Open and Collaborative Mathematics Communication Web-based Platform Material for Exhibitions Interactive Programs Galleries of Pictures Scientific Texts Material for Schools Free Up and Download International Network Gert-Martin Greuel, Istanbul, April 12, 2014
Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (MFO) Institute of the Leibniz Association IMAGINARY is a project of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach Director: Gerhard Huisken Scientific advisor/organizer/programmer: Gert-Martin Greuel/Andreas Matt/Christian Stussak
OPEN SOURCE PLATFORM beauty of mathematics application of mathematics
MATHS COMMUNICATION by beauty and elegance of mathematics The beauty of mathematical objects is intended to awake interest
IMAGINARY EXHIBITIONS started in the year of mathematics 2008 in Germany
The first impression of IMAGINARY
LIVING EXHIBITION School class in Saarbrücken Exhibition in Kiev 6 24 BHMASCIENCE ª ª π ΚΥΡΙΑΚΗ 16 ΜΑΪΟΥ 2010 ΚΥΡΙΑΚΗ 16 ΜΑΪΟΥ 2010 BHMASCIENCE ª ª π 25 7 τησ λαλινασ φαφουτη Ì ÙˆÓ ÏÁ ÚÈÎÒÓ ÂappleÈ- lyapunov play sofa /Καναπές Ê ÓÂÈÒÓ Ù ÔappleÔ ÛÙË Παιχνίδι Λιαπούνοφ x 2 +y 3 +z 5 =0 OÙ Ó ÔÈ Â appleâú Û Ó ÂÈ Ô Î ı Ó ÌappleÔ- Αν και αυτή η αλγεβρική επιφάνεια Ù Ì ıëì ÙÈÎ ÚÂ Ó «ÁÂÌ ÛÂÈ» Ì ٠ÚÒ- O Μάριο Μάρκους του Ινστιτούτου ονοµάζεται «Καναπές», δεν είναι ÎÔ Ó Πappleôèôó Ì Ù appleô ıâˆúâ Î Ù Ï- Μαξ Πλανκ ιατροφολογίας χρησιµοποιεί δυναµικά συστήµατα για να µελε- είναι µάλλον ένα κάθισµα για δύο άτοµα απαραίτητα άνετη. Αυτό που έχουµε εδώ Ó Ï ÂÈ applefiûô ÏËÏ. È fiù Ó Ï Ì «Ô Î - fiìôúêë Â Ó È ÌÈ ı Ó» ÙÔ ÂÓÓÔÔ ÌÂ: Ù τήσει την εξέλιξη των ζωικών πληθυσµών. Τα συστήµατα αυτά µπορεί να που χωρίζονται µεταξύ τους από µια παραδοξότητα. Η παραδοξότητα αυτή ÂÍ ÛˆÛË, Û Ó - appleúôáú ÌÌ Ù Â Ó È Â - λέγεται Ε8 και είναι ίσως η πιο διάσηµη ıˆ ÙÔÓ ÎÔÈÙ Ô Ó Ì ÛappleÈÛÙ. Ò- ÚËÛÙ Î È ÂÓ ÚÂÈ Ô- επιδεικνύουν ταυτόχρονα έναν σταθερό κύκλο και µια χαοτική εξέλιξη, ανά- άλλων, τη θεωρία των οµάδων στα µαθηµατικά. Συνδυάζει, µεταξύ Ú ÚıÂ Ë ÒÚ Ó Ó ıâˆú ÛÔ Ó.  