Η συμβολή του Πλάτωνα στα Μαθηματικά

ΠΛΑΤΩΝ Η συμβολή του Πλάτωνα στα Μαθηματικά I. Ανδρέας Παπαϊωάννου II. Αλέξανδρος Μπαλάσκας III. Κωνσταντίνος Θούας IV.Λουκάς Σωτηρόπουλος V. Πέτρος Κορφιάτης Εισηγητής : Γεώργιος Κ. Ντόντος (ΠΕ03) Χρονικη περίοδος: Οκτώβρης Ιανουάριος 2012 2013

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο σκοπός της εργασίας ήταν να καταλάβουμε αν και πως τα μαθηματικά συνέβαλαν στην ανθρώπινη κοινωνία από εκείνη την εποχή μέχρι σήμερα. Γενικά το θέμα αυτό το επιλέξαμε για να ανακαλύψουμε πως κατάφερε η φιλοσοφία να συνδεθεί με τις μαθηματικές τέχνες. Επίσης θέλαμε να μάθουμε κατά πόσο τα μαθηματικά συνέβαλαν η επηρέασαν την σύγχρονη εποχή. Τελικά ο Πλάτωνας ήταν φιλόσοφος, μαθηματικός ή και τα δύο; Το θέμα με το οποίο ασχοληθήκαμε το προσεγγίσαμε με τους εξής τροπους: Μέσα από ερωτήσεις που σκεφτήκαμε ώστε να μπορέσουμε να αναλύσουμε το θέμα σε διάφορα ερευνητικά πεδία. Σαν συμπέρασμα καταλάβαμε ότι

η εργασία μας βοήθησε να κοιτάξουμε με άλλη ματιά θέματα τα οποία μέχρι τώρα τα θεωρούσαμε δεδομένα και ότι τα μαθηματικά δεν είναι μόνο πράξεις και θεωρία αλλά άσκηση του νου, ενώ η πραγματική χρησιμότητά τους είναι άνευ σημασίας, ώστε να γίνεται σύγκριση. ΠΡΟΛΟΓΟΣ To project με το οποίο ασχοληθήκαμε είχε ως θέμα τα μαθηματικά και ανθρώπινες κοινωνίες. Μας δημιουργήθηκε η απορία τι θα ψάξουμε και τι θα συμπεριλάβουμε στην εργασία μας. Θα ψάξουμε κάποιον μεγάλο μαθηματικό και ποιον; Πως θα το ψάξουμε δηλαδή μέσα από βιβλιογραφίες,από το διαδίκτυο. Ο λόγος για τον οποίο διαλέξαμε αυτό το θέμα ήταν για να καταλάβουμε το πώς τα μαθηματικά συνέβαλαν στην ανθρώπινη κοινωνία. Γιατί τα μαθηματικά θεωρούνται τόσο σημαντικά; Ποιός είναι ο πραγματικός λόγος στο να διδάσκονται τα μαθηματικά; Τι πραγματικά μπορούν να προσφέρουν στον άνθρωπο ώστε να μπορέσουν να καλλιεργήσουν την ψύχη του και να τον οδηγήσουν στο δρόμο της αλήθειας. Μπορούν να εξυψώσουν το πνεύμα του ανθρώπου, να βοηθήσουν την κρίση του ή οι περισσότεροι άνθρωποι δεν μπορουν να καταλάβουν τι πραγματικά προσφέρουν τα μαθηματικά. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το θέμα το οποίο θα σας παρουσιάσουμε είναι Πλάτων και Μαθηματικά. Ο Πλάτων θεωρείται από τους μεγαλύτερους Ελλήνες φιλόσοφους. Στην εργασία μας το θέμα που σας προαναφέραμε το διατάξαμε σε κάποια υποθέματα ώστε να μπορέσουμε να αναλύσουμε και να καταλάβουμε καλύτερα την εργασία ώστε να ξεφύγουμε από απλή έννοια του θέματος και να την εμβαθύνουμε στο τι πραγματικά ζητάει η έρευνα. Την εργασία μας την χωρίσαμε στα εξής υποθέματα: Η συμβολή της φιλοσοφίας στα μαθηματικά δηλαδή ο Πλάτωνας ο οποιος ήταν φιλοσοφος μπόρεσε να καταφέρει τέτοια επιτεύγματα στα μαθηματικά, η ανάμειξη του με τα μαθηματικά και ειδικότερα την γεωμετρία. Τέλος η συνεισφορά του στις τέχνες με την υποστήριξη των μαθηματικών και ανάλυση της οπτικής μουσικής και αστρονομίας με την βοήθεια των μαθηματικών πράξεων. Η σπουδαιότητά της μας οδήγησε στην αίσθηση της ομαδικότητας. Μας δίδαξε πως μέσα απο πραγματική μελέτη μπορείς να πετύχεις την ανύψωση του νου ώστε να καταφέρει να φτάσει στον τελικό σκοπό της φιλοσοφίας, την ιδέα του αγαθού. ΣΤΟΧΟΙ Με θεμέλιο την έρευνα που κάναμε αποκτήσαμε κάποιες γνώσεις πάνω σε αυτά τα θέματα. Επιπλέον αυτή η εργασία μας έδειξε πόσο σημαντική είναι η ομαδικότητα η αλληλοβοήθεια και η συνεργασία. Επίσης μας ώθησε στο να ενθαρρύνουμε ο ένας τον άλλον και να δίνουμε συμβουλες ώστε να βελτιωθούμε. Υπήρχε σεβασμός ανάμεσα στα μέλη της ομάδας μας, όλοι προσπαθούσαμε να τηρήσουμε τις υποχρεώσεις μας και όλοι συμμετείχαμε ενεργά στην λήψη αποφάσεων. ΜΕΘΟΔΟΙ και ΤΕΧΝΙΚΕΣ

Την έρευνά μας την πραγματοποιήσαμε με τις εξής μεθόδους: Σαν πρώτη πηγή χρησημοποιήσαμε βιβλία και πληροφορίες από φυλλάδια για να αποκτήσουμε μια αρχική εικόνα για το θέμα μας. Έπειτα κύρια πηγή άντλησης πληροφοριών ήταν το διαδίκτυο το οποίο μας έδωσε επιπλέον βοήθεια ώστε να αναπτύξουμε την εργασία μας. Μεσα απο πολλές έρευνες προσπαθήσαμε να κατασταλάξουμε αν είναι έγκυρες η πληροφορίες ώστε να μην πέσουμε σε πλάνη. Αποφασήσαμε να κάνουμε την παρουσίαση της εργασίας με βάση το PowerPoint. ΚΥΡΙΟ ΜΕΡΟΣ Φιλοσοφία Κύριο λήμμα: πλατωνικός ιδανισμός Η έννοια του δικαίου κατέχει εξέχουσα θέση στο πλατωνικό έργο και ειδικότερα στη μεγαλειώδη σύνθεση του Πλάτωνα, την Πολιτεία, αποτελεί κεντρικό θέμα. Πλατωνικός διάλογος Κάθε διάλογος είναι δοκίμιο της πλατωνικής τέχνης και της πλατωνικής διαλεκτικής, το ιδιαίτερο κλίμα της πλατωνικής ψυχής και φιλοσοφίας. Ο Σωκράτης που απουσιάζει από το τελευταίο έργο της πλατωνικής δημιουργίας, τους Νόμους, χειρίζεται μέσα στο διάλογο κυρίαρχα όλα τα είδη του λόγου γιατί στην πλατωνική φιλοσοφία προπορεύεται η θέαση και ακολουθεί η αφαίρεση. Ο έρως, η ελευθερία, η ανάγκη, ο θάνατος, η ψυχή και κρίση της, η δημιουργία του κόσμου και η ιδέα είνα τα θέματα του φιλοσοφικού πλατωνικού μύθου. Η πλατωνική φιλοσοφία είναι δυϊστική, χωρίζοντας τον κόσμο σε μία υλική και μία ιδεατή σφαίρα ύπαρξης. Αυτό γίνεται με την εισαγωγή της θεωρίας των ιδεών, οι οποίες κατά τον Πλάτωνα είναι τα αιώνια αρχέτυπα των αισθητών, υλικών πραγμάτων, υπερβατικές φόρμες που γίνονται αντιληπτές μόνο με τη λογική και όχι με τις αισθήσεις. Τα αισθητά αντικείμενα τα θεωρεί κατώτερα, υλικά και φθαρτά είδωλα των ιδεών, οι οποίες τα μορφοποιούν. Έτσι π.χ. κάθε άλογο είναι υλικό στιγμιότυπο, ή αντανάκλαση, της άυλης ιδέας "άλογο", η οποία συγκεντρώνει τα αναλλοίωτα και κοινά χαρακτηριστικά όλων των αλόγων (αφηρημένες έννοιες όπως η δικαιοσύνη ή η ομορφιά έχουν επίσης τις δικές τους αρχετυπικές ιδέες). Ο Πλάτων λοιπόν αναγνωρίζει δύο διαφορετικούς κόσμους, τον αισθητό, ο οποίος διαρκώς μεταβάλλεται και βρίσκεται σε ασταμάτητη ροή, κατά τον Ηράκλειτο, και τον νοητό κόσμο, τον αναλλοίωτο, δηλαδή τις ιδέες, οι οποίες υπάρχουν σε τόπο επουράνιο. Αυτές είναι τα αρχέτυπα του ορατού κόσμου, τα αιώνια πρότυπα και υποδείγματα τα οποία συντηρούν τη μορφή των υποκείμενων υλικών σωμάτων. Πρόκειται δηλαδή για ένα δυϊστικό, ιεραρχικό μεταφυσικό σύστημα. Ο Πλάτωνας ανέπτυξε συστηματικά τις διδασκαλίες του πυθαγορισμού, ευνοώντας όπως και ο Πυθαγόρας τα μαθηματικά, τα οποία έβλεπε ως "παράθυρο" στον κόσμο των ιδεών αφού ασχολούνται με άυλες και αναλλοίωτες έννοιες οι οποίες διαμορφώνουν τον κόσμο και ως μέσο

