ΣΤΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Στατικές και υναµικές Αναπαραστάσεις ΣΤΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Στέλλα Σταυροπούλου, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της εργασίας είναι να εξετάσει κατά πόσο οι αναπαραστάσεις βοηθούν στην επίλυση προβληµάτων πιθανοτήτων και πώς διαφοροποιείται η ανάπτυξη της πιθανολογικής σκέψης των µαθητών µε τη χρήση στατικών και δυναµικών αναπαραστάσεων. Για το σκοπό αυτό πραγµατοποιήθηκε έρευνα µε παιδιά της ηµοτικού και ακολούθησε παρεµβατική διδασκαλία µε τη χρήση του λογισµικού «Probability Explorer». Τα αποτελέσµατα έδειξαν ότι οι στατικές αναπαραστάσεις βοήθησαν στην επιλύση προβληµάτων πιθανοτήτων, ενώ η χρήση δυναµικών αναπαραστάσεων βοήθησε τους µαθητές στη γενίκευση και επεξήγηση των αποτελεσµάτων τους. 1. Εισαγωγή Στοιχεία από τη θεωρία πιθανοτήτων έχουν εισαχθεί τα τελευταία χρόνια στα αναλυτικά προγράµµατα των µαθηµατικών σε πολλές χώρες (NCTM, 2000). Για παράδειγµα, η ανάπτυξη του συλλογισµού των µαθητών σε σχέση µε δεδοµένα και πιθανότητες κατέχει σηµαντικό ρόλο στο αγγλικό αναλυτικό πρόγραµµα (National Curriculum), µε ιδιαίτερη έµφαση στην κατασκευή προβλήµατος, στη συλλογή και ερµηνεία δεδοµένων, στην ποσοτική ανάλυση ποιοτικών πληροφοριών και στην αναπαράσταση και παρουσίαση των αποτελεσµάτων (Doerr & English, 2003). Παρόλα αυτά, η έρευνα γύρω από την ανάπτυξη της πιθανολογικής σκέψης των µαθητών, ιδιαίτερα στην Κύπρο, είναι πολύ περιορισµένη (Gagatsis, Kyriakides & Panaoura, 2001). Ερευνητικά αποτελέσµατα έχουν δείξει ότι η ύπαρξη πολλαπλών αναπαράστεων στην επίλυση προβληµάτων πιθανοτήτων είναι ιδιαίτερα σηµαντική (Pratt, 2000). Στα εθνικά επίπεδα του National Council of Teachers of Mathematics (2000) ενθαρρύνεται η χρήση πολλαπλών εξωτερικών αναπαραστάσεων στην επίλυση προβλήµατος τόσο στο δηµοτικό όσο και στο γυµνάσιο. Στην περίπτωση των πιθανοτήτων υπάρχουν οι εικονικές αναπαραστάσεις, οι διακοσµητικές, τα διαγράµµατα, οι γραφικές παραστάσεις, οι πίνακες και τα πραγµατικά χειριστικά µέσα που βοηθούν στη διεξαγωγή πειραµάτων. Τα ψηφιακά χειριστικά µέσα αποτελούν ακόµη µια µορφή αναπαράστασης (Crawford & Brown, 2003), που επιτρέπουν στο χρήστη την αλληλεπίδραση µε δυναµικά αντικείµενα αναπαραστάσεις (Moyer, Bolyard, & Spikell, 2002). Μέσα από αυτή την αλληλεπίδραση, 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 157

Σ. Σταυροπούλου & Α. Γαγάτσης οι µαθητές έχουν την ευκαιρία να φτιάξουν έννοιες και να δουν σχέσεις ως αποτέλεσµα των δικών τους ενεργειών. Ένα τέτοιο ψηφιακό για τη διδασκαλία των πιθανοτήτων είναι και το λογισµικό «Probability Explorer» που χρησιµοποιήθηκε στην παρούσα εργασία. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να εξετάσει κατά πόσο τα διάφορα είδη αναπαράστασης βοηθούν τους µαθητές στην επίλυση προβληµάτων πιθανοτήτων και κατά πόσο τους βοηθούν να κάνουν γενικεύσεις στα ευρήµατά τους. Για το σκοπό αυτό, πραγµατοποιήθηκε παρεµβατική διδασκαλία µε το λογισµικό «Probability Explorer» για να εξεταστεί πώς µπορούν διαφορετικές δυναµικές αναπαράστασεις να βοηθήσουν την ανάπτυξη της πιθανολογικής σκέψης. 