τ i (x ) τ i (x ) N x x τ i (x) τ i (x + I i (x)). Z 0 = {(t, x) R R n : t t 0, x <b 0 }.

ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 517.935, 517.938 c SS.. Ëà èíà Î ÑËÀÁÎÉ ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ ÅÑÊÎÉ ÓÑÒÎÉ ÈÂÎÑÒÈ ÓÏÐÀÂËSSÅÌÛÕ ÑÈÑÒÅÌ Ñ ÈÌÏÓËÜÑÍÛÌ ÂÎÇÄÅÉÑÒÂÈÅÌ 1 Ï îäîëæåíî èññëåäîâàíèå óñëîâèé ïîëîæèòåëüíîé èíâà èàíòíîñòè è àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè çàäàííîãî ìíîæåñòâà îòíîñèòåëüíî óï àâëßåìîé ñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì. Ðàññìàò èâàåòñß ìíîæåñòâî M. = { (t, x) [t 0, + ) R n : x M(t) }, ãäå ôóíêöèß t M(t) íåï å ûâíà â ìåò èêå Õàóñäî ôà è äëß êàæäîãî t [t 0, + ) ìíîæåñòâî M(t) íåïóñòî è êîìïàêòíî. Â òå ìèíàõ ôóíêöèé Ëßïóíîâà è ï îèçâîäíîé Êëà êà ïîëó åíû óñëîâèß ñëàáîé ïîëîæèòåëüíîé èíâà èàíòíîñòè äàííîãî ìíîæåñòâà, ñëàáîé àâíîìå íîé óñòîé èâîñòè ïî Ëßïóíîâó è ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè. Òàêæå äîêàçàíà òåî åìà ñ àâíåíèß äëß å åíèé ñèñòåì è ó àâíåíèé ñ èìïóëüñàìè, ñëåäñòâèåì êîòî îé ßâëß òñßóñëîâèß ñóùåñòâîâàíèß å åíèé ñèñòåìû, àñèìïòîòè åñêè ñò åìßùèõñßêíóë. Ïîëó åííûå åçóëüòàòû ï îèëë ñò è îâàíû íà ï èìå å ìîäåëè êîíêó åíöèè äâóõâèäîâ, ïîäâå æåííûõèìïóëüñíîìó óï àâëåíè â ôèêñè îâàííûå ìîìåíòû â åìåíè. Êë åâûå ñëîâà: óï àâëßåìûå ñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì, ôóíêöèè Ëßïóíîâà, ñëàáàß àñèìïòîòè åñêàß óñòîé èâîñòü. DOI: 10.20537/vm160106 Ââåäåíèå Äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì âîçíèêà ò ï è îïèñàíèè åàëüíûõ ï îöåññîâ ñ ê àòêîâ åìåííûìè âîçìóùåíèßìè, êîãäà èõ äëèòåëüíîñòü ìîæíî ï åíåá å ü è ñ èòàòü, òî îíè íîñßò ìãíîâåííûé õà àêòå. Òåî èåé äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé è óï àâëßåìûõ ñèñòåì ñ èìïóëüñíûìè âîçäåéñòâèßìè â àçíûå ãîäû çàíèìàëèñü òàêèå àâòî û, êàê Â. È. Ãó ìàí, Â. À. Äûõòà, Ñ. Ò. Çàâàëèùèí, À. À. Ìà òûí ê, Á. Ì. Ìèëëå, À. Ä. Ìû êèñ, Í. À. Ïå åñò ê, À. Ì. Ñàìîéëåíêî, À. Í. Ñåñåêèí è ìíîãèå ä óãèå. Äàííàß àáîòà ßâëßåòñß ï îäîëæåíèåì àáîòû [1], â êîòî îé èññëåäîâàëèñü óñëîâèß ïîëîæèòåëüíîé èíâà èàíòíîñòè çàäàííîãî ìíîæåñòâà M, àâíîìå íîé óñòîé èâîñòè ïî Ëßïóíîâó è àâíîìå íîé àñèìïòîòè- åñêîé óñòîé èâîñòè. Ïîëó åíî îáîáùåíèå îäíîãî èç åçóëüòàòîâ àáîòû À. Ì. Ñàìîéëåíêî è Í. À. Ïå åñò êà [2] íà óï àâëßåìûå ñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì. Ï èâåäåì çäåñü òî óòâå æäåíèå èç [2]. Ðàññìàò èâàåòñß ñèñòåìà ñ èìïóëüñàìè ẋ = h(t, x), t τ i (x), Δx t=τi (x) = I i (x), (t, x) R R n, (0.1) ãäå Δx t=τi (x) = x(τ i (x)) x(τ i (x) 0), τ i (x) <τ i+1 (x) äëß âñåõ i =1, 2,...; ôóíêöèè h(t, x) è I i (x) íåï å ûâíû íà ìíîæåñòâå Z = {(t, x) R R n : t t 0, x b<b 0 } èóäîâëåòâî ß ò óñëîâè Ëèï èöà ïî x àâíîìå íî îòíîñèòåëüíî t è i (ñì. [2, ñ. 131]). Ôóíêöèè τ i (x) óäîâëåòâî ß ò óñëîâè Ëèï èöà τ i (x ) τ i (x ) N x x ï è âñåõ i =1, 2,..., x b, x b è íå àâåíñòâó τ i (x) τ i (x + I i (x)). Ï åäïîëàãàåòñß òàêæå, òî τ i (x) ï è i, h(t, 0) = 0, I i (0) = 0, ñêàëß íàß ôóíêöèß V (t,x) óäîâëåòâî ßåò óñëîâè V (t,0) = 0, îï åäåëåíà è íåï å ûâíî äèôôå åíöè óåìà íà ìíîæåñòâå Z 0 = {(t, x) R R n : t t 0, x <b 0 }. 1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ï è ôèíàíñîâîé ïîääå æêå ÐÔÔÈ (ï îåêò 16 01 00346-à).

