ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΒΑΚΑΛΟΠΟΥΛΟΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η έκδοση που έχετε στα χέρια σας είναι μια προσπάθεια να γίνει πιο κατανοητό το κεφάλαιο των ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (Διαφορικός Λογισμός) Περιέχονται: Eπισημάνσεις στη θεωρία και ταυτόχρονη εφαρμογή τους στις ασκήσεις Μεθοδολογίες για τις ασκήσεις καθώς και πολλά λυμένα παραδείγματα Προσοχή, το φυλλάδιο αυτό δεν αντικαθιστά κατά οποιονδήποτε τρόπο το σχολικό βιβλίο, έχει όμως συμβουλευτικό και συμπληρωματικό χαρακτήρα Μαρούσι Κώστας Βακαλόπουλος Μαθηματικός, MSc in Statistics Διαφορικός Λογισμός

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (σελ ) ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (σελ 9) ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (σελ 4) 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (σελ ) 5 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ (σελ4) 6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (σελ) 5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ROLLE (σελ 7) 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ (σελ 9) 7 ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (σελ 46) 8 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (σελ 5) 9 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (σελ 56) ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ (σελ 66) ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL (σελ 7) ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (σελ 77) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ (σελ78) Διαφορικός Λογισμός

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Η ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ Έστω S(t): η συνάρτηση θέσης ενός κινητού (t ο χρόνος κίνησης) και t μια χρονική στιγμή πχ s(t) 5t 5t, t s(t) vt αt, με v 5 και α Ο λόγος: S(t) S(t ), t t ή S(t +h) S(t ), t t h h εκφράζει τη μέση ταχύτητα του κινητού (μεταξύ των χρονικών στιγμών t & t) Ενώ το S(t) S(t ) S(t ή + h) S(t ) tt t t h h εκφράζει τη στιγμιαία ταχύτητα: v(t ) (τη χρονική στιγμή t ) Στο παράδειγμά μας: Η στιγμιαία ταχύτητα τη χρονική στιγμή t είναι: 5t 5t s(t) s() v() t t 5(t t ) 5(t )(t ) t t 5(t ) 5 (Θυμηθείτε!: vv αt δηλαδή v() 5 5 ) Η ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΣ: Μ (, f( )) Έστω συνάρτηση f, Α το πεδίο ορισμού της, με γραφική παράσταση C f και M(,f ( )) σημείο της, όπου A Ο λόγος f() f( ), ή f( +h) f( ), h h εκφράζει το συντελεστή διεύθυνσης της εκάστοτε τέμνουσας ευθείας που διέρχεται από το Μ (, f( )) και από μεταβλητό σημείο Μ(, f()) της γραφικής παράστασης της f f() f( Αν το: ) ή f( + h) f( ) υπάρχει και είναι h h πραγματικός αριθμός (έστω λ ), τότε ονομάζουμε εφαπτόμενη ευθεία της C f στο σημείο M(,f ( )), την ευθεία που διέρχεται από το Μ και έχει συντελεστή διεύθυνσης το παραπάνω όριο Έτσι η εξίσωσή της θα είναι: y f ( ) λ ( ) Παράδειγμα: Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης στη γραφική παράσταση της A,f() Λύση Για, f () f () 5 f() 5 5 στο 5( )( ) 5 5 Άρα: Η εξίσωση της εφαπτόμενης στο Α είναι: y 5( ) y 5 5 ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση f με πο το Α Ονομάζουμε παράγωγο της f στο Α το f() f( ) όταν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός και συμβολίζεται f ( ) f() f( Άρα f ( ) = ) f( = +h)f( ) h h ή Δf( ) ή df( ) d ή df() d Διαφορικός Λογισμός

Η συνάρτηση f τότε λέγεται παραγωγίσιμη στο Α Η συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο Α αν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Α ΕΠΟΜΕΝΩΣ: Η στιγμιαία ταχύτητα στο t είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης στο t Άρα: v(t o) s (t ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ευθείας στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης στο σημείο Μ(, f( )) είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο Δηλαδή λ f ( ) Έτσι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο M,f y f ( ) f ( ) ( ) γίνεται: Tο παραπάνω αποτελεί τη γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου μιας συνάρτησης στο σημείο ΠAΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ) Άσκηση iii/a Ομάδα σελ9 Αν f() ημ να βρεθεί, αν υπάρχει, η παράγωγός f ( ) στο Λύση Για, f() f() ημ ημ f() f() ημ Άρα: f () ημ ημ ημ Σημείωση: Αν η συνάρτηση αλλάζει τύπο εκατέρωθεν του τότε, για να είναι παραγωγίσιμη πρέπει να ισχύει: f() f( για, ) - f() f( = ) +, οπότε αν το κοινό αυτό όριο είναι και πραγματικός αριθμός τότε αυτό το όριο λέγεται: παράγωγος της f στο και συμβολίζεται πάλι: f ( ) ) Άσκηση iv/α Ομάδα σελ 9 Αν f(),, υπάρχει, η f () Λύση Για αν τότε: αν τότε: Άρα: Άρα: f () ΠΡΟΣΟΧΗ! f() f() f() f() να βρεθεί, αν f() f() ( ) f() f() Για ο λόγος: f() f( ) λέγεται και λόγος μεταβολής της f από το στο ενώ το f() f( ) f ( ) δηλαδή η παράγωγος της f στο, λέγεται και ρυθμός μεταβολής της f στο Έτσι, Η στιγμιαία ταχύτητα στο t είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης θέσης στο t O συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης στο σημείο M,f ( ) είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης στο Το οριακό κόστος για μονάδες παραγωγής, είναι ο ρυθμός μεταβολής του κόστους στο 4 Διαφορικός Λογισμός