2. Θεωρητικό Υπόβαθρο Ο Fischbein (1975) πιστεύει ότι τα διαισθητικά µοντέλα αποτελούν την αφετηρία για την οικοδόµηση της γνώσης στις έννοιες των πιθανοτήτων. Oρίζει ως διαισθητικό µοντέλο τη γνώση που εµφανίζεται υποκειµενικά ως αυταπόδεικτη, η οποία είναι άµεσα αποδεκτή από το άτοµο και θεωρείται ολιστική και έµµεσα καταναγκαστική. Ο Fischbein (1975), υποστήριξε ότι καθώς τα παιδιά µεγαλώνουν, αναζητούν πιο σύνθετες και εξειδικευµένες στρατηγικές, βασισµένοι στην παρανόηση ότι υπάρχουν κανόνες που καθορίζουν την τυχαία κατανοµή. Οι Pratt και Noss (1998) βρήκαν ότι οι διαισθητικές αντιλήψες των υποκειµένων επηρεάζονται από τα βιώµατα τους και διάφορα πραγµατικά αποτελέσµατα, όπως τη ρίψη ενός ζαριού. Αντίθετα, η ενασχόληση και αλληλεπίδρασή τους µε ένα λογισµικό πιθανοτήτων είχε ως αποτέλεσµα να εναρµονίσουν τις παλιές τους αντιλήψεις µε νέες που προήλθαν από την αλληλεπίδρασή τους µε τις δυναµικές αναπαραστάσεις του λογισµικού. Ο Pratt (2000) βρήκε ακόµη ότι οι µαθητές µε τη βοήθεια ενός κατάλληλου προγράµµατος στον ηλεκτρονικό υπολογιστή µπορούν να βοηθηθούν στο να αναπτύξουν την «επιτόπια» και «σφαιρική» πιθανολογική τους σκέψη. Με τον όρο «επιτόπια» αναφέρεται στις αντιλήψεις που προέρχονται από προσωπικές τους εµπειρίες και βιώµατα, ενώ µε τον όρο «σφαιρικές» αναφέρεται στις συνολικές τους αντιλήψεις στον τοµέα των πιθανοτήτων. Ο Pratt περιγράφοντας το πρόγραµµα αυτό, αναφέρεται στις δυναµικές του αναπαραστάσεις µε αντικείµενα από την καθηµερινή ζωή όπως τα ζάρια, κέρµατα, λοταρίες και παιγνίδια µε την τράπουλα (Paparistodemou & Noss, 2004). Παρανοήσεις των µαθητών Σύµφωνα µε τον Fischbein (1975) οι περισσότεροι µαθητές έχουν την παρανόηση του negative recency effect. Ο Fischbein ορίζει την παρανόηση αυτή ως την «επιρροή από το αρνητικό αποτέλεσµα», την αντίληψη, δηλαδή, ότι µετά από πολλές συνεχόµενες εµφανίσεις ενός αποτελέσµατος (π.χ. κορώνα στο κέρµα) την επόµενη φορά θα εµφανιστεί το άλλο ενδεχόµενο (γράµµατα). Η έρευνα του Wilensky (1997) έδειξε ότι όταν οι άνθρωποι έχουν δυσκολίες ή παρανοήσεις, αυτές προέρχονται από τη σύγχυση που υπάρχει µεταξύ εννοιών όπως 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 158

Στατικές και υναµικές Αναπαραστάσεις τυχαίο, κατανοµή, πρόβλεψη και αυτές µπορούν να αντιµετωπιστούν χρησιµοποιώντας το κατάλληλο µαθησιακό περιβάλλον. Αναπαραστάσεις και πιθανότητες Για την καλύτερη κατανόηση των όρων του δειγµατικού χώρου και της πιθανότητας, καθώς και την εξάλειψη των όσο το δυνατό περισσότερων παρανοήσεων είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται στη διδασκαλία οι κατάλληλες εξωτερικές αναπαραστάσεις. Σύµφωνα µε τους Γαγάτση, Μιχαηλίδου και Σιακαλλή (2001) στη µάθηση των µαθηµατικών και στην επίλυση προβλήµατος συναντώνται πέντε τύποι συστηµάτων εξωτερικής αναπαράστασης: κείµενα, χειριστικά αντικείµενα/µοντέλα, εικόνες ή διαγράµµατα, γλώσσες, γραπτά σύµβολα. Η χρήση ποικιλίας αναπαραστάσεων που αναφέρονται στην ίδια έννοια βοηθά το µαθητή να αντιληφθεί τις κοινές ιδιότητες των διαφορετικών αναπαραστάσεων, την κοινή υποκειµενική µαθηµατική δοµή και να κατορθώσει να οικοδοµήσει την έννοια, που αποτελεί στόχο της διδασκαλίας (Γαγάτσης, Μιχαηλίδου & Σιακαλλή, 2001). Σηµαντική µορφή αναπαράστασης που θεωρείται ότι µπορεί να διευκολύνει την επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος στις διαφορετικές φάσεις της συγκεκριµένης διαδικασίας είναι οι εικόνες. Οι Carney και Levin (2002) πρότειναν πέντε λειτουργίες της εικόνας στην επεξεργασία ενός κειµένου (διακοσµητική, αναπαραστατική, οργανωτική, µεταφραστική και µετασχηµατιστική), ενώ πρόσφατες έρευνες εισηγούνται ότι οι εικόνες έχουν τις εξής τέσσερις λειτουργίες στην επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος: διακοσµητικές, βοηθητικές αναπαραστατικές, βοηθητικές οργανωτικές και πληροφοριακές (Γαγάτσης & Ηλία, 2003). Τέτοιες εικόνες στην περίπτωση των πιθανοτήτων µπορεί να είναι αναπαραστάσεις του δειγµατικού χώρου ή της εκτέλεσης του πειράµατος. Μπορούν για αυτή την περίπτωση να χρησιµοποιηθούν πληροφοριακές εικόνες, διαγράµµατα, γραφικές παραστάσεις. υναµικές αναπαραστάσεις Η χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών έχει προσθέσει αξία στο ρόλο των εικονικών αναπαραστάσεων λαµβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι στη µαθηµατική εκπαίδευση έχει ξεκινήσει η αξιοποίηση δυναµικών προγραµµάτων µε γραφήµατα και εικόνες για την παρουσίαση και διερεύνηση µαθηµατικών ιδεών. Σηµαντικό πλεονέκτηµα των ψηφιακών αναπαραστάσεων είναι η παροχή στους µαθητές άµεσης ανατροφοδότησης. ίνουν στους µαθητές άµεσα την ευκαιρία να διαπιστώσουν µόνοι τους τα λάθη τους, τους βοηθούν να γίνουν γνώστες των παρερµηνειών τους (Reimer, & Moyer, 2005). Στη περίπτωση του λογισµικού «Probability Explorer» οι µαθητές έχουν την ευκαιρία να τρέξουν ένα πείραµα ή να φτιάξουν το δικό τους πείραµα, να παρατηρήσουν παράλληλα διαφορετικές δυναµικές αναπαραστάσεις, να κάνουν υποθέσεις και να διορθώσουν µόνοι τους εσφαλµένες αντιλήψεις. Πραγµατοποιώντας για παράδειγµα ένα πείραµα µε τα ζάρια, 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 159

Σ. Σταυροπούλου & Α. Γαγάτσης οι µαθητές έχουν τη δυνατότητα να βλέπουν παράλληλα τις συνεχόµενες ρίψεις (την κάθε µια ξεχωριστά, τη µια δίπλα από την άλλη, τι έφερε σε κάθε ρίψη το ζάρι). Μπορούν ακόµα να παρατηρούν πώς διαφοροποιούνται ένα εικονόγραµµα, ιστόγραµµα και ένας πίνακας καθώς διεξάγεται το πείραµα και αυξάνονται οι ρίψεις. Σύµφωνα µε τον Clements (1999), αυτή η δυναµική, καθαρή, ευέλικτη, επαναληπτική και ελεγχόµενη φύση των ψηφιακών αναπαραστάσεων τους δίνει ισχυρό πλεονέκτηµα έναντι των αντίστοιχων συγκεκριµένων χειριστικών µέσων. Πλεονεκτήµατα στη ιδασκαλία των Πιθανοτήτων Η ιδιαιτερότητα µιας διδασκαλίας πιθανοτήτων που βασίζεται στα ψηφιακά εποπτικά µέσα είναι η παροχή στους µαθητές πολλών (οπτικές, γλωσσικές και συµβολικές) και δυναµικών αναπαραστάσεων. Κατ αυτό τον τρόπο, τα ψηφιακά εποπτικά µέσα χρησιµοποιούν την οπτική, συµβολική και λειτουργική δύναµη των τεχνολoγικών µέσων και παρέχουν ένα νέο παιδαγωγικό και διδακτικό εργαλείο (Baturo, Cooper & Thompson, 2003). Το νέο αυτό εργαλείο, εκτός από την παιδαγωγική του αξία είναι και εύχρηστο αλλά και γρήγορο. Πολλοί εκπαιδευτικοί διαµαρτύρονται ότι δεν διαθέτουν αρκετά χειριστικά µέσα στην τάξη για όλους τους µαθητές και ότι η διανοµή απαιτεί πολύτιµο χρόνο (Moyer, Bolyard, & Spikell, 2002). Στην περίπτωση των ψηφιακών µέσων εξοικονοµείται αρκετός χρόνος αφού για τη «διανοµή» ή το «µάζεµά» τους, αρκεί ένα κλικ στο ποντίκι του υπολογιστή. Στην περίπτωση των πιθανοτήτων, είναι πολύ εύκολη η πραγµατοποίηση πολύ µεγάλου αριθµού επαναλήψεων ενός πειράµατος, κάτι που θα ήταν αδύνατο µε τη χρήση πραγµατικών αντικειµένων. Ο µαθητής έχει, επίσης, τη δυνατότητα µε το «Probability Explorer» να διεξάγει τα δικά του πειράµατα και να χρησιµοποιήσει τις αναπαραστάσεις που προτιµά. Σκοπός της εργασίας είναι να εξετάσει κατά πόσο τα διάφορα είδη αναπαράστασης βοηθούν τους µαθητές στην επίλυση προβληµάτων πιθανοτήτων. Τα ερωτήµατα της εργασίας είναι: (α) Κατά πόσον τα διάφορα είδη αναπαράστασης µπορούν να βοηθήσουν τους µαθητές στην επίλυση προβληµάτων πιθανοτήτων, (β) αν οι διάφορες αναπαραστάσεις µπορούν να βοηθήσουν τους µαθητές να κάνουν γενικεύσεις στα αποτελέσµατά τους και (γ) πώς µπορεί η χρήση δυναµικών αναπαραστάσεων να βοηθήσει την ανάπτυξη της πιθανολογικής σκέψης. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 160

