Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας (EOQ) Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής

Σύνοψη διάλεξης Ορισμός του προβλήματος βέλτιστης ποσότητας παραγγελίας Προϋποθέσεις χρήσης του μοντέλου Εύρεση βέλτιστης ποσότητας παραγγελίας Χρόνος μεταξύ παραγγελιών Ανάλυση ευαισθησίας Μοντέλο με εκπτώσεις ανάλογες της ποσότητας Παραδείγματα εφαρμογής 2

Ορισμός του προβλήματος Οι επιχειρήσεις αντιμετωπίζουν αντίθετες πιέσεις για τη διατήρηση των αποθεμάτων τους σε χαμηλά επίπεδα έτσι ώστε να μειώσουν το κόστος κράτησης των αποθεμάτων Από την άλλη πλευρά, δέχονται πιέσεις για υψηλά επίπεδα αποθεμάτων ώστε να μπορούν να καλύψουν την ζήτηση εγκαίρως Μία μέθοδος εξισορρόπησης των πιέσεων αυτών είναι η εύρεση της Βέλτιστης Ποσότητας Παραγγελίας (Economic Order Quantity ή ΕΟQ) Η μέθοδος αυτή θεωρεί τα κόστη τήρησης αποθεμάτων και τοποθέτησης παραγγελιών ως τις βασικές συνιστώσες διαχείρισης αποθεμάτων και οδηγεί σε βέλτιστα αποτελέσματα υπό προϋποθέσεις 3

Προϋποθέσεις χρήσης Ο προσδιορισμός της ΕΟQ βασίζεται στις ακόλουθες υποθέσεις: Ο ρυθμός ζήτησης είναι σταθερός (π.χ. 10 μονάδες ημερησίως) και γνωστός Δεν υπάρχουν περιορισμοί αναφορικά με το μέγεθος της παραγγελίας Τα μόνα σχετικά κόστη είναι το κόστος κράτησης αποθεμάτων και ένα σταθερό κόστος για κάθε παραγγελία Οι αποφάσεις για ένα είδος λαμβάνονται ανεξάρτητα από τις αποφάσεις για άλλα είδη Δεν υπάρχει αβεβαιότητα αναφορικά με τον χρόνο αναμονής των αποθεμάτων και τη ζήτηση κατά τη διάρκεια του σχετικού χρονικού διαστήματος αυτού Όταν ισχύουν οι παραπάνω υποθέσεις η ΕΟQ είναι δυνατόν να υπολογιστεί αναλυτικά 4

Προϋποθέσεις χρήσης Στην πραγματικότητα, ελάχιστες περιπτώσεις είναι τόσο απλοϊκές Συνήθως οι ποσότητες παραγγελίας θα πρέπει να ανταποκρίνονται σε πιο σύνθετες περιπτώσεις όπου η ζήτηση δεν θα είναι σταθερή, θα υπάρχουν εκπτώσεις στις τιμές ανάλογες με την ποσότητα παραγγελίας ή θα υπάρχουν αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στη ζήτηση διαφορετικών αντικειμένων Συχνά όμως η ΕΟQ αποτελεί μία λογική αρχική προσέγγιση ακόμα και σε περιπτώσεις που δεν ισχύουν οι παραπάνω υποθέσεις 5

Εύρεση βέλτιστης ποσότητας Για να υπολογίσουμε τη βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας (ΕΟQ) ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: Διατυπώνουμε τη συνάρτηση κόστους για μέγεθος παραγγελίας Q Βρίσκουμε την ΕΟQ, η οποία είναι η ποσότητα παραγγελίας Q που ελαχιστοποιεί την συνάρτηση κόστους Τέλος, μετατρέπουμε την ΕΟQ σε ένα συνοδευτικό μέτρο, το χρόνο που πρέπει να περάσει ανάμεσα σε δύο παραγγελίες 6

