1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

Transcript

1 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε περισσότερα του ενός στοιχεία ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. 3. Αν για μια συνάρτηση f, που έχει πεδίο ορισμού το Α R, ισχύει f () = f (ψ) για κάποια, ψ A, τότε = ψ. 4. Aν οι συναρτήσεις f,g ορίζονται και οι δύο σ ένα σύνολο Α, τότε και η συνάρτηση =f+g ορίζεται στο ίδιο σύνολο. 5. Aν οι συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σ ένα σύνολο Α, τότε και η συνάρτηση = g f ορίζεται πάντοτε στο ίδιο ακριβώς σύνολο. 6. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, με > ισχύει f ( ) < f ( ). 7. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, με < ισχύει f ( ) < f ( ). 8. Η παράγωγος f ( ) μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι πραγματικός αριθμός. 9. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης που είναι η γραφική παράσταση μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f, στο σημείο (, f( )) αυτής, είναι η παράγωγος της f στο.. Η παράγωγος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της = f (), ως προς, όταν =.. Η παράγωγος f ( ) μιας συνάρτησης f σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ισούται με το f ( ) - f ( ), R,.. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, όταν και μόνο ό- ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ

2 Ανάλυση Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ταν υπάρχει το f ( ) - f (), R,. 3. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε το όριο f ( ) - f (),, ισούται με τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης, που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σημείο (, f ( )) αυτής. 4. Η παράγωγος της συνάρτησης f () = είναι f () =. 5. Η παράγωγος της συνάρτησης g (κ) = κ q, όπου q Q, είναι g (κ) = qκ q-. 6. Οι παράγωγοι των συναρτήσεων f () = ημ και g () = συν είναι αντίστοιχα f ()=(ημ) =συν και g ()=(συν) = -ημ. 7. Οι παράγωγοι των συναρτήσεων f() = e και g() = ln είναι αντίστοιχα f () = (e ) = e και g () = (ln) =. 8. Αν η πρώτη παράγωγος μιας πολυωνυμικής συνάρτησης g είναι 4ου βαθμού, τότε η g είναι 5ου βαθμού. 9. Αν η δεύτερη παράγωγος μιας πολυωνυμικής συνάρτησης g είναι σταθερή, τότε η g είναι το πολύ ου βαθμού.. Η συνάρτηση f με f () = f ( ) - f (),, όπου τα σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη, λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f.. Η παράγωγος της συνάρτησης f () = 5 είναι f () = 5.. Η παράγωγος της συνάρτησης s (t) = t είναι s (t) =. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ

3 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; A. B. Γ. Δ. Ε.. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; A. B. Γ. Δ. Ε. 3. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, με γραφική παράσταση που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα, είναι Α. [, 3] Β. [, ) Γ. (, 3) Δ. (, + ) Ε. [, 4] Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () = - είναι Α. [-, ] Β. [-, ) Γ. (-, ) Δ. (-, ] Ε. (-, + ) 5. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () = είναι - Α. [-, ] Β. [-, ) Γ. (-, ) Δ. (-, ] Ε. (-, + ) ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 3

4 Ανάλυση Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 6. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Α R, τότε η συνάρτηση = g f έχει πεδίο ορισμού: Α. το σύνολο R Β. τα A: f () Γ. τα A: g () Δ. τα A: f () =, g () Ε. τα A: f () = g () = 7. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν: Α. ισχύει f ( ) = Β. ισχύει f ( ) Γ. υπάρχει το f () Δ. ισχύει f () = f ( ) Ε. ισχύει f () f ( ) 8. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν: Α. υπάρχει το Β. υπάρχει το Γ. υπάρχει το Δ. το Ε. το f ( ) - f (), R, f ( ) - f ( ), R, f f ( ) - f ( ), R, και είναι πραγματικός αριθμός ( ) - f ( ) = +, R, f ( ) - f ( ) = -, R, 9. Η παράγωγος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f, σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, εκφράζει: Α. την τιμή της συνάρτησης στη θέση Β. την τιμή του κλάσματος f ( ) - f (), Γ. το ρυθμό μεταβολής της f () ως προς, όταν = Δ. το ρυθμό μεταβολής της f () ως προς - Ε. κανένα από τα παραπάνω ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 4

