ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 519.632.4, 532.516.5 c À. À. Ôîìèí, Ë. Í. Ôîìèíà ÈÑËÅÍÍÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÒÅ ÅÍÈSS ÂSSÇÊÎÉ ÍÅÑÆÈÌÀÅÌÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ È ÒÅÏËÎÎÁÌÅÍÀ Â ÏËÎÑÊÎÌ ÊÀÍÀËÅ Ñ ÎÁÐÀÒÍÛÌ ÓÑÒÓÏÎÌ Â àáîòå àññìàò èâà òñß åçóëüòàòû å åíèß çàäà è ñòàöèîíà íîãî òå åíèß âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â ïëîñêîì êàíàëå ñ îá àòíûì óñòóïîì è ï îã åâàåìîé íèæíåé ñòåíêîé â è îêîì äèàïàçîíå èñëà Ðåéíîëüäñà 100 Re 1000 è ïà àìåò à àñ è åíèß ïîòîêà 1.11 ER 10.Èññëåäîâàíèå âûïîëíåíî ïóòåì èñëåííîãî èíòåã è îâàíèß ñèñòåìû äâóìå íûõ ó àâíåíèé Íàâüå Ñòîêñà â ïå åìåííûõ ñêî îñòü äàâëåíèå íà àâíîìå íûõ ñåòêàõ ñ àãîì 1/300.Äîñòîâå íîñòü ïîëó åííûõ åçóëüòàòîâ ïîäòâå æäàåòñß èõ ñ àâíåíèåì ñ ëèòå àòó íûìè äàííûìè. Ï èâîäßòñß ïîä îáíûå êà òèíû òå åíèß è ïå åã åâà æèäêîñòè â çàâèñèìîñòè îò äâóõ îñíîâíûõ ïà àìåò îâ çàäà è: Re è ER. Ïîêàçûâàåòñß, òî ñ îäíîâ åìåííûì îñòîì ïà àìåò îâ Re è ER ñóùåñòâåííî óñëîæíßåòñß ñò óêòó à òå åíèß μ óâåëè èâà òñß êîëè åñòâî âèõ åé è èõ àçìå û âïëîòü äî îá àçîâàíèß âèõ ß çà óñòóïîì ñ äâóìß öåíò àìè â àùåíèß.òàêæå ïîêàçûâàåòñß, òî õà àêòå íàß âûñîòà çîíû ï îã åâà òå åíèß ñëàáî çàâèñèò îò Re è ER è â êîíå íîì ñ åòå áëèæå ê âûõîäó èç êàíàëà ñîñòàâëßåò ï èáëèçèòåëüíî ïîëîâèíó åãî âûñîòû.äëß âñåõ öåíò îâ âèõ åé îï åäåëß òñß èõ îñíîâíûå õà àêòå èñòèêè: êîî äèíàòû, êñò åìóìû ôóíêöèè òîêà, çàâèõ åííîñòè.àíàëèçè óåòñß ñëîæíîå íåìîíîòîííîå ïîâåäåíèå ï îôèëåé êî ôôèöèåíòîâ ò åíèß, ñîï îòèâëåíèß è òåïëîîòäà è ( èñëà Íóññåëüòà) ïî äëèíå êàíàëà. Ïîêàçûâàåòñß, òî òè êî ôôèöèåíòû â îäèíàêîâîé ñòåïåíè ñèëüíî çàâèñßò êàê îò èñëà Ðåéíîëüäñà, òàê è îò ïà àìåò à àñ è åíèß êàíàëà, äîñòèãàß ñâîèõ ìàêñèìàëüíûõ çíà åíèé ï è ìàêñèìàëüíûõ çíà åíèßõ Re è ER. Êë åâûå ñëîâà: ó àâíåíèß Íàâüå Ñòîêñà, ïëîñêèé êàíàë ñ îá àòíûì óñòóïîì, îò ûâíîå òå åíèå. Ââåäåíèå Òå åíèß âßçêèõ æèäêîñòåé â êàíàëàõ ï è íàëè èè îò ûâîâ è ï èñîåäèíåíèé îñíîâíîãî ïîòîêà ê ñòåíêàì àññìàò èâà òñß âî ìíîãèõ òåî åòè åñêèõ è ï èêëàäíûõ çàäà àõ ãèä îäèíàìèêè. Íàèáîëåå òèïè íûì ï åäñòàâèòåëåì äàííîãî êëàññà çàäà ßâëßåòñß èññëåäîâàíèå ãèä îäèíàìèêè è òåïëîîáìåíà âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â ïëîñêîì êàíàëå ñ âíåçàïíûì àñ è åíèåì. Ýòà çàäà à õà àêòå èçóåòñß ï îñòîòîé ãåîìåò èè è, â àñòíîñòè, ôèêñè îâàííûì ïîëîæåíèåì ïå âîé òî êè îò ûâà ïîòîêà, à òàêæå çàâèñèìîñòü å åíèß, âîîáùå ãîâî ß, îò äâóõïà àìåò îâ: èñëà Ðåéíîëüäñà è ïà àìåò à àñ è åíèß êàíàëà (â ñëó àå òåïëîîáìåíà äîáàâëßåòñß åùå èñëî Ï àíäòëß). Ñ ä óãîé ñòî îíû, âà üè îâàíèå òèõ íåìíîãèõ âõîäíûõ ïà àìåò îâ ïîçâîëßåò ïîëó àòü ï èíöèïèàëüíî àçëè íûå êà òèíû îò ûâíîãî òå åíèß, õà àêòå èçó ùèåñß êîëè åñòâîì, ôî ìîé, àçìå àìè è ïîëîæåíèåì âèõ åâûõ îá àçîâàíèé, êîòî ûå ê òîìó æå ìîãóò îáëàäàòü ñëîæíîé âíóò åííåé ñò óêòó îé. Äàííàß çàäà à èìååò òàêæå âàæíîå ìåòîäîëîãè åñêîå çíà åíèå, ïîñêîëüêó íà ßäó ñ ä óãèì êëàññè åñêèì èññëåäîâàíèåì òå åíèß âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â êàâå íå ñ ïîäâèæíîé âå õíåé ê û êîé èã àåò îëü èñïûòàòåëüíîãî ñòåíäà äëß îò àáîòêè àçíîîá àçíûõ íîâîââåäåíèé â òåõíîëîãèè å åíèß çàäà âû èñëèòåëüíîé ãèä îìåõàíèêè. Àíàëèç ëèòå àòó íûõ äàííûõ ãîâî èò î òîì, òî îäíà èç îñíîâíûõ è äî ñèõ ïî íå å åííûõ â ïîëíîé ìå å ï îáëåì ìîäåëè îâàíèß âßçêèõ òå åíèé â êî îòêèõ êàíàëàõ ñîñòîèò â êî åêòíîé ïîñòàíîâêå è âû èñëèòåëüíîé åàëèçàöèè ã àíè íûõóñëîâèé íà âûõîäå èç êàíàëà. Íåóäà íûé âûáî êàê ìåñòîïîëîæåíèß âûõîäíîé ã àíèöû, òàê è ñîáñòâåííî ã àíè íûõóñëîâèé ìîæåò ï èâåñòè êàê ìèíèìóì ê ñå üåçíûì èñêàæåíèßì å åíèß è äàæå ê ï åê àùåíè ñõîäèìîñòè èòå àöèîííîãî ï îöåññà ïîñò îåíèß ñòàöèîíà íîãî å åíèß [1, 2].