Εύρεση βέλτιστης ποσότητας Στο Σχήμα παρουσιάζεται το κυκλικό απόθεμα Όταν αρχίζει ένας κύκλος το απόθεμα είναι ίσο με Q μονάδες (συμβαίνει μόλις παραλάβουμε μία καινούργια παραγγελία) Κατά τη διάρκεια του κύκλου το απόθεμα μειώνεται κατά ένα σταθερό ρυθμό Δεδομένου ότι η ζήτηση είναι γνωστή με βεβαιότητα και ο χρόνος ανάμεσα στις παραγγελίες θα είναι σταθερός, η νέα παραγγελία θα γίνει ακριβώς τη στιγμή που το απόθεμα θα έχει πέσει στο μηδέν απόθεμα Q Q/2 ρυθμός εξάντλησης αποθέματος ρυθμός ζήτησης παραλαβή παραγγελίας 1 κύκλος παραλαβή παραγγελίας μέσο κυκλικό απόθεμα χρόνος 7

Εύρεση βέλτιστης ποσότητας Το απόθεμα κυμαίνεται μεταξύ Q και 0, επομένως το κυκλικό απόθεμα θα είναι ίσο με Q/2, το μισό δηλαδή του μεγέθους της παραγγελίας Το ετήσιο κόστος κράτησης του αποθέματος αυξάνεται γραμμικά καθώς αυξάνεται η ποσότητα παραγγελίας, το Q δηλαδή, όπως φαίνεται στο Σχήμα, και ισούται με: Ετήσιο κόστος κράτησης αποθεμάτων = (Μέσο κυκλικό απόθεμα) (Κόστος κράτησης μίας μονάδας αποθέματος) Ετήσιο κόστος, $ Q AHC = 2 H Κόστος διατήρησης αποθεμάτων Q 8

Εύρεση βέλτιστης ποσότητας Το ετήσιο κόστος παραγγελίας είναι ίσο με τον αριθμό των παραγγελιών ανά χρόνο επί το κόστος παραγγελίας Ο μέσος αριθμός των παραγγελιών ανά χρόνο ισούται με την ετήσια ζήτηση δια την ποσότητα της παραγγελίας Γιαπαράδειγμαναηζήτησηγιαένα προϊόν είναι 2400 κομμάτια το χρόνο και το μέγεθος κάθε παραγγελίας είναι 200 κομμάτια, τότε θα γίνονται συνολικά 12 παραγγελίες κάθε χρόνο Το ετήσιο κόστος παραγγελίας μειώνεται μη γραμμικά καθώς αυξάνει η ποσότητα παραγγελίας, όπως φαίνεται στο Σχήμα Ετήσιο κόστος, $ Κόστος παραγγελίας D AOC = Q S Q 9

Εύρεση βέλτιστης ποσότητας Το συνολικό ετήσιο κόστος είναι το άθροισμα του ετήσιου κόστους κράτησης αποθεμάτων και του ετήσιου κόστους παραγγελιών Όπου: Q D Annual C = H + S Cost 2 Q C = συνολικό ετήσιο κόστος Q = μέγεθος παραγγελίας Lot size (Q) H = κόστος κράτησης μίας μονάδας σε απόθεμα για ένα χρόνο (συχνά υπολογίζεται σαν ποσοστό της αξίας του αγαθού) D = ετήσια ζήτηση για το αγαθό S = κόστος παραγγελίας ή κόστος έναρξης νέας λειτουργίας 10

Εύρεση βέλτιστης ποσότητας Q D dc C = H + S = 0 2 Q dq Q d( 2 H + dq D Q S) = 0 SD H + = Q 2 2 0 EOQ = 2DS H d 2 dq TC 2 = d SD ( 2 Q Q + H 2 ) = 2SD H > 11 0

Χρόνος μεταξύ παραγγελιών Συχνά στις στρατηγικές διαχείρισης των αποθεμάτων χρησιμοποιούμε το χρόνο ανάμεσα στις παραγγελίες αντί για την ποσότητα παραγγελίας Ο χρόνος ανάμεσα στις παραγγελίες (time between orders ή TBO) για ένα συγκεκριμένο μέγεθος παραγγελίας είναι ο μέσος χρόνος που περνάει ανάμεσα στην παραλαβή (ή τοποθέτηση) κάθε παραγγελίας Ο χρόνος ανάμεσα στις παραγγελίες για ένα έτος υπολογίζεται αν διαιρέσουμε την ποσότητα παραγγελίας με την ετήσια ζήτηση Όταν χρησιμοποιούμε την Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας και εκφράσουμε τον χρόνο ανάμεσα στις παραγγελίες σε μήνες θα έχουμε: TBO EOQ = EOQ D ( 12μήνες / έτος ) 12