Στατικές και υναµικές Αναπαραστάσεις 3. Μεθοδολογία Υποκείµενα Υποκείµενα της έρευνας αποτέλεσαν 45 µαθητές της τάξης ενός αστικού ηµοτικού Σχολείου στη Λεµεσό. Έξι από αυτούς συµµετείχαν και στην παρεµβατική διδασκαλία που ακολούθησε. Εργαλεία µέτρησης Για τη διεξαγωγή της έρευνας αναπτύχθηκε δοκίµιο που περιλάµβανε έξι προβλήµατα πιθανοτήτων. Το κάθε πρόβληµα είχε διαφορετικές αναπαραστάσεις (γραφικές παραστάσεις, ιστογράµµατα, πληροφοριακές εικόνες, πίνακες), ενώ υπήρχε και ένα καθαρά λεκτικό πρόβληµα. Οι ερωτήσεις των προβληµάτων είχαν το ίδιο εννοιολογικό περιεχόµενο και αναφέρονταν στα ακόλουθα: εντοπισµό του δειγµατικού χώρου, πόσες φορές επαναλήφθηκε ένα πείραµα, πρόβλεψη για το αποτέλεσµα, σωστή απάντηση µε τη χρήση της αναπαράστασης, γενίκευση. Ο Πίνακας 1 παρουσιάζει ενδεικτικά προβλήµατα του δοκιµίου της κάθε µορφής αναπαράστασης που χρησιµοποιήθηκε. Ο δείκτης αξιοπιστίας του ερωτηµατολογίου ήταν Cronbach s Alpha=0,747, ο οποίος θεωρείται αρκετά ικανοποιητικός. Για τη διεξαγωγή της παρεµβατικής διδασκαλίας χρησιµοποιήθηκε το λογισµικό πιθανοτήτων Probability Explorer. Με το λογισµικό αυτό οι µαθητές είχαν την ευκαιρία να εργαστούν µε διαφορετικές δυναµικές αναπαραστάσεις (εικόνες, διαγράµµατα, γραφικές παραστάσεις, πίνακες). ιαδικασία Το δοκίµιο χορηγήθηκε στους µαθητές από την ερευνήτρια. Στη συνέχεια, µετά την ανάλυση των αποτελεσµάτων του δοκιµίκου, επιλέγηκαν τυχαία 6 παιδιά µε τα οποία έγινε το παρεµβατικό µάθηµα. Τα παιδιά έλυσαν σε δυάδες προβλήµατα πιθανοτήτων µε τη βοήθεια του λογισµικού Probability Explorer. Τα προβλήµατα αυτά είχαν το ίδιο εννοιολογικό περιεχόµενο µε τα έργα του ερωτηµατολογίου. Καθ όλη τη διάρκεια της εργασίας τους τα παιδιά ήταν σε συνεχή αλληλεπίδραση µεταξύ τους, µε τον ερευνητή και το λογισµικό. Κάθε δυάδα ηχογραφήθηκε ξεχωριστά για να γίνει στη συνέχεια αποµαγνητοφώνηση και ανάλυση των αποτελεσµάτων του παρεµβατικού µαθήµατος.. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 161

Σ. Σταυροπούλου & Α. Γαγάτσης Μορφή αναπαράστασης Πίνακας Πρόβληµα Ο Ιάσονας έριξε δύο ζάρια 30 φορές. Πόσες φορές αναµένεις να πήρε άθροισµα 2 ; Ο διπλανός πίνακας παρουσιάζει τις ρίψεις που έκανε: - Πόσες φορές πήρε άθροισµα 2; - Αν ο Ιάσονας ρίξει τα ζάρια ακόµα 30 φορές πόσες φορές αναµένεις να πάρει άθροισµα 2? - Αν ο Ιάσονας ρίξει τα ζάρια ακόµα 100 φορές ποιο άθροισµα είναι πιο πιθανό να φέρει; ικαιολόγησε την απάντησή σου. Άθροισµα Συχνότητα 2 1 3 1 4 0 5 4 6 5 7 5 8 4 9 5 10 3 11 1 12 1 Γραφική Παράσταση Η γραφική παράσταση που παρουσιάζεται δίπλα απεικονίζει όλες τις ρίψεις του Ιάσονα. - Ποιο ήταν τελικά το πιο πιθανό αποτέλεσµα; - Μπορείς να εξηγήσεις το γιατί; Εικονόγραµµα Ο Χρίστος έριξε ένα άλλο ζάρι και πήρε τα αποτελέσµατα που φαίνονται δίπλα: - Πόσες φορές έριξε ο Χρίστος το ζάρι; - Πόσες φορές πήρε την ένδειξη 5; - Πιστεύεις ότι το ζάρι του Χρίστου είναι δίκαιο; 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 162