èñëåííîå ìîäåëè îâàíèå òå åíèß âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 281 Â òîé ñèòóàöèè íàèáîëü ó çíà èìîñòü ï èîá åòà ò êñïå èìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèß òå åíèß âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â êàíàëàõ ñ îá àòíûì óñòóïîì êàê îáúåêòèâíûé èñòî íèê ï îâå êè äîñòîâå íîñòè òåî åòè åñêèõ ( èñëåííûõ) å åíèé çàäà è. Çäåñü íàèáîëü- ó èçâåñòíîñòü ïîëó èëè àáîòû [3,4], â êîòî ûõ, â àñòíîñòè, ïîêàçàíî, òî ï è óìå åííûõ èñëàõðåéíîëüäñà, ïîñò îåííûõïî âûñîòå îñíîâàíèß óñòóïà, àçìå âèõ ß çà óñòóïîì óâåëè- èâàåòñß ï ßìî ï îïî öèîíàëüíî îñòó Re âïëîòü äî çíà åíèé ïî ßäêà 400 800. Ï è äàëüíåé- åì ïîâû åíèè çíà åíèé Re âîçíèêà ò àñõîæäåíèß ìåæäó êñïå èìåíòàëüíûìè äàííûìè è å åíèåì äâóìå íûõ ó àâíåíèé Íàâüå Ñòîêñà, îáóñëîâëåííûå êàê ò åõìå íûìè ôôåêòàìè åàëüíûõ òå åíèé, òàê è âîçíèêíîâåíèåì ïå åõîäíîãî ëàìèíà íî-òó áóëåíòíîãî åæèìà òå åíèß. Ñ åäè áîëåå ïîçäíèõ òåî åòèêî- êñïå èìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ñëåäóåò îòìåòèòü àáîòó [5], îòëè èòåëüíîé îñîáåííîñòü êîòî îé ßâëßåòñß äîñòàòî íî è îêèé äèàïàçîí çíà- åíèé ïà àìåò à àñ è åíèß ïîòîêà ER: îò1.43 äî 4. Çäåñü è äàëåå ER =1/(1 h c /H), ãäå h c μâûñîòà îñíîâàíèß óñòóïà, H μ âûñîòà âûõîäíîãî ó àñòêà êàíàëà. Âîîáùå ãîâî ß, â áîëü èíñòâå àáîò ïà àìåò àñ è åíèß ER èìååò ôèêñè îâàííîå çíà- åíèå, àâíîå 2, èëè áëèçêó ê íåìó âåëè èíó 1.942 [2, 3, 6 11], ï è êîòî îì, êàê íåò óäíî çàìåòèòü, âûñîòà óñòóïà ñîâïàäàåò ñ âûñîòîé âõîäíîãî ó àñòêà êàíàëà. Â ßäå àáîò âåëè èíà ER âà üè óåòñß: íàï èìå, â [12] 1.33 ER 4, â [13] 1.17 ER 2, â [14] 1.5 ER 3. Íåñêîëüêî îñîáíßêîì ñòîßò èññëåäîâàíèß [15,16], â êîòî ûõ ER ôèêñè îâàíî è àâíî 1.5. òî êàñàåòñß èñëà Ðåéíîëüäñà, òî â óêàçàííûõ àáîòàõ åãî íîìèíàëüíîå çíà åíèå íå âûõîäèò çà ï åäåëû 100 Re 3000. Ï è òîì, ñ àâíèâàß åçóëüòàòû àçëè íûõ èññëåäîâàíèé ïî ïà àìåò ó Re, ñëåäóåò îá àùàòü âíèìàíèå íà õà àêòå íûé ëèíåéíûé àçìå â îï åäåëåíèè èñëà Ðåéíîëüäñà, ïîñêîëüêó òî ìîæåò áûòü êàê ïîëíàß âûñîòà êàíàëà, òàê è âûñîòà óñòóïà èëè âûñîòà âõîäíîãî ó àñòêà. Â áîëü èíñòâå àáîò â êà åñòâå îñíîâíûõ åçóëüòàòîâ å åíèß çàäà è ê îìå îáùèõêà òèí òå åíèß àññìàò èâà òñß ï îôèëè ï îäîëüíîé êîìïîíåíòû ñêî îñòè â àçëè íûõ ñå åíèßõ, àòàêæå àñï åäåëåíèß êî ôôèöèåíòîâ ò åíèß è áåç àçìå íîãî ïîòîêà òåïëà îò íèæíåé ñòåíêè ïî äëèíå êàíàëà. Ï è òîì âîï îñ ãèä îäèíàìè åñêîãî ñîï îòèâëåíèß êàíàëà äâèæåíè æèäêîñòè çà ñå åíèåì åãî âíåçàïíîãî àñ è åíèß îñòàåòñß çà àìêàìè âíèìàíèß èññëåäîâàòåëåé. Õîòß, êàçàëîñü áû, îòòàëêèâàßñü îò èçâåñòíîãî åçóëüòàòà ïî êî ôôèöèåíòó ñîï îòèâëåíèß äëß ïëîñêèõêàíàëîâ λ =24/Re [17], áûëî áû èíòå åñíî ï îñëåäèòü âîë öè àñï åäåëåíèß λ âäîëü äëèíû êàíàëà ïî ìå å óâåëè åíèß çíà åíèß ïà àìåò à àñ è åíèß ER. Â ëèòå àòó å òàêæå îòñóòñòâó ò íàèáîëåå ñëîæíûå êà òèíû òå åíèß ïî ãèä îäèíàìèêå è òåïëîîáìåíó, êîòî ûå äîëæíû âîçíèêàòü äëß îäíîâ åìåííî áîëü èõçíà åíèé Re è ER. Èñõîäß èç âû åñêàçàííîãî, öåëü íàñòîßùåé àáîòû ßâëßåòñß èññëåäîâàíèå ïà àìåò îâ ñòàöèîíà íîãî òå åíèß è òåïëîîáìåíà âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â ïëîñêîì êàíàëå ñ îá- àòíûì óñòóïîì ï è 100 Re 1000 è 1.11 ER 10. 1. Ïîñòàíîâêà çàäà è è ìåòîä å åíèß Ðàññìàò èâàåòñß òå åíèå âßçêîé òåïëîï îâîäíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â ïëîñêîì êàíàëå ñ âíåçàïíûì àñ è åíèåì è ïîäîã åâàåìîé íèæíåé ñòåíêîé. Ï è òîì ñ èòàåòñß, òî ïå åïàäû òåìïå àòó û ïîòîêà ìàëû, à îáúåìíûå ñèëû îòñóòñòâó ò. Ñîîòâåòñòâåííî, ïîëàãàåòñß, òî çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè è êî ôôèöèåíòîâ âßçêîñòè è òåïëîï îâîäíîñòè îò òåìïå àòó û ìîæíî ï åíåá å ü, òî åñòü îíè ï èíèìà òñß ïîñòîßííûìè. Ïîíßòíî, òî â àìêàõñäåëàííûõ äîïóùåíèé òåìïå àòó à æèäêîñòè íå îêàçûâàåò âëèßíèß íà åå äèíàìèêó è àñï îñò àíßåòñß ïî îáëàñòè èññëåäîâàíèß êàê ïàññèâíàß ï èìåñü. Ñõåìà ñò óêòó û òå åíèß ï åäñòàâëåíà íà èñóíêå 1. Îáîçíà åíèß ã àíèö Â1 Â6 ï èíßòû òàêèìè æå, êàê â [1]. Æèäêîñòü âòåêàåò å åç ëåâó ã àíèöó Â4, ï è òîì åå äâèæåíèå ñ èòàåòñß ïîëíîñòü àçâèòûì ïëîñêèì òå åíèåì Ïóàçåéëß ìåæäó äâóìß ïà àëëåëüíûìè ïëàñòèíàìè. Êîìïîíåíòû ñêî îñòè è òåìïå àòó û íà ã àíèöå Â6 ïîëàãà òñß íå ìåíß ùèìèñß âäîëü ãî èçîíòàëüíîé êîî äèíàòû. Îñòàëüíûå ã àíèöû êàíàëà ßâëß òñß íåï îíèöàåìûìè, ï è òîì íèæíßß ñòåíêà Â1 íàã åòà äî òåìïå àòó û T w, à ñòåíêè Â2, Â3 è Â5 òåïëîèçîëè îâàíû. Ñòàöèîíà íîå å åíèå çàäà è èùåòñß ìåòîäîì óñòàíîâëåíèß. Â ïå âûå ìîìåíòû â åìåíè ñêî îñòü
282 À. À. Ôîìèí, Ë. Í. Ôîìèíà òå åíèß íà ã àíèöå Â4 ïëàâíî óâåëè èâàåòñß îò íóëß äî ìàêñèìàëüíîãî çíà åíèß, âñëåäñòâèå åãî ïå âîíà àëüíî íåïîäâèæíàß æèäêîñòü ï èõîäèò â äâèæåíèå. Ðèñ. 1. Ñõåìà ïîòîêà â ïëîñêîì êàíàëå ñ âíåçàïíûì àñ è åíèåì è ïîäîã åâàåìîé íèæíåé ñòåíêîé ñ îáîçíà åíèåì ã àíèö îáëàñòè å åíèß, õà àêòå íûõ òî åê òå åíèß è ìà êè îâêîé âîçìîæíûõ âèõ åé Ìàòåìàòè åñêàß ïîñòàíîâêà çàäà è â áåç àçìå íîì âèäå ï åäñòàâëßåò ñîáîé ñèñòåìó íåñòàöèîíà íûõäâóìå íûõó àâíåíèé Íàâüå Ñòîêñà: u t + u u x + v u y = p ( 2 ) x + u Re 1 x 2 + 2 u y 2, v t + u v x + v v ( 2 ) y = p y + v Re 1 x 2 + 2 v y 2, u x + v y =0; ñòàöèîíà íîãî ó àâíåíèß áàëàíñà òåïëà: u θ x + v θ y = Pe 1 ( 2 ) θ x 2 + 2 θ y 2 ; íà àëüíûõóñëîâèé ï è t = 0: u = v = 0; óñëîâèé íà ã àíèöàõîáëàñòè èññëåäîâàíèß (ñì. èñ. 1): B1 (y =0,l c x L): u = v =0, θ =1; B2 (y = h c, 0 x l c ): u = v =0, θ y =0; B3 (y = H, 0 x L): u = v =0, θ y =0; B4 (x =0,h c y H): u = 6(y h c )(1 y)/(h h c ) 2, v =0, θ =0; f(t) { f(t) = 0.5 {sin [0.5π (2t/t 1 1)] + 1}, 0 t t 1 ; 1, t > t 1 ; θ B5 (x = l c, 0 y h c ): u = v =0, x =0; u B6 (x = L, 0 y H): x = v x = 2 θ x 2 =0. Çäåñü t μ â åìß; t 1 μ â åìß àçãîíà ïîòîêà íàâõîäå â êàíàë (âî âñåõ àñ åòàõï èíèìàëîñü àâíûì 1); x, y μ ñîîòâåòñòâåííî ãî èçîíòàëüíàß è âå òèêàëüíàß êîî äèíàòû; u, v μ ñîîòâåòñòâåííî ãî èçîíòàëüíàß è âå òèêàëüíàß êîìïîíåíòû âåêòî à ñêî îñòè V; p μ äàâëåíèå; θ =(T T 0 )/(T w T 0 ) μ ïå åã åâ ïîòîêà; Pe=Pr Re μ èñëî Ïåêëå; Re = UH/ν μ èñëî Ðåéíîëüäñà; Pr = ρ 0 c p ν/κ μ èñëî Ï àíäòëß; ãäå U μ ñ åäíåìàññîâàß ñêî îñòü ï èòîêà æèäêîñòè
