ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 Tech an Math ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: Δεύτερη Γραπτή Εργασία Μαθηματικά Γενικές οδηγίες για την εργασία Οι απαντήσεις στις ερωτήσεις της εργασίας πρέπει να δίνονται σε δύο αρχεία σύμφωνα με τις αναλυτικές οδηγίες που ακολουθούν. Τα δύο αρχεία μαζί με το συμπληρωμένο δελτίο υποβολής αξιολόγησης εργασίας θα πρέπει να αποσταλούν ηλεκτρονικά (με ) και σε έντυπη μορφή στον Καθηγητή Σύμβουλο. Ημερομηνία αποστολής της γραπτής εργασίας: Παρασκευή 11 Ιανουαρίου 2008 Καταληκτική ημερομηνία παραλαβής: Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 Εργασίες που παραλαμβάνονται εκπρόθεσμα (μετά την Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008) επισύρουν βαθμολογικές κυρώσεις (0,5 βαθμό για κάθε ημερολογιακή ημέρα καθυστέρησης). Εργασίες που υποβάλλονται με καθυστέρηση μεγαλύτερη από 7 ημέρες δεν γίνονται δεκτές.

2 Tech an Math Αναλυτικές Οδηγίες Η εργασία περιλαμβάνει 7 υποχρεωτικές ασκήσεις η λύση των οποίων απαιτεί τη δημιουργία των παρακάτω αρχείων: 1. Αρχείο Wr με τις απαντήσεις στις Ασκήσεις 1-7 (Όνομα αρχείου: EpnymOnma- GE2.c). Στο αρχείο αυτό θα πρέπει να δίνονται οι αναλυτικές απαντήσεις των ασκήσεων με τη σειρά που δίνονται στην εκφώνηση, γράφοντας και το υποερώτημα που απαντάται κάθε φορά. Επίσης, όλοι οι πίνακες και όλα τα διαγράμματα που περιέχονται στο αρχείο Excel θα πρέπει να μεταφερθούν και σε αυτό το αρχείο και συγκεκριμένα στα σημεία που δίνονται οι απαντήσεις των ασκήσεων που αντιστοιχούν. 2. Αρχείο Excel με τις απαντήσεις στις Ασκήσεις όπου σας ζητείται να χρησιμοποιήσετε Excel (Όνομα αρχείου: EpnymOnma-GE2.xls). Το αρχείο Excel πρέπει να περιέχει φύλλα εργασίας όσα και τα ερωτήματα όπου σας ζητείται η χρήση Excel. Τα φύλλα εργασίας πρέπει να έχουν όνομα σχετικό με το ερώτημα που απαντούν, π.χ. «Άσκηση 3-ΙΙ», «Άσκηση 8» κλπ. Επισημαίνεται ότι οι εργασίες πρέπει να είναι επιμελημένες και ευανάγνωστες και ότι η αντιγραφή μέρους ή ολόκληρης της εργασίας απαγορεύεται αυστηρά. Ο Συντονιστής και η Επιτροπή Γραπτών Εργασιών της ΔΕΟ 13 διεξάγουν σε όλη τη διάρκεια του ακαδημαϊκού έτους δειγματοληπτικούς ελέγχους σε όλα τα τμήματα για τον εντοπισμό και την τιμωρία τέτοιων φαινομένων. Στο αρχείο Excel όλοι οι υπολογισμοί πρέπει να γίνουν αποκλειστικά με τη χρήση τύπων και συναρτήσεων του Excel. Επίσης, στις στήλες που θα δημιουργήσετε κατά την επίλυση των ερωτημάτων θα πρέπει να δίνονται επεξηγηματικοί τίτλοι. Το ίδιο ισχύει και για τα διαγράμματα. Οι τελικοί πίνακες (μετά την επίλυση όλων των ερωτημάτων) και τα διαγράμματα θα πρέπει να μεταφέρονται και στο αρχείο wr. Για τη δημιουργία των μαθηματικών σχέσεων να γίνει χρήση της εφαρμογής «Επεξεργασία Εξισώσεων» (Equatin Eitr) του Wr (Από τη γραμμή μενού: Insert Object από Object type επιλέξτε Micrsft Equatin 3.0 ή στα Ελληνικά: Εισαγωγή Αντικείμενο από