Matrizes, Determinantes

Capítulo 1 Matrizes, Determinantes 1 a L içã o (co m p ro jeto r m u ltim ed ia )13/ 03/ 2007 1.1 T eoria G eral d e Matrizes Definição 1. Uma matriz d e m lin h as e n co lu n as é d ad a po r: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A m n [a ij m n a m1 a m2 a m3 a mn T ip os E sp eciais d e m atriz es Definição 2 (M a triz Q u a d ra d a ). Q u an d o m n. E x em p lo 1. A 3 3 1 2 3 3 0 1 4 5 6 D izemo s qu e A 3 3 é d e o rd em 3. E m geral, se temo s u ma matriz A n n d izemo s qu e é d e o rd em n, d en o tamo s po r A n. Definição 3 (M a triz Nu la o u Z ero ). S e a ij 0, i 1, 2,..., m, j 1, 2,..., n. Definição 4 (M a triz C o lu n a ). S e po ssu i u ma ú n ica co lu n a, o u seja n 1. E x em p lo 2. 1 4 3 A 3 1 1

2 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES Definição 5 (M a triz L in h a ). S e m 1. E x em p lo 3. [ 3 0 1 A1 3 Definição 6 (M a triz D ia g o n a l). É u ma matriz qu ad rad a, o n d e a ij 0, para i j. E x em p lo 4. 7 0 0 0 1 0 0 0 1 3 3 Definição 7 (M a triz Id en tid a d e). É d efi n id a po r a ii 1, e a ij 0, para i j. E x em p lo 5. I 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 3 Definição 8 (M a triz T ria n g u la r S u p erio r). É a ij 0, para i > j. u ma matriz qu ad rad a tal qu e E x em p lo 6. 2 2 0 0 0 5 3 3 Definição 9 (M a triz T ria n g u la r In ferio r). É u ma matriz qu ad rad a tal qu e a ij 0, para i < j. E x em p lo 7. 2 0 0 7 1 0 1 0 5 3 3 Definição 10 (M a triz S im étrica ). É aqu ela matriz qu ad rad a qu e verifi ca a ij a ji. E x em p lo 8. 2 1 1 1 1 0 1 0 5 3 3

1.1. TEORIA G ERAL DE MATRIZES 3 O p erações com M atriz es Definição 11 (A d içã o o u S o m a ). D ad as A A m n [a ij e B B m n [b ij, d efi n imo s a matriz so ma A + B po r A + B [a ij + b ij matriz d e o rd em m n. P rop ried ad es : D a d a s a s m a trizes A, B e C d e m esm a o rd em m n, tem o s q u e : (i) A + B B + A(co m u ta tiv a ) (ii) A + (B + C) (A + B) + C(a sso cia tiv a ) (iii) A + 0 A, o n d e o é a m a triz n u la d e o rd em n. Definição 12 (P ro d u to o u M u tip lica çã o p o r u m esca la r). S e A [a ij m n e λ u m n ú mero, pod emo s d efi n ir u ma n o va matriz tal qu e λ A [λ a ij m n. P rop ried ad es D a d a s a s m a trizes A e B d a m esm a o rd em m n e n ú m ero s α, β, tem o s q u e : (i) α (A + B) α A + α B (ii) (α + β) A α A + β A (iii) 0 A 0 m n (iv ) α (β A) (α β) A. Definição 13 (M a triz T ra n sp o sta ). D ad a u ma matriz A [a ij m n, pod emo s o bter o u tra matriz, d en o tad a po r A t [b ij n m, cu jas lin h as são as co lu n as d e A, ch amad a a matriz tran spo sta d e A. E x em p lo 9. E x em p lo 10. A [ 2 1 4 1 3 A 2 1 0 3 1 4 3 2 A t P rop ried ad es : (i) A m a triz A é sim étrica se, e so m en te se A A t (ii) A tt A (iii) (A + B) t A t + B t (iv ) (λ A) t λ A t, o n d e λ é u m n ú m ero. A t 2 1 4 [ 2 0 1 1 3 4 Definição 14 (M u ltip lica çã o d e m a trizes). S ejam A A m n [a ij e B B n p [b rs, d efi n imo s a matriz A B [c k l m p, n o n d e c k l a k j b jl j 1 3 1 2 3