(ΒΑΣΙΚΟ) ΘΕΩΡΗΜΑ Αν μια συνάρτηση f με πο το Α είναι παραγωγίσιμη στο Α, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό (δηλ στο ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Με υπόθεση ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο Α, δηλαδή ότι για υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το όριο: f () f ( ) f ( ) (),θα αποδείξουμε ότι ισχύει: f () f ( ), () Ως γνωστόν όμως ισχύει: f () f ( ) f () f ( ) Αρκεί να δείξουμε ότι: Πράγματι: Για, f () f ( ) () f () f ( ) f () f ( ) ( ) f () f ( ) ( ) f ( ) f ( ) Άρα: f () f ( ) f () f ( ) Δηλαδή η συνάρτηση f συνεχής στο τότε δεν είναι ούτε παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό(αφού αν ήταν παραγωγίσιμη θα ήταν και συνεχής στο ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (Άσκηση iii Α Ομ σελ 8): Να βρεθεί (αν υπάρχει) η f ( ) της f(), 4 Λύση για Επειδή: f() 8 f() 4 6 η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο άρα ούτε παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το να εξετάζουμε τη συνέχεια μιας συνάρτησης στο πριν εξετάσουμε τη παραγωγισιμότητα στο διευκολύνει όταν δεν είναι συνεχής Άσκηση (etra) σ αυτό Να βρεθούν οι τιμές των κ, λ για τις οποίες η συνάρτηση: f() κ, λ, είναι παραγωγίσιμη στο f () f ( Ος ) τρόπος: Θέτουμε g() f () f ( ) g() f () f ( ) g() g() f Άρα: f () f ( ) g() f ( ) f f ( ) ΠΡΟΣΟΧΗ: Τότε: Δεν ισχύει πάντα το αντίστροφο! Δηλαδή αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο δεν είναι οπωσδήποτε και παραγωγίσιμη σ αυτό Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο ΛΥΣΗ Στην άσκηση αυτή η απαίτηση να είναι συνεχής στο επιβάλλεται για να δημιουργήσουμε μια ακόμη εξίσωση με τις παραμέτρους κ και λ Έτσι, Για να είναι η f συνεχής στο πρέπει: f() f() f() ( κ) (λ ) κ κ λ () Τότε η συνάρτηση γίνεται: f() κ, ( κ), Για να είναι η f παραγωγίσιμη στο πρέπει: f() f() f() f() () 5 Διαφορικός Λογισμός

f() f() κ κ f() f() ( κ) κ ( κ)( ) Άρα: () κ Επομένως: ( κ)( ) ( )( ) κ κ () () () λ Δηλαδή για κ και λ η f παραγωγίσιμή στο ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΣ M (,f( )) Έστω συνάρτηση f με πο Α, Α και C f η γραφική της παράσταση η περίπτωση: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο τότε εφαπτόμενη της C f στο Μ (, f( )) ονομάζουμε την ευθεία που διέρχεται από το Μ (, f( )) και έχει συντελεστή διεύθυνσης το: f() f( ) δηλαδή την παράγωγο της f στο Η εξίσωση της είναι : y f( ) f ( )( ) η περίπτωση : Αν η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο, όμως είναι συνεχής στο και τα όρια: f() f( ), f() f( ) υπάρχουν, δεν είναι και τα δύο άπειρα () και είναι διαφορετικά, τότε δεν ορίζεται εφαπτόμενη ευθεία της C f στο Μ(, f( )) και το σημείο Μ λέγεται γωνιακό σημείο της C f η περίπτωση : Αν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο, προφανώς δεν ορίζεται η εφαπτόμενη στο σημείο Μ(, f( )) () Σημείωση: Την 4 η περίπτωση που είναι συνεχής στο και τα πλευρικά όρια είναι άπειρα, οπότε η εφαπτόμενη είναι η κατακόρυφη ευθεία: δε θα τη μελετήσουμε (είναι εκτός ύλης) Στη περίπτωση αυτή για παράδειγμα αναφέρουμε τη ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ συνάρτηση f ( ) που στο δεν είναι παραγωγίσιμη, όμως είναι συνεχής σ αυτό και f ( ) f ( ) οπότε η εφαπτόμενη είναι ο άξονας y y ) Άσκηση iii/α Ομάδα σελ Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης (αν ορίζεται) της γραφικής παράστασης της f στο Μ(, f( )) αν f() ημ και Λύση: Η f είναι παραγωγίσιμη στο (βλέπε ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ σελ) με f () Άρα η εξίσωση είναι: ψ f() f ()( ) ψ ( ) ψ (ο άξονας ) ) Άσκ iv/α Ομάδα σελ Επίσης της f(),,, Λύση: Η f είναι παραγωγίσιμη στο (βλέπε ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ σελ) με f () Άρα η εξίσωση της εφαπτόμενης στο Α(,) είναι ψ f() f ()( ) ψ ( ) ψ ) Επίσης της f(),, Λύση:, Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο αφού δεν είναι συνεχής σ' αυτό Άρα δεν ορίζεται η εφαπτόμενη της C f στο (, f()) 6 Διαφορικός Λογισμός

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Θα ασχοληθούμε τώρα με ασκήσεις που ζητείται η παραγωγισιμότητα σ ένα σημείο Α μιας συνάρτησης της οποίας δεν γνωρίζουμε τον τύπο, όμως γνωρίζουμε μία σχέση για τον τύπο της (ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ) Στις ασκήσεις αυτές αναζητούμε αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το ( ), δηλαδή το () ( ) ( +h) ( ) όριο: ή h h Από τα δεδομένα κάθε άσκησης συλλέγουμε ό,τι είναι απαραίτητο για τον υπολογισμό του παραπάνω ορίου ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός) Όμως η είναι συνεχής στο Άρα: f ( ) f () f ( h) f (h ) h h Θέτoυμε: g() = () g() () = g() με Οπότε: ( ) = g() = = Άρα: f ( ) () Επιστρέφοντας στον αρχικό μας στόχο έχουμε: (h ) () () ( ) = = h h ( ) = (από υπόθεση) Άρα: Η είναι παραγωγίσιμη = με () = Έστω συνάρτηση g συνεχής στο με g() = 6 Να δείξετε ότι η συνάρτηση () = g() είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την () ΛΥΣΗ Αναζητούμε την παραγωγισιμότητα της στο, δηλαδή αναζητούμε (αν υπάρχει) για το όριο: () () Όμως () = g() και () = g() = 6 + = () () g() Άρα: = = (g() ) () = g() = = Άρα: () = () Υπ όψιν ότι: g() g() 6 αφού η g συνεχής στο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν συνάρτηση συνεχής στο = και () = να δειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο = ΛΥΣΗ Αναζητούμε για h το όριο: ( + h) () h h (h ) () = h h (αν ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε, y ισχύει: (y) = () + (y) () Να αποδείξετε ότι η παραγωγίζεται σε κάθε * ΛΥΣΗ Αφού η είναι παραγωγίσιμη στο θα είναι και συνεχής στο, δηλαδή () = () και () () = () Η () για = y = γίνεται: () = () + () () = Άρα οι παραπάνω σχέσεις γίνονται: () () = και = () Έστω * Για αναζητούμε το όριο: () ( ) (Θέτoυμε: = h, οπότε h = και h = ) Άρα: () ( ) ( ) + (h) ( ) = = h (h ) ( h) ( ) = h h h (h) h = () Άρα: η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε με ( ) = () 7 Διαφορικός Λογισμός

