MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
|
|
|
- Ηιονη Κοντόσταυλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
2 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15
3 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda m n je izraz koji ima m vrsta i n kolona: a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn ili kraće [a ij ] m n, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n.
4 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda m n je izraz koji ima m vrsta i n kolona: a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn ili kraće [a ij ] m n, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Kvadratna matrica je matrica koja ima isti broj vrsta i kolona: m = n.
5 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda m n je izraz koji ima m vrsta i n kolona: a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn ili kraće [a ij ] m n, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Kvadratna matrica je matrica koja ima isti broj vrsta i kolona: m = n. Nula matrica je matrica čiji su svi elementi 0.
6 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda m n je izraz koji ima m vrsta i n kolona: a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn ili kraće [a ij ] m n, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Kvadratna matrica je matrica koja ima isti broj vrsta i kolona: m = n. Nula matrica je matrica čiji su svi elementi 0. Jedinična matrica je kvadratna matrica čiji su elementi na glavnoj dijagonali 1, a svi ostali elementi su 0. Označava se sa I.
7 Operacije sa matricama (Matrice i determinante) 3 / 15
8 (Matrice i determinante) 3 / 15 Operacije sa matricama [a ij ] m n ± [b ij ] m n = [a ij ± b ij ] m n
9 (Matrice i determinante) 3 / 15 Operacije sa matricama [a ij ] m n ± [b ij ] m n = [a ij ± b ij ] m n α [a ij ] m n = [α a ij ] m n
10 (Matrice i determinante) 3 / 15 Operacije sa matricama [a ij ] m n ± [b ij ] m n = [a ij ± b ij ] m n α [a ij ] m n = [α a ij ] m n [a ij ] m n [b ij ] n p = [c ij ] m p, gde je c ij = n k=1 a ikb kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj
11 (Matrice i determinante) 3 / 15 Operacije sa matricama [a ij ] m n ± [b ij ] m n = [a ij ± b ij ] m n α [a ij ] m n = [α a ij ] m n [a ij ] m n [b ij ] n p = [c ij ] m p, gde je c ij = n k=1 a ikb kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj Transponovana matrica matrice A = [a ij ] m n je matrica A t = [a ji ] n m (tj. dobija se od matrice A zamenom mesta vrsta i kolona).
12 Zadaci (1) (Matrice i determinante) 4 / 15
13 (Matrice i determinante) 4 / 15 Zadaci (1) Zadatak 14. Izračunati (2a 12 a 43 ) a 31 + a 41 a 22 a 34, ako je matrica A =
14 (Matrice i determinante) 4 / 15 Zadaci (1) Zadatak 14. Izračunati (2a 12 a 43 ) a 31 + a 41 a 22 a 34, ako je matrica A = Zadatak 15. Izračunati C = 2A 2 3A t + 4I ako je A =
15 Zadaci (2) (Matrice i determinante) 5 / 15
16 Zadaci (2) Zadatak 17. Pomnožiti date matrice redosledom koji je moguć: [ ] A =, B = , C = (Matrice i determinante) 5 / 15
17 (Matrice i determinante) 5 / 15 Zadaci (2) Zadatak 17. Pomnožiti date matrice redosledom koji je moguć: [ ] A =, B = , C = Zadatak 21. Date su matrice A = 1 3 1, P = [ ], Q = Izračunati PAQ i A 3PAQ + 2A I.
18 Determinante (Matrice i determinante) 6 / 15
19 (Matrice i determinante) 6 / 15 Determinante Za kvadratnu matricu A = [a ij ] n n definišemo determinantu A (ili det A).
20 (Matrice i determinante) 6 / 15 Determinante Za kvadratnu matricu A = [a ij ] n n definišemo determinantu A (ili det A). Red determinante A jednak je redu matrice A (odnosno broju vrsta (kolona) matrice A).