Î ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè óï àâëßåìûõ ñèñòåì 69 Ôóíêöèß V (t, x) íàçûâàåòñß ïîëîæèòåëüíî îï åäåëåííîé íà ìíîæåñòâå Z 0, åñëè ñóùåñòâóåò ñêàëß íàß ôóíêöèß W (x), W (0) = 0, íåï å ûâíàß ï è x <b 0 òàêàß, òî äëß âñåõ t t 0 Îáîçíà èì grad x V (t, x) = V (t, x) W (x) > 0 ï è x 0. ). ( V (t, x) x 1,..., V (t, x) x n Òåî åìà 1 (ñì. [2, c. 132]). Åñëè ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíî îï åäåëåííàß ôóíêöèß V (t, x), óäîâëåòâî ß ùàß â ìíîæåñòâå Z íå àâåíñòâàì V (t, x) + grad t x V (t, x),h(t, x) 0, V (τ i (x),x+ I i (x)) V (τ i (x),x), i =1, 2,..., (0.2) òî ò èâèàëüíîå å åíèå ñèñòåìû (0.1) óñòîé èâî ïî Ëßïóíîâó. Åñëè âìåñòî âòî îãî íå àâåíñòâà èç (0.2) âûïîëíåíî íå àâåíñòâî V (τ i (x),x+ I i (x)) V (τ i (x),x) ψ ( V (τ i (x),x) ), i =1, 2,..., ãäå ψ(s) μ íåï å ûâíàß ï è s 0 ôóíêöèß òàêàß, òî ψ(0) = 0 è ψ(s) > 0 ï è s>0, òî íóëåâîå å åíèå ñèñòåìû (0.1) àñèìïòîòè åñêè óñòîé èâî. Â äàííîé àáîòå â òå ìèíàõ ôóíêöèé À.Ì. Ëßïóíîâà è ï îèçâîäíîé Ô. Êëà êà äîêàçàíû òåî åìû ñ àâíåíèß äëß ñèñòåì ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì, èññëåäó òñß óñëîâèß ñëàáîé ïîëîæèòåëüíîé èíâà èàíòíîñòè çàäàííîãî ìíîæåñòâà M îòíîñèòåëüíî óï àâëßåìîé ñèñòåìû, ñëàáîé àâíîìå íîé óñòîé èâîñòè ïî Ëßïóíîâó è ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè. Îòìåòèì, òî çäåñü àññìàò èâàåòñß ôóíêöèß Ëßïóíîâà îòíîñèòåëüíî çàäàííîãî ìíîæåñòâà, êîòî àß ââåäåíà è èññëåäîâàíà â àáîòàõ Å. Ë. Òîíêîâà è Å. À. Ïàíàñåíêî [3,4], è åå îï åäåëåíèå îòëè àåòñß îò îáùåï èíßòûõ. 1. Óñëîâèß ñëàáîé ïîëîæèòåëüíîé èíâà èàíòíîñòè è ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè äëß ñèñòåì ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé [3 7] àñï îñò àíß òñß íà óï àâëßåìûå ñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì ẋ = f(t, x, u), t τ i, (1.1) Δx t=τi = g(x, w i ), (t, x, u, w i ) [t 0, + ) R n R m R p. Çäåñü R n μ n-ìå íîå åâêëèäîâî ï îñò àíñòâî ñ íî ìîé x = x, x, âåêòî û w i,i=1, 2,..., ßâëß òñß óï àâëß ùèìè âîçäåéñòâèßìè, âëèß ùèìè íà ïîâåäåíèå ñèñòåìû â ìîìåíòû â åìåíè t = τ i, è ï èíèìà ò çíà åíèß â çàäàííîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå W R p. Ï åäïîëàãàåì, òî ôóíêöèè f(t, x, u) è g(x, w) íåï å ûâíû äëß âñåõ (t, x, u) [t 0, + ) R n R m è âñåõ (x, w) R n R p ñîîòâåòñòâåííî, ìíîæåñòâî U(t, x) êîìïàêòíî è ôóíêöèß U(t, x) ïîëóíåï å- ûâíà ñâå õó â ìåò èêå Õàóñäî ôà ï è âñåõ (t, x) [t 0, + ) R n, å åíèß ñèñòåìû (1.1) íåï å ûâíû ñï àâà. Îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {τ i } i=0 ïîëàãàåì, òî t 0 = τ 0 < τ 1 <τ 2 <... è lim i τ i =+. Îï åäåëåíèå 1. Äîïóñòèìûì ï îöåññîì óï àâëßåìîé ñèñòåìû (1.1) íàçîâåì ôóíêöè t (u(t),w(t),x(t)) R m R p R n, êîòî àß óäîâëåòâî ßåò ñëåäó ùèì óñëîâèßì: 1) óï àâëåíèå u(t) îï åäåëåíî íà I =(t 0,τ 1 ) (τ 1,τ 2 )..., îã àíè åíî è èçìå èìî ïî Ëåáåãó;

70 SS.. Ëà èíà 2) ôóíêöèß w(t) =0ï è t I è w(τ i )=w i,w i W äëß âñåõ i =1, 2,..., Δx t=τi = x(τ i ) x(τ i 0) = g(x, w i ); 3) å åíèå x(t) â ñìûñëå Êà àòåîäî è ñèñòåìû äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé ẋ = f(t, x, u(t)) îï åäåëåíî äëß âñåõ t (τ i,τ i+1 ),i=0, 1, 2,... è x(τ i )=x(τ i 0) + g(x(τ i 0),w i ); 4) èìååò ìåñòî âêë åíèå u(t) U(t, x(t)). Îòâå à ùèå äîïóñòèìîìóï îöåññó(u(t),w(t),x(t)) óï àâëåíèß u(t) è w(t) íàçûâà òñß äîïóñòèìûìè óï àâëåíèßìè ñèñòåìû (1.1). Ââåäåì â àññìîò åíèå ìíîæåñòâî M =. { (t, x) [t 0, + ) R n : x M(t) }, çàäàííîå ôóíêöèåé t M(t), íåï å ûâíîé â ìåò èêå Õàóñäî ôà; ï åäïîëàãàåì, òî äëß êàæäîãî t R ìíîæåñòâî M(t) íåïóñòî è êîìïàêòíî. Ïóñòü M r (t) μ çàìêíóòàß r-îê åñòíîñòü ìíîæåñòâà M(t), òî åñòü ìíîæåñòâî òàêèõ òî åê x R n, òî ϱ(x, M(t)) r, N r (t) = M r (t)\m(t) μ âíå íßß r-îê åñòíîñòü ã àíèöû ìíîæåñòâà M(t) (çäåñü ϱ(x, M) = inf x y μ àññòîßíèå îò y M òî êè x R n äî ìíîæåñòâà M R n ). Ïîñò îèì ìíîæåñòâà M r. = { (t, x) [t0, + ) R n : x M r (t) }, N r. = { (t, x) [t0, + ) R n : x N r (t) }. Îï åäåëåíèå 2 (ñì. [3]). Ñêàëß íàß ôóíêöèß V (t, x) ïå åìåííûõ (t, x) R R n íàçûâàåòñß ôóíêöèåé Ëßïóíîâà îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M, åñëè ñóùåñòâóåò r>0 òàêîå, òî äëß âñåõ (t, x) M r ôóíêöèß V (t, x) óäîâëåòâî ßåò ëîêàëüíîìóóñëîâè Ëèï èöà ïî ïå åìåííûì (t, x) è ñëåäó ùèì óñëîâèßì: 1. V (t, x) =0äëß âñåõ (t, x) M; 2. V (t, x) > 0 äëß âñåõ (t, x) N r. Ôóíêöèß V (t, x) íàçûâàåòñß îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíîé (îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M), åñëè äëß êàæäîãî ε (0,r) íàéäåòñß òàêîå δ>0, òî V (t, x) δ äëß âñåõ (t, x) M r \ M ε. Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ñèñòåìå ẋ = f(t, x, u) äèôôå åíöèàëüíîå âêë åíèå ẋ F (t, x), (1.2) ãäå äëß êàæäîé ôèêñè îâàííîé òî êè (t, x) [t 0, + ) R n ìíîæåñòâî F (t, x) ñîñòîèò èç âñåõ ï åäåëüíûõ çíà åíèé ôóíêöèè f(t i,x i,u(t i,x i )) ï è (t i,x i ) (t, x). Áóäåì ï åäïîëàãàòü, òî ìíîæåñòâî F (t, x) íåïóñòîå, îã àíè åííîå, çàìêíóòîå è âûïóêëîå. Ïîñêîëüêóôóíêöèß U(t, x) ïîëóíåï å ûâíà ñâå õóïî (t,x), òî ôóíêöèß F (t,x) òàêæå ïîëóíåï å ûâíà ñâå õó, ïî òîìóäëß êàæäîé íà àëüíîé òî êè x 0 R n ëîêàëüíîå å åíèå âêë åíèß (1.2) ñóùåñòâóåò (ñì. [8, c. 60]). Óñëîâèå 1. Äëß ë áîãî x 0 M r (t 0 ) êàæäîå å åíèå ϕ(t, x 0 ) âêë åíèß (1.2), óäîâëåòâî- ß ùåå íà àëüíîìóóñëîâè ϕ(t 0,x 0 )=x 0, îï åäåëåíî ï è âñåõ t t 0. Îï åäåëåíèå 3 (ñì. [9, ñ. 17]). Äëß ëîêàëüíî ëèï èöåâîé ôóíêöèè V (t, x) îáîáùåííîé ï îèçâîäíîé âòî êå (t, x) [t 0, + ) R n ïî íàï àâëåíè âåêòî à q =(1,p), p R n (ï îèçâîäíîé Ô. Êëà êà) íàçûâàåòñß ñëåäó ùèé âå õíèé ï åäåë: V o (t, x; p). = lim sup (ε,y) (0+0,x) V (t + ε, y + εp) V (t, y), ε à âû àæåíèß Vmin o (t, x) =. inf V o (t, x; p), Vmax o (t, x) =. sup V o (t, x; p) íàçûâà òñß ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé è âå õíåé ï îèçâîäíîé ôóíêöèè V â ñèëó äèôôå åíöèàëüíîãî âêë åíèß p F (t,x) p F (t,x) (1.2).