προετοιμασίας για τη σωκρατική διαλεκτική. Κατηγορήθηκε ότι με τη θεωρία των ιδεών αποκάλυπτε "τα μυστικά των Μυστηρίων" στα οποία προφανώς ήταν μυημένος. Η γνωσιολογία του ήταν καθαρά ορθολογική, καθώς πίστευε ότι μόνο με τον νου μπορούν να προσεγγιστούν οι ιδέες και άρα η πραγματική, βαθύτερη φύση του κόσμου. Η εμπειρία των αισθήσεων για τον Πλάτωνα ήταν από αβέβαιη έως ψευδής, ενώ αντιθέτως η λογική διερεύνηση αποκάλυπτε έμφυτη γνώση, ενόραση των ανάλογων υπερβατικών ιδεών, η οποία προϋπήρχε με λανθάνουσα μορφή στον νου λόγω της θείας καταγωγής της ψυχής πριν την ενσάρκωση της. Αυτή η νοητική σύλληψη του λογικά αναγκαίου εκλαμβάνεται ως «ανάμνηση». Υψηλότερη ιδέα θεωρούσε την ιδέα του Αγαθού (Ό,τι είναι ο ήλιος για τον αισθητό κόσμο τούτο είναι η ιδέα του αγαθού για το νοητό) από την οποία απέρρεαν όλες οι άλλες. Στην ψυχή ο Πλάτωνας απέδειξε ότι δεν μπορεί να να παρομοιαστεί με την αρμονία απαντώντας στον συνδιαλεγόμενο Σιμμία [ο ὐ συγχωρ ῶ τ ῇ Σιμμίου ἀντιλήψει δοκε ῖ γάρ μοι πᾶσι τούτοις πάνυ πολ ὺ διαφέρειν], αφού εναντιώνεται συχνά στα πάθη του σώματος και επίσης πως η ψυχή ως έννοια είναι ασυμβίβαστη με την έννοια του θανάτου και συνεπώς δεν εξαρτάται από το σώμα στο οποίο ενσαρκώνεται και υποστηρίζει, ότι τα σύνθετα μεταβάλλονται και διαλύονται, ενώ τα μη σύνθετα,[μονοειδὲς ὂν αὐτ ὸ καθ αὑτό, ὡσαύτως κατ ὰ ταὐτ ὰ ἔχει κα ὶ οὐδέποτε οὐδαμ ῇ οὐδαμῶς ἀλλοίωσιν οὐδεμίαν ἐ νδέχεται] όπως η ψυχή, μένουν αναλλοίωτα και άφθαρτα. Με τη φράση που απευθύνει στο τέλος στον Κρίτωνα: «Μην αμελήσετε να εξοφλήσετε αυτό το χρέος», να θυσιάσουν ένα κόκορα. Την υποχρέωση να θυσιάζουν κόκορα στον Ασκληπιό είχαν όσοι σώζονταν από μια αρρώστια και βρίσκονταν σε ανάρρωση. Για τον Σωκράτη, αρρώστια ήταν η επίγεια, γιατί η ψυχή του ήταν έγκλειστη στο σώμα. Ο θάνατος ήταν η ώρα της ανάρρωσης, επειδή απέδιδε στη ψυχή την ελευθερία και την αθανασία της [μετοίκηση ψυχής]. Η θεωρία του Πλάτωνος για τις ιδέες στην Πολιτεία: Ο Πλάτων μίλησε στην Πολιτεία για τον νοητό τόπο όπου υπάρχουν οι ιδέες (τα νοούμενα) και τον ορατό τόπο όπου υπάρχουν τα ορώμενα. Θεωρεί τον ήλιο έκγονον του αγαθού. Στη συνέχεια ορίζει την ιδέα του αγαθού ως υπερέχουσα όλων των ιδεών, δίνοντας έτσι μια ιεράρχηση των ιδεών, με ανώτερη όλων αυτήν του αγαθού: Η ιδέα του αγαθού είναι η αιτία της γνώσης και της αλήθειας. Όπως το φως και η όψη είναι ηλιοειδή αλλά όχι ο ήλιος, έτσι και η γνώση και η επιστήμη είναι αγαθοειδή αλλά όχι το ίδιο το αγαθό. Ακόμη αναφέρει ότι το αγαθό παρέχει σε όλα τα γιγνωσκόμενα (δηλαδή τις ιδέες) όχι μόνο τη δυνατότητα να γίνονται γνωστά, αλλά και την ίδια την ουσία και το είναι τους, καθώς το αγαθό είναι επέκεινα της ουσίας, υπερέχοντας αυτής κατά τη δύναμη. Τέλος μιλά για την προσέγγιση των ιδεών μέσω της διαλεκτικής, αναφερόμενος σε δύο τμήματα του νοητού. Στο πρώτο τμήμα η ψυχή χρησιμοποιεί εικόνες και προχωρά στην αναζήτηση μέσω υποθέσεων, κατευθυνόμενη στο τέλος και όχι στην αρχή (στο αποτέλεσμα και όχι την αιτία). Στο δεύτερο τμήμα η ψυχή χωρίς εικόνες αλλά με τα είδη καθεαυτά οδηγείται στην ανυπόθετη αρχή. Στο πρώτο τμήμα αντιστοιχεί η νόησις, η επιστήμη του διαλέγεσθαι σχετικά με το όν και το νοητό, ενώ στο δεύτερο η διάνοια (η τέχνη των γεωμετρικών), κατώτερη από τη νόηση. Υπάρχουν