4 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES O b serv ação 1. P od emo s efetu ar o p rod u to d as matrizes A A m n [a ij e B B l p [b rs, qu an d o n l. A matriz A B terá o rd em m p. E x em p lo 11. AB A A 3 2 2 1 4 2 5 3 3 2 2 1 4 2 5 3 [ 1 1 0 4 B B 2 2 2 2 1.2 S istemas L ineares 2 a L içã o (co m p ro jeto r m u ltim ed ia ) 15/ 03/ 2007 [ 1 1 0 4 2 1 + 1 0 2( 1) + 1 4 4 1 + 2 0 4( 1) + 2 4 5 1 + 3 0 5( 1) + 3 4 3 2 Definição 15. S eja A [a ij u ma matriz e b 1, b 2,..., b n n ú mero s. A s equ açõ es d o tipo : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n b 2 ( )...... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n b m 2 2 4 4 5 7 são co n h ecid as co mo u m sistema d e equ açõ es lin eares d e m equ açõ es e n in có gn itas. O b serv ação 2. Uma so lu ção d e (* ) é u ma n -u p la d e n ú mero s (x 1, x 2,..., x n ) qu e satisfaça simu ltán eamen te as m equ açõ es. O b serv ação 3. S e b i 0, i 1, 2,.., m d izemo s qu e o sistema é h o mogên eo. O b serv ação 4. O sistema d e equ açõ es: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n 0 ( )...... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n 0 é ch amad o sistema h o mogên eo associad o a (* ). O b serv ação 5. P od emo s escrever o sistema (* ) n a fo rma matricial: x 1 b 1 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n x 2 b 2 O U A X B a m1 a m2 a mn x m b m 3 2

1.2. SISTEMAS LINEARES 5 o n d e A a 11 a 1n a m1 a mn, X x 1 x m, B b 1 b m A é ch amad a a matriz d o s coefi cien tes d o sistema, X é a matriz d as in có gn itas e B é a matriz d o s termo s in d epen d en tes. Definição 16. A o sistema pod emo s associar a matriz amp liad a d o sistema, d ad a po r a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m E x em p lo 12. O sistema: x 1 + 4x 2 + 3x 3 1 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 4 x 1 3x 2 2x 3 5 P od e ser escrito n a fo rma matricial segu in te: 1 4 3 2 5 4 1 3 2 x 1 x 2 x 3 1 4 5 P ara reso lver o sistema, co n sid eramo s a matriz amp liad a. 1 4 3 1 2 5 4 4 1 3 2 5 Usan d o o peraçõ es elemen tares, a ser d efi n id as, ch egamo s a 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 2 qu e é a matriz amp liad a d o sistema so lu ção : x 1 3 x 2 2 x 3 2

6 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES Definição 17 (O p era çõ es E lem en ta res). T emo s três o peraçõ es so bre as lin h as d e u ma matriz. (i) P ermu ta d a i-ésima lin h a pela j-ésima lin h a ( L i L j ). (ii) M u ltip licação d a i-ésima lin h a po r u m escalar n ão n u lo k. (L i k L i ). (iii) S u bstitu ição d a i-ésima lin h a pela i-ésima lin h a mais k vezes a j-ésima lin h a.(l i L i + k L j ). E x em p lo 13. L 2 L 3. 1 0 4 1 3 4 E x em p lo 14. L 2 3 L 2 1 0 4 1 3 4 E x em p lo 15. L 3 L 3 + 2 L 1 1 0 4 1 3 4 1 0 3 4 4 1 1 0 12 3 3 4 1 0 4 1 1 4 Definição 18 (M a trizes E q u iv a len tes). D ad as d u as matrizes d o tipo m n, d izemo s qu e B é lin h a equ ivalen te a A, se B é o btid a d e A através d e u m n ú mero fi n ito d e o peraçõ es elemen tares so bre as lin h as d e A, d en o tamo s A B o u A B. Definição 19 (F o rm a E sca d a ). Uma matriz m n, é lin h a red u zid a à fo rma escad a, se verifca: (a) O p rimeiro elemen to NA O n u lo d e u ma lin h a NA O n u la é 1. (b ) C ad a co lu n a qu e co n tém o p rimeiro elemen to NA O n u lod e algu ma lin h atem tod o s o s seu s o u tro s elemen to s igu ais a zero. (c) T od a lin h a n u la oco rre abaixo d e tod as as lin h as NA O n u las (isto é, d aqu elas qu e po ssu em pelo men o s u m elemen to NA O n u lo ). (d ) S e as lin h as 1, 2,..., r são as lin h as n ão n u las, e se o p rimeiro elemen to NA O n u lo d a lin h a i oco rre n a co lu n a k i, en tão k 1 < k 2 <... < k r. T eorem a 1. T od a matriz A m n é lin h a equ ivalen te a u ma ú n ica matriz-lin h a red u zid a à fo rma escad a. Definição 2 0. D ad a u ma matriz A m n, seja B m n a matriz-lin h a red u zid a à fo rma escad a lin h a equ ivalen te a A. O po sto d e A, d en o tad o po r p, é o n ú mero d e lin h as n ão n u las d e B. A n u lid ad e d e A é a d iferen ça n - p.