Παράδειγμα εφαρμογής ΗεταιρίαHeat International κατασκευάζει θερμαντικά σώματα για εγκαταστάσεις θέρμανσης κι εφαρμόζει σύστημα αναπαραγγελίας για τα φθηνότερα αντικείμενα που χρειάζονται για την παραγωγή των σωμάτων Ένα από αυτά τα είδη είναι οι βαλβίδες εξαέρωσης των σωμάτων Η παραγωγή μπορεί να θεωρηθεί σταθερή αφού η εταιρία εφαρμόζει make-to-stock πολιτική και έτσι η παραγωγή συνεχίζει κανονικά και τους καλοκαιρινούς μήνες Η ανάγκη για βαλβίδες είναι περίπου 500 κομμάτια την εβδομάδα Ο προμηθευτής των βαλβίδων χρεώνει 0,3 το κομμάτι και το κόστος γιαναγίνειμιαπαραγγελίαείναι 10 Το ετήσιο κόστος αποθήκευσης των βαλβίδων είναι το 25% της αξίας τους Αν η εταιρία παραγγέλνει 5000 κομμάτια όταν τελειώνει το απόθεμά της, ποιοείναιτοσυνολικόκόστος; Πόσες βαλβίδες πρέπει να παραγγέλνει και κάθε πότε ώστε να ελαχιστοποιεί το κόστος της; 13

Παράδειγμα εφαρμογής Υπολογίζουμε την ετήσια ζήτηση για τις βαλβίδες: D= (500 κομ. / εβδ) x (52 εβδ. / έτος) = 26000 κομ. / έτος Στην συνέχεια υπολογίζουμε το ετήσιο κόστος αποθέματος για μία βαλβίδα: Η= 0,25 ( 0,3 / κομ.) = 0,075 Από τον τύπο του ετήσιου συνολικού κόστους (για 5000 κομμάτια) έχουμε: Q D 5000 26000 C = H + S = 0,075 + 10 = 239,5 2 Q 2 5000 14

Παράδειγμα εφαρμογής Για να βρούμε την Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της EOQ: EOQ = 2DS H = 2 26000 10 0,075 2633 Το ετήσιο κόστος για τη βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας 2633 κομματιών θα είναι: Q D C = H + S 2 Q = 2633 0,075 + 2 Ο χρόνος ανάμεσα στις παραγγελίες εκφρασμένος σε εβδομάδες θα είναι: TBO EOQ 26000 2633 10 = 197,48 EOQ 2633 = ( 52εβδομάδες / έτος ) = 52 5,26εβδ. D 26000 15

Ανάλυση ευαισθησίας Η Ανάλυση Ευαισθησίας μπορεί να μας οδηγήσει σε χρήσιμα συμπεράσματα και να συνδράμει στην καλύτερη κατανόηση της διαχείρισης των αποθεμάτων Ανάλυση Ευαισθησίας είναι η τεχνική της συστηματικής αλλαγής των παραμέτρων του προβλήματος με σκοπό τον προσδιορισμό των αποτελεσμάτων που θα επιφέρουν οι αλλαγές αυτές Μεταβολές στην ζήτηση: Ηζήτηση(D) αποτελεί μέρος του αριθμητή στον τύπο της Βέλτιστης Ποσότητας Παραγγελίας Επομένως η Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας θα αυξάνεται καθώς αυξάνεται η ζήτηση αλλά σε μικρότερο βαθμό 16

Ανάλυση ευαισθησίας Μεταβολές στο κόστος παραγγελίας ή στο κόστος νέας λειτουργίας: Επειδή το κόστος παραγγελίας (S) βρίσκεται στον αριθμητή, μία αύξηση στο κόστος αυτό θα προκαλέσει αύξηση και στη Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας Μεταβολές στο κόστος διατήρησης αποθεμάτων: Επειδή το κόστος διατήρησης αποθεμάτων (Η) βρίσκεται στον παρονομαστή, η Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας θα μειώνεται καθώς το κόστος διατήρησης αποθεμάτων θα αυξάνεται Λάθη στην εκτίμηση των D, Η και S: Το Συνολικό Κόστος τείνει να μη μεταβάλλεται σε μεγάλο βαθμό από τα λάθη στον υπολογισμό των παραμέτρων που το προσδιορίζουν Η αιτία είναι ότι τα λάθη αυτά τείνουν να ακυρώνουν το ένα το άλλο και η τετραγωνική ρίζα μειώνει τις επιπτώσεις τους στη Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας 17