5 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση. Παράγωγο f ( ) μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ονομάζουμε Α. το πηλίκο Β. το ( Γ. το Δ. το f ( ) - f (), R, f ( ) - f ( )), R, f ( ) - f ( ), R, f ( f ( Ε. το πηλίκο ), R, ), R,. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα R και γνησίως φθίνουσα στο, τότε η f είναι αρνητική : Α. μόνο σ ένα σημείο του B. σε όλα τα εσωτερικά σημεία του Γ. στο σημείο μηδέν Δ. μόνο στα σημεία που μηδενίζουν την f E. κανένα από τα παραπάνω. H συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σ ένα ανοικτό διάστημα, είναι γνησίως αύξουσα στο, αν ισχύει: Α. f () =, για κάθε σημείο του B. f () =, για κάθε σημείο του Γ. f () >, για κάθε σημείο του Δ. f () <, για κάθε σημείο του E. κανένα από τα παραπάνω. 3. Η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σ ένα ανοικτό διάστημα, είναι γνησίως φθίνουσα στο, αν ισχύει : Α. f () =, για κάθε σημείο του B. f () =, για κάθε σημείο του Γ. f () >, για κάθε σημείο του Δ. f () <, για κάθε σημείο του E. κανένα από τα παραπάνω Ερωτήσεις ανάπτυξης Α ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 5

6 Ανάλυση Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. ίνεται η συνάρτηση f με f () = Να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της, Α β) για ποιες τιμές του Α έχουμε f () = γ) το πεδίο ορισμού Β της συνάρτησης g () = - 3. ίνεται η συνάρτηση g με g () = +. α) Για ποιες τιμές του R έχουμε g () = ; β) Να βρείτε: i) το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f () = ii) το πεδίο ορισμού Β της συνάρτησης () = 3. ίνεται η συνάρτηση g με g () = -. α) Για ποιες τιμές του R έχουμε g () = ; β) Για ποιες τιμές του R η συνάρτηση g () είναι θετική; γ) Να βρείτε: i) το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f () = ii) το πεδίο ορισμού Β της συνάρτησης () = iii) το πεδίο ορισμού Γ της συνάρτησης φ () = 4. ίνεται η συνάρτηση g με g () = - 4. α) Για ποιες τιμές του R έχουμε g () = ; β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f () = ίνονται οι συναρτήσεις f, g με f () = και g () = 3 -, R. Να βρείτε: α) τον τύπο της συνάρτησης f () + g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της, Α. β) τον τύπο της συνάρτησης 3f () - g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της, Β. γ) τον τύπο της συνάρτησης f () g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της, Γ. f () δ) τον τύπο της συνάρτησης και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της,. g () 6. ίνονται οι συναρτήσεις f, g με f () = - 3 +, g () = 5 -, R. Να βρείτε: α) το f () και το g () β) το [f () + g ()] 3-7. ίνεται η συνάρτηση φ με φ () =. Να βρείτε: 3 α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το φ () γ) το [φ ()] 3 8. ίνεται η συνάρτηση f με f () = 8 -. Να βρείτε: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 6

7 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το - f () 9. ίνονται οι συναρτήσεις f, g με f()= , g()=-, R. Να βρείτε: α) τα f (), g () β) το f () g (). Αν f () = -, να βρείτε το φ (), όταν: α) φ () = 3 f () β) φ () = 3 f () - γ) φ () = f 5 f () 3 () - δ) φ () = f () - 4. ίνεται η συνάρτηση f με f () =. Να βρείτε: - α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το f () ίνεται η συνάρτηση f με f () =. Να βρείτε: 3 - α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το - 3 f (). 3. ίνεται η συνάρτηση f με f () = - 3. Να βρείτε: - 3 α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το f () Για ποιες τιμές του α R η συνάρτηση f () = πραγματικών αριθμών; 3 - α έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R των 5. Για ποιες τιμές του α R η συνάρτηση f () = R των πραγματικών αριθμών; (α ) έχει πεδίο ορισμού το σύνολο - 6. ίνεται η συνάρτηση f με f () =. Να βρείτε: 4 α) το πεδίο ορισμού της, Α. β) το f (). γ) Να εξετάσετε, αν η f () είναι συνεχής στη θέση =. 3, 3 7. ίνεται η συνάρτηση f με f () =., =3 ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 7