Τύπος Αντικειμένου επιλέξτε Micrsft Equatin 3.0). Εάν η εφαρμογή «Επεξεργασία Εξισώσεων» (Equatin Eitr) δεν υπάρχει ήδη εγκατεστημένη στον υπολογιστή σας τότε δεν «εμφανίζεται». Στη περίπτωση αυτή θα πρέπει να την εγκαταστήσετε χρησιμοποιώντας το CD εγκατάστασης του Micrsft Office. Περισσότερα στοιχεία για τον Equatin Eitr υπάρχουν στο εγχειρίδιο Η/Υ (σελ ), το οποίο είναι διαθέσιμο στη ιστοσελίδα της ΔΕΟ13 ( ακολουθώντας διαδοχικά τους συνδέσμους: Εκπαίδευση Συμπληρωματικό Διδακτικό Υλικό στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές και επιλέγοντας το αρχείο με όνομα Egxeirii H-Y.pf. 2

3 Tech an Math Άσκηση 1 (Μονάδες 10) Υποθέστε ότι η κυβέρνηση φορολογεί το εισόδημα του πολίτη Α σύμφωνα με τη συνάρτηση T Y Y 4 = 0, , , όπου Υ είναι το εισόδημα του πολίτη Α και Τ είναι ο φόρος εισοδήματος που πληρώνει. Επιπλέον υποθέτουμε ότι το εισόδημα του πολίτη Α είναι συνάρτηση των ωρών εργασίας του, L, σύμφωνα με τη σχέση: Y = L 1, όπου L 5. (α) Ποια είναι η συνάρτηση οριακού φόρου εισοδήματος ως προς τις ώρες εργασίας του πολίτη Α με βάση τον κανόνα παραγώγισης για σύνθετες συναρτήσεις;... (μονάδες 5) (β) Πόσες ώρες πρέπει να δουλέψει ο πολίτης Α για να μεγιστοποιηθούν ο φόρος εισοδήματος που εισπράττει η κυβέρνηση από τον Α;... (μονάδες 5) Άσκηση 2 (Μονάδες 12) Οι προβλέψεις για του Ακαθάριστου Εθνικού Προϊόντος (ΑΕΠ) στα επόμενα δέκα χρόνια για τρεις χώρες που έχουν περίπου το ίδιο ΑΕΠ σήμερα προσδιορίζεται από τις ακόλουθες συναρτήσεις: Χώρα Α: Υ 1 (t) = t t = 1, 2,, 10 Χώρα Β: Υ 2 (t) = 200-2t + 0,1t 2 t = 1, 2,, 10 Χώρα Γ: Υ 3 (t) = 200e 0,04t t = 1, 2,, 10 (α) Να βρείτε τις συναρτήσεις της ποσοστιαίας μεταβολής G 1 (t), G 2 (t), και G 3 (t) του ΑΕΠ για τις τρεις χώρες αντίστοιχα. Ποια από τις τρεις χώρες αναμένεται να παρουσιάσει σταθερό ρυθμό μεταβολής του ΑΕΠ; Μπορείτε να γενικεύσετε την απάντηση σας σε σχέση με τη μορφή της συνάρτησης Υ;... (μονάδες 5) (β) Να προσδιορίστε τις χρονικές στιγμές μέσα στην επόμενη δεκαετία όπου ο ρυθμός μεταβολής του ΑΕΠ στις χώρες Α και Β θα ξεπεράσει το ρυθμό μεταβολής του ΑΕΠ στη χώρα Γ.... (μονάδες 7) Υπόδειξη: Αν η συνάρτηση που δείχνει την εξέλιξη ενός οικονομικού μεγέθους στον χρόνο είναι Υ(t) τότε ο η ποσοστιαία μεταβολής της Υ(t) δίνεται από τη ν 1 η παράγωγο της συνάρτησης lnυ(t): ln( Y( t)) t 3

4 Tech an Math Άσκηση 3 (Μονάδες 20) Εταιρεία ενοικίασης DVDs έχει διαπιστώσει ότι ή ζήτηση για ενοικίαση DVDs δίνεται από την παρακάτω σχέση : q= Q ( p) = p, όπου q είναι ο αριθμός των DVDs που ενοικιάζονται ανά ημέρα όταν η τιμή ενοικίασης είναι p. (α) Να προσδιοριστεί η ποσότητα που ζητείται από τους καταναλωτές στην τιμή των (μονάδες 2) (β) Να οριστεί η συνάρτηση της ελαστικότητας ζήτησης ε ( p) ως συνάρτηση της p και να υπολογιστεί η ελαστικότητα στο p = 2 και στο p = 4. Να δοθεί ερμηνεία των τιμών της ελαστικότητας.... (μονάδες 4) (γ) Να προσδιοριστεί η τιμή p για την οποία ε ( p) = 1. Να δοθεί ερμηνεία της παραπάνω τιμής....