὅτι ἐξακολουθοῦν νά ὑπάρχουν κάποιες ἀποδείξεις στά λυκειακά ϐοηθήµατα. Συγκεκριµένα, στά εγχειρίδια Γεωµετρίας τῆς πρώτης καί δευτέρας λυκείου, ὑπάρχουν πολλές καί σηµαντικές ἀποδείξεις. Πέραν ὅµως τοῦ ὅτι δύο ἔτη δέν ἀρκοῦν γιά τήν κάλυψη τῆς Γεωµετρίας, οἱ ἀποδείξεις αὐτές δέν ἀποτελοῦν µέσον ἀξιολογήσεως στίς εἰσαγωγικές ἐξετάσεις καί ὡς ἐκ τούτου διδάσκονται ὑποτονικά ἔως καθόλου. 9

4 Πῶς ὅµως ϕθάσαµε σ αὐτή τήν ἐξέλιξη ; Εν τέλει ἡ µαθηµατική παιδεία τῶν λυκείων µας, ἔχει ὡς κριτήριο επιτυχίας καί στόχο, νά δίδει τή δυνατότητα στούς ἀποφοίτους νά επιτυγχάνουν στίς εἰσαγωγικές ἐξετάσεις τῶν ϐρεττανικῶν ἱδρυµάτων, στά γνωστά GCE, ὅπου ϐεβαίως δέν ὑπάρχουν ἀποδείξεις. Φοβοῦµαι, ὅτι ἡ µόνη ἑρµηνεία πού ϑά µποροῦσε νά δοθεῖ γιά τήν παρουσία τόσων ἐν πολλοῖς ἀσύνδετων καί ϱηχά καλυπτοµένων ϑεµάτων ὅπως : ιαφορικές Εξισώσεις, Πολικές Συντεταγµένες, Υπερβολικές καί Ἀντίστροφες Υπερβολικές Συναρτήσεις µέ ἀποκλειστική ἔµφαση στήν ἀσκησιολογία, εἶναι ἡ ϱυ- µούλκηση τοῦ ἐκπαιδευτικοῦ µας συστήµατος ἀπό τά GCE. έν ἀντιγράφεται κἄν τό ϐρεττανικό ἐκπαιδευτικό σύστηµα, ἁπλῶς προετοιµάζονται οἱ µαθητές µας γιά τά GCE κατά τρόπο ϕροντιστηριακό. Στόχος λοιπόν τοῦ ἐκπαιδευτικοῦ µας συστήµατος, κατέστη πῶς νά περάσουν οἱ ἀπόφοιτοί µας τά GCE ἀποστηθίζοντας συνταγές. Οπως ϑά δοῦµε ἀργότερα, ἡ µεταρρύθµιση αὐτή οὐδόλως ἀποτελεῖ κυπριακή πρωτοτυπία, οὔτε κἄν ἑλλαδική. (Παρόµοια δυσάρεστα ϕαινόµενα εἴχαµε καί στήν Ελλάδα, σέ µικρότερο ὅµως ϐαθµό.) υστυχῶς ϐρισκόµαστε ἐνώπιον ἀκόµη µιᾶς περιπτώσεως µιµήσεως δυτικοευρωπαϊκῶν καί ϐορειοαµερικανικῶν προτύπων, ἀκόµη κι ὅταν ἔχει διαπιστωθεῖ στίς χῶρες αὐτές ἡ παταγώδης ἀποτυχία τους. Βεβαίως, ἡ ἐπιλογή τῶν συγκεκριµένων προτύπων οὐδένα ἐκπλήσσει ἄν ληφθεῖ ὑπ ὄψιν σέ ποιές χῶρες µετεκπαιδεύονται στή διδακτική τῶν Μαθηµατικῶν οἱ Κύπριοι ἐκπαιδευτικοί. Στή ύση, ὅλα ξεκινοῦν ἀπό τό δεύτερο ἥµισυ τῆς δεκαετίας τοῦ 60, µιᾶς κατ ἐξοχήν περιόδου ἀµφισβητήσεων. Τήν ἐποχή ἐκείνη µιά ὁµάδα Γάλλων µαθηµατικῶν, ἡ ὁµάδα Bourbaki, ὁµάδα πού πῆρε τό ὄνοµά τῆς ἀπό τήν ὁδό τοῦ Παρισιοῦ στήν ὁποία ϐρισκόταν τό διαµέρισµα στό ὁποῖο συνεδρίαζε, ἐκδίδει σειρά ἄρθρων πού προπαγάνδιζαν τήν κατάργηση τῆς Εὐκλειδείου Γεωµετρίας (ΕΓ) ἀπό τή δευτεροβάθµια ἐκπαίδευση τῆς Γαλλίας καί ἀντικατάστασή της ἀπό σύγχρονα µαθηµατικά, ὅπως ἡ ϑεωρία συνόλων, ἡ µα- ϑηµατική λογική, ἡ ἀναλυτική γεωµετρία ἤ οἱ ἀλγεβρικές δοµές (παράβαλε [3].) Τά ἆρθρα αὐτά, ἔφεραν µάλιστα καί κραυγαλέους τίτλους ὅπως : Ο Εὐκλείδης 2 εἶναι νεκρός ἤ Θάνατος στόν Εὐκλείδη καί χρησιµοποιοῦσαν ὡς ϐασικό ἐπιχείρηµα ὅτι : Σχῆµα 1: Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρινός (325-265 π.χ.). Πῶς εἶναι δυνατόν, µετά ἀπό τόση ἐξέλιξη στά Μαθηµατικά, νά ἐξακολουθοῦµε νά χρησιµοποιοῦµε τήν ΕΓ, τή Γεωµετρία τῶν ἀρχαίων Ελλήνων, ὡς τό ϐασικό µαθηµατικό ϑέµα στήν Ε ; Τό ἐρώτηµα αὐτό χωρίς ἀµφιβολία ἀκούγεται εὔλογο. Η ὁµάδα Bourbaki, πού περιελάµβανε µερικούς ἀπό τούς σπουδαιότερους Γάλλους µαθη- 2 Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρινός (325-265 π.