1.2. SISTEMAS LINEARES 7 E x em p lo 16. D etermin ar o po sto e a n u lid ad e d a matriz segu in te: A 1 2 1 0 1 0 3 5 1 2 1 1 F azemo s as segu in tes o peraçõ es elemen tares: L 2 L 2 + L 1 (1/2)(L 2 + L 1 ), L 3 L 3 + ( 1)L 1, i. é., 1 2 1 0 1 0 3 5 1 2 1 1 1 2 1 0 0 2 4 5 0 4 0 1 1 2 1 0 0 1 2 5/2 0 4 0 1 B Na matriz resu ltan te B, efetu amo s as o peraçõ es : L 1 L 1 + ( 2)L 2, L 3 (1/8)L 3, L 1 L 1 + 3 L 3, L 2 L 2 + ( 2) L 3 1 2 1 0 0 1 2 5/2 0 4 0 1 1 0 3 5 0 1 2 5/2 0 0 8 11 1 0 0 7/80 0 1 0 1/4 0 0 1 11/8 1 0 3 5 0 1 2 5/2 0 0 1 11/8 O po sto d e A é 3 e a n u lid ad e d e A, é 4-3 1. E x em p lo 17 (S o lu çã o d e u m sistem a d e E q u a çõ es L in ea res). C alcu le a so lu ção d o sistema { 2x1 + x 2 5 x 1 3x 2 6 A matriz amp liad a d o sistema é ( 2 1 5 1 3 6 T ran sfo rman d o a matriz à fo rma escad a, tem-se ( 1 0 3 ) 0 1 1 qu e é a matriz amp liad a d o sistema equ ivalen te ao sistema in icial, i. é., { x1 3 x 2 ) 1

8 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES E x em p lo 18. D etermin ar a so lu ção d o sistema. { 2x1 + x 2 5 6x 1 + 3x 2 15 A matriz amp liad a associad a ao sistema é ( ) ( 2 1 5 1 1/2 5/2 6 3 15 0 0 0 O qu al equ ivale, { x1 + (1/2)x 2 5/2 0x 1 + 0x 2 0 T emo s qu e x 1 5/2 (1/2)x 2, fazen d o x 2 λ, resu lta qu e a so lu ção pod e ser escrita n a fo rma (x 1, x 2 ) ( 5/2 (1/2)λ, λ ) ( 5/2, 0 ) + λ( 1/2, 1 ). P o rtan to este sistema ad mite in fi n itas so lu çõ es. O bservar qu e a matriz tem po sto 1, e a n u lid ad e d a matriz é 2-1 1. E x em p lo 19. A n alisar a existên cia d e so lu çõ es para o sistema { 2x1 + x 2 5 6x 1 + 3x 2 10 A matriz amp liad a associad a ao sistema é ( ) ( 2 1 5 1 1/2 0 6 3 10 0 0 1 O qu al equ ivale, { x1 + (1/2)x 2 0 0x 1 + 0x 2 1 C o mo N A O existe n en h u m valo r d e x 1 e x 2 satisfazen d o a segu n d a equ ação, d izemo s qu e o sistema é in co mpatível. O bservar qu e a matriz d o sistema in icial tem po sto e o po sto d e su a matriz amp liad a é 2. C aso G eral. D a d o o sistem a d e m eq u a çõ es lin ea res co m n in có g n ita s a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b n A p resen ta -se três ca so s: (i) E x iste u m a ú n ica so lu çã o, d izem o s q u e o sistem a é co m p a tív el. (ii) E x istem in fi n ita s so lu çõ es, i,é., o sistem a é in d eterm in a d o. (iii) NÃ O ex iste so lu çã o, d izem o s q u e o sistem a é in co m p a tív el. D en o ta n d o p o r A [a ij m n a m a triz a sso cia d a a o sistem a e p o r A a, a m a triz a m p lia d a a sso cia d a a o sistem a, tem o s o seg u in te resu lta d o. ) )