èñëåííîå ìîäåëè îâàíèå òå åíèß âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 283 å åç ã àíèöó Â4; ν μ êèíåìàòè åñêèé êî ôôèöèåíò âßçêîñòè; ρ 0 μ ïëîòíîñòü; c p μ êî ôôèöèåíò òåïëîåìêîñòè ï è ïîñòîßííîì äàâëåíèè; κ μ êî ôôèöèåíò òåïëîï îâîäíîñòè; T 0 μ òåìïå àòó à ïîòîêà íà âõîäå â êàíàë. Ïîñêîëüêó â êà åñòâå õà àêòå íîãî àçìå à âûá àíà ïîëíàß âûñîòà êàíàëà H, òî åãî áåç àçìå íàß âûñîòà ñîîòâåòñòâåííî âñåãäà àâíà 1. Êàæäûé âà èàíò àññ èòûâàåòñß â äâà òàïà: íà ïå âîì òàïå îï åäåëß òñß äèíàìè åñêèå õà àêòå èñòèêè ïîòîêà u, v, p, à íà âòî îì μ ïîëå ïå åã åâà θ. Íà îñíîâå ïîëó åííîãî å åíèß çàäà è âû èñëß òñß àñï åäåëåíèß ïî äëèíå êàíàëà êî ôôèöèåíòîâ ò åíèß âäîëü íèæíåé è âå õíåé ñòåíîê C f, èñëà Íóññåëüòà âäîëü íèæíåé ñòåíêè Nu è êî ôôèöèåíòà ãèä- îäèíàìè åñêîãî ñîï îòèâëåíèß λ äâèæåíè æèäêîñòè. Äàííûå êî ôôèöèåíòû îï åäåëß òñß ñëåäó ùèì îá àçîì [8, 12, 14, 17]. 1. C f = τ w /(1/2ρ 0 U 2 ),ãäå τ w = ρ 0 ν( u/ n) w μíàï ßæåíèå ò åíèß íà ñòåíêå. Çäåñü ( / n) w μ ï îèçâîäíàß ïî âíå íåé ê ñòåíêå íî ìàëè. Âìåñòî C f óäîáíåå àññìàò èâàòü ï èâåäåííûé êî ôôèöèåíò ò åíèß, íå çàâèñßùèé îò èñëà Ðåéíîëüäñà Cf = C f Re/2 [14]. Â èòîãå C f =( u/ n) w. 2. Nu = αh/κ, ãäå α μ êî ôôèöèåíò òåïëîîòäà è â âû àæåíèè äëß ïîòîêà òåïëà íà ñòåíêå q w = α(t w T 0 ). Èç îï åäåëåíèé ïîòîêà òåïëà q w = κ( T/ n) w è ïå åã åâà θ íåò óäíî ïîëó èòü îêîí àòåëüíîå âû àæåíèå äëß èñëà Íóññåëüòà: Nu = ( θ/ n) w. 3. Ïî îï åäåëåíè êî ôôèöèåíò ãèä îäèíàìè åñêîãî ñîï îòèâëåíèß λ ñâßçûâàåò ïàäåíèå äàâëåíèß íà àññòîßíèè l îò âõîäà â êàíàë ñî ñêî îñòíûì íàïî îì ïî ôî ìóëå ΔP = λlρ 0 U 2 /(2H) [17], ãäå ΔP ñóòü àçíîñòü ñ åäíèõïî ïîïå å íîìó ñå åíè êàíàëà äàâëåíèé íà âõîäå â êàíàë è íà àññòîßíèè l îò íåãî. Ñëåäîâàòåëüíî, âû àæåíèå äëß λ èìååò âèä λ =(2/x) 1 0 (p (0,y) p (x, y)) dy. Â ï îöåññå ïîñò îåíèß ñòàöèîíà íîãî å åíèß ñèñòåìû ó àâíåíèé Íàâüå Ñòîêñà ìåòîäîì óñòàíîâëåíèß íà êàæäîì àãå ïî â åìåíè èñïîëüçóåòñß ò åõ àãîâûé àëãî èòì àñùåïëåíèß [18] ñ ó åòîì äâóõìîäèôèêàöèé [19]: 1) íà ïå âîì àãå àñùåïëåíèß ó èòûâàåòñß äàâëåíèå ñ ï åäûäóùåãî ñëîß ïî â åìåíè, à àçíîñòíûå ñõåìû äëß ó àâíåíèé äâèæåíèß çàïèñûâà òñß â íåßâíîì âèäå; 2) ñîîòâåòñòâåííî, íà âòî îì àãå àñùåïëåíèß çàäà à Íåéìàíà ôî ìóëè óåòñß äëß ïîï àâêè äàâëåíèß p, àâíîé àçíîñòè äàâëåíèé íà òåêóùåì è ï åäûäóùåì ñëîßõ ïî â åìåíè. Äèíàìè åñêèå õà àêòå èñòèêè ïîòîêà ñ èòà òñß íàéäåííûìè ï è âûïîëíåíèè óñëîâèß D V = u n u n 1 1 + v n v n 1 1 τ <ɛ, (1) ãäå n μ íîìå ñëîß ïî â åìåíè; u = {u ij }, v = {v ij } μ âåêòî û ñåòî íûõôóíêöèé êîìïîíåíò ñêî îñòè; τ μ àã ïî â åìåíè; ɛ μ íàïå åä çàäàííàß òî íîñòü óñòàíîâëåíèß å åíèß; i, j μ èíäåêñû ñåòî íîãî ïîê ûòèß îáëàñòè å åíèß. Ðàçíîñòíàß àïï îêñèìàöèß èñõîäíîé äèôôå åíöèàëüíîé ïîñòàíîâêè âûïîëíßåòñß ìåòîäîì êîíò îëüíîãî îáúåìà ñî âòî ûì ïî ï îñò àíñòâó è ñ ïå âûì ïî â åìåíè ïî ßäêîì àïï îêñèìàöèè ñ ï èìåíåíèåì êñïîíåíöèàëüíîãî ï îôèëß å åíèß, ï èáëèæåííîãî çàâèñèìîñòü ïßòîé ñòåïåíè [20]. Âî âñåõ àñ åòàõ èñïîëüçóåòñß àâíîìå íàß ñåòêà ñ àãîì h âäîëü îáåèõ êîî äèíàòíûõîñåé. àã ïî â åìåíè îï åäåëßëñß èç ñîîòíî åíèß τ = C min(h, Re h 2 ),ãäå C μ èñëî Êó àíòà. Ï îâåäåííûå êñïå èìåíòû ïî óñêî åíè óñòàíîâëåíèß å åíèß ïîêàçàëè, òî â äèàïàçîíå ñåòî íûõ àçáèåíèé îáëàñòè îò 1001 101 äî 5001 501 è èñëà Ðåéíîëüäñà 100 Re 1000 àã ïî â åìåíè óäàåòñß óâåëè èòü äî 0.1, ïî òîìó, êàê ñëåäóåò èç (1), ï è çíà åíèè ɛ =10 5 ïîëß êîìïîíåíò ñêî îñòè îï åäåëß òñß äî åñòîãî çíàêà âêë èòåëüíî.
284 À. À. Ôîìèí, Ë. Í. Ôîìèíà Ðàñ åòû ï îâîäßòñß ñêâîçíûì îá àçîì ïî âñåé ï ßìîóãîëüíîé îáëàñòè (0,L) (0,H), ï è òîì îáëàñòü óñòóïà (0,l c ) (0,h c ) ìîäåëè óåòñß ñ ïîìîùü ï èåìà áîëü îãî èñòî íèêà â ó àâíåíèßõ äâèæåíèß è ó àâíåíèß Ïóàññîíà äëß p [20]. Ïîäîáíûé ï èåì ïîçâîëßåò ï è èñïîëüçîâàíèè ìåòîäèêè ñêâîçíîãî ñ åòà â çà àíåå îï åäåëåííûõ ó àñòêàõ îáëàñòè å åíèß ïîëó àòü çàäàííûå âåëè èíû èñêîìûõïå åìåííûõ. Â äàííîì ñëó àå â çîíå óñòóïà ïîëàãàåòñß u = v = p = θ =0, à íà ã àíèöàõ àñ åòíîé îáëàñòè, ñîâïàäà ùèõ ñ âíå íèìè ã àíèöàìè óñòóïà: y =0, 0 x l c è y = h c, 0 x l c, äîîï åäåëåíû ê àåâûå óñëîâèß u = v = θ =0. Ï è òîì íà ëèíèßõâ2 è Â5 àçíîñòíûå ó àâíåíèß ïîëó åíû èç ïå âîíà àëüíûõê àåâûõóñëîâèé çàäà è, èíûìè ñëîâàìè, êîìïîíåíòû ñêî îñòè è ïîòîê òåïëà íà òèõòåïå ü óæå âíóò åííèõ ã àíèöàõ ïîëàãà òñß àâíûìè 0. Ïîëó åííûå àçíîñòíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåá àè åñêèõ ó àâíåíèé îòíîñèòåëüíî èñëîâûõ âåêòî îâ u, v, p = {p ij } è θ = {θ ij } å à òñß íåßâíûì èòå àöèîííûì ïîëèíåéíûì åêó åíòíûì ìåòîäîì âòî îãî ïî ßäêà, óñêî åííûì â ïîäï îñò àíñòâàõ Ê ûëîâà [21]. Ðå- åíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåá àè åñêèõ ó àâíåíèé ñ èòàåòñß íàéäåííûì ï è óñëîâèè, òî îòíîñèòåëüíîå óìåíü åíèå ïå âîé íî ìû