ÓÙ È ÂÈ ÈÎ ÁÓÒÛÂÈ. ÓÙÈı Ùˆ, Î ıò Ó appleù ÛÛÂÈ λογα µε την ικανότητα γονιµότητας συµµετρίας των πλατωνικών στερεών Ùfi ı ÙÔ ÔËı ÛÂÈ Ë ÎıÂÛË «Imaginary». ÓÔÓÙ ÌÔÚÊ Î È Î appleôèô ÙÔ Û Ì, ÛÈÁ ÛÈ- των ζώων. Η σταθερότητα και το χάος και τη θεωρία οµάδων Lie. Η απτή εικόνα ÚÒÌ ÛÙÔ ÊËÚËÌ ÓÔ ÏÁÂ- Á ÂÎapple È Â ÂÙ È Î È Ú - µπορούν να αναλυθούν µε τον υπολογισµό του λεγόµενου εκθέτη Λιαπού- αυτής της παραδοξότητας είναι ÚÈÎÔ Ù appleô Ë appleúˆùfiù appleë appleúˆ- ÂÈ Ó Ìapple ÓÂÈ ÛÙÔ appleóâ Ì εξαιρετικά κοµψή αλλά δεν αποκαλύπτει τη µαθηµατική πολυπλοκότητά της αυτή ÙÔ Ô Ï ÙÔ ÁÂÚÌ ÓÈÎÔ Ì ıëì - ÙˆÓ Ì ıëì ÙÈÎÒÓ Î È Ó νοφ. Oι εικόνες του κ. Μάρκους αποτελούν έγχρωµες χαρτογραφήσεις του το φανταστικό µέρος της. γίνεται εµφανής µόνο αν συµπεριλάβετε ÙÈÎÔ ÈÓÛÙÈÙÔ ÙÔ Mathematische Î Ù ÓÔ ÙË ÏÂÈÙÔ ÚÁ Forschungsinstitut Oberwolfach ÊÈ- ÙÔ. εκθέτη Λιαπούνοφ έναντι της γονιµότητας κατά µήκος οριζόντιων και κάθε- ÏÔ ÔÍÂ Ó Î ÓÂÈ ÎfiÌË Î È fiûô ÌÈ- ÛÔ Ó Ù Ì ıëì ÙÈÎ Ó Ù Á apple - O ËÁ Â Ú ÛË των αξόνων. Εδώ το χάος αποδίδεται µε himmel und hölle / ÛÔ Ó. ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ Î È Ùfi Â Ó È «Ù Ú ÂappleÈÏ ÁÂÙ σκούρο γαλάζιο χρώµα. Παράδεισος και Κόλαση Ûˆ appleèô ÛËÌ ÓÙÈÎfi Ó Ù Î Ù - Ó Ó Ù appleô, ÔappleÔÈÔÓ appleô- x 2 -y 2 z 2 =0 ÓÔ ÛÔ Ó. Ù ٠appleô» ÂÍËÁÂ Ô Î. ª Ù. Το σχήµα έχει πάρει τον τίτλο του «appleô Ì ÙÔÓ x 2 +y 2 -z=0. Oappleˆ από ένα παιχνίδι. Κάποιος διπλώνει ÂÌfiÓÈ Î È Î Ú È Ï appleâùâ, Ô Ù appleô Ùfi appleâúèï Ì- ένα χαρτί µε τρόπο ώστε τα τέσσερα ÂÍ ÛˆÛË x 2 +z 2 =y 3 (1-y) 3 Â Ó È ÓÂÈ ÙÚÂÈ ÌÂÙ ÏËÙ, ÔÈ ÔappleÔ Â, δάχτυλά του να µπαίνουν στις Ó appleú ÛÈÓÔ ÏÂÌfiÓÈ, Ë (x 2 +9/4y 2 +z 2 - fiappleˆ ÌappleÔÚ ÙÂ Ó Ê ÓÙ ÛÙ ÙÂ, τέσσερις γωνίες που σχηµατίζονται. 