Στατικές και υναµικές Αναπαραστάσεις Πληροφοριακή Εικόνα Σε αυτό το κουτί υπάρχουν 30 µπάλες, κόκκινες, κίτρινες και µπλε. Οι 25 από τις µπάλες είναι κόκκινες, οι 3 είναι κίτρινες και 2 είναι µπλε. Μπορείς να τραβήξεις πέντε φορές. Κερδίζεις το παιχνίδι αν καταφέρεις να τραβήξεις µια µπλε µπάλα ή δυο κίτρινες. Όταν τραβήξεις µια µπάλα την επανατοποθετείς στο κουτί». Πόσα είναι τα πιθανά αποτελέσµατα; Ποια είναι αυτά; Πιο κάτω παρουσιάζονται οι µπάλες που τράβηξε η Μαρία. 4. Αποτελέσµατα - Πόσες φορές τραβήξε για να πάρει µια µπλε µπάλα; - Πόσες φορές τράβηξε για να πάρει 2 κίτρινες µπάλες; Πίνακας 1: Παραδείγµατα Έργων του οκιµίου Η ανάλυση των αποτελεσµάτων του δοκιµίου και της παρεµβατικής διδασκαλίας πραγµατοποιήθηκε µε βάση τα ερευνητικά ερωτήµατα της εργασίας. ιερευνήθηκε κατά πόσο η χρήση αναπαραστάσεων στην επίλυση προβληµάτων βοηθά τους µαθητές στην επίλυση προβληµάτων πιθανοτήτων και ποιες µορφές αναπαράστασης είναι οι πιο βοηθητικές. Εξετάστηκε, επίσης, ο τρόπος µε τον οποίο η χρήση διαφορετικών δυναµικών αναπαραστάσεων µπορεί να βοηθήσει στην ανάπτυξη της πιθανολογικής σκέψης των µαθητών, βοηθώντας τους να κάνουν γενικεύσεις στα αποτελέσµατά τους. Τα αποτελέσµατα των µαθητών στο δοκίµιο έδειξαν τη βοηθητική λειτουργία των αναπαραστάσεων. Οι απαντήσεις των µαθητών στα έργα που περιείχαν κάποια µορφή αναπαράστασης (πίνακα, γραφική παράσταση, εικονόγραµµα, πληροφοριακή εικόνα) είχαν µέσο όρο επιτυχίας 0,538, σε αντίθεση µε τις απαντήσεις τους στα ερωτήµατα του λεκτικού προβλήµατος που ήταν µόλις 0,286 (δείτε Πίνακα 2). Παρά τη βοηθητική λειτουργία των αναπαραστάσεων, οι µαθητές είχαν σηµαντικές δυσκολίες να προχωρήσουν σε γενίκευση των αποτελεσµάτων τους (µέσος όρος 0,389) και να επεξηγήσουν την απάντησή τους (µέσος όρος 0,143) Πίνακας 2 Είδος έργου Αναπαράσταση Λεκτικό Γενίκευση Επεξήγηση Μέσος όρος 0,538 0,286 0,389 0,143 Τυπική απόκλιση 0,226 0,194 0,211 0,210 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 163

Σ. Σταυροπούλου & Α. Γαγάτσης Από όλα τα έργα µε αναπαράσταση οι µαθητές είχαν µεγαλύτερη επιτυχία στα έργα που χρησιµοποιήθηκε ο πίνακας µε µέσο όρο επιτυχίας 0,667. Αρκετά καλά αποτελέσµατα είχαν οι µαθητές και στα έργα µε γραφική παράσταση και ιστογράµµατα, όπου ο µέσος όρος επιτυχίας ήταν 0,638. Χαµηλότερα αποτελέσµατα είχαν τα ερωτήµατα των έργων µε πληροφοριακή εικόνα όπου ο µέσος όρος έφτασε µόλις το 0,381 (Πίνακας 3). Πίνακας 3 Είδος αναπαράστασης Γραφική παράσταση Πίνακας Πληροφοριακή εικόνα Μέσος όρος 0,638 0,667 0,381 Τυπική απόκλιση 0,283 0,305 0,361 Με βάση τα αποτελέσµατα αυτά συµπεραίνεται ότι οι διάφορες µορφές αναπαραστάσεις βοηθούν στην επίλυση προβληµάτων πιθανοτήτων, δεν βοηθούν όµως τους µαθητές στη γενίκευση και επεξήγηση των αποτελεσµάτων. Λαµβάνοντας λοιπόν υπόψη τα πιο πάνω, σχεδιάστηκε η παρεµβατική διδασκαλία που είχε στόχο να εξετάσει κατά πόσο ο συνδυασµός δυναµικών αναπαραστάσεων βοηθά περισσότερο τους µαθητές και πώς διαφορετικές δυναµικές αναπαραστάσεις µπορούν να βοηθήσουν στην ανάπτυξη της πιθανολογικής σκέψης γενικότερα. Στο παρεµβατικό µάθηµα που πραγµατοποιήθηκε µε τη χρήση του λογισµικού «Probability Explorer» οι µαθητές είχαν την ευκαιρία να πειραµατιστούν µε διάφορες δυναµικές αναπαραστάσεις για να λύσουν προβλήµατα πιθανοτήτων. Τα αποτελέσµατα του παρεµβατικού προγράµµατος έδειξαν ότι τα εργαλεία που είναι διαθέσιµα στο περιβάλλον του προγράµµατος Probability Explorer δίνουν τη δυνατότητα στα παιδιά να επεκτείνουν την κατανόηση τυχαίων φαινοµένων και υποστηρίζουν την ανάπτυξη