Î ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè óï àâëßåìûõ ñèñòåì 71 Îï åäåëåíèå 4 (ñì. [4]). Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñß ñëàáî ïîëîæèòåëüíî èíâà èàíòíûì (îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1)), åñëè äëß ë áîé íà àëüíîé òî êè x 0 M(t 0 ) ñóùåñòâóåò å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1), óäîâëåòâî ß ùåå íà àëüíîìó óñëîâè x(t 0,x 0 )=x 0 è âêë åíè (t, x(t, x 0 )) M ï è âñåõ t t 0. Îï åäåëåíèå 5 (ñì. [4]). Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñß ñëàáî óñòîé èâûì ïî Ëßïóíîâó (îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1)), åñëè äëß ë áîãî ε>0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ = δ(ε) > 0, òî äëß ë áîé íà àëüíîé òî êè x 0 N δ (t 0 ) íàéäåòñß å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1), êîòî îå óäîâëåòâî ßåò âêë åíè (t, x(t, x 0 )) M ε ï è âñåõ t t 0. Ëåììà 1. Åñëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèß Ëßïóíîâà V (t, x) îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M òàêàß, òî äëß âñåõ (t, x) N r âûïîëíåíî íå àâåíñòâî Vmin o (t, x) 0 è íàéäåòñß òàêîå ŵ W, òî V (τ i,x+ g(x, ŵ)) V (τ i,x) äëß âñåõ x M r (τ i ),i=1, 2,..., (1.3) òî ìíîæåñòâî M ñëàáî ïîëîæèòåëüíî èíâà èàíòíî îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1). Åñëè, ê îìå òîãî, ôóíêöèß Ëßïóíîâà V (t, x) îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíàß, òî ìíîæåñòâî M ñëàáî óñòîé èâî ïî Ëßïóíîâó îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëß âñåõ (t, x) [t 0, + ) R n îï åäåëèì ìíîæåñòâà Û(t, x). = {u U(t, x) :V o (t, x; f(t, x, u)) 0}, Ŵ. = {w W : V (τ i,x+ g(x, w)) V (τ i,x), i =1, 2,...}. (1.4) Èç íå àâåíñòâ Vmin o (t, x) 0 è (1.3) ñëåäóåò, òî äàííûå ìíîæåñòâà íåïóñòûå. Ìíîæåñòâî Û(t, x) îã àíè åíî äëß êàæäîãî (t, x) [t 0, + ) R n, ïîñêîëüêó Û(t, x) U(t, x). Ïîêàæåì, òî òî ìíîæåñòâî çàìêíóòî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {u i } i=1 òàêîâà, òî u i Û(t, x) è u i u, òî f(t, x, u i ) f(t, x, u) è â ñèëó ëèï èöåâîñòè ôóíêöèè f V o (t, x; f) [9, c. 32] âûïîëíåíî íå àâåíñòâî V o (t, x; f(t, x, u)) = lim i V o (t, x; f(t, x, u i )) 0. Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâó Û(t, x) äèôôå åíöèàëüíîå âêë åíèå ẋ F (t, x), F (t, x) =co Ĥ(t, x), (1.5) ãäå Ĥ(t, x) ñîñòîèò èç âñåõ ï åäåëüíûõ çíà åíèé ôóíêöèè f(t i,x i, Û(t i,x i )) ï è (t i,x i ) (t, x), co Ĥ(t, x) μ çàìûêàíèå âûïóêëîé îáîëî êè ìíîæåñòâà Ĥ(t, x), òî åñòü íàèìåíü åå âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî, ñîäå æàùåå Ĥ(t, x). Ôóíêöèè (t, x) Ĥ(t, x) è (t, x) F (t, x) ïîëóíåï å ûâíû ñâå õó ïî ëåììå 10.1 àáîòû [5]. Òîãäà â ñèëó òåî åìû 2 àáîòû [13, c. 213] ñóùåñòâó ò å åíèß ϕ i (t, x i ) äèôôå åíöèàëüíîãî âêë åíèß (1.5), óäîâëåòâî ß ùèå íà àëüíîìó óñëîâè ϕ i (τ i,x i )=x i,i=0, 1, 2,... Èç îï åäåëåíèß ìíîæåñòâà Û(t, x) ñëåäóåò, òî äëß âñåõ (t, x) [t 0, + ) R n èìååò ìåñòî âêë åíèå Û(t, x) U(t, x), ïî òîìó F (t, x) F (t, x). Ñëåäîâàòåëüíî, å åíèß ϕ i (t, x i ) äèôôå åíöèàëüíîãî âêë åíèß (1.5) òàêæå ßâëß òñß å åíèßìè èñõîäíîãî äèôôå åíöèàëüíîãî âêë åíèß (1.2), è êàæäîå èç íèõ, â ñèëóóñëîâèß 1 î íåëîêàëüíîé ï îäîëæàåìîñòè âñåõ å åíèé âï àâî, îï åäåëåíî ï è âñåõ t t 0. Îï åäåëèì å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1), óäîâëåòâî ß ùåå íà àëüíîìó óñëîâè x(t 0,x 0 )=x 0 M(t 0 ), êîòî îå íà [t 0,τ 1 ) ñîâïàäàåò ñ ϕ 0 (t, x 0 ) èíàêàæäîì èç ï îìåæóòêîâ [τ i,τ i+1 ) ñîâïàäàåò ñ å åíèåì ϕ i (t, x i ),ãäå x i = ϕ i 1 (τ i,x i 1 )+g ( ) ϕ i 1 (τ i,x i 1 ),w i, wi Ŵ, i =1, 2,... Äëß òîãî å åíèß ïîñò îèì ôóíêöè v(t) =V (t, x(t, x 0 )), òîãäà â ñèëó ëåììû 9 àáîòû [7] èç V o min (t, x) 0 ñëåäóåò, òî íå àâåíñòâî v(t) 0 âûïîëíåíî ï è ïî òè âñåõ t t 0, äëß êîòî- ûõ x(t, x 0 ) N r (t). Ñëåäîâàòåëüíî (ñì. [12, c. 133]), ôóíêöèß v(t) ßâëßåòñß íåâîç àñòà ùåé

72 SS.. Ëà èíà âòî êàõ íåï å ûâíîñòè ï îìåæóòêà [t 0, + ), ï è êîòî ûõ x(t, x 0 ) N r (t) (òî êàìè àç ûâà v(t) ßâëß òñß òîëüêî òî êè τ i ). Îáîçíà èì å åç fr M(t) ã àíèöó ìíîæåñòâà M(t). Ï åäïîëîæèì, òî íàéäóòñß òàêèå ìîìåíòû â åìåíè t 1,t 2, òî t 0 t 1 <t 2 è x(t 1,x 0 ) fr M(t 1 ), x(t, x 0 ) N r (t) ï è t (t 1,t 2 ],òîãäà v(t 2 )=V (t 2,x(t 2,x 0 )) > 0. Ðàññìîò èì ôóíêöè v(t) â òî êàõ τ i (t 1,t 2 ]: èç òîãî, òî íå àâåíñòâî (1.3) âå íî äëß ë áûõ x N r (τ i ), i =1, 2,..., ïîëó àåì v(τ i )=V(τ i,x(τ i,x 0 )) = V ( τ i,x(τ i 0,x 0 )+g(x(τ i 0,x 0 ), ŵ i ) ) V ( τ i,x(τ i 0,x 0 ) ) = v(τ i 0). Òàêèì îá àçîì, ôóíêöèß v(t) =V (t, x(t, x 0 )) ßâëßåòñß íåâîç àñòà ùåé âäîëü ë áîãî