(μονάδες 2) (δ) Να οριστεί η συνάρτηση συνολικού εισοδήματος R( p ) και να προσδιοριστεί η τιμή p για την οποία το συνολικό εισόδημα γίνεται μέγιστο. Nα σχεδιάσετε στο Excel (φύλλο «Άσκηση 3δ») τη συνάρτηση συνολικού εισοδήματος και να επιβεβαιώσετε γραφικά την μέγιστη τιμή της....(μονάδες 5) (ε) Από τα παραπάνω ερωτήματα προκύπτει ότι η τιμή p για την οποία ε ( p) = 1 είναι η ίδια όπου η συνάρτηση συνολικό εισόδημα είναι μέγιστη. Να αποδειχθεί το παρακάτω που ισχύει ως θεώρημα : «Το συνολικό εισόδημα είναι αύξουσα συνάρτηση για τιμές p για τις οποίες ε ( p) < 1, φθίνουσα για τιμές όπου ε ( p) > 1, και μεγιστοποιείται στην τιμή για την οποία ε ( p) = 1».... (μονάδες 7) Άσκηση 4 (Μονάδες 16) (α) Δίνονται οι συναρτήσεις ζήτησης Q και προσφοράς της μιας μονάδας: Q = Q ( p) = p και Q = Q ( p) = 3p + 20 s Q s ενός προϊόντος ως προς την τιμή p Να προσδιορισθεί η συνάρτηση συνολικού κόστους, αν το συνολικό κόστος παραγωγής q μονάδων, TC(q), δίνεται από ένα δευτεροβάθμιο πολυώνυμο ως προς q και γνωρίζουμε ότι: το σταθερό συνολικό κόστος ισούται με δέκα νομισματικές μονάδες s 4

5 Tech an Math το κέρδος, δηλαδή η διαφορά συνολικών εσόδων και συνολικού κόστους, μεγιστοποιείται στην τιμή ισορροπίας και το οριακό κόστος για παραγόμενη ποσότητα που αντιστοιχεί στο ήμισυ της τιμής ισορροπίας ισούται με δέκα νομισματικές μονάδες.... (μονάδες 8) (β) Δίνεται η συνάρτηση κόστους 3 2 C ( q) = aq + bq + cq +. Προσδιορίστε το πρόσημο των παραμέτρων (α, b, c, ) έτσι ώστε να εξασφαλισθεί ότι το ελάχιστο οριακό κόστος έχει καθαρά θετική τιμή.... (μονάδες 8) Άσκηση 5 (Μονάδες 15) Μια επιχείρηση παράγει ποσότητα προϊόντος τέτοια ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος της. Το μέσο κόστος της επιχείρησης είναι: 1 της: p = 10 q AC = q + 2 και η συνάρτηση ζήτησης του προϊόντος 3 q Έστω ότι το κράτος μπορεί να επιβάλει φόρο στην επιχείρηση: (i) 20 νομισματικών μονάδων (ν.μ.) συνολικά, ή (ii) 2 ν.μ. ανά μονάδα παραγόμενου προϊόντος. (α) Με τη βοήθεια του Excel (φύλλο «Άσκηση 5α») να παρουσιαστούν διαγραμματικά και να σχολιαστούν οι καμπύλες κόστους της επιχείρησης πριν και μετά την επιβολή του φόρου (i) και (ii).... (μονάδες 4) Στον κάθετο άξονα να αναφέρετε το κόστος παραγωγής και στον οριζόντιο την αντίστοιχη ποσότητα, q, (χρησιμοποιείστε για την ποσότητα ένα διάστημα τιμών από 0-20 με βήμα 1 μονάδα). (β) (γ) Να βρεθεί η ποσότητα παραγωγής που μεγιστοποιεί το κέρδος στις περιπτώσεις φορολογίας (i) και (ii).... (μονάδες 5) Να βρεθεί η ποσότητα παραγωγής που μεγιστοποιεί το κέρδος όταν το κράτος δεν επιβάλει φόρο.... (μονάδες 3) (δ) Ποια φορολογική πολιτική μεγιστοποιεί τα κρατικά κέρδη;... (μονάδες 3) 5