íåâßçêè íå ï åâû àåò 10 8. Èíòå åñíî, òî ï è òîì ïå âàß íî ìà àçíîñòè äâóõñëåäó ùèõä óã çà ä óãîì âåêòî îâ ï èáëèæåíèß å åíèß íå ï åâû àåò 10 7. Âñå àñ åòû ï îâåäåíû íà PC Intel Core i5-750, 2,66 GHz, RAM 12 Gb. 2. Ðåçóëüòàòû ï îâå î íûõ àñ åòîâ Ñå èß àñ åòîâ íà àçíûõ ñåòî íûõ àçáèåíèßõ îáëàñòè å åíèß ñ àãàìè h =1/100, 1/200, 1/300, 1/400, 1/500 ï è Re = 1000, ER =2, l c =0.5, L =10ïîêàçàëà, òî äëß h = = 1/300 1/500 ã àôèêè ï îôèëåé êàê ï îäîëüíîé u, òàê è ïîïå å íîé v êîìïîíåíò ñêî îñòè ï àêòè åñêè ñîâïàäà ò ìåæäó ñîáîé. Ï è h = 1/200 îòíîñèòåëüíûå îòëè èß â ïîâåäåíèè ï îôèëåé u è v â îê åñòíîñòßõ èõ ëîêàëüíûõ êñò åìóìîâ íå ï åâû à ò 1 2 %, à ï è h = =1/100 μ 4 5 %. Ñîîòâåòñòâåííî, âñå ï åäñòàâëåííûå â íàñòîßùåé àáîòå åçóëüòàòû ïîëó åíû ï è h =1/300. Èçìåíåíèå äëèíû óñòóïà ñ l c =0.5 íà l c =1ï è ER =2,Re= 100, L =10íå ï èâåëî ê àçëè èßì â å åíèè, ïî òîìó âñå ïîñëåäó ùèå àñ åòû ï îâåäåíû ï è ôèêñè îâàííîì l c =0.5. Ñîãëàñíî ëèòå àòó íûì äàííûì àáñîë òíîå áîëü èíñòâî åçóëüòàòîâ äëß àññìàò èâàåìîé çàäà è ïîëó åíî ï è Pr = 0.71 (âîçäóõ), ïî òîìó â íàñòîßùåé àáîòå òîò ïà àìåò òàêæå íå âà üè îâàëñß. Äîñòîâå íîñòü ïîëó åííûõ å åíèé ïîäòâå æäàåòñß ñ àâíåíèßìè ñ åçóëüòàòàìè ä óãèõ èññëåäîâàòåëåé, êîòî ûå ï åäñòàâëåíû íà èñóíêå 2. Ï îôèëè ï îäîëüíîé êîìïîíåíòû ñêî îñòè u = u(y) â äâóõñå åíèßõïî x ï èâåäåíû íà èñóíêå 2,à, à çàâèñèìîñòü ãî èçîíòàëüíîãî àçìå à âèõ ß BV 1 (ñì. èñ. 1) çà óñòóïîì (x 1 l c ) îò èñëà Re μ íà èñóíêå 2,á. Âèäíî, òî ï îôèëè êîìïîíåíòû u ñîâïàäà ò ñ ã àôè åñêîé òî íîñòü. òî êàñàåòñß àçìå îâ âèõ ß çà óñòóïîì, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ íåîäíîê àòíûìè îáúßñíåíèßìè â ëèòå àòó å ï è Re 400 500 â êñïå èìåíòàõóñòîé èâî åàëèçóåòñß äâóìå íûé ëàìèíà íûé åæèì òå åíèß [3,5], òî îáúßñíßåò õî î åå ñîâïàäåíèå âñåõ ï åäñòàâëåííûõ íà èñóíêå åçóëüòàòîâ. Äàëüíåé èå àñõîæäåíèß äàííûõ ï è îñòå Re âûçâàíû íà àñòàíèåì âëèßíèé ò åõìå íûõ ôôåêòîâ è ïå- åõîäíîãî îò ëàìèíà íîãî ê òó áóëåíòíîìó åæèìà òå åíèß. Âï î åì, äëß èñòî àñ åòíûõ åçóëüòàòîâ [6, 7, 10] èìååò ìåñòî õî î åå ñîâïàäåíèå âî âñåì äèàïàçîíå èçìåíåíèß Re. Íà èñóíêå2,â ï åäñòàâëåíû ã àôèêè àñï åäåëåíèß ï èâåäåííîãî êî ôôèöèåíòà ò åíèß, à íà èñóíêå 2,ã μ èñëà Íóññåëüòà ïî äëèíå êàíàëà. Çäåñü òàêæå èìååò ìåñòî õî î åå ñîâïàäåíèå ïîëó åííûõ å åíèé ñ åçóëüòàòàìè ä óãèõàâòî îâ, õîòß è íàáë äàåòñß êîëè åñòâåííîå îòëè èå äî 15 % ñ [8] â àéîíå ìàêñèìàëüíûõçíà åíèé Nu. Ñëåäóåò çàìåòèòü, òî âñå ï èâåäåííûå ñ àâíåíèß ñ ëèòå àòó íûìè äàííûìè âûïîëíåíû â àìêàõ îáåç àçìå èâàíèß, ï èíßòîãî â íàñòîßùåé àáîòå, ïî òîìó íîìèíàëüíûå âåëè èíû ïà àìåò îâ è êîî äèíàò â î èãèíàëüíûõ àáîòàõìîãóò áûòü, âîîáùå ãîâî ß, èíûìè. 3. Îáñóæäåíèå åçóëüòàòîâ å åíèß çàäà è Èññëåäîâàíèå âëèßíèß Re è ER íà ñò óêòó ó òå åíèß è òåïëîîáìåí ï îâåäåíî ï è èõñëåäó ùèõçíà åíèßõ: Re = 100, 200, 400, 600, 800, 1000; ER =1.11, 1.43, 2, 3.33, 10. Íà èñóíêå 3
èñëåííîå ìîäåëè îâàíèå òå åíèß âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 285 Ðèñ. 2. Ñ àâíåíèå åçóëüòàòîâ ñ ëèòå àòó íûìè äàííûìè: (à) ï îôèëè ï îäîëüíîé êîìïîíåíòû ñêî îñòè ï è Re = 800, ER =2â ñå åíèßõ: 1 μ x =3.5; 2 μ x =7.5; (á) çàâèñèìîñòü äëèíû âèõ ß BV 1 îò Re ï è ER = 2: μμμ àâòî ñêèé åçóëüòàò, ----ëèòå àòó íûå äàííûå (ER = 1.942 [3, 7, 10], ER = 2[5, 6, 12]); (â) àñï åäåëåíèå ï èâåäåííîãî êî ôôèöèåíòà ò åíèß âäîëü ñòåíîê ï è ER =2: íèæíßß ñòåíêà: 1 μ Re = 400, 2 μre= 800; âå õíßß ñòåíêà: 3 μre= 400, 4 μre= 800; (ã) àñï åäåëåíèå èñëà Íóññåëüòà âäîëü íèæíåé ñòåíêè: 1 μre= 300, 2 μre= 600 ï è ER =1.5; 3 μre= 800 ï è ER =2 ï åäñòàâëåíû åçóëüòàòû âëèßíèß Re íà å åíèå çàäà è ï è ôèêñè îâàííîì ER =2. Äëß àíàëèçà êà òèíû òå åíèß óäîáíî ââåñòè ïîíßòèå îñíîâíîãî ïîòîêà μ ó àñòêà òå åíèß, çàêë - åííîãî ìåæäó äâóìß ëèíèßìè òîêà, ï îõîäßùèìè å åç òî êè (0,h c ) è (0, 1). Ïîíßòíî, òî â òîì ñëó àå æèäêîñòü, êîòî àß ïîïàäàåò â êàíàë å åç ã àíèöó Â4 è âûòåêàåò èç íåãî å- åç, âîîáùå ãîâî ß, àñòü ã àíèöû Â6 è åñòü îñíîâíîé ïîòîê. Âñå îñòàëüíûå ó àñòêè âíóò è êàíàëà μ îá àòíûé óñòóï, íèæíèå è âå õíèå ï èñòåííûå âèõ è μ åñòü ï åïßòñòâèß, îáåñïå- èâà ùèå îò ûâíîé õà àêòå òå åíèß è èã à ùèå îëü îã àíè èòåëåé àçìå à ï îïóñêíîãî ñå åíèß îñíîâíîãî ïîòîêà. Èç êà òèí ëèíèé òîêà íà èñóíêå 3 ñëåäóåò, òî ïî ìå å îñòà Re óâåëè èâàåòñß äëèíà çîíû àñ è åíèß ï îïóñêíîãî ñå åíèß îñíîâíîãî ïîòîêà îò àçìå à âõîäíîé ã àíèöû Â4 äî àçìå à âûõîäíîé ã àíèöû Â6. Â ñèëó âîç àñòà ùåé ï è óâåëè åíèè Re èíå òíîñòè òå åíèß (óìåíü åíèß âëèßíèß ñèë âßçêîñòè) ïîòîê ìåäëåííåå òî ìîçèòñß, à çíà èò, âñëåäñòâèå óñëîâèß íå àç ûâíîñòè îí äîëæåí ìåäëåííåå àñ è ßòüñß. Ýòîìó ïî ìå å îñòà èñëà Re êàê àç ñïîñîáñòâó ò âîçíèêà ùèå è óâåëè èâà ùèåñß â àçìå àõ âèõ è, êîòî ûå ñóæà ò ï îïóñêíîå ñå åíèå îñíîâíîãî ïîòîêà. òî êàñàåòñß êà òèíû ï îã åâà òå åíèß, òî çäåñü ñëåäóåò îòìåòèòü äâå çàêîíîìå íîñòè: ï è óâåëè åíèè Re (ñîîòâåòñòâåííî Pe) è èíà ï îã åòîé çîíû íà âûõîäå èç êàíàëà óìåíü àåòñß, à àçìå îáëàñòè ï îã åâà íåïîñ åäñòâåííî çà óñòóïîì óâåëè èâàåò-