των δεξιοτήτων ανάλυσης γραφικών και αριθµητικών δεδοµένων που σχετίζονται µε πειράµατα τύχης. Στη συνέχεια παρουσιάζονται ενδεικτικά παραδείγµατα από την εργασία των µαθητών. Αναφέρονται όλα σε παιχνίδια µε ζάρια. Ερευνητής: Ο Ιάσονας θα ρίξει το ζάρι 30 φορές. Πόσες φορές αναµένεις να έρθει αποτέλεσµα 6; Γιατί; Γιάννης: Πέντε. Πέντε φορές το έξι κάνει 30. Τα παιδιά υπολόγισαν τη θεωρητική πιθανότητα, δε µπορούσαν όµως να το εξηγήσουν. Αφού έτρεξαν το πείραµα στο πρόγραµµα, παρατήρησαν ότι το έξι ήρθε 7 φορές. Ερευνητής: ήµητρα: Από που το κατάλαβες ήµητρα πως πήραµε το «6» εφτά φορές; Από τη γραφική παράσταση...και από τον πίνακα. Εφτά από τις τριάντα λέει. Κοίταξε εδώ...ήµαστε κοντά. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 164

Στατικές και υναµικές Αναπαραστάσεις Ερευνητής: ήµητρα: Γιάννης: Ερευνητής: Γιάννης: Ήσαστε κοντά λέει η ήµητρα. Γιατί ήρθε εφτά φορές; Εσείς είπατε πέντε. Είναι πιο σωστό το εφτά άραγε; Ίσως επειδή κάθε πλευρά του ζαριού είναι... επειδή... αλλά το ίδιο πράγµα είναι. Όχι, το βρήκα! Είναι µε τύχη που έπεσε... Εποµένως αν το ρίξουµε ξανά; Αν το ρίξουµε ξανά µπορεί να έρθει διαφορετικά... Στη συνέχεια ζητήθηκε από τα παιδιά να αναφέρουν ποια αναπαράσταση τους βοήθησε περισσότερο να βρουν το ζητούµενο αποτέλεσµα. Γιάννης: Το εικονόγραµµα γιατί από τη γραφική παράσταση δεν µπορείς, είναι 5-10- 15, δεν µπορείς να υπολογίσεις ακριβώς. ήµητρα: Εµένα ο πίνακας. Γράφει από την αρχή τους αριθµούς, δε χρειάζεται να κάτσω να µετρώ. Γιάννης: Εµένα µε συγχύζει ο πίνακας. Με βοηθά όµως και η εικόνα που τα δείχνει όπως πέφτουν ένα-ένα. Τα παιδιά παρατήρησαν ότι τα συχνότερα αποτελέσµατα ήταν το «3» και το «6». Όταν ρωτήθηκαν ποιο νοµίζουν πως είναι τελικά το πιο πιθανό αποτέλεσµα, ρώτησαν αν µπορούν να κάνουν και άλλες ρίψεις για να έχουν µια καλύτερη εικόνα στο µυαλό τους. Συνέχισαν το πείραµα µε άλλες τριακόσιες ρίψεις. Κατά τη διάρκεια του πειράµατος διεξήχθηκε η ακόλουθη συζήτηση. Ερευνητής: Τι παρατηρείτε; Γιάννης: Ότι τα «6» ως τώρα είναι περισσότερα. ήµητρα: Ότι αυξάνονται όλα, αλλά το «2» αυξάνεται περισσότερο από το «6». Ερευνητής: Εποµένως, ποια περιµένετε να είναι η τελική µορφή του ραβδογράµµατος; ήµητρα: Περίπου όλα ίσα. Γιάννης: Στον πίνακα θα είναι άλλα γύρω στα τριάντα και άλλα στο τριάντα ένα. Συνεχίστηκε το πείραµα µε περισσότερες ρίψεις. Η ήµητρα είπε πως περίµενε τα αποτελέσµατα στο ιστόγραµµα να πλησιάσουν ακόµα περισσότερο µεταξύ τους. Όταν της ζητήθηκε να εξηγήσει το γιατί είπε: ήµητρα: Ερευνητής: Γιάννης: ηλαδή έχουν περίπου τις ίδιες πιθανότητες κάθε φορά που ρίχνει κάποιος τα ζάρια. Αν το ρίξω σήµερα πεντακόσιες φορές και αύριο άλλες πεντακόσιες θα έρθουν όλα περίπου στον ίδιο µέσο όρο. Καθώς αυξάνονται οι ρίψεις τι παρατηρείτε; Γίνονται ακόµα πιο ίσα 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 165

Σ. Σταυροπούλου & Α. Γαγάτσης ήµητρα: Η πιθανότητα να φέρεις ένα αριθµό όταν ρίξεις ένα ζάρι είναι ίδια µε το να φέρεις ένα οποιοδήποτε άλλο αριθµό... Με τη βοήθεια του λογισµικού και τις διαφορετικές δυναµικές αναπαραστάσεις, ο Γιάννης και η ήµητρα κατάφεραν τελικά, όχι µόνο να βρουν το σωστό αποτέλεσµα στο πρόβληµα, αλλά, µε το τέλος της διεξαγωγής του πειράµατος, ήταν ικανοί και να το εξηγήσουν. Ο Γιάννης φαίνεται να κατάλαβε την έννοια της τυχαίας κατανοµής («Όχι, το βρήκα! Είναι µε τύχη που έπεσε...