å åíèß ñèñòåìû (1.1), ëåæàùåãî â N r, ïî òîìó v(t 2 ) v(t 1 )=0. Ïîëó èëè ï îòèâî å èå ñ íå àâåíñòâîì v(t 2 ) > 0. Ýòî äîêàçûâàåò, òî å åíèå x(t, x 0 ) íå ïîêèäàåò ìíîæåñòâî M ï è t τ i. Òåïå ü ïîêàæåì, òî åñëè x(τ i 0,x 0 ) M(τ i ), òî x(τ i,x 0 ) M(τ i ), òî åñòü ïîñëå ìîìåíòà ñêà êà å åíèå íå âûéäåò èç ìíîæåñòâà M. Ïóñòü x(τ i 0,x 0 ) M(τ i ),òîãäà Èç íå àâåíñòâà (1.3) ñëåäóåò, òî V (τ i,x(τ i 0,x 0 )) = 0. V (τ i,x(τ i,x 0 )) = V ( τ i,x(τ i 0,x 0 )+g(x(τ i 0,x 0 ), ŵ i ) ) V ( τ i,x(τ i 0,x 0 ) ) =0, ïî òîìó V (τ i,x(τ i,x 0 )) = 0, òî è îçíà àåò, òî x(τ i,x 0 ) M(τ i ). Òàêèì îá àçîì, ìíîæåñòâî M ñëàáî ïîëîæèòåëüíî èíâà èàíòíî. Ïîêàæåì, òî ìíîæåñòâî M ñëàáî óñòîé èâî ïî Ëßïóíîâó. Äëß òîãî ïîñò îèì å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1) òàê æå, êàê â ï åäûäóùåì àáçàöå, íî ñ íà àëüíûì óñëîâèåì Âûáå åì ε (0,r) è îáîçíà èì x(t 0,x 0 )=x 0 N δ (t 0 ). α. = α(ε) =inf{v (t, x) :(t, x) fr M ε }. Òàê êàê ôóíêöèß Ëßïóíîâà V (t, x) îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíàß, òî α>0. Ïî äàííîìó ε ïîñò îèì òàêîå δ (0,ε), òî V (t, x) <αäëß âñåõ (t, x) N δ (òàê êàê ôóíêöèß V íåï å ûâíà, òàêîå δ ñóùåñòâóåò). Ï åäïîëîæèì, òî íàéäåòñß t òàêîå, òî (t,x(t,x)) fr M ε. Òàê êàê v(t 0 )=V (t 0,x) <α, ïîëó àåì ï îòèâî å èå α v(t ) v(t 0 ) <α, êîòî îå äîêàçûâàåò, òî ìíîæåñòâî M ñëàáî óñòîé èâî ïî Ëßïóíîâó. Îï åäåëåíèå 6 (ñì. [4]). Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñß ñëàáî àñèìïòîòè åñêè óñòîé èâûì (îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1)), åñëè îíî ñëàáî óñòîé èâî ïî Ëßïóíîâó è ñóùåñòâóåò òàêîå r>0, òî äëß ë áîé íà àëüíîé òî êè x 0 N r (t 0 ) íàéäåòñß òàêîå å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1), òî lim ϱ(x(t, x 0),M(t)) = 0. Òåî åìà 2. Ï åäïîëîæèì, òî ñóùåñòâóåò ôóíêöèß V (t, x) μ îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíàß ôóíêöèß Ëßïóíîâà îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M òàêàß, òî äëß âñåõ (t, x) N r âûïîëíåíî íå àâåíñòâî Vmin o (t, x) 0 è íàéäåòñß òàêîå ŵ W, òî V (τ i,x+ g(x, ŵ)) V (τ i,x) ψ ( V (τ i,x) ) äëß âñåõ x N r (τ i ),i=1, 2,..., (1.6) ãäå ψ(s) μ íåï å ûâíàß ï è s 0 ôóíêöèß òàêàß, òî ψ(0) = 0 è ψ(s) > 0 ï è s>0. Ê îìå òîãî, ï åäïîëîæèì, òî åñëè x M(τ i ), òî x + g(x, ŵ) M(τ i ). Òîãäà ìíîæåñòâî M ñëàáî àñèìïòîòè åñêè óñòîé èâî îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1).

Î ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè óï àâëßåìûõ ñèñòåì 73 Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü äëß âñåõ (t, x) [t 0, + ) R n ìíîæåñòâî Û(t, x) çàäàíî ïå âûì àâåíñòâîì (1.4). Îï åäåëèì ìíîæåñòâî W. = { w W : V (τ i,x+ g(x, w)) V (τ i,x) ψ ( V (τ i,x) ),i=1, 2,... }. Îíî íåïóñòî â ñèëóíå àâåíñòâà (1.6). Ñîãëàñíî äîêàçàòåëüñòâóëåììû 1, ñóùåñòâó ò å åíèß ϕ i (t, x i ) äèôôå åíöèàëüíîãî âêë - åíèß (1.2), óäîâëåòâî ß ùèå íà àëüíîìó óñëîâè ϕ i (τ i,x i )=x i,i=0, 1, 2,... Îï åäåëèì å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1) ñ íà àëüíûì óñëîâèåì x(t 0,x 0 )=x 0 M(t 0 ), êîòî îå íà [t 0,τ 1 ) ñîâïàäàåò ñ ϕ 0 (t, x 0 ) èíàêàæäîì èç ï îìåæóòêîâ [τ i,τ i+1 ) ñîâïàäàåò ñ å åíèåì ϕ i (t, x i ),ãäå x i = ϕ i 1 (τ i,x i 1 )+g ( ϕ i 1 (τ i,x i 1 ),w i ), wi W, i =1, 2,... Åñëè x 0 M(t 0 ), òî èç ëåììû 1 ñëåäóåò, òî x(t, x 0 ) M(t) ï è âñåõ t [t 0, + ), ïî òîìó àâåíñòâî lim ϱ(x(t, x 0 ),M(t)) = 0 âûïîëíåíî. Ïóñòü òåïå ü äëß íà àëüíîãî óñëîâèß x 0 èìååò ìåñòî âêë åíèå x 0 N r (t 0 )=M r (t 0 ) \ M(t 0 ). Ðàññìîò èì ôóíêöè v(t) =V (t, x(t, x 0 )) è äîêàæåì, òî lim v(t) =0. Íå àâåíñòâî Vmin o (t, x) 0 ãà àíòè óåò íåâîç àñòàíèå ôóíêöèè v(t) â ï îìåæóòêàõ åå íåï å ûâíîñòè (èëè â ï îìåæóòêàõ íåï å ûâíîñòè äî ìîìåíòà, ï è êîòî îì òî êà (t, x(t, x 0 )) ï èíàäëåæèò ìíîæåñòâó M, åñëè òàêîé ìîìåíò â åìåíè ñóùåñòâóåò). Äàëåå àññìîò èì ôóíêöè v(t) âòî êàõ τ i, äëß êîòî ûõ v(τ i ) > 0. Òîãäà èç íå àâåíñòâà (1.6) ñëåäóåò, òî ñóùåñòâóåò òàêîå ŵ W, äëß êîòî îãî v(τ i )=V ( τ i,x(τ i,x 0 ) ) = V ( τ i,x(τ i 0,x 0 )+g(x(τ i 0,x 0 ), ŵ) ) V ( τ i,x(τ i 0,x 0 ) ) ψ ( V (τ i,x(τ i 0,x 0 )) ) v(τ i 0). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèß v(t) ßâëßåòñß íåâîç àñòà ùåé äëß ë áîãî t [t 0, + ) (èëè äî ìîìåíòà, ï è êîòî îì òî êà (t, x(t, x 0 )) ï èíàäëåæèò ìíîæåñòâó M). Îòìåòèì, òî, íà èíàß ñ ìîìåíòà, ï è êîòî îì òî êà (t, x(t, x 0 )) ï èíàäëåæèò M, âûïîëíåíî àâåíñòâî v(t) =0, ïî òîìóâ ñëó àå ñóùåñòâîâàíèß òàêîãî ìîìåíòà lim v(t) =0. Ïóñòü òî êà (t, x(t, x 0 )) íå ï èíàäëåæèò ìíîæåñòâó M äëß âñåõ t [t 0, + ). Òîãäà äëß âñåõ t [t 0, + ) ôóíêöèß v(t) ßâëßåòñß íåâîç àñòà ùåé è óäîâëåòâî ßåò íå àâåíñòâó v(t) > 0. Òàêèì îá àçîì, ñóùåñòâóåò lim v(t) =a 0. Ï åäïîëîæèì, òî a>0. Ïóñòü c = min ψ(s). a s v(0) Â ñèëó(1.6) èìååì v(τ i ) v(τ i 0) = V ( τ i,x(τ i,x 0 ) ) V ( τ i 0,x(τ i 0,x 0 ) ) = = V ( τ i,x(τ i 0,x 0 )+g(x(τ i 0,x 0 ), ŵ) ) V ( τ i 0,x(τ i 0,x 0 ) ) ψ ( V (τ i,x(τ i 0,x 0 )) ) ψ(v(τ i 0)) ï è âñåõ i =1, 2,...