χ.). Εἶναι γνωστός γιά τό ἀποτελούµενο ἀπό 13 τόµους ἔργο του Στοιχεῖα, τό ὁποῖο περιλαµβάνει ϑεµελίωση τῆς Επιπεδοµετρίας, ἐνῶ ὑπάρχουν ἐκτεταµένες ἀναφορές στήν Στερεοµετρία καί Θεωρία Ἀριθµῶν. Οἱ πλεῖστες τῶν ἀποδείξεων πού ἐµφανίζονται στά Στοιχεῖα ἀποδίδονται σέ προγενέστερους Μαθηµατικούς. Ο Πρόκλος ἀναφέρει ὅτι στά Στοιχεῖα τακτοποιοῦνται τά ϑεωρήµατα τοῦ Εὐδόξου καί τελειοποιοῦνται αὐτά τοῦ Θεαίτητου. Αὐτό ϐεβαίως οὐδόλως µειώνει τήν ἀξία τοῦ ἔργου τοῦ Εὐκλείδη. Εἶναι ἀξιοσηµείωτο ὅτι µέ τά Στοιχεῖα ἀσχολήθηκαν πλεῖστοι µεγάλοι µεταγενέστεροι Ελληνες µαθηµατικοί, ὅπως γιά παράδειγµα οἱ Ηρων, Πάππος, Πορφύριος, Πρόκλος καί Σιµπλίκιος, οἱ ὁποῖοι καί ἔγραψαν σχόλια ἐπί τῶν Στοιχείων. 10

5 Τί εἶναι ὅµως ἡ Εὐκλείδειος Γεωµετρία ; µατικούς τῆς ἐποχῆς, ὅπως τούς Jean Dieudonné 3 καί André Weil, πέτυχε τελικά τό σκοπό της. Ο Εὐκλείδης καί ἡ Γεωµετρία του παραµερίστηκαν ἀπό τά ἐγχειρίδια ὄχι µόνο τῆς Γαλλίας ἀλλά σταδιακά καί ὅλης τῆς δυτικῆς Εὐρώπης καί ϐορείου Ἀµερικῆς. Σταδιακά ἡ κατάργηση τῆς ΕΓ ἀπέκτησε καί ἰδεολογικά ἐρείσµατα στά ἀκαδηµαϊκά ἱδρύµατα. Στό Ηνωµένο Βασίλειο, σέ µεταπτυχιακά τµήµατα ιδακτικῆς τῶν Μαθηµατικῶν τό σλόγκαν : Euclid must go ( Ο Εὐκλείδης πρέπει νά ϕύγει) ὑπῆρξε κυρίαρχο καθ ὅλη τή δεκαετία τοῦ 70. Εἶναι ἀµφίβολο ϐεβαίως ἄν ὁ Dieudonné καί οἱ Bourbaki ϑά ἦσαν εὐτυχεῖς ἄν Ϲοῦσαν καί ἔβλεπαν µέ τί ἀντικαταστάθηκε στήν σηµερινή ἐκπαίδευση ἡ ΕΓ. Η ἄποψη γιά κατάργηση τῆς ΕΓ πέρασε καί σέ πλείστους µετεκπαιδευθέντες λειτουργούς τῆς κατωτέϱας καί δευτεροβάθµιας ἐκπαιδεύσεως τῆς Κύπρου, οἱ ὁποῖοι, υἱοθετήσαντες ὡς ϑέσφατον τό Euclid must go, ἐξελίχθησαν σέ διαπρυσίους κήρυκες τῆς ἀπόψεως αὐτῆς. Εἶναι ὅµως ἐνδεικτικό ὅτι χῶρες στίς ὁποῖες ποτέ δέν καταργήθηκε ἡ ΕΓ, ὅπως οἱ πλεῖστες τῶν χωρῶν τῆς ἀνατολικῆς Εὐρώπης καθώς καί τό Βιετνάµ, ἔχουν τίς περισσότερες ἐπιτυχίες στίς Μαθηµατικές Ολυµπιάδες γιά µαθητές λυκείων. έν πέρασαν οὔτε εἴκοσι χρόνια γιά νά γίνει ἀποδεκτό καί ἀπό τούς ἴδιους τούς Bourbaki ὅτι τά σύγχρονα Μαθηµατικά δέν κατόρθωσαν νά ὑποκαταστήσουν ἐπιτυχῶς τήν ΕΓ καί ἰδιαιτέρως δέν παρεῖχαν κατάλληλο ὑπόδειγµα γιά τή διδασκαλία τῶν ἀποδείξεων. Τουλάχιστον λοιπόν στή Γαλλία, τά σύγχρονα Μαθηµατικά ἐγκατελείφθησαν καί ἐπανέκαµψε, ἔστω καί µερικῶς ἡ ΕΓ. Σηµειωτέον ὅτι πρόσφατα ἡ πολιτειακή ϐουλή τῆς Καλιφόρνιας, ἀπεφάσισε τήν ἐπιστροφή τῆς διδασκαλίας τῶν Μαθηµατικῶν στή δευτεροβάθµια ἐκπαίδευση, στά πρότυπα τῶν ἀρχῶν τοῦ αἰῶνα! Στήν Ελλάδα, ἔχουν ἤδη συγγραφεῖ ἐκ νέου ἐγχειρίδια ΕΓ [5], ἡ δέ ἐπιστροφή αὐτή δέ συνάντησε καµία ἀντίδραση καθώς ἡ ἀνάγκη ἐπιστροφῆς τῆς ΕΓ εἶχε ἀπό πολλοῦ γίνει ἀντιληπτή [1]. Στό δέ Ηνωµένο Βασίλειο, µελετᾶται σοβαρά τό ἐνδεχόµενο εἰσαγωγῆς γεωµετρικῶν ἀποδείξεων ἀπό τό