286 À. À. Ôîìèí, Ë. Í. Ôîìèíà Ðèñ. 3. Ëèíèè òîêà è èçîòå ìû ïå åã åâà æèäêîñòè ï è ER =2: (à) Re = 100; (á) Re = 600; (â) Re = 1000. Ó îâíè èçîòå ì: îò 0.95 äî 0.05 ñ àãîì 0.05 ñß. Ïîñëåäíåå, åñòåñòâåííî, ñâßçàíî ñ óâåëè åíèåì àçìå îâ îáëàñòè ïå åìå èâàíèß, òî åñòü âèõ ß BV 1. Íà èñóíêå 4 ï åäñòàâëåíû åçóëüòàòû ñå èè àñ åòîâ, àíàëîãè íîé ï åäûäóùåé, îäíàêî â òîì ñëó àå â êà åñòâå âà üè óåìîé âåëè èíû âûñòóïàåò ïà àìåò àñ è åíèß ïîòîêà ER = = 1.11, 2, 10 ï è ôèêñè îâàííîì çíà åíèè èñëà Ðåéíîëüäñà Re = 400. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ï è ER = 1.11 êà òèíû òå åíèß è ïå åã åâà ïîòîêà íà àññìàò èâàåìîé äëèíå êàíàëà èìå ò ï àêòè åñêè àâòîìîäåëüíûé õà àêòå, êîòî ûå åàëèçó òñß ï è îáòåêàíèè íàã åòîé ïëàñòèíû íàáåãà ùèì â ïîëóáåñêîíå íîì ï îñò àíñòâå îäíî îäíûì ïîòîêîì [17]. Ï è ER =2 âå õíèé âèõ ü, â îòëè èå îò Re = 600 ( èñ. 3, á ), åùå íå îá àçîâàëñß, îäíàêîõà àêòå íûé èçãèá ëèíèé òîêàîêîëî âå õíåé ñòåíêè â îê åñòíîñòè x 5.0 ãîâî èò î òîì, òî â ñëó àå äàííîãî ER Re 400 ßâëßåòñß ïî îãîâûì çíà åíèåì äëß îäíîâèõ åâîé êà òèíû äâèæåíèß æèäêîñòè. Íàèáîëåå èíòå åñíîå òå åíèå èìååò ìåñòî ï è ER =10. Ñ îäíîé ñòî îíû, ôî ìè ó òñß ò è âèõ ß, àçìå û è ïîëîæåíèß äâóõèç êîòî ûõbv 1 ètv 1 ï èçâàíû ï åäîòâ àòèòü åçìå íî åçêîå àñ è åíèå îñíîâíîãî ïîòîêà. Ñ ä óãîé ñòî îíû, â ñèëó îòíîñèòåëüíî íåâûñîêîãî çíà åíèß Re òå åíèå äîñòàòî íî áûñò î òî ìîçèòñß è â àéîíå x 5.0 äâèæåíèå æèäêîñòè âûõîäèò íà áåçîò ûâíûé åæèì μ ëèíèè òîêà ï îäîëæà òñß ê âûõîäó ïà àëëåëüíî ñòåíêàì êàíàëà. Ï è òîì èç õà àêòå à êà òèíû ïå åã åâà òå åíèß ñëåäóåò, òî äàæå ï è òàêîì îòíîñèòåëüíî íåáîëü îì Re îñíîâíûì ìåõàíèçìîì ïå åíîñà òåïëà îñòàåòñß êîíâåêöèß. Ñî åòàíèå åçóëüòàòîâ å åíèß çàäà è, ï åäñòàâëåííûõíà èñóíêå 3 è èñóíêå 4, ãîâî èò
èñëåííîå ìîäåëè îâàíèå òå åíèß âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 287 Ðèñ. 4. Ëèíèè òîêà è èçîòå ìû ïå åã åâà æèäêîñòè ï è Re = 400: (à) ER =1.11; (á) ER =2; (â) ER =10. Ó îâíè èçîòå ì: îò 0.95 äî 0.05 ñ àãîì 0.05 î òîì, òî îäíîâ åìåííîå óâåëè åíèå Re è ER äî ìàêñèìàëüíûõâåëè èí Re = 1000 è ER =10 â àññìàò èâàåìûõäèàïàçîíàõèõèçìåíåíèé äîëæíî ï èâåñòè ê íàèáîëåå ñëîæíûì ñò óêòó- àì ïîëåé òå åíèß è ïå åã åâà. Äåéñòâèòåëüíî, ï èâåäåííûå íà èñóíêå 5 ïîëß ëèíèé òîêà, èçîáà ïå åïàäà äàâëåíèß è èçîëèíèé ïå åã åâà æèäêîñòè, à òàêæå óê óïíåííûé ô àãìåíò êà òèíû òå åíèß â àéîíå âèõ åé BV 1 è BV 2 ïîäòâå æäà ò òî ï åäïîëîæåíèå. Íåò óäíî âèäåòü, òî çäåñü îñíîâíîé îòëè èòåëüíîé îñîáåííîñòü äâèæåíèß æèäêîñòè ßâëßåòñß âèõ ü ñ äâóìß öåíò àìè â àùåíèß BV 1,BV 2 1 è, ñîîòâåòñòâåííî, ñåäëîâîé òî êîé ìåæäó íèìè BV x 1.Çà ñ åò áîëü îãî çíà åíèß Re îñíîâíîé ïîòîê àñ è ßåòñß ìåäëåííî, òî îáúßñíßåò êñò åìàëüíî ê óïíûå âå òèêàëüíûå àçìå û âèõ åé. Îäíàêî ïî îòíî åíè ê ñëó à Re = 1000, ER = 2 ( èñ. 3, â) èõãî èçîíòàëüíûå àçìå û çàìåòíî ìåíü å, òî ñâßçàíî ñ îòíîñèòåëüíî íåáîëü èì àñõîäîì (ñîîòâåòñòâåííî ñêî îñòíûì íàïî îì) òå åíèß íà âõîäå â êàíàë: Q =1 h c =0.1. Äëß ñ àâíåíèß ï åäñòàâëåííîå íà èñóíêå 3,â å åíèå ïîëó åíî ï è Q =0.5. Èçîáà û ïå åïàäà äàâëåíèß íà âõîäíîì ó àñòêåêàíàëà 0 x l c èíàâûõîäíîì ï è x 12 èìå ò âèä ï àêòè åñêè ïà àëëåëüíûõ îò åçêîâ ïîïå åê êàíàëà, òî ãîâî èò î àçâèòîì ïîã àíñëîéíîì õà àêòå å òå åíèß íà òèõ ó àñòêàõ äâèæåíèß æèäêîñòè. Òàêæå èíòå åñíî, òî ñ àçó çà ï àâûìè ã àíèöàìè âèõ åé BV 1, TV 1 è BV 3 â îê åñòíîñòßõ òî åê ï èñîåäèíåíèß òå åíèß (4.2, 0), (8, 1) è (10.5, 0) èìå ò ìåñòî ëîêàëüíûå ìàêñèìóìû äàâëåíèß, êîòî ûå êàê áû ï åïßòñòâó ò äàëüíåé åìó àñ è åíè âèõ åé âíèç ïî ïîòîêó. Ñëîæíàß ñò óêòó à ïîëß ïå- åã åâà íà èñóíêå 5, â, êîòî àß ñëåäóåò çà ëèíèßìè òîêà, ïîäòâå æäàåò âûâîä î å à ùåé
288 À. À. Ôîìèí, Ë. Í. Ôîìèíà Ðèñ. 5. Ëèíèè òîêà, èçîáà û ïå åïàäà äàâëåíèß p p 0 è èçîòå ìû ïå åã åâà æèäêîñòè ï è Re = 1000 è ER =10: (à) ëèíèè òîêà; (á) èçîáà û, p 0 = p(0,h c); (â) èçîòå ìû; (ã) óê óïíåííûé ô àãìåíò êà òèíû òå åíèß (ëèíèè òîêà) â àéîíå ñîï èêîñíîâåíèß îñíîâíûõ âèõ åé. Ó îâíè èçîòå ì: îò 0.95 äî 0.05 ñ àãîì 0.05 îëè êîíâåêòèâíîãî ìåõàíèçìà ïå åíîñà òåïëà â àññìàò èâàåìûõ òå åíèßõ. Îñíîâíûå ïà àìåò û öåíò îâ âûßâëåííûõ íà èñóíêàõ 3 5 âèõ åé μêîî äèíàòû (x c,y c ), êñò åìóìû ôóíêöèè òîêà ψ c, çàâèõ åííîñòè ω c μ ï èâåäåíû â òàáëèöå. Çäåñü îá àùàåò íà ñåáß âíèìàíèå íåìîíîòîííîå ïîâåäåíèå ãî èçîíòàëüíîé êîî äèíàòû x c âèõ ß BV 1 ï è ôèêñè- îâàííîì Re â çàâèñèìîñòè îò ER. Ï è ìàëûõ ER, òî åñòü ìàëûõâûñîòàõóñòóïà h c, àçìå û âèõ ß òàêæå íåâåëèêè, ñîîòâåòñòâåííî, ìàëî è x c. Ï è îñòå h c óâåëè èâàåòñß è âèõ ü BV 1, òî ï èâîäèò ê îòîäâèãàíè åãî öåíò à îò óñòóïà âíèç ïî òå åíè (óâåëè åíè x c ). Îäíàêî ï è î åíü áîëü èõ h c ìàëûé àçìå âõîäíîãî ó àñòêà êàíàëà (1 h c ) ï èâîäèò ï è ï î èõ àâíûõ óñëîâèßõ ê ïàäåíè ñêî îñòíîãî íàïî à, òî åñòü óìåíü åíè èíå öèè ïîòîêà çà ñå- åíèåì âíåçàïíîãî àñ è åíèß êàíàëà. Ñîîòâåòñòâåííî, óìåíü àåòñß ãî èçîíòàëüíûé àçìå âèõ ß, òî, åñòåñòâåííî, âëå åò óìåíü åíèå âåëè èíû x c. Íà èñóíêå 6 ï èâåäåíû çàâèñèìîñòè ãî èçîíòàëüíîãî àçìå à âèõ ß BV 1 (x 1 l c ) îò Re è ER. Âèäíî, òî åñëè ï è ôèêñè îâàííîì ER àçìå âèõ ß ìîíîòîííî àñòåò ñ óâåëè åíèåì Re ( èñ. 6, à), òî ï è ôèêñè îâàííîì Re ìàêñèìóì (x 1 l c ) ï èõîäèòñß íà äèàïàçîí ïà àìåò à àñ è åíèß 2 <ER<3, òîïîäòâå æäàåò àññóæäåíèß î ï è èíàõíåìîíîòîííîãî ïîâåäåíèß x c ïî ìå å îñòà ER. Ë áîïûòíî, òî äëß Re = 400 1000 íàèáîëåå ò óäîåìêèìè îêàçàëèñü àñ åòû ï è ER =2. Ï è ï î èõ àâíûõ óñëîâèßõ âû èñëèòåëüíîå â åìß, íåîáõîäèìîå äëß óñòàíîâëåíèß å åíèß äëß òèõâà èàíòîâ, óâåëè èâàëîñü ïî îòíî åíè ê âà èàíòàì ñ ïà àìåò îì àñ è åíèß 1.11 â 3.5 6.0 àç, à äëß ER =10μ â 1.1 1.7 àçà. Íà èñóíêå 6 òàêæå ï èâåäåíû ï èìå û ïîâåäåíèß àïï îêñèìàöèîííîé ê èâîé èç [5], ñâß-