21 (Matrice i determinante) 6 / 15 Determinante Za kvadratnu matricu A = [a ij ] n n definišemo determinantu A (ili det A). Red determinante A jednak je redu matrice A (odnosno broju vrsta (kolona) matrice A). Determinanta je broj i izračunava se na sledeći način:
22 (Matrice i determinante) 6 / 15 Determinante Za kvadratnu matricu A = [a ij ] n n definišemo determinantu A (ili det A). Red determinante A jednak je redu matrice A (odnosno broju vrsta (kolona) matrice A). Determinanta je broj i izračunava se na sledeći način: reda 2: a b c d = ad bc
23 (Matrice i determinante) 6 / 15 Determinante Za kvadratnu matricu A = [a ij ] n n definišemo determinantu A (ili det A). Red determinante A jednak je redu matrice A (odnosno broju vrsta (kolona) matrice A). Determinanta je broj i izračunava se na sledeći način: reda 2: a b c d = ad bc reda 3 (Sarusovo pravilo): a b c a b d e f d e = aei + bfg + cdh (gec + hfa + idb) g h i g h
24 (Matrice i determinante) 7 / 15 reda n (razvijanje determinante po i-toj vrsti ili j-toj koloni): a 11 a a 1n a 21 a a 2n..... = a. i1 A i1 + a i2 A i a in A in a n1 a n2... a nn ili a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn = a 1j A 1j + a 2j A 2j a nj A nj
25 (Matrice i determinante) 7 / 15 reda n (razvijanje determinante po i-toj vrsti ili j-toj koloni): a 11 a a 1n a 21 a a 2n..... = a. i1 A i1 + a i2 A i a in A in a n1 a n2... a nn ili a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn Osobine determinanti: = a 1j A 1j + a 2j A 2j a nj A nj αa = α n A AB = A B A t = A
26 Zadaci (3) (Matrice i determinante) 8 / 15
27 (Matrice i determinante) 8 / 15 Zadaci (3) Zadatak. Izračunati
28 (Matrice i determinante) 8 / 15 Zadaci (3) Zadatak. Izračunati Zadatak. Izračunati
29 (Matrice i determinante) 8 / 15 Zadaci (3) Zadatak. Izračunati Zadatak. Izračunati Zadatak 10. Izračunati
30 Inverzna matrica (Matrice i determinante) 9 / 15
31 (Matrice i determinante) 9 / 15 Inverzna matrica Za kvadratnu matricu A = [a ij ] n n dalje definišemo
32 (Matrice i determinante) 9 / 15 Inverzna matrica Za kvadratnu matricu A = [a ij ] n n dalje definišemo glavni minor M ij (determinanta podmatrice matrice A koja se dobija izbacivanjem i-te vrste i j-te kolone iz A)
33 (Matrice i determinante) 9 / 15 Inverzna matrica Za kvadratnu matricu A = [a ij ] n n dalje definišemo glavni minor M ij (determinanta podmatrice matrice A koja se dobija izbacivanjem i-te vrste i j-te kolone iz A) kofaktor A ij elementa a ij matrice A A ij = ( 1) i+j M ij
34 (Matrice i determinante) 9 / 15 Inverzna matrica Za kvadratnu matricu A = [a ij ] n n dalje definišemo glavni minor M ij (determinanta podmatrice matrice A koja se dobija izbacivanjem i-te vrste i j-te kolone iz A) kofaktor A ij elementa a ij matrice A adjungovanu matricu A = [A ij ] t A ij = ( 1) i+j M ij
35 (Matrice i determinante) 9 / 15 Inverzna matrica Za kvadratnu matricu A = [a ij ] n n dalje definišemo glavni minor M ij (determinanta podmatrice matrice A koja se dobija izbacivanjem i-te vrste i j-te kolone iz A) kofaktor A ij elementa a ij matrice A adjungovanu matricu A = [A ij ] t A ij = ( 1) i+j M ij Inverzna matrica kvadratne matrice A je matrica A 1 za koju važi: A A 1 = A 1 A = I
36 (Matrice i determinante) 9 / 15 Inverzna matrica Za kvadratnu matricu A = [a ij ] n n dalje definišemo glavni minor M ij (determinanta podmatrice matrice A koja se dobija izbacivanjem i-te vrste i j-te kolone iz A) kofaktor A ij elementa a ij matrice A adjungovanu matricu A = [A ij ] t A ij = ( 1) i+j M ij Inverzna matrica kvadratne matrice A je matrica A 1 za koju važi: A A 1 = A 1 A = I Potreban i dovoljan uslov za postojanje inverzne matrice je A 0 (u tom slučaju matricu A nazivamo regularnom).
