1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) και ( )( + ) < ( 4) 5 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4 και 5 5. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ να λυθούν οι ανισώσεις : α) λ λ 4 6 β) λ( ) λ Αν α>0 να λύσετε την ανίσωση: α α 7. Να λυθεί η ανίσωση : λ( + λ) + μ( μ ) < λ + μ όπου λ, μ πραγματικοί αριθμοί. 8. Τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα μεγαλύτερο του και μικρότερο του 7. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. 9. Αν α < β, να αποδείξετε ότι η λύση της εξίσωσης α β = 0 ανήκει στο διάστημα (α, β). 0. Να μετατραπούν σε γινόμενο παραγόντων τα τριώνυμα: α) β) + γ) + δ)

2 . Να λυθούν οι ανισώσεις α) 4 > 4 β) (6 + 9). Δίνεται το τριώνυμο α. Να βρείτε τις ρίζες του. β. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες: γ. Να εξετάσετε αν οι αριθμοί 0 και είναι λύσεις της ανίσωσης: 0. Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού για τις οποίες ισχύει: < 4. α. Να αποδείξετε ότι 4 5 0, για κάθε πραγματικό αριθμό. β. Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση: 5. Να λυθεί η ανίσωση: < 0 Β Δίνεται η εξίσωση: λ λ λ 0, με παράμετρο λ. α. Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση να έχει ρίζες πραγματικές. β. Να λύσετε την ανίσωση: γινόμενο των ριζών της εξίσωσης. S P 0, όπου S και Ρ είναι αντίστοιχα το άθροισμα και το 7. Δίνεται η παράσταση Κ = α) Να βρεθεί το σύνολο στο οποίο αυτή ορίζεται β) Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της 8. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού μ η εξίσωση (μ + ) + 5μ + 4μ = 0 έχει ρίζες πραγματικές; 9. Δίνονται οι ανισώσεις: και 8 0. α. Να βρείτε τις λύσεις τους. β. Αν οι αριθμοί ρ και ρ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός ρ ρ είναι κοινή τους λύση.

3 0. Δίνεται η εξίσωση: (λ ) λ+5 = 0, με παράμετρο λ. α. Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: Δ 4λ λ 6 β. Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. γ. Αν η εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς, και d, είναι η απόσταση των άξονα των πραγματικών αριθμών, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει: d, 4., στον. Να δείξετε ότι η εξίσωση (λ ) λ = 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ.. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση + λ + = 0 έχει : α) ρίζες ετερόσημες β) ρίζες θετικές και άνισες γ) ρίζες αρνητικές. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η ανίσωση (λ ) λ + λ > 0, λ αληθεύει για κάθε. 4. Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου λ ώστε να ισχύει για κάθε R ( + )(λ + ) λ > Να λυθούν οι ανισώσεις (*): α) + 0 β) < 0 γ) ( )( + )(4 4)( + 07) 0 δ) ( )(5 ) < 0 6. Να λυθούν οι ανισώσεις (*): α) 0 ( 8 7)( 9) γ) 0 4 β) 4, δ) 4 7. Να λυθούν οι ανισώσεις (*) α) β)

4 8. Δίνεται η f με f() = + και g() = 4. Για ποιες τιμές τα η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται "πάνω" από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g Δίνεται το τριώνυμο: λ ( λ ) λ, λ 0 α. Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ 0. β. Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών. γ. Αν λ < 0, τότε: i) Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες αρνητικές. ii) Να αποδείξετε ότι 0. Δίνονται οι συναρτήσεις: f () 4 α και g() α 5 με α α. Αν ισχύει f g, να βρείτε την τιμή του α. β. Για α i) Να λύσετε την εξίσωση: f g ii) Να λύσετε την ανίσωση: f () f() g() f () g(). g() και, με τη βοήθεια αυτής, να λύσετε την εξίσωση. Δίνεται το τριώνυμο α β γ 0 με ρίζες τους αριθμούς και α. Χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών του τριωνύμου, να αποδείξετε ότι: γ α και β α β. Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για κάθε (, ) i) Να αποδείξετε ότι α < 0 ii) Να λύσετε την ανίσωση γ β α 0, τότε:. α. Θεωρούμε την εξίσωση + + = α, με παράμετρο α i) Να βρείτε για ποιες τιμές του α η εξίσωση άνισες. + + = α έχει δύο ρίζες πραγματικές και ii) Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορίσετε. β. Δίνεται το τριώνυμο f() = + +, i) Να αποδείξετε ότι f (), για κάθε