Ïîñêîëüêó a v(τ i ) v(0), òî ψ(v(τ i 0)) c, ñëåäîâàòåëüíî, v(τ i ) v(τ i 0) c. Èç íåâîç àñòàíèß ôóíêöèè v(t) ñëåäóåò, òî v(τ i ) v(τ i+1 0) äëß âñåõ i =1, 2,... Îòñ äà äëß ë áîãî íàòó àëüíîãî k ïîëó àåì k 1 v(τ k ) v(τ k )+ (v(τ i ) v(τ i+1 0)) = v(0) + i=0 k (v(τ i ) v(τ i 0)) v(0) kc. Ï àâàß àñòü ïîñëåäíåãî íå àâåíñòâà ï è áîëü èõ çíà åíèßõ k ñòàíîâèòñß îò èöàòåëüíîé, òî ï îòèâî å èò òîìó, òî lim v(t) =a>0. Òàêèì îá àçîì, lim v(t) =0. Ïîêàæåì, òî lim ϱ(x(t, x 0 ),M(t)) = 0. Ï åäïîëîæèì ï îòèâíîå, òîãäà ñóùåñòâó ò êîíñòàíòà ε (0,r) è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {t i } i=1 òàêèå, òî t i èϱ(x(t i,x 0 ),M(t i )) >ε.ñëåäî- âàòåëüíî, (t i,x(t i,x 0 )) M ε,è,òàê êàê ôóíêöèß V îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíàß, íàéäåòñßòàêîå δ>0, òîv (t i,x(t i,x 0 )) δ. Ýòî ï îòèâî å èò òîìó, òî lim V (t, x(t, x 0 )) = lim v(t) =0. i=1

74 SS.. Ëà èíà 2. Òåî åìà ñ àâíåíèß äëß å åíèé ñèñòåì è ó àâíåíèé ñ èìïóëüñàìè Â òîì ïà àã àôå ïîëó åíû àíàëîãè òåî åìû Ëà-Ñàëëß (ñì. [14, ñ. 276]) äëß óï àâëßåìûõ ñèñòåì ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì (1.1). Îòìåòèì, òî äëß ñèñòåì áåç èìïóëüñîâ ẋ = f(t, x, u) ïîäîáíûå óòâå æäåíèß äîêàçàíû â àáîòàõ [3, 5]. Ðàññìîò èì äèôôå åíöèàëüíîå ó àâíåíèå ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì ż = q(t, z), t τ i, Δz t=τi = l(z), (t, z) [t 0, + ) R, (2.1) ãäå ôóíêöèß q(t, z) ëîêàëüíî ëèï èöåâà ïî z, à ôóíêöèß l(z) íåï å ûâíà. Ââåäåì â àññìîò- åíèå ôóíêöè L(z) =l(z) +z â ï åäïîëîæåíèè, òî L(z) íåóáûâà ùàß äëß âñåõ z R. Òåî åìà 3. Ïóñòü ñóùåñòâó ò ôóíêöèè V (t, x), q(t, z), l(z) òàêèå, òî V (t, x) ßâëßåòñß îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé Ëßïóíîâà îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M, äëß âñåõ (t, x) N r âûïîëíåíî íå àâåíñòâî Vmin o (t, x) q(t, V (t, x)) è íàéäåòñß òàêîå ŵ W, òî V (τ i,x+ g(x, ŵ)) L (V (τ i,x)) äëß âñåõ x M r (τ i ),i=1, 2,... (2.2) Tîãäà, åñëè äëß å åíèß z(t) ó àâíåíèß (2.1) ñ íà àëüíûì óñëîâèåì z(t 0 )= max V (t 0,x 0 ) x 0 N r (t 0 ) âûïîëíåíî àâåíñòâî lim z(t) =0, òî ìíîæåñòâî M ñëàáî àñèìïòîòè åñêè óñòîé èâî îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (1.1). Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëß âñåõ (t, x) N r îï åäåëèì ìíîæåñòâà Ũ(t, x) =. {u U(t, x) :V o (t, x; f(t, x, u)) q(t, V (t, x))}, W =. {w W : V (τ i,x+ g(x, w)) L (V (τ i,x)), i =1, 2,...}. Èç íå àâåíñòâ Vmin o (t, x) q(t, V (t, x)) è (2.2) ñëåäóåò, òî òè ìíîæåñòâà íåïóñòûå. Ìíîæåñòâî Ũ(t, x) îã àíè åíî, ïîñêîëüêó Ũ(t, x) U(t, x). Òàê æå, êàê â ëåììå 1, äîêàçûâàåòñß, òî ìíîæåñòâî Ũ(t, x) çàìêíóòî. Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâó Ũ(t, x) äèôôå åíöèàëüíîå âêë åíèå ẋ F (t, x), F (t, x) =co H(t, x), (2.3) ãäå H(t, x) ñîñòîèò èç âñåõ ï åäåëüíûõ çíà åíèé ôóíêöèè f(t i,x i, Ũ(t i,x i )) ï è (t i,x i ) (t, x), ôóíêöèß (t, x) F (t, x) ïîëóíåï å ûâíà ñâå õó(ñì. ëåììó10.1 àáîòû [5]). Îáîçíà èì å åç ϕ i (t, x i ) å åíèß âêë åíèß (2.3), óäîâëåòâî ß ùèå íà àëüíûì óñëîâèßì ϕ i (τ i,x i )=x i,i= 0, 1, 2,... Ïîñêîëüêó Ũ(t, x) U(t, x) äëß âñåõ (t, x) [t 0, + ) R n, òî F (t, x) F (t, x). Ñëåäîâàòåëüíî, å åíèß ϕ i (t, x i ) äèôôå åíöèàëüíîãî âêë åíèß (2.3) òàêæå ßâëß òñß è å åíèßìè èñõîäíîãî âêë åíèß (1.2). Îï åäåëèì å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1), óäîâëåòâî ß ùåå íà- àëüíîìóóñëîâè x(t 0,x 0 )=x 0 N r (t 0 ), êîòî îå íà ï îìåæóòêå [t 0,τ 1 ) ñîâïàäàåò ñ ϕ 0 (t, x 0 ) èíàêàæäîì ï îìåæóòêå [τ i,τ i+1 ) ñîâïàäàåò ñ å åíèåì ϕ i (t, x i ),ãäå x i = ϕ i 1 (τ i,x i 1 )+g ( ϕ i 1 (τ i,x i 1 ),w i ), wi W, i =1, 2,... Äëß òîãî å åíèß ïîñò îèì ôóíêöè v(t) =V (t, x(t, x 0 )), â òî êàõ äèôôå åíöè óåìîñòè êîòî îé âûïîëíåíî íå àâåíñòâî v(t) Vmax o (t, x(t, x 0 )). Èç òîãî íå àâåíñòâà è (2.2) ñëåäóåò, òî íå àâåíñòâî v(t) q(t, v(t)) âûïîëíåíî â ï îìåæóòêàõ íåï å ûâíîñòè ôóíêöèè v(t) (èëè â ï îìåæóòêàõ íåï å ûâíîñòè äî ìîìåíòà â åìåíè, ï è êîòî îì å åíèå ï èíàäëåæèò ìíîæåñòâó M, åñëè òàêîé ìîìåíò ñóùåñòâóåò). Åñëè òîò ìîìåíò ñóùåñòâóåò, òî lim v(t) =0,òàê êàê v(t) =0ï è òåõ t, ï è êîòî ûõ å åíèå ï èíàäëåæèò äàííîìóìíîæåñòâó. Äàëåå àññìîò èì