1)3-x 2 z 3-9/80y 2 z 3 Ανοίγοντας τα δάχτυλα το χαρτί =0 ÌÈ ÂÓ È Ê - ÓÙÈÛÙÔÈ Ô Ó ÛÙÔÓ ÒÚÔ». Ô x ÁÈ ανοίγει µε δύο διαφορετικούς ÚÔ Û ÁÈ ÙÔ Ì ıëì ÙÈÎÔ «ÎÔ- apple Ú ÂÈÁÌ ÌappleÔÚÂ Ó Â Ó È ÛÙ Âτρόπους ώστε κάθε φορά να Ú Ê» «apple Ú ÔÍfiÙËÙ» Â Ó È ÌÈ ÍÈ ÛÙ ÚÈÛÙÂÚ, ÙÔ y Âapple Óˆ φαίνονται δύο από τις εσωτερικές Î Ù ÎfiÎÎÈÓË Ô ÌÂÚ Î Ú È. Ò Î Ùˆ Î È ÙÔ z ÛÙÔ Î ÓÙÚÔ. ÓÔÓÙ πλευρές ταυτοχρόνως. Oι γαλάζιες Î ÙÈ ÙfiÛÔ «ÛÙÂÁÓfi» fiûô Ó Ì ıë- È ÊÔÚÂÙÈÎ ÙÈÌ ÛÙÈ ÌÂÙ ÏË- σηµαίνουν τον Παράδεισο, οι Ì ÙÈÎfi Ù appleô ÌappleÔÚÂ Ó ÌÂÙ ÙÚ - Ù apple.., 5 ÛÙÔ x, 3 ÛÙÔ y Î È 1 ÛÙÔ κόκκινες την Κόλαση. Τα παιδιά appleâ Û ÚÁÔ Ù ÓË ; «fiïë È ÍÂ- z ÌappleÔÚ ÙÂ Ó ÙÈ ÓÙÈÛÙÔÈ ÛÂÙ πρέπει να µαντέψουν τι θα εµφανιστεί κάθε φορά. Î ÓËÛ applefi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè Ù Ì ıë- Î ıâ ÊÔÚ ÌÂ Ó ÛËÌÂ Ô ÛÙÔÓ Ò- Προσθέτοντας τα τετράγωνα του y Ì ÙÈÎ Â Ó È appleôï ÊËÚËÌ Ó, Î ÙÈ ÚÔ. «OÏ Ù ÛËÌ appleô Ï ÓÔ Ó ÙËÓ και του z παίρνουµε τον υψηλότερο ÙÔ ÔappleÔ Ô appleú ÁÌ ÙÈÎ Û Ì ÓÂÈ Ì - ÂÍ ÛˆÛË ÂÓÒÓÔÓÙ È ÌÂÙ Í ÙÔ Û εκθέτη 4. Αυτό λέγεται εξίσωση Û ÛÙÔ Ì Ïfi Ì Î È apple ÂÈ appleôï Ó Û Ì. Ùfi appleô Ï appleâùâ, Ë- τέταρτου βαθµού. Oσο µεγαλύτερος applefi ÙÔÓ appleú ÁÌ ÙÈÎfi ÎfiÛÌÔ»Ï ÂÈ ÌÈ- Ï, ÂÓ Â Ó È Ù appleôùâ ÏÏÔ applefi ÙË είναι ο εκθέτης τόσο πιο πολύπλοκο ÏÒÓÙ ÛÙÔ «µ Ì» Ô ÓÙÚ Ï ÛË ÙË ÂÍ ÛˆÛË. È Ùfi Â Ó È είναι να υπολογίσει κανείς την ª Ù, È ÎÙˆÚ Ì ıëì ÙÈÎfi Î È Û - appleôï ÂÓ È Ê ÚÔÓ ÁÈ Ù Ë ÂÈÎfiÓ Â - Û ÁÎÂÎÚÈÌ Ó ÂÈÎfiÓÂ. Ó apple.. ı - ÓfiÚˆÓ. ÓÙÔÌ Ú ÈÛÂ Ó appleâúèô- αλγεβρική επιφάνεια. ÓÙÔÓÈÛÙ ÙË ÎıÂÛË. «ÂÏ Û ÌÂ Ó È ÙÂÏÈÎ Ó ÏÏÔ ÙÚfiappleÔ ÁÈ Ó ÏÂÙÂ Ó ÊÙÈ ÍÂÙÂ Ó appleúfiûˆappleô, ı  ÂÈ ÛÂ È ÊÔÚ ÒÚÂ. ÂÏ ٠- Ó Ù Î ÓÔ Ì appleèô