5 5 ii) Να λύσετε την ανίσωση f(). Δίνεται το τριώνυμο f () 6 λ με λ. α. Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου. β. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. γ. Αν λ τότε: i) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες. ii) Αν, με είναι οι δύο ρίζες του τριωνύμου και κ,μ είναι δύο αριθμοί με κ 0 και μ να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου κ f (κ) μ f (μ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 4. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού συλλογισμό σας. γ) Αν α6, 6 να βρείτε το πρόσημο της παράστασης απάντηση σας K 5 6 και να αιτιολογήσετε το Λ α 5 α 6. Να αιτιολογήσετε την 5. Δίνεται το τριώνυμο: 6 λ 7, όπου λ α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες. β) i) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να βρείτε την τιμή του αθροίσματος S των ριζών και να εκφράσετε συναρτήσει του λ το γινόμενο P των ριζών. ii) Να δείξετε ότι, για κάθε λ με 7 λ 6, το τριώνυμο έχει δύο άνισες ομόσημες ρίζες. Ποιο είναι τότε το πρόσημο των ριζών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ) i) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση διαφορετικές πραγματικές ρίζες. 6 λ 7 έχει τέσσερις ii) Έχει η εξίσωση για λ 0 τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 6. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο Π 40cm. Αν cm είναι το μήκος του παραλληλογράμμου, τότε: α) Να αποδείξετε ότι 0 0 β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε() του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση: Ε()0

6 6 γ) Να αποδείξετε ότι ισχύει Ε() 00, για κάθε (0,0) δ) Να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο 40 cm, εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 0cm. 7. α) Να λύσετε την ανίσωση: 5 β) Δίνονται δύο αριθμοί κ, λ οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης () και ικανοποιούν επιπλέον τη σχέση: λ κ 0. i. Να δείξετε ότι το είναι μεταξύ των κ, λ. ii. Να δείξετε ότι: κ λ 8. Δίνεται πραγματικός αριθμός α, που ικανοποιεί τη σχέση: α α) Να γράψετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του α. β) Θεωρούμε στη συνέχεια το τριώνυμο: α 4 i. Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύμου και να προσδιορίσετε το πρόσημό της. ii. Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του, ισχύει α α) Δίνεται το τριώνυμο,. Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου. β) Θεωρούμε πραγματικούς αριθμούς α, β διαφορετικούς από το 0 με α β για τους οποίους ισχύει Να αποδείξετε ότι ισχύει α β α β 0 α β α β 40. Δίνεται το τριώνυμο : λ λ λ, λ R 0 α) Nα βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R 0. β) Για ποιες τιμές του λ το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες ίσες; γ) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε λ λ λ 0 για κάθε R.

7 4. Δίνεται το τριώνυμο: f() = λ -λ + + λ, 7 λ 0 α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ 0 β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S = + συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P = των ριζών. γ) Αν λ > 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. δ) Αν 0 λ και,, με, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, τότε να βρείτε το πρόσημο του γινομένου f (0) f (κ) f (μ), όπου κ,μ αριθμοί τέτοιοι ώστε κ μ 4. Μια μικρή μεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος. Το ύψος y (σε m) στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγμή t (σε sec) μετά την εκτόξευση, δίνεται από τη σχέση: y 60t 5t α) Μετά από πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος; β) Ποιες χρονικές στιγμές η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος y = 75 m; γ) Να βρεθεί το χρονικό διάστημα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από 00 m.