37 (Matrice i determinante) 9 / 15 Inverzna matrica Za kvadratnu matricu A = [a ij ] n n dalje definišemo glavni minor M ij (determinanta podmatrice matrice A koja se dobija izbacivanjem i-te vrste i j-te kolone iz A) kofaktor A ij elementa a ij matrice A adjungovanu matricu A = [A ij ] t A ij = ( 1) i+j M ij Inverzna matrica kvadratne matrice A je matrica A 1 za koju važi: A A 1 = A 1 A = I Potreban i dovoljan uslov za postojanje inverzne matrice je A 0 (u tom slučaju matricu A nazivamo regularnom). Važi: A 1 = 1 A A
38 Zadaci (4) (Matrice i determinante) 10 / 15
39 (Matrice i determinante) 10 / 15 Zadaci (4) Zadatak 23. Izračunati determinantu i inverznu matricu matrice A =
40 (Matrice i determinante) 10 / 15 Zadaci (4) Zadatak 23. Izračunati determinantu i inverznu matricu matrice A = Zadatak 27 (i). Za matricu A 3 3 = naći inverznu matricu A 1 = [a ij ] i,j=1,2,3 i upisati tražene članove. a 12 = a 21 = a 23 = a 32 =
41 Matrične jednačine (Matrice i determinante) 11 / 15
42 (Matrice i determinante) 11 / 15 Matrične jednačine I slučaj A X = B
43 (Matrice i determinante) 11 / 15 Matrične jednačine I slučaj A X = B A 1 / A X = B
44 (Matrice i determinante) 11 / 15 Matrične jednačine I slučaj A X = B A 1 / A X = B X = A 1 B
45 (Matrice i determinante) 11 / 15 Matrične jednačine I slučaj A X = B A 1 / A X = B X = A 1 B II slučaj X A = B
46 (Matrice i determinante) 11 / 15 Matrične jednačine I slučaj A X = B A 1 / A X = B X = A 1 B II slučaj X A = B X A = B / A 1
47 (Matrice i determinante) 11 / 15 Matrične jednačine I slučaj A X = B A 1 / A X = B X = A 1 B II slučaj X A = B X A = B / A 1 X = B A 1
48 (Matrice i determinante) 12 / 15 Zadaci (5) Rešiti matrične jednačine:
49 (Matrice i determinante) 12 / 15 Zadaci (5) Rešiti matrične jednačine: Zadatak 31. AX = B, ako je A = [ ] i B = [ 2 0 ].
50 Zadaci (5) Rešiti matrične jednačine: [ ] 1 2 Zadatak 31. AX = B, ako je A = i B = 6 3 [ 3 5 Zadatak 33. AX 2X = B, ako je A = 1 1 [ 2 0 ]. ] [ i B = ]. (Matrice i determinante) 12 / 15
51 Zadaci (5) Rešiti matrične jednačine: [ ] 1 2 Zadatak 31. AX = B, ako je A = i B = 6 3 [ 3 5 Zadatak 33. AX 2X = B, ako je A = 1 1 Zadatak 34. X 2XA = B, ako je A = [ [ 2 0 ]. ] [ i B = ] [ i B = ]. ]. (Matrice i determinante) 12 / 15
52 Zadaci (5) Rešiti matrične jednačine: [ ] 1 2 Zadatak 31. AX = B, ako je A = i B = 6 3 [ 3 5 Zadatak 33. AX 2X = B, ako je A = 1 1 Zadatak 34. X 2XA = B, ako je A = Zadatak 35. XA = B, ako je A = [ [ 2 0 ]. ] [ i B = ] [ i B = i B = [ ]. ]. ]. (Matrice i determinante) 12 / 15
53 (Matrice i determinante) 13 / 15 Zadaci (6) Koje su od sledećih operacija definisane ako su
54 (Matrice i determinante) 13 / 15 Zadaci (6) Koje su od sledećih operacija definisane ako su [ ] [ ] Z. 40. A =, B =, C = , D = [ 2 1 ] i E = [ 0 1 ]? a) E A b) ED AC c) (EB 1 ) 1 d) B A C e) A t C f) C 2 g) C I h) ED + CA AC
55 (Matrice i determinante) 13 / 15 Zadaci (6) Koje su od sledećih operacija definisane ako su [ ] [ ] Z. 40. A =, B =, C = , D = [ 2 1 ] i E = [ 0 1 ]? a) E A b) ED AC c) (EB 1 ) 1 d) B A C e) A t C f) C 2 g) C I h) ED + CA AC Z. 49. A= E = ,B= [ 1 2 3,C= ] [ 8 3,D= 4 1? a) D C b) (DC)t B c) D 2 d) A B C t e) A t B f) ABCE g) D I h) AB EE t ] i
56 Zadaci (7) (Matrice i determinante) 14 / 15
57 (Matrice i determinante) 14 / 15 Zadaci (7) Zadatak 45. Naći inverznu matricu za matricu A = 1 a a a
58 Zadaci (8) (Matrice i determinante) 15 / 15
59 (Matrice i determinante) 15 / 15 Zadaci (8) Zadatak (SLJ) 50. Dat je sistem: x + y z = 3 2x + y 2z = 1 2x y 3z = 4.