δηµοτικό [7]. Στή Ρωσσία ποτέ δέν καταργήθηκε ἡ ΕΓ ἀπό τή δευτεροβάθµια ἐκπαίδευση. Εκεῖ τό ἐπίπεδο τῶν ἀποφοίτων εἶναι πολύ ὑψηλό καί τά σχολικά ἐγχειρίδια ἀποτελοῦν σηµεῖο ἀναφορᾶς [12], [13]. Στήν Κύπρο, ἄν και ποτέ δέν εἴχαµε ὁλοκληρωτική κατάργηση τῆς ΕΓ, οἱ ἐκπαιδευτικές µεταρ- ϱυθµίσεις οἱ ὁποῖες ἔλαβαν χώραν κατά τίς δύο τελευταῖες δεκαετίες εἶχαν ὡς συνέπεια τόν παραµερισµό τῶν ἀποδείξεων. Πέραν τῶν διαπιστώσεων στούς ϕοιτητές µας πού ἀνέφερα, εἴχαµε καί κάποια περισσότερο χειροπιαστά ἀποτελέσµατα, συνέπειες αὐτῆς τῆς ἁπλουστεύσεως καί εὐθυγραµµίσεως τοῦ ἐκπαιδευτικοῦ µας συστήµατος σέ ξένα πρότυπα. Σέ διεθνῆ διαγωνισµό µαθητῶν γυµνασίων, ὅπου οἱ διαγωνιζόµενοι µαθητές ἐπελέγοντο κατά τυχαῖο τρόπο, ἡ Κύπρος ϐρέθηκε στόν πυθµένα τῆς κατατάξεως. Στήν ἀποτυχία αὐτή συνέβαλαν ἀσφαλῶς καί ἄλλοι λόγοι καί δέν εἶναι πρόθεση µου νά τήν ἑρµηνεύσω στό παρόν ἄρθρο. 5 Τί εἶναι ὅµως ἡ Εὐκλείδειος Γεωµετρία ; Εἶναι ἡ Γεωµετρία πού ἀπαντᾶται στό ἀποτελούµενο ἀπό δεκατρία ϐιβλία ἔργο τοῦ Εὐκλείδη Στοιχεῖα (4ος αἰ. π.χ.) [6] καθώς καί σέ µεταγενέστεϱα ἔργα µεγάλων Ελλήνων µαθηµατικῶν 3 Εἶναι χαρακτηριστικό µάλιστα ὅτι ὁ Dieudonné σέ συνέδριο στήν Γαλλία τό 1959 ἔκανε τήν ἀκόλουθη διάσηµη δήλωση : Εξω ὁ Εὐκλείδης. Θάνατος στά τρίγωνα! 11

5 Τί εἶναι ὅµως ἡ Εὐκλείδειος Γεωµετρία ; (α ) Τό ἐξώφυλλο τῆς ϐρεττανικῆς ἐκδόσεως τοῦ 1570 τῶν Στοιχείων ὑπό τοῦ Sir Henry Billingsley. (ϐ ) Γυνή διδάσκουσα Γεωµετρίαν. Εἰκόνα ἐµφανιζόµενη στήν ἀρχή τῆς µεσαιωνικῆς ἐκδόσεως τῶν Στοιχείων (c. 1310). Σχῆµα 2: Λέγεται ὅτι, µέ ἐξαίρεση τήν Βίβλο, κανένα ἄλλο ϐιβλίο δέν ἔχει µεταφρασθεῖ, ἐκδοθεῖ καί µελετηθεῖ στήν ύση ὅσο τά Στοιχεῖα (Bartel Leendert van der Waerden). ὅπως οἱ Ἀπολλώνιος, Ἀρχιµήδης καί ιόφαντος. Εἶναι σηµαντικό νά λεχθεῖ ὅτι ἡ κύρια συνεισφοϱά τοῦ Εὐκλείδη ἦταν ἡ συλλογή καί ὀργάνωση τῶν σηµαντικοτέρων Μαθηµατικῶν τῆς ἐποχῆς. ηλαδή, τῶν ἔργων τῶν Πυθαγορείων, τῶν Ιώνων καί ϕυσικά τῶν µεγάλων µαθηµατικῶν τῆς Ἀκαδηµίας τοῦ Πλάτωνος, τοῦ Θεαίτητου καί τοῦ Εὐδόξου. Στά Στοιχεῖα ἐµφανίζεται ἡ πρώτη Ἀξιωµατική Θεµελίωση, δηλαδή ἕνα σύνολο ἀπό ἁπλούς ὁρισµούς καί ἀξιώµατα. Τά ἀξιώµατα εἶναι ἁπλές προτάσεις ὅπως : ύο σηµεῖα τοῦ ἐπιπέδου ὁρίζουν εὐθεῖα 4, οἱ ὁποῖες δέν µποροῦν νά ἀναχθοῦν σέ ἁπλούστερες καί εἶναι διαισθητικά αὐτονόητες. Χρησιµοποιῶντας τά ἀξιώµατα, εἶναι δυνατόν µέσω ἀποδεικτικῶν κανόνων, νά ἀποδειχθοῦν πολυπλοκότερες προτάσεις ὅπως γιά παράδειγµα τό Πυθαγόϱειο ϑεώρηµα 5 (ϐλέπε Σχῆµα 3) ἤ τό Θεώρηµα τοῦ Θαλῆ. 6 Παρεµπιπτόντως, τό διασηµότερο ἴσως ἀξίωµα (ἤ ἄλλως αἴτηµα) τῆς ΕΓ ὅτι : Ἀπό σηµεῖο ἐκτός εὐθείας ἄγεται µοναδική παράλληλος, 4 ῌτίσθω ἀπό παντός σηµείου ἐπί πᾶν σηµεῖον εὐθεῖαν γραµµήν ἀγαγεῖν. (Στοχείων α, Αἴτηµα α ) 5 Εν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τό ἀπό τῆς τήν ὀρθήν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ἴσον ἐστί τοῖς ἀπό τῶν τήν ὀρθήν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις. (Στοιχεῖων α, Πρότασις µζ ) 6 Εάν τριγώνου παρά µίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ἀνάλογον τεµεῖ τάς τοῦ τριγώνου πλευράς καί ἐάν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραί ἀνάλογον τµηθώσιν, ἡ ἐπί τάς τοµάς ἐπιζευγνυµένη εὐθεῖα παρά τήν λοιπήν ἔσται τοῦ τριγώνου πλευράν. (Στοιχεῖων ς, Πρότασις ϐ ) 12