ÂÈÚÔappleÈ ÛÙ ÁÈ ÂÈ Î Ó ÙÔÓ Ù appleô». Ì ıâùâ appleôèô Ù appleô ı appleú appleâè Ó Ô ÛÙ ıìfi Ù Ó ÙÔ ÓÂappleÈÛÙ ÌÈÔ zitrus / Εσπεριδοειδές ÙÔ Â Ú ÎÔÈÓfi Î È È Ï Í Ì ٠ÙËÓ ÎÔ ÁÂÙ È Ûˆ Ï ÁÔ ÌappleÂÚ ÂÌ - ÏÁÂ Ú ÚËÛÈÌÔappleÔÈ ÛÂÙ ÁÈ Ó appleâù ÂÙ ÙÔ ÈÌappleÚÈÙ ÛÙË µúâù Ó ÙÔÓ appleâ- Η εξίσωση του εσπεριδοειδούς, όπως Î appleˆ È ÊÔÚÂÙÈÎ appleúôû ÁÁÈÛË, ÓÔ, Ó fiìˆ ÙÔ appleúôûapple ı ÛÂÙ ÛÙÔ Ô Ì ÙÈ, Ó ÛÙfiÌ Î È Ô Ùˆ Î ı Ú ÛÌ ÓÔ ª ÚÙÈÔ Î È ÂapplefiÌÂÓÔ ı  - και η εικόνα, φαίνεται απλή: x ÙËÓ Î ÏÏÈÙ ÓÈÎ ÔappleÙÈÎÔappleÔ ËÛ Surfer, ÙÔ ÂÈ ÈÎfi appleúfiáú ÌÌ appleô  - ÂÍ. È, ÊÔ ı ÂÙ ÂÍ ÛÎËıÂ Ó È Ë Ú Ë ÙÔ ÂÚ fiìâóô ÊıÈÓfiappleˆ- ÙÔ». Ó È ÓÔÈ Ùfi ÛÙÔ ÎÔÈÓfi, ı  Ù fiùè apple ÔÓÙ, ı Êı ÛÂÙÂ, fiappleˆ ÂÍË- ÚÔ. µ ÛÈÏÈÎ Î ËÌ appleèûùëìòó ÛË Ù ÙË ÔappleÙÈÎÔappleÔ ËÛË ÙÂÏÈÎ Â Ó È apple Ú appleôï appleïfi. «OÛÔ ÁÂ Ô Ì ıëì ÙÈÎfi, Û Πappleôèô ÛËÌÂ Ô ÙË πûapple Ó ÙËÓ ÂÈ «ÎÏ ÛÂÈ» ÁÈ Â Ó È Ë ÏÁ ÚÈÎ ÁˆÌÂÙÚ, Ô ÎÏ - Î È Ó appleúôûapple ı Ûˆ Ó Û ÙÔ ÂÍË- appleôáâèòóâè ÙË 2 + y 2 = y 3 (1-y) 3. Ενίοτε ωστόσο τα φαινόµενα απατούν. Τα σηµεία συµβολής των δύο τόξων περιστρέφονται συµµετρικά γύρω από τον ÛÙÔ ÔappleÔ Ô ÌfiÓÔÈ Û ı ÌappleÔÚ ÙÂ Ó ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ 2011, ÏÏ ÛÙÔ ÈÔ È - κεντρικό άξονα. Η εξίσωση x Ô ÙˆÓ Ì ıëì ÙÈÎÒÓ appleô Û Ó - Á Ûˆ, Ô Î Ï ÙÂÚÔ ÙÚfiappleÔ ÁÈ Ó ÏÏ ÂÙ ÙÈ ÂÈÎfiÓÂ Î È Ó ÙÈ Î ÓÂ- ÛÙËÌ ı apple ÚÔ ÛÈ ÛÙ apple Ú ÏÏËÏ ÂÈ ÙËÓ ÓÙÈÌÂÙ ıâùèî ÏÁÂ Ú Ì ÙÔ Ì ıâùâ Â Ó È Ó ÙÔ ÔÎÈÌ ÛÂÙÂ. Ù fiappleˆ ÎÚÈ Ò ı ÏÂÙÂ. ÚÒ- ÛÂ È ÊÔÚ applefiïâè ÙË ÂÚÌ Ó ÙË ÁˆÌÂÙÚ. «ÌappleÔÚÔ Û ÌÂ Ó ÙÛÈ ÏψÛÙ ÏÂÈÙÔ ÚÁÔ Ó ÙÂÏÈÎ Ì Ù appleô ı ÚËÛÈÌÔappleÔÈ ÛÂÙÂ Î È Ô Î È ÙË µúâù Ó, ÂÓÒ appleúôáú ÌÌ - appleô Ì fiùè Ë ÏÁ ڻÂÍËÁÂ Ô Î. ª Ù Ù Ì ıëì ÙÈλ Ï ÂÈ Ô Î. ª Ù. Ù ÙÏÔ appleô ı ÙÔ ÒÛÂÙ ÂÓ Ô Ó Ù ÂÙ È Î È Ë apple ÚÔ Û Û ÙË ÛÙËÓ Ê ÓÙ Û 2 + y 2 = y 3 χωρίς το (1-y) 3 δίνει µόνο τη µία καµπύλη