Μοντέλο με εκπτώσεις Οι εκπτώσεις ανάλογα με την ποσότητα παραγγελίας αποτελούν κίνητρα για την παραγγελία μεγαλύτερων ποσοτήτων και ένας από τους παράγοντες πίεσης για την διατήρηση υψηλών επιπέδων αποθεμάτων Η τιμή του αντικειμένου που παραγγέλνεται δεν είναι σταθερή όπως στο μοντέλο της Βέλτιστης Ποσότητας Παραγγελίας αλλά μεταβάλλεται καθώς μεταβάλλεται η ποσότητα παραγγελίας Θα πρέπει λοιπόν να αντισταθμιστούν τα πλεονεκτήματα από τη μείωση της τιμής και τα μειονεκτήματα από τη διατήρηση μεγαλύτερων αποθεμάτων Το συνολικό ετήσιο κόστος θα πρέπει να περιλαμβάνει εκτός από το κόστος κράτησης των αποθεμάτων και το κόστος παραγγελίας, το κόστος αγοράς των αντικειμένων που παραγγέλνονται 18

Μοντέλο με εκπτώσεις Αν Ρ είναι η τιμή του αντικειμένου, η συνάρτηση κόστους θα έχει τη μορφή: Q D C = H + S + P 2 Q Συνήθως το κόστος διατήρησης αποθέματος Η εκφράζεται σαν ποσοστό της τιμής, καθώς όσο ακριβότερο είναι το αντικείμενο τόσο περισσότερο κοστίζει η κράτηση του σαν απόθεμα Η καμπύλη του συνολικού κόστους είναι κοίλη (έχει σχήμα U) Για κάθε διαφορετικό επίπεδο τιμών η καμπύλη θα μετατοπίζεται προς τα κάτω Η καμπύλη της συνάρτησης κόστους θα ξεκινάει από την καμπύλη που αντιστοιχεί στην υψηλότερη τιμή στο σημείο που αλλάζει η τιμή πέφτει στην καμπύλη που αντιστοιχεί στην αμέσως χαμηλότερη τιμή Αν υπάρχει και άλλη έκπτωση στο σημείο που θα αλλάζει ξανά η τιμή η καμπύλη συνολικού κόστους θα συνεχίζει στην καμπύλη που αντιστοιχεί στο αμέσως επόμενο επίπεδο τιμής D 19

Μοντέλο με εκπτώσεις Στο Σχήμα παρουσιάζεται η καμπύλη συνολικού κόστους για την περίπτωση όπου για παραγγελίες μικρότερες των 100 μονάδων η τιμή είναι 4, για παραγγελίες μεταξύ 100 και 200 μονάδωνητιμήείναι 3,5 και για παραγγελίες μεγαλύτερες των 200 μονάδωνητιμήείναι 3 Παρατηρούμε ότι το ελάχιστο σημείο κάθε καμπύλης που αντιστοιχεί σε μία τιμή μας δίνει τη Βέλτιστη Ποσότητα Παραγγελίας (EOQ) για τη συγκεκριμένη τιμή Συνολικό Κόστος EOQ 4 EOQ 3.5 EOQ 3 PD για Ρ=$4 PD για Ρ=$3.5 PD για Ρ=$3 100 200 300 Q C για Ρ= 4 C για Ρ= 3.5 C για Ρ= 3 20

Μοντέλο με εκπτώσεις Οι βέλτιστες αυτές ποσότητες δεν αντιστοιχούν αναγκαστικά στην ποσότητα που θα πρέπει να παραγγελθεί στην προκειμένη περίπτωσηγιαδύολόγους: Η EOQ που αντιστοιχεί σε ένα επίπεδο τιμών μπορεί να μην είναι εφικτή, να μην είναι δυνατή η παραγγελία της συγκεκριμένης ποσότητας στη συγκεκριμένη τιμή Για παράδειγμα στο προηγούμενο Σχήμα, η EOQ για τιμή 3 δεν είναι εφικτή γιατί αντιστοιχεί σε ποσότητα που θα πρέπει να αγοραστεί με 3,5 Η EOQ που αντιστοιχεί σε ένα επίπεδο τιμών μπορεί να είναι εφικτή αλλά να μην αντιστοιχεί στο μικρότερο δυνατό κόστος Συνολικό Κόστος EOQ 4 EOQ 3.5 EOQ 3 PD για Ρ=$4 PD για Ρ=$3.5 PD για Ρ=$3 C για Ρ= 4 C για Ρ= 3.5 C για Ρ= 3 100 200 300 Q 21