ακόμη δύο τμήματα του νοητού, κατώτερα από τα προηγούμενα με αντίστοιχα παθήματα στην ψυχή, η πίστις και η εικασία. Η έννοια του πολίτη, άρρηκτα συνυφασμένη με τον πόλεμο και την πόλη, είναι γέννημα της διαδικασίας μετατροπής της αρχαϊκής εποχής των αρίστων και ηρώων, σε αυτήν των ενεργών πολιτών και στην γέννηση της δημοκρατίας (με ή χωρίς την παρεμβολή της τυραννίας). Αυτές οι εξελίξεις σε κάθε πόλη χωριστά, σε συνδυασμό με τα διαφορετικά ήθη, οδήγησαν τον αρχαίο κόσμο σε μια ενδιαφέρουσα πολιτική ποικιλομορφία και κίνησαν το ενδιαφέρον των φιλοσόφων, ιστορικών, και ποιητών, των στοχαστών δηλαδή της εποχής, που και αυτοί είναι αποτέλεσμα αυτής της ενδιαφέρουσας διαδικασίας. Οι στοχαστές αναζητούν απαντήσεις στο θέμα της καλύτερης πολιτικά οργανωμένης κοινωνίας και τον ρόλο των πολιτών. Ιστορικά ο πρώτος είναι ο Ηρόδοτος που θέτει γραπτά τον πολιτικό στοχασμό, αναφερόμενος στα κυριότερα πολιτεύματα της εποχής του. Η «Πολιτεία» Η φιλοσοφία του Πλάτωνα στηριγμένη κυρίως στους διαλόγους που πρωτοστατούσε ο Σωκράτης, διαπραγματεύεται θέματα πολιτικής σε όλο το έργο του αλλά κυρίως στην ουτοπική «Πολιτεία», στον ενδιάμεσο Πολιτικό και στους πιο ρεαλιστικούς Νόμους. Εδώ θα εστιάσουμε στην «Πολιτεία» (η οποία μάλλον αντικατοπτρίζει περισσότερο τις θέσεις του Σωκράτη παρά του Πλάτωνα -την ίδια γνώμη είχε και ο Αριστοτέλης), όπου την εξουσία οφείλουν, όπως θα δούμε, να έχουν οι φιλόσοφοι. Το αρχικό ερώτημα για τον Σωκράτη στον διάλογο που περιλαμβάνεται στο έργο, είναι η έννοια της δικαιοσύνης, η οποία είναι ανθρώπινη αρετή και αντιστοιχεί στην πράξη του αγαθού. Ο Πλάτων με μια εξαίσια ανάλυση, διαχωρίζει την λειτουργία και σχέση της κάθε ξεχωριστής ἐπιστήμης ως προς το αντικείμενό της και της ιδιαίτερης επιστήμης του προσπορισμού χρημάτων δηλαδή από την ικανότητα του τεχνίτη να εισπράττει μισθόν, δίνοντας έτσι στην κάθε έννοια το αποκλειστικότερο δυνατό νόημα. Αναλύοντας περισσότερο την έννοια της δικαιοσύνης, διευρύνει το πλαίσιο έρευνας στο επίπεδο της πόλης, αφού το ήθος της εξαρτάται από το ήθος κάθε ατομικής ψυχής, φτιάχνοντας μια ιδανική αυτάρκη πολιτεία. Έτσι ο φιλόσοφος, χρησιμοποιεί τον παραλληλισμό πόλης και ανθρώπου, για να γενικεύσει ή να εξειδικεύσει τα συμπεράσματά του, αφήνοντας μας σε απορία σε πιο από τα δύο αποβλέπει κυρίως, στον μικρόκοσμο του ανθρώπου ή στον μακρόκοσμο της πόλης. Δικαιοσύνη και ευτυχία στον άνθρωπο (υγεία της ψυχής), υπάρχουν αν οι ιδιότητες της ψυχής είναι σωστά μοιρασμένες, αν το κάθε στοιχείο τρυγάει τις δικές του ηδονές χωρίς κάποιο να υπερτερεί και αν κυβερνώνται από το λογιστικόν. Δικαιοσύνη στην πολιτεία υπάρχει αν η κάθε τάξη αφιερώνεται αποκλειστικά στο εξειδικευμένο έργο της και αν κυβερνούν οι σοφοί,σε αντιστοιχία με τον νου του ανθρώπου. Η επιλογή τάξης δεν είναι αυστηρά κληρονομική, γίνεται από τους νέους, ανάλογα με την κλίση που αυτοί δείχνουν στην διάρκεια της εκπαίδευσης, επαναδιαπραγματευόμενη στην εξέλιξή τους. Προβάλει επίσης ο Πλάτων ως σημαντική και την ευγονία από τους καλύτερους φύλακες.

Ο κυβερνήτης φιλόσοφος πρέπει να έχει μνήμη, ευχέρεια και έφεση στη μάθηση, μεγαλοπρέπεια, χάρη και συγγένεια με την αλήθεια, την δικαιοσύνη και την σωφροσύνη. Οφείλει δε να ανέλθει το απότομο και στενωπό μονοπάτι, που θα τον βγάλει από το σπήλαιο για να επιτελέσει το έργο του, το οποίο είναι η ευταξία, η δικαιοσύνη και η προετοιμασία των μελλοντικών ηγετών (Να σημειωθεί ότι την εποχή εκείνη για τον Πλάτωνα στην Αθήνα, δεν υπάρχουν άξιοι φιλόσοφοι για κοινωνικούς λόγους, δες παράρτημα Α ). Σημαντικό στοιχείο στην ποιότητα των επίκουρων και κυβερνητών είναι η εξειδίκευσή τους στην εξουσία, η οποία γίνεται με την σωστή παιδεία των φυλάκων από μικρή ηλικία, αρχικά σαν παιχνίδι. Τα χαρακτηριστικά της είναι η γυμναστική, η μουσική και η λογοτεχνία συνεπικουρούμενες από την πολεμική τέχνη. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να έχουν την αίσθηση της αρμονίας, του μέτρου, της αναλογίας και της πειθαρχίας. Η εξαπάτηση των μαθητών είναι μέσα στο πλαίσιο αυτό και ο νέος οφείλει να μην γοητεύεται από την δόξα, αλλά να αναζητά το αληθινό. Το σημαντικότερο πάντως μάθημα, πέρα και από την διάκριση στο ήθος και τον πόλεμο, αυτό που θα ξεχωρίσει τους φιλοσόφους και μελλοντικούς ηγέτες από τους φύλακες, είναι εκείνο που θα τραβήξει την ψυχή από την σφαίρα του γίγνεσθαι στην σφαίρα του είναι. Και αυτό είναι η γεωμετρία τα μαθηματικά και η αστρονομία και γενικά η σπουδή των αριθμών, αφού έτσι η ψυχή θα στραφεί στην καθαρή αλήθεια χρησιμοποιώντας την καθεαυτή νόηση. Η τελευταία εκπαίδευση με την οποία θα ασχοληθούν μόνο οι κυβερνήτες-φιλόσοφοι, όταν θα έχουν ήδη μεγάλη ηλικία (50 ετών), είναι η διαλεκτική. Αφού οι κυβερνήτες ολοκληρώσουν την εκπαίδευσή τους και ψηθούν αρκετά στην άσκηση ενάρετης εξουσίας, μπορεί τέλος να αγγίξουν το αγαθό (Στους Νόμους ο Πλάτων παραδέχεται ότι ένας τέτοιος άνθρωπος είναι σπάνιος και δίνει περισσότερη δύναμη και εξουσία στον νόμο. Ο Πλάτωνας αναλώνεται αρκετά στο ποια, πως και γιατί πρέπει να είναι η σωστή (σχεδόν διά βίου) εκπαίδευση και επιλογή των αξιότερων, για να αντιμετωπισθούν τα προβλήματα της οχλοκρατίας, αλλά και για να περιοριστεί το εγώ και τα συμφέροντα των προνομιούχων. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο Πλάτωνας για τα Μαθηματικά Η γεωμετρία αποτελεί κατά τον Πλάτωνα ένα παράδειγμα του κόσμου των Ιδεών και της σχέσης του με τον φυσικό κόσμο. Ο τελευταίος δεν περιέχει τέλειους κύκλους ευθείες ή σημεία, σε αντίθεση με τον πρώτο. Τα γεωμετρικά αντικείμενα ως αιώνια και αναλλοίωτα δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσμο. Τοιουτοτρόπως τα θεωρήματα της γεωμετρίας είναι αντικειμενικά αληθή ανεξάρτητα από τον νου την γλώσσα, ή άλλα χαρακτηριστικά του μαθηματικού. Πρόκειται για ένα ρεαλισμό ως προς την τιμή αληθείας, που φθάνει μέχρι τον ρεαλισμό στην οντολογία. Η ιεράρχηση στην οντολογία του Πλάτωνα φαίνεται στο σχήμα. Η γεωμετρική γνώση αποκτάται με καθαρή σκέψη, ή με ανάμνηση της ψυχής από την ύπαρξή της στον κόσμο του Είναι πριν εισέλθει στο σώμα. Η δυναμική γλώσσα στη γεωμετρία (πχ κατασκευές) έφερε σε δύσκολη θέση πολλούς από την Ακαδημία του Πλάτωνα, αφού δεν συμβιβάζεται με το αναλλοίωτο και αιώνιο των γεωμετρικών αντικειμένων. Το γεωμετρικό σχήμα κατά τον Πλάτωνα