και η x 2 + y 2 = y 3 (1-y) 3 δίνει τη συµµετρική εικόνα. Και οι δύο επιφάνειες εκτείνονται στο άπειρο. Το γινόµενο στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης «κλείνει» τα όρια του «Â Ó È Ô Ù appleô Î È Ë ÁˆÌÂÙÚ Â - «appleïò apple ÂÙÂ, ÌappleÔÚ ÙÂ Ó - Î Ì Û ÛË ÌÂ Ù Ì ıëì ÙÈÎ. Ó - ÏÏ. Zitrus. Αν η απόλυτη αξία του y υπερβεί το 1, Ó È Ë ÂÈÎfiÓ. Ùfi Â Ó È Î È ÙÔ ÓfiË- ÏÂÙÂ Ó Ó ÔappleÔÈÔÓ appleôùâ Ù appleô Ó applefiîâèóù È appleïò ÛÙË ËÌÈÔ ÚÁÈÎfi- È appleâúèûûfiùâúâ ÊÔÚ Ë ÈÔÚ- η δεξιά πλευρά γίνεται αρνητική και η Ì ÙÔ Ù ÙÏÔ Imaginary. Ï ÍË apple ÚÂÙÂ Ó Ó applefi ÙÔ apple Ú ÔÓÙ Oταν τα παιδιά διδάσκονται στο σχολείο µαθηµατικά, µπορούν ÙËÙ Û. Á ÓˆÛË Á ÓÂÙ È ÛÂ Û ÓÂÚÁ Û Ì εξίσωση δεν επιδέχεται πραγµατικές λύσεις για το x και το z. ÂÈÎfiÓ image appleôùâïâ Ì ÚÔ Î È Ó ÙÔÓ ÏÏ ÍÂÙ ÏÈÁ ÎÈ. fiùâ ı apple ÓÂappleÈÛÙ ÌÈ ÏÏÔ ÂÎapple È Â ÙÈ- ÙÔ ÊËÚËÌ ÓÔ Ê ÓÙ ÛÙÈÎÔ Â ÙÂ Ó Ó Î ÈÓÔ ÚÁÈÔ Ù appleô Î È ÌÈ να προσεγγίσουν την οµορφιά τους µόνο µε αφηρηµένο ªÈ ÎıÂÛË ÁÂÓÓÈ Ù È ÎÔ ÂappleÈÛÙËÌÔÓÈÎÔ ÊÔÚÂ, ÙÔ imaginary». Ô fiïô ÂÁ  ÚËÌ ÂÈ Î ÈÓÔ ÚÁÈ ÂÈÎfiÓ. È ÌappleÔÚ Ù και θεωρητικό τρόπο. Σίγουρα όχι µε χρώµα και εικόνες. Ô appleúòùô Ì ÁÈ ÙË ËÌÈÔ ÚÁ πóûùèùô ÙÔ fiìˆ appleúôùèì ÔÈ ÂÎıÂ- Ô ÛÎ ÏË: Ó Î ı Ú Ì ıëì ÙÈÎfi Ó Û Ó ÛÂÙÂ Ó ÙÔÓ ÏÏ ÂÙÂ, Î È ÙË ÎıÂÛË ÁÈÓ applefi ÙÔÓ ÛÙÚÈ - ÛÈ ÎÔ ÒÚÔÈ Ó Ú ÛÎÔÓÙ È ÂÎÙfi Î È Ó ËÌÈÔ ÚÁÈÎfi, Î ÏÏÈÙ ÓÈÎfi. Ùfi Â Ó È Ô Î Ï ÙÂÚÔ ÙÚfiappleÔ ÁÈ Η έκθεση «Imaginary» έρχεται να ανατρέψει αυτόν τον Îfi Ì ıëì ÙÈÎfi Ã Ú È Ã Ô ÂÚ, Ô ÙˆÓ apple ÓÂappleÈÛÙËÌÈ ÎÒÓ È Ú Ì ÙˆÓ, È ÈÎ appleúôáú ÌÌ Ù appleô Ó appleù - Ó Ì ıâùâ Ù Ì ıëì ÙÈÎ : apple Ô- κανόνα, δίνοντας σε όλους µας τη δυνατότητα να ÔappleÔ Ô Ú ÈÛÂ Ó Û Ó ÂÈ ÏÁÂ- Û Πappleôèô ÌÔ ÛÂ Ô ÎfiÌË Î È ÛÙÔÓ calypso / Καλυψώ ıëî Ó applefi ÙÔ Ì ıëì ÙÈÎÔ ÂappleÈ- ÓÙ». ÚÈÎÔ Ù appleô Ì ÂÈÎfiÓÂ Î È Ó ÚfiÌÔ. «Ó È