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο και η είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: () = g(), Να βρεθεί η τιμή g() ΛΥΣΗ Η g συνεχής στο άρα: g () = g () = g() () - + H είναι παραγωγίσιμη στο () () Άρα: - = + ( )g() - = + () () ( )g() ό () - [ g ()] = g () + g() = g() g() = g() = ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f () ημ Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την f () Α) Δίνεται η συνάρτηση συν, f () Να εξετάσετε αν, η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο g(), Β) Αν f () και, g() g (), ν αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγώγιση στο Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f (), g() f ( )( ) f ( ), είναι παραγωγίσιμη στο 4 Α) Δίνεται η συνάρτηση, f () 5 4, Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η f είναι: i) συνεχής στο, ii) παραγωγίσιμη στο Β) Να βρείτε τις τιμές των α,β, ώστε η συνάρτηση f () α β,, παραγωγίσιμη στο 8 Διαφορικός Λογισμός να είναι, Γ) Αν f (),, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ για τις οποίες η f είναι παραγωγίσιμη στο 5 Α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής f ( h) στο και 5, να h h αποδείξετε ότι f () και ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο Β) Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο και συνεχής στο με f () 6 6 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο και να βρείτε την f () 6 Α) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε, y ισχύει: f ( y) f () f (y) 5y, να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο Β) Έστω συνάρτηση f που ικανοποιεί τη σχέση: f ( y) συν f (y) συνy f () για κάθε, y Αν f () να δείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο π και να βρείτε την f(π) Γ) Έστω η συνάρτηση f που ικανοποιεί τη σχέση: f () f () ημ για κάθε Αν η f παραγωγίζεται στο να βρείτε την f ()

7 Α) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α και f ( ), να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση α f είναι παραγωγίσιμη στο Β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α και f ( ), να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α 8 Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο και παραγωγίσιμη στο με f α να αποδείξετε ότι: f h f h 5α h h 9 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f () που ικανοποιεί τις σχέσεις: f () για κάθε και f () f (y) 6 f ( y) για κάθε f (y), y Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται σε κάθε με f f α) Να αποδείξετε ότι αν τα f () f ( ) όρια και f () f ( ) είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε η f είναι συνεχής στο β) Δείξτε ότι ενώ η, f () δεν είναι, παραγωγίσιμη στο εν τούτοις είναι συνεχής στο εφαρμόζοντας το προηγούμενο συμπέρασμα Έστω οι συναρτήσεις f και g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο α,β f g και f g με Αν ισχύει f () h() g() για α,β, να αποδείξετε ότι και η h είναι παραγωγίσιμη στο και μάλιστα ισχύει h f 9 Διαφορικός Λογισμός

ΟΡΙΣΜΟΙ Παράγωγος συνάρτηση f μιας συνάρτησης f:α, ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το στοιχείο του συνόλου Α στο f ( h) f () f () f ( ) f (), h h όταν το όριο αυτό υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός Το πεδίο ορισμού της f είναι γενικά: A A - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν f () (c ), τότε f () (), Πράγματι: Για κάθε και, f () f λ α f () f ( ) f ( ) Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σύνολο Α αν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του συνόλου Α Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα α,β αν είναι παραγωγίσιμή σε κάθε σημείο του ανοιχτού διαστήματος α,β Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα α,β ο: : αν είναι παραγωγίσιμή σε κάθε σημείο του ανοιχτού διαστήματος α,β και ον : αν α f f β f f λ λ και Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω ορισμό αποδεικνύονται οι παρακάτω τύποι για τις παραγώγους των βασικών συναρτήσεων: ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (I) Αν f () c (c ), τότε f () (c), Πράγματι: Για κάθε και, f () f ( ) c c f ( ) Αν f () ν f () ( ) ν (ν * ), τότε ν ν, Πράγματι: Για κάθε και, ν ν f () f ( ) f ( ) ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν 4 Αν f (),, τότε f () ( ),, ενώ δεν είναι παραγωγίσιμη στο, και, Πράγματι: Για κάθε f () f ( ) f ( ) Για f () f () Διαφορικός Λογισμός

5 Αν f () ημ, τότε f () (ημ) συν, 6 Αν f () συν, τότε f () (συν) ημ, ΛΥΣΗ Για κάθε, ln f () log ln ln ln ln ln ln ln 7 Αν f () e, τότε 8 Αν f () ln, τότε f () (ln ), f () (e ) e ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα Δ τότε για κάθε Δ ισχύει: f () g() f () g () I Πράγματι, Αν F() f () g() τότε για F() F( ) κάθε και, f () g() f ( ) g( ) f () f ( ) g() g( ) f () f ( ) g() g( ) f ( ) g ( ) f () g() f () g() f () g () II f ()g()h() III f ()g()h() f ()g ()h() f ()g()h () IV c f () c f (), (c ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης: f () log, Γενικά: Αν f () log, α,, τότε α ln f () logα ln α ln α ln α f () f () g() f () g () V g() g () με g() g () VI g() g () με g() ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙI) Χρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης επεκτείνουμε τον κατάλογο των βασικών παραγώγων συναρτήσεων με τις παρακάτω: 9 Αν f (), και τότε f () Πράγματι: Αν f (),, f () τότε: Πράγματι: ( ) ( ) Διαφορικός Λογισμός