5 Τί εἶναι ὅµως ἡ Εὐκλείδειος Γεωµετρία ; τό ὁποῖο ἀποδίδεται µάλιστα στόν ἴδιο τόν Εὐκλείδη 7 ἀποτελεῖ σηµεῖο διαφοροποιήσεως τῆς ΕΓ ἀπό ἄλλες σύγχρονες Γεωµετρίες, ὅπου ἀπό σηµείου εἴτε ἄγονται ἄπειρες παράλληλοι (Γεωµετρία Lobachevsky) εἴτε καµία (Γεωµετρία Riemann.) (α ) Τό τετράγωνο τῆς ὑποτεινούσης ὀρθογωνίου τριγώνου ἰσοῦται µέ τό ἄθροισµα τῶν τετραγώνων τῶν δύο καθέτων. Η a 2 + b 2 = c 2. (ϐ ) Σχηµατική ἀπόδειξη τοῦ Πυθαγορείου Θεωρή- µατος µέσω ἐµβαδῶν. Σχῆµα 3: Τό Πυθαγόρειο Θεώρηµα Τό πόσο µεγάλο ἅλµα πραγµατοποιεῖται στά Μαθηµατικά ἀλλά καί στήν ἀνθρώπινη διανόηση γενικότεϱα µέ τίς ἀποδείξεις, ϕαίνεται καί στό γεγονός ὅτι ὁ πρῶτος ἐπώνυµος µαθηµατικός, ὁ Θαλῆς ὁ Μιλήσιος (7ος αἰ. π.χ.), ἦταν αὐτός πού ἔδωσε τήν πρώτη ἀπόδειξη, ἡ ὁποία ἦταν µάλιστα γεωµετρική. Βεβαίως σηµαντικά Μαθηµατικά ὑπῆρχαν καί πρίν ἀπό τόν Θαλῆ. Ηταν τά Μαθηµατικά τῶν Αἰγυπτίων, καί τῶν Σουµερίων. Τά Μαθηµατικά ὅµως αὐτά ἦσαν ὑπολογιστικά, ἀποτελοῦσαν δηλαδή µεθόδους ὑπολογισµῶν καί προσεγγίσεων. Εἶχαν ἐπίσης, κατά ἐµπειρικό τρόπο, ἐξαγάγει σηµαντικά γεωµετρικά καί ἀλγεβρικά συµπεράσµατα. Εἰκάζεται µάλιστα ὅτι οἱ Βαβυλώνιοι γνώριζαν καί τό Πυθαγόρειο ϑεώρηµα ἐµπειρικά, µία χιλιετία πρό τοῦ Πυθαγόρα. Τήν ἀπόδειξη ὅµως, τήν εἰσήγαγαν πρῶτοι οἱ Ελληνες. Εἶναι ἀξιοσηµείωτο ὅτι ἡ Γεωµετρία, καί ἰδιαιτέρως ἡ ἀξιωµατική ϑεµελίωση καί ἀποδεικτική διαδικασία, ἐπηρέασε τόσο τούς ἀρχαίους Ελληνες ὅσο καί τούς σύγχρονους ϕιλοσόφους. Λέγεται δέ ὅτι ἔµβληµα τῆς Ἀκαδηµίας τοῦ Πλάτωνος ἦταν τό ϱητό : ἀγεωµέτρητος µή εἰσίτω. Τό ἴδιο ϱητό ἀποτελεῖ καί ἔµβληµα τῆς Ἀµερικανικῆς Μαθηµατικῆς Εταιρείας 8. Στούς πλατωνικούς διαλόγους, Τίµαιος, Θεαίτητος, Σοφιστής καί Φίληϐος, ἀναφέρονται ἤ ὑπονοοῦνται ϑεµελιώδη µαθηµατικά προβλήµατα τῆς ἐποχῆς, ὅπως γιά παράδειγµα ἡ ἀνακάλυψη τῶν ἀσυµµέτρων λόγων, δηλαδή τῶν ἀριθµῶν πού δέν εῖναι δυνατόν νά γραφοῦν ὡς λόγοι ἀκεραίων ἀριθµῶν. 7 Συµφώνως ὅµως µέ τόν Πρόκλο (Σχόλια στό πρῶτο ϐιβλίο τῶν Στοιχείων τοῦ Εὐκλείδη), ὁ ὁποῖος ἐπικαλεῖται µαρτυρία τοῦ Εὐδήµου, ἰσοδύναµη µορφή τοῦ αἰτήµατος αὐτοῦ ἧταν γνωστή καί χρησιµοποιήθηκε ἀπό τούς Πυ- ϑαγόριους [10]. 8 American Mathematical Society. 13