βοηθά τον νου να συλλάβει τον αιώνιο και αναλλοίωτο κόσμο της γεωμετρίας, πως γίνεται όμως αυτό αφού ο κόσμος του Είναι είναι προσεγγίσιμος μόνο μέσω του νου και όχι των αισθήσεων. Οι συνεχιστές των θεωριών του Πλάτωνα, αν και εγκατέλειψαν κάποιες μυστικιστικές απόψεις του σχετικά με την επιστημολογία, διατήρησαν την άποψη ότι η γεωμετρική γνώση είναι a priori, ανεξάρτητη από την αισθητηριακή εμπειρία. Ένα εγειρόμενο ερώτημα που ζητά απάντηση είναι το πώς η γεωμετρία έχει εφαρμογές στο φυσικό κόσμο. Τις ίδιες απόψεις του ρεαλισμού ως προς την τιμή αληθείας, και ως προς την οντολογία έχει ο Πλάτων και για την αριθμητική και την άλγεβρα. Ισχύουν προσεγγιστικά στο φυσικό κόσμο, ενώ ισχύουν ακριβώς και αυστηρώς στον κόσμο του Είναι. Η θεωρία των αριθμών στη αρχαία Ελλάδα ονομάζετο αριθμητική, ενώ η πρακτική αριθμητική λογιστική. Και η λογιστική και η αριθμητική κατά τον Πλάτωνα ανήκουν στον κόσμο των Ιδεών. Η αριθμητική ασχολείται με τους φυσικούς αριθμούς και η λογιστική ασχολείται με την σχέση μεταξύ των αριθμών. Και οι δύο βοηθούν το πνεύμα να συλλάβει τη φύση του αριθμού καθεαυτή. ΔΙΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΥΒΟΥ-ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΑ Ο Ευτόκιος αποδίδει στον Πλάτωνα την παρακάτω λύση, η οποία για να υλοποιηθεί απαιτεί μηχανικά όργανα και για το λόγο αυτό οι ερευνητές συμφωνούν ότι η λύση αυτή δεν μπορεί να αποδοθεί στον Πλάτωνα. Για να κατασκευάσει ο Πλάτων τα τμήματα x και y που ικανοποιούν την αναλογία του Ιπποκράτη θεώρησε το παρακάτω σχήμα, όπου το τμήμα ΚΕ=α ( η πλευρά του κύβου που θέλουμε να διπλασιάσουμε), ΚΔ=2α και απέδειξε ότι το ΖΚ είναι το ζητούμενο τμήμα x δηλ x = ΖK και y = ΒΚ. Πράγματι έχουμε : Το ΖΚ είναι ύψος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΖΒ, άρα είναι Το ΒΚ είναι ύψος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΖΒΔ, άρα είνα Από τις (2) και (3) προκύπτει η (1) άρα το ζητούμενο τμήμα είναι το ZΚ. Το πρόβλημα τώρα είναι, πως θα κατασκευασθεί το παραπάνω σχήμα με γνωστό το τμήμα α. Το σχήμα αυτό δεν

κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη, αλλά με χρήση ειδικού οργάνου το οποίο προσομοιώνουμε παρακάτω. Το όργανο αποτελείται από το ορθογώνιο πλαίσιο ΑΟΒΓ και το κινητό τμήμα ΖΗ το οποίο είναι κάθετο στις ΟΑ,ΒΓ. (διαβάστε τις οδηγίες) Αλγεβρική λύση πυθαγόρειου θεωρήματος Η αλγεβρική αναζήτηση των θετικών και ακέραιων λύσεων της εξίσωσης χ² + ψ² = ζ², απασχόλησε τους αρχαίους και τους νεότερους μαθηματικούς. Στο άρθρο αυτό θα παραθέσουμε τέσσερις από τις προσεγγίσεις που δίνουν τις πυθαγόρειες τριάδες αριθμών. Μαθηματική διατύπωση του προβλήματος Να βρεθούν οι θετικές και ακέραιες λύσεις της εξίσωσης χ² + ψ² = ζ² όπου χ, ψ, ζ Ζ+ και χ, ψ < ζ Α. Πυθαγόρειος μέθοδος Η μέθοδος που ακολουθεί αποδίδεται στον ίδιο τον Πυθαγόρα. Η ανάπτυξη της είναι η ακόλουθη: Για να υπολογίσουμε το χ, ψ, ζ δημιουργούμε τις ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις: χ = ½ ( μ² - 1 ) (1) ψ = μ (2) ζ = ½ ( μ² + 1 ) (3) Η παράμετρος μ προφανώς παίρνει μόνο περιττές τιμές, εφόσον, αν του δίναμε άρτιες το χ και το ζ δεν θα ήταν ακέραιο. Έστω λοιπόν μ = 3, 5, 7, 9...2ν+1+... πράγματι: χ² + ψ² = ¼ ( μ² - 1 )² + μ² χ² + ψ² = ¼ μ^4 - ½ μ² +1 + μ² χ² + ψ² = ¼ μ^4 + ½ μ² +1 (4) Όμοια ζ² = ¼ ( μ² + 1 )²

ζ² = ¼ μ^4 + ½ μ² +1 (5) Από την (4) και (5) προκύπτει ότι [½ ( μ² - 1 )]² + μ² = [½ ( μ² + 1 )]² Είναι φανερό ότι θέτοντας στις εξισώσεις (1), (2), (3) τις διαδοχικές τιμές των περιττών προκύπτουν πυθαγόρειες τριάδες αριθμών. Καταγράφουμε τις πρώτες 10, από τις άπειρες λύσεις, στον πίνακα που ακολουθεί: Πίνακας 1 Μ Χ ψ ζ χ² + ψ² = ζ² 3 4 3 5 4² + 3² = 5² 5 12 5 13 12² + 5² = 13² 7 24 7 25 24² + 7² = 25² 9 40 9 41 40² + 9² = 41² 11 60 11 61 60² + 11² = 61² 13 84 13 85 84² + 13² = 85² 15 112 15 113 112² +15² = 113² 17 144 17 145 144² +17² = 145² 19 180 19 181 180² +19² = 181² 21 220 21 221 220² +21² = 221² Πλατωνική μέθοδος εύρεσης πυθαγόρειων τριάδων Ο Πλάτων, ο οποίος εκτός από φιλόσοφος ήταν και ικανός μαθηματικός, εισηγήθηκε την ακόλουθη μέθοδο εύρεσης πυθαγόρειων τριάδων, την οποία εξηγούμε με βάση τη σύγχρονη ορολογία ως εξής: Δημιουργούμε τις ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις: χ = (¼ μ² - 1 ) (1) ψ = μ (2) ζ = ( ¼ μ² + 1 ) (3) Για να πάρουμε θετικές και ακέραιες τιμές για το χ και το ζ, πρέπει το μ να είναι άρτιος. Θέτουμε λοιπόν μ = 4, 6, 8, 10...2ν, 2ν+2,... πράγματι: χ² + ψ² = ( μ^4)/16 - ½ μ² +1 + μ²

χ² + ψ² = ¼ μ^4 + ½ μ² +1 χ² + ψ² = ( μ²/4 +1 ) ² χ² + ψ² = ζ² παραθέτουμε τις πρώτες 10, από τις άπειρες λύσεις που δίνει ο τύπος του Πλάτωνα Πίνακας 1 μ χ ψ ζ χ² + ψ² = ζ² 4 3 4 5 4² + 3² = 5² 6 8 6 10 6² + 8² = 10² 8 15 8 17 15² + 8² = 17² 10 24 10 26 24² + 10² = 26² 12 35 12 37 35² + 12² = 37² 14 48 14 50 48² + 14² = 50² 16 63 16 65 63² +16² = 65² 18 80 18 82 80² +18² = 82² 20 99 20 101 99² +20² = 101² 22 120 22 122 220² +21² = 221² Η μέθοδος του Ευκλείδη και του Διόφαντου. Ο Ευκλείδης προτείνει τις ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις για εύρεση πυθαγόρειων τριάδων χ = μ² - ν² ψ= 2 μ ν ζ = μ² +ν² Όπου μ, ν Ν και μ > ν Η μέθοδος του Ευκλείδη είναι πληρέστερη των προηγουμένων, εφόσον έχουμε δύο παραμέτρους οι οποίες παίρνουν όλες τις τιμές των φυσικών αριθμών. Πράγματι: ( μ² - ν² )² + 4 μ² ν ² = (μ² +ν² ) Συνδυάζοντας τις τιμές του μ και ν προκύπτουν άπειρες τριάδες που επαληθεύουν το πυθαγόρειο θεώρημα. Κατωτέρω παραθέτουμε τις τριάδες για 2 μ 8 και 1 ν 7 και μ > ν.