appleúôùèìfiùâúô Ë ÎıÂ- x ÙÚ appleô Ó ÙËÓ «ÙÔappleÔı ÙËÛË» ÙˆÓ Ï- Ô πóûùèùô ÙÔ appleúôûê ÚÂÈ Âapple ÛË δηµιουργήσουµε εικόνες τέχνης µε ένα ανέλπιστο εργαλείο: 2 +y 2 z=z 2 ÙÔ ÓÂÈ Ó Ó Ù ÙÏÔ. Ô Mathematische Forschungsinstitut Ober- ÙÚ ÓÔ ÙÔ ÌÂÙÚfi, ÛÂ Ó ÛÔ - ευθείες γραµµές. Η οριζόντια ÛË Ó Á ÓÂÙ È ÛÂ Ó Ó ÛÙ ıìfi ÙÔ Η Καλυψώ περιλαµβάνει τρεις Á ÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ÛÙÔÓ ÒÚÔ Î È Î appleôèâ Ô ËÁ Â, ÌÂÚÈÎ «Ì ıëì - την αλγεβρική γεωµετρία ÙË ËÌÈÔ ÚÁ ÙˆÓ Ó ÏÔÁˆÓ Û Ë- ÙÈÎ ÎfiÏapple», ÁÈ Ó ÊÙÈ ÍÂÈ Î Ó wolfach ÛÎ ÊÙËÎÂ Ó Ó appleù ÍÂÈ ÙËÓ appleâúì ÚÎÂÙ Î È Íˆ, ÛÂ Ó Ó apple - ευθεία είναι καθαρά ορατή, περνάει από το αρχικό σηµείο È appleâúèûûfiùâúô Ì ÙË ÈÔÚÁ Óˆ- ıúèô ËÌfiÛÈÔ ÒÚÔ, ÁÈ Ù Ô ÛÈ- µηδέν (0) όπου ενώνονται το tο eκατονεικοσάχωρον eπιφάνεια björling ÛË ÙË «Imaginary» ÛÙÔ appleï ÛÈÔ ÙÔ Îfi ÛÙfi Ô ÙË Â Ó È Ó Êı ÛÂÈ ÛÙÔ επάνω και το κάτω τµήµα της Το Εκατονεικοσάχωρον είναι ένα Oι ελαχιστοτικές επιφάνειες έχουν τα ίδια ÙÔ ÙˆÓ ª ıëì ÙÈÎÒÓ ÛÙË ÂÚ- Â Ú ÎÔÈÓfi»ÂÍËÁÂ Ô Î. ª Ù. «ÂÓ επιφάνειας. Oι άλλες δύο τυπικό πολύτοπο σε τέσσερις χαρακτηριστικά καµπυλότητας µε τις µεµβράνες σαπουνιού. Η κατασκευή ελαχιστοτι- ÛÈÎfi, appleôùâïâ Ó ÌfiÓÔ Ì ÚÔ ÙˆÓ ÁÈ fiïô. ÏÏ Ù ÙÔ ÚfiÓˆ Â Ó È κάθετο επίπεδο. Περνούν και Ì Ó ÙÔ 2008. Ô Surfer, Ó Î È - Â Ó È ÁÈ ÙÔ Ì ıëì ÙÈÎÔ, Â Ó È ευθείες βρίσκονται σε ένα διαστάσεις. Είναι το τετραδιάστατο αντίστοιχο ενός τρισδιάστατου κών επιφανειών µε δεδοµένα χαρακτηριστικά αποτελεί κλασικό αντικείµενο της appleúôûê ÚÔÓÙ È. O Î ıâ ÂappleÈÛÎ appleùë ÚÈÎ ÊÔÚ ÌappleÔÚÂ Ó Â Ó È ÎfiÌË È Ú ÛÙÈÎÒÓ Ú ÛÙËÚÈÔÙ ÙˆÓ appleô Ì ıëì ÙÈÎ. ª ıëì ÙÈÎ appleô ÌÂ- αυτές από το 0 και τέµνονται δωδεκάεδρου, το οποίο έχει 12 σε αυτό το σηµείο. πενταγωνικές έδρες, 20 κορυφές διαφορικής γεωµετρίας.