Αν f (),, τότε: f () Πράγματι: ( ) ( ) ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f g() f g() g () (αρκεί να υπάρχουν οι παράγωγοι που αναφέρονται) Στις αποδείξεις που ακολουθούν θα χρησιμοποιήσουμε τη παράγωγο: g() g() (e ) e g () ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (III) Αν f (), και, f () τότε Πράγματι: ln ln uln e e ln ln u u e e e e u e ln ln πχ για πχ για, 4 4 4 4 4 4, g() g() g () Γενικά: πχ Σημείωση: Αν η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο 4 πχ Η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο (άσκ 9/Β Ομ) Αν f (), και τότε ln f () Πράγματι: ln ln e e uln ln u u e e e u ln e ln ln πχ ln Γενικά: g() g() ln g () πχ ln ln ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f (), ΛΥΣΗ ln ln ln e e e ln uln u u e e e u e ln ln ln Γενικά: Αν f () τότε f () g() e ln f () g() e f () e g()ln f () ln f () Οπότε Διαφορικός Λογισμός

g() g()lnf () ug()ln f () f () e e u g()ln f () e u e g() ln f () g() f () g()ln f () g() f () g () ln f () g() f () f () ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί η γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f () ln συνάρτησης: τετμημένη e ΛΥΣΗ Για στο σημείο της με ln ln ln ln ln ln e ln e lnln ln e Οπότε: u ln ln ln ln u f () ln e e u lnln e u e ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln Άρα: e f (e) ln e ln ln e ln ln e Άρ α: 45 4 Αν f () ln τότε f () ln, Πράγματι: Αν Αν τότε f () ln u τότε: u f () ln ln u u u ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Έστω οι συναρτήσεις f και g με, τύπους: f (),, g(),, i) Εξετάστε αν f () g () για κάθε ii) Εξετάστε αν f () g() για κάθε Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος της 4, συνάρτησης: f (), 4 Αν f: παραγωγίσιμη συνάρτηση, άρτια και f (), να δείξετε ότι για τη συνάρτηση g() f f () e ισχύει: g () 5 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f () e Να δείξετε ότι: f () f () f () 6 6 Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f με τύπο f () ημ είναι: f () ημ ν, * ν (ν) ν π 7 Να βρείτε τη παράγωγο των συναρτήσεων: α) 4 f () α β) φ() 4 5 γ) g() e συν ημ δ) h() ln e 4 ε) σ(), α Διαφορικός Λογισμός

8 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, να βρείτε τη παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: i) g() f ημ ii), g() f f ln, iii) g() f συν iv) g() ημ f f () 9 Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο και f άρτια α) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή β) Αν f, g f () ημ να βρείτε τη g () f και, για κάθε, Δίνεται η συνάρτηση f () ημ στο π π, A) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη f B) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε να βρείτε τον τύπο της παραγώγου της αντίστροφης της f A) Έστω f: α,β συνάρτηση γνησίως μονότονη και συνεχής Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο α,β f και η f τότε: η f f f και ισχύει: f f ( B) Δίνεται η συνάρτηση με είναι συνεχής στο παραγωγίζεται στο f f () e Αν η αντίστροφη της f είναι συνεχής στο, να βρείτε τον αριθμό f Να βρείτε τα όρια: i) ημ e, ii) Θεωρούμε μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: y f ( y) e f (y) e f () y α για κάθε, y α) Να δείξετε ότι f α, β) Να δείξετε ότι η C f περνά από την αρχή των αξόνων, γ) Να δείξετε ότι: f f f () e, για κάθε Σημείωση: Να λύσετε την παραπάνω άσκηση με την υπόθεση ότι η f είναι παραγωγίσιμη μόνο στο σημείο 4 Γνωρίζουμε ότι για ισχύει: ν ν α) Να υπολογίσετε το άθροισμα: ν ν, β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: 4 5 9 4 8 6 4 Διαφορικός Λογισμός

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Άρθρο μου από το περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Όταν μας ζητούν την εξίσωση της εφαπτόμενης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που διέρχεται (ή άγεται) από το σημείο Α(α, β), θεωρούμε το σημείο επαφής Μ(, ψ ), σχηματίζουμε την εξίσωση της εφαπτόμενης στο Μ και επαληθεύουμε την εξίσωση της για το σημείο Α(α, β)απ όπου προσδιορίζουμε το και στη συνέχεια την ζητούμενη εξίσωση (Βλέπε εφαρμογή σελ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (Άσκ σελ9) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() που άγεται από το σημείο Α(, ) Λύση ΠΡΟΣΟΧΗ! Το σημείο Α(, ) δεν είναι το σημείο επαφής Έστω Μ(, ψ ) το σημείο επαφής Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f () Η εξίσωση της εφαπτόμενης στο σημείο Μ(, ψ ) είναι: (ε): ψ f( ) f ( )( ) ψ ( ) ψ ψ () Προφανώς αφού η ευθεία ε, περνάει από το σημείο Α(, ) οι συντεταγμένες του σημείου Α επαληθεύουν την εξίσωση της () Άρα: Άρα: τα σημεία επαφής είναι: Α (, ) και Α (, ) Οπότε οι εξισώσεις εφαπτόμενων είναι αντίστοιχα: ψ και ψ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f() e α) Να βρεθεί σημείο της γραφικής της παράστασης αν υπάρχει, στο οποίο η εφαπτόμενη να διέρχεται από την αρχή των αξόνων και να βρεθεί η εξίσωσή της (Απ y e ) β) Να εξετασθεί αν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης ώστε οι εφαπτόμενες σ αυτά να είναι παράλληλες Έστω η συνάρτηση f με τύπο f Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f που διέρχεται από το σημείο A, 6 (Απ y 6 ) Δίνεται η συνάρτηση f() ln Αν C η γραφική παράσταση της f να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης της C που διέρχεται από την αρχή των αξόνων (Απ y ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Όταν μας ζητούν να βρούμε τα σημεία της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο Α, που η εφαπτόμενη είναι: Παράλληλη στον άξονα, Παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση: y α β, Κάθετη στην ευθεία με εξίσωση: y α β, 4 Σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω, Αναζητούμε τα σημεία εκείνα με τετμημένη τις ρίζες των εξισώσεων: f (), f () α, f ()α, 4 f () εφω (αντίστοιχα) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (Άσκ 5iii Α Ομ σελ8) Να βρεθούν τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στον αν f() ΛΥΣΗ Η f() είναι παραγωγίσιμη στο * με: f () Οπότε: f () ή Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι: Α(, ), Β(, ) 5 Διαφορικός Λογισμός