Î ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè óï àâëßåìûõ ñèñòåì 75 ñëó àé, êîãäà å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1) íå ï èíàäëåæèò ìíîæåñòâó M äëß âñåõ t t 0. Ïîñêîëüêó x 0 N r (t 0 ), òî v(t 0 )=V (t, x(t 0,x 0 )) = V (t 0,x 0 ) max V (t 0,x 0 )=z(t 0 ), x 0 N r (t 0 ) ïî òîìó, â ñèëó òåî åìû àïëûãèíà (ñì. [15, ñ. 15]), íå àâåíñòâî v(t) z(t) âå íî ï è âñåõ t [t 0,τ 1 ). Èç âòî îãî íå àâåíñòâà (2.2) ïîëó àåì v(τ 1 )=V(τ 1,x(τ 1,x)) = V (τ 1,x(τ 1 0,x)+g(x(τ 1 0,x),w 1 )) L (V (τ 1,x(τ 1 0,x))) = L (v(τ 1 0)). Òîãäà v(τ 1 ) L (v(τ 1 0)) L(z(τ 1 0)), òàê êàê ôóíêöèß L(z) ßâëßåòñß íåóáûâà ùåé. Èç àâåíñòâà z(τ 1 )=L(z(τ 1 0)) ñëåäóåò, òî v(τ 1 ) z(τ 1 ). Ðàññóæäàß ïîäîáíûì îá àçîì, ò.å. ï èìåíßß äàëåå òåî åìó àïëûãèíà íà êàæäîì ï îìåæóòêå [τ i,τ i+1 ),i=1, 2,..., ïîëó àåì, òî íå àâåíñòâî v(t) z(t) âå íî äëß âñåõ t [t 0, + ). Ïîñêîëüêó ôóíêöèß V (t, x) ßâëßåòñß ôóíêöèåé Ëßïóíîâà, òî 0 v(t) z(t). (2.4) Èç óñëîâèß lim z(t) =0è íå àâåíñòâà (2.4) ñëåäóåò, òî lim v(t) = lim V (t, x(t, x 0 )) = 0. Òàê æå êàê â äîêàçàòåëüñòâå òåî åìû 2, èç ïîëîæèòåëüíîé îï åäåëåííîñòè ôóíêöèè V (t, x) è àâåíñòâà lim v(t) =0ñëåäóåò, òî lim ϱ(x(t 0,x),M(t)) = 0. Ïîëîæèì òåïå ü M = { (t, x) R R n : x M(t) =0 }. Òîãäà äëß òîãî ìíîæåñòâà ñï àâåäëèâî óòâå æäåíèå î ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè, êîòî îå ßâëßåòñß ñëåäñòâèåì òåî åìû 3. Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü ñóùåñòâó ò ôóíêöèè V (t, x), q(t, z), l(z) òàêèå, òî V (t, x) ßâëßåòñß îï åäåëåííî ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé Ëßïóíîâà îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M è äëß âñåõ (t, x) N r = {(t, x) [t 0, + ) R n : x r} âûïîëíåíû íå àâåíñòâà (2.2). Tîãäà åñëè äëß å åíèß z(t) ó àâíåíèß (2.1) ñ íà àëüíûì óñëîâèåì z(t 0 )= max V (t 0,x 0 ) âûïîëíåíî àâåíñòâî lim z(t) =0, òî äëß ë áîãî x 0 r ñóùåñòâóåò å åíèå x(t, x 0 ) ñèñòåìû (1.1), äëß x 0 r êîòî îãî ñï àâåäëèâî àâåíñòâî lim x(t, x 0 )=0. 3. Àñèìïòîòè åñêîå ïîâåäåíèå å åíèé â ìîäåëè êîíêó åíöèè äâóõ âèäîâ ñ èìïóëüñíûì óï àâëåíèåì Ðàññìîò èì ìîäåëü êîíêó åíöèè äâóõ âèäîâ, èñëåííîñòè êîòî ûõ àâíû x 1,x 2. Êàæäûé èç âèäîâ àçìíîæàåòñß â ñîîòâåòñòâèè ñ ëîãèñòè åñêèì çàêîíîì, à ï è âñò å å èñëåííîñòü êàê îäíîãî, òàê è ä óãîãî âèäà óìåíü àåòñß. Â ìîìåíòû â åìåíè τ i íà ñèñòåìóîêàçûâàåòñß âíå íåå âîçäåéñòâèå, â åçóëüòàòå êîòî îãî èñëåííîñòè îáîèõ âèäîâ ñîê àùà òñß. Ï åäïîëàãàåì, òî äàííàß ìîäåëü çàäàíà ñëåäó ùåé ñèñòåìîé ñ èìïóëüñíûì óï àâëåíèåì: { x1 = x 1 x 2 1 ax 1x 2, t τ i, Δx 1 t=τi = w 1 x 1, (3.1) x 2 = x 2 x 2 2 bx 1 x 2, t τ i, Δx 2 t=τi = w 2 x 2. Çäåñü τ i = ih, i = 1, 2,..., h > 0; a > 0, b>0 μ êîíñòàíòû âçàèìîäåéñòâèß âèäîâ, w 1, w 2 μ êî ôôèöèåíòû óï àâëåíèß, w =(w 1,w 2 ) W. =[w 11,w 12 ] [w 21,w 22 ], 1 <w 12 < 0, 1 <w 22 < 0. Îáà âèäà ìîãóò ñîñóùåñòâîâàòü, åñëè ï îèçâåäåíèå êî ôôèöèåíòîâ ìåæïîïóëßöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèß ab < 1 (ñì. [16, ñ. 147]). Ëåììà 2. Ï è çàäàííûõ óñëîâèßõ å åíèß ñèñòåìû (3.1) íåîò èöàòåëüíû. Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü f 1 (t, x 1,x 2 ). = x 1 x 2 1 ax 1x 2, f 2 (t, x 1,x 2 ). = x 2 x 2 2 bx 1x 2, x(t, x 0 ) μ å åíèå ñèñòåìû (3.1), óäîâëåòâî ß ùåå íà àëüíîìóóñëîâè x(t 0,x 0 )=x 0 0. Òàê êàê f 1 (t, 0,x 2 )=0, f 2 (t, x 1, 0) = 0 è x 1 + w 1 x 1 =(1+w 1 )x 1 0, x 2 + w 2 x 2 =(1+w 2 )x 2 0

76 SS.. Ëà èíà äëß âñåõ t 0, x 1 0, x 2 0, ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèß êâàçèïîëîæèòåëüíîñòè (ñì. [17, ñ. 34]) âûïîëíß òñß. Òîãäà å åíèß çàäàííîé ñèñòåìû íåîò èöàòåëüíû. Îáîçíà èì R 2 + = {x R 2 : x 1 0, x 2 0}. Ïóñòü M μ ò åóãîëüíèê, çàäàííûé ñëåäó ùèì îá àçîì: M = { (x 1,x 2 ) R 2 + : x 1 + x 2 C }, ãäå C>0. Ðàññìîò èì ìíîæåñòâî M = {(t, x) R 3 : x M} è ôóíêöè { 0, åñëè (x 1,x 2 ) M, V (t, x 1,x 2 )=V(x 1,x 2 )= x 1 + x 2 C, åñëè (x 1,x 2 ) R 2 + \ M, êîòî àß ßâëßåòñß ôóíêöèåé Ëßïóíîâà îòíîñèòåëüíî äàííîãî ìíîæåñòâà. Íàéäåì åå ï îèçâîäíó â ñèëó ñèñòåìû (3.1) ï è (x 1,x 2 ) R 2 + \ M: V o (x 1,x 2 )=x 1 x 2 1 ax 1x 2 + x 2 x 2 2 bx 1x 2. Íàéäåì ìàêñèìóì ôóíêöèè V o (x 1,x 2 ) â îáëàñòè R 2 + \ M. Åñëè ( ) (x o 1,xo 2 )= 1 a + b +2, 1 R 2 + a + b +2 \ M, òî ìàêñèìàëüíîå çíà åíèå V o (x 1,x 2 ) â R 2 1 + \ M àâíî > 0, òî åñòü íå àâåíñòâî a + b +2 V o (x 1,x 2 ) 0 íå ìîæåò âûïîëíßòüñß äëß âñåõ òî åê èç R 2 + \M. Îòìåòèì, òî (x o 1,xo 2 ) R2 + \M 2 ï è C< a + b +2. Íåñëîæíî ïîêàçàòü, òî åñëè (x o 1,xo 2 ) M,òîìàêñèìàëüíîå çíà åíèå V o (x 1,x 2 ) äîñòèãàåòñß íà îò åçêå x 1 + x 2 = C, x 1 [0,C]. Âû èñëßß V o (x 1,C x 1 )=(a + b 2)x 2 1 C(a + b +2)x 1 + C + C 2, ( C íàõîäèì, òî óñëîâíûé ìàêñèìóì ôóíêöèè V o (x 1,x 2 ) äîñòèãàåòñß â òî êå (x 1,x 2 )= 2, C ) è 2 åãî çíà åíèå àâíî V o (x (a + b 1,x +2)C2 2 )=C. Íàéäåì óñëîâèå, ï è êîòî îì V o (x 1 4,x 2 ) 0, òî åñòü (a + b +2)C2 C 0. 