ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΑΦΟΡΑ ΤΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ (ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ) Σπύρος Φερεντίνος, Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ03 ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΧΡΟΝΟΣ: 2 διδακτικές ώρες. ΥΛΙΚΑ: Φύλλα εργασίας και καθώς και χρήση και άλλων μέσων όπως αντικείμενων της σχολικής τάξης, μιλιμετρέ χαρτί, Ν. Τ. ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ: Έννοιες εμβαδού και περιμέτρου. Υπολογισμός εμβαδού και περιμέτρου ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Βασικές γνώσεις λογισμικών (ή χρήση έτοιμων εφαρμογών-applets). ΜΕΘΟΔΟΣ: Ομαδοσυνεργατική και Ανακαλυπτική - Διερευνητική μάθηση (διαδικασίες πειραματισμού, διερεύνησης, διατύπωσης και ελέγχου υποθέσεων). ΣΤΟΧΟΙ: Ειδικός στόχος: Επισήμανση πιθανά λανθασμένης αντίληψης περί συγκεκριμένης συμμεταβολής (όταν αυξάνεται το ένα αυξάνεται και το άλλο) περιμέτρου και εμβαδού ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Γενικός στόχος: Εξοικείωση των μαθητών με διαδικασίες πειραματισμού, διερεύνησης, διατύπωσης και ελέγχου υποθέσεων.
Παρατήρηση: η συγκεκριμένη παρανόηση επισημάνθηκε από έρευνες ειδικών της Διδακτικής των Μαθηματικών. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Ανάκληση προηγούμενων γνώσεων μέσα από διάλογο ή κατάλληλη δραστηριότητα. Δραστηριότητα1. Ζητάμε από τους μαθητές (εργαζόμενους σε ομάδες) να παρατηρήσουν ορθογώνια παραλληλόγραμμα εντός της σχολικής τάξης (πίνακες, θρανία, τετράδια, βιβλία, χάρτες, εικόνες σε κάδρα, πόρτες, παράθυρα κλπ) και να μετρήσουν την περίμετρο και το εμβαδόν τους όπου αυτό είναι εφικτό και στη συνέχεια να καταγράψουν σε ένα πίνακα (2 Χ ν) τα αποτελέσματα, όπου στην πρώτη γραμμή θα είναι οι περίμετροι σε αύξουσα διάταξη, ενώ στη δεύτερη γραμμή θα καταγραφούν τα αντίστοιχα εμβαδά. Στόχος της Δραστηριότητας είναι η διερεύνηση βιωματικά του τρόπου μεταβολής του εμβαδού ορθογωνίου όταν αυξάνεται η περίμετρος, με χρήση αντικειμένων της καθημερινότητας. Δραστηριότητα2. Ζητάμε από τους μαθητές (εργαζόμενους σε ομάδες) να σχηματίσουν διάφορα παραλληλόγραμμα στο χαρτί (καλύτερα μιλιμετρέ) στα οποία κάθε φορά θα αυξάνεται η περίμετρος και να μετρήσουν το εμβαδό τους. Τα αποτελέσματα να καταγραφούν σε πίνακα, όπως στην προηγούμενη δραστηριότητα. Στόχος της Δραστηριότητας είναι η διερεύνηση του τρόπου μεταβολής του εμβαδού ορθογωνίου όταν αυξάνεται η περίμετρος με χρήση συγκεκριμένου εργαλείου (μιλιμετρέ χαρτί). Στόχος και των δύο δραστηριοτήτων είναι η διατύπωση υποθέσεων (εικασιών) μέσω πολλαπλών προσεγγίσεων (βιωματικές, στο χαρτί) της συμμεταβολής της περιμέτρου και του εμβαδού ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Ζητείται από τους μαθητές, με βάση τα αποτελέσματα των παραπάνω δραστηριοτήτων, να διατυπώσουν μια εικασία που να αφορά τη συμμεταβολή περιμέτρου και εμβαδού ορθογωνίου παραλληλογράμμου.