Μοντέλο με εκπτώσεις Προκειμένου να καθορίσουμε τη βέλτιστη ποσότητα παραγγελίες στην περίπτωση εκπτώσεων ανάλογων της ποσότητας παραγγελίας θα πρέπει να ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα: Ξεκινώντας από τη χαμηλότερη τιμή υπολογίζουμε την EOQ που αντιστοιχεί σε κάθε τιμή και ελέγχουμε αν είναι εφικτή (γιαναείναι εφικτή θα πρέπει να περιλαμβάνεται στο διάστημα που αντιστοιχεί στην τιμή με βάση την οποία υπολογίστηκε) Αν η πρώτη εφικτή EOQ που βρέθηκε αντιστοιχεί στη χαμηλότερη τιμή τότε αυτή θα είναι η ποσότητα παραγγελίας που ελαχιστοποιεί το κόστος Αν δεν είναι εφικτή η ποσότητα αυτή τότε υπολογίζουμε το κόστος για την πρώτη EOQ που είναι εφικτή και για τη μεγαλύτερη ποσότητα που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο αλλαγής της τιμής Επιλέγουμε εκείνη την ποσότητα που αντιστοιχεί στο χαμηλότερο κόστος 22

Παράδειγμα εφαρμογής Ο λιανοπωλητής της Heat International διαπραγματεύεται με την τελευταία σχετικά με το κόστος των σωμάτων σε σχέση με την ποσότητα παραγγελίας Η Heat International προσφέρει τις παρακάτω εκπτώσεις για ένα τύπο σώματος: Ποσότητα Τιμή / Μονάδα 0-299 60 300-499 58,8 500-57 Η ετήσια ζήτηση για το σώμα αυτό είναι 6500 τεμάχια Το κόστος παραγγελίας είναι 50 και το ετήσιο κόστος διατήρησης αποθεμάτων είναι 25% της τιμής του σώματος Πόσα σώματα πρέπει να παραγγείλει ο λιανοπωλητής; 23

Παράδειγμα εφαρμογής Βήμα 1α: Υπολογίζουμε την EOQ για το χαμηλότερο επίπεδο τιμών, 57 EOQ 2DS H 2 6500 50 0,25 57 57 = = = 213,57 Μία παραγγελία 213,57 σωμάτων στην πραγματικότητα κοστίζει 60 ανά μονάδα, αντί για $57, άρα η EOQ57 δεν είναι εφικτή Βήμα 1β: Βρίσκουμε την EOQ για το επόμενο επίπεδο τιμών, 58,8 EOQ 2DS H 2 6500 50 0,25 58,8 58.8 = = = 210,28 Μία παραγγελία 210,28 σωμάτων στην πραγματικότητα κοστίζει 60 ανά μονάδα, αντί για 58,8, άρα η EOQ58,8 δεν είναι εφικτή 24

Παράδειγμα εφαρμογής Βήμα 1γ: Βρίσκουμε την EOQ για το τελευταίο επίπεδο τιμών, 60 EOQ 2DS H 2 6500 50 0,25 60 60 = = = 208,16 Η ποσότητα αυτή είναι εφικτή καθώς βρίσκεται στο διάστημα στο οποίο αντιστοιχεί η τιμή 60 Βήμα 2: Το μόνο εφικτό EOQ που βρήκαμε δεν αντιστοιχεί στην χαμηλότερη τιμή Θα υπολογίσουμε το συνολικό κόστος για την EOQ και για τις ποσότητες στις οποίες αλλάζει η τιμή: 25

Παράδειγμα εφαρμογής Q D 208 6500 C208 = H + S + PD = 0,25 60 + 50 + 60 6500 = 2 Q 2 208 393.122,5 300 6500 C300 = 0,25 58,8 + 50 + 58,8 6500 = 2 300 385.488,3 500 6500 C500 = 0,25 57 + 50 + 57 6500 = 2 500 374.712,5 Επομένως, η βέλτιστη ποσότητα είναι 500 σώματα και αντιστοιχεί στη χαμηλότερη τιμή του συνολικού κόστους 26