(Άσκ 9 Α Ομ σελ9) Βρείτε τα σημεία της γραφ παράστασης της συνάρτησης f() 5 στα οποία η εφαπτόμενη είναι: i) στην ευθεία: ψ 9, ii) στην ευθεία: ψ Λύση: Η f() 5 είναι παραγωγίσιμη στο με f () i) f () 9 9 4 ή Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι: Α(, 7), Β(, ) ii) f ()() f () 4 Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι : Α, f, Β, f ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f με f που είναι παράλληλες στην ευθεία y (Απ Για, y και για, y ) Έστω η συνάρτηση f Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της είναι κάθετη στην ευθεία y (Απ Για ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ C f που, y και για, 9 6 y ) 9 Όταν μας ζητούν ν' αποδείξουμε ότι μια ευθεία ε, εφάπτεται στη C f μιας συνάρτησης f σ ένα συγκεκριμένο σημείο της Μ(, ψ ) (σημείο επαφής), αποδεικνύουμε ότι η εφαπτόμενη στο σημείο Μ(, ψ ) της C f, ταυτίζεται με την (ε) Αφού όμως οι ευθείες αυτές έχουν ένα κοινό σημείο, ΑΡΚΕΙ: λ ε f ( ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (Ασκ / Β ομ σελ 8) Έστω συνάρτηση f() και το σημείο Α(ξ, f(ξ)), ξ της γραφικής παράστασης της f Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(ξ, f(ξ)) και Β(ξ, ) εφάπτεται της C f στο Α Λύση Για να αποδείξουμε ότι η ευθεία ε(αβ) εφάπτεται στο C f αρκεί ν' αποδείξουμε ότι ταυτίζεται με την εφαπτόμενη στο C f στο Α(ξ, f(ξ) ξ) Αρκεί: λ ΑΒ f (ξ) ξ ξ (ξ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ισχύει! Άρα: Η ευθεία ΑΒ εφάπτεται στη C f στο Α(ξ, ξ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 Όταν μας ζητούν ν' αποδείξουμε ότι μια ευθεία ε: ψ α β, εφάπτεται στη C f μιας συνάρτησης f, χωρίς να μας προσδιορίζουν το σημείο επαφής, προσπαθούμε ν' αποδείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Α(, ψ ) στο οποίο η εφαπτόμενη ταυτίζεται με την (ε) Έτσι, βρίσκουμε τα κοινά σημεία της ευθείας (ε) και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης C f λύνοντας το σύστημα : ψ α β και ψ f() και εξετάζουμε σε ποιο απ αυτά η ευθεία (ε) είναι εφαπτόμενη στη γραφική παράσταση της f ελέγχοντας αν ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτόμενης δηλ, η f () στα σημεία αυτά, ισούται με τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας (ε) δηλαδή αν ισχύει: f () α Μ άλλα λόγια: αρκεί να βρούμε σημείο Α(, ψ ) ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: () ψ α β () ψ f( ) () f ( ) α 6 Διαφορικός Λογισμός

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στις μη παραμετρικές ασκήσεις λύνουμε το σύστημα των (), () για να προσδιορίσουμε το σημείο Α(, ψ ) και επαληθεύουμε στην () (ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Στις παραμετρικές ασκήσεις λύνουμε τις () και () ως προς και ψ και αντικαθιστούμε στη () απ' όπου υπολογίζουμε την παράμετρο (ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (Άσκ 4/ Β ομ σελ 4) Ν' αποδειχθεί ότι η εφαπτόμενη στο Α(, ) της f() e εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της g() Λύση (Η f() e είναι παραγωγίσιμη στο με f () e και η g() στο με g () ) Κατ' αρχήν θα βρούμε την εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο C f στο (, ): ψ e ( ) ψ ψ Για να εφάπτεται η ευθεία ψ στο διάγραμμα της g() πρέπει να βρούμε σημείο Α(, ψ ): ψ ψ g ( ) Λύνουμε το σύστημα: ψ ψ ψ Επαληθεύουμε στην: g () () ισχύει! Άρα: Η ευθεία ψ εφάπτεται στο C g στο (, ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η ευθεία ψ α να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() α και να προσδιοριστεί το σημείο επαφής Λύση (Η f() α είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο: f () α) Για να εφάπτεται η ευθεία ψ α στο C f της f() α πρέπει να υπάρχει σημείο y α () (, ψ ): y α () α () Έχουμε: () α, () ψ α α α Αντικαθιστώντας στη () έχουμε: α α α α α ή α Για α η ευθεία ψ εφάπτεται στο διάγραμμα της f() στο Α(, ) Για α η ευθεία ψ εφάπτεται στο διάγραμμα της f() στο Β(, ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες η ευθεία ψ εφάπτεται στη γραφική παράσταση C της f() α και να βρεθεί το σημείο επαφής (Απ Για α, Μ(,) ) Δίνονται οι συναρτήσεις f() 6, g() λ Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εφαπτόμενη της C f στο Α(, 6) να εφάπτεται και στη C g (Απ λ ή λ 4 ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 Όταν μας ζητούν ν' αποδείξουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f, g έχουν στο κοινό τους σημείο Μ(, ψ ): α) κοινή εφαπτόμενη ή β) εφαπτόμενες κάθετες πρέπει να συναληθεύονται οι σχέσεις: 7 Διαφορικός Λογισμός