5 Τί εἶναι ὅµως ἡ Εὐκλείδειος Γεωµετρία ; Σχῆµα 4: Περίκεντρο : τό σηµεῖο τοµῆς τῶν τριῶν µεσοκαθέτων καθώς καί τό κέντρο τοῦ περιγεγραµµένου κύκλου. Τό περίκεντρο ϐρίσκεται ἐντός, ἐπί ἤ ἐκτός τοῦ τριγώνου ἄν τό τρίγωνο εἶναι ὀξυγώνιο, ὀρθογώνιο ἤ ἀµβλυγώνιο, ἀντιστοίχως. Η ἀνακάλυψη αὐτή, πραγµατοποιεῖται στά τέλη τοῦ 5 ου αἰῶνος π.χ. γεωµετρικά. Συγκεκριµένα προκύπτει µέσα ἀπό τή µελέτη ὀρθογωνίων τριγώνων, καί ἰδιαιτέρως, µέσω ἄπειρης ἀνθυφαιρέσεως. Στήν περίπτωση τοῦ λόγου τῆς ὑποτεινούσης διά τῆς καθέτου ἰσοσκελοῦς ὀρθογωνίου τριγώνου (καί ὄχι µόνον), ἡ ἀνθυϕαίρεση ἀποτελεῖ οὐσιαστικά τόν εὐκλείδειο ἀλγόϱιθµο γιά τήν εὕρεση µεγίστου κοινοῦ διαιρέτου ή διαφορετικά κοινοῦ µέτρου, µεταξύ τῆς ὑποτεινούσης καί τῆς καθέτου. Η διαδικασία αὐτή ἀποδεικνύεται, µέσω ὁµοιότητος τριγώνων, ὅτι δέν πεϱαίνεται καί ὡς ἐκ τούτου ὁ λόγος τῆς ὑποτεινούσης διά τῆς καθέτου, δηλαδή ὁ 2, εἶναι ἀσύµ- Σχῆµα 5: Ἀνθυφαιρετική ἀπόδειξη τῆς ἀρρητότητος τοῦ 2. µετρος 9. έν ὑπάρχει δηλαδή µεταξύ τῶν δύο αὐτῶν µηκῶν, κοινό µέτρο. Πέραν τοῦ ὅτι ἐπιση- µαίνεται ἡ ἀνακάλυψη, αὐτή στό Θεαίτητο, στόν ἴδιο πλατωνικό διάλογο ἀναπτύσσεται καί ἡ πλατωνική διαλεκτική, µέ τρόπο πολλά ὑποµιµνήσκοντα τήν γεωµετρική ἀποδεικτική µέθοδο τῆς ὑπάρξεως τῶν ἀσυµµέτρων 10. Εἰκάζεται λοιπόν ὅτι ἀόριστος δυάς, πού ἀποδίδει ὁ Ἀριστοτέλης στόν Πλάτωνα, ἡ ϐάση τῆς διαλεκτικῆς, ἔχει µαθηµατικές καταβολές (παράβαλε [9].) Παρεµπιπτόντως, δέν ϑά ἦταν ὑ- περβολή νά λεχθεῖ, ὅτι ἡ Λογική τοῦ Ἀριστοτέλους, ϐασίζεται στίς γεωµετρικές ἀποδεικτικές µεθόδους, ἐνῶ ἡ ϑεµελίωση, ὀργάνωση καί µεθοδολογία πολλῶν συγχρόνων ϕιλοσοφικῶν καί ἐπιστηµονικῶν ϑεωριῶν, ϐασίζονται στά Στοιχεῖα. Χαρακτηριστικό τέτοιο παράδειγµα τό ἔργο σταθµός τοῦ Νεύτωνος Principia 11 πού ἔχει ἀκριβῶς τήν ἴδια ὀργάνωση µέ τά Στοιχεῖα. Επίσης, 9 Σηµειωτέον ὅτι ἡ ἀπόδειξη µέσω τῆς Θεωρίας Ἀριθµῶν πού ὑπάρχει στά σύγχρονα συγγράµµατα ὅτι ὁ 2 εἶναι ἄρρητος εἶναι µεταγενέστερη. 10 Μέσω τῆς ἀνθυφαιρετικῆς µεθόδου εἶναι δυνατόν νά δειχθεῖ ὅτι ἄν ὁ ϕυσικός ἀριθµός n δέν ἀποτελεῖ τέλειο τετράγωνο, τότε ὁ n εἶναι ἄρρητος. Γιά κάποια n, ὅπως γιά παράδειγµα γιά n = k 2 + 1, ἡ ἀπόδειξη εἶναι ἀρκετά σύντοµη. Γιά µεγάλα ὅµως n ἡ ἀπόδειξη ἐνδέχεται νά εἶναι ἐξαιρετικά πολύπλοκη ἔως πρακτικά ἀδύνατη, δοθέντος ὅτι ἐνδέχεται νά ἀπαιτεῖται σχεδιασµός µακρᾶς σειρᾶς τριγώνων, πού ὁλοένα σµικρύνονται. Εἶναι χαρακτηριστικό ὅτι στόν Θεαίτητο ἀναφέρεται ὅτι µετά τό n = 17 τά πράγµατα δυσκολεύουν. 11 Philosophiae naturalis principia mathematica (1686) ἤ Μαθηµατικές ἀρχές τῆς ϕυσικῆς ϕιλοσοφίας. 14

5 Τί εἶναι ὅµως ἡ Εὐκλείδειος Γεωµετρία ; στό ϕιλοσοφικό ἔργο τοῦ Baruch Spinoza (1632-1677) Ηθική 12 τίθενται ἀξιώµατα καί µέσω αὐτῶν ἀποδεικνύονται προτάσεις ϕιλοσοφικῆς ϕύσεως κατά τρόπο γεωµετρικό, ὅπως ἄλλωστε τό δηλώνει καί ὁ τίτλος τοῦ ἔργου. Πῶς ὅµως ἡ κατάργηση τῆς ΕΓ εἶχε ὡς συνέπεια καί τήν κατάργηση τῶν ἀποδείξεων ; Η ἀπόδειξη ἀποτελεῖ τήν καρδιά τῆς Μαθηµατικῆς ἐπιστήµης. Εχει παραδοσιακά διαχωρίσει τά Μαθηµατικά ἀπό τίς ἐµπειρικές ἐπιστῆµες, ὡς ἀδιαµφισβήτητη µέθοδος ἐλέγχου τῆς γνώσεως, εἰς ἀντιδιαστολήν τῆς ϕυσικῆς ἀναγωγῆς πού προκύπτει ἀπό τήν ἐµπειρική ἔρευνα. Η ἀναγωγική ἀποδεικτική διαδικασία προσφέρει