èñëåííîå ìîäåëè îâàíèå òå åíèß âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 289 Òàáëèöà. Ïà àìåò û öåíò îâ âèõ åé äëß àçëè íûõ èñåë Ðåéíîëüäñà è ïà àìåò îâ àñ è åíèß ïîòîêà Re ER âèõ ü x c y c ψ c ω c 1.11 BV 1 0.5539 0.0485 3.12 10 4 1.1212 100 2 BV 1 1.0262 0.2836 0.0261 2.1253 10 BV 1 0.7955 0.4655 0.0097 0.7490 1.11 BV 1 0.5986 0.0589 8.60 10 4 1.6808 2 BV 1 2.2128 0.2945 0.0326 2.2313 400 BV 1 1.9736 0.3972 0.0666 1.7201 10 TV 1 3.3079 0.6751 0.1073 0.4282 BV 2 0.6504 0.1206 5.00 10 5 0.0263 1.11 BV 1 0.6085 0.0619 1.06 10 3 1.7689 BV 2 1 3.0083 0.2936 0.0331 2.2241 600 TV 1 6.5471 0.8736 0.5022 0.8279 BV 1 2.4626 0.3951 0.0762 1.8049 10 TV 1 4.2207 0.6213 0.1132 0.5511 BV 2 1.5865 0.1634 9.91 10 4 0.2310 1.11 BV 1 0.6397 0.0650 1.26 10 3 1.8878 2 BV 1 4.5562 0.2900 0.0335 2.2849 TV 1 8.8696 0.7887 0.5096 1.3050 BV 1 3.4010 0.3951 0.0846 1.9606 1000 BV 2 1 2.4218 0.6556 0.0434 2.7784 10 BV x 1 2.8248 0.6485 0.0364 2.2529 TV 1 6.1704 0.6145 0.1180 0.6822 BV 2 2.4570 0.2437 4.59 10 3 0.4869 BV 3 8.4118 0.1682 9.71 10 4 0.2084 çûâà ùåé ãî èçîíòàëüíûé àçìå âèõ ß BV 1, ïà àìåò àñ è åíèß è èñëî Ðåéíîëüäñà: x 1 l c =0.3Re 0.75 (1 1/ER) 1.75 /ER. (2) Ñîîòíî åíèå (2) çàïèñàíî â òå ìèíàõ îáåç àçìå èâàíèß íàñòîßùåé àáîòû è îòëè àåòñß îò î èãèíàëà. Ñ àâíåíèå ñ åçóëüòàòàìè ï îâåäåííûõ àñ åòîâ ïîêàçûâàåò, òî ôî ìóëà (2) õî î î âûïîëíßåòñß äëß 1.11 ER 2 âî âñåì äèàïàçîíå àññìàò èâàåìûõ èñåë Ðåéíîëüäñà. Ï è äàëüíåé åì óâåëè åíèè ER îò 2 äî 10 äèàïàçîí èñåë Re, äëß êîòî ûõ èìååò ìåñòî õî î àß ñîãëàñîâàííîñòü àñ åòíûõ äàííûõ è ôî ìóëû (2), ñîê àùàåòñß îò 100 Re 800 ï è ER =2äî 100 Re 200 ï è ER =10. Âíå òèõ äèàïàçîíîâ ïî Re àññîãëàñîâàíèå àñ åòíûõ è àïï îêñèìàöèîííûõ çíà åíèé x 1 l c ñîñòàâëßåò ñâû å 10 %, òî, â àñòíîñòè, õî î î âèäíî íà èñóíêå 6, à. Íà èñóíêå 7 ï åäñòàâëåíû àñï åäåëåíèß âäîëü íèæíåé è âå õíåé ñòåíîê êàíàëà ï èâåäåííûõ êî ôôèöèåíòîâ ò åíèß äëß àçëè íûõ ER è Re. Îá àùàåò íà ñåáß âíèìàíèå ñèëüíî íåìîíîòîííûé õà àêòå ïîâåäåíèß ê èâûõ, òî, ïî ñóòè, ßâëßåòñß îò àæåíèåì ñëîæíîé âèõ- åâîé ñò óêòó û îò ûâíîãî òå åíèß âíóò è êàíàëà. Âèäíî, òî äëß êàæäîãî ôèêñè îâàííîãî çíà åíèß ïà àìåò à àñ è åíèß ER ñîîòâåòñòâó- ùèå åìó ï îôèëè êî ôôèöèåíòà ò åíèß ï èíöèïèàëüíî îòëè à òñß ä óã îò ä óãà. Îá àòíîå
290 À. À. Ôîìèí, Ë. Í. Ôîìèíà Ðèñ. 6. Ãî èçîíòàëüíûé àçìå âèõ ß BV 1: (à) çàâèñèìîñòü x 1 l c îò Re: 1 μ ER =1.11; 2 μ ER =1.43; 3 (6) μer =2; 4 μ ER =3.33; 5 μ ER =10; (á) çàâèñèìîñòü x 1 l c îò ER: 1 μre= 100; 2 μre= 200; 3 (7) μ Re = 400; 4 μ R e = 600; 5 μ R e = 800; 6 μ R e = 1000. μμμ àâòî ñêèé åçóëüòàò, àïï îêñèìàöèß (2) óòâå æäåíèå òàêæå âå íî: ï è ôèêñè îâàííîì Re ã àôèêè Cf äëß àçíûõ ER ñèëüíî àçíßòñß. Ï è òîì àìïëèòóäà Cf íà íèæíåé ñòåíêå êàíàëà óâåëè èâàåòñß ïî ìå å îñòà ER íåçàâèñèìî îò èñëà Ðåéíîëüäñà. Íà âå õíåé ñòåíêå ñèòóàöèß ñëîæíåå: äëß Re = 1000 àìïëèòóäà Cf òàêæå óâåëè èâàåòñß âìåñòå ñ ER, à äëß Re = 100 âñå íàîáî îò. Åùå îäíî àçëè èå â ïîâåäåíèè ï èâåäåííûõêî ôôèöèåíòîâ ò åíèß çàêë àåòñß â òîì, òî íà íèæíåé ñòåíêå ìàêñèìàëüíûå àáñîë òíûå çíà åíèß Cf åàëèçó òñß ñ àçó æå çà îñíîâàíèåì óñòóïà (x = l c), â òî â åìß êàê íà âå õíåé ñòåíêå ìàêñèìàëüíûå àìïëèòóäû Cf äîñòèãà òñß íà çàìåòíîì àññòîßíèè îò óñòóïà μ â äàííîì ñëó àå òî ï îèñõîäèò ï è x>2. Íà èñóíêå 8 ï èâåäåíû àñï åäåëåíèß êî ôôèöèåíòà ãèä îäèíàìè åñêîãî ñîï îòèâëåíèß λ è èñëà Íóññåëüòà Nu ïî äëèíå êàíàëà. Â ñèëó áîëü èõ çíà åíèé λ ï è Re = 1000, ER =10ñîîòâåòñòâó ùó ê èâó íà èñóíêå 8,à ñëåäóåò îòíîñèòü ê ï àâîé îñè î äèíàò. Õî î î âèäíî, òî ã àôèêè λ(x) ï èíöèïèàëüíî ïî- àçíîìó âåäóò ñåáß íàóçêîì âõîäíîì è è îêîì âûõîäíîì ó àñòêàõêàíàëà, ï è åì â ñå åíèè âíåçàïíîãî àñ è åíèß èìååò ìåñòî ñêà îê çíà åíèß λ òåì áîëü èé, åì áîëü å âåëè èíà ER. Èíòå åñíî, òî íà âõîäíîì ó àñòêå êàíàëà (0 x 0.5 èëè lg x< 0.30) λ ï àêòè åñêè íå çàâèñèò îò x, ï è òîì åãî ñ åäíåå çíà åíèå ï èáëèçèòåëüíî àâíî 24/Re c,ãäå Re c μ èñëî Ðåéíîëüäñà, àññ èòàííîå ïî âûñîòå âõîäíîãî ó àñòêà êàíàëà. Íàï èìå, ï è Re = 100 è ER =1.11 Re c 91, îòêóäà ñëåäóåò, òî λ 0.264, à ï è Re = 1000 è ER =10Re c = 100, ñîîòâåòñòâåííî, λ =0.24, òî îáúßñíßåò äëß òèõñëó àåâ ï àêòè åñêîå ñîâïàäåíèå ê èâûõ λ(x) íà âõîäíîì ó àñòêå. È ïîñêîëüêó äëß ëàìèíà íûõ òå åíèé â ïëîñêèõ êàíàëàõ âûïîëíßåòñß çàêîí ñîï îòèâëåíèß λ =24/Re [17], òî äàííûå åçóëüòàòû ïî λ íà âõîäíîì ó àñòêå êàíàëà ßâëß òñß äîïîëíèòåëüíûì ïîäòâå æäåíèåì êî åêòíîñòè ïîëó åííûõ å åíèé çàäà è. Õà àêòå àñï åäåëåíèß Nu(x) âäîëü íèæíåé ñòåíêè êàíàëà ( èñ. 8, á ) â êà åñòâåííîì îòíî åíèè àíàëîãè åí àñï åäåëåíè Cf âäîëü âå õíåé ñòåíêè: ï è Re = 1000 åì áîëü å ER, òåì áîëü å àìïëèòóäà çíà åíèé Nu, à ï è Re = 100 âñå íàîáî îò. Òàêæå îá àùà ò íà ñåáß âíèìàíèå ñìåùåíèå ìàêñèìóìà Nu âíèç ïî ïîòîêó ñ îñòîì Re ï è ôèêñè îâàííîì ER è íåìîíîòîííîñòü ñìåùåíèß ìàêñèìóìà Nu ï è îñòå ER: ï è ER =1.11 è 10 ìàêñèìóì Nu àñïîëàãàåòñß áëèæå ê îñíîâàíè óñòóïà, åì ï è ER =2. Çàêë åíèå è âûâîäû Â àáîòå ï åäñòàâëåíû åçóëüòàòû èñëåííîãî å åíèß çàäà è ñòàöèîíà íîãî òå åíèß òåïëîï îâîäíîé âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â ïëîñêîì êàíàëå ñ îá àòíûì óñòóïîì è ïîäî-