α) β) f ( ) g( ) ή f ( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνονται οι f() 4, g() 5 α Να βρεθεί η τιμή του α για την οποία υπάρχει κοινό σημείο στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g με την ίδια εφαπτόμενη ΛΥΣΗ Κατ' αρχήν η f είναι παραγωγίσιμη στο με f () και g στο * με g () α Αν Μ(, ψ ) το κοινό σημείο των C f και C g πρέπει: f ( ) g( ) () f ( ) g ( ) () () 4 5 α 4 5 α 9 α () Έτσι: () α α α (4) Η () (4) 9 9 ( ) ή Όμως: άρα: ή Άρα: έχουμε: α ( ) ή α ( ) ( ) Σημείωση: Αν στις ασκήσεις αυτές δίνεται το σημείο Μ(,ψ ) τότε επαληθεύουμε τις παραπάνω σχέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Δίνονται οι συναρτήσεις: f () α και g() α, α οι οποίες έχουν στο κοινό τους σημείο κοινή εφαπτόμενη Να βρείτε: α) Την τιμή του α και το σημείο επαφής β) Την κοινή εφαπτόμενη (Απ α) α, Μ(, ), β) y ) Δίνονται οι συναρτήσεις f() 5 και g() (α 4) β με γραφικές παραστάσεις C, C αντίστοιχα Να βρεθούν τα α, β για τα οποία οι C, C διέρχονται από το ίδιο σημείο στο οποίο έχουν κοινή εφαπτόμενη με συντελεστή διεύθυνσης 8 (Απ Για α, β, Μ(,) και για α 4, β 9, Μ(, ) ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 Όταν μας ζητούν να βρούμε τη κοινή εφαπτόμενη των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων f, g χωρίς να δίνονται τα σημεία επαφής εργαζόμαστε ως εξής: Αν Α(,ψ ) και Β(,ψ ) τα σημεία επαφής της ζητούμενης εφαπτόμενης με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g, τότε οι εξισώσεις των εφαπτομένων θα είναι : ε : ψ f( ) f ( )( ) και ε : ψ g( ) g ( )( ) () αντίστοιχα Οι εξισώσεις αυτές γίνονται: ε : ψ f ( ) f ( ) + f( ) και ε : ψ g ( ) g ( ) + g( ) Η κοινή εφαπτόμενη των δύο γραφικών παραστάσεων θα υπάρχει αν οι δύο παραπάνω ευθείες ταυτίζονται δηλαδή υπάρχουν σημεία Α(,ψ ) και Β(,ψ ) που επαληθεύουν τις σχέσεις: f ( ) g ( και f ( ) + f( g ( ) + g( ) Από το σύστημα των δύο τελευταίων εξισώσεων προσδιορίζουμε τα, και στη συνέχεια τη ζητούμενη εξίσωση αντικαθιστώντας σε μια από 8 Διαφορικός Λογισμός

τις εξισώσεις () (Τα παραδείγματα που ακολουθούν αφορούν και τις δύο τελευταίες μεθοδολογίες! ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων () = + και g() = δέχονται κοινή εφαπτόμενη Να βρεθεί η εφαπτόμενη αυτή Λύση: Κατ αρχήν εξετάζουμε αν στο κοινό τους σημείο (αν υπάρχει) έχουν κοινή εφαπτόμενη: + = y + = = y (Σ) = y ( + = + = + =, ΑΔΥΝΑΤΗ) Άρα το σύστημα (Σ) είναι αδύνατο, δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις δεν τέμνονται! Για να δέχονται κοινή εφαπτόμενη αρκεί να υπάρχουν, έτσι ώστε οι εφαπτόμενες στο (,( )) της C και στο (,( )) της C g να συμπίπτουν Αρκεί δηλαδή να υπάρχουν, έτσι ώστε: ( ) = g ( ) () και ( ) + ( ) = g ( ) + g( ) () (Οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες με: () = και g () = για κάθε ) Έχουμε: () ( ) = g ( ) = () + = = () ( ) + ( ) = g ( ) + g( ) ( ) + + = ( ) + + ( ) = = = + ή = Για = + = Για = + είναι = είναι = + + = και = : και για και + = Άρα: ε : y + + = + y = ( ) + y = ( ) + 9 Διαφορικός Λογισμός g = και g = Άρα: ε : y g = g y = ( ) y = ( ) + Για =, = + = + και = Άρα: ε : y = y + = ( ) y = ( + ) + + : g + = και g + = ( + ) Άρα: ε : y g + + = g + y + = (+ ) + y = (+ ) + + ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να εξετάσετε αν υπάρχει κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων των f(), g() Λύση Επειδή δε μας προσδιορίζει η άσκηση αν η κοινή εφαπτομένη είναι σε κοινό σημείο ή όχι θα μελετήσουμε και τις δύο περιπτώσεις

η περίπτωση Έστω ότι υπήρχε κοινή εφαπτομένη των C f και C g στο κοινό τους σημείο (, y ) Τότε θα ισχύει: f( ) g( ) f ( ) g ( ) ή 4 ΑΔΥΝΑΤΟ! Άρα: Δεν υπάρχει κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο! η περίπτωση Έστω ότι υπήρχε κοινή εφαπτομένη των C f και C g σε σημείο Α(, f( )) και Β(, g( )) αντίστοιχα Τότε οι εξισώσεις των αντιστοίχων εφαπτομένων θα είναι: ε : y f( ) f ( )( ) και ε : y g( ) g ( )( ) Αν υπήρχε η κοινή εφαπτομένη των δύο γραφικών παραστάσεων θα πρέπει οι ευθείες ε και ε να ταυτίζονται Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν: ε : y f ( ) f ( ) f( ) ε : y g ( ) g ( ) g( ) Άρα: f ( ) g ( ) f ( ) f( ) g ( ) g( ) f ( ) g ( ) f( ) f ( ) g( ) g ( ) ( ) ( ) ΑΔΥΝΑΤΟΝ Άρα: Δεν υπάρχει κοινή εφαπτομένη των C f και C g ούτε σε διαφορετικά σημεία των ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: g() (Απ y και f () και y ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου του διπλανού σχήματος Αν (ε): ψ είναι η εφαπτόμενη του διαγράμματος της παραγωγίσιμης στο συνάρτησης f στο σημείο, να βρεθεί η εφαπτόμενη (ε ) του C g, με g() f 45 στο σημείο Έστω η συνάρτηση f με f() ( )e, Αφού βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης στο σημείο με f ( ), στη συνέχεια να αποδειχθεί ότι είναι κάθετη στην ευθεία (ε): ψ 4 Έστω η συνάρτηση f: (, ), με f() 6 ln( ) Έστω c πραγματικός μεγαλύτερος του 5 Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση y c και η γραφική παράσταση της f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, τα Α και Β Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της f, στα Α και Β, είναι κάθετες μεταξύ τους y 5 Διαφορικός Λογισμός