Είναι αρκετά πιθανό ότι όλοι ή σχεδόν όλοι οι μαθητές θα καταλήξουν στην εικασία ότι «όταν αυξάνει η περίμετρος αυξάνει και το εμβαδόν». Πιθανά ορισμένοι μαθητές να θεωρήσουν ότι η περίμετρος και το εμβαδό του ορθογωνίου είναι ποσά ανάλογα. Στη συνέχεια, προκειμένου να βοηθηθούν οι μαθητές να αποδομήσουν πιθανές λανθασμένες γενικεύσεις, όπως όταν αυξάνεται η περίμετρος μεγαλώνει και το εμβαδό ζητάμε από τους μαθητές να διακρίνουν με ποιους τρόπους μπορεί να αυξηθεί η περίμετρος. Είναι πιθανό οι μαθητές, και με τη βοήθεια του καθηγητή, να καταλήξουν στους εξής δυνατούς τρόπους (η πιθανότητα διατύπωσης του τρίτου τρόπου από τους μαθητές είναι μικρή) : 1. Αυξάνουν τα μήκη και των δυο πλευρών. 2. Αυξάνει το μήκος μόνο της μιας πλευράς. ενώ η άλλη διατηρείται σταθερή. 3. Αυξάνει το μήκος της μιας πλευράς και ελαττώνεται το μήκος της άλλης. Οι μαθητές ρωτώνται εάν και οι 3 παραπάνω τρόποι συνηγορούν στο συμπέρασμα όταν αυξάνεται η περίμετρος μεγαλώνει και το εμβαδό. Είναι αρκετά πιθανό ότι θα απαντήσουν θετικά όσον αφορά την 1η και τη 2η περίπτωση και ίσως κρατήσουν κάποιες επιφυλάξεις για την 3η. Προκειμένου να διερευνηθεί το τι συμβαίνει στην 3η περίπτωση δίνεται η παρακάτω δραστηριότητα: Δραστηριότητα3. Ζητάμε από τους μαθητές να σχεδιάσουν ένα ορθογώνιο με μήκη πλευρών π.χ. 4 και 8 και στη συνέχεια να γραφούν τα αποτελέσματα, σε μορφή πίνακα, της μεταβολής του εμβαδού όταν μεταβάλλεται η περίμετρος με βάση μόνο την 3η περίπτωση. Επίσης ζητάμε να σχεδιάσουν τα παραγόμενα ορθογώνια. Στόχος της Δραστηριότητας είναι ο έλεγχος των εικασιών των μαθητών. Είναι πιθανό κάποιοι μαθητές, μόνοι τους ή με τη βοήθεια του καθηγητή, να καταλήξουν σε πίνακα και σχήματα της παρακάτω μορφής:
Περίμετρος 24 26 24 Εμβαδόν 32 30 27 4 3 8 10 3 9 Δραστηριότητα4. Παρόμοια διαδικασία με την προηγούμενη δραστηριότητα, αλλά με χρήση Ν.Τ και να συμπεριλάμβονται όλοι οι τρόποι συμμεταβολής περιμέτρου και εμβαδού. Βοήθεια στην ως άνω διερεύνηση μπορεί να δώσει και το γεγονός ότι σε ίδια περίμετρο ορθογωνίου παραλληλογράμμου αντιστοιχούν πολλά εμβαδά, μάλιστα το μέγιστο από αυτά αντιστοιχεί στο τετράγωνο. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1. Να παρατηρήσετε ορθογώνια παραλληλόγραμμα μέσα στη τάξη σας (πίνακες, θρανία, τετράδια, βιβλία, χάρτες, εικόνες σε κάδρα, πόρτες, παράθυρα κλπ), να μετρήσετε την περίμετρο και το εμβαδόν τους όπου μπορείτε και να καταγράψετε σε ένα πίνακα τα αποτελέσματα, όπου στην πρώτη γραμμή θα είναι οι περίμετροι (με διαδοχικά αυξανόμενες τιμές), ενώ στη δεύτερη γραμμή θα καταγραφούν τα αντίστοιχα εμβαδά. 2. Να σχηματίσετε διάφορα παραλληλόγραμμα στο μιλιμετρέ χαρτί στα οποία κάθε φορά θα αυξάνεται η περίμετρος και να μετρήσετε το εμβαδό τους. Τα αποτελέσματα να καταγραφούν σε πίνακα, όπως στην προηγούμενη δραστηριότητα.
3. Να διατυπώσετε μια εικασία (υπόθεση - άποψη - γνώμη) που να αφορά τη συμμεταβολή περιμέτρου και εμβαδού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, δηλαδή πως μεταβάλλεται το εμβαδόν όταν αυξάνεται η περίμετρος ενός ορθογωνίου. 4. Με ποιούς τρόπους μπορεί να αυξηθεί η περίμετρος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου; 5. Nα σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο με μήκη πλευρών 4 και 8 και να γράψετε τα αποτελέσματα, σε μορφή πίνακα, της μεταβολής του εμβαδού όταν αυξάνετε η περίμετρος με τον εξής τρόπο " αυξάνει το μήκος της μιας πλευράς και ελαττώνεται το μήκος της άλλης". Επίσης να σχεδιάσετε τα παραγόμενα ορθογώνια. Στην περίπτωση αυτή πως μεταβάλλεται το εμβαδόν όταν αυξάνεται η περίμετρος του ορθογωνίου; 6. Να κάνετε την ίδια διαδικασία, όπως προηγουμένως, αλλά με χρήση ΝΤ. 7. Σε τι γενικό συμπέρασμα καταλήγετε που να αφορά τη συμμεταβολή περιμέτρου και εμβαδού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, δηλαδή για το πως μεταβάλλεται το εμβαδόν όταν αυξάνεται η περίμετρος ενός ορθογωνίου.