τήν ἁγνότερη µέθοδο διακρίσεως τοῦ ὀρθοῦ ἀπό τό λανθασµένο. Εἶναι ἀλήθεια ὅτι οἱ Bourbaki οὐδόλως ἦσαν ἐναντίον τῶν ἀποδείξεων. Ἀντιθέτως, τά πρῶτα σχολικά ἐγχειρίδια πού ἐκθρόνισαν τήν ΕΓ εἶχαν περίπου ὅσες ἀποδείξεις εἶχαν καί τά προηγούµενα. Τά ἐγχειρίδια αὐτά περιελάµβαναν κλάδους τῶν Ἀφηρηµένων Μαθηµατικῶν, ἀλγεβρικῆς ϕύσεως, ὅπως Λογική καί Θεωρία Συνόλων καί εἶχαν δοµή ἀρκετά παρόµοια µέ αὐτή τῆς ΕΓ. Μέ τήν παρόδο ὅµως τοῦ χρόνου διαπιστώθηκαν µιά σειρά ἀπό δυσκολίες. υσκολίες σχετιζόµενες µέ τήν ἔλλειψη ἐποπτικῆς διαισθήσεως στά Ἀφηρηµένα Μαθηµατικά πού καθιστοῦν τίς ἀποδείξεις άλλοτε ἀκατανόητες, ἄλλοτε µή ἑλκυστικές, τά δέ ἀξιώµατα οὐδόλως προφανῆ. Τέλος, οἱ ἔννοιες τίς ὁποῖες διαπραγµατεύονται δέν εἶναι καθόλου χειροπιαστές. Η ἀδυναµία τῶν Ἀφηρηµένων Μαθηµατικῶν νά ἀποτελέσουν κατάλληλο ἐκπαιδευτικό ὑπόδειγµα γιά νά ἐξοικειωθοῦν οἱ µαθητές µέ ἔννοιες ὅπως ἀπόδειξη, ϑεώρηµα καί ἀξίωµα καί νά καταστοῦν ἐναλλακτική λύση στήν Ε, ϕαίνεται ἀπό τά πιό κάτω παραδείγµατα : Ενας, ἀκόµη καί µέτριος ἤ ἀδιάφορος µαθητής, ἔστω κι ἄν δέν ἔχει ἀκολουθήσει τά ϐήµατα τῆς ἀποδείξεως τοῦ Πυθαγορείου ϑεωρήµατος, ἤ τῆς προτάσεως ὅτι : Οἱ διχοτόµοι ἑνός τριγώνου διέρχονται ἀπό τό ἴδιο σηµεῖο, κατανοεῖ ἀσφαλῶς Σχῆµα 6: Εγκεντρο : τό σηµεῖο τοµῆς τῶν τριῶν διχοτόµων καθώς καί τό κέντρο τοῦ περιγεγραµµένου κύκλου. τόσο τήν ἀναγκαιότητα ὅσο καί τή ϕύση αὐτῶν τῶν ἀποδείξεων. υστυχῶς τό ἴδιο δέν ϑά ἦταν δυνατόν νά λεχθεῖ γιά προτάσεις τῶν Ἀφηρηµένων Μαθη- µατικῶν ὅπως Τό οὐδέτερο στοιχεῖο τοῦ πολλαπλασιασµοῦ (δηλ. τό 1) εἶναι µοναδικό ἤ Η ἕνωση συνόλων ἱκανοποιεῖ τήν µεταθετική ἰδιότητα ἤ Η διαιρετότητα εἶναι σχέση µερικῆς διατάξεως. Ο µαθητής, σ αὐτές τίς περιπτώσεις δέν κατανοεῖ κἄν τήν ἀναγκαιότητα ἀποδείξεως τέτοιων προτάσεων. Κάτι παρόµοιο µπορεῖ νά λεχθεῖ καί σχετικά µέ τήν κατανόηση τῶν ἀξιωµάτων. Ενῶ ἕνας µαθητής κατανοεῖ τή σηµασία τοῦ ὅτι ύο σηµεῖα ὁρίζουν µοναδική εὐθεῖα ἀποτελεῖ ἰδιότητα αὐτονόητη καί µή δυνάµενη νά ἀναχθεῖ σέ ἁπλούστερη, οὐδόλως µπορεῖ νά συµβεῖ τό ἴδιο µέ τό ἀξίωµα τῆς ϑεωρίας τῶν διανυσµατικῶν χώρων, ὅτι Ο ἐξωτερικός πολλαπλασιασµός εἶναι ἐπιµεριστικός ὡς πρός τήν πρόσθεση. Πέραν τοῦ ὅτι καθίσταται εὔλογη στό µαθητή ἡ ἀναγκαιότητα τῆς ἀποδείξεως στήν ΕΓ, τοῦ δίδεται καί ἡ εὐκαιϱία νά εξοικειωθεῖ σέ τέτοιο ϐαθµό, µ αὐτό τόν τρόπο σκέψεως, ὥστε νά εἶναι σέ ϑέση νά ἀποδεικνύει πραγµατικά δύσκολα ϑεωρήµατα ὡς ἀσκήσεις. Τουλάχιστον κάτι τέτοιο συνέβαινε στούς µαθητές τῶν λυκείων µέχρι καί τίς ἀρχές τῆς δεκαετίας τοῦ 80. Οἱ ἀποδείξεις λοιπόν, σταδιακά ἀποσύϱονται, µιά καί στούς Ἀφηϱηµένους κλάδους τῶν Μαθηµατικῶν δέν ὑπάρχει ἡ δυνατότητα τριβῆς µέ ἱκανοποιητικά µεγάλη ποικιλία ἀποδεικτικῶν ἀσκήσεων, οἱ 12 Ethica Ordine Geometrico Demonstrata. 15