5 α) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f () 6 8, να φέρετε τις εφαπτόμενες ε, ε της C f στα σημεία τομής της C f με τον και να δικαιολογήσετε από το σχήμα γιατί οι εφαπτόμενες τέμνονται πάνω στην ευθεία β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής y α β γ, α με Δ, στα σημεία τομής της με τον άξονα τέμνονται στον άξονα β συμμετρίας της παραβολής α ln (α) 6 Δίνεται η συνάρτηση f () με α και α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο,f β) Να αποδείξετε ότι όλες οι παραπάνω εφαπτόμενες στο σημείο,f, καθώς μεταβάλλεται το α, διέρχονται από το ίδιο σημείο 7 Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει η σχέση: f ( ) f ( ) για κάθε Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο,f () είναι κάθετη στην ευθεία y 8 α) Έστω δύο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το Να γράψετε τις συνθήκες ώστε η C f και η C g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη να δέχονται κοινή εφαπτομένη β) Δίνονται οι και f () g() Δείξετε ότι οι C f, C g δέχονται κοινή εφαπτομένη σε ένα σημείο, το οποίο να βρείτε 9 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει f ln ln, > α) Να αποδείξετε ότι η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο με τετμημένη γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου το οποίο σχηματίζεται από την εφαπτομένη της C στο σημείο της με f τετμημένη και τους άξονες και y y Αν f είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση για την οποία ισχύουν: και f (4), α) να βρεθεί ο τύπος της f, f () f () για κάθε β) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf που είναι παράλληλη στην ευθεία y Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: για την οποία ισχύει: f () 6 ημ i) Να βρείτε το f () ii) Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο, καθώς και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης στη γραφική παράσταση της f στο σημείο A,f (), iii) Να βρείτε το f ( ) 6 όριο: Δίνεται η συνάρτηση f: με 4 f () ημ ημ για κάθε Αν η f είναι συνεχής τότε: i) Δείξτε ότι: f () Διαφορικός Λογισμός

ii) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f στο Έστω f: μια περιττή συνάρτηση για την οποία ισχύει: f (), για κάθε A) Να δείξετε ότι: f (), B) Να δείξετε ότι f (), για κάθε και μετά να βρείτε τα ακρότατα της f και το σύνολο τιμών της Γ) Να βρείτε το λ, όπου λ, ώστε η εφαπτόμενη της C f, στο, να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() e Δ)Να βρείτε το όριο: f ()ημ λ 4 Έστω f,g :, δυο συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν:, για κάθε f () e f () g() f (), για κάθε Α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο Β) Να βρείτε την εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο Γ) Να δείξετε ότι η εφαπτόμενη ε του προηγουμένου ερωτήματος εφάπτεται στη καμπύλη y Δ) Να βρείτε το α, ώστε: g () 5 g() 5 Δίνονται οι συναρτήσεις f () ln και g() ln f () Α) Να δείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση f και να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f () έχει μοναδική ρίζα Γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό,, ώστε η εφαπτόμενη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g στο σημείο,g( ) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων 6 Έστω f: μια συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει: f (), ια κάθε και η συνάρτηση g() e Α) Να δείξετε ότι:, f (), Β) Να βρείτε την εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A,f () Γ) Nα βρείτε το λ, ώστε η εφαπτόμενη ε του ερωτήματος β να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g Δ) Για, να βρείτε το όριο: f () g() Διαφορικός Λογισμός

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έστω δύο μεγέθη και ψ που συνδέονται μεταξύ τους με την παραγωγίσιμη συνάρτηση f έτσι ώστε ψ f() με Α και Α Ως γνωστόν: ρυθμός μεταβολής της μεταβλητής ψ ως προς στο ονομάζεται η παράγωγος της στο δηλαδή : f ( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν μας ζητούν το ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ μιας μεταβλητής ψ ως προς στο ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: ο: Εκφράζουμε τη μεταβλητή ψ συνάρτηση του (ψ f()) (Ενδεχομένως η συνάρτηση να δίνεται) ο: Υπολογίζουμε την παράγωγο συνάρτηση: f () και ο: Υπολογίζουμε την παράγωγο της στο : f ( ) αντικαθιστώντας όπου = ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Άσκηση (A Ομάδα σελ 4) Μια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λιώνει Η ακτίνα της ελαττώνεται σύμφωνα με τον τύπο: r 4 t, όπου t ο χρόνος σε sec Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου της μπάλας όταν t sec Λύση ο: Ο όγκος της σφαίρας σαν συνάρτηση της ακτίνας είναι: V(r) 4 πr Όμως η ακτίνα σαν συνάρτηση του χρόνου είναι (δίνεται): r(t) 4 t με t Άρα: Ο όγκος σαν συνάρτηση του χρόνου δίνεται από τον τύπο: V(t) 4 π(4 t ) με t (σύνθεση συναρτήσεων) ο: Η παράγωγος της συνάρτησης V(t) είναι: V (t) = [ 4 π(4 t ) ] = 4 π(4 t ) (4 t ) 4π(4 t ) (t) 8πt(4 t ) Δηλαδή: V (t) = 8πt(4 t ) 4 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ο: Αντικαθιστώντας για t έχουμε: V () = 8π(4 ) 7π μονόγκου/sec Άσκηση (Β ομάδας σελ 44) Έστω και Τ το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία Ο(, ), Α(, ), Β(, ln) Αν το μεταβάλλεται με ρυθμό 4cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Τ όταν = 5cm Λύση Έστω t η χρονική στιγμή στην οποία ζητείται ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Τ Προσέξτε! Το είναι συνάρτηση του χρόνου t Άρα υπάρχει συνάρτηση η οποία δεν δίνεται του ως προς t την οποία συμβολίζουμε: (t) Από τα δεδομένα προκύπτει ότι: (t ) 5 ενώ (t) 4 cm sec (σταθερή) Επίσης δεν δίνεται η χρονική στιγμή κατά την οποία ζητείται ο ρυθμός μεταβολής του όγκου Αυτή τη χρονική στιγμή εμείς την συμβολίσαμε t και έτσι θα εργαστούμε Θα παρατηρήσετε στη συνέχεια ότι ούτε την ακριβή έκφραση της συνάρτησης (t) χρειαζόμαστε τελικά ούτε την τιμή της χρονικής στιγμής t Επομένως: ο) Το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ δίνεται από τον τύπο: T (ΟΑ) (ΟΒ) Δηλαδή T() ln Όμως, όπως είπαμε το είναι συνάρτηση του χρόνου t με τύπο: (t) Άρα: Το εμβαδόν του τριγώνου σαν συνάρτηση του χρόνου t δίνεται από τον τύπο: Τ(t) (t)ln(t) ο) Η παράγωγος της συνάρτησης T(t) είναι: Τ (t) [ (t)ln(t) + (t)(ln(t)) ]) [ (t)ln(t) + (t) (t) (t) ] Διαφορικός Λογισμός

