1. Ma trận A = Ký hiệu tắt A = [a ij ] m n hoặc A = (a ij ) m n

Transcript

1 Cơ sở Toán 1 Chương 2: Ma trận - Định thức GV: Phạm Việt Nga Bộ môn Toán, Khoa CNTT, Học viện Nông nghiệp Việt Nam Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 1 / 22

2 Mục lục 1 Ma trận 2 Định thức 3 Ma trận nghịch đảo Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 2 / 22

3 Ma trận Mục lục 1 Ma trận 2 Định thức 3 Ma trận nghịch đảo Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 3 / 22

4 Ma trận 1. Ma trận Định nghĩa Cho m, n N. Một bảng gồm m.n số thực được xếp thành m hàng, n cột được gọi là một ma trận thực (ma trận) cấp (cỡ) m n. Ký hiệu: a a 1j... a 1n a a 1j... a 1n A = a i1... a ij... a in hoặc A = a i1... a ij... a in a m1... a mj... a mn a m1... a mj... a mn Ký hiệu tắt A = [a ij ] m n hoặc A = (a ij ) m n Ký hiệu ma trận bởi các chữ in A, B, C,... a ij : ký hiệu của phần tử nằm ở hàng i, cột j của ma trận A. Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 4 / 22

5 Ma trận [ ] ai1... a ij... a in : ma trận hàng thứ i (hàng thứ i, vectơ hàng thứ i), a 1j. a ij : ma trận cột thứ j (cột thứ j, vectơ cột thứ j).. a mj Ma trận chuyển vị Ma trận A = [a ij ] m n. Ma trận chuyển vị của A là A t = [a ji ] n m, a a 1j... a a a i1... a m1 1n A = a i1... a ij... a in At = a 1j... a ij... a mj..... a m1... a mj... a mn a 1n... a in... a mn Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 5 / 22

6 Ma trận 2. Một số ma trận đặc biệt Ma trận không Ma trận cấp m n có tất cả các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không cấp m n, ký hiệu O m n hoặc O. Ma trận vuông Ma trận gồm n hàng, n cột được gọi là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A n thay cho A n n. Với A = [a ij ] n n, a 11, a 22,..., a nn : các phần tử chéo của ma trận A (nằm trên đường chéo chính); tr(a) = a 11 + a a nn gọi là vết của ma trận A; nếu a ij = a ji, i, j thì A là ma trận đối xứng. Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 6 / 22

7 Ma trận Ma trận chéo Ma trận A = [a ij ] n n vuông cấp n có a ij = 0, i j được gọi là ma trận chéo cấp n. Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử chéo bằng 1, tất cả các phần tử còn lại bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu I n hoặc đơn giản là I. Ma trận tam giác Ma trận tam giác trên: A = [a ij ] n n vuông cấp n có a ij = 0, i > j. Ma trận tam giác dưới: A = [a ij ] n n vuông cấp n có a ij = 0, i < j. Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 7 / 22

8 Ma trận Cho ma trận A = [a ij ] m n. Nếu mọi phần tử ở hàng thứ k của A đều bằng 0 thì gọi hàng này là hàng không hoặc hàng tầm thường. Nếu hàng k của A không phải hàng tầm thường và phần tử khác không đầu tiên của hàng k thuộc cột j của ma trận A thì nói hàng k có bậc j. Ma trận dạng bậc thang Ma trận A = [a ij ] m n được gọi là ma trận dạng bậc thang nếu thỏa mãn: Các hàng tầm thường (nếu có) nằm dưới các hàng không tầm thường; Các hàng không tầm thường có bậc tăng thực sự kể từ trên xuống. Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 8 / 22

9 Ma trận 3. Các phép toán với ma trận Phép cộng các ma trận cùng cấp Cho A = [a ij ] m n và B = [b ij ] m n. Tổng của hai ma trận A và B là ma trận C = A + B = [c ij ] m n với c ij = a ij + b ij Phép nhân một số thực với một ma trận Cho α R và A = [a ij ] m n. Tích của số thực α với ma trận A là ma trận cùng cấp với A, ký hiệu αa, có phần tử ở hàng i cột j là αa ij. Phép nhân ma trận hàng với ma trận cột Cho A = [a 1j ] 1 n và B = [b j1 ] n 1. Tích của ma trận hàng A và ma trận cột B (theo thứ tự đó) là ma trận ký hiệu A.B (hoặc AB) có duy nhất một phần tử là c = a 11 b 11 + a 12 b a 1n b n1 = n a 1j b j1 j=1 Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 9 / 22