Πίνακας 2 μ ν 1 2 3 4 5 6 7 2 3, 4, 5 3 8, 6, 10 5, 12, 13 4 15, 8, 17 12, 16, 20 7, 24, 25 5 24, 10, 26 21, 20, 29 16, 30, 34 9, 40, 41 6 35, 12, 37 32, 24, 40 27, 36, 45 20, 48, 52 11, 60, 61 7 48, 14, 45, 28, 40, 42, 33, 56, 24, 70, 13, 84, 85 50 53 58 65 74 8 63, 16, 65 60, 32, 68 55, 48, 73 48, 64, 80 39, 80, 89 28,96,100 15,112,113 Η μέθοδος Ιπποκράτη Δάκογλου¹ Ο πολιτικός μηχανικός Ιπποκράτης Δάκογλου, αναφέρει την ακόλουθη μέθοδο εύρεσης πυθαγόρειων τριάδων. Έστω χ = 2κ +1 (1) ψ= 2κ ( κ +1 ) (2) ζ= 2κ² +2κ +1 (3) Προφανώς ο χ προκύπτει από τους διαδοχικούς περιττούς αριθμούς. Ο ψ είναι το γινόμενο του άρτιου που προηγείται του περιττού, επί του ακέραιου που είναι ίσος με το ήμισυ του άρτιου που έπεται του δοσμένου περιττού. Τέλος ο ζ είναι πάντα ο επόμενος του ψ, δηλαδή ισχύει ότι ζ = ψ +1 Απόδειξη: Προσθέτουμε το χ² και το ψ², όπως αυτά προκύπτουν από τις παραμετρικές εξισώσεις (1) και (2) χ² +ψ² = (2κ +1 )² + 4κ² (κ +1)² χ² +ψ² = 4κ² + 4κ +1 +4κ^4 + 8κ³ + 4 κ² χ² +ψ² = 4κ^4 + 8κ³ + 8κ² + 4κ +1

χ² +ψ² = (2κ² +2κ +1) ² χ² +ψ² = ζ² Παρουσιάζουμε κατωτέρω πυθαγόρειες τριάδες που προκύπτουν από τη μέθοδο Δάκογλου: Πίνακας 3 Κ χ ψ ζ κ χ ψ ζ 1 3 4 5 6 13 84 85 2 5 12 13 7 15 112 113 3 7 24 25 8 17 144 145 4 9 40 41 9 19 180 181 5 11 60 61 10 21 220 221 Επίλογος Το πυθαγόρειο θεώρημα απαντάται όχι μόνο στη γεωμετρία, αλλά σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών. Στο άρθρο αυτό έχουμε αναδείξει τη αριθμητική αλγεβρική του πτυχή. Θα επανέλθουμε με άλλα ανάλογα άρθρα στο μέλλον. Σημειώσεις 1. Ιπποκράτη Δάκογλου, ο μυστικός κώδικας του Πυθαγόρα, Τόμος 3 ος, Εκδόσεις Νέα Θέσεις Άρρητοι Αριθμοί (Ασύμμετροι) ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΜΕΤΡΗΣΟΥΜΕ ΤΑ ΠΑΝΤΑ ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΜΑΣ ; Η ΑΝΑΛΟΓΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ τότε η εμπειρία μάς υποδεικνύει ότι μπορούμε να βρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΟΙ τέτοιο ώστε να χωράει ν φορές στο ΑΒ και μ φορές στο ΓΔ. Πράγματι εδώ στην περίπτωσή μας το ΟΙ χωράει 5 φορές στο ΑΒ και 2 φορές στο ΓΔ. Αν θεωρήσουμε το ΟΙ σαν

μέτρο τότε το ΟΙ είναι ένα κοινό μέτρο που μετράει τα ΑΒ και ΓΔ. Δηλαδή: ΓΔ/ΑΒ=2ΟΙ/5ΟΙ=2/5=0.4 Τα τμήματα ΑΒ και ΓΔ μετρώνται με την ίδια μονάδα μέτρησης ΟΙ είναι δηλαδή σύμμετρα εκφράζονται με την σχέση 2/5 είναι δηλαδή εκφράσιμα είναι ρητοί. Η ΠΑΡΑΞΕΝΗ ΣΧΕΣΗ ΔΙΑΓΩΝΙΟΥ ΚΑΙ ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ Συμβαίνει αυτό για κάθε ζεύγος τμημάτων; Όχι. Για την διαγώνιο και τη πλευρά ενός τετραγώνου δεν υπάρχει ένα κοινό μέτρο δεν μπορούμε δηλαδή να βρούμε ένα τμήμα ΟΙ (μονάδα μέτρησης) με το οποίο να εκφράσουμε ακριβώς την σχέση δ/π. Με ποιο ακριβώς τρόπο ανεκαλύφθησαν οι άρρητοι είναι άγνωστος. Κατά την παράδοση οι ασύμμετροι ανεκαλήφθησαν από τον Πυθαγόρα ή από κάποιο άλλο μέλος της Πυθαγόρειας κοινότητος. Κατά μία πληροφορία τους άρρητους ανακάλυψε ο Ίππασος ο Μεγαπόντιος (περίπου 400 π.χ) οποίος μόλις τους ανακοίνωσε δημοσίως τιμωρήθηκε για την προδοσία του στους θεούς με πνιγμό στη θάλασσα. Η απόδειξη του δεν σώζεται σήμερα. Η ΩΡΑΙΟΤΕΡΗ ΙΣΩΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ο Αριστοτέλης στο έργο του "Αναλυτικά Πρότερα" (41α26) δίνει μία ένδειξη χωρίς να παραθέτει την ακριβή απόδειξη. Γράφει: «ἀσύμμετρος ἡ διάμετρος δι ὰ τ ὸ γίνεσθαι τ ὰ περιττ ὰ ἴσα τοῖς ἀρτίοις συμμέ τρου τεθείσης. τ ὸ μὲν οὖν ἴσα γίνεσθαι τ ὰ περιττ ὰ τοῖς ἀρτίοις συλλογίζεται, τ ὸ δ ἀσύμμετρον εἶναι τὴν διάμετρον ἐξ ὑποθέσεως δείκνυσιν, ἐπε ὶ ψεῦδος συμβαί νει δι ὰ τὴν ἀντίφασιν. τοῦτο γὰρ ἦν τ ὸ δι ὰ το ῦ ἀδυνάτου συλλογίσασθαι, τ ὸ δεῖξα ί τι ἀδύνατον δι ὰ τὴν ἐξ ἀρχῆς ὑπόθεσιν.» σε μοτονικό: «Ασύμμετρος η διάμετρος δια το γίνεσθαι τα περιττά ίσα τοις αρτίοις συμμέτρου τεθείσης. Το μεν ουν ίσα γίνεσθαι τα περιττά τοίς αρτίοις συλλογίζεσθαι, το δ ασύμμετρον είναι την διάμετρον εξ υποθέσεως δείκνυσιν, επει ψεύδος (Η διάμετρος είναι ασύμμετρος διότι αν την δεχθώμεν ως σύμμετρον, θα φθάσωμεν εις ισότητα, ήτις θα εξισώνη ένα περιττόν αριθμόν προς ένα άρτιον). Ο Αριστοτέλης θέλει να πει ότι αν δεχθούμε την διαγώνιο του ζητουμένου διπλασίου τετραγώνου ως αριθμό σύμμετρο, θα αναγκασθούμε να δεχθούμε ότι ή πλευρά είναι συγχρόνως αριθμός περιττός και άρτιος. Ο Αριστοτέλης πιθανώς αναφέρεται σε μία απόδειξη παρόμοια με την εξής: Βοηθητικές προτάσεις: Α) Ένας άρτιος ακέραιος αριθμός α γράφεται με την μορφή α = 2λ όπου λ