(t)[ln(t) + ] ο) Αντικαθιστώντας για t t έχουμε: T (t ) (t )[ln(t ) + ] = T (t ) (t )[ln(t ) + ] = (ln5 ) 4 (ln5 ) cm /sec Άσκηση (Β ομάδας σελ44) Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό cm /sec, να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής όταν r 85cm ( δηλ τη χρονική στιγμή t όπου r(t ) 85cm) Λύση ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ: ο ) Ισχύει: Ε(r) 4πr Όμως: r r(t) Άρα: Ε(t) 4π[r(t)] ο ) Επίσης: Ε (t) 8πr(t)r (t) ο ) Για t t, Ε (t ) 8πr(t )r (t ) Όμως: E (t ) 8πr(t ) r (t ) = () 8π85r (t ) = r ( t ) ΟΓΚΟΣ: 885π ο ) Ισχύει: V(r) 4 πr Όμως: r r(t) Άρα: V(t) 4 πr (t) ο ) Επίσης: V (t) = 4πr (t) r (t) ο ) Για t t, V (t ) = 4πr (t ) r (t ) () 4π(85) 885π 45 cm /sec Σημείωση: Θα μπορούσαμε να είχαμε διαιρέσει κατά μέλη τις παραγώγους: E (t ) και V (t ),οπότε: V (t ) 4πr (t ) r (t ) V (t ) 85 E (t ) 8πr(t ) r (t ) V (t ) 45cm / sec ΣΥΣΧΕΤΙΖΟΜΕΝΟΙ ΡΥΘΜΟI ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Σε πολλά προβλήματα έχουμε δύο μεγέθη που ενώ το καθένα είναι συνάρτηση της ίδιας μεταβλητής (πχ το χρόνου t), συνδέονται μεταξύ τους με κάποια σχέση Τα προβλήματα αυτά είναι γνωστά ως προβλήματα με συσχετιζόμενους ρυθμούς μεταβολής Στις περιπτώσεις αυτές η σχέση των δύο μεγεθών δίνεται ή πρέπει να βρεθεί από τα δεδομένα του προβλήματος (βήμα ) Στη συνέχεια παραγωγίζουμε και συνεχίζουμε κατά τα γνωστά ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 4 Άσκηση 5 (Α Ομάδας σελ 4) Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y με Σε ποιο σημείο 4 της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι (t) για κάθε t ΛΥΣΗ Τα δύο μεγέθη που μεταβάλλονται με το χρόνο είναι οι συντεταγμένες του κινητού (t) και y y(t) που συνδέονται μεταξύ τους με τη σχέση: y(t) (t) 4 Παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή έχουμε: y (t) (t) (t) Για t t γίνεται: (t o) y (t ) yt t t t y t Οπότε το ζητούμενο 4 Άρα: σημείο είναι το M, 4 Διαφορικός Λογισμός

Άσκηση 5 (Β Ομάδας σελ 4) Ένα αερόστατο Α αφήνει το έδαφος σε απόσταση m από ένα παρατηρητή Π με ταχύτητα 5m/min Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία θ που σχηματίζει η ΑΠ με το έδαφος τη χρονική στιγμή κατά την οποία το αερόστατο βρίσκεται σε ύψος m ΛΥΣΗ Τα μεταβαλλόμενα μεγέθη με το χρόνο t είναι το ύψος h h(t) του αερόστατου και η γωνία θ θ(t) που συνδέονται μεταξύ τους με τη h(t) σχέση: εφθ(t) Παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή έχουμε: h εφ θ(t) θ (t) (t) Για t t γίνεται h (t ) εφ θ(t ) θ (t ) 5 θt θt θt, 5rad min 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Αν ο ρυθμός μεταβολής της επιφάνειας ενός κύβου είναι 8 cm min να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του όταν το εμβαδόν είναι 5 cm Ένα αεροπλάνο πετώντας οριζόντια σε ύψος Κ αντιστοίχως Το σημείο Β κινείται με σταθερή ταχύτητα υ m και η θέση του πάνω στον sec άξονα Ο δίνεται από τη συνάρτηση g(t) υt, t [, 5] όπου t ο χρόνος σε sec α) Να βρεθεί το εμβαδό Ε(t) του τριγώνου ΑΟΒ ως συνάρτηση του χρόνου β) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε(t) τη χρονική στιγμή κατά την οποία το μήκος του τμήματος ΟΑ είναι 6m 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f () e, και g() e Α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f B) Να λύσετε την εξίσωση: e, Γ) Να βρείτε την εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο A,f ( ), που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Δ) Έστω επιπλέον ότι ένα κινητό Μ κινείται στη καμπύλη y e Καθώς το Μ περνάει από το Α του προηγουμένου ερωτήματος, η τετμημένη του Μ, αυξάνει με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο Να βρείτε το ρυθμό l OM τη μεταβολής της απόστασης β χρονική στιγμή που το κινητό Μ περνάει από το Α 6 m με ταχύτητα 4 km h περνάει κατ' ευθείαν επάνω από έναν παρατηρητή (δηλαδή m 6m στο ίδιο κάθετο επίπεδο προς τη γη) α) Πόσο γρήγορα πλησιάζει τον παρατηρητή όταν είναι m μακριά απ' αυτόν β) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας με την οποία βλέπει ο παρατηρητής το αεροπλάνο την ίδια χρονική στιγμή; Δίνεται η ορθή γωνία Οψ και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους m του οποίου τα άκρα ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Οψ και Ο Π 5 Διαφορικός Λογισμός