4 Ðå àß òî íå àâåíñòâî, ïîëó èì ñëåäó ùåå îã àíè åíèå: C 4 a + b +2. Ï è òîì âòî àß ï îèçâîäíàß ôóíêöèè V o (x 1,C x 1 ) äîëæíà áûòü îò èöàòåëüíîé, îòñ äà ïîëó èì óñëîâèå íà êî ôôèöèåíòû ñèñòåìû (3.1): a + b < 2. Åñëè x M, òîx + g(x, w) =x 1 + w 1 x 1 + x 2 + w 2 x 2 =(1+w 1 )x 1 +(1+w 2 )x 2 x 1 + x 2 C. Òàêèì îá àçîì, å åíèå îñòàåòñß âm. Äàëåå, ñîãëàñíî òåî åìå 2, àññìîò èì àçíîñòü V (x + g(x, w)) V (x) ï è x R 2 + \ M. Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó àß: 1) Òî êà x + g(x, w) R 2 + \ M, òîãäà V (x + g(x, w)) V (x) =V (x 1 + w 1 x 1,x 2 + w 2 x 2 ) V (x 1,x 2 )= = x 1 + w 1 x 1 + x 2 + w 2 x 2 x 1 x 2 = w 1 x 1 + w 2 x 2 α(x 1 + x 2 ) α(x 1 + x 2 C) =αv (x 1,x 2 ), ãäå α = max{w 1,w 2 }. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèß ψ(s) èç òåî åìû 2 àâíà ψ(s) = αs. Ýòà ôóíêöèß íåï å ûâíà ï è s 0, ψ(0) = 0 è ψ(s) > 0 ï è s>0, òàê êàê α<0.

Î ñëàáîé àñèìïòîòè åñêîé óñòîé èâîñòè óï àâëßåìûõ ñèñòåì 77 2) Òî êà x + g(x, w) M, òîãäà V (x + g(x, w)) V (x) =0 V (x 1,x 2 )= V (x). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèß ψ(s) èç òåî åìû 2 àâíà ψ(s) =s. Ýòà ôóíêöèß òàêæå óäîâëåòâî ßåò âñåì óñëîâèßì òåî åìû 2. Òàêèì îá àçîì, åñëè èñõîäíàß ñèñòåìà (3.1) óäîâëåòâî ßåò óñëîâè a + b < 2 è ìíîæåñòâî M = { (x 1,x 2 ) R 2 + : x 1 + x 2 C } 4 òàêîe, òî C, òî ï èìåíèìà òåî åìà 2, èç a + b +2 êîòî îé ñëåäóåò, òî çàäàííîå ìíîæåñòâî M ñëàáî àñèìïòîòè åñêè óñòîé èâî îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (3.1). ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ëà èíà SS.. Ôóíêöèè Ëßïóíîâà è òåî åìû ñ àâíåíèß äëß óï àâëßåìûõñèñòåì ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì // Âåñòíèê Óäìó òñêîãî óíèâå ñèòåòà. Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Êîìïü òå íûå íàóêè. 2015. Âûï. 1. Ñ. 51 59. 2. Ñàìîéëåíêî À.Ì., Ïå åñò ê Í.À. Äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì. Êèåâ: Âèùà êîëà, 1987. 287 c. 3. Ïàíàñåíêî Å.À., Òîíêîâ Å.Ë. Èíâà èàíòíûå è óñòîé èâî èíâà èàíòíûå ìíîæåñòâà äèôôå åíöèàëüíûõâêë åíèé // Ò óäû Ìàòåìàòè åñêîãî èíñòèòóòà èì. Â.À. Ñòåêëîâà. 2008. Ò. 262. Ñ. 202 221. 4. Ïàíàñåíêî Å.À., Òîíêîâ Å.Ë. Ðàñï îñò àíåíèå òåî åì Å.À. Áà áà èíà è Í.Í. Ê àñîâñêîãîîá óñòîé- èâîñòè íà óï àâëßåìûå äèíàìè åñêèå ñèñòåìû // Ò óäû Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè Ó Î ÐÀÍ. 2009. Ò. 15. 3. Ñ. 185 201. 5. Ðîäèíà Ë.È. Èíâà èàíòíûå è ñòàòèñòè åñêè ñëàáî èíâà èàíòíûå ìíîæåñòâà óï àâëßåìûõ ñèñòåì // Èçâåñòèß Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è èíôî ìàòèêè ÓäÃÓ. 2012. Âûï. 2 (40). Ñ. 3 164. 6. Ðîäèíà Ë.È. Îöåíêà ñòàòèñòè åñêèõ õà àêòå èñòèê ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè óï àâëßåìûõ ñèñòåì // Èçâåñòèß âûñ èõó åáíûõçàâåäåíèé. Ìàòåìàòèêà. 2013. 11. Ñ. 20 32. 7. Ðîäèíà Ë.È., Òîíêîâ Å.Ë. Ñòàòèñòè åñêèå õà àêòå èñòèêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè óï àâëßåìîé ñèñòåìû, íåáëóæäàåìîñòü è ìèíèìàëüíûé öåíò ï èòßæåíèß // Íåëèíåéíàß äèíàìèêà. 2009. Ò. 5. 2.Ñ.265 288. 8. Ôèëèïïîâ À.Ô. Äèôôå åíöèàëüíûå ó àâíåíèß ñ àç ûâíîé ï àâîé àñòü. Ì.: Íàóêà, 1985. 223 ñ. 9. Êëà ê Ô. Îïòèìèçàöèß è íåãëàäêèé àíàëèç. Ì.: Íàóêà, 1988. 300 c. 10. Íåìûöêèé Â.Â., Ñòåïàíîâ Â.Â. Êà åñòâåííàß òåî èß äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Ì.: Ãîñòåõòåî èçäàò, 1949. 550 ñ. 11. Ôåäå å Ã. Ãåîìåò è åñêàß òåî èß ìå û. Ì.: Íàóêà, 1987. 761 c. 12. Ôèëèïïîâ Â.Â. Ï îñò àíñòâà å åíèé îáûêíîâåííûõ äèôôå åíöèàëüíûõ ó àâíåíèé. Ì.: ÌÃÓ, 1993. 336 ñ. 13. ÁëàãîäàòñêèõÂ.È., Ôèëèïïîâ À.Ô. Äèôôå åíöèàëüíûå âêë åíèß è îïòèìàëüíîå óï àâëåíèå // Ò óäû Ìàòåìàòè åñêîãî èíñòèòóòà èì. Â.À. Ñòåêëîâà. 1985. Ò. 169. Ñ. 194 252. 14. Äåìèäîâè Á.Ï. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè åñêîé òåî èè óñòîé èâîñòè. Ì.: Íàóêà, 1967. 472 ñ. 15. àïëûãèí Ñ.À. Íîâûé ìåòîä ï èáëèæåííîãî èíòåã è îâàíèß äèôôå åíöèàëüíûõó àâíåíèé. Ì. Ë.: Ãîñòåõèçäàò, 1950. 102 ñ. 16. Ðèçíè åíêî Ã.. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè åñêèì ìîäåëßì â áèîëîãèè. àñòü 1. Èæåâñê: ÍÈÖ Ðåãóëß íàß è õàîòè åñêàß äèíàìèêà, 2002. 236 c. 17. Êóçåíêîâ Î.À., Ðßáîâà Å.À. Ìàòåìàòè ñêîå ìîäåëè îâàíèå ï îöåññîâ îòáî à. Íèæíèé Íîâãî îä: Èçäàòåëüñòâî Íèæåãî îäñêîãî óíèâå ñèòåòà, 2007. 324 ñ. Ïîñòóïèëà â åäàêöè 17.01.2016 Ëà èíà SSíà üåâíà, àññèñòåíò, êàôåä à ìàòåìàòè åñêîãî àíàëèçà, Óäìó òñêèé ãîñóäà ñòâåííûé óíèâå ñèòåò, 426034, Ðîññèß, ã. Èæåâñê, óë. Óíèâå ñèòåòñêàß, 1. E-mail: yana_larina89@mail.ru