το 1844 ο E. G. ÌappleÔÚÂ Ó ÙÈ ÔÎÈÌ ÛÂÈ Ì Ì ÒÛÙÂ Î È appleôï appleïôî ÏÏ apple ÓÙ Â Ó È ÁÈ και 30 ακµές. Το Εκατονεικοσάχωρον Björling έδειξε ότι για κάθε αρκετά ευνοϊκή Ó Ú ÛÂÈ Ó Ì Â Ù È ÛÙÔÓ ÎfiÛÌÔ fiïô. È Ë È ÏÂÈÙÔ ÚÁ». έχει 120 «πλευρές» αλλά αυτές τρισδιάστατη καµπύλη µπορεί να βρει κανείς ÙˆÓ Ì ıëì ÙÈÎÒÓ. «È Ó appleâ - lalina@tovima.gr είναι τετραδιάστατες, οπότε µια στενή λωρίδα ελαχιστοτικής επιφάνειας ı ÓÔ Â Ó È apple ÓÙ appleï ÙÔ ÁÈ Ó στην πραγµατικότητα γίνονται η οποία την περιέχει. Επιπλέον µπορεί να ÙÔÓ Î ıô ËÁ ÛÂÈ Î È Ó ÙÔ ÂÍËÁ - τρισδιάστατες: είναι όλες δωδεκάεδρα! προσδιορίσει πώς η λωρίδα θα περιστραφεί Oι δισδιάστατες πλευρές αυτών γύρω από την καµπύλη. Η επιφάνεια που ÛÂÈ appleò ÏÂÈÙÔ ÚÁ ÙÔ Î ıâù» Ï ÂÈ των δωδεκάεδρων είναι φυσικά απεικονίζεται εδώ έχει δηµιουργηθεί µε αυτόν τον τρόπο. Oι τύποι αναπτύχθηκαν από Ì ÓÙÈÎfi ÛÙÔÈ Â Ô ÙË ÎıÂÛ Ì : Ô Î. ª Ù. «Ùfi Â Ó È Ó ÏÏÔ ÛË- διαγωνισµός ιmaginary Surfer competition in Greece Εκφραστείτε δηµιουργικά µε τα µαθηµατικά πεντάγωνα, συνολικά 720 στον «Το Βήµα» σε συνεργασία µε το Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach διοργανώνουν διαγωνισµό καλλιτεχνικής απεικόνισης αριθµό. Oι κορυφές είναι 600 και οι τον Ματίας Βέµπερ και το τοπίο του φόντου Ë ÓıÚÒappleÈÓË Âapple Ê». αλγεβρικών επιφανειών. ηµιουργήστε τη δική σας εικόνα µε το ειδικό πρόγραµµα Surfer που θα βρείτε στην ιστοσελίδα της εφηµερίδας ακµές 1.200. δηµιουργήθηκε στον ηλεκτρονικό υπολογιστή από τον Σάιµον O Κάλαχαν. Î È ÓÙ applefiîúèûë, fi È ÌfiÓÔ ÛÙÔ ÁÂÚ- ÎıÂÛË Â Â ÙÂÚ ÛÙÈ ÂappleÈÙ www.tovima.gr. Στείλτε µας τη συµµετοχή σας ως τις 26 Σεπτεµβρίου 2010 και σας ευχόµαστε να κερδίσετε έναν από τους τρεις υπολογιστές Sony Vaio ή κουπόνια 100 ευρώ για βιβλία από τα Ελληνικά Γράµµατα. Ì ÓÈÎfi ÎÔÈÓfi ÏÏ Î È ÂÎÙfi ÙˆÓ Û - ΕΙΚΟΝΕΣ: ΧΕΡΒΙΧ ΧΑΟΥΖΕΡ Girls Day in Berlin