αν το ρίξουµε ξανά µπορεί να έρθει διαφορετικά...»), που τυχαίνει να είναι µια από τις συχνότερες παρανοήσεις των µαθητών Fischbein (1975). Παρατηρήθηκε επίσης ότι το κάθε παιδί είχε τις δικές του προτιµήσεις ως προς τις αναπαραστάσεις που το βοηθούσαν περισσότερο. Στο επόµενο πρόβληµα τα παιδιά χρησιµοποίησαν δύο ζάρια: Αν ρίξεις 2 ζάρια 30 φορές, πόσες φορές αναµένεις να πάρεις άθροισµα «2»; Αφού έκαναν µερικές υποθέσεις για το αποτέλεσµα, τα παιδιά έκαναν το πείραµα. Τους έκανε εντύπωση ότι το άθροισµα «2» ήρθε µόνο µια φορά στις τριάντα. Κατά τη διάρκεια του πειράµατος η Άντρη αντιλήφθηκε ότι έπρεπε για να πάρουµε άθροισµα «2» να είχαν και τα δύο ζάρια την ένδειξη «1». Άντρη: ηλαδή πρέπει να είναι το ένα «1» και το άλλο πάλι «1». Μπορεί να µας το βγάζει συνέχεια; Ερευνητής: Εσύ νοµίζεις υπάρχει έτσι πιθανότητα; Άντρη: Όχι... Ερευνητής: Ποιο αποτέλεσµα αναµένεις να έρχεται πιο συχνά αν ρίξετε τα ζάρια ακόµα εκατό φορές. Μαρίνα: Το «7». Το βλέπω στον πίνακα. Άντρη: Και εγώ το «7». Το βλέπω στον πίνακα αλλά και στο ραβδόγραµµα. Με βοηθά όµως και η εικόνα που µας δείχνει ποιο άθροισµα έρχεται κάθε φορά. Ερευνητής: Γιατί λέτε να έχει πολλά εφτάρια; Μαρίνα: Επειδή οι περισσότεροι αριθµοί του ζαριού µας δίνουν άθροισµα «7». Ερευνητής: Ένα παράδειγµα; Μαρίνα: Να το εδώ. ύο και πέντε, ένα και έξι, τρία και τέσσερα. Άντρη: Ενώ µε το «2» τι πιθανότητες είχαµε; Πολύ περιορισµένες... Σε αυτό το πείραµα τα παιδιά ερµηνεύουν από τη µια σωστά τις δυναµικές αναπαραστάσεις που έχουν µπροστά τους, αιτιολογούν τις απαντήσεις τους (οι περισσότεροι αριθµοί του ζαριού δίνουν άθροισµα 7) καθώς επίσης γενικεύουν και τα ευρήµατά τους. 5. Συµπεράσµατα- Συζήτηση 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 166

Στατικές και υναµικές Αναπαραστάσεις Η ανάλυση των αποτελεσµάτων του δοκιµίου έδειξε τη θετική επίδραση των αναπαραστάσεων στην επίλυση προβληµάτων πιθανοτήτων από τους µαθητές. Ιδιαίτερα οι πίνακες, οι γραφικές παραστάσεις και τα ιστογράµµατα βοήθησαν σηµαντικά τους µαθητές να επιλύσουν κάποια ερωτήµατα των αντίστοιχων έργων, σε αντίθεση µε τις πληροφοριακές εικόνες που η δική τους βοήθεια ήταν πολύ περιορισµένη. Σύµφωνα µε τους Γαγάτση και Ηλία (2003), οι πληροφοριακές εικόνες δεν έχουν τόσο θετική επίδραση στους µαθητές όσο θα έπρεπε, και αυτό οφείλεται στην κακή χρήση τους κατά τη διδασκαλία. Από τα αποτελέσµατα των απαντήσεων των µαθητών στο δοκίµιο, φαίνεται επίσης ότι στην επίλυση των λεκτικών προβληµάτων οι µαθητές είχαν ακόµα περισσότερες αδυναµίες, ενώ οι στατικές αναπαραστάσεις δεν τους βοήθησαν στο να επεξηγούν τα αποτελέσµατά τους και να γενικεύουν τα ευρήµατα τους. Στην παρεµβατική διδασκαλία που πραγµατοποιήθηκε, οι µαθητές φαίνεται να προτιµούν και πάλι αναπαραστάσεις όπως ο πίνακας και οι γραφικές παραστάσεις/ιστογράµµατα. Οι µαθητές εκτός του ότι ερµηνεύουν σωστά τις διαφορετικές δυναµικές αναπαραστάσεις που βλέπουν στην οθόνη του υπολογιστή τους, είναι ικανοί να επεξηγούν τα αποτελέσµατα των πειραµάτων τους και να προβαίνουν στις ανάλογες γενικεύσεις. Συµπεραίνεται ότι η ανάπτυξη της πιθανολογικής σκέψης των µαθητών είναι ένα θέµα που πρέπει να απασχολήσει περισσότερο τη µαθηµατική και εκπαιδευτική κοινότητα. Μέσα από την εργασία αυτή φαίνεται ότι οι αναπαραστάσεις µπορούν να βοηθήσουν σε σηµαντικό βαθµό τους µαθητές σε αυτή τη διαδικασία. Πολύ περισσότερο όµως µπορούν να ενισχύσουν τη διδασκαλία οι διαφορετικές δυναµικές αναπαραστάσεις. Οι εκπαιδευτικοί πρέπει να πάρουν την