èñëåííîå ìîäåëè îâàíèå òå åíèß âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 291 Ðèñ. 7. Ðàñï åäåëåíèå ï èâåäåííûõ êî ôôèöèåíòîâ ò åíèß ïî x âäîëü íèæíåé (à) è âå õíåé (á) ñòåíîê êàíàëà. μμμ Re = 100, Re = 1000. 1 μ ER =1.11; 2 μ ER =2; 3 μ ER =10 ã åâàåìîé íèæíåé ñòåíêîé äëß èñåë Ðåéíîëüäñà 100 Re 1000 è ïà àìåò à àñ è åíèß êàíàëà 1.11 ER 10 ï è íåèçìåííîì èñëå Ï àíäòëß Pr =0.71 è ïîñòîßííîé äëèíå êàíàëà â 20 åäèíèö åãî ïîëíîé âûñîòû. Äâóìå íûå êà òèíû ñò óêòó òå åíèß è ïå åã åâà æèäêîñòè ï èâåäåíû äëß Re = 100, 600, 1000 ï è ER =2è äëß ER =1.11, 2, 10 ï è Re = 400, àòàêæå, êàê îñîáî èíòå åñíûé ñëó àé, äëß Re = 1000, ER =10. Äëß öåíò îâ âèõ åé îï åäåëåíû èõîñíîâíûå ïà àìåò û: êîî äèíàòû, êñò åìóìû ôóíêöèè òîêà, çàâèõ åííîñòè. Âûßâëåí õà àêòå àñï åäåëåíèß ï èâåäåííîãî êî ôôèöèåíòà ò åíèß âäîëü âå õíåé è íèæíåé ñòåíîê êàíàëà, èñëà Íóññåëüòà âäîëü íèæíåé ñòåíêè êàíàëà è êî ôôèöèåíòà ãèä îäèíàìè åñêîãî ñîï îòèâëåíèß äâèæåíè æèäêîñòè ïî äëèíå êàíàëà. Äîñòîâå íîñòü ïîëó åííûõ åçóëüòàòîâ ïîäòâå æäåíà ñ àâíåíèåì ñ ëèòå àòó íûìè äàííûìè ï è ñîîòâåòñòâó ùèõ çíà åíèßõ ïà àìåò îâ çàäà è. Íà îñíîâàíèè ïîëó åííûõ å åíèé çàäà è â àññìîò åííûõ äèàïàçîíàõ èçìåíåíèß ïà àìåò îâ Re è ER ìîæíî ñäåëàòü ñëåäó ùèå âûâîäû. 1. Ñò óêòó à ïîëåé òå åíèß è ïå åã åâà æèäêîñòè óñëîæíßåòñß ï è îäíîâ åìåííîì óâåëè åíèè çíà åíèé èñëà Ðåéíîëüäñà è ïà àìåò à àñ è åíèß êàíàëà óâåëè èâà òñß êîëè åñòâî âèõ åé è èõ àçìå û âïëîòü äî îá àçîâàíèß ñ àçó çà óñòóïîì âèõ ß ñ äâóìß öåíò àìè â àùåíèß è ñåäëîâîé òî êîé ìåæäó íèìè. 2. Æèäêîñòü ï îã åâàåòñß â îñíîâíîì çà ñ åò êîíâåêòèâíîãî ïå åíîñà, ï è òîì è èíà çîíû ï îã åâà ñëàáî çàâèñèò îò ïà àìåò îâ çàäà è è áëèæå ê âûõîäó èç êàíàëà ñîñòàâëßåò ï èáëèçèòåëüíî ïîëîâèíó åãî âûñîòû. 3. Êî ôôèöèåíòû ò åíèß, ãèä îäèíàìè åñêîãî ñîï îòèâëåíèß è òåïëîîòäà è àñï åäåëß òñß ïî äëèíå êàíàëà íåìîíîòîííûì îá àçîì, îò àæàß ñëîæíó âèõ åâó ñò óêòó ó îò ûâíîãî òå åíèß. Ï è òîì ìàêñèìàëüíûå àáñîë òíûå çíà åíèß òèõêî ôôèöèåíòîâ äîñòèãà òñß ï è îäíîâ åìåííî ìàêñèìàëüíûõ çíà åíèßõ Re è ER. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ðîó Ï.Âû èñëèòåëüíàß ãèä îäèíàìèêà.ì.: Ìè.1980.616 c. 2. Á óßöêèé Å.Â., Êîñòèí À.Ã.Ï ßìîå èñëåííîå ìîäåëè îâàíèå òå åíèß â ïëîñêîì âíåçàïíî àñ è- ß ùåìñß êàíàëå íà îñíîâå ó àâíåíèé Íàâüå Ñòîêñà // Ï èêëàä.ãiä îìåõàíiêà.2010.ò.12. 1. Ñ.11 27. 3. Armaly B.F., Durst F., Pereira J.C.F., Schonung B. Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow // J.Fluid Mech.1983.Vol.127.P.473 496.
292 À. À. Ôîìèí, Ë. Í. Ôîìèíà Ðèñ. 8. Ðàñï åäåëåíèå êî ôôèöèåíòîâ ãèä îäèíàìè åñêîãî ñîï îòèâëåíèß (à) è òåïëîîòäà è (á ) ïî äëèíå êàíàëà. μμμ Re = 100, Re = 1000. 1 μ ER =1.11; 2 μ ER =2; 3 μ ER =10 4. Ñèíãõà Ñ.Í., Ãóïòà À.Ê., Îáå àé Ì.Ì. Ëàìèíà íîå îò ûâíîå îáòåêàíèå óñòóïîâ è êàâå í. àñòü I. Òå åíèå çà óñòóïîì // Ðàêåòíàß òåõíèêà è êîñìîíàâòèêà.1981.ò.19. 12.Ñ.33 37. 5. Tihon J., P enkavov a V., Havlica J., Sim c ßk M. The transitional backward-facing step flow in a water channel with variable expansion geometry // Exp.Therm.Fluid Sci.2012.Vol.40.P.112 125. 6. Rogers S.E., Kwak D.An upwind differencing scheme for the incompressible Navier-Stokes equations // Appl.Numer.Math.1991.Vol.8. 1.P.43 64. 7. Chiang T.P., Sheu Tony W.H., Fang C.C. Numerical investigation of vortical evolution in a backwardfacing step expansion flow // Appl.Math.Model.1999.Vol. 23. 12. P.915 932. 8. Áàòåíêî Ñ. Ð., Òå åõîâ Â.È. Ò åíèå è òåïëîîáìåí â ëàìèíà íîì îò ûâíîì ïîòîêå çà ï ßìîóãîëüíûì óñòóïîì ï è íàëè èè ïî èñòîãî âäóâà èëè îòñîñà // Ï èêëàäíàß ìåõàíèêà è òåõíè åñêàß ôèçèêà. 2006.Ò.47. 1.Ñ.18 28. 9. Áóáåí èêîâ À.Ì., Ôè ñîâ Ä.Ê., Êîòîâùèêîâà Ì.À. èñëåííîå å åíèå ïëîñêèõ çàäà äèíàìèêè âßçêîé æèäêîñòè ìåòîäîì êîíò îëüíûõ îáúåìîâ íà ò åóãîëüíûõ ñåòêàõ // Ìàòåìàòè åñêîå ìîäåëè îâàíèå.2007.ò.19. 6.Ñ.71 85. 10. Erturk E. Numerical solutions of 2-D steady incompressible flow over a backward-facing step, Part I: High Reynolds number solutions // Computers & Fluids.2008.Vol.37. 6.P.633 655. 11. Ïîïîíèí Â.Ñ., Êî åóòîâ À.Â., Ã èãî üåâ Â.Ï., Ìåëüíèêîâà Â.Í. Ìåòîä ñïåêò àëüíûõ ëåìåíòîâ äëß å åíèß ïëîñêèõ çàäà äèíàìèêè âßçêîé æèäêîñòè íà íå àçíåñåííûõ íåñò óêòó è îâàííûõ ñåòêàõ // Èçâåñòèß Òîìñêîãî ïîëèòåõíè åñêîãî óíèâå ñèòåòà. 2010. Ò. 317. 2: Ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà.ôèçèêà.ñ.31 36. 12. Valencia A., Hinojosa L. Numerical solutions of pulsating flow and heat transfer characteristics in a channel with a backward-facing step // Heat Mass Transfer.1997.Vol.32. 3.P.143 148. 13. Áàòåíêî Ñ. Ð., Òå åõîâ Â.È. Âëèßíèå äèíàìè åñêîé ï åäûñòî èè ïîòîêà íà à îäèíàìèêó ëàìèíà íîãî îò ûâíîãî òå åíèß â êàíàëå çà îá àòíûì ï ßìîóãîëüíûì óñòóïîì // Ï èêëàäíàß ìåõàíèêà è òåõíè åñêàß ôèçèêà.2002.ò.43. 6.Ñ.84 92. 14. Abu-Nada E., Al-Sarkhi A., Akash B., Al-Hinti I.Heat transfer and fluid flow characteristics of separated flows encountered in a backward-facing step under the effect of suction and blowing // J.Heat Transfer. 2007.Vol.129. 11.P.1517 1528. 15. Lewis R.W., Nithiarasu P., Seetharamu K.N. Fundamentals of the finite element method for heat and fluid flow.john Wiley & Sons, Ltd., 2004.341 p. 16. Teruel F.E., Fogliatto E.Numerical simulations of flow, heat transfer and conjugate heat transfer in the backward-facing step geometry // Mecanica Computacional.2013.Vol.32. 39.P.3265 3278. 17. Ëîéößíñêèé Ë.Ã.Ìåõàíèêà æèäêîñòè è ãàçà.5-e èçä.ì.: Íàóêà, 1978.736 c. 18. Áåëîöå êîâñêèé Î.Ì., Ãóùèí Â.À., Ùåííèêîâ Â.Â. Ìåòîä àñùåïëåíèß â ï èìåíåíèè ê å åíè çàäà äèíàìèêè âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè // Æó íàë âû èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè åñêîé ôèçèêè.1975.ò.15. 1.C.197 207.