IMAGINARY Through the Eyes of Mathematics Characteristics: surprising interactive spreading open developing
Why the exhibition is surprising does not look like mathematics Limao art can be found in mathematics very low threshold, but deep mathematics behind mathematics becomes acceptable, even fashionable and cool x 2 -y 3 z 3 =0 Geisha mathematics is done in a web 2.0 manner science 2.0 - everybody can do and enjoy pure science with the surfer x 2 yz+x 2 z 2 -y 3 z-y 3 =0
SURFER The SURFER is the most popular program, but not the only one
IMAGINARY and Research World record surface: Barth sextic
IMAGINARY in School
Educational mathematics by V.I. Arnold in IMAGINARY
IMAGINARY Network 2008-2014 IMAGINARY exhibitions/activities: 110 Cities and 24 countries Visitors: >1.000.000 visitors, among them 2.300 schools Website: on average 800 unique daily visitors (on peak days up to 9,000 visitors) Downloads: programs 700.000 times (programs), background material 500.000 times
Many RSME-IMAGINARY exhibitions in Spain at the100 anniversary of the RSME Still continuing
! We had activities in 17 European countries, sometimes only lectures at a conference (in Belgium or Holland), in some cases there were teachers training and only media work (e.g. in Greece).! In most countries there were exhibitions, most important for us: Germany, Spain, Russia, Poland, Portugal, Serbia, Austria, France, Norway
WWW.IMAGINARY.ORG imaginary-in-paris imaginary-in-barcelona imaginary-at-icm2014 make-an-imaginary-exhibition imaginary-events imaginary-programs imaginary-films surfer-2048-game
CALL TO PARTICIPATE MAKE AN EXHIBTION ORGANIZE A COMPETITION TRANSLATE TEXTS IN YOUR LANGUAGE USE SURFER IN SCHOOL ADD NEW IDEAS (2x 2 +y 2 +z 2-1) 3 -(1/10)x 2 z 3 -y 2 z 2 WWW.IMAGINARY.ORG info@imaginary.org