1.3. DETERMINANTES 9 T eorem a 2. T emo s o s segu in tes items. (i) O sistema tem so lu ção po sto d e A po sto d e A a. (ii) S e o po sto d e A po sto d e A a p n, en tão a so lu ção será ú n ica. (iii) S e o po sto d e A po sto d e A a p < n, en tão pod emo s esco lh er n -p in có gn itas, e as o u tras p in có gn itas serão d ad as em fu n ção d estas. O b serv ação 6. No caso (iii), d izemo s qu e o grau d e liberd ad e d o sistema é n -p. E x em p lo 2 0. S e co n sid eramo s a matriz: A a 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 2 T emo s qu e, m 3, n 3 e p 3. P o sto d e A P o sto d a matriz amp liad a 3. L ogo, o sistema associad o tem so lu ção ú n ica d ad a po r x 1 3, x 2 2, x 3 2. E x em p lo 2 1. S eja A a ( 1 0 7 10 0 1 5 6 T em-se qu e m 2, n 3 e p 2. P o sto d e A P o sto d a matriz amp liad a 2, o grau d e liberd ad e é 1, pod emo s esco lh er u ma in có gn ita e as o u tras d u as serão d ad as em fu n ção d a p rimeira, i.é., x 1 10 7x 3, x 2 6 5x 3. ) E x em p lo 2 2. C o n sid eramo s A a 1 0 7 10 0 1 5 6 0 0 0 2 m n 3, po sto d e A 2, po sto d a matriz amp liad a 3, po rtan to o sistema é in - co mpatível o u seja NA O tem so lu ção. 1.3 Determinantes 3 a L içã o (20/ 03/ 2007) ( ) a b S eja A m a triz d e o rd em 2 2, o n d e a, b, c e d R. c d D efi n im o s seu d eterm in a n te co m o o n ú m ero ad bc, d en o ta m o s A D e t(a) a b c d ad bc.

10 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES E x em p lo 2 3. D ad a A ( 2 1 1 4 ), tem-se qu e A 2 1 1 4 2 4 1 1 7. S e co n sid era m o s u m a m a triz d e o rd em 3 d a fo rm a a 11 a 12 a 13 A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 D efi n im o s o d eterm in a n te (u sa n d o a p rim eira lin h a ) co m o o n ú m ero T a m b ém A a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a D e t(a) 33 p o d e ser escrito n a fo rm a D e t(a) a 11 D e t(a 11 ) a 12 D e t(a 12 ) + a 13 D e t(a 13 ) S e u sa m o s a seg u n d a lin h a, tem o s : A a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 + a 22 a 11 a 13 a 31 a 33 a 23 a 11 a 12 a 31 a 32 o u a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 D e t(a) D e t(a) a 21 D e t(a 21 ) + a 22 D e t(a 22 ) a 23 D e t(a 23 ) O b serv ação 7. P ara calcu lar o d etermin an te d e u ma matriz pod emo s u sar qu alqu er lin h a o u co lu n a. C aso G eral : C o n sid era m o s A m a triz q u a d ra d a d e o rd em n, e seja A [a ij n n, e A ij a su b m a triz q u a d ra d a d e o rd em (n -1), o b tid a d e A retira n d o - se a i-ésim a lin h a e a j-ésim a co lu n a, ch a m a d a co m p lem en to a lg éb rico d o elem en to a ij. D efi n im o s o d eterm in a n te d a m a triz A, seg u n d o a lin h a i, p o r : D e t(a) A ( 1) i+1 a i1 D e t(a i1 ) + + ( 1) i+n a in D e t(a in )