6 Tech an Math Άσκηση 6 (Μονάδες 12) Οι ρυθμοί μεταβολής των εσόδων και των εξόδων μιας μεταλλευτικής επιχείρησης στον χρόνο είναι: R '( t) = 80 5 t όπου t ο χρόνος σε έτη. C'( t) = 10 + t+ 4 t (α) Να παραστήσετε γραφικά στο Excel (φύλλο «Άσκηση 6α») τους ρυθμούς εσόδων και εξόδων για χρονική διάρκεια 40 ετών και να σχολιάσετε το γράφημα.... (μονάδες 2) (β) Να βρείτε η συνάρτηση που εκφράζει το συνολικό κέρδος της επιχείρησης ως προς τον χρόνο για την περίοδο λειτουργίας της επιχείρησης.... (μονάδες 5) (γ) Να υπολογίσετε το συνολικό κέρδος της επιχείρησης κατά τα 25 πρώτα έτη λειτουργίας της i. με βάση τη συνάρτηση που βρήκατε στο (α) ii. ως άθροισμα των ετήσιων κερδών (t = 0 έως 25 με βήμα 1) και iii. ως άθροισμα των μηνιαίων κερδών στο Excel (φύλλο «Άσκηση 6β») (t = 0 έως 25 με βήμα 1/12 και διαιρούμε το τελικό άθροισμα με το 12). Συμφωνούν ή όχι τα τρία αποτελέσματα; Θα έπρεπε να συμφωνούν; Σχολιάστε.... (μονάδες 5) Άσκηση 7 (Μονάδες 15) Μια επιχείρηση πώλησης οικιακών συσκευών πουλάει 2500 μονάδες ανά έτος. Το κόστος για την διατήρηση μιας συσκευής το έτος ανέρχεται σε 20. Για την τοποθέτηση μιας παραγγελίας η επιχείρηση πληρώνει 40 την φορά και 11 για κάθε συσκευή. Η επιχείρηση σχεδιάζει να τοποθετήσει κατά την διάρκεια του έτους αριθμό παραγγελιών της ίδιας ποσότητας προκειμένου να αντιμετωπίσει την ζήτηση. Θεωρούμε ότι η πώληση των συσκευών πραγματοποιείται με σταθερό ρυθμό. Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω δεδομένα και έχοντας υπόψη ότι το κόστος διατήρησης του αποθέματος υπολογίζεται προσεγγιστικά με χρήση του μέσου αποθέματος μεταξύ της χρονικής περιόδου δύο παραλαβών εμπορεύματος από την επιχείρηση και ότι το συνολικό κόστος αποθήκευσης υπολογίζεται από το άθροισμα του κόστους διατήρησης αποθέματος και του κόστους τοποθέτησης των παραγγελιών να υπολογιστούν : (α) Το ετήσιο κόστος διατήρησης του αποθέματος.... (μονάδες 2) (β) Το ετήσιο κόστος τοποθέτησης παραγγελιών.... (μονάδες 2) 6

7 Tech an Math (γ) Την ποσότητα παραγγελίας που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος αποθέματος και τον αριθμό παραγγελιών που πρέπει να τοποθετήσει κατά την διάρκεια του έτους.... (μονάδες 3) (δ) Με σχεδιαστεί στο Excel (φύλλο «Άσκηση 7δ»)το γράφημα της συνάρτησης συνολικό κόστος αποθέματος από όπου θα προκύπτει η βέλτιστη ποσότητα παραγγελιών (μονάδες 2) (ε) Να κατασκευαστεί πίνακας στο Excel (φύλλο «Άσκηση 7ε») ο οποίος θα περιέχει τις στήλες : Μέγεθος παραγγελίας Αριθμός παραγγελιών Μέσο Απόθεμα Κόστος διατήρησης αποθέματος Κόστος κάθε παραγγελίας Συνολικά κόστη παραγγελιών Συνολικά κόστη αποθήκευσης Να συγκρίνεται το αποτέλεσμα που προκύπτει από τον πίνακα και της λύσης που προκύπτει από την απάντηση του ερωτήματος γ).... (μονάδες 2) (στ) Τι αλλαγές προκύπτουν στην πολιτική παραγγελιών όταν το κόστος διατήρησης κάθε συσκευής διπλασιαστεί από 20 σε 40 ;... (μονάδες 2) (ζ) Τι αλλαγές προκύπτουν στην πολιτική παραγγελιών όταν υποθέσουμε ότι οι πωλήσεις της εταιρείας έχουν διπλασιαστεί ;... (μονάδες 2) 7