78 SS.. Ëà èíà Ya. Yu. Larina Weak asymptotic stability of control systems with impulsive actions Keywords: control systems with impulsive actions, Lyapunov function, weak asymptotic stability. MSC: 34A60, 37N35, 49J15, 93B03 We continue investigating the conditions of positiveinvariance and asymptotic stabilityofagiven set relative toacontrol system with impulsive actions.we consider the set M. = { (t, x) [t 0, + ) R n : x M(t) }, given by a function t M(t) that is continuous in the Hausdorff metric, where the set M(t) is nonempty and compact for each t R. In terms of the Lyapunov functions and the Clarke derivative, we obtain conditions for weak positive invariance, weak uniform Lyapunov stability and weak asymptotic stability of the set M. Also we prove a comparison theorem for solutions of systems and equations with impulses the consequence of which is the conditions for existence of solutions of the system that asymptotically tends to zero. The obtained results are illustrated by the example of model for competition of two species exposed to impulse control at given times. REFERENCES 1. Larina Ya.Yu. Lyapunov functions and comparison theorems for control systems with impulsive actions, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2015, vol. 25, no. 1, pp. 51 59 (in Russian). 2. Samoilenko A.M., Perestyuk N.A. Differentsial'nye uravneniya s impul'snym vozdeistviem (Impulsive differential equations), Kiev: Vishcha shkola, 1987, 287 p. 3. Panasenko E.A., Tonkov E.L. Invariant and stably invariant sets for differential inclusions, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2008, vol. 262, pp. 194 212. 4. Panasenko E.A., Tonkov E.L. Extension of E.A. Barbashin's and N.N. Krasovskii's stability theorems to controlled dynamical systems, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2010, vol. 268, suppl. 1, pp. 204 221. 5. Rodina L.I. Invariant and statistically weakly invariant sets of control systems, Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2012, no. 2 (40), pp. 3 164 (in Russian). 6. Rodina L.I. Estimation of statistical characteristics of attainability sets of controllable systems, Russian Mathematics, 2013, vol. 57, no. 11, pp. 17 27. 7. Rodina L.I., Tonkov E.L. Statistical characteristics of attainable set of controllable system, nonwandering, and minimal attraction center, Nelin. Dinam., 2009, vol. 5, no. 2, pp. 265 288 (in Russian). 8. Filippov A.F. Differentsial'nye uravneniya s razryvnoi pravoi chast'yu (Differential equations with discontinuous right-hand side), Ìoscow: Nauka, 1985, 223 p. 9. Clarke F. Optimization and nonsmooth analysis, Wiley, 1983. Translated under the title Optimizatsiya i negladkii analiz, Moscow: Nauka, 1988, 300 p. 10. Nemytskii V.V., Stepanov V.V. Qualitative theory of differential equations, New Jersey: Princeton University Press, 1960, 523 p. 11. Federer H. Geometricheskaya teoriya mery (Geometric theory of measure), Moscow: Nauka, 1987, 761 p. 12. Filippov V.V. Prostranstva reshenii obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii (Spaces of solutions of ordinary differential equations), Moscow: Moscow State University, 1993, 336 p. 13. Blagodatskikh V.I., Filippov A.F. Differential inclusions and optimal control, Proc. Steklov Inst. Math., 1986, vol. 169, pp. 199 259. 14. Demidovich B.P. Lektsii po matematicheskoi teorii ustoichivosti (Lectures on the mathematical stability theory), Moscow: Nauka, 1967, 472 p. 15. Chaplygin S.A. Novyi metod priblizhennogo integrirovaniya differentsial'nykh uravnenii (A new method of approximate integration of differential equations), Moscow Leningrad: Gostekhizdat, 1950, 102 p. 16. Riznichenko G.Yu.Lektsii po matematicheskim modelyam v biologii. Chast' 1 (Lectures on the mathematical models in biology. Part 1), Izhevsk: Regular and Chaotic Dynamics, 2002, 236 p. 17. Kuzenkov O.A., Ryabova E.A. Matematicheskoe modelirovanie protsessov otbora (Mathematical modeling of processes of selection), Nizhnii Novgorod: Nizhnii Novgorod State University, 2007, 324 p. Received 17.01.2016 Larina Yana Yur'evna, Assistant Lecturer, Department of Mathematical Analysis, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: yana_larina89@mail.ru