ακέραιος (π.χ 8=2. 4), ενώ ένας περιττός αριθμός δ γράφετε ως δ=2.λ+1 όπου λ ακέραιος (κάθε περιττός ισούται με ένα άρτιο ακέραιο συν ένα πχ. 7=2.3+1). Απόδειξη Αν υπήρχε ένα κοινό μέτρο έστω ΟΙ το οποίο χωράει ν φορές στο πλευρά π και μ φορές στη διαγώνιο δ τότε: Έστω ότι το κλάσμα μ/ν έχει απλοποιηθεί είναι δηλαδή ανάγωγο και προφανώς οι αριθμοί μ,ν είναι ελάχιστοι και μη επιδεχόμενοι ανάγωγη, σε μικρότερους. (π.χ 9/12=3/4). Αφού το κλάσμα είναι ανάγωγο οι αριθμοί δ,π ή θα είναι περιττοί ή ο ένας περιττός και ο άλλος άρτιος γιατί εάν και οι δύο ήταν άρτιοι το κλάσμα δεν θα ήταν ανάγωγο. (πχ 8/6=4/3) Αυτή η αντίφαση το άτοπο δημιουργήθηκε προφανώς γιατί υποθέσαμε ότι ο δ/π είναι σύμμετρος (ρητός). Δεν υπάρχει λοιπόν ένα κοινό μέτρο με το οποίο να μετρούμε την πλευρά και την διαγώνιο ενός τετραγώνου. Η απόδειξη αυτή είναι για τους περισσότερους μαθηματικούς η ωραιότερη απόδειξη θεωρήματος που ανεκαλύφθει στα μαθηματικά. Ένας άρρητος αριθμός επομένως δεν μπορεί να γραφή ούτε σαν κλασματικός ούτε σαν δεκαδικός περιοδικός (γιατί εδώ) αλλά σαν δεκαδικός με άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά ψηφία. Οι Πυθαγόρειοι απέδειξαν ότι ο είναι ασύμμετρος. Αυτός που ανακάλυψε ότι εκτός από τον υπάρχουν και άλλοι ασύμμετροι είναι ο Πυθαγόρειος Θεόδωρος ο Κυριναίος. Για το έργο του Θεοδώρου το μόνο που γνωρίζουμε είναι από τον διάλογο του Πλάτωνα «Θεαίτητος» (174Δ) ότι απέδειξε ότι οι αριθμοί είναι ασύμμετροι. ΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ:

Αν θεωρήσουμε σαν μονάδα μέτρησης την πλευρά δηλαδή π = 1 το τμήμα : δ/π = δ/1 =δ άρα και ο αριθμός δ παραμένει ανέκφραστος είναι άρρητος.τον συμβολίζουμε σήμερα:. Μπορούμε να τον προσεγγίσουμε (πατήστε εδώ) όσο θέλουμε αλλά δεν μπορούμε να τον υπολογίσουμε ακριβώς! Πατήστε εδώ για να δείτε 50.000 ψηφία του. Παρατηρήστε ότι τα δεκαδικά ψηφία του δεν εμφανίζουν καμία περιοδικότητα και μοιάζουν σαν να έχουν τοποθετηθεί σε μια τυχαία σειρά, χωρίς τάξη. Ο διασημότερος άρρητος αριθμός είναι ο π, δηλαδή ο αριθμός που προκύπτει αν διαιρέσουμε το μήκος ενός κύκλου με τη διάμετρό του. Συνήθως χρησιμοποιούμε ως προσέγγιση του π τον αριθμό 3,14. Σήμερα είναι γνωστά πολλά δισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του π και φυσικά, αφού ο π είναι άρρητος, είναι άγνωστα όλα τα υπόλοιπα (άπειρα) δεκαδικά ψηφία.. Το αξιοσημείωτο είναι πως αν κάποιος ψάξει αρκετά ανάμεσα στα δεκαδικά ψηφία ενός αρρήτου αριθμού π.χ του π θα βρει τον αριθμό της ταυτότητάς του, τον αριθμό του διαβατηρίου του, τον αριθμό του τηλεφώνου του, την ημερομηνία γεννήσεώς του και γενικά οποιονδήποτε αριθμό. Για παράδειγμα η ημερομηνία "28 Oκτωβρίου 1940", γραμμένη στη μορφή 28101940, εμφανίζεται μετά από 7.641.792 δεκαδικά ψηφία: π = 3,14159 379121928101940.

7.641.792 δεκαδικά ψηφία Οι διάφορες φυσικές ποσότητες και σταθερές είναι μόνο κατά προσέγγιση προσδιορισμένες, δηλαδή είναι γνωστά μόνο τα αρχικά από τα δεκαδικά τους ψηφία. Πρακτικά ποτέ το δεκαδικό μέρος μιας φυσικής ποσότητας δεν φαίνεται να τερματίζεται ή να εμφανίζει περιοδικότητα. Γι' αυτό θεωρούμε ότι οι φυσικές ποσότητες παριστάνονται με άρρητους αριθμούς (όπως η επιτάχυνση της βαρύτητας g, η σταθερά της παγκόσμιας έλξης G κ.ά.). Συνήθως η αδυναμία να προσδιορίσουμε ακριβώς μια φυσική ποσότητα δεν είναι κρίσιμη. Π.χ. τα διαστημόπλοια που στέλνονται στη σελήνη φτάνουν στον προορισμό τους παρότι δεν γνωρίζουμε ακριβώς τις σταθερές g και G. Σε μερικές περιπτώσεις όμως η γνώση μόνο περιορισμένου αριθμού δεκαδικών ψηφίων των διάφορων άρρητων ποσοτήτων δημιουργεί μεγάλες δυσκολίες. Έτσι, οι μετεωρολόγοι δεν θα μπορέσουν ποτέ να κάνουν ακριβείς προβλέψεις για χρονικά διαστήματα μεγαλύτερα των 10 περίπου ημερών, όσο καλές μετρήσεις κι αν έχουν. Για κάθε περιστροφή γύρω απ' τον ήλιο η γη ολοκληρώνει ν περιστροφές γύρω από τον εαυτό της. O αριθμός ν είναι άρρητος και περίπου ίσος με 365,2422. Aυτό σημαίνει ότι ένα έτος δεν έχει 365 ούτε 366 ημέρες αλλά άρρητο πλήθος ημερών και επομένως δεν είναι δυνατόν να υπάρξει απόλυτα ακριβές ημερολόγιο. Tο ημερολόγιο που χρησιμοποιεί ο δυτικός κόσμος (το Γρηγοριανό ημερολόγιο) προσεγγίζει τον άρρητο αριθμό ν με τον αριθμό 365,2425. Eπομένως το Γρηγοριανό ημερολόγιο κάνει κάθε χρόνο ένα σφάλμα περίπου 0,0003 ημερών, δηλαδή περίπου 26 δευτερολέπτων. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ και ΤΕΧΝΕΣ ΠΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ Σύμφωνα με τον Πλάτωνα η αληθινή Αστρονομία δεν ασχολείται με τις κινήσεις των ορατων ουρανιων σωματων.η διαταξη των αστερων στον ουρανο και οι φαινομενες κινησεις τους ειναι πραγματι θαυμαστες και πανεμορφες,αλλα η παρατηρηση και η εξηγηση τους απεχουν πολυ απο την πραγματικη Αστρονομια.Πριν φτασουμε σε αυτην,πρεπει να προχωρησουμε περά από την απλή παρατηρησιακή Αστρονομια,"πρέπει να αφήσουμε τον ουρανό ήσυχο".η αληθινή επιστήμη της Αστρονομίας αποτελεί,για την ακρίβεια,ένα είδος ιδανικής κινηματικής, που σχετίζεται με τους νόμους της κίνησης πραγματικών αστέρων του μαθηματικού,κατα κάποιο τροπό ουρανού, του οποίου ο ορατός ουρανός είναι μια ατελής έκφραση στο χρόνο και στο χώρο. Ο Πλατων δεν εννοεί ότι η πραγματική Αστρονομία ασχολείται με έναν "ιδανικό ουρανό" διαφορετικό από τον πραγματικό, αλλά ότι ασχολείται με τις πραγματικές κινήσεις των ορατών σωμάτων, οι οποίες ειναι ξεχωριστές από τις φαινόμενες κινήσεις τους. Αυτό, χωρίς αμφιβολία, βρίσκεται σε σύμφωνια με τη στάση του Πλάτωνα. Ο Πλάτωνας κάποτε εθεσε στους μαθητές του ως πρόβλημα : ποιοι συνδυασμοί ομαλής κυκλικής κίνησης είναι κατάλληλοι για την εξήγηση των φαινόμενων κινήσεων των ουράνιων σωμάτων; Εκτος το τι σημαίνει ιδανικός ουρανός, είναι δύσκολο να δούμε τι μπορεί να εννοεί ο Πλατων μεταξύ του ορατού δίακοσμου ουρανού που είναι πανέμορφος, και του πραγματικού διάκοσμου ουρανού τον οποίο ο ορατός απλά μιμείται ενώ ο πραγματικός ειναι απείρως ομορφότερος και θαυμαστός. Αύτη δεν είναι μια άποψη για την Αστρονομία που θα μπορούσε να παρουσιάζει ενδιαφέρον για έναν συνηθισμένο άνθρωπο. Ακόμη και ο Πλάτων παραδέχεται την δυσκολία. Συμφωνα με τον Πλατωνα,το συμπαν εχει το τελειοτερο σχημα,εκεινο της σφαιρας.στο κεντρο αυτης της σφαιρας βρισκεται η γη,αμετακινητη λογω της ισορροπιας επειδη ειναι συμμετρικη. Οι διαφορές μεταξύ των γωνιακών ταχυτήτων των πλανητών είναι υπεύθυνεςγια το ότι ο ένας