10 Ma trận Phép nhân hai ma trận Cho A = [a ij ] m n và B = [b jk ] n p (m, n, p N). Tích của ma trận A và ma trận B (theo thứ tự đó) là ma trận ký hiệu A.B (hoặc AB) cấp m p, với phần tử ở hàng i cột k là c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k + + a in b nk = n a ij b jk Chú ý j=1 Chỉ có tích hai ma trận AB khi số cột của ma trận A=số hàng của ma trận B Khi A là ma trận cấp m n, B là ma trận cấp n p thì tích AB là ma trận cấp m p. Tích của hai ma trận không có tính chất giao hoán. Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 10 / 22

11 Ma trận Một số tính chất 1 A + (B + C) = (A + B) + C, A, B, C là các ma trận cùng cấp. 2 A + B = B + A, A, B là hai ma trận cùng cấp 3 A + O = O + A = A, A 4 α(a + B) = αa + αb, A, B cùng cấp và α R 5 (α + β)a = αa + βa, A, α, β R 6 0.A = O; 1.A = A, A 7 A(BC) = (AB)C, A, B, C thỏa mãn điều kiện tồn tại tích ma trận. 8 A(B + C) = AB + AC, A, B, C thỏa mãn điều kiện tồn tại tổng, tích ma trận. 9 O m n.a n p = O m p ; A m n.o n p = O m p 10 I m.a m n = A m n = A m n.i n Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 11 / 22

12 Định thức Mục lục 1 Ma trận 2 Định thức 3 Ma trận nghịch đảo Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 12 / 22

13 Định thức 1. Định nghĩa (Chú ý: Chỉ có định nghĩa định thức của ma trận vuông) Định thức của ma trận vuông cấp một Cho ma trận A vuông cấp một, A = [a]. Định thức của ma trận A ký hiệu là det A hoặc A là số a. Định thức của ma trận vuông cấp hai [ ] a11 a Cho ma trận A vuông cấp hai, A = 12 a 21 a 22 Định thức của ma trận A ký hiệu det A hoặc A hoặc a 11 a 12 a 21 a 22 là số a 11 a 22 a 12 a 21. Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 13 / 22

14 Định thức Ma trận con của ma trận Mt A vuông cấp n, A = [a ij ] n n. Xóa đi hàng i và cột j của A, a a 1j... a 1n A = a i1... a ij... a in a n1... a nj... a nn a a 1,j 1 a 1,j+1... a 1n M ij = a i 1,1... a i 1,j 1 a i 1,j+1... a i 1,n a i+1,1... a i+1,j 1 a i+1,j+1... a i+1,n a n1... a n,j 1 a n,j+1... a nn M ij (vuông cấp (n 1)) được gọi là ma trận con của ma trận A ứng với phần tử a ij. Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 14 / 22

15 Định thức Định nghĩa định thức cấp n Cho ma trận A vuông cấp n, A = [a ij ] n n. a a 1n Định thức của ma trận A, ký hiệu A hoặc det A hoặc....., là a n1... a nn số cho bởi công thức a a 1n A = det A =.... n. = ( 1) 1+j a 1j det M 1j a n1... a nn j=1 (Nếu det A 0 ta nói ma trận A không suy biến) Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 15 / 22

16 Định thức 2. Một số tính chất cơ bản A = [a ij ] n n vuông cấp n. 1) Công thức khai triển định thức theo cột 1: det A = n a i1 ( 1) i+1 det M i1 i=1 2) det A t = det A. HQ: Nếu một phát biểu về định thức đã đúng với hàng thì cũng đúng khi trong phát biểu ta thay "hàng" bởi "cột". 3) Đổi chỗ hai hàng i và k của ma trận A cho nhau (i k), ta được ma trận B có det B = det A. 4) Nếu ma trận A có hai hàng giống nhau thì det A = 0. 5) Công thức khai triển định thức theo hàng i, det A = n a ij ( 1) i+j det M ij j=1 6) Nếu ma trận A có chứa hàng không thì det A = 0. Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 16 / 22