1.4. INV ERSÃO DE MATRIZES 11 P rop ried ad es (a) S e o s elem en to s d e u m a lin h a (o u co lu n a )d e u m a m a triz sã o to d o s zero s, en tã o D e t(a) 0. (b ) S e tro ca m o s d e p o siçã o d u a s lin h a s, o d eterm in a n te tro ca d e sin a l. (c) S e m u ltip lica m o s u m a lin h a d a m a triz p o r u m a co n sta n te, o d eterm in a n te é m u ltip lica d o p o r esta co n sta n te. (d ) O d eterm in a n te d e u m a m a triz q u e tem d u a s lin h a s (co lu n a s) ig u a is é zero. (e) O d eterm in a NÃ O m u d a se so m a m o s a u m a lin h a o u tra lin h a m u ltip lica d a p o r u m a co n sta n te. (f) D e t(a B) D e t(a) D e t(b). (g ) D e t(a) D e t(a t ). 1.4 Inv ersão d e Matrizes 4 a L içã o (22/ 03/ 2007) D a d a u m a m a triz d o tip o ( ) a b A c d S e D e t(a) ad bc 0, d eseja m o s a ch a r u m a m a triz in v ersa d e A, isto é, q u erem o s d eterm in a r u m a m a triz X d e o rd em 2, ta l q u e A X X A I 2 C a lcu la n d o o p ro d u to, tem o s q u e: ( ) ( ) a b x y c d z w ( ax + bz ay + bw cx + dz cy + dw ) ( 1 0 0 1 ) R eso lv en d o a p rim eira co lu n a, ca lcu la m o s x e z, e e reso lv en d o a seg u n d a co lu n a a ch a m o s y e w. E x em p lo 2 4. A ch ar a matriz A d e o rd em 2 tal qu e A X I 2, o n d e ( ) 2 1 A 4 3 D evemo s reso lver o s sistemas segu in tes: { 2x + z 1 4x + 3z 0 { 2y + w 0 4y + 3w 1 Usan d o a teo ria d as equ açõ es lin eares, ach amo s : x 1, z -1, y -1 / 2, w 1. Definição 2 1. D ad a u ma matriz qu ad rad a d e o rd em n, ch amamo s d e in versa d e A a u ma matriz B tal qu e A B B A I n. Nesta caso, d en o tamo s B A 1 e d izemo s qu e A é u ma matriz in versível.

12 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES O b serv ação 8. S e existe a in versa, ela é ú n ica. O b serv ação 9. S e A e B são matrizes in versíveis, en tão (A B) 1 B 1 A 1. A B é in versível e O b serv ação 10. Nem tod a matriz tem in versa. O b serv ação 11. S e A é in versível, en tão D e t(a 1 ) (D e t(a)) 1. T eorem a 3. Uma matriz qu ad rad a é in versível, se e so men te se, D e t(a) 0. Neste caso, A 1 [b ij t n n, o n d e b ij ( 1)i+j D e t(a ij ) D e t(a) O b serv ação 12. S e d efi n imo s a matriz ad ju n ta d e A, d en o tad a po r A d j A, co mo a matriz tran spo sta d o s co fato res d e A, temo s qu e: A 1 1 D e t(a) (AdjA). E x em p lo 2 5. C o n sid eramo s a matriz A [ 6 2 11 4 temo s qu e D e t(a) 4 6 2 11 2 0, logo existe a matriz in versa d e A. P rimeiro calcu lamo s a matriz d o s co fato res d e A, i é., [ 6 11 2 4 logo a tran spo sta d esta matriz, o u seja, P o rtan to, A 1 1 2 [ AdjA 4 2 11 6 [ 4 2 11 6 [ 2 1 11/2 3 R E G R A DE C AM E R C o n sid era m o s o sistem a d e n -eq u a çõ es e n -in có g n ita s. a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n b 2...... a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + a nn x n b n

1.4. INV ERSÃO DE MATRIZES 13 P o d em o s escrev er n a fo rm a m a tricia l a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn x 1 x 2 x n b 1 b 2 b n O U A X B S e D e t(a) 0, en tã o A 1 ex iste e A 1 (A X) A 1 B (A 1 A) X I n X A 1 B X A 1 B. Na fo rm a m a tricia l x 1 x 2 x n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn U sa n d o a fó rm u la d a m a triz in v ersa, tem -se q u e: x 1 x 2 1 D e t(a) x n 1 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn b 1 b 2 b n o n d e ij é o d eterm in a n te d a su b -m a triz d e o rd em (n -1), co rresp o n d en te a a ij.e n tã o O U x 1 i1,2,..., n. b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n b n a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn x 1 b 1 11 +... +b n n1 D e t(a) E x em p lo 2 6. D ad o o sistema d e 3 equ açõ es e 3 in có gn itas: 2x 3y + 7z 1 x + 3z 5 2y z 0 b 1 b 2 b n a 11 a 12 b 1 a 1n a 21 a 22 b 2 a 2n a n1 a n2 b n a nn E m fo rm a g era l x i a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn

14 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES resu lta qu e D e t 2 3 7 1 0 3 0 2 1 L ogo, pod emo s u sar a regra d e C ramer, i. é., x 1 3 7 5 0 3 0 2 1 1 49, y 1 0 2 1 7 1 5 3 0 0 1 1 M AT R IZ E S E L E M E N T AR E S. 9, z 2 3 1 1 0 5 0 2 0 1 18. P a ra ca lcu la r a in v ersa d e u m a m a triz, p recisa m o s d e u m n ú m ero g ra n d e d e o p era çõ es. O p ro cesso en v o lv e a in tro d u çã o d e m a trizes elem en ta res. E x em p lo 2 7. D ad a a matriz A 1 2 4 M u ltip licamo s a p rimeira lin h a (L 1 ), po r 2 e o btemo s 2 4 8 qu e é igu al ao p rod u to. 2 0 8 0 1 0 0 0 1 1 2 4 E x em p lo 2 8. D ad a a matriz A 1 2 4 S e permu tamo s a p rimeira e su n d a lin h a d a matriz A, tem-se 1 2 4

1.4. INV ERSÃO DE MATRIZES 15 Q u e resu lta ser o p rod u to 0 1 8 1 0 0 0 0 1 1 2 4 E x em p lo 2 9. D ad a a matriz A 1 2 4 S e so mamo s à p rimeira lin h a d e A a segu n d a lin h a mu ltip licad a po r 2, o btemo s 1 4 10 qu e é o p rod u to 1 2 8 0 1 0 0 0 1 1 2 4 Definição 2 2. Uma matriz elemen tar é u ma matriz o btid a através d a ap licação d e u ma o peração elemen tar co m lin h as n a matriz id en tid ad e. T eorem a 4. S e A é u ma matriz, resu ltad o d e algu ma o peração co m lin h as d e A, é igu al ao p rod u to d a matriz elemen tar co rrespo n d en te co m a matriz A. C orolário 1. Uma matriz elemen tar E 1 é in versível e su a in versa é a matriz elemen tar E 2 qu e co rrespo n d e à o peração co m lin h as in versa d a o peração efetu ad a po r E 1. T eorem a 5. S e A é in versível, su a matriz lin h a red u zid a a fo rma escad a é a id en tid ad e. T ambém, temo s qu e A é d ad a po r u m p rod u to d e matrizes elemen tares. T eorem a 6. S e A pod e ser red u zid a à matriz id en tid ad e, po r u ma seq u ên cia d e o peraçõ es elemen tares co m lin h as, en tão A é in versível e a matriz in versa d e A é o btid a co mo u m p rod u to d e matrizes elemen tares. E x em p lo 3 0. S eja A 2 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 3

16 CAPÍTULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES J u n to à matriz A co locamo s a matriz id en tid ad e, a id éia é tran sfo rmar a matriz A n a id en tid ad e. 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 3 0 0 0 1 T rocamo s a p rimeira e segu n d a lin h a, S o mamo s à qu arta a p rimeira 1 0 1 1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 3 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 + 0 0 0 1 3 + 1 0 0 + 1 0 1 S o mamo s à segu n d a, a p rimeira mu ltip licad a po r -2 1 0 1 1 0 1 0 0 2 2 1 0 ( 2) 0 2 1 0 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 4 0 1 0 1 S u btraímo s a segu n d a lin h a d a terceira, 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 2 2 1 2 0 0 0 1 1 1 2 1 + 2 0 1 0 + 2 1 0 1 0 1 4 0 1 0 1 M u d amo s o sin al d a terceira lin h a 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 2 2 1 2 0 0 0 0 1 3 1 2 1 0 0 0 1 4 0 1 0 1 D epo is trabalh amo s co n ven ien temen te co m a qu arta lin h a 1 0 0 0 3 3 3 2 0 1 0 0 5 6 2 4 0 0 1 0 4 5 4 3 0 0 0 1 1 1 1 1

1.4. INV ERSÃO DE MATRIZES 17 D ed u zimo s qu e A 1 3 3 3 2 5 6 2 4 4 5 4 3 1 1 1 1