πλανήτης προσπερνά τον άλλο, και ο συνδυασμός των ανεξάρτητων κινήσεων τους με την ημερήσια περιστροφή, κάνουν έναν πλανήτη να εμφανίζεται ότι προσπερνά έναν άλλο, ενώ στην πραγματικότητα προσπερνιέται από αυτόν και το αντίστροφο. Ο Ηλιος, η Σελήνη και οι πλανήτες αποτελούν όργανα για τη μέτρηση του χρόνου. Ακόμη και η Γη είναι ένα όργανο που προκαλεί την εμφάνιση της νύχτας και της ημέρας,λόγω του ότι δεν περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της, ενώ η περιστροφή των απλανών αστέρων που συμπεριλαμβάνει τον Ήλιο συμπληρώνεται μια φορά μέσα σε εικοσιτέσσερις ώρες. Έχει παρέλθει ένας μήνας αφότου η Σελήνη έχοντας συμπληρώσει τη δική της τροχία, προσπερνά τον Ήλιο ( επομένως, ο μήνας είναι ο συνοδικός μήνας), ενώ έχει παρέλθει ένας χρόνος αφότου ο Ήλιος έχει συμπληρώσει τον δικό του κύκλο.το μεγάλο έτος του Πλάτωνα ήταν 3600 έτη. Ο Πλάτων, στα γεράματά του, μετανόησε που είχε δώσει στην Γη την κεντρική θέση στο σύμπαν, κάτι το οποίο ήταν λανθασμένο ΠΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ Γενικά την εποχή εκείνη η μουσική θεωρούνταν πως ήταν άμεσα συνδεδεμένη με τα μαθηματικά. Αυτό άλλωστε είναι γνωστό και σε όλους όσους ασχολούνται με την μουσική. Κυρίως η αρμονία της μουσικής. Ο Πλάτωνας πίστευε πως ένας άνθρωπος είναι μορφωμένος όταν ασχολείται με όλους τους κλάδους διαφόρων τεχνών γι αυτό και η θέση όπου κατείχε η μουσική στην ακαδημία Πλάτωνος ήταν «κυριότατη». Ο Πλάτωνας πίστευε πως οι νέοι μέσω της μουσικής θα οδηγούνται στη φιλοσοφία ώστε οι αποφάσεις τους και ως άρχοντες και ως φύλακες θα ήταν οι σωστότερες και δικαιότερες. Στον Τίμαιο, που είναι ένα από τα πιο ώριμα και σημαντικά του έργα, ο Πλάτωνας αποκαλύπτει τις Πυθαγόρειες θεωρίες περί μουσικής λέγοντας ότι ο Θεός δημιούργησε την ψυχή χρησιμοποιώντας τις αναλογίες της πυθαγόρειας μουσικής κλίμακας. Σύμφωνα με τις πλατωνικές αντιλήψεις, αν ο Απόλλωνας και οι Μούσες παρέχουν διά της μουσικής στους θνητούς τα αγαθά της παιδείας, στον Διόνυσο οφείλονται, σε μεγάλο βαθμό, τα αγαθά της μανίας, της δύναμης εκείνης που σπάει τα δεσμά και, μέσα από τις κατάλληλες διαδικασίες, μπορεί να οδηγήσει σε αυτό που αρχαίοι Έλληνες ονόμαζαν κάθαρση (με την ψυχολογική έννοια της λέξης), όπου μουσική και χορός είχαν πρωταρχική σημασία. ΠΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΠΤΙΚΗ Στο κομμάτι του Τιμαίου που αφορά την φυσική, ο Πλάτων δίνει την εξήγησή του σχετικά με την λειτουργία των αισθητήριων οργάνων. Η περιγραφή της διαδικασίας της όρασης και η σχέση της όρασης με το φως της ημέρας είναι ενδιαφέρουσα. Στο τέλος της περιγραφής υπάρχει μια αναφορά στις ιδιότητες των κατόπτρων, η οποία αποτελεί την πρώτη, ίσως, ένδειξη της επιστήμης της Οπτικής. Όταν, λέει ο Πλάτων, βλέπουμε ένα αντικείμενο στον καθρέφτη, η φωτιά, που ανήκει στο πρόσωπο, συνδυάζεται γύρω από τη λαμπερή επιφάνεια του καθρέφτη με τη φωτιά του οπτικού ρεύματος. Το δεξί τμήμα του προσώπου εμφανίζεται ως αριστερό στο είδωλο που βλέπουμε και το αντίθετο, καθώς τα αμοιβαία αντίθετα μέρη του οπτικού ρεύματος και του αντικειμένου που φαίνεται έρχονται σε επαφή, αντίθετα με το συνηθισμένο τρόπο σύγκρουσης.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Με βάση την έρευνα που πραγματοποιήσαμε καταλήψαμε στα εξής συμπεράσματα: Οι φιλοσοφίες του Πλάτωνα επηρέασαν σημαντικά την σύγχρονη εποχή. Κατάφερε να συνδυάσει τα μαθηματικά με την φιλοσοφία μπόρεσε να δώσει μια άλλη όψη η οποία ειναι δύσκολο να κατανοήσει ένας απλός άνθρωπος. Ο Πλάτων τονίζει με έμφαση πάντοτε, όταν μιλάει για τα μαθηματικά, είναι η αξία τους για την άσκηση του νου, ενώ η πρακτική χρησιμότητά τους είναι άνευ σημασίας ώστε να γίνεται σύγριση. Οι επιδράσεις του Πλάτωνα στους μετέπειτα αιώνες: Η μεταγενέστερη του Πλάτωνα φιλοσοφία, της Ελλάδας και της Ευρώπης τουλάχιστον, έχει τόσο καίρια επηρεαστεί από τη φιλοσοφία του ή και από το θρύλο του ακόμα, ώστε πρέπει μάλλον να χαρακτηρισθεί ως μεταπλατωνική. Ένας Άγγλος φιλόσοφος γράφει πως οι μεταγενέστεροι του Πλάτωνα φιλόσοφοι μοιάζει να έγραψαν με τα έργα τους υποσημειώσεις απλώς στα έργα του. Ένας άλλος Γάλλος φιλόσοφος τονίζει την κυριαρχική παρουσία ή έστω ανταύγεια της πλατωνικής φιλοσοφίας σε ολόκληρο το Μεσαίωνα, στην Αναγέννηση και στους Νεότερους χρόνους. Ο Πλάτωνας κατά τον Γερμανό φιλόσοφο Καρλ Γιάσπερς, θεωρείται ο πρώτος από τους τρεις θεμελιωτές του φιλοσοφείν (Πλάτωνας, Αυγουστίνος, Καντ). Ακόμα, πολλοί μεταγενέστεροι φιλόσοφοι βασίστηκαν στον Πλάτωνα και στις θεωρίες του και τέλος, δεν μπορούμε να παραλείψουμε τις επιδράσεις της φιλοσοφίας του στην πολιτική σκέψη και δράση, άμεσα ή έμμεσα. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Συμπερασματικά ο Πλάτωνας ήταν ένας σπουδαίος φιλόσοφος μαθηματικός ο οποίος κατάφερε να δώσει την ίδια ερμηνεία της φιλοσοφίας με τα μαθηματικά και επηρέσε σημαντικα την σύγχρονη εποχή όχι μόνο σε αυτά τα επιστημονικά πεδία αλλά και στην καθημερινότητα των ανθρώπων. Μετά τον θάνατο του Πλάτωνα την εποχή τη χαρακτηρίζουν ΜΕΤΑΠΛΑΤΩΝΙΚΗ, οπότε καταλαβαίνουμε πως ο Πλάτωνας ήταν μια σημαντική προσωπικότητα εκείνη την εποχή και πρότυπο για πολλούς μαθηματικούς και φιλόσοφους στην τωρινή εποχή. Οι θεωρίες του Πλάτωνα έχουν αναπτυξει τον κόσμο των μαθηματικών σε μεγάλο βαθμό ώστε οι πράξεις του να μείνουν στην ιστορία για πολλούς αιώνες ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΛΑΤΩΝ Ο Πλάτων ήταν αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος από την Αθήνα, ο πιο γνωστός μαθητής του Σωκράτη και δάσκαλος του Αριστοτέλη. Το έργο του με τη μορφή φιλοσοφικών διαλόγων έχει σωθεί ολόκληρο.ασκησε τεράστια επιρροή στην αρχαία ελληνική φιλοσοφία και γενικότερα στη δυτική φιλοσοφική παράδοση μέχρι τις ημέρες μας. Κύριος οικοδόμος της φιλοσοφίας, οδηγητής είτε προάγγελος μεταγενεστέρων προβάσεών της, εμπνευστής άμεσα ή έμμεσα των σπουδαιότερων κοινωνικοπολιτικών οραματισμών. Απο την βιογραφια του γνωριζουμε οτι γεννηθηκε το 427 π.χ στη Αθηνα κατα τον Διογενη, στην Αιγινα.Kαταγόταν από εύπορη αριστοκρατική οικογενεια.πατέρας του ήταν ο Αρίστων, από το γένος του βασιλιά Κόδρου, και μητέρα του η Περικτιόνη, η