èñëåííîå ìîäåëè îâàíèå òå åíèß âßçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 293 19. Ôîìèí À.À., Ôîìèíà Ë.Í. Íåßâíûé èòå àöèîííûé ïîëèíåéíûé åêó åíòíûé ìåòîä â ï èìåíåíèè ê å åíè çàäà äèíàìèêè íåñæèìàåìîé âßçêîé æèäêîñòè // Êîìïü òå íûå èññëåäîâàíèß è ìîäåëè îâàíèå.2015.ò.7. 1.Ñ.35 50. 20. Ïàòàíêà Ñ. èñëåííûå ìåòîäû å åíèß çàäà òåïëîîáìåíà è äèíàìèêè æèäêîñòè. Ì.: Ýíå ãîàòîìèçäàò, 1984.152 c. 21. Ôîìèí À.À., Ôîìèíà Ë.Í. Óñêî åíèå ïîëèíåéíîãî åêó åíòíîãî ìåòîäà â ïîäï îñò àíñòâàõ Ê ûëîâà // Âåñòíèê Òîìñêîãî ãîñóäà ñòâåííîãî óíèâå ñèòåòà. Ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 2011. 2. Ñ.45 54. Ïîñòóïèëà â åäàêöè 12.05.2015 Ôîìèí Àëåêñàíä À êàäüåâè, ê.ô.-ì.í., âåäóùèé êñïå ò, îòäåë àçâèòèß è ìåæäóíà îäíîãî ñîò óäíè åñòâà, Êóçáàññêèé ãîñóäà ñòâåííûé òåõíè åñêèé óíèâå ñèòåò èìåíè Ò.Ô.Ãî áà åâà, 650000, Ðîññèß, ã.êåìå îâî, óë.âåñåííßß, 28. E-mail: fomin aa@mail.ru Ôîìèíà Ë áîâü Íèêîëàåâíà, ê.ô.-ì.í., äîöåíò, êàôåä à âû èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè, Êåìå îâñêèé ãîñóäà ñòâåííûé óíèâå ñèòåò, 650043, Ðîññèß, ã.êåìå îâî, óë.ê àñíàß, 6. E-mail: lubafomina@mail.ru A. A. Fomin, L. N. Fomina Numerical simulation of the viscous incompressible fluid flow and heat transfer in a plane channel with backward-facing step Keywords: Navier Stokes equations, a plane channel with backward-facing step, separating flow. MSC: 65N06, 76D05, 80A20 The paper deals with the results of solving the problem of steady-state flow of a viscous incompressible fluid in a plane channel with a backward-facing step and a heated bottom wall for the Reynolds number in the range 100 Re 1000 and the expansion ratio of a plane channel in the range 1.11 ER 10.The study was carried out by numerical integration of the 2-D Navier Stokes equations in velocity-pressure formulation on uniform grids with a step which equals to 1/300. Correction of the results is confirmed by comparing them with the literature data.detailed flow patterns and fields of stream overheating depending on two basic parameters of the problem Re and ER are demonstrated.it is shown that with the increase of parameters Re and ER the structure of flow becomes much more complicated, that is, there is an increase of the number of vortices and their sizes up to the formation of a vortex behind the backward-facing step with two centers of rotation.it is also stated that the typical height of the heating zone of the flow depends weakly on Re and ER and eventually, near the exit of the channel, equals approximately half of the channel height.for all centers of vortices their main characteristics are defined: location, extremums of stream function, vorticity. Complex nonmonotonic behaviors of the coefficients of friction, hydrodynamic resistance and heat transfer (Nusselt number) along the channel are analyzed.it is shown that these coefficients strongly depend both on Reynolds number and on expansion ratio, reaching the maximum values at the maximum values of Re and ER. REFERENCES 1. Roache P.J. Computational fluid dynamics, Albuquerque: Hermosa Publs., 1976, 446 p. Translated under the title Vychislitel'naya gidrodinamika, Moscow: Mir, 1980, 616 p. 2. Bruyatski E.V., Kostin A.G. Direct numerical simulation of flow in plane suddenly expending channel on the basis of Navier Stokes equations, Priklad. Gidromekhanika, 2010, vol, 12, no. 1, pp. 11 27 (in Russian). 3. Armaly B.F., Durst F., Pereira J.C.F., Schonung B. Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow, J. Fluid Mech., 1983, vol.127, pp.473 496.DOI: 10.1017/S0022112083002839 4. Sinha S.N., Gupta A.K., Oberai M.M. Laminar separating flow over backsteps and cavities. Part I: Backsteps, AIAA J., 1981, vol. 19, no. 12, pp. 1527 1530. DOI: 10.2514/3.7885
294 À. À. Ôîìèí, Ë. Í. Ôîìèíà 5. Tihon J., P enkavov a V., Havlica J., Sim c ßk M. The transitional backward-facing step flow in a water channel with variable expansion geometry, Exp. Therm. Fluid Sci., 2012, vol.40, pp.112 125. DOI: 10.1016/j.expthermflusci.2012.02.006 6. Rogers S.E., Kwak D. An upwind differencing scheme for the incompressible Navier Stokes equations, Appl. Numer. Math., 1991, vol.8, no.1, pp.43 64.DOI: 10.1016/0168-9274(91)90097-J 7. Chiang T.P., Sheu Tony W. H., Fang C.C. Numerical investigation of vortical evolution in a backwardfacing step expansion flow, Appl. Math. Model., 1999, vol.23, no.12, pp.915 932. DOI: 10.1016/S0307-904X(99)00019-0 8. Batenko S.R., Terekhov V.I. Friction and heat transfer in a laminar separated flow behind a rectangular step with porous injection or suction, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2006, vol.47, no.1, pp.12 21. 9. Bubenchikov A.M., Firsov D. K., Kotovshchikova M.A. Numerical solution of 2D viscous fluid dynamics problems using finite volume method (FVM) on triangular grid, Mat. Model., 2007, vol. 19, no. 6, pp.71 85 (in Russian). 10. Erturk E. Numerical solutions of 2-D steady incompressible flow over a backward-facing step, Part I: High Reynolds number solutions, Computers & Fluids, 2008, vol.37, no.6, pp.633 655. DOI: 10.1016/j.compfluid.2007.09.003 11. Poponin V.S., Kosheutov A.V., Grigor'ev V.P., Mel'nikova V.N. Method of spectral elements for resolving of plane viscous fluid dynamics problems on unstructured and nonshifted meshes, Izvestiya Tomskogo Politekhnicheskogo Universiteta, 2010, vol.317, no.2, pp.31 36 (in Russian). 12. Valencia A., Hinojosa L. Numerical solutions of pulsating flow and heat transfer characteristics in a channel with a backward-facing step, Heat Mass Transfer, 1997, vol.32, no.3, pp.143 148. DOI: 10.1007/s002310050104 13. Batenko S.R., Terekhov V.I. Effect of dynamic prehistory on aerodynamics of a laminar separated flow in a channel behind a rectangular backward-facing step, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2002, vol.43, no.6, pp.854 860. 14. Abu-Nada E., Al-Sarkhi A., Akash B., Al-Hinti I.Heat transfer and fluid flow characteristics of separated flows encountered in a backward-facing step under the effect of suction and blowing, J. Heat Transfer, 2007, vol. 129, no. 11, pp. 1517 1528. DOI: 10.1115/1.2759973 15. Lewis R.W., Nithiarasu P., Seetharamu K.N. Fundamentals of the finite element method for heat and fluid flow, John Wiley & Sons, Ltd., 2004, 341 p. 16. Teruel F.E., Fogliatto E.Numerical simulations of flow, heat transfer and conjugate heat transfer in the backward-facing step geometry, Mecanica Computacional, 2013, vol.32, no.39, pp.3265 3278. 17. Loitsyanskii L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza (Fluid mechanics), Ìoscow: Nauka, 1978, 736 p. 18. Belotserkovskii O.M., Gushchin V.A., Shchennikov V.V. Use of the splitting method to solve problems of the dynamics of a viscous incompressible fluid, USSR Comp. Math. Math. Phys., 1975, vol.15, no.1, pp.190 200.DOI: 10.1016/0041-5553(75)90146-9 19. Fomin A.A., Fomina L.N. The implicit line-by-line recurrence method in application to the solution of problems of incompressible viscous fluid dynamics, Komp'yuternye Issledovaniya i Modelirovanie, 2015, vol.7, no.1, pp.35 50 (in Russian). 20. Patankar S.V. Numerical heat transfer and fluid flow, Washington New York London: Hemisphere Publishing Corporation, 1980, 197 p. Translated under the title Chislennye metody resheniya zadach teploobmena i dinamiki zhidkosti, Ìoscow: Energoatomizdat, 1984, 152 p. 21. Fomin A.A., Fomina L.N. Acceleration of the line-by-line recurrentmethodinkrylov subspaces, Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Matematika i Mekhanika, 2011, no.2, pp.45 54 (in Russian). Received 12.05.2015 Fomin Aleksandr Arkad'evich, Candidate of Physics and Mathematics, Leading Expert, Department of Development and International Cooperation, Kuzbass State Technical University, ul. Vesennyaya, 28, Kemerovo, 650000, Russia. E-mail: fomin aa@mail.ru Fomina Lubov' Nikolaevna, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Computational Mathematics, Kemerovo State University, ul.krasnaya, 6, Kemerovo, 650043, Russia. E-mail: lubafomina@mail.ru