6 Η ἐπανάσταση τῶν ὑπολογιστῶν. ὁποῖες παρέχουν διαίσθηση καί εἶναι ἀρκετά πολύπλοκες ὥστε νά ἀποτελοῦν µέσο ἐκπαιδεύσεως καί ἀξιολογήσεως. Η ΕΓ ἐπίσης ἀποτελεῖ ἕνα κατάλληλο µοντέλο κατανοήσεως τῆς ἔννοιας τοῦ ἀξιώµατος γιά τόν ἄπειρο µαθητή, ἐνῶ τά ἀξιώµατα τῆς Θεωρίας Οµάδων γιά παράδειγµα, ἀποτελοῦν συµπύκνωση µακρᾶς µαθηµατικῆς ἐµπειρίας πού ὁδηγεῖ στήν ἀφαιρετική τους διατύπωση καί εἶναι πολύ δύσκολο γιά ἕνα µαθητή νά κατανοήση τήν ἀναγκαιότητά τους. Πρέπει ἐπίσης νά λεχθεῖ ὅτι ἡ ἐργασία τοῦ διδάσκοντος γίνεται πολύ συναρπαστικότερη καί τό ἐνδιαφέρον τοῦ µαθητῆ ἀναζωπυρώνεται, ὅταν ἀσχολοῦνται µέ χειροπιαστές ἔννοιες µέ ἐποπτική διαίσθηση, ὅπως ἕνα τρίγωνο ἐγγεγραµµένο ἐντός κύκλου Ϲωγραφισµένα στόν πίνακα µέ κιµωλία. Κάτι ἀνάλογο ϐεβαίως εἶναι σχεδόν ἀδύνατον ὅταν πραγµατευόµαστε µέ ἀφηρηµένες ἔννοιες χωρίς ἐποπτική δυνατότητα, ἡ κατανόηση τῶν ὁποίων συνήθως απαιτεῖ µαθηµατική ὡριµότητα. έν πρέπει νά ὑποτιµοῦµε τήν ἱκανοποίηση πού ἀντλεῖ ἕνα παιδί ὅταν Ϲωγραφίζει µέ χάρακα καί διαβήτη ἕνα ὡραῖο σχῆµα, ϐλέπει τό ἀποδεικτέο καί ἀκολούθως τό ἀποδεικνύει. Η ΕΓ προσφέρει λοιπόν ὄχι µόνο τήν αἴσθηση ἀλλά καί τήν αἰσθητική ἡ ὁποία ἄλλωστε εἶναι ἐκ τῶν ὧν οὐκ ἄνευ χαρακτηριστικό, τῆς ἀρχαίας ἑλληνικῆς σκέψεως. Σήµερα πού οἱ ἀσκήσεις τῶν εἰσαγωγικῶν ἐξετάσεων ἐπιλύονται µέ ὑπολογιστικές συνταγές καί τυπολόγια, εἶναι ἄξιον ἀπορίας ἄν οἱ µαθητές πού ἐπιτυγχάνουν στίς εἰσαγωγικές, κρίνονται µέ τά ἁρµόζοντα κριτήρια. 6 Η ἐπανάσταση τῶν ὑπολογιστῶν. Η σηµερινή ἐποχή µπορεῖ κάλλιστα νά χαρακτηρισθεῖ ὡς ἡ ἐποχή τῶν ἠλεκτρονικῶν ὑπολογιστῶν (Η/Υ) καί τοῦ ιαδικτύου (Internet.) Πολλοί ἐκπαιδευτικοί, παγκοσµίως, δίνουν προτεραιότητα στήν περαιτέρω εἰσαγωγή καί ἐµπέδωσή τῶν Η/Υ στά σχολεῖα, εἰς ϐάρος τῆς ἐµ- ϐαθύνσεως τῆς µαθηµατικῆς σκέψεως. Πολύ συχνά µάλιστα, ὁ ϐαθµός εµπεδώσεως τῶν Η/Υ στήν κοινωνία ἀποτελεῖ καί κριτήριο προόδου καί εὐηµερίας. Εδῶ ϑίγεται ἕνα ἄλλο µεγάλο ϑέµα πού ἀπαιτεῖ ἀνάπτυξη. έν ὑπάρχει καµιά ἀµφιβολία ὅτι οἱ Η/Υ εἶναι πλέον µέρος τῆς Ϲωῆς µας καί ἡ ἐξοικείωση µ αὐτούς µονόδροµος. Ηδη ἀποτελοῦν σηµαντικό ἐργαλεῖο γιά τή δηµιουργία ἐποπτικῆς διαίσθησης καί παρέχουν δυνατότητες πειραµατισµοῦ µέ τά Μαθηµατικά, δυνατότητες πού σίγουρα δέν διέθεταν οἱ προηγούµενες γενεές. Εὐρύτατοι κλάδοι τῶν Εφαρ- µοσµένων Μαθηµατικῶν ὀφείλουν τήν ὕπαρξη τους σχεδόν ἀποκλειστικά στούς Η/Υ. Σηµειωτέον ὅτι ἔχουν ἀναπτυχθεῖ ϑαυµάσια λογισµικά (ϐλέπε [11]) µέ τά ὁποῖα τόσο ἡ διδασκαλία ὅσο καί ἡ ἐµπέδωση ἀπό τό ϕοιτητή τῆς ΕΓ, γίνεται εὐκολότερη. έν πρέπει ὅµως νά µᾶς διαφεύγει ὅτι οἱ Η/Υ ἀποτελοῦν ἁπλῶς ἕνα ἐργαλεῖο καί ὄχι ὑποκατάστατο τῆς σκέψεως. Συγχρόνως, οἱ ὁδηγοί χρήσεως τῶν διαφόρων λογισµικῶν εἶναι τόσο ἁπλά γραµµένοι (γιά ἐµπορικούς λόγους) πού παρέχουν στό χρήστη τή δυνατότητα αὐτοδιδασκαλίας. Κάτι τέτοιο δέν µπορεῖ νά συµβεῖ µέ τή µαθηµατική ϑεµελίωση καί ἀπόδειξη, πού ἀπαιτοῦν συστηµατική καί ἐπίπονη διδασκαλία καί µελέτη. 16