8 Ανάλυση Μαθηματικά Γενικής Παιδείας α) Για 3 είναι συνεχής η συνάρτηση; β) Για ποια τιμή του α R η συνάρτηση f () είναι συνεχής στο σημείο = 3;, 8. ίνεται η συνάρτηση f με f () =. Να βρείτε: α, = α) το f () β) την τιμή του α R, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο =., 9. ίνεται η συνάρτηση f με f () =. Να βρείτε: 5α+6, = α) το πεδίο ορισμού της, Α. β) το - - γ) την τιμή του α R, ώστε η f να είναι συνεχής στο σημείο =. 5 6,. ίνεται η συνάρτηση f με f () =. Να βρείτε την τιμή του α R, ώστε η α, = συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο =.. Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι δ. Να εκφράσετε, ως συνάρτηση της διαγωνίου δ: α) την περίμετρό του β) το εμβαδό του.. ίνεται η συνάρτηση f με f () =, R. Να βρείτε: 3 α) την f (3) β) το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της συνάρτησης f, στο σημείο με = 3 γ) την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης. 3. ίνεται η συνάρτηση f με f () = α, R, α R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το α, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο (, f ()) να είναι ίνεται η συνάρτηση f με f () = +, R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης f στο σημείο με =. γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο (, f ()). 5. ίνεται η συνάρτηση f με f () = , R. Να βρείτε: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 8

9 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση α) την f () β) την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, που είναι παράλληλη στον άξονα. 6. ίνεται η συνάρτηση f με f () = - α, R, α R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο (, f ()) να σχηματίζει με τον άξονα γωνία Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η εφαπτομένη της γραφικής παράσταση της συνάρτησης f () = στο σημείο ( 4, f ( 4 )). 8. ίνονται οι συναρτήσεις f, g με f () = α) Την πρώτη παράγωγο i) της f και ii) της g. β) Τις παραγώγους i) f () και ii) g (). e 3 και g () = e. Να βρείτε: 9. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ() τρίτου βαθμού, ώστε Ρ()= -, Ρ ()=5, Ρ ()=, Ρ () =. 3. ίνεται η συνάρτηση f με f () = -. α) Να βρείτε: i) την f () ii) την f () β) Να αποδειχθεί ότι: ( - ) f () + f () =, για κάθε R. 3. ίνεται η συνάρτηση f με f () = e. α) Να βρείτε: i) την f () ii) την f () β) Να δείξετε ότι: f () - f () =, για κάθε R. 3. ίνεται η συνάρτηση f με f () = e α, α R. Να βρείτε: α) Την f () β) Την f () γ) Τις τιμές του α, ώστε να ισχύει η σχέση f () + f () = 3f (), για κάθε R. 33. ίνεται η συνάρτηση f με f () = e e -. Να βρείτε: α) Το πεδίο ορισμού της, Α β) Την f (). 34. ίνεται η συνάρτηση f με f () =. Να βρείτε: e - α) Το πεδίο ορισμού της, Α β) Την f (). 35. ίνεται η συνάρτηση f με f () = , R. Να βρείτε: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 9

10 Ανάλυση Μαθηματικά Γενικής Παιδείας α) Την f () β) Τα σημεία της καμπύλης της συνάρτησης, στα οποία οι εφαπτόμενες σ αυτήν, είναι παράλληλες στον άξονα. 36. ίνεται η συνάρτηση f με f () = ( + ), R. Να βρείτε: α) Την f () β) Το συντελεστή διεύθυνσης λ της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο με = ίνεται η συνάρτηση f με f () = , R. Να βρείτε: α) Την f () β) Την εξίσωση της εφαπτομένης της f, που σχηματίζει με τον άξονα γωνία ίνεται η συνάρτηση f με f () = α ( + ), R, α R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε τον α, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο (, f ()) να είναι 4. γ) Να βρείτε την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης ευθείας. 39. ίνεται η συνάρτηση f με f () = - 4 +, R. α) Να βρείτε την f () β) Να προσδιορίσετε το σημείο Α της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, στο οποίο η ε- φαπτομένη της σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα. 4. ίνεται η συνάρτηση f με f () = - α +β, α, β R και η ευθεία = 3 -, R. Να υπολογίσετε τα α, β ώστε η ευθεία = 3 - να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη. 4. ίνεται η συνάρτηση f με f () = , R. Να βρείτε: 3 α) Την f (). β) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f, που είναι παράλληλες στην ευθεία = ίνεται η συνάρτηση f με f () =, R,. 4 α) Να δείξετε ότι f (α) = - 3 για κάθε α R, α. α β) Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο σημείο (α, ) της γραφικής παράστασης της f. α 43. ίνεται η συνάρτηση f με f () = , R. α) Να βρείτε την f (). β) Να εξετάσετε τη μονοτονία της. ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ

11 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση γ) Να προσδιορίσετε τα ακρότατά της (αν υπάρχουν). 44. ίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους: f () = και g () = 4 - +, R. Να βρείτε: α) i) την f () και ii) την g (). β) Τις θέσεις για τις οποίες οι συναρτήσεις παρουσιάζουν ακρότατο γ) Τις τιμές των ακροτάτων αυτών. 45. ίνεται η συνάρτηση f με f () = κ + λ + 3, R, κ, λ R. α) Να βρείτε τα κ, λ ώστε η f να έχει στη θέση = τοπικό ακρότατο ίσο με -. β) Τι είδους ακρότατο παρουσιάζει η συνάρτηση στη θέση = ; 46. ίνεται η συνάρτηση f με f () = 3-3, R. Να βρεθούν τα διαστήματα που η f είναι: α) Αύξουσα β) Φθίνουσα 47. ίνεται η συνάρτηση f με f () = e. α) Να βρεθεί η f (). β) Να μελετηθεί η συνάρτηση f, ως προς τη μονοτονία της. γ) Να προσδιοριστούν τα ακρότατά της (αν υπάρχουν). 48. ίνεται η συνάρτηση f με f () = ( - ) e, R. α) Να βρεθούν: i) το πεδίο ορισμού της, ii) η f () β) Να μελετηθεί η f ως προς: i) τη μονοτονία της, ii) τα ακρότατά της και να εντοπιστούν αυτά, αν υπάρχουν. 49. ίνεται η συνάρτηση f με f () = κ 3 + λ + 3 -, R, κ, λ R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε τα κ, λ, ώστε η f να έχει τοπικά ακρότατα στα σημεία με τετμημένες =, = -. γ) Να βρείτε τις τιμές των ακροτάτων. 5. Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με την ίδια περίμετρο, ποιο είναι εκείνο που έχει το μέγιστο εμβαδό; 5. Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με εμβαδό 6 m, να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου, που έχει την μικρότερη περίμετρο. 5. Να βρεθούν δύο αριθμοί, με σταθερό άθροισμα, που να έχουν το μεγαλύτερο γινόμενο. 53. Η ενέργεια που καταναλώνει ένας μικροοργανισμός που κινείται μέσα στο αίμα ενός ασθενούς με ταχύτητα υ, προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: Ε (υ) = υ [ (υ - 35) + 75] α) Με ποια ταχύτητα πρέπει να κινηθεί για να καταναλώσει τη μικρότερη ενέργεια; ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ

12 Ανάλυση Μαθηματικά Γενικής Παιδείας β) Πόση είναι η ελάχιστη ενέργεια; 54. Η τιμή εισιτηρίου των αστικών λεωφορείων είναι σταθερή τα τελευταία 8 χρόνια στο. Το κόστος μεταφοράς ανά επιβάτη στη διάρκεια των 8 χρόνων προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: Κ (t) = t + 5 t όπου t (, 8] ο χρόνος. α) Να προσδιοριστεί η χρονική στιγμή κατά την οποία πραγματοποιήθηκε το μέγιστο κέρδος. β) Πόσο είναι αυτό το κέρδος; 55. Η θετική αντίδραση ενός οργανισμού σ ένα φάρμακο περιγράφεται (δίνεται) από τον τύπο της συνάρτησης f () = (α - ), α > σταθερά και η ημερήσια δόση του φαρμάκου σε mg. Ποια είναι η ενδεδειγμένη ποσότητα δόσης του φαρμάκου ώστε να έχουμε τη μεγαλύτερη θετική αντίδραση του οργανισμού; 56. Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει μεταξύ άλλων φορητούς υπολογιστές. Υπολογίστηκε ότι η παρασκευή υπολογιστών την εβδομάδα κοστίζει περίπου ( ). Αν η τιμή πώλησης ενός φορητού υπολογιστή είναι (- ), πόσους φορητούς υπολογιστές πρέπει να παράγει την εβδομάδα, ώστε να έχει το μεγαλύτερο δυνατό κέρδος; ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