οποία ήταν αδερφή του Χαρμίδη, ενός από τους Τριάκοντα τυράννους.αδέρφια του ήταν ο Αδείμαντος και ο Γλαύκων.Το πρώτο του όνομα ήταν Αριστοκλής, αλλά αργότερα ονομάστηκε Πλάτων επειδή είχε ευρύ στέρνο και πλατύ μέτωπο.νέος ασχολήθηκε με την ποίηση, αλλά γρήγορα επιδόθηκε οριστικά στη φιλοσοφία.ο Πλάτων γνώρισε τον Σωκράτη σε ηλικία 20 ετών και έμεινε κοντά του μέχρι τον θάνατο του μεγάλου δασκάλου. Μετα το θανατο του Σωκράτη παρέμεινε στην Αθήνα για περίπου τρία χρόνια επειτα κατέφυγε στα Μέγαρα, κοντά στον συμμαθητή του Ευκλείδη και άλλους σωκρατικούς. Ύστερα γύρισε στην Αθήνα, όπου για 10 χρόνια ασχολήθηκε με τη συγγραφή φιλοσοφικών έργων, τα οποία φέρουν τη σφραγίδα της σωκρατικής φιλοσοφίας. Στη συνέχεια εικάζεται πως ταξίδεψε στην Αίγυπτο και στην Κυρήνη, όπου σχετίστηκε με τον μαθηματικό Θεόδωρο, ωστόσο τα στοιχεία που διαθέτουμε για το ταξίδι αυτό θεωρούνται επιφοβα.αντιθέτως, βεβαιότητα υπάρχει για τα ταξίδια του στη Σικελία και στην Κάτω Ιταλία. Στον Τάραντα 387 π.χ.γνώρισε τους πυθαγόρειους, από τη φιλοσοφική σκέψη των οποίων επηρεάστηκε τελικα. Επιστρέφοντας στην Αθήνα ίδρυσε τη φιλοσοφική σχολή του, την Ακαδημία.Πανω απο την πυλη της Ακαδημιας του εγραφε " ΜΗΔΕΙΣ ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΕΙΣΙΤΩ ΜΟΥ ΤΗΝ ΣΤΕΓΗΝ " Μέχρι τον 1ο αιώνα π.χ,υπό τη διεύθυνση του Αντίοχου του Ασκαλωνίτη η Ακαδημία αποτελούσε το κέντρο της πλατωνικής φιλοσοφίας. Στις αρχαίες βιογραφικές πηγές διακρίνονται ετερόκλητες κρίσεις για το χαρακτήρα του Πλάτωνα, καθώς σε ορισμένες παρουσιάζεται ως σοφός και θείος ενώ άλλες τον περιγράφουν ως υπερόπτη και ζηλόφθονο υπηρέτη των τυράννων, που σχεδίασε εσφαλμένα την εικονα του. Τα έργα του Πλάτωνα εκτός από την Απολογία και τις Επιστολές είναι γραμμένα σε μορφή διαλόγου.ως κεντρικό πρόσωπο στους διαλόγους, εκτός από έναν παρουσιαζετα ο Σωκρατης.Αντιθετα σε κανένα διάλογο δεν εμφανίζεται ο ίδιος ο Πλάτων. Το σύνολο του πλατωνικού έργου διακρίνεται σε τρεις περιόδους με βάση τη χρονολογική σειρά, ωστόσο υπάρχουν διαφωνίες μεταξύ των φιλολόγων για την ακριβή σειρά συγγραφής των έργων στο εσωτερικό κάθε περιόδου. Το βέβαιο είναι ότι άρχισε να γράφει τα έργα του μετά τη θανάτωση του Σωκράτη και ότι έγραφε ως το τέλος της ζωής του: (α) Περίοδος νεότητας (400 π.χ. - 387 π.χ.),λιγοι απο τους διαλογους του Πλατων (β) Περίοδος ωριμότητας (386 π.χ. - 367 π.χ.). (γ) Περίοδος γήρατος (366 π.χ. - 348 π.χ.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΙΤΛΟΣ ( σελ. 1 ) ΕΞΩΦΥΛΛΟ ( σελ. 2 ) ΠΕΡΙΛΗΨΗ ( σελ. 3 ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ ( σελ. 3 ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ( σελ. 3 ) ΚΥΡΙΟ ΜΕΡΟΣ ( σελ. 4-18 ) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ( σελ. 18-19 ) ΕΠΙΛΟΓΟΣ ( σελ. 20 ) ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ( σελ. 20-21 ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ( σελ. 21 )

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ( σελ. 21 ) ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Internet : www.mousa.gr/html/platon.html El.wikipedia.org/wiki/Πλάτων El.wikipedia.org/wiki/Πολιτεία_του_Πλάτωνα http://r-u-sirius.net/main1/index.php/filosofia/platon-sokratis-mathimatika-geometria http://www.akida.info/attachments/article/1564/%ce%91%ce%bb%ce%b3%ce %B5%CE%B2%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE%20%CE%BB%CF%8D%CF %83%CE%B7%20%CF%80%CF%85%CE%B8%CE%B1%CE%B3%CF%8C%CF %81%CE%B5%CE%B9%CE%BF%CF%85%20%CE%B8%CE%B5%CF%89%CF %81%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82.doc