Ἀναφορὲς 7 Επίλογος Ἀντί ἐπιλόγου, ἤθελα νά ἐκφράσω τήν εὐχή, ἡ γεωµετρία τῶν ἀρχαίων Ελλήνων καί οἱ ἀποδείξεις της τελικά νά ἐπιστρέψουν καί νά ἀποτελοῦν ἀντικείµενο µελέτης καί µέσο ἀξιολογήσεως στή Ε. Ηδη ὑπάρχουν πολλές ἐνδείξεις ὅτι αὐτή εἶναι ἡ µόνη διέξοδος, µιά καί πληθαίνουν οἱ ϕωνές τῶν ἐκπαιδευτικῶν πού ἀναγνωρίζουν τήν ϱίζα τοῦ προβλήµατος. Εχει καταστεῖ πλέον ἀπολύτως σαφές ὅτι, ἡ ἐξοικείωση τοῦ µαθητῆ µέ τήν ἔννοια καί µεθοδολογία τῆς ἀποδείξεως, ἀπ ὅσο τό δυνατόν νεαροτέρη ἡλικία, ἀκόµη καί ἀπό τό δηµοτικό, τόν ϐοηθᾶ νά ὀργανώσει τίς σκέψεις του, καί κυρίως τίς µή µαθηµατικές. Οσο κι ἄν ἀκούγεται ὑπερβολικό, ὑπάρχουν ἁπλές ἀλλά ὄχι τετριµµένες ἀποδείξεις, καί µάλιστα γεωµετρικές, πού κάλλιστα εἶναι δυνατόν νά διδαχθοῦν καί στό δηµοτικό. Ηδη στή Μεγάλη Βρεττανία ὅπου ἐπίσης ἔχουν γίνει παρόµοιες διαπιστώσεις, σηµαντικοί ἐπιστήµονες προπαγανδίζουν τήν εἰσαγωγή τῶν ἀποδείξεων από τήν κατωτέρα ἐκπαίδευση. Εἶναι ἐπίσης σαφές ὅτι, ἡ ΕΓ εἶναι τό κατάλληλότερο µοντέλο γιά τή διδασκαλία τῶν ἐννοιῶν αὐτῶν. έν εἶναι ἄλλωστε τυχαῖο τό γεγονός ὅτι µέσω αὐτῆς ὁ ἀνθρώπινος νοῦς συνέλαβε γιά πρώτη ϕορά τίς ἔννοιες, ἀπόδειξη, ϑεώρηµα, ἀξίωµα, καί µάλιστα στό γεωγραφικό µας χῶρο. Εὐχαριστίες Θά ἤθελα νά ἐκφράσω τίς ϑερµές µου εὐχαριστίες πρός τόν Καθηγητή Στυλιανό Νεγρεπόντη γιά τήν τεράστια ϐοήθειά του στήν συγγραφή τοῦ παρόντος ἄρθρου. Η ἀρχική ἐκδοχή τοῦ ἄρθρου αὐτοῦ ὑπῆρξε ἀποτέλεσµα συζητήσεων, κατά τήν διάρκεια τοῦ Χειµερινοῦ ἑξαµήνου τοῦ 1996, µέ τόν κ. Νεγρεπόντη, ὁ ὁποῖος ἦταν τότε ἐπισκέπτης στό τµῆµα Μαθηµατικῶν καί Στατιστικῆς τοῦ Πανεπιστηµίου Κύπρου. Ο κ. Νεγρεπόντης µοῦ παρέσχε πλειάδα πληροφοριῶν, ὄχι µόνο κατά τήν συγγραφή τῆς ἀρχικῆς ἐκδοχῆς τοῦ ἄρθρου ἀλλά καί γιά τίς ἐκδοχές πού ἐπακολούθησαν. Αναφορὲς [1] Λεωνίδας Ἀδαµόπουλος, Η ϑέση τῆς Γεωµετρίας στή δευτεροβάθµια ἐκπαίδευση, Ἀθήνα, 1994. [2] W.E. Boyce & R.C. DiPrima, Elementary Differential Equations, Sixth Edition, Wiley, 1997. [3] Jean Dieudonné, New Thinking in School Mathematics, OECD, France, 1961. [4] David H. Fowler, The Mathematics of Plato s Academy: A New Reconstruction, Oxford University Press, 1999. [5] Εὐκλείδεια Γεωµετρία, Α καί Β ἑνιαίου λυκείου, ΟΕ Β, Ἀθήνα, 1999. [6] T.L. Heath, The Elements of Euclid, Dover, New York, 1956. [7] Celia Hoyles, The Curricular of Students Approaches to Proof, For the Learning of Mathematics, 17, 1(February 1997), pp. 7-15. 17

Ἀναφορὲς Ἀναφορὲς [8] Μαθηµατικά ἐπιλογῆς τρίτης λυκείου, Υπουργεῖο Παιδείας καί Θρησκευµάτων, Λευκωσία, 1996. [9] Stelios Negrepontis, The anthyphairetic nature of Plato s dialectics, Athens 1999. [10] Stelios Negrepontis, Προσωπική ἐπικοινωνία. [11] Πάρις Πάµφιλος, Paris Pamfilos home page on Geometry, Philosophy and Programming, διεύθυνση : http://www.math.uoc.gr/ pamfilos/#iso, 2004. [12] A. Pogoreloff, Lectures on the foundations of Geometry, P.Nourdhoff Ltd, 1966. [13] A. Pogorelov, Geometri, 7 11, Prosveweni, 1995. 18