17 Định thức 2. Một số tính chất cơ bản (tiếp) 7) Nhân hàng i của ma trận A với số thực α ta được ma trận B có det B = α det A. HQ 1: Nếu ma trận A có hai hàng tỷ lệ thì det A = 0. HQ 2: det (α A) = α n det A 8) Nếu hàng thứ i của ma trận A viết được ở dạng a ij = b ij + c ij thì det A = det B + det C, trong đó B, C là hai ma trận được thành lập từ ma trận A bằng cách thay hàng thứ i của A bởi hàng có các phần tử là b ij, c ij tương ứng. 9) Nếu cộng α lần hàng i vào hàng k (i k) thì được ma trận B có det B = det A. HQ: det A không thay đổi khi cộng vào một hàng của A một tổ hợp tuyến tính của các hàng khác. 10) Khi A là ma trận tam giác thì det A = a 11 a 22 a nn. HQ: det I n = 1. 11) det (AB) = (det A).(det B) Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 17 / 22

18 Định thức 3. Các phương pháp tính định thức 1 Phương pháp khai triển. Phần bù đại số của phần tử a ij là: A ij = ( 1) i+j det M ij Công thức khai triển det A = n a ij A ij = n a ij A ij j=1 i=1 2 Phương pháp biến đổi về dạng tam giác nhờ các biến đổi sơ cấp trên ma trận. Biến đổi sơ cấp trên ma trận Đổi chỗ hai hàng (cột). Nhân 1 hàng (cột) với một số α 0. Cộng vào 1 hàng (cột) một bội của hàng (cột) khác. Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 18 / 22

19 Ma trận nghịch đảo Mục lục 1 Ma trận 2 Định thức 3 Ma trận nghịch đảo Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 19 / 22

20 Ma trận nghịch đảo 1. Ma trận nghịch đảo (Chú ý: Chỉ đề cập tới ma trận vuông.) Định nghĩa Cho ma trận A vuông cấp n, I là ma trận đơn vị cấp n. Nếu có ma trận B vuông cấp n sao cho AB = BA = I thì nói ma trận A khả nghịch và gọi B là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Ký hiệu ma trận nghịch [ đảo ] của ma trận [ A là ] A Ví dụ 1: Cho A = và B =. Tính tích AB và BA Từ đó cho biết ma trận A có khả nghịch không? Chỉ ra ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A Ví dụ 2: Tiếp tục với A = và B = Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 20 / 22

21 Ma trận nghịch đảo 2. Tính chất 1 Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A (nếu có) là duy nhất. 2 Nếu ma trận A vuông cấp n có ma trận nghịch đảo A 1 thì det A 0 và det A 1 = 1 det A 3 Nếu ma trận A vuông có det A 0 thì A khả nghịch và A 11 A A n1 A 1 = 1 det A A = 1 A 12 A A n2 det A A 1n A 2n... A nn Ma trận A = [A ij ] t được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. 4 Nếu A, B là hai ma trận vuông cùng cấp khả nghịch thì tích AB cũng khả nghịch và (AB) 1 = B 1 A 1 5 Nếu A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn AB = I (hoặc BA = I ) thì A khả nghịch và B = A 1. Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 21 / 22

22 Ma trận nghịch đảo 3. Cách tìm ma trận nghịch đảo A = [a ij ] vuông cấp n. 1 Tính det A. Nếu det A = 0, kết luận A không khả nghịch DỪNG. Nếu det A 0 chuyển sang bước 2. 2 Tính các phần bù đại số A ij = ( 1) i+j det M ij của các phần tử a ij. Lập ma trận phụ hợp A 11 A A n1 A A 12 A A n2 = A 1n A 2n... A nn Suy ra A 1 = 1 det A A Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 22 / 22