πρωτοβουλία, να ερευνήσουν και να δηµιουργήσουν το καταλληλότερο µαθησιακό περιβάλλον για τους µαθητές τους. Για το σκοπό αυτό µπορούν να χρησιµοποιήσουν διαφορετικές εξωτερικές αναπαραστάσεις αλλά και ανοικτού τύπου λογισµικά. Η διαδραστική µορφή ενός τέτοιου προγράµµατος σε συνδυασµό µε τις δυναµικές του αναπαραστάσεις µπορούν να βοηθήσουν τους µαθητές σε ανώτερα και πιο «σφαιρικά» επίπεδα πιθανολογικής σκέψης. Παρόλα αυτά, η έρευνα στο τοµέα των πιθανοτήτων είναι ακόµα περιορισµένη και αυτό είναι κάτι που πρέπει να µας απασχολήσει περισσότερο µελλοντικά. Η εργασία αυτή θα µπορούσε να επεκταθεί σε περισσότερα υποκείµενα και περισσότερες παρεµβατικές διδασκαλίες ούτως ώστε µε τις κατάλληλες αναλύσεις να υπάρξουν πιο γενικεύσιµα αποτελέσµατα. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Baturo, A. R., Cooper, T. J., & Thompson, K. (2003). Effective teaching with materials: Years six and seven case studies [Online]. Available: http://ning.ntctc.edu.tw/resource/pme27/volume_4/rr_thompson.pdf [2005, September 19]. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 167

Σ. Σταυροπούλου & Α. Γαγάτσης Clements, D.H. (1999). Concrete manipulatives, concrete ideas. Contemporary Issues in Early Childhood, 1(1), 45-60. Crawford, C. & Brown, E. (2003). Intergrating-based Mathematical Manipulatives Within a Learning Environment: Journal of Computes in Mathematics and Science Teaching, 22(2), 169-180. Doerr, Η. & English, L. (2003). A modeling perspective on students mathematical reasoning about data. Journal of Research in Mathematics Education, 34(2), 110-136. Fischbein, E. (1975). The Intuitive sources of Probabilistic Thinking in Children. London: Reidel. Gagatsis, A., Kyriakides, L. & Panaoura, A. (2001). Construct validity of a developmental assessment on probabilities: A Rasch measurement model analysis. In M. van den Heuvel Panhuizen (Ed.). Proceedings of the 25 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME). Utrecht Uviversity. Moyer, P.S., Bolyard, J.J, & Spikell, M.A. (2002). What are virtual manipulatives? Teaching Children Mathematics, 8(6), 372-377. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author. Paparistodemou, E. & Noss, R. (2004). Designing for Local and Global Meanings of Randomness. Proceedings of the Twentieth Eighth Annual Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 3, 497-504. Bergen, Norway. Pratt (2000) Pratt, D. (2000). Making sense of the Total of Two Dice. Journal for Research in Mathematics Education, 31( 5), 602-625. Pratt, D. & Noss, R. (1998). The Co-ordination of Meanings for Randomness. Proceedings of the Twenty Second Annual Conference of the International Group for the Psycology of Mathematics Education, 4, 17-24. Stellenbosch: South Africa. Reimer, K, & Moyer, P.S. (2005). Third-graders learn about fractions using virtual manipulatives: A classroom study. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 24(1), 5-25. Wilensky, U. (1997). What is normal anyway? Therapy for epistemological anxiety. Educational Studies in Mathematics, 33, 171-202. Γαγάτσης, Α. & Ηλία, Ι. (2003). Οι αναπαραστάσεις και τα γεωµετρικά µοντέλα στη µάθηση των µαθηµατικών. (Τόµος 1). Λευκωσία: Intercollege Press. Γαγάτσης Α., Μιχαηλίδου, Ε. & Σιακαλλή, Μ. (2001). Θεωρίες αναπαράστασης και µάθηση των µαθηµατικών. Λευκωσία: ERASMUS IP1. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 168