60 (Matrice i determinante) 15 / 15 Zadaci (8) Zadatak (SLJ) 50. Dat je sistem: x + y z = 3 2x + y 2z = 1 2x y 3z = 4. (i) Zapisati sistem u matričnom obliku A x = b.
61 (Matrice i determinante) 15 / 15 Zadaci (8) Zadatak (SLJ) 50. Dat je sistem: x + y z = 3 2x + y 2z = 1 2x y 3z = 4. (i) Zapisati sistem u matričnom obliku A x = b. (ii) Izračunati determinantu matrice A.
62 (Matrice i determinante) 15 / 15 Zadaci (8) Zadatak (SLJ) 50. Dat je sistem: x + y z = 3 2x + y 2z = 1 2x y 3z = 4. (i) Zapisati sistem u matričnom obliku A x = b. (ii) Izračunati determinantu matrice A. (iii) Izračunati inverznu matricu A 1 = [a ij ] i,j=1,2,3.
63 (Matrice i determinante) 15 / 15 Zadaci (8) Zadatak (SLJ) 50. Dat je sistem: x + y z = 3 2x + y 2z = 1 2x y 3z = 4. (i) Zapisati sistem u matričnom obliku A x = b. (ii) Izračunati determinantu matrice A. (iii) Izračunati inverznu matricu A 1 = [a ij ] i,j=1,2,3. (iv) Naći rešenje polaznog sistema.
4 Matrice i determinante
4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Determinante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
UNIVERZITET SINGIDUNUM. Doc. dr Ivana Kova evi MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA. Prvo izdanje. Beograd, 2010.
UNIVERZITET SINGIDUNUM Doc dr Ivana Kova evi MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Prvo izdanje Beograd, 00 MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Autor: Doc dr Ivana Kova evi Recenzent: Prof dr Nenad Caki Izdava : UNIVERZITET
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.
Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Sistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Linearna algebra i geometrija
Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012. Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 2.1 Pojam matrice..........................
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Riješeni zadaci: Linearna algebra
Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
March 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru
Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Stabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja
Stabilnost linearnih sistema automatskog upravljanja Najvažnija osobina SAU jeste stabilnost. Generalni zahtev koji se postavlja pred projektanta jeste da projektovani i realizovani SAU bude stabilan (u
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
![matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):](/thumbs/87/96579490.jpg "matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):")
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Gausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli
Gausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli Sistem Rexee sistema linearnih jednaqina a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 +
Zbirka zadataka iz Matematike I
UNIVERITET U NOVOM SADU TEHNOLOŠKI FAKULTET Tatjana Došenović Dušan Rakić Aleksandar Takači Mirjana Brdar birka zadataka iz Matematike I - za studente Tehnološkog fakulteta - Novi Sad, 008. UNIVERITET
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Matematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati:
Staša Vujičić Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati: pseudo jezikom prirodnim jezikom dijagramom toka. 2
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
1 Matematička logika. 1.1 Iskazni račun
1 Matematička logika 1.1 Iskazni račun Iskaz je suvisla rečenica za koju se može utvrditi da li je tačna ili netačna. Iskaze obeležavamo slovima p, q,... Vrednost iskaza v(p) {, }, redom tačno i netačno.
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Algebarske strukture
i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 4 Algebra matrica. Inverzna matrica. Determinanta Lekcije iz Matematike 1. 4. Algebra matrica. Inverzna matrica. Determinanta I. Naslov i obja²njenje naslova
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Uvod i vektorski prostori
